(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc)

Transkripcija

1 3.4 Merilna negotovost Merilna negotovost je parameter, ki pripada merilnem rezltat. Označje razpršenost vrednosti, ki jih je mogoče z določeno verjetnostjo pripisati merjeni veličini. Navaja kakovost merilnega rezltata: manjša kot je, bolj kakovosten je merilni rezltat. Če izhaja iz niza neodvisnih opazovanj (posledično iz gostote verjetnosti), govorimo negotovosti tipa A - A; Če ne izhaja iz niza neodvisnih opazovanj (npr.: izhaja iz domnevne gostote verjetnosti pri eni meritvi), govorimo o negotovosti tipa B - B M3-55

2 Skpna negotovost je enaka geometrijski vsoti: + A B Ker je negotovost določena s standardnim odklonom, jo imenjemo tdi standardna negotovost. Če želimo imeti večjo verjetnost (večjo stopnjo zapanja), da leži resnična vrednost v območj, ki ga določa negotovost, porabljamo razširjeno negotovost U. M3-56

3 Standardna negotovost tipa A - A Če imamo niz izmerkov,,, enakimi pogoji, je: n aritmetična sredina i, j n j n, izmerjenih pod je najbolj verjetna vrednost ali najbolša ocena aritmetične sredine µ celotne poplacije. eksperimentalni standardni odklon s( ) ( ) i, j j n je najboljša ocena standardnega odklona poplacije σ n M3-57

4 eksperimentalni standardni odklon aritmetične sredine s ( ) s ( ) n ( ) i, j j n n( n ) je najbolj verjetna vrednost σ ( ) poplacije Ker imamo ponovljena neodvisna opazovanja, je standardna negotovost tipa A - eksperimentalni standardni odklon aritmetične sredine: ( ) s A ( ) n s( ) M3-58

5 M3-59 Če nam je znan zdrženi eksperimentalni standardni odklon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p r r r n n n s n s n s n s L L je standardno negotovost bolje oceniti z: ( ) ( ) n s p A Vedno je potrebno v rezltat navesti število meritev oz. število prostostnih stopenj: ( ) r i i r i n i v v

6 Standardna negotovost tipa B - B Kadar merilni rezltat ne izhaja iz ponovljenih meritev, se standardna negotovost izračna na osnovi domneve (znanstveno in z izkšnjami) predpostavljene porazdelitve: enakomerna, trikotna, trapezna, Pri eni meritvi se standardna negotovost tipa B izračna na osnovi: specifikacij merilne opreme, podatkih o merjanj meril, Gassova, Stdentova, itn. toleranc porabljenih merilnih sredstev itn. M3-60

7 Enakomerna (pravokotna) porazdelitev Vse vrednosti veličine med spodnjo in zgornjo mejo so enako verjetne: p( ) a a a µ a µ σ µ µ +σ µ + a Slika 3.0 Enakomerna (pravokotna) porazdelitev (gostota verjetnosti je v mejah enakomerna p( ) a) M3-6

8 aritmetična sredina (prvi vztrajnostni moment): µ + a µ a µ + a µ a p( ) d a a ( µ + a) ( µ a) varianca (drgi vztrajnostni moment): µ + a µ a p ( )( µ ) 3 µ + a ( µ ) 3 3 µ a ( + a) ( a) a d a 3 standardna negotovost (tdi standardni odklon) pri enakomerni porazdelitvi: a ( ) σ 58a 3 0, med µ σ in µ + σ ca. 58 % ( 3) vseh vrednosti p( ) µ a a µ σ a µ a 3 µ +σ µ + a µ a 3 M3-6

9 Primer enakomerne porazdelitve je, kadar je podana mejna vrednost lastnega pogreška a M. Zgled: Digitalni voltmeter: ± ( 0,05% Ui + 3dig) M U po določenem čas kaže mejna vrednost pogreška: 4 M ± ,83V U U i 56,83 V: ( + 3 0,00V) ± 3mV standardna negotovost: MU 3mV ( U ) 8mV 3 3 popolni merilni rezltat: U 56,83V, ( U ) 8mV, n (ena meritev) M3-63

