Inducirana_napetost(11)
|
|
- Silva Tratnik
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Inducirana napetost Equatio n Section 11 Vsebina poglavja: Inducirana napetost izražena s časovno spremembo magnetnega pretoka (sklepa) skozi zanko (tuljavo), inducirana napetost izražena z lastno ali medsebojno induktivnostjo, padec napetosti na tuljavi, realna tuljava, induktivna upornost pri izmeničnih signalih, dogovor zapisa o podpiranju fluksov med dvema tuljavama, faktor sklopa, gibalna in rezalna inducirana napetost, 2. Maxwellova enačba. V tem poglavju bomo nadgradili spoznanja o magnetnih pojavih v stacionarnih razmerah (pri konstantnem toku) z analizo razmer pri časovno spremenljivih signalih. Ugotovili bomo, da pri časovno spremenljivih signalih pride do pojavov, ki jih v enosmernih razmerah nismo opazili. Najpomembnejša ugotovitev bo, da pri časovni spremembi fluksa skozi tuljavo na priključkih tuljave zaznamo (izmerimo) napetost, ki jo bomo poimenovali inducirana napetost. Michael Faraday ( ): en največjih znanstvenikov in izumiteljev: elektromagnetna indukcija, dinamo, elektroliza, odkril vrsto kemijskih substanc, vpeljal pojme anoda, katoda, elektroda, ion, Faraday Časovno spreminjajoči fluks v tuljavi povzroči inducirano napetost. Michael Faraday je prvi ugotovil, da tedaj dobimo napetost na sponkah tuljave, ki je enaka časovni spremembi fluksa skozi tuljavo pomnoženim s številom ovojev tuljave, matematično torej dφ N. d t Predavanja Faradaya so bila izredno priljubjena tudi med širšo množico. Napetosti, ki se ob spremembi časovni fluksa skozi tuljavo pojavi na priključnih sponkah imenujemo inducirana napetost. Je takega predznaka, da bi po sklenjeni zanki (kratko sklenjeni tuljavi) pognala tok, katerega fluks bi nasprotoval prvotnemu fluksu skozi zanko. Temu»pravilu«rečemo tudi Lentzovo pravilo, ki ga matematično upoštevamo s predznakom minus: dφ ui = N. (11.1) d t
2 V primeru, da ne gre skozi vseh N ovojev celoten fluks, je potrebno upoštevati že obravnavan pojem magnetnega sklepa, kjer za eno zanko z N 1, N 2... ovoji in pripadajočimi fluksi skozi ovoje velja Ψ = ± NiΦ ι, (11.2) i ali v primeru, da gre celoten fluks skozi N ovojev zanke Ψ = NΦ. Z upoštevanjem koncepta magnetnega sklepa je inducirana napetost enaka u i dψ =. (11.3) dt SLIKA: Eksperimenti z inducirano napetostjo: a) premikanje trajnega magneta v tuljavi, b) premikanje tuljave pri mirujočem magnetu, c) s spreminjanjem fluksa skozi tuljavo ustvarimo inducirano napetost, ki požene tok skozi žarnico. SLIKA: Zanka znotraj katere fluks s časom narašča v določeni smeri. V vodniku, ki objema fluks inducira tako električno polje, ki bi v primeru sklenjenega vodnika v njem povzročilo (induciran) tok, ki bi s svojim fluksom nasprotoval osnovnemu. Inducirana napetost v zanki pri znani spremembi magnetnega pretoka skozi zanko. Oglejmo si primer, ko se v tuljavi časovno spreminja gostota magnetnega pretoka zaradi zunanje spremembe polja.
3 Primer: Tuljavica z N=100 ovoji površine A = 2 cm 2 je postavljena pravokotno na smer polja, ki se spreminja harmonično po enačbi napetost na sponkah tuljave. B t = B t, kjer je B o = 50 mt. Določimo inducirano 3-1 ( ) o sin(10 s ) Izračun: Gre za krajevno homogeno polje, zato je fluks skozi tuljavico enak kar ( t) B( t) A Bo Asin(10 s t) 10sin(10 s t)µvs Φ = = =. Inducirana napetost je Φ ( t) d ui = Ν = ( t ) == t = t dt dt sin(10 s )µvs cos(10 s )µv 1cos(10 s ) V SLIKA: Tuljavica v homogenem časovno spreminjajočem se polju. Ugotovili smo, da se v tuljavi inducira napetost, če se znotraj tuljave časovno spreminja magnetno polje. V izračunanem primeru je bil fluks skozi ovoje tuljave posledica spreminjanja magnetnega polja, ki ni bil posledica toka skozi ovoje tuljave. Ali se na sponkah tuljave pojavi napetost tudi v primeru, da je povzročitelj spremembe fluksa v tuljavi lasten tok v tuljavi? Odgovor je pozitiven. Inducirana napetosti na tuljavi pri znanem toku skozi ovoje tuljave in padec napetosti na tuljavi. Pri računanju fluksa skozi tuljavo smo ugotavljali, da je le ta odvisen od toka v ovojih tuljave. V primeru, da ni posredi feromagnetnih materialov, velja linearna zveza med magnetnim sklepom in tokom skozi tuljavo Ψ = ΝΦ = LI, od koder je lastni induktivnost tuljave Ψ NΦ L = =. I I Ta povzroči na sponkah tuljave inducirano napetost d( Li) dψ di ui = = = L. dt dt dt Pri tem pa je potrebno opozoriti na pravilno razumevanje predznaka inducirane napetosti. Ta predznak je uveden zato, da se pravilno interpretira učinek spreminjanja fluksa pri nastanku
4 inducirane napetosti, ki je tak, da se v zanki generira taka notranja (generatorska) napetost, ki z lastnim induciranim tokom nasprotuje spremembam fluksa v zanki. V konkretnem primeru pa gledamo na tuljavo s stališča bremena, saj tok skozi tuljavo povzroča na njej padec napetosti. Gledano na tuljavo s stališča bremena (ki ga v smislu koncentriranega elementa shematično predstavimo z nekaj narisanimi ovoji), je padec (bremenske) napetosti ravno nasproten (generatorski) inducirani napetosti di ul = uil = L. (11.4) d t V prvem primeru opazujemo pojav inducirane napetosti z vidika vira napetosti,v drugem pa z vidika bremena. SLIKA: Tuljava z induktivnostjo kot koncentriran element. Smer padca (zunanje) napetosti je nasprotna smeri inducirane (notranje) napetosti in je v smeri vzbujalnega toka. Inducirana napetost na tuljavi pri vzbujanju tuljave s harmoničnim (sinusnim) tokom. Poglejmo si razmere na konkretnem primeru. Primer: Tok skozi tuljavo z induktivnostjo L = 2 mh se spreminja harmonično, z amplitudo I 0 = 0,5 A in periodo T = 5 ms. Določimo padec napetosti na tuljavi. Izračun: Najprej moramo tokovni signal zapisati v matematični obliki. Zagotoviti moramo i( t) = 0,5sin ωt A = I sin( ωt), kjer ponovitev signala na vsakih 5 ms, zato tok zapišemo v obliki * ( ) 0 je frekvenca signala enaka f 1 1 T 5 ms = = = s = 200 Hz, kotna frekvenca ω pa je ω = 2πf = 2π200 Hz 3-1 1, s. Odvajamo tok: I0ω cos( ωt) di = in ga pomnožimo z dt * Za osnovo bi lahko vzeli tudi kosinusni tokovni signal.
