Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko FINANČNA MATEMATIKA Rešitve kolokvijev in izpitov 009/00 Na naslednjih straneh so objavljene kratke rešitve nalog, ki so jih študenti reševali na kolokvijih in izpitih iz Finančne matematike v študijskem letu 009/00 Do končne rešitve običajno vodi več pravilnih poti Vse nikoli niso navedene Struktura točk je zapisana v oklatih oklepajih Večina točk je postopkovnih, zato svoje postopke reševanja vedno natančno opisujte V primeru nejasnosti se za nasvet obrnite na asistente Če odkrijete napako, jo prosim sporočite na alestoman@imfmsi kolokvij 9 april 00 kolokvij kolokvij: maj 00 Pisni izpit 4 junij 00 Pisni izpit avgust 00 Pisni izpit september 00
kolokvij: 9 april 00 naloga (a) [4 točke] Podatki: S 0 = 60 EUR, T =, dividenda d = 5 EUR ob t = 4 Izročitveno ceno K izračunamo po formuli K = (S 0 I(0, )) A(0, ), kjer je I(0, ) sedanja vrednost dividend, izplačanih v času veljavnosti posla Torej je I(0, ) = d D(0, 4 ) = 5 e 4 00 = 498 EUR Upoštevamo še A(0, ) = e 0045 in dobimo K = 5645 EUR Začetna vrednost sklenjenega posla je 0 po definiciji (b) [4 točke] Investitor ima dogovorjeno izročitveno ceno K = 55 EUR, danes pa bi lahko sklenil izročitveno ceno K Ker je K < K (danes bi si lahko zagotovil višjo prodajno ceno), je za investitorja vrednost posla negativna V 0 = (K K ) D(0, ) = (55 5645)e 00 = 4 EUR Pri tem smo uporabili formulo za vrednost posla za imetnika kratke pozicije (c) [7 točk] Najprej izračunamo terminsko moč obresti Y(0,, 4 ) = 4 ( 4 Y(0, 4 ) Y(0, )) = 0% Denarni tok x S si lahko zagotovimo s prodajo x delnic v času Dobljeni znesek investiramo do časa po dogovorjeni terminski obrestni meri x določimo tako, da je 4 x S A(0,, ) = 0S 4 Upoštevamo, da je terminski obrestovalni faktor A(0,, ) = e 4 Y(0,, 4 ) 4 dobimo x = 0099 Strategija U: t = 0: kupi delež x delnice Aaa, dogovori se za Y(0,, 4 ) U 0 = x S 0 = 595 EUR = 00778, in t = : t = 4 : prodaj x delnice Aaa, investiraj znesek do časa 4 U = +x S x S = 0 zaključi investicijo U 4 = +x S A(0,, ) = 0 S 4 Ker se denarni tokovi strategije U v trenutkih in ujemajo z obravnavano dividendo, 4 je njena sedanja vrednost enaka začetni vrednosti strategije, torej 595 EUR
naloga (a) [ točke] Uporabimo znano formulo Y(0, T, U) = U Y(0,U) T Y(0,T) U T Y(0, T, U) = U F(U) T F(T) U T (b) [4 točke] U F(U) T F(T) Računamo f (0, T) = lim Y(0, T, U) = lim U T U T U T in definicijo funkcije F in dobimo Z zadnjem izrazu prepoznamo definicijo odvoda produkta T F(T) v točki T Torej f (0, T) = (T F(T)) = F(T) + T F (T) (c) [6 točk] ( lim F(T) = lim β0 + (β + β ) e T/α β T 0 T 0 T/α e T/α) = β 0 + β e Pri tem smo upoštevali lim T/α = [ 0 T 0 T/α 0] = lim e T/α = po L Hospitalovemu pravilu T 0 ( lim F(T) = lim β0 + (β + β ) e T/α β T T T/α e T/α) = β 0 Za izračun intenzivnosti terminske obrestne mere uporabimo točko (b) in računamo f (0, T) = F(T) + T F (T) = = β 0 + (β + β ) e T/α T/α β e T/α + T ( (β 0 + β ) e T/α ( /α)(t/α) (/α)( e T/α ) (T/α) β e T/α ( /α) ) = = β 0 + β e T/α + Tβ α e T/α (d) [ točk] Parameter α pomeni razteg/skrčitev funkcije v vodoravni smeri (os T) F(T) Α 05 Α Α 5 Grafični prikaz časovne strukture pri različnih vrednostih α
