1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega toka iz kocke in porazdelitev toka po površini? 2. Enakomerno segreto polkroglo vržemo v hladno vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v polkrogli? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega toka iz polkrogle in porazdelitev toka po površini? 3. Z variacijsko metodo ugotovi lastne frekvence osnovnega in nekaj vzbujenih lastnih nihanj opne, vpete na okvir v obliki enakostraničnega romba. Koliko se frekvence ločijo od lastnih frekvenc kvadratne opne? 4. Enakomerno segret tetraeder vržemo v hladnejšo vodo. Z variacijsko metodo določi karakteristični čas ohlajanja tetraedra po dolgem času. Primerjaj ga s ustreznim časom za kroglo z enakim volumnom! 5. Z variacijsko metodo ugotovi lastne frekvence osnovnega lastnega nihanja vpete eliptične opne. Koliko se frekvenca loči od okrogle opne iste površine? 6. Kroglo, napolnjeno z viskozno tekočino, vrtimo enakomerno okoli simetrijske osi. Kako se ustavlja tekočina znotraj krogle po hipni ustavitvi vrtenja? Izračunaj časovno odvisnost navora v osi! 7. Obravnavaj enodimenzionalno gibanje kvantnega delca v periodičnem potencialu, ki ga predstavlja zaporedje delta funkcij. Za račun Greenove funkcije uporabi metodo razvoja po lastnih funkcijah! 8. Kvantni delec z določeno energijo je v enakomernem potencialu. Potencial se hipoma spremeni v sinusno moduliranega (primer ustreza eksperimentom z optičnimi mrežami hladnih atomov). Kako se spreminja s časom spreminja elektronska gostota po vključitvi potenciala. Uporabi metodo
2 razvoja po lastnih funkcijah! 9. Razsežna vertikalna plošča miruje v viskozni tekočini med dvema enako oddaljenima stenama posode. Plošča začne padati s stalno hitrostjo. Kakšen je časovni potek hitrostnega profila v tekočini okoli plošče? Določi časovni potek sile, ki deluje na ploščo! Kako je ta odvisna od velikosti posode? 10. Ravno zvočno valovanje pada na dolgo ravno žico. Izračunaj diferencialni in totalni sipalni presek. Kako je ta odvisen od valovne dolžine zvoka! 11. Izračunaj diferencialni in totalni presek za sipanje kvantnega delca na krogelni potencialni jami končne globine. S pomočjo metode Greenovih funkcij razstavi sipalne prispevke na različne rede sipanja! 12. Obravnavaj sipanje kvantnega delca na kroglastem zelo odbojnem potencialu (trda sredica). Izračunaj diferencialni in totalni presek za različne valovne dolžine valovanja! Kakšno je obnašanje za kratke valovne dolžine (klasična limita)? 13. Določi lastna nihanja tankega elastičnega obroča! 14. Tanek elastični obroč začnemo točkovno potiskati s stalno silo. Kakšen je časovni potek deformacije obroča in kakšno je gibanje njegovega težišča? 15. Električna žica končnega radija je položena v toplotno slabo prevodno snov. Po žici spustimo stalen električni tok, ki segreva žico in snov. Kako se s časom spreminja temperatura? Kako lahko odtod določimo toplotno prevodnost snovi? 16. Točkast naboj se nahaja v ozemljeni prevodni kovinski kockasti škatli. Lega naboja je izven centra v smeri središča stranice. Izračunaj krajevno odvisnost potenciala (Greenovo funkcijo) in porazdelitev induciranega naboja na površini škatle. Potencial računaj kot vsoto singularnega in regularnega dela. Kakšna je sila na naboj? Poskusi tudi z metodo zrcaljenja.