5 induktivnostjo in dobimo di u L LI t t dt 3-1 L = = 0ω cos( ω ) 1, 26 cos(1, s )V. Rezultat lahko π zapišemo tudi kot 1, 26sin ωt + V. 2 Iz rezultata ugotovimo, da se napetost na tuljavi spreminja z enako frekvenco kot tok, vendar je napetostni signal časovno zamaknjen glede na tokovnega za kot 90 0 : cos( ωt) π = sin ωt + 2. Če oba signala narišemo v časovnem diagramu, ugotovimo, da doseže napetostni signal maksimalno amplitudo za četrtino periode pred tokovnim signalom. To običajno opišemo kot prehitevanje napetosti na tuljavi za tokom za kot π / 2. Enakovredno lahko rečemo tudi, da tok na tuljavi zaostaja za napetostjo za kot π / 2. Kako si razložimo ta zamik? Če si zamislimo harmonično spreminjajoč se tok skozi tuljavo, ugotovimo, da bo časovna sprememba toka največja tedaj, ko tok zamenja predznak, tedaj pa bo tudi padec napetosti na tuljavi zaradi največje spremembe fluksa največji. Ko bo tok okoli ničle, bo napetost maksimalna, kar opišemo s sinusnim potekom toka in s kosinusnim potekom napetosti tok (A) napetost (V) tok (A) napetost (V) tok, napetost tok, napetost Cas /s ω t /rd π SLIKA: Napetost na tuljavi (črtkano) prehiteva tok (pikčasto) za četrtino periode signala 2. Slika na levi ima na abscisi čas t, na desni pa kot ω t. Perioda je pri ω t = 2π 6,28. Prikaz na desni omogoča neposredno odčitavanje faznega kota med tokom in napetostjo.
6 Kako se spreminja amplituda napetosti glede na frekvenco signala? Ugotovimo, da bo amplituda večja pri višji frekvenci in sicer se linearno veča s frekvenco signala: u = U cos( ωt), kjer je U m = LI ω. To je tudi razumljivo, saj zaradi časovno hitrejšega spreminjanja toka zvečuje tudi o največja sprememba toka in s tem napetost. L m Realna tuljava ohmska in induktivna upornost. Nobena tuljava ni idealna (razen, če jo ohladimo blizu absolutne ničle, ko pade ohmska upornost ovojev na nič), pač pa ima tudi neko ohmsko upornost *. Ta je v osnovi odvisna od specifične prevodnosti materiala (pri navitjih običajno kar baker), preseka in dolžine: l R =. V realni tuljavi γ A tako lahko ločimo dva padca napetosti: zaradi padca napetosti na ohmski upornosti (Ohmov zakon) in padca napetosti na t.i. induktivni upornosti. Matematično bi za napetost na tuljavi zapisali di = + = +. (11.5) u ur ul ir L dt Slika: Padec napetosti na realni tuljavi kot vsota dveh padcev napetosti: na ohmski in induktivni upornosti. Primer: Vzemimo, da upoštevamo poleg induktivnosti tuljave iz drugega primera (Tok skozi tuljavo z induktivnostjo L = 2 mh se spreminja harmonično, z amplitudo I 0 = 0,5 A in periodo T = 5 ms.) še njeno upornost, ki naj bo 1 Ω. Kolikšna bo sedaj napetost na tuljavi? * Če pa smo še bolj natančni, moramo upoštevati tudi kapacitivno komponento, ki postane pomembna predvsem pri višjih napetostih. V resnici dveh padcev napetosti na tuljavi ne moremo»fizično«ločiti, saj nastopata hkrati in na zunanjih sponkah opazujemo skupen učinek. Lahko pa ju ločeno obravnavamo v matematičnem smislu.