naloga (a) [5 točke] Podatki: mesečno vplačilo a = 800 EUR, R = 6%, ciljni znesek N = 0 0 000 = 4 000 EUR Varčevalna shema a a a a a 0 n meseci Označimo z x = + R = 005 mesečni obrestovalni faktor in izračunamo stanje po vplačilu obroka v trenutku n, torej po vplačilu (n + )-ega obroka a + ax + ax + + ax n = a( + x + + x n ) = a xn+ x Zanima nas najmajši celoštevilski n, pri katerem je a xn+ x 4 000 Pri reševanju neenačbe pazimo na neenačaje, saj je x >, torej ( x) < 0 in log x > 0 Logaritem je naraščajoča funkcija, zato logaritmiranje ohranja neenakosti Dobimo rezultat n log(0x 9) log(x) = 70 Prava izbira je torej n = 8 Opomba Po vplačilu 8 obroka ob koncu 7 meseca privarčevanih sredstev še ni dovolj za polog ob nakupu stanovanja Razliko v naslednjem mesecu prinesejo obresti, zato je v resnici zadnji (9) vplačani obrok enak 0 (b) [8 točke] Glavnica kredita znaša G = 08 0 000 EUR = 96 000 EUR Brez škode za splošnost trenutek najema kredita označimo z 0 Odplačilna doba je n = 40 mesecev, R = 7%, R = 8% in R = 6% Amortizacijski načrt G a a a a a 0 9 40 meseci Banka A: Naj bo y = ( + R ) = 0994 mesečni diskontni faktor in a iskana anuiteta Iz ekvivalence sledi G = a y + a y + + a y 40 = a y ( + y + + y 9 y ) = a y 40 Torej a = G( y ) y ( y 40 ) = 7449 EUR 4 y
Banka B: Naj bosta y = ( + R ) = 0994 in y = ( + R ) = 09950 mesečna diskontna faktorja in a iskana anuiteta Veljati mora G = a y + a y + + a y 0 + a y 0 y + a y 0 y + + a y 0 y 0 = = a y ( + y + + y 9 ) + a y 0 ( + y + + y 9 ) = y = a y 0 y + a y 0 = a ( y y 0 y + y 0 Od tod dobimo a = (c) [ točk] y y 0 y y y 0 y ) G y y 0 y + y 0 y y 0 y = 78048 EUR Obresti se vsak mesec obračunajo na osnovi preostalega dolga Banka A zaračunava konstantne obresti skozi celotno amortizacijsko obdobje Banka B zaračunava visoke obresti v času, ko je preostali dolg visok, in nizke, ko je preostali dolg nizek Zato je banka B dražja Preostali dolg 80 000 60 000 40 000 Banka A Banka B 0 000 (d) [5 točk] Grafični prikaz upadanja dolga pri banki A in pri banki B Osnova za reprogram kredita je preostali dolg po plačilu 0 mesečnega obroka Uporabljamo rezultate iz banke A in R 4 = 75% Nova glavnica znaša G y = R 0 = a y 0 y = 64 07 EUR Novi mesečni diskontni faktor je y 4 = ( + R 4 ) = 0998 Anuiteta v reprogramu je torej a = G ( y 4 ) y 4 ( y 40 ) 4 = 564 EUR Pri tem pazimo, da nova odplačilna doba zopet znaša 0 let 5
kolokvij: maj 00 naloga (a) [ točke] Ker računamo do prihodnosti nevtralno verjetnost Q, za numerar izberemo bančni račun Prehodno verjetnost izračunamo po formuli q = +R d u d = Končna stanja in pripadajoče verjetnosti so prikazane v tabeli: Stanje Cena delnice Verjetnost Q u S 0 u = q = 8 7 u d S 0 u d = 495 q ( q) = 4 9 ud S 0 ud = 9975 q( q) = 9 d S 0 d = 85757 ( q) = 7 (b) [4 točke] Za vrednotenje evropske prodajne opcije so pomembna le končna stanja in pripadajoča izplačila Y = max{k S, 0}: Stanje Cena delnice S Izplačilo Y Verjetnost Q u 0 8 7 u d 495 0 4 9 ud 9975 575 9 d 85757 947 7 Numerar je v času vreden 05, v času 0 pa, zato na osnovi do prihodnosti nevtralne verjetnosti dobimo c X = EQ( Y ) = (575 + 947 ) = 746 05 05 9 7 (c) [4 točke] Izplačila ob zapadlosti so odvisna od celotne poti cene delnice na intervalu [0, ] Narišemo polno drevo B : 05 05 S : 00 0 Sd 045 045 905 Na vsaki poti od časa 0 do časa moramo poiskati najvišjo doseženo ceno delnice in izračunati izplačilo X = max 0 i {S i} S 6