3 17. Dolga nabita ravna žica se nahaja v ozemljeni prevodni cevi s kvadratnim presekom. Lega žice je izven centra cevi v smeri diagonale cevi. Izračunaj krajevno odvisnost potenciala (Greenovo funkcijo) in porazdelitev induciranega naboja na površini cevi. Potencial računaj kot vsoto singularnega in regularnega dela. Kolikšna je sila na žico? Poskusi tudi z metodo zrcaljenja. 18. V kvadratno opno je vpeta struna. Kako so lastna nihanja opne odvisna od napetosti strune? 19. Dva kvantna delca sta v neskončni potencialni jami. Med njima je privlačna harmonična sila. Z variacijsko metodo ugotovi, kako sta osnovno in prvo vzbujeno stanje odvisni od parametrov modela. 20. Elektron se nahaja v privlačnem potencialu dveh enakih točkastih pozitivnih nabojev (model iona molekule H 2 + ). Z variacijsko metodo poišči osnovno in prvo vzbujeno lastno stanje elektrona za različne razdalje med ionoma. 21. Sferičen balon, napolnjen s plinom se giblje s konstantno hitrostjo. Gibanje hipoma ustavimo. Kako zaniha plin v krogli po ustavitvi? Kako se s časom spreminja tlak v sredini balona? 22. Dva, zaradi lastnega vrtenja sploščena planeta, se gibljeta pod vplivom medsebojne privlačne gravitacijske sile. Kakšen je njuna potencialna energija? Obravnavaj njuno gibanje v približku kvadrupolnega gravitacijsega potenciala. Koliko odstopa njuno gibanje od krožnice? 23. Cev končne debeline iz toplotno prevodnega materiala je na zunanji strani delno obložena s toplotno izolacijo (izolacija ne obsega cel obod) in položena v hladnejšo tekočino stalne temperature. Po cevi teče vroča tekočina. Izračunaj porazdelitev temperature v cevi. Kako je toplotni tok iz cevi odvisen od kota izolacije? 24. V homogeni polkrogli so enakomerno razporejeni radioaktivni izvori,
ki segrevajo telo, ki je na konstantni zunanji temperaturi. Kakšna je porazdelitev temperature v polkrogli v stacionarnem stanju? Kje je najvišja temperatura? Kakšna je časovna odvisnost segrevanja po začetku radioaktivnih razpadov? 4 25. Izračunaj potencial dolge enakomerno nabite žice s kvadratnim presekom. Uporabi multipolni razvoj. Kakšne so vezane orbite nabitega točkastega delca okoli žice? Koliko odstopajo od kroga? 26. Kocka je sestavljena iz osmih enakomeno nabitih kock dveh različnih gostot naboja. Različni deli si sledijo izmenoma. Izračunaj multipolne popravke potenciala. Kako odstopa orbita točkastega naboja od krožnice? 27. Glavna sloja Zemlje sta tekoča sredica in trden plašč (upoštevaj ga kot homogeno izotropno sredstvo). Izračunaj lastne frekvence radialnih nihanj Zemlje. Kdaj velja žarkovni približek geometrijske optike? 28. Votlo kroglo (podana sta zunanji in notranji radij) prerežemo na polovico ter dobljeno (izdolbeno) polkroglo postavimo v stik s toplotnim rezervoarjem na stalni temperaturi. Krogla se hipoma začne segrevati zaradi toplotnih izvirov s konstantno gostoto. Izračunaj, kako se spreminja s časom temperaturna porazdelitev v polkrogli. 29. Votlo kroglo (podana sta zunanji in notranji radij) prerežemo na polovico ter dobljeno (izdolbeno) polkroglo postavimo v stik s toplotnim rezervoarjem na stalni temperaturi. Krogla se hipoma začne segrevati zaradi toplotnih izvirov, ki so homogeno razporejeni v radialni plasti dane debeline. Izračunaj, kako se spreminja s časom temperaturna porazdelitev v polkrogli. 30. Poišči stacionarno temperaturno porazdelitev v krogelni lupini, če sta notranja in zunanja površina na različnih stalnih temperaturah, toplotna prevodnost pa je odvisna od kota, npr. sinusno.
Peter Prelovšek, 22. 1. 2014 5