7 Slika: Tuljava z upornostjo oz. tuljava in upor. Izračun: V skladu z enačbo (11.5) bo napetost na tuljavi enaka d u = RI0 sin( ωt) + L ( I0 sin( ωt) ) = RI0 sin( ωt) + LI0ω cos( ωt). dt Amplituda padca napetosti zaradi induktivnosti bo 1,26 V (kot smo že izračunali), zaradi ohmske upornosti pa 0,5 A 1Ω = 0,5 V. Ali bo skupna napetost 1,26 V + 0,5 V? Ne. Napetost na tuljavi je vsota dveh napetosti, ki pa sta časovno zamaknjeni za četrtino periode signala. Zato amplitude ne moremo preprosto sešteti. Lahko pa ugotovimo, da je dobljeni napetosti signal zopet sinusne oblike in da je amplituda in faza signala v skladu z matematično zvezo 2 2 a sin( ωt) + bcos( ωt) = a + b sin( ωt + ϕ) = Asin( ωt + ϕ). A je amplituda signala in je v konkretnem primeru enaka A = I R + ωl =, ϕ pa je fazni kot in označuje prehitevanje ( ) 1,36 V ali zaostajanje signala za prvotnim signalom. Določimo ga kot b o ϕ = arctan = 68,36. V našem a primeru bo rezultat u t ( ) 1,36 sin(1,26 10 s t 68,36 ) V +. Predznak plus predstavlja prehitevanje napetostnega signala pred tokovnim, ki pa v primeru realne tuljave ni 90 0, pač pa nek manjši kot, pač v skladu z velikostjo padcev napetosti na idealni tuljavi in na ohmski upornosti tuljave. SLIKA: Tokovno vzbujanje (modra pikčasta črta). Napetost na induktivnosti tuljave (črtkano, zelena), napetost na ohmski upornosti tuljave (pikčasto, po obliki in vrednosti enako tokovnemu
8 signalu) in skupna napetost na tuljavi (polna rdeča črta). Napetost na realni tuljavi prehiteva tok tuljave za kot < ϕ < 0. Kazalci. Pogosto si pri izračunu zvez med tokom in napetostjo olajšamo delo z grafičnim prikazom le teh s t.i. kazalci. Vsak kazalec predstavlja eno od veličin, ki se vrti okoli izhodišča glede na kotno hitrost, pri čemer upoštevamo še fazo signala. Zveza med tokom in napetostjo na ohmski upornosti tuljave je preprosta, saj se»vrtita«skladno, v isti legi. Rečemo tudi, da sta tok in napetost v fazi. Kazalec napetosti idealne tuljave pa je premaknjen glede na tokovnega za kot Skupen padec napetosti bo vsota obeh kazalcev, ki ju grafično seštejemo. Dobimo amplitudo napetosti kot vsoto kvadratov in določimo še zamik med kazalcema napetosti in toka fazni kot. Tangens tega kota je enak razmerju velikosti kazalcev ali pa kar razmerju induktivne in ohmske upornosti. * SLIKA: Prikaz kazalčnega diagrama toka in napetosti na idealni in realni tuljavi. Induktivna upornost - reaktanca. Kot smo ugotovili, je amplituda padca napetosti na tuljavi pri vzbujanju s harmoničnim signalom sorazmerna produktu amplitude toka in produkta ωl. Slednji predstavlja upornost tuljave pri izmeničnih signalih in jo imenujemo induktivna upornost ali reaktanca in uporabimo simbol X L linearno veča z večanjem frekvence vzbujalnega signala. = ωl. Ponovno lahko ugotovimo, da se induktivna upornost SLIKA: Večanje induktivne upornosti reaktance s frekvenco vzbujanja. * Tak način obravnave je bil običajen v srednješolskem izobraževanju. V nadaljevanju bomo spoznali, da je mnogo bolj učinkovit, pa tudi korekten, zapis kazalcev v t.i. kompleksni ravnini.
9 Inducirana napetost v tuljavi zaradi spremembe fluksa v drugi tuljavi. Primer: Tuljava dolžine 15 cm premera 3,2 cm ima 30 ovojev na centimeter. V njeno sredino postavimo manjšo tuljavo dolžine 2 cm premera 2,1 cm s 60 ovoji. Tok v večji tuljavi se od časa t = 0 s linearno manjša od 1,5 A in doseže -0,5 A v času 25 ms. Nato ostane konstanten. Kolikšna je inducirana napetost v manjši tuljavi? Predpostavimo homogeno polje v večji tuljavi, ki ga izračunamo z aproksimativno formulo. SLIKA: Sprememba toka v večji tuljavi povzroča inducirano napetost v manjši tuljavi. Inducirana napetost je odvisna od hitrosti spreminjanja toka v večji tuljavi oziroma od spreminjanja hitrosti magnetnega pretoka skozi manjšo tuljavo. Izračun: Inducirano napetost bomo dobili z uporabo enačbe (11.1), torej moramo izračunati fluks, ki gre skozi manjšo tuljavico v času spremembe toka v večji. Izračun razdelimo na dve fazi. V prvi se tok linearno manjša, v drugi pa ostane konstanten. Označimo z indeksom 1 večjo tuljavo, z 2 pa manjšo tuljavo. Ker gre za linearne spremembe, lahko namesto odvajanja uporabimo diference Φ Φ 21 Φkončna Φ začetna (rezultat bo enak) ui 2 = N2 = N2 = N2. (11.6) t 2 t tkončna tzačetna Začetni fluks izračunamo iz začetne gostote pretoka v tuljavi, končnega pa iz končnega pretoka. µ Ni Polje znotraj tuljave določimo iz poenostavljene formule B =. Dobimo l B µ Ni l N µ l Vs Am 0 začetni začetni = = 0 izačetni = 4π m 1,5A 5, 7mT. Pri izračunu fluksa skozi tuljavico moramo upoštevati površino manjše tuljavice in ne večje: Φ začetni začetni 2 začetni 2 2 2,1 10 m = B A = B π 1,96 µwb. Na enak način bi dobili z upoštevanjem 2 toka 0,5 A končni pretok Φ = 0,653µWb. končni