Stanje Cena delnice S max i} 0 i Izplačilo X Verjetnost Q uu 0 ( ) = 4 9 ud 045 0 55 = 9 du 045 045 0 = 9 dd 905 00 975 ( ) = 9 Izračunamo c X = 05 (55 9 + 975 9 ) = 09 (d) [4 točke] B : 05 S : 00 0 95 naloga Obravnavamo enoobdobni model in opcijo z izplačili Z = max{s K, 0} ter premijo c Z = Obravnavamo možnosti: K > 0 Potem je Z(u) = Z(d) = 0 in bi moralo veljati c Z = 0, kar ni res 95 < K 0 Potem je Z(u) = 0 K in Z(d) = 0 in bi moralo veljati c Z = rešitev K = 9, ki pa ne ustreza danemu pogoju 05 (0 K), kar ima K 95 ( ) Potem je Z(u) = 0 K in Z(d) = 95 K Iz enačbe c Z = 05 (0 K) + (95 K) dobimo K = 94 Rešitev ustreza postavljenemu pogoju To je edina možna izvršilna cena (a) [ točke] Narišemo izplačila instrumenta X T = min{s T, K}, delnice S T in evropske nakupne opcije A T = max{s T K, 0} z zapadlostjo T, izvršilno ceno K, napisano na delnico S X T S T A T K K K 0 K S T 0 K S T 0 K S T Opazimo, da je instrument X ekvivalenten portfelju iz ene delnice in kratke pozicije v obravnavani opciji Dokaz: S T max{s T K, 0} = ( S T + max{s T K, 0}) = max{ K, S T } = min{k, S T } 7
(b) [ točke] Narišemo izplačila instrumenta Y T = max{s T, K}, delnice S T in evropske prodajne opcije B T = max{k S T, 0} z zapadlostjo T, izvršilno ceno K, napisano na delnico S Y T S T B T K K K 0 K S T 0 K S T 0 K S T Opazimo, da je instrument Y ekvivalenten portfelju iz ene delnice in ene obravnavane opcije Dokaz: S T + max{k S T, 0} = max{k, S T } (c) [ točke] Ker so izplačila instrumenta X enaka izplačilom portfelja iz ene delnice S in ( ) evropske nakupne opcije na S z zapadlostjo T in izvršilno ceno K, mora ista zveza veljati tudi za cene: c X t = S t c E t, kjer je c E t cena opcije Zanjo poznamo brezarbitražne meje max{s t KD(t, T), 0} c E t S t Pomnožimo jih z ( ) ter prištejemo S t in dobimo S t S t c X t S t max{s t KD(t, T), 0}, kar poenostavimo v 0 c X t min{kd(t, T), S t } (d) [ točke] Sestavimo portfelj U iz enega instrumenta X in enega instrumenta Y Za njegovo vrednost velja U t = c X t + c Y t in U T = min{k, S T } + max{k, S T } = K + S T Sestavimo še portfelj V iz ene delnice S in investicije KD(t, T) do časa T Velja V t = S t + KD(t, T) in V T = S T + K Ker je U T = V T, drugih izplačil pa ni, mora veljati U t = V t, torej c X t + c Y t = S t + KD(t, T) Drugi način reševanja: Upoštevamo portfelja iz (a) in (b) in zapišemo c X t + c Y t = (S t c E t ) + (S t + p E t ) = S t + p E t c E t, kjer je p E t cena evropske prodajne opcije na S z zapadlostjo T in izvršilno ceno K Iz paritete za klasično evropsko nakupno in prodajno opcijo pa vemo, da je p E t c E t = KD(t, T) S t, zato dobimo c X t + c Y t = S t + KD(t, T) S t = S t + KD(t, T) 8
(e) [ točke] naloga Upoštevamo, da je max{s T, K} min{s T, K} Sestavimo strategijo U: čas t: kupi instrument Y, prodaj instrument X U t = c X t c Y t > 0 čas T: unovči instrument Y, izplačaj instrument X U T = max{s T, K} min{s T, K} 0 U je arbitražna strategija (a) [5 točk] Model ima možna stanja v času in dva vrednostna papirja, ki ju predstavimo z [ ] 00 54 75 vektorjem cen c = in matriko izplačil M = 00 48 5 0 4 Ker je rang M = manjši od števila možnih stanj, trg ni poln 00 54 Množica dosegljivih pogojnih terjatev je M = L 00, 48 0 4 = L To je ravnina v R, katere enačbo poiščemo s pomočjo normale 9 7 n = 8 = 7 0 7 Enačba ravnine je 7x 7y z = 0 oziroma z = 7(x y) x Dobimo M = y ; x, y R 7(x y) (b) [5 točk] Poiščemo vektor cen stanj ψ, za katerega je M T ψ = c Komponente ψ = (ψ, ψ, ψ ) T dobimo iz sistema 00ψ + 00ψ = 75 54ψ + 48ψ + 4ψ = 5 ψ, ψ, ψ > 0 Izberemo ψ za parameter in izrazimo ψ = 5 7ψ in ψ = 7ψ 7 4 Stroga pozitivnost vseh komponent določi omejitev 4 < ψ < 5 4 za parameter ψ Množica vseh krepko pozitivnih razširitev cenovnih funkcionalov je določena z družino vektorjev cen stanj 5 7ψ Ψ = 7ψ 7 4 ; < ψ 4 < 5 4 ψ 9 0, 9 8 7