10 Gassova ali normalna porazdelitev z ( µ ) σ p( z) z π e interval zapanja: standardna negotovost: ( ) µ zσ n µ + zσ n σ z? dobimo ga iz stopnje zapanja p (tabela) n M3-64

11 Zgled: Uporovni etalon: nazivna vrednost: 0 Ω iz certifikata za pornost: 0,00074Ω ± 9µ Ω, U 9µ Ω - razširjena negotovost R stopnja zapanja p 99% z, 58 standardna negotovost: zσ n 9µ Ω R 50µ z,58 ( ) Ω M3-65

12 Stdentova ali t-porazdelitev interval zapanja: µ t s( ) n µ + t s( ) n standardna negotovost: ( ) s( ) n parameter t? dobimo ga iz stopnje zapanja p in števila meritev (tabela) Zgled: Upor za porovni delilnik: 8-krat ponovljena meritev in 95 % stopnji zapanja: t,36 pri 95 % stopnji zapanja je rezltat: 49 Ω ± Ω standardna negotovost: ( R) ( ) t s n Ω 5Ω t,36 M3-66

13 Trikotna porazdelitev p( ) a a aritmetična sredina: µ standardna negotovost: a ( ) σ 4a 6 0, a µ a µ σ µ µ + σ µ + a Slika 3. Trikotna porazdelitev Med µ σ in µ + σ ca. 65 % vseh vrednosti - že bliz normalne porazdelitve ( 68 %). M3-67

14 Trapezna porazdelitev Trapezna porazdelitev je konvolcija dveh enakomernih ± + β a in ± ( β) a aritmetična sredina: µ porazdelitev z mejama ( ) p( ) a βa βa a standardna negotovost: ( + β)a ( ) a + β 6 µ a µ σ µ µ +σ µ +a Slika 3. Trapezna porazdelitev β 0 trikotna porazdelitev, β enakomerna porazdelitev M3-68

15 Standardna negotovost izhodne veličine - c ( y) Izhodna (merjena) veličina je fnkcija N vhodnih veličin: Y f ( X X..., ),, X N Za oceno celotne standardne negotovosti ( y) (combined standard ncertainty) potrebjemo dober matematični model; Izmerjena vrednost y je le ocena izhodne veličine Y na podlagi ocen vhodnih veličin in fnkcijske povezave: ( ) y f,,..., N korekcija sistematičnih pogreškov, pri eni meritvi je kar ocena X, pri ponavljanj pa je ocena veličine X. c M3-69

16 Vhodne veličine so lahko: medsebojno neodvisne (pogosto); ali medsebojno odvisne. Vhodne veličine so medsebojno neodvisne,, N v Taylorjevo vrsto in poštevanj le členov prvega reda, dobimo celotno negotovost: Po razvoj enačbe y f (..., ) ( ) [ ( )] y c + [ c ( )] + [ c ( )] + c... N N ali ( y) ( y) + ( y) + ( y) c... + N pri čemer so: ( y) c ( ),, ( y) c ( ) deleži zaradi negotovosti vhodnih veličin; y y c,, cn - koeficienti občtljivosti N N N N M3-70

17 Zgled-: y + y y Koeficienta občtljivosti: c, c ; y + Celotna standardna negotovost: ( ) ( ) ( ) Zgled-: y y y Koeficienta občtljivosti: c, c ; Prispevka k celotni standardni negotovosti: ( y) c ( ) ( ) y c, ( ) ( ) ( ) c M3-7

18 M3-7 Celotna standardna negotovost: ( ) ( ) ( ) c + y Relativna oblika celotne standardne negotovosti: ( ) ( ) ( ) ( ) c c w w y w y y +

19 Vhodne veličine so medsebojno odvisne - korelirane Odvisnost se nanaša na nakljčne spremenljivke. Merilo za medsebojno odvisnost dveh nakljčnih spremenljivk je (ocenjena) kovarianca. Pri n neodvisnih parih sočasnih izmerkov vhodnih veličin in je kovarianca: n ( ) ( )( ),, i, i n n ( ) relativna medsebojna odvisnost je podana s koeficientom korelacije r : (, ) r ( ) ( ) i M3-73

20 Celotna standardna negotovost je: N ( y) c ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) c i i + ci c j r i, j i j i N N i j i+ r ( ) i, j - koeficient korelacije med in + Zgled-: y y y Koeficienta občtljivosti: c, c ; Celotna standardna negotovost: ( y) ( ) + ( ) + ( )( ) r( ) ( ) ( ) c, M3-74

21 ( y) ( ) + ( ) + ( )( ) r( ) ( ) ( ) c, če r ( ) : ( y) ( ) ( ), +, če r ( ) : ( y) ( ) + ( ), če r ( ) 0: ( y) ( ) + ( ) c c c M3-75

22 Razširjena negotovost - U Če želimo podati interval z večjo stopnjo zapanja ( p 95% ali p 99% ) porabljamo razširjeno negotovost: U k c ( y) s faktorjem razširitve k pomnožena (celotna) standardna negotovost, popolni merilni rezltat je sedaj: Y y ± U M3-76

23 Povezava med faktorjem razširitve k in stopnjo zapanja p ni enoznačna. Odvisna od porazdelitve izhodne veličine. Kot prvi približek se porablja kar normalna porazdelitev ( k z). Pri manjšem števil meritev je bolje porabiti t-porazdelitev, ki ima v eff efektivnih stopenj prostosti: i ( y) 4 c veff N (zaokrožimo navzdol) t dobimo iz tabele 4 v i ( y) i velja v eff N i v i M3-77

24 Kadar želimo podariti stopnjo zapanja p, napišemo: U p k p ( y) t ( v ) ( y) c U 95 pomeni razširjeno negotovost s stopnjo zapanja 95 % p eff c Zgled: U smo merili 0-krat: R smo merili 5-krat: c ( P)?, ( P)? U 0,5V in s ( U ) 0,79V, R 5,643kΩ in s ( R) 0,084kΩ, U c pri p 99%! moč na por: U P R ( 0,5V) 5,643kΩ 98,38mW M3-78

25 celotna standardna negotovost: P P P ( ) ( ) ( ) c + prispevka k celotni negotovosti: ( P) c ( U ) U R s ( U ) 0,5V 5,643kΩ 0,79V 0 n U s( R) ( 0,5V) 0,084 kω ( P) c ( R) R n ( 5,643kΩ) 5 celotna standardna negotovost: 3,85mW,3mW ( P) ( P) + ( P) ( 3,85mW ) + (,3mW) 4,45mW c M3-79

26 ( P) ( P) + ( P) ( 3,85mW ) + (,3mW) 4,45mW c število efektivnih stopenj prostosti: ( y) 4 ( 4,45mW) 4 ( 3,85mW ) 9 + (,3mW) 4 c eff N 4 4( ) 4 i y vi i veff,8 t p ( v) t99( ) 3, 05 v,8 razširjena negotovost: ( P) t ( ) ( ) 3,05 4,45mW 3,6 mw U 99 k99c 99 c P M3-80

27 popolni merilni rezltat s standardno negotov.: P 98,4mW, c ( P) 4,5mW, v eff sama celotna standardna negotovost še ne omogoča sklepanja o stopnji zapanja! popolni merilni rezltat z razširjeno negotovostjo: P 98 mw ± 4mW, k 3, 05, v, p 99% ali ( P 98 ±,5 0 )mw, eff k 3,05, v, p 99% eff M3-8

28 Slika 3.3 Prikaz odnosov med izmerjenimi vrednostmi, pogreški in negotovostmi M3-8