10 Uporabimo še enačbo (11.6) in z njeno pomočjo določimo inducirano napetost v času od t = 0 s do t = 25 ms: u i 6 6 0, Wb 1,96 10 Wb = 60 6, 27mV. To napetost bi lahko izmerili, če bi 25ms 0ms na zunanje sponke tuljave priključili sondo osciloskopa. (Zaradi poenostavitev s homogenostjo polja bi meritev pokazala seveda nekoliko različno vrednost.). Ta napetost je konstantna ves čas spreminjanja toka v veliki tuljavi. V drugi fazi, ko bo tok skozi večjo tuljavo konstanten, v manjši tuljavi ne bo spremembe magnetnega pretoka in s tem bo inducirana napetost enaka 0. SLIKA: Graf spremembe toka v mali tuljavi, spodaj graf inducirane napetosti v večji tuljavi. Medsebojna induktivnost. O lastni induktivnosti smo že govorili. Povezana je s fluksom, ki gre skozi tuljavo zaradi toka v lastni tuljavi. Če pa nas zanima fluks v navitju, ki je posledica vzbujanja v drugem (ne lastnem) navitju, govorimo o medsebojni induktivnosti. Definiramo jo kot M Ψ N Φ = =, I1 I1 (11.7) kjer je Φ 21 fluks skozi drugo tuljavo zaradi toka I 1 skozi prvo tuljavo. Na isti način lahko Ψ 12 N1 Φ12 definiramo M 12 kot M12 = =. Poglejmo si razmere na sliki. I I 2 2
11 SLIKA: Medsebojna induktivnost določa zvezo med tokom v drugem navitju in fluksom, ki ga ta tok povzroča v lastnem navitju. Če imamo opravka z linearnimi magnetnimi materiali (če je µ r konstanten), sta M 21 in M 12 kar enaka, torej M = M 21 = M12. Inducirana napetost izražena z medsebojno induktivnostjo. V prejšnjem razdelku smo obravnavali primer, ko je šel en del fluksa prve tuljave skozi drugo tuljavo in v slednji povzročil inducirano napetost. Izračunali smo fluks skozi drugo tuljavo zaradi spreminjanja toka v prvi tuljavi. Sedaj smo ugotovili, da to zvezo lahko opišemo z medsebojno induktivnostjo, kjer je magnetni sklep v drugi tuljavi zaradi toka v prvi določen z Ψ = M I = MI. Torej lahko inducirano napetost v drugi tuljavi izrazimo kot u im21 ( Mi ) dψ d di dt dt dt = = = M. Ponovno lahko ugotovimo, da je predznak le posledica upoštevanja Lentzovega pravila. Če pa upoštevamo, da je zunanja napetost ravno nasprotna notranji (gonilni), bomo zopet pisali di u 1 M u 21 im M 21 d t = =. Primer: Določimo inducirano napetost v manjši tuljavi iz prejšnjega primera s pomočjo medsebojne induktivnosti. Izračun: Za določitev medsebojne induktivnosti moramo poiskati fluks skozi drugo tuljavo ki ga povzroča tok skozi prvo tuljavo. Fluks je Ψ M µ N I = N Φ = N B A = N A l1 Ψ µ N N = = A 78,35µH I1 l1, kjer smo z indeksom 1 označili veliko tuljavo, z 2 pa manjšo tuljavo. Sprememba toka v času 25 ms 2A bo = 80 A/s, inducirana napetost pa 25 ms u M21 di1 = M = 78, 35 mh ( 80 A/s) = 6,3 mv. dt
12 Razlika v končnem rezultatu glede na primer 1 je izključno posledica različnega zaokroževanja v prvem in drugem primeru. Natančnejši rezultat je slednji. Preverite še sami. Faktor sklopa. Če je magnetna povezava med dvema tuljavama (1 in 2) linearna, ima smisel določiti faktor sklopa. Če sta magnetni sklep skozi lastno tuljavo in sosednjo določena z linearno zvezo Ψ Ψ = kψ, = kψ kjer sta Ψ 11 in Ψ 22 fluksa skozi lastno tuljavo pomnožena s številom ovojev lastne tuljave. Velja Ψ Ψ k Ψ k Ψ M M = M = = = k L L I1 I2 I1 I2 in iz tega ali faktor sklopa M k =. L L 1 2 M = k L1 L2 (11.8) Označitev medsebojne induktivnosti kot koncentriran element. Kako označimo medsebojno induktivnost kot koncentriran element? V osnovi enako kot dve navadni tuljavi z lastno induktivnostjo, ki pa ju povežemo z linijo in puščicama, s čimer prikažemo, da je med njima magnetni sklep. Pri tem pa je zopet potrebno paziti na predznak padca napetosti zaradi medsebojne induktivnosti, saj je predznak odvisen od lege posameznih tuljav. Predznak je tako lahko pozitiven ali pa negativen, kar mora biti v sami električni shemi razvidno. To označujemo s pikami na začetku ali konce vsake tuljave (glede na smer toka) odvisno od tega, če se magnetna pretoka tuljav med seboj podpirata ali ne. Dogovor je tak, da postavimo piki na začetek (ali na konec) obeh tuljav glede na smer toka, če se magnetni pretok druge tuljave skozi prvo tuljavo podpira z lastnim pretokom skozi prvo tuljavo.
13 SLIKA: Dve tuljavi z medsebojno induktivnostjo. Podpiranje fluksov označimo s piko na tisti strani tuljave, kjer vstopa ali izstopa tok. Splošen zapis zveze med dvema tuljavama z diferencialno enačbo. Če imamo dve sklopljeni navitji, potem tok skozi eno navitje povzroča padec napetosti v lastnem, pa tudi v drugem navitju. Slednji je proporcionalen spremembi toka in medsebojni induktivnosti. Vpliv pa je v obe smeri. Torej, če spreminjajoči fluks v drugi tuljavi povzroča tok v drugem navitju, pride do vzajemnega učinka. Napetost na prvi tuljavi je * di di u R i L M dt dt = + 1 ± 2, (11.9) na drugi pa di di u R i L M dt dt = + 2 ± 1 (11.10) Padec napetosti zaradi medsebojne induktivnosti lahko ponazorimo z novim simbolom v obliki romba, ki predstavlja t.i. tokovno krmiljen napetostni element. Podobne elemente se pogosto uporablja za modele delovanja polprevodniških elementov. SLIKA: Vezje z dvema tuljavama z medsebojnim sklopom in prikaz padca napetostii zaradi medsebojne induktivnosti s tokovno krmiljenim napetostnim virom. * Dobimo sistem dveh (linearnih) diferencialnih enačb, ki ga je potrebno reševati s primerno metodo. Ugotovili bomo, da nam za obravnavo izmeničnih signalov lahko analizo bistveno olajša uporaba kompleksnega računa.