(c) [5 točk] 0 Pogojna terjatev A = x je dosegljiva natanko tedaj, ko je 4 = 7(0 x), torej pri 4 [ ] α x = 8 Tedaj je njen izvedbeni portfelj vektor φ =, za katerega je Mφ = A β Iz sistema enačb (ena je linearno odvisna in zato odveč) 00α + 54β = 0 00α + 48β = 8 4β = 4 dobimo rešitvi α = in β = Izvedbeni portelj sestavlja kratka pozicija v 5 5 obveznicah in dolga pozicija v delnice Cena terjatve A je cena izvedbenega portfelja y = 75 + 5 = 5 (d) [5 točk] Terjatev A = 0 6 4 ni dosegljiva funkcionala oziroma vektorje cen stanj 5 0 7ψ Dobimo ˆπ 0 (A) = 6, 7ψ 7 4 4 ψ Za vrednotenje uporabimo razširitve cenovnega = 9 4ψ, kjer je 4 < ψ < 5 4 Brezarbitražne cene sestavljajo interval ( 9 4 5 4, 9 4 4 ) = ( 9, ) 0
Pisni izpit: 4 junij 00 naloga (a) [ točke] Terminsko obrestno mero izračunamo po formuli L(0,, ) = (b) [4 točke] Denarni tokovi obratne obveznice z dospetjem n let: C n + N ( +L(0,) +L(0,) ) = 4% C C C i C i 0 t i t i t n Prejeti kuponi znašajo C i = N(L IF L(t i, t i )) = N L IF N L(t i, t i ) }{{}} {{ } fiksno spremenljivo Z znanimi finančnimi instrumenti jih lahko povežemo na več načinov Kupone C i obratne obveznice lahko predstavimo kot netirane denarne tokove kratke strani v zamenjavi obrestnih mer Pri tem je dogovorjena fiksna obrestna mera zamenjave L SWAP enaka L IF, navidezna glavnica zamenjave enaka nominalni vrednosti obveznice N in trenutki izplačil t i Nominalno vrednost N, ki jo obratna obveznica izplača ob dospetju, predstavimo z dolgo pozicijo v brezkuponski obveznici z enako nominalno vrednostjo in dospetjem (c) [5 točk] C + N C 0 Instrument vrednostimo skladno z ekvivalenco iz naloge (b) Za vrednotenje kuponov uporabimo formulo za vrednotenje kratke pozicije v zamenjavi V SWAP = N n j=(l SWAP L(0, j, j))d(0, j) ter podatke =, N = 000, n = in L SWAP = L IF = % Dobimo V SWAP = 000 [(L IF L(0, 0, ))D(0, ) + (L IF L(0,, ))D(0, )] Upoštevamo še L(0, 0, ) = L(0, ) in dobimo V SWAP = 59 Za vrednotenje izplačila nominalne vrednosti uporabimo formulo za vrednotenje brezkuponske obveznice V ZCB = ND(0, t n ) Dobimo V ZCB = 000D(0, ) = 94967 Vrednost obratne obveznice zato znaša V IF = V SWAP + V ZCB = 9808
(d) [ točke] naloga Prvi kupon je izplačan v trenutku Takrat že poznamo obrestno mero L(, ) ter točno vrednost zadnjega kupona C = N(L IF L(, )) Vrednost obratne obveznice bo tedaj znašala [N + N(L IF L(, ))] D(, ) = N(+L IF L(,)) +L(,) Iz neenačbe N(+L IF L(,)) +L(,) < N dobimo rešitev L(, ) > L IF = % Opomba: V izpitnem besedilu je bilo namesto besede njene zapisano njegove Vse točke ste prejeli tudi, če ste vrednost obratne obveznice primerjali z vrednostjo kupona Označimo današnji dan z 0 Amortizacijska načrta kreditov sta bila: Evrski kredit Devizni kredit G G a a a a a a a a - -05 0 05 let - -05 0 05 let (a) [4 točke] Označimo z G = 80 000 EUR in z G = 80000 58 = 464 CHF glavnici