Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int

Transkripcija

1 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x < x < x <... < x n < x n = b. V vskem od teh intervlov izberemo poljubno točko ξ k imenovno Riemnnovo integrlsko vsoto n fξ k ) x k, k= [x k, x k ], k =,,..., n, in tvorimo tko kjer je x k := x k x k dolžin k-teg intervl. Število I imenujemo določeni integrl funkcije f v mejh od do b in g oznčimo z I = če z vsk ε > obstj tk δ >, d velj implikcij: mx x k < δ I k=,...,n fx), n fξ k ) x k < ε, neodvisno od izbire delilnih točk x k in izbire točk ξ k [x k, x k ]. Če tko število I obstj, prvimo, d je f integrbiln n [, b]. Lstnosti določeneg integrl: k=. c fx) = c fx) + b fx), b, c R enkost velj le če je f integrbiln n vseh intervlih, ki v njej nstopjo).. f, g : [, b] R- integrbilni in λ R, potem st integrbilni tudi funkciji f + g in λf ter velj ) b) [fx) + gx)] = λfx) = λ fx). fx) + gx), 3. Če je funkcij f : [, b] R integrbiln, je integrbiln tudi f in velj ocen fx) fx). 4. fx) = b fx) in fx) =.

2 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 6/7 5. Če z integrbilno funkcijo f velj f, potem je ploščin lik, ki g tvorit grf funkcije f in os x n intervlu [, b] enk fx). Newton-Leibnizov izrek: Nj bo f : [, b] R zvezn. Če definirmo funkcijo je F : [, b] R odvedljiv n [, b] in F x) := x ft) dt z vsk x [, b], F x) = fx) z vsk x [, b]. Izrčun določeneg integrl: Nj bo f zvezn n [, b], Φ odvedljiv n [, b] in Φ x) = fx) z vsk x [, b]. Potem je fx) = Φb) Φ) [Φx)] b. Funkcijo Φ imenujemo primitivn funkcij funkcije f n intervlu [, b], če je Φ zvezn n [, b] ter odvedljiv n, b) in Φ x) = fx) z vsk x [, b]. Vpeljv nove spremenljivke v določeni integrl: Nj bo fx) zvezn n [, b], funkcij xt) zvezno odvedljiv n [α, β] in x[α, β]) [, b]. Potem velj xβ) xα) fx) = β α fxt))x t) dt. Integrcij po delih integrtio per prtes: Če st funkciji u, v : [, b] R zvezno ux)v x) = [ux)vx)] b u x)vx). Nedoločeni integrl: Tbel nedoločenih integrlov:. x α = xα+ α+ + C z vsk α. 6. x = x ln + C.. x = ln x + C, x. 7. = cot x + C. sin x 3. sin x = cos x + C. 8. = tg x + C. cos x 4. cos x = sin x + C. 9. = rctg x + C. +x 5. e x = e x + C.. = rcsin x + C, x, ). x Uvedb nove spremenljivke v nedoločeni integrl: Če je F x) = fx) in je xt) odvedljiv funkcij, potem je F xt)) = fxt))x t) dt. Integrcij po delih integrtio per prtes): Če st funkciji u, v : [, b] R odvedljivi, potem velj udv = uv vdu. Uporb določeneg integrl:

3 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 6/7 3 Izrek o srednji vrednosti integrl: Če je funkcij f : [, b] R zvezn, potem obstj tk ξ [, b], d je fξ) = fx). b Vrednost fξ) imenujemo povprečn vrednost funkcije f n intervlu [, b]. Rčunnje ploščin: Nj bost f, g : [, b] R zvezni in nj velj fx) gx) z vsk x [, b]. Potem je ploščin lik L = {x, y) R ; x b, gx) y fx)} ) enk pl) = [fx) gx)]. Ločn dolžin krivulj: Nj bo f : [, b] R zvezno odvedliv funkcij. Potem je dolžin krivulje enk K = {x, fx)) R ; x [, b]} sk) = + f x)). Prostornin volumen) rotcijskeg teles: Nj bo f zvezn funkcij n [, b] in fx) z vsk x [, b]. Nj bo G rotcijsko telo, ki g popiše lik {x, y) R ; x b, y fx)} pri rotciji okrog x-osi. Potem je volumen teles G enk V G) = π f x). Geometrijsko središče lik: Geometrijsko središče lik L = {x, y) R ; x b, gx) y fx)} je v točki x, y ): x = pl) x fx) gx)) in y = pl) Posplošeni li izlimitirni integrli so integrli oblike: f x) g x) ).. fx), kjer je f zvezn n [, b] \ {x } in v okolici x neomejen. obstjjo, potem veljjo enkosti: fx) := lim ε +ε fx) := lim ε fx) := lim ε b ε c ε fx), fx), fx) + lim δ c+δ fx). Če limite n desni