14 Gibalna in rezalna inducirana napetost Ugotovili smo že, da je inducirana napetost v zanki določena s časovno spremembo fluksa skozi zanko, kar smo v matematični obliki zapisali kot u i dψ =, (11.11) dt kjer je predznak minus posledica upoštevanja Lentzovega pravila, da je predznak inducirane napetosti v zanki tak, da induciran tok v zanki povzroča fluks, ki nasprotuje spremembi fluksa skozi zanko. Ugotovili smo tudi, da gre pri inducirani napetosti za notranjo, generatorsko napetost, ki je porazdeljena po zanki. Lahko bi v osnovi govorili tudi o induciranju električne poljske jakosti, ki v zanki požene inducirani tok. Če se spomnimo definicije električne napetosti kot integrala električne poljske jakosti, lahko tudi sedaj pogledamo, kaj dobimo z integracijo inducirane električne poljske jakosti po poti zanke. Zanima nas torej i E d l. V elektrostatiki smo ugotovili, da je ta integral po L zaključeni poti enak nič (dobimo kot razliko dveh elektrostatičnih potencialov v isti točki), iz česar je tudi sledila definicija električne poljske jakosti kot gradienta potenciala. Pri izmeničnih signalih ta integral očitno ne bo enak nič, pač pa bo enak inducirani napetosti Ei dl = ui (11.12) L Celotna električna poljska jakost je vsota elektrostatične in inducirane jakosti E = Ees + Ei, kar pa enačbo (11.12) spremeni le v toliko, da velja še bolj splošno E dl = ui. (11.13) L Če upoštevamo v enačbi (11.13) še enačbo (11.11) in to, da lahko fluks zapišemo kot integral Bja po preseku zanke Φ = B d A, dobimo splošen zapis A L d E dl = B d A dt. (11.14) To je pomembna enačba, ki jo v elektrotehniki poznamo kot 2. Maxwellova enačba. V osnovi gre za Faradayevo enačbo, ki pa jo je Maxwell pravilno uvrstil v sistem osnovnih enačb za opis elektromagnetnega polja. A
15 Dva tipa inducirane napetosti: transformatorska in gibalna. V osnovi lahko ločimo dva različna tipa induciranja napetosti: v prvem primeru, ki smo ga že spoznali, se inducirana napetost v zanki pojavi kot posledica časovne spremembe fluksa v zanki. Tej napetosti pogosto rečemo transformatorska inducirana napetost. Drugi tip induciranja pa nastopi kot posledica gibanja prevodnika v časovno konstantnem ali spremenljivem magnetnem polju. Tej inducirani napetosti rečemo tudi gibalna ali rezalna inducirana napetost. Gibalna (rezalna) inducirana napetost. Poglejmo si primer prevodne palice, ki se premika s hitrostjo v v prečnem polju gostote B. V prevodniku je zelo veliko prostih nosilcev naboja (elektronov) na katere deluje magnetna sila F = Qv B. V polju bo na naboje delovala magnetna sila, oziroma (inducirana) električna poljska m jakost E, m ind, ki bo F E m,ind = = v B. (11.15) Q Integral jakosti polja vzdolž palice pa dá napetost gibalno inducirano napetost: L 0 ( ) ui = v B d l (11.16) Tej napetosti rečemo tudi rezalna napetost, saj nastane tedaj, ko prevodnik reže magnetno polje Primer: Prevodna palica dolžine l = 5 cm je postavljena vzdolž Y osi in se giblje s hitrostjo v = e x 2 m/s v homogenem polju B = e z 5 mt. Določite inducirano napetost med koncema palice. Izračun: v B = e vb = e 2 y y10 T m/s l= 5 cm u = e vb e dy = vbl = =,. ( ) i y y V 0 5 mv Dodatno: Hitro lahko pokažemo, da do enakega rezultata pridemo tudi iz enačbe za časovno spremembo fluksa skozi zanko, če si pač zamislimo, da je palica del stranice zanke, ki se veča v smeri X osi. Ker se s časom povečuje površina zanke, se veča tudi fluks skozi zanko. Dobimo Φ ( t ) = B A( t ) = B lx = B lvt, inducirana napetost v zanki (med koncema potujoče palice) pa je dφ ui = = Blv = 0, 5 mv dt. SLIKA: a) premikanje vodnika v magnetnem polju. Na koncih premikajoče se prevodne palice v prečnem magnetnem polju se pojavi (inducira) napetost. b) Časovno večanje površine zanke zaradi premikanja stranice zanke povzroči povečanje fluksa in posledično inducirno napetost.
16 Skupna transformatorska in gibalna inducirana napetost. Kakšna pa je zveza med tem zapisom inducirane napetosti in tistim s časovno spremenljivim fluksom? Na tem primeru lahko pokažemo, da bi z uporabo osnovnega zapisa dobili enak rezultat. Le zamisliti bi si morali virtualno zanko, katere fluks se veča ali zmanjšuje s časom. Z drugačnim zapisom enačbe (11.14) lahko upoštevamo tako inducirano napetost, ki je posledica časovne spremembe gostote pretoka v mirujoči zanki in inducirano napetost, ki je posledica gibanja v časovno konstantnem polju: E dl = B d A + v B t (11.17) L A L Prvi člen imenujemo transformatorska, drugega pa gibalna ali rezalna inducirana napetost. Odvisno od primera moramo upoštevati prvo, drugo ali pa kar obe hkrati. Faradayev homopolarni generator * Je naprava, ki proizvaja enosmerno napetost pri vrtenju prevodnega diska v magnetnem polju. Prvi jo je opisal že leta 1831 Michael Faraday. Deluje tudi v obratnem režimu, kot motor in se smatra kot prvi enosmerni električni motor. SLIKA: Vrteči prevodni disk v prečnem magnetnem polju. Med osjo in obodom priključimo kontaktorje in na sponkah se pojavi napetost inducirana napetost. Za izračun generatorske (inducirane) napetosti: med kontaktoma si zamislimo prevodno progo med osjo in točko na robu diska. Na naboje v disku, ki se vrtijo s hitrostjo v = ωr deluje magnetna sila * Ta tip generatorja je pogosto»tarča«najrazličnejših raziskovanj, tudi takih, ki iščejo nenavadnosti v delovanju elektromagnetnega polja. Prepričajte se sami z»deskanjem«po spletnih straneh.