evrskega in deviznega kredita ter z R = 6% in R = 60% pripadajoči nominalni obrestni meri Zaradi polletnega obrestovanja obdobni diskontni faktor pri deviznem kreditu znaša x = ( + R ) = 0 Velja G = a x + a x + a x + a x 4 = a x( + x + x + x ) = a x x4 x, kjer je a iskana anuiteta Dobimo a = G ( x) x( x 4 ) = 6770 CHF (b) [ točki] 6770 Evrska vrednost prve anuitete je bila = 95747 EUR 488 6770 Evrska vrednost druge anuitete je = 4 00786 EUR 6 (c) [6 točk] Podjetnik bo sklenil valutni terminski posel Če uporabimo zvezo EUR = 6 CHF in jo primerjamo z f = S 0 d, lahko uporabimo S 0 = 66 in pri tem za domačo valuto vzamemo švicarski frank, za tujo pa evro Če želimo vlogi valut zamenjati, moramo menjalni tečaj invertirati! Za terminski tečaj K velja K = S 0 D f (0,T) D d (0,T), kjer sta D f (0, T) = +T L f (0,T) in Dd (0, T) = +T L d (0,T) diskontna faktorja pri navadnem obrestovanju Za tretjo anuiteto dobimo K 05 = 66 +05 000067 = 5557 +05 0004 6770 Njena evrska vrednost bo = 4 0580 EUR 5557 Za četrto anuiteto dobimo K = 66 +000498 = 508 +0096 Njena evrska vrednost bo 6770 508 = 4 9845 EUR
(d) [ točke] naloga Pri evrskem kreditu bi vse anuitete znašale a = G ( y) y( y 4 ) = 5994 EUR, kjer smo uporabili polletni diskontni faktor y = ( + R ) = 05 Evrske vrednosti vseh anuitet pri deviznem kreditu so višje od anuitete, ki bi jo plačeval pri evrskem kreditu Devizni kredit se podjetniku ni splačal (a) [5 točk] Izplačila evropske nakupne opcije s kapico dobimo iz izplačil klasične evropske nakupne opcije tako, da zneske, ki presegajo vrednost A, nadomestimo z A X T A 0 K K + A S T Izpeljavo ločimo na intervale S T K = min{a, max{s T K, 0}} = min{a, 0} = 0 K < S T K + A = min{a, max{s T K, 0}} = min{a, S T K} = S T K S T > K + A = min{a, max{s T K, 0}} = min{a, S T K} = A (b) [ točke] Izberemo bančni račun za numerar in iz parametrov binomskega modela S 0 = 00, u =, d = 095, T = ter R = 5% izračunamo do prihodnosti nevtralni prehodni verjetnosti q = +R d u d = in q =, ki veljata v celotnem modelu Končna stanja in pripadajoče verjetnosti so prikazane v tabeli: Stanje Cena delnice Verjetnost Q u S 0 u = q = 8 7 u d S 0 u d = 495 q ( q) = 4 9 ud S 0 ud = 9975 q( q) = 9 d S 0 d = 85757 ( q) = 7 (c) [5 točk] Označimo K = 90 ter A = 0 Za vrednotenje evropske nakupne opcije s kapico so pomembne le končne vrednosti delnice:
Stanje Cena delnice S Izplačilo X Verjetnost Q u min{0, max{ 90, 0}} = 0 8 7 u d 495 min{0, max{495 90, 0}} = 495 4 9 ud 9975 min{0, max{9975 90, 0}} = 975 9 d 85757 min{0, max{85757 90, 0}} = 0 7 Numerar je v času vreden 05, v času 0 pa, zato na osnovi do prihodnosti nevtralne verjetnosti dobimo c X = EQ( X ) = (0 8 + 495 4 + 975 ) = 908 05 05 7 9 9 (d) [7 točk] 0; S T K Izplačila instrumenta X znašajo X T = S T K; K < S T K + A A; S T > K + A Zaradi predpostavke S 0 d T < K < K + A < S 0 u T lahko sklepamo o razporeditvi izplačil po končnih stanjih binomskega drevesa s T obdobji in parametri u, d in R Upoštevamo še q = +R d u d S T X T Q S 0 u T A q T S 0 u n d T n A ( T n) q n ( q) T n S 0 u n d T n+ S 0 u n d T n+ K ( T ) n q n ( q) T n+ S 0 u j d T j S 0 u m d T m S 0 u j d T j K S 0 u m d T m K S 0 u m d T m+ 0 ( T j) q j ( q) T j ( T m) q m ( q) T m ( T ) m q m ( q) T m+ S 0 d T 0 ( q) T Pri tem je m najmanjše število skokov gor, ki jih potrebujemo, da se