RAK: P-III//33 Nmrični modl aproksimatino ršanj: mtoda končnih lmnto (MKE): mtoda j zasnoana na intgralski formlaciji problma izhodiščna intgralska načba MKE j šibka oblika intgralsk načb obranaano območj problma razdlimo na podobmočja, imnoana končni lmnt (KE) območj KE aproksimiramo nznan ličin
RAK: P-III//33 značilnosti aproksimatinga ršanja z MKE: prdnosti: - možnost obrana gomtrijsko zahtnih problmo - porabna za ršanj sh rst fizikalnih problmo slabosti: - račnsko intnzina mtoda
RAK: P-III/3/33 osno obrmnjni konstrkcijski lmnt difrncialna načba problma: d d E A( n( ( A z y n ( ) prdba difrncialn načb intgralsko načbo: F d E A( d n( d E A( d n( (
RAK: P-III/4/33 Prdba osnon intgralsk načb šibko obliko intgralsk načb: osnona intgralska načba d E A( d ( n( ( s pr parts intgracijo l strani osnon intgralsk načb dobimo šibko obliko intgralsk načb d d E A( d( ) d() E A( ) ( ) E A() () n( ( N( ) ( ) N() () n( (
RAK: P-III/5/33 Intrpolacija pomika območj do-ozliščnga nodimnzijskga KE ( ) : ) ( ) ( () ) ˆ( ) ( ) ( () ˆ() ) ( ) ( ) ˆ( ) ( ) ˆ( KE
RAK: P-III/6/33 Upoštanj intrpolacij pomika po območj KE šibki obliki intgralsk načb: d dˆ E A( E A( N ( ) d N d () n( d (
primr aproksimatinga ršanja z MKE: difrncialna načba problma: d ( E A n ( E A f ( A z y n robni pogoji: F ( ) N( ) d E A F RAK: P-III/7/33
RAK: P-III/8/33 zapis robnih pogoj: ( ) N( ) N F ( poštanj robnih pogoj intgralski načbi: E A N ( ( ) N ) d () n ( F n E A d F ( ) N () n (
RAK: P-III/9/33 za izračn pomika in notranj sil N potrbjmo d načbi, ki jih dobimo poštajoč Galrkinoo mtodo:. načba: ( ( d E A N n. načba: ( ( ) d E A F n
RAK: P-III//33 izračn intgrala načbi: n N E A n N E A. načba:. načba: n F E A n F E A
RAK: P-III//33 izračn pomika in notranj sil N : n F N n n F E A E A N n E A N n N E A n F E A n F E A
RAK: P-III//33 ozliščn rdnosti: F E A n ( N N F F n n F
RAK: P-III/3/33 Nmrični modl aproksimatino ršanj: mtoda robnih lmnto (MRE): mtoda j zasnoana na intgralski formlaciji problma izhodiščna intgralska načba MRE j inrzna oblika intgralsk načb ograjo obranaanga območja problma razdlimo na podobmočja, imnoana robni lmnt (RE) območj RE aproksimiramo nznan ličin
RAK: P-III/4/33 značilnosti aproksimatinga ršanja z MRE: prdnosti: slabosti: - ršanj območnga problma prdmo na iskanj nznanih ličin na ograji območja - zlo primrna za ršanj potncialnih problmo (graitacijski potncial, staljni prod toplot, lktrični potncial) - porabna za ršanj fizikalnih problmo, ki niso prostorsko omjni - ršanj polnga sistma načb - dodatni izračn rdnosti obranaanm območj
RAK: P-III/5/33 osno obrmnjni konstrkcijski lmnt difrncialna načba problma: d d E A( n( ( A z y n ( ) prdba difrncialn načb intgralsko načbo: F d E A( d n( d E A( d n( (
RAK: P-III/6/33 prdba osnon intgralsk načb šibko obliko intgralsk načb: osnona intgralska načba d E A( d ( n( ( s pr parts intgracijo l strani osnon intgralsk načb dobimo šibko obliko intgralsk načb d d E A( d( ) d() E A( ) ( ) E A() () n( ( N( ) ( ) N() () n( (
RAK: P-III/7/33 prdba šibk oblik intgralsk načb inrzno obliko intgralsk načb: šibka oblika intgralsk načb d d E A( N( ) ( ) N() () n( ( s pr parts intgracijo l strani šibk oblik intgralsk načb dobimo inrzno obliko intgralsk načb d E A( ( d ( ) E A( ) ( ) () N( ) ( ) N() () E A() d n( ( ()
RAK: P-III/8/33 Nmrični modl aproksimatino ršanj: mtoda končnih olmno (MKV): mtoda j zasnoana na intgralski formlaciji problma, pri čmr s intgral po območj prd na intgral po poršini, ki omjj obranaano območj obranaano območja problma razdlimo na podobmočja, imnoana končni olmni (KV) posamznm KV j so nznan rdnosti primarn ličin ni točki
RAK: P-III/9/33 značilnosti aproksimatinga ršanja z MKV: prdnosti: slabosti: - ršanj območnga problma prdmo na iskanj rdnosti posamzni točki območja - nostano izpolnjanj pogoj prhoda md podobmočji - podobna mtodi končnih razlik - zlo primrna za ršanj problmo proda toplot, toka tkočin - izpolnjanj robnih pogoj primarnih ličin
RAK: P-III//33 Mtodo končnih olmno (MKV) bomo prikazali na primr stacionarnga proda toplot trdnini. Izhodiščno načbo prdstalja difrncialna načba problma: T T T k k k q y y z z V ki jo lahko matmatično zapišmo tdi sldči obliki: ( ) qv di k grad T Izdimo intgracijo difrncialn načb po obranaanm območj : ( ) V di k grad T d q d
V sklad z dirgnčnim tormom, lahko intgral po območj prdmo intgral po poršini obranaanga območja G : ( ) ( ) ˆ di k grad T d k grad T n dg G ˆn G ( ) ( ) ˆ di k grad T d k grad T n dg G Izhodiščno intgralsko načbo za mtodo končnih olmno tako zapišmo: G k grad( T ) nˆ dg q d V RAK: P-III//33
RAK: P-III//33 V nadaljanj obranaajmo primr D stacionarnga proda toplot, pri čmr naj bo toplotna prodnost označna z k. V takšnm primr izkazj tmpratrno polj lastnost: T T ( in j gradint tmpratr nak: dt ( grad T (,, Intgralska načba prid obliko: G k dt n dg q A V pri čmr j A ploščina prrza z normalo smri -osi.