17 Fm = Qv B, ki premakne (pozitivne) naboje v smeri vektorskega produkta. Pojavi se torej inducirana električna poljska jakosti E = v B, ki je v smeri radija od osi proti zunanjemu i kontaktu. Med kontaktoma se inducira napetost R R 2 R ui = E dl = ωrbdr= ω B. 2 i 0 0 Primer: Prevodni disk polmera R = 10 cm se vrti s hitrostjo 1000 obr/min v prečnem homogenem magnetnem polju 200 mt. Določimo inducirano napetost med osjo in obodom diska. Izračun: R R 2 2 R 1000 (0, 1 m) ui = E dl = ωrbdr= ω B = 2π 0, 2 T = 104, 8 mv s 2 i 0 0 Napetost ni velika, je pa zato lahko zelo velik tok, ki steče v zanki, saj je ohmska upornost izredno majhna. Zato dejansko lahko pričakujemo izredno velike toke. Problem se pojavi v kontaktih, kjer se pojavi velika kontaktna upornost, ki je moteča še posebno pri zelo velikih tokih SLIKA: Homopolarni generator. Generator izmenične napetosti z vrtenjem tuljave v magnetnem polju. Tuljavo postavimo v enosmerno homogeno magnetno polje in jo vrtimo s kotno hitrostjo ω. Pojavi inducirane napetosti v zanki lahko razložimo na oba načina: kot posledico časovne spremembe fluksa skozi zanko (transformatorska napetost) ali pa kot posledico sile na gibajoče naboje (rezalna napetost). V prvem primeru opazujemo časovno spreminjanje fluksa skozi zanko, ki bo enako Φ = B A( t ) = B b acos( ωt), inducirana napetost pa bo dφ dcos( ωt) ui = N = Bab = Babωsin( ωt) = Umsin( ωt). Amplituda inducirane napetosti je odvisna dt dt od površine zanke (ne od oblike, ki je lahko tudi trikotna), velikosti magnetnega polja in kotne frekvence. Izhodna (inducirana) napetost je sinusne oblike.
18 SLIKA: a) Vrtenje pravokotne tuljave v homogenem magnetnem polju. b) Izhodna napetost je sinusne oblike. Primer 3. Vrtenje zanke v magnetnem polju: izpit, 5. septembra 2002 MALO ZA ZABAVO MALO ZARES: Izdelajte in raziščite delovanje homopolarnega motorja sestavljenega iz baterije, vijaka, žičke in trajnega magneta. Primeri kolokvijev in izpitov: kolokvij, 3. maj kolokvij, izpit, 16. april 2002 izpit, 8. april 2002 izpit, Izpit, izpit, 5. septembra 2002 S pomočjo induktivnosti: Izpit, Izpit,
Equation Chapter 1 Section 24Trifazni sistemi
zmenicni_signali_triazni_sistemi(4b).doc / 8.5.7/ Triazni sistemi (4) Spoznali smo že primer dvoaznega sistema pri vrtilnem magnetnem polju, ki sta ga ustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s azno
Prikaži večVPRAŠANJA ZA USTNI IZPIT PRI PREDMETU OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II PREDAVATELJ PROF. DR. DEJAN KRIŽAJ Vprašanja so v osnovi sestavljena iz naslovov poglav
VPRAŠANJA ZA USTNI IZPIT PRI PREDMETU OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II PREDAVATELJ PROF. DR. DEJAN KRIŽAJ Vprašanja so v osnovi sestavljena iz naslovov poglavij v učbeniku Magnetika in skripti Izmenični signali.
Prikaži večMicrosoft Word - M
Državni izpitni center *M773* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Četrtek, 4. junij SPLOŠNA MATRA RIC M-77--3 IZPITNA POLA ' ' Q Q ( Q Q)/ Zapisan izraz za naboja ' ' 6 6 6 Q Q (6 4 ) / C
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večVIN Lab 1
Vhodno izhodne naprave Laboratorijska vaja 1 - AV 1 Signali, OE, Linije VIN - LV 1 Rozman,Škraba, FRI Laboratorijske vaje VIN Ocena iz vaj je sestavljena iz ocene dveh kolokvijev (50% ocene) in iz poročil
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Državni izpitni center *M77* SPOMLADANSK ZPTN OK NAVODLA ZA OCENJEVANJE Petek, 7. junij 0 SPLOŠNA MATA C 0 M-77-- ZPTNA POLA ' ' QQ QQ ' ' Q QQ Q 0 5 0 5 C Zapisan izraz za naboj... točka zračunan naboj...
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži večMicrosoft Word - M docx
Državni izpitni center *M7773* SPOMLDNSKI IZPITNI ROK NVODIL Z OCENJEVNJE Četrtek,. junij 07 SPLOŠN MTUR Državni izpitni center Vse pravice pridržane. M7-77--3 IZPITN POL W kwh 000 W 3600 s 43, MJ Pretvorbena
Prikaži večPrevodnik_v_polju_14_
14. Prevodnik v električnem polju Vsebina poglavja: prevodnik v zunanjem električnem polju, površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektrostatična indukcija (influenca), polje znotraj votline
Prikaži večNaloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr
Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_11. junij 2104
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 11. junij 2014 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži večFizika2_stari_testi.DVI
Stari pisni izpiti in kolokviji iz Fizike 2 na Fakulteti za elektrotehniko 6. november 2003 Tako, kot pri zbirki za Fiziko 1, so izpiti in kolokviji zbrani po študijskih letih (2002/2003, 2001/2002, 2000/2001).