končna cena delnice preseže vrednost K, ter n najmanjše število skokov gor, ki jih potrebujemo, da delnica preseže vrednost K + A Iščemo torej najmanjši naravni m, za katerega je S 0 u m d T m > K Neenačbo preoblikujemo v S 0 d T ( u d )m > K, iz katere dobimo ( u d )m > Logaritmiranje ohranja neenakosti, zato je m log u d > log K S 0 d T Ker je u > d, je log u d Definiramo m = K S 0 d T > 0 Iščemo torej najmanjši m, za katerega je m > log K S 0 d T log K S 0 d T log u d + Podobno izpeljemo n = log K+A S 0 d T log u + d 4 log u d
Zaradi zveznosti funkcije izplačil je možno m in n definirati tudi s funkcijo Z uporabo do prihodnosti nevtralne verjetnosti dobimo rezultat ( c X = (+R) T EQ (X T ) = n (+R) j=m(s T 0 u j d T j K) ( T) j q j ( q) T j + A T j=n ( T ) j q j ( q) T j) 5
Pisni izpit: avgust 00 naloga (a) [4 točke] Za podatke S 0 = 50, T =, u =, d = 095 in R = 4% narišemo drevo dogodkov B : 04 04 04 6655 605 55 57475 S : 50 55 475 49675 455 486875 Ker računamo do prihodnosti nevtralno verjetnost, za numerar izberemo bančni račun Do prihodnosti nevtralni prehodni verjetnosti se s časom ne spreminjata in znašata q = +R d u d = 5 ter q = 5 (b) [7 točk] Instrument vrednotimo z vzvratno indukcijo Pri vsakem vozlišču drevesa primerjamo izplačilo ob takojšnji izvršitvi opcije ter vrednost instrumenta, če se odločimo za čakanje Podčrtane so vrednosti opcije v posameznih vozliščih t = : (uuu) izvršitev: {Suuu >50} = = izvršimo (uud) izvršitev: {Suud >50} = = izvršimo (udd) izvršitev: {Sudd >50} = 0 = 0 (ddd) izvršitev: {Sddd >50} = 0 = 0 t = : (uu) izvršitev: {Suu >50} = = čakanje: 04 = 9 izvršimo (ud) izvršitev: {Sud >50} = = čakanje: 04 5 = 58 izvršimo (dd) izvršitev: {Sdd >50} = 0 = 0 čakanje: 0 čakamo t = : (u) izvršitev: {Su >50} = = čakanje: 04 = 9 izvršimo (d) izvršitev: {Sd >50} = 0 = 0 čakanje: 04 5 = 58 čakamo 6
t = 0: (Ω) izvršitev: {S0 >50} = 0 = 0 čakanje: ( + 58 ) = 58 čakamo 04 5 5 Začetna cena ameriške digitalne opcije mora biti 58 (c) [4 točke] Če na binomskem drevesu pogledamo stanja, v katerih se opcijo res splača izvršiti (torej ne primerjamo dveh ničelnih zneskov), dobimo naslednjo optimalno strategijo: opcijo izvrši takoj, ko cena delnice preseže 50 S : 50 6655 605 55 57475 55 475 49675 455 486875 naloga Če je cena delnice pod 50, opcija ne ponuja izplačil in se je ne splača izvršiti Če je cena nad 50, opcija ponuja izplačilo Tega izplačila nikoli ne preseže, zato ga vzamemo ob prvem trenutku, ko je to možno (sedanja vrednost enakih zneskov pada z oddaljevanjem trenutka izplačila!) (a) [ točke] Podatki: N = 00 EUR, T = 5 let, znesek posameznega kupona C = 005 N = 5 EUR Ceno obveznice določimo z diskontiranjem prihodnjih denarnih tokov C + N C C 0 5 P = C D(0, ) + C D(0, ) + (C + N) D(0, 5 ) = = 5 e 0005 + 5 e 009 + 05 e 5 00 = = 0707 EUR (b) [4 točke] Izročitveno ceno izračunamo po formuli K = [ P I(0, )] A(0, ), pri čemer je I(0, ) sedanja vrednost izplačil osnovnega instrumenta (kuponov obveznice) v času življenja terminskega posla in A(0, ) obrestni faktor za ustrezno časovno obdobje Računamo I(0, ) = C D(0, ) + C D(0, ) = 98470 EUR in dobimo K = [0707 98470] e 009 = 99979 EUR 7