4 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 6/7 4. fx), fx) in potem veljjo enkosti: fx), kjer je funkcij f zvezn. Če limite n desni obstjjo, fx) := lim fx), b fx) := fx) := lim fx), c lim fx) + lim fx), z nek c R. b c. Izrčunj π π sin x in izrčunj ploščino lik, ki g tvorit grf funkcije fx) = sin x in os x n 3 intervlu [ π 3, π ]. R: π π sin x =, pl [ π 3 3, π ] = 3 ). Integrirj: ) π x + cos x + x + ), R: π3 3 + π + π) b) x5 x + x 3 ), R: 8 3 ) c) 3x 4 +3x + x +, R: + π 4 ) d) π tg x, R: π 4 ) 4 e) 3x e x 3e, R: +ln 3 ) f) π + sin x. R: ) 3. Z uvedbo nove spremenljivke izrčunj določeni integrl. ) x, R: ln ) b) π sin x cos3 x, R: 4 ) c) ex x x ), d) e R: e3 e ) +ln x) x, R: ) e) π 3 tg x, R: ln ) f) π 4 tg x cos x, R: 3 ) g) 9 4 x, R: + ln 4) h) π x sin x Nsvet: t = π x). +cos x 4. S pomočjo integrcije po delih izrčunj: π R: 4 ) ) x4x, R: 6 ln 5 4 ln ) b) π ex sin x, R: +e π ) c) rctg x. R: π 4 ln ) 5. Izrčunj s pomočjo uvedbe nove spremenljivke.

5 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 6/7 5 ) x + b) n, R: n+) x + b)n+ + C) b) 6x + 4) cosx 3 + x + ), R: sinx 3 + x + ) + C) c) x x 4 +, R: rctg x + C) d) x ) 3 x 3. R: x ) 5 + x ) C) 6. Izrčunj s pomočjo integrcije po delih per prtes ). ) x + 5)e x R: xe x 7e x + C) b) e x sin x R: ex sin x cos x) + C c) x rctg x R: x rctg x x + rctg x + C) d) rcsin x. R: x rcsin x + x + C) 7. Izrčunj: ) b) π c) 3 d) 6 3, R: 3) x tg x, R: ) x), R: ) 3 4 x), R: 6 3 ) e) sin x. R: divergir) f) x +4x+9. R: π 5 5 ) 8. Izrčunj določene integrle ) e sinln x) x b) 3 5 x 3 x 5 c) ln 5 e x +3e x d) π x cos x e) π 6 cos 3x f) rctn x g) x+ x x+ h) 3 rcsin x +x i) j) x 3 x + e x + k) lnx + ) l) 4 x x m) ln e x R: cos ) R: 96 5 ) R: 4 π) π R: ) R: 3 ) R: π ln 4)/4)) R: 3π 4 ln ) R: 4π 3 3) R: ) R: + ln +e ) R: ln ) R: 8) R: π ) 9. Izrčunj povprečno vrednost funkcije fx) = sin x n intervlu [, π ]. R: ). Izrčunj ploščino lik, ki g omejujet krivulji fx) = x 3 + x 3x in gx) = 5x. R: 48 3 ). Izrčunj ploščino lik, ki g omejujet krivulji y = x in y + = x. R: 9 ). Izrčunj dolžino lok krivulje y = 4 x ln x, z x = do x = e. R: 4 e + ))

6 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol. l. 6/ Izrčunj volumen vrtenine funkcije y = sin x n intervlu π x π okrog osi x). R: π ) 4. Izrčunj volumen rotcijskeg teles, ki g dobimo, ko rotirmo območje = {x, y) x ) y } ) okoli osi x, b) okoli osi y. Dodtne nloge:. Izrčunj določeni integrl: ) π 3 π 6 b) 9 c) R: ) 8π 5, b) 8π 3 ) sin x cos x, R: ) 3x +) x 3 +3x, R: 6 ) 6x 5, R: 3x 5x+5) 5 ) d) π x cos x, R: π ) e) rctn x, R: π 4 ln). Izrčunj izlimitirn integrl, če obstj: ) xe x, R: ) b) c) d) 3, R: 3) x ) x) x, R: π ) e x x. R: ) 3. Nj bo fx) = x. Ali obstj ploščin lik L = {x, y) : x, y fx)}? R: Ploščin lik tj. izlimitirn integrl pl = x ) ne obstj.) 4. Nj bo fx) = x. Ali obstj prostornin teles, ki g dobimo z rotcijo lik L = {x, y) : x, y fx)} okrog x-osi? R: V = π = π) x 5. Izrčunj ploščino lik, omejeneg z grfom funkcij fx) = lnx in gx) = ln x. R: pl = e lnx ln x ) = 3 e) 6. Izrčunj ploščino lik, omejeneg z grfom funkcij fx) = x in gx) = x + sin x. R: pl = π ) 7. Izrčunj ploščino lik, omejeneg z grfom funkcij fx) = x x + in gx) = x. R: ln ) 8. Izrčunj ploščino lik, omejeneg z grfom funkcij y = x in y = x. R: pl = x x) = 4 3 ) 9. Izrčunj ploščino lik, omejeneg s krivuljmi y = x +, y = x) in x +. R: pl = x + ) x + ) ) + 3 x + ) x) ) = 5 6 ). Izrčunj prostornino teles, ki g dobimo z rotcijo pentlje krivulje 9y = xx 3) okoli x-osi pentlj je del krivulje med ničlm funkcije). R: V = π 3 xx 3) 9 = 3π 4 ). Izrčunj dolžino pentlje krivulje 9y = xx 3) pentlj je del krivulje med ničlm funkcije). R: s = 3 + x ) 4x = 4 3) Zdnjič poprvljeno:.5.7 MP)