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubl
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubljana, 2014 2 Kazalo 1. Ohmov zakon... 6 1.1. Enačba
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večOsnovni pojmi(17)
Osnovni poji pri obravnavi periodičnih signalov Equation Section 6 Vsebina: Opis periodičnih signalov s periodo, frekvenco in krožno frekvenco. Razlaga pojov aplituda, faza, haronični signal. Določanje
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večDiapozitiv 1
Vhodno izhodne naprave Laboratorijska vaja 5 - LV 1 Meritve dolžine in karakteristične impedance linije VIN - LV 1 Rozman,Škraba, FRI Model linije Rs Z 0, Vs u i u l R L V S - Napetost izvora [V] R S -
Prikaži večIzmenični signali – metode reševanja vezij
Izmenicni sinali_metode_resevanja (1d).doc 1/10 8/05/007 Izmenični sinali metode reševanja vezij (1) Načine analize enosmernih vezij smo že spoznali. Pri vezjih z izmeničnimi sinali lahko uotovimo, da
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večMicrosoft Word - 2. Merski sistemi-b.doc
2.3 Etaloni Definicija enote je največkrat šele natančno formulirana naloga, kako enoto realizirati. Primarni etaloni Naprava, s katero realiziramo osnovno ali izpeljano enoto je primarni etalon. Ima največjo
Prikaži večMicrosoft Word - Avditorne.docx
1. Naloga Delovanje oscilatorja je odvisno od kapacitivnosti kondenzatorja C. Dopustno območje izhodnih frekvenc je podano z dopustnim območjem kapacitivnosti C od 1,35 do 1,61 nf. Uporabljen je kondenzator
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - OVT_4_IzolacijskiMat_v1.pptx
Osnove visokonapetostne tehnike Izolacijski materiali Boštjan Blažič bostjan.blazic@fe.uni lj.si leon.fe.uni lj.si 01 4768 414 013/14 Izolacijski materiali Delitev: plinasti, tekoči, trdni Plinasti dielektriki
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večIzmenicni_signali_metode_resevanja(23)
zmenični sinali metode reševanja vezij Vsebina polavja: Metode za analizo vezij z izmeničnimi sinali (metoda Kirchoffovih zakonov, metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov), stavki (superpozicije,
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večNMRPUL.pdf
Poglavje 13 Sunkovna jedrska magnetna resonanca NALOGA: 1. Za vzorec vode s primešanimi paramagnetnimi ioni poišči signal proste precesije po sunku π/2 ter signal spinskega odmeva po zaporedju sunkov π/2
Prikaži večTrLin Praktikum II Lastnosti transmisijske linije Uvod Visokofrekvenčne signale in energijo večkrat vodimo po kablih imenovanih transmisijske linije.
Lastnosti transmisijske lije Uvod Visokofrekvenčne signale energijo večkrat vodimo po kablih imenovanih transmisijske lije. V fiziki pogosto prenašamo signale v obliki kratkih napetostnih ali tokovnih
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večDiapozitiv 1
Vhodno izhodne naprave Laboratorijska vaja 4 - AV 4 Linije LTSpice, simulacija elektronskih vezij VIN - LV 1 Rozman,Škraba, FRI LTSpice LTSpice: http://www.linear.com/designtools/software/ https://www.analog.com/en/design-center/design-tools-andcalculators/ltspice-simulator.html
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večLINEARNA ELEKTRONIKA
Linearna elektronika - Laboratorijske vaje 1 LINERN ELEKTRONIK LBORTORIJSKE VJE Priimek in ime : Skpina : Datm : 1. vaja : LSTNOSTI DVOVHODNEG VEZJ Naloga : Za podano ojačevalno stopnjo izmerite h parametre,
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večdr. Andreja Šarlah Teorijska fizika II (FMF, Pedagoška fizika, 2010/11) kolokviji in izpiti Vsebina Kvantna mehanika 2 1. kolokvij 2 2. kolokvij 4 1.
dr. Andreja Šarlah Teorijska fizika II (FMF, Pedagoška fizika, 2010/11) kolokviji in izpiti Vsebina Kvantna mehanika 2 1. kolokvij 2 2. kolokvij 4 1. izpit 5 2. izpit 6 3. izpit (2014) 7 Termodinamika
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večBesedilo naloge:
naliza elektronskih komponent 4. Vaja: Preverjanje delovanja polprevodniških komponent Polprevodniške komponente v močnostnih stopnjah so pogosto vzrok odpovedi, zato je poznavanje metod hitrega preverjanja
Prikaži večOsnovne informacije o harmonikih Fenomen, ki se je pojavil v zadnih nekaj desetletjih, to je harmonski tokovi v električnih inštalacijah, postaja vedn
Osnovne informacije o harmonikih Fenomen, ki se je pojavil v zadnih nekaj desetletjih, to je harmonski tokovi v električnih inštalacijah, postaja vedno večji problem. Kot družba se moramo prilagoditi prisotnosti
Prikaži več1. Električne lastnosti varikap diode Vsaka polprevodniška dioda ima zaporno plast, debelina katere narašča z zaporno napetostjo. Dioda se v zaporni s
1. Električne lastnosti varikap diode Vsaka polprevodniška dioda ima zaporno plast, debelina katere narašča z zaporno napetostjo. Dioda se v zaporni smeri obnaša kot nelinearen kondenzator, ki mu z višanjem
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži več4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenov
4.Racionalna števila Ulomek je zapis oblike. Sestavljen je iz števila a (a ), ki ga imenujemo števec, in iz števila b (b, b 0), ki ga imenujemo imenovalec, ter iz ulomkove črte. Racionalna števila so števila,
Prikaži večUvodno predavanje
RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec Pomagala za hitrejšo/boljšo konvergenco Modifikacija vezja s prevodnostimi Med vsa vozlišča in maso se dodajo upori Velikost uporov določa
Prikaži večKrmiljenje elektromotorj ev
Krmiljenje elektromotorj ev Če enosmerni elektromotor priključimo na vir enosmerne napetosti, se gred motorja vrti ves čas v isto smer. Zamenjamo priključka (pola) baterije. Gred elektromotorja se vrti
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Mitja Smešnik Kompenzacija harmonikov v omrežju industrijskega porabnika s pomočjo aktivnega filtra M
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Mitja Smešnik Kompenzacija harmonikov v omrežju industrijskega porabnika s pomočjo aktivnega filtra Magistrsko delo Mentor: izr. prof. dr. Boštjan Blažič,
Prikaži več10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, k
10. Meritev šumnega števila ojačevalnika Vsako radijsko zvezo načrtujemo za zahtevano razmerje signal/šum. Šum ima vsaj dva izvora: naravni šum T A, ki ga sprejme antena in dodatni šum T S radijskega sprejemnika.