(c) [5 točk] V trenutku cena obveznice znaša P = C D(, ) + (C + N) D(, 5 ) = 044 EUR Sedanja vrednost izplačil obveznice pred ročnostjo posla znaša I(, ) = C D(, ) = 4995 EUR Če bi posle sklenili v trenutku, bi v njem zapisali izročitveno ceno K = [ P I(, )] A(, ) = 008 EUR, ki je višja od K Vrednost starega posla za imetnika dolge pozicije je zato pozitivna in znaša V (d) [ točke] naloga = (K K)D(, ) = 0847 EUR Za imetnika kratke pozicije bo vrednost posla ob ročnosti pozitivna, če bo takrat cena obveznice na trgu nižja od dogovorjenih K = 99979 EUR Veljati mora (C + N)D(, 5 ) < K Upoštevamo D(, 5 ) = e Y(, 5 ) in dobimo Y(, 5 ) > log Moč obresti Y(5, 5) mora biti višja od 49% (a) [4 točke] K = 0049 C+N Za parametre modela u = 5, d = u = 08 in R = 0% velja d < + R < u, zato je trg brez arbitraže Za izračun do tveganja nevtralne verjetnosti (tudi do prihodnosti nevtralne verjetnosti) izberemo bančni račun za numerar in računamo q = +R d u d = in q = (b) [4 točke] Vpeljimo [ ] standardne oznake iz [ enoobdobnega ] modela Podana sta vektor cen c = 5 in matrika izplačil M = Vrednotiti želimo pogojno terjatev X = 00 80 [ ] 7 Diskontiramo ( X = 0 X) in uporabimo verjetnost Q: c X = EQ( X) = 7 = 80 = 66 (c) [5 točk] Cena na trgu je prenizka Arbitražo skonstuiramo tako, da opcijo kupimo na trgu (plačamo 60 80 ) ter hkrati na istem trgu prodamo njen izvedbeni portfelj (zaslužimo ) Opisana strategijo ponuja izplačilo 0 v trenutku 0 in ničelna izplačila v času in je arbitražna [ ] α Izračunamo še izvedbeni portfelj φ = β Veljati mora Mφ = X, kar je linearni sistem enačb za α in β α + 5β = 7 α + 80β = 0 8
Rešitev je φ = [ 480 5 ] Arbitražna strategija sestoji iz nakupa opcije, prodaje 5 bančni račun (d) [7 točk] delnice in pologa 480 enot na Znana podatka modela sta R = 0% ter d = u Od tod izračunamo q = +R d u d = u u u Da bo trg brez arbitraže, mora veljati u > + R = Možni ceni delnice v trenutku znašata S : 00 00u > 0 00 u < 909 zato vemo, da se opcijo z izvršilno ceno 98 splača izvršiti le v zgornjem stanju [ ] 00u Z novim modelom določena cena opcije z izplačili X = 98 tako znaša 0 c X = EQ (X ) = (00u 98) u u u, kar mora biti enako 60 Rešujemo enačbo (00u 98) u u u = 60 Najprej jo pomnožimo z izrazom 0( u u ) > 0, in nato še z u > 0 : (00u 98) ( 0 u ) = 6 ( u u ), (00u 98) ( 0 u ) = 6(u ) Še uredimo člene in dobimo kvadratno enačbo za u 94u 09 5 u + 4 = 0 z rešitvama u = 6 in 5 u = 95 < Smiselna rešitev je 94 u, saj u omogoča arbitražo Pravilno umerjen model ima torej parametre u = 6, 5 d = 5 in od tod še 6 q = 8 9
Pisni izpit: september 00 naloga (a) [4 točke] Za osnovno premoženje vzamemo tono krušne pšenice s trenutno ceno S 0 = 55 EUR Za skladiščenje pšenice se v trenutkih T = 05 in T = plača 5 EUR Izročitveno ceno določimo po formuli K = (S 0 + I(0, T )) A(0, T ), kjer je I(0, T ) sedanja vrednost skladiščnin Računamo I(0, T ) = 5 D(0, T ) + 5 D(0, T ) = 5(e 0005 + e 005 ) = 997 EUR in dobimo K = (55 + 997) e 005 = 66986 EUR za tono krušne pšenice (b) [5 točk] Če bi posel enake ročnosti sklenili v trenutku 05 po plačilu skladiščnine, bi v njem za tono pšenice zapisali izročitveno ceno K = (S + I(, )) A(, ) S poenostavljanjem dobimo K = (58 + 5D(, )) A(, ) = 58A(, ) + 5 = 58e 00 + 5 = 687 EUR, kar je manj v primerjavi z že sklenjenim poslom Vrednost svetovalčevega posla je zato negativna in znaša V (c) [6 točk] naloga = 6 (K K)D(, ) = 6 ( 09756) = 469 EUR Če bi imel novi posel z ročnostjo ob času 5 ob sklenitvi vrednost 0, bi imel zapisno izročitveno ceno K = (S + I(, )) A(, ) Zopet računamo I(, ) = 5D(, ) + 5D(, ) = 99055 EUR, K = (58 + 99055)e 005 = 7088 EUR Zanima nas, pri kolikšnem K bi imel posel (računamo za tono) ob sklenitvi v času 05 vrednost 09756 EUR Rešujemo (K K )D(, ) = 09756 in dobimo K = 77 EUR na tono pšenice (a) [ točke] Izplačilo klasične evropske nakupne opcije na območju, kjer se opcijo splača izvršiti, zmanjšamo za premijo A, drugod pa pustimo nespremenjenega X T A 0 K S T 0
(b) [ točke] Za podatke S 0 = 0, T =, u =, d = 08 in R = 5% narišemo drevo dogodkov B : 05 05 05 456 85 4 04 S : 0 9 6 56 8 04 Ker računamo do prihodnosti nevtralno verjetnost, za numerar izberemo bančni račun Do prihodnosti nevtralni prehodni verjetnosti se s časom ne spreminjata in znašata q = +R d u d = 5 8 ter q = 8 Do prihodnosti nevtralne verjetnosti posameznih stanj dobimo z množenjem in seštevanjem vseh prehodnih verjetnosti, ki nas pripeljejo do izbranega stanja ( 5 8 ) ( 5 8 ) Q : 5 ( 5 8 8 ) 8 8 5 8 8 5 8 ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) (c) [4 točke] Evropska nakupna opcija z izvršilno ceno K = ponuja izplačila le ob zapadlosti: Stanje Cena delnice S Verjetnost Q Izplačilo X T = max{s K, 0} u 456 ( 5 8 ) 56 u d 04 ( 5 8 ) 8 04 ud 56 5 8 ( 8 ) 0 d 04 ( 8 ) 0 Njeno premijo določimo z diskontiranjem pričakovanega izplačila glede na do prihodnosti nevtralno verjetnost c X = 05 ( 56 ( 5 8 ) + 04 ( 5 8 ) 8) = 047
(d) [5 točk] Kjer je izplačilo klasične evropske nakupne opcije pozitivno, moramo odšteti premijo A Drugod izplačil ni Stanje Cena delnice S Verjetnost Q Y T = max{s K, 0} A {S >K} u 456 ( 5 8 ) 56 A u d 04 ( 5 8 ) 8 04 A ud 56 5 8 ( 8 ) 0 d 04 ( 8 ) 0 naloga Ker ob sklenitvi ni denarnih tokov, moramo z diskontiranjem pričakovanih izplačil dobiti vrednost 0 To na da enačbo z rešitvijo A = 554 (a) [4 točke] ( 05 (56 A) ( 5 8 ) + (04 A) ( 5 8 ) 8) = 0 Podatki: M = 00 EUR, T = leta, znesek posameznega kupona C = 00 M = EUR Ceno ene obveznice določimo z diskontiranjem prihodnjih denarnih tokov C + M C C 0 Dobimo C D(0, ) + C D(0, ) + (C + M) D(0, ) = kar znese 994009 EUR Investitor je za 000 obveznic plačal 99 4009 EUR (b) [6 točk] C + +L(0,) C + + L(0,) C+M, + L(0,) Lahko primerjamo s klasično zamenjavo Če bi pri dani časovni strukturi obrestnih mer finančna institucija plačevala kupone po spremenljivi obrestni meri L(j, j), bi moral investitor plačevati kupone po fikni obrestni meri L SWAP, izračunani po formuli L SWAP = D(0,) j= D(0,j) = % Ker investitor plačuje le % kupone, torej 0% manj, mora tudi finančna institucija ustrezno zmanjšati svoje kupone Torej je δ = 0%
(c) [6 točk] V trenutku želimo izračunati vrednost zamenjave s fiksno obrestno mero L = % za imetnika dolge pozicije Glede na dinamiko denarnih tokov računamo V SWAP = N j=(l(, j, j) + δ L) D(, j) Terminski obrestni meri sta L(,, ) = L(, ) in L(,, ) = + L(,) +L(,) = 6% Dobimo V SWAP = 65 EUR (d) [4 točk] Vrednost zamenjave iz točke (c) predstavlja vrednost neto razlike med prejemanjem spremenljivih in plačevanjem fiksnih kuponov Za določanje vrednosti portfelja moramo zato vrednosti zamenjave prišteti še vrednost obveznice: njenih fiksnih kuponov in glavnice Ena obveznica je vredna C D(, ) + (C + N) D(, ) = 964488 EUR Vrednost investitorjevega portfelja znaša 000 964488 + 65 = 99 6064 EUR