RAK: P-III/3/33 Obranaajmo sdaj posamzni KV. Intgral po clotnm območj nadomstimo z soto intgralo po posamznm KV: dt dik grad( T ) d dik grad( T ) d k n dg G Ob npoznaanj fnkcijsk odisnosti tmpratr, lahko intgral soti na li strani načaja za posamzni KV aprosimatino zapišmo: G dt k A k A k n dg (Tp+ T p) (Tp T p) X + X m m X X p m + p m p+ + X
RAK: P-III/4/33 Intgral soti na dsni strani načaja za posamzni KV aprosimatino zapišmo: q A q V V p p A X X p m + p m p+ + X
RAK: P-III/5/33 Enačbo za posamzni KV sdaj zapišmo: k A k A (T T ) (T T ) q A p+ p p p V p p X + X m m X X p m + p m p+ + X
RAK: P-III/6/33 V nadaljanj obranaajmo robn pogoj, ki s nanašajo na D prod toplot trdnini sklad z MKV. Enačba za KV, ki s nahaja na rob obranaanga območja, kljčj tdi robn pogoj. V primr, ko j na rob območja poznana tmpratra, intgral na li strani načaja načbi za posamzni KV, ki s nahaja na rob obranaanga območja in j robna rdnost poznana na mji m, zapišmo : T G G T k A k A k n dg (Tp+ T p) (Tp T G) X + X m m X X m + p m p+ T G + X
RAK: P-III/7/33 Č robna rdnost tmpratr poznana na mji zapišmo sldči obliki: m, potm intgral G T k A k A k n dg (TG T p) (Tp T p-) X X m m X X p m p m T G X
RAK: P-III/8/33 V primr, ko j na rob območja poznan toplotni tok, intgral na li strani načaja načbi za posamzni KV, ki s nahaja na rob obranaanga območja in j robna rdnost poznana na mji m, zapišmo : q G G T ka k n dg (T T ) q (A) X + m p+ p G m q G p X m + m p+ + X
RAK: P-III/9/33 Č robna rdnost toplotnga toka poznana na mji zapišmo sldči obliki: m, potm intgral G T ka k n dg q G (A) + (T m p T p-) X m X p m p m q G X
RAK: P-III/3/33 V primr, ko j rob območja izpostaljn konktinm toplotnm tok q h f [T G f T r ], intgral na li strani načaja načbi za posamzni KV, ki s nahaja na rob obranaanga območja in j robna rdnost poznana na mji m, zapišmo : G T ka k n dg (T T ) q (A) X + m p+ p G m q T T p f G (k / X ) (h f) m X X T f m + p m p+ h f q G T r + X
RAK: P-III/3/33 Č robna rdnost toplotnga toka poznana na mji zapišmo sldči obliki: m, potm intgral G T ka k n dg q G(A) (T m p T p) X m q p f G (k / X ) (h f) T T m Pri poštanj konkcij na rob obranaanga območja moramo poštati da tmpratra rob ni nznanka problma pri obraanai z MKV. T r X X p m p T r m q G T f h f X
RAK: P-III/3/33 Pogoj konsistntnga prhoda na mji md končnima olmnoma primr, ko gr za sprmmbo toplotn prodnosti k, izpolnimo tako, da izračnamo nadomstno toplotno prodnost, ki lja za mjo md njima: k m k k p p+ p X m p+ k k p p+ + X
3. prdaanj: TEORETIČNA VPRAŠANJA 8. Opiši izhodišča MKE. 9. Prdnosti in slabosti MKE.. Primrjaj MKR in MKE.. Opiši izhodišča MRE.. Prdnosti in slabosti MRE. 3. Primrjaj MKE in MRE. 4. Opiši izhodišča MKV. 5. Prdnosti in slabosti MKV. 6. Primrjaj MKR in MKV. 7. Komntiraj izpolnjanj difrncialn načb, robnih pogoj in pogoj konsistntnosti prhoda primr porab MKR. 8. Komntiraj izpolnjanj difrncialn načb, robnih pogoj in pogoj konsistntnosti prhoda primr porab MKE. 9. Komntiraj izpolnjanj difrncialn načb, robnih pogoj in pogoj konsistntnosti prhoda primr porab MRE.. Komntiraj izpolnjanj difrncialn načb, robnih pogoj in pogoj konsistntnosti prhoda primr porab MKV. RAK: P-III/33/33