Prikaži večSlovenska predloga za KE
23. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2014 1 ANALIZA VPLIVA PRETOKA ENERGIJE PREKO RAZLIČNIH NIZKONAPETOSTNIH VODOV NA NAPETOSTNI PROFIL OMREŽJA Ernest BELIČ, Klemen DEŽELAK,
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večDiapozitiv 1
Vhodno-izhodne naprave naprave 1 Uvod VIN - 1 2018, Igor Škraba, FRI Vsebina 1 Uvod Signal električni signal Zvezni signal Diskretni signal Digitalni signal Lastnosti prenosnih medijev Slabljenje Pasovna
Prikaži večMicrosoft Word - Delo_energija_12_.doc
12 Delo in potencialna enegija Vsebina: Delo kot integal sile na poti, delo elektične sile, delo po zaključeni poti, potencialna enegija, potencialna enegija sistema nabojev, delo kot azlika potencialnih
Prikaži večUvodno predavanje
RAČUNALNIŠKA ORODJA Simulacije elektronskih vezij M. Jankovec 2.TRAN analiza (Analiza v časovnem prostoru) Iskanje odziva nelinearnega dinamičnega vezja v časovnem prostoru Prehodni pojavi Stacionarno
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večTuringov stroj in programiranje Barbara Strniša Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolo
Turingov stroj in programiranje Barbara Strniša 12. 4. 2010 1 Opis in definicija Definirajmo nekaj oznak: Σ abeceda... končna neprazna množica simbolov (običajno Σ 2) Σ n = {s 1 s 2... s n ; s i Σ, i =
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži več1 Merjenje sil in snovnih lastnosti 1.1 Merjenje sil z računalnikom Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost. Si
1 Merjenje sil in snovnih lastnosti 11 Merjenje sil z računalnikom Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v električno napetost Signal vodimo do računalnika, ki prikaže časovno odvisnost
Prikaži večIzmenicni_signali-diferencialne enacbe _18e_
Od diferencialnih enačb do kopleksnega računa Vsebina: prehod od zapisa z diferencialnii enačbai do kopleksnega računa, osnove kopleksnega računa (prikaz v kopleksni ravnini, konjugirano število, Eulerjev
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večUniverza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvan
Univerza v Ljubljani FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Tržaška c. 25, 1000 Ljubljana Realizacija n-bitnega polnega seštevalnika z uporabo kvantnih celičnih avtomatov SEMINARSKA NALOGA Univerzitetna
Prikaži večOsnove elektrotehnike 1, VSŠ
akrižajosnove elektrotehnike 1, VSŠ Osnovna izpitna vprašanja za ustni izpit ENOSMERNA VEZJA 1. Kirchoffova zakona: enačbi, katere lastnosti polja opisujeta, razlaga, uporaba. 1.Khz Vsota vseh tokov v
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži večMicrosoft Word - Diplomska naloga UNI-internet.doc
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO IZBIRA VEZAVE NAVITJA ASINHRONSKEGA MOTORJA ZA ŠIROKO PODROČJE SPREMEMBE VRTLJAJEV Maribor, avgust 2010 2 I univerzitetnega
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večSlide 1
Zaščina ehnika in avomaizacija Diskreni Fourierev ransform Digialna zaščia Razvoj numeričnih meod Upoševanje višjih harmonskih komponen, šuma, frekvence odbiih valov, Za pravilno obdelavo signalov je ključna
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku 1) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje in minute ali obratno: a),2 d) 19,1 8,9 e) 28 c) 2 f) 8 2) Spremeni zapis kota iz decimalnega v stopinje
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večMicrosoft Word - Vprašanja-tekmovanje-elektrikar-2009vse
NALOGE za TEORETIČNI DEL 17. državnega tekmovanja in srečanja ELEKTRIKARJEV ENERGETIKOV elektro šol Slovenije Ptuj, april 2009 NAVODILA ZA TEORETIČNI DEL: Teoretični del se rešuje v elektronski obliki,
Prikaži večUvedba novega tipa močnostnih diov v usmerniško vezje avtomobilskega alternatorja
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO, RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Klemen Furlan UVEDBA NOVEGA TIPA MOČNOSTNIH DIOD V USMERNIŠKO VEZJE AVTOMOBILSKEGA ALTERNATORJA Diplomska naloga Maribor, september
Prikaži večČlen 11(1): Frekvenčna območja Frekvenčna območja Časovna perioda obratovanja 47,0 Hz-47,5 Hz Najmanj 60 sekund 47,5 Hz-48,5 Hz Neomejeno 48,5 Hz-49,0
Člen 11(1): Frekvenčna območja Frekvenčna območja Časovna perioda obratovanja 47,0 Hz-47,5 Hz Najmanj 60 sekund 47,5 Hz-48,5 Hz Neomejeno 48,5 Hz-49,0 Hz Neomejeno 49,0 Hz-51,0 Hz Neomejeno 51,0 Hz-51,5
Prikaži večPowerPointova predstavitev
Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI
Prikaži večMicrosoft Word - N _moderacija.docx
2 N151-401-2-2 SPLOŠNA NAVODILA Prosimo, da moderirano različico navodil za vrednotenje dosledno upoštevate. Če učenec pravilno reši nalogo na svoj način (ki je matematično korekten) in je to razvidno
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži več