Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubl

Transkripcija

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubljana,

2 Kazalo 1. Ohmov zakon Enačba Ohmovega zakona Moč, energija Presek vodnika za prenos moči Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja Dobra predstavitev poenostavi problem Izračun karakteristike potenciometra Napetostni vir in tokovni vir Idealni vir in vir z notranjo upornostjo Superpozicija, Theveninov, Nortonov teorem in teorem maksimalne moči Enostavna uporaba Theveninovega teorema Uporaba Theveninovega teorema Razmerje R A /R B = 1 za maksimalno moč na bremenu Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj Zvezda,-trikot in Wheatstonov mostič Zvezda-trikot in superpozicija Metoda vejnih tokov

3 7.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami Metoda zančnih tokov Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk Izračun tokov v zankah Metoda vozliščnih potencialov Izračun potencialov, tokov in napetosti Izračun tokov Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov, vozliščnih potencialov: Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču Izračun tokov v vezju z veliko zankami Srednja in efektivna vrednost Definicije in pogosto uporabljane enačbe Izračun 1 srednje in efektivne vrednosti signala Izračun 2 srednje in efektivne vrednosti signala Kazalci in kompleksna števila Algebra kompleksnih števil Kondenzatorji, tuljave, transformatorji

4 13.1. Kondenzatorji, izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk Tuljave, izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti RLC vezja Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo Računanje impedanc in admitanc v vezjih Večfazni prenosni sistem Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po enofaznem sistemu, po trofaznem sistemu vezave zvezda in vezave trikot 106 5

5 1. Ohmov zakon 1.1. Enačba Ohmovega zakona I = U R, U = I R, R = U I Slika 1.1.1: Neznani tok I = U R = 50 = 0,05 A = 50 ma 1000 Slika 1.1.2: Neznana napetost U = I R = 0, = 300 V 6

6 Slika 1.1.3: Neznana upornost R = U I = 100 0,02 = 5 kω Slika 1.1.4: Odvisnosti med napetostjo U, tokom I in upornostjo R 7

7 2. Moč, energija 2.1. Presek vodnika za prenos moči Za dvožilni bakreni vodnik, ki ima na določenih razdaljah priključene porabnike, dimenzionirajte presek vodnika, da bo maksimalni padec napetosti na celotni dolžini 2,5%! Slika 2.1.1: Sistem za prenos energije Podatki: U = 230 V I 1 = 12 A, I 2 = 16 A. I 3 = 36 A L 1 = 25 m, L 2 = 30 m, L 3 = 55m ρ cu = 0,0175 Ω mm2 m Uporabimo: Ohmov zakon: U = I R Upornost vodnika: R = ρ L/A 8

8 U 2 = ρ A (L 1 (I 1 + I 2 + I 3 ) + L 2 (I 2 + I 3 ) + L 3 I 3 ) Ena smer, polovica padca napetosti na dveh vodnikih: ,025 = 0,0175 A (25 ( ) + 30 ( ) ) A = 31,29 mm 2 Premer vodnika je 6,31 mm. 9

9 3. Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja 3.1. Dobra predstavitev poenostavi problem Pri odprtem stikalu S teče tok I = 1A. Določite tok, ki teče, ko sklenemo stikalo. Predpostavimo, da napetost ostane nespremenjena. Izračunaj tudi napetost na elementih. Slika 3.1.1: Vezje s stikalom in z upori Podatki: R 1 = 5 Ω, R 2 = 2 Ω, R 3 = 3 Ω, R 4 = 4 Ω, I = 1 A Slika 3.1.2: Razklenjeno stikalo 10

10 U = I (R 1 + R 2 ) = 1 7 = 7 V U R1 = I R 1 = 5 V U R2 = I R 2 = 2 V U R3 = I R 3 = 0 V U R4 = I R 4 = 0 V Sklenjeno stikalo: Slika 3.1.3: Sklenjeno stikalo Kadar je shema nepregledna, jo je smiselno preoblikovati in pri tem paziti pa na ohranitev povezav! Slika 3.1.4: Pregledneje narisana shema s slike

11 R N = R 1 + R 2 R 3 R 4 = R R = R 3 R 4 = R 1 + R 2 R 3 R 4 R 3 R 4 + R 2 R 4 + R 2 R 3 = 5 + = = Ω = I = U R N = = = A Napetosti na elementih: U R1 = I R 1 = = V U R2 = U R3 = U R4 = 7 U R1 = = V Zadnja enačba je iz Kirchoffovega napetostnega zakona, n U i i = 1 v zanki = 0 V 12

12 3.2. Izračun karakteristike potenciometra Izračunajte in narišite v merilu diagram poteka razmerja U IZ /U VH v odvisnosti od normirane lege drsnega upora. Računajte to odvisnost za argument x, ki naj se spreminja v mejah od 0 do 1 s korakom x = 0,1. Pri izračunu upoštevajte linearno odvisnost upornosti potenciometra. Slika 3.2.1: Nastavitev izhodne napetosti U IZH s potenciometrom Slika 3.2.2: Potenciometer lahko razdelimo v zgornji in spodnji upor Nadomestna upornost za vzporedno vezavo xr in KR je 1 = 1 R N xr + 1 KR = K + x x K R 13

13 Slika 3.2.3: Napetostni delilnik iz vezja na sliki Spodnji upor ima nadomestno upornost xkr R N = K + x Skozi oba upora teče isti tok. Zato je napetost na posameznem uporu proporcionalna vrednosti upora. U IZH U VH = x K R K + x (1 x)r + x K R K + x x K R = (R xx)(k + x) + xxx = x K R KK + xx xxx x 2 R + xxx = xx K + x x 2 = U IZH U VH Opaziti je potrebno dve skrajnosti: Če je K zelo velik, kar pomeni, da je bremenski upor zelo velik, lahko rezultat zapišemo kot približek U IZH U VH = x Če je K zelo majhen, kar pomeni, da je bremenski upor zelo majhen, lahko rezultat približno zapišemo kot U IZH U VH = 0 14

14 Tabela 3.2.1: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo pri velikem in majhnem K x U IZH K = 1000 U IZH K = 0, ,1 0,10 0,001 0,2 0,20 0,001 0,3 0,30 0,001 0,4 0,40 0,002 0,5 0,50 0,002 0,6 0,60 0,002 0,7 0,70 0,003 0,8 0,80 0,005 0,9 0,90 0,

15 Slika 3.2.4: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo v odvisnosti od položaja potenciometra pri velikem K in pri majhnem K Interpretacija: Naloga predstavlja potenciometrsko regulacijo napetosti na bremenskem uporu R B. Če je R B velik, regulacija deluje po pričakovanjih (U RB je proporcionalen položaju srednjega priključka potenciometra). Če je RB majhen, imamo problem, ker vezje pod srednjim priključkom potenciometra (R B xr ) predstavlja majhno upornost ne glede na položaj potenciometra. Zato je v tem primeru UIZH bistveno manjša, kot bi jo s potenciometrom hoteli nastaviti. Izračunan rezultat, aproksimaciji rezultata za velik in majhen K, tabela in graf pojasnjujejo situacijo. 16

16 4. Napetostni vir in tokovni vir 4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo Slika 4.1.1: Idealni napetostni vir R VIRA = U I = 0 Ω Slika 4.1.2: Realni napetostni vir R VIRA = U I = R NOTRANJI 17

17 Slika 4.1.3: Idealni tokovni vir: R VIRA = U I = Ω Slika 4.1.4: Realni tokovni vir R VIRA = U I = R NOTRANJI 18

18 5. Superpozicija, Theveninov, Nortonov teorem in teorem maksimalne moči 5.1. Enostavna uporaba Theveninovega teorema Vezje levo od R 5 nadomestite s Theveninovim nadomestnim vezjem! Slika 5.1.1: Vezje, katerega del levo od priključnih sponk nadomeščamo s Theveninovim nadomestnim vezjem Podatki so: U G = 10 V, R 1 = 1 kω, R 2 = 2 kω, R 3 = 3 kω, R 4 = 4 kω, R 5 = 5 kω Rezultat: Slika 5.1.2: Theveninovo nadomestno vezje, priključeno na R 5 19

19 R TH = R 3 + R 4 (R 1 + R 2 ) = = ( ) = = (103 ) = 4,71 Ω U TH = U G R 4 R 1 + R 2 + R 4 = = 5,71 V 20

20 5.2. Uporaba Theveninovega teorema a) Nadomestimo na R 5 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem! Slika 5.2.1: Mostiščno vezje Podatki: U G = 4, 5 V, R 1 = R 2 = R 3 = R 5 = 3,3 kω, R 4 = 2,7 kω Določitev Theveninove upornosti R TH : Slika 5.2.2: Izboljšanje preglednosti vezja, prvi korak 21

21 Slika 5.2.3: Izboljšanje preglednosti vezja, drugi korak R TH = R 1 R 3 + R 2 R 4 = = 3,3 3, , , ,3 2, , , = = = 3135 Ω Določitev Theveninove napetosti U TH : Slika 5.2.4: U TH je razlika potencialov V A in V B U TH = V A V B = U G R 3 R 1 + R 3 U G R 4 R 2 + R 4 = = 4,5 ( ) = 0,225 V 22

22 Rezultat: Slika 5.2.5: R 5 je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike b) Nadomestimo na R 1 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem! Določitev Theveninove upornosti R TH : Slika 5.2.6: Vezje med priključnima sponkama nadomestimo z nadomestnim uporom R TH. 23

23 Slika 5.2.7: Preglednejše risanje sheme na sliki R TH = R 3 (R 2 R 4 ) + R 5 R 2 R 4 = 1485 Ω (R 2 R 4 ) + R 5 = 4785 Ω R 3 (R 2 R 4 ) + R 5 = 1953 Ω Določitev Theveninove napetosti U TH : Slika 5.2.8: U TH je razlika potencialov V A in V B U TH = V A V B, V A = U G = 4, 5 V Za V B potrebujemo V C : 24

24 V C U G = (R 3 + R 5 ) R 4 R 2 + (R 3 +R 5 ) R 4 = 0,37 V C= 1,67 V R 3 + R 5 = 6600 Ω (R 3 + R 5 ) R 4 = 1916 Ω R 2 + (R 3 + R 5 ) R 4 = 5216 Ω V B V C = R 3 R 3 + R 5 = = 0,5 V B = 0,84 V U TH = V A V B = 4,5 0,84 = 3,66 V Slika 5.2.9: R 1 je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike

25 5.3. Razmerje RA/RB = 1 za maksimalno moč na bremenu Določimo razmerje K med bremensko upornostjo R B in notranjo upornostjo generatorja R G tako, da bo na bremenski upornosti R B maksimalna moč. Določimo graf razporeditve moči v odvisnosti od koeficienta K! Slika 5.3.1: Vezje za določitev maksimalne moči na bremenu P RB = I 2 R B = U RB I RB = U2 R B U RB U G = KR R + KR = P RB = U G 2 K 2 KR (1 + K) 2 = K 1 + K U 2 G K R (1 + K) 2 Določitev P RB max : d P RB d K = 0 Pomagamo si z: 26

26 d u(a ) v(a) = u(a) d v(a) d a d a in z: d (Cu(a ) ) d a = C d u(a) d a d u(a) + v(a) d a Določimo: u(k) = K in v(k) = 1 (1 +K ) 2 1 d K (1 + K) 2 d K = 1 (1 + K) 2 + k ( 2) (1 + K) 3 = 1 + K 2K (1 + K) 3 = 1 K (1 + K) 3 Iščemo: 1 K (1 + K) 3 = 0 K = 1 Za risanje in pisanje poteka moči izračunajmo še P RG in P CELOTNA : P RG = U R G 2 R G = 1 R 2 U G R 2 R 2 (1 + K) 2 = P CELOTNA = P RB + P RG = U G 2 (1 + K) R (1 + K) 2 = 2 U G R (1 + K) 2 U G 2 R (1 + K) 27

27 Tabela 5.3.1: Moč na bremenskem uporu R B, na uporu R G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K K P RB [W] P RG [W] P CELOTNA [W] , 1 0, 83 8, 26 9, 09 0, 2 1, 39 6, 94 8, 33 0, 3 1, 76 5, 92 7, 67 0, 4 2, 04 5, 10 7, 14 0, 5 2, 22 4, 44 6, 67 0, 6 2, , 25 0, 7 2, 42 3, 46 5, 88 0, 8 2, 47 3, 09 5, 56 0, 9 2, 49 2, 77 5, 26 1, 0 2, 50 2, 50 5, 00 2, 0 2, 22 1, 11 3, 33 5, 0 1, 39 0, 28 1, 67 10, 0 0, 83 0, 08 0, 91 neskončno

28 Slika 5.3.2: Moč na bremenskem uporu R B, na uporu R G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K 29

29 6. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj 6.1. Zvezda - trikot in Wheatstoneov mostič Izračunajte vse napetosti, tokove in moči! Slika 6.1.1: Wheatstoneov mostič Slika 6.1.2: Wheatstoneov mostič v obliki spodnjega trikotnika 30

30 Slika 6.1.3: Spodnji trikotnik Wheatstoneovega mostiča spremenjen v zvezdo Podatki za vezje na sliki 6.1.1: U G = 10 V R 1 = 1,2 kω R 2 = 0,8 kω R 3 = 0,8 kω R 4 = 1,2 kω R 5 = 1 kω R A = R B = R C = R 2 R 5 R 2 + R 4 + R 5 = R 4 R 5 R 2 + R 4 + R 5 = R 2 R 4 R 2 + R 4 + R 5 = = 266, 66 Ω = 400 Ω = 320 Ω 31

31 R CELOTNI = R C + (R 1 + R A ) (R 3 + R B ) = = ( ,66) ( ) , = 980 Ω I = I L I = U G = 10 R CELOTNI 980 R 3 + R B R 1 + R 3 + R A +R B = = = 10,2 ma , = 0,45 I L = 0,45 10,2 ma = 4,59 ma I D = I I L = 10,2 4,59 = 5,61 ma V A = 10 I L R 1 = 10 4, , = 4,49 V V B = 10 I D R 2 = 10 5, , = 5,51 V I R1 = I L = 4,59 ma I R3 = I D = 5,61 ma I R5 = V B V A R 5 = 5,51 4, = 1,02 ma I R2 = I R1 + I R5 = 4,59 ma + 1,02 ma = 5,61 ma I R4 = I R3 I R5 = 5,61 1,02 = 4,59 ma 32

32 P R1 = I 2 R1 R 1 = 4, , = 25,28 mw P R2 = I 2 R2 R 2 = 5, , = 25,18 mw P R3 = I 2 R3 R 3 = 5, , = 25,18 mw P R4 = I 2 R4 R 4 = 4, , = 25,28 mw P R5 = I 2 R5 R 5 = 1, = 1,04 mw P G = 10 10, = 102 mw Preizkus pravilnosti računanja: 5 P G = P R 1 i=1 102 mw = 25,28 mw + 25,18 mw + 25,18 mw + 25,28 mw + 1,04 mw (= 102,48 W, zaokrožanja) 33

33 6.2. Zvezda-trikot in superpozicija Izračunajte vse tokove in vse moči! Slika 6.2.1: Vezje s petimi neznanimi tokovi Podatki: R 1 = 4 Ω, R 2 = 4 Ω, R 3 = 2 Ω, R 4 = 2 Ω, R 5 = 4 Ω U 2 = 4 V, U 3 = 8 V Slika 6.2.2: Vezje s slike po spremembi zvezde v trikot 34

34 R A = R B = R C = R 1 R 4 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω R 1 R 5 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω R 4 R 5 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω A: Slika 6.2.3: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U 2 R N = R 2 + R B + R A (R 3 + R C ) = 4 + 1,33 + 1,33 (2 + 1,33) = I = U 2 R N = 4 6,28 = 0,64 A = 6,28 Ω R 3 + R C L I = I R A + R 3 + R = 0, ,33 C 1, ,33 = 0, 46 A 35

35 I D = I I L = 0,18 A B: Slika 6.2.4: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U 3 R N = R 3 + R C + R A (R 2 + R B ) = 2 + 1,33 + 1,33 (4 + 1,33) I = U 3 R N = 8 4,39 = 1,82 A = 4,39 Ω R A L I = I R 2 + R B + R = 1,82 1,33 A 4 + 1,33 + 1,33 = 0,36 A I D = I I L = 1,46 A A+B: 36

36 Slika 6.2.5: Sešteti tokovni prispevki obeh napetostnih virov V A = U 2 0,28 R 2 = 4 0,28 4 = 2,88 A V B = 0,28 R B 1,64 R C = 0,28 1,33 1,64 1,33 = 1,81 V Začetno vezje: Slika 6.2.6: Začetno vezje s slike z že izračunanimi tokovi in potenciali 37

37 I R1 = 2,88 R 1 = 2,88 4 = 0,72 A P R1 = 0, = 2,07 W I R2 = 0,28 A I R3 = 1,64 A P R2 = 0, = 0,31 W P R3 = 1, = 5,38 W 2,88 ( 1,81) I R4 = 4 = 1,17 A P R4 = 1, = 5,48 W I R5 = 1,81 4 = 0,45 A P R 5 = 0, = 0,81 W P U3 = U 2 I U2 = 0,28 4 = 1,12 W P U3 = U 3 I U3 = 8 1,64 = 13,12 W 3 P Ux x = 2 5 = P Ri i=1 1, ,12 = 2,07 + 0,31 + 5,38 + 5,48 + 0,81 1,3 % razlika med levo in desno stranjo enačbe je napaka zaokroževanja tekom računanja. Vse napetosti, vsi tokovi: 38

38 Slika 6.2.7: Začetno vezje s slike z izračunanimi tokovi in potenciali 39

39 7. Metoda vejnih tokov 7.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči! Slika 7.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo vejnih tokov Podatki: U 1 = 10 V, U 2 = 5 V, R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 68 Ω Potrebujemo tri neodvisne enačbe za izračun treh tokov, dvakrat uporabimo Kirchhoffov napetostni zakona in uporabimo Kirchhoffov tokovni zakon: U 1 + I R1 R 1 + I R2 R 2 = 0 U 2 I R2 R 2 I R3 R 3 = 0 40

40 I R1 I R2 + I R3 = 0 I R1 = I 1, I R2 = I 2, I R3 = I 3 Enačba I I I 2 = 0 Enačba II 5 22 I 2 68 I 3 = 0 Enačba III I 1 I 2 + I 3 = 0 47 I I 2 = I I 3 = 5 I 1 I 2 + I 3 = 0 Reševanje z eliminacijo spremenljivk: Iz enačbe III: Rešujemo enačbo II: I 3 = I 2 I 1 22 I I 2 68 I 1 = 5 68 I I 2 = 5 I 2 = I 1 90 in enačbo I: 47 I I 1 = I I 2 = 10 41

41 63, 62 I 1 = 8, 78 I 1 = 137, 97 ma I R1 = 137, 97 ma I 2 = 159, 80 ma I R2 = 159, 80 ma I 3 = 21, 83 ma I R3 = 21, 83 mm V X = I R2 R 2 = 0, = 3515, 6 mv U R1 = U 1 V X = , 6 = 6484 mv U R2 = V X = 3515,6 ma U R3 = U 2 V X = , 6 = 1484, 4 mv P R1 = I 2 R1 R 1 = 0, = 894,68 mw P R2 = I 2 R2 R 2 = 0, = 561,79 mw P R3 = I 2 R3 R 3 = 0, = 32,41 mw P U1 = U 1 I R1 = , 97 = 1379,7 mw P U2 = U 2 I R3 = 5 21, 83 = 109,15 mw P G = P R 42

42 Reševanje z determinantami, kofaktorsko: I I = I 0 D 0 = ( 1) ( 1) + +1 ( ) = D 1 = ( 1) ( 1) ( ) = D 2 = 47 ( ) 0 ( ) + 43

43 + 1 ( ) = D 3 = ( 1) ( 1) ( ) = 125 I 1 = D 1 D 0 = I 2 = D 2 D 0 = I 3 = D 3 D 0 = = 137,97 ma = 159,80 ma = 21,83 ma 44

44 8. Metoda zančnih tokov 8.1. Izračun zančnih tokov z eliminacijo spremenljivk Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči! Slika 8.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo zančnih tokov Podatki: U 1 = 10 V, U 2 = 5 V R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 82 Ω Zapis Kirchhoffovega zakona za vsako zaprto zanko: U 1 + I 1 R 1 + R 2 (I 1 I 2 ) = 0 U 2 + R 2 (I 2 I 1 ) + I 2 R 3 = 0 Uredimo: 45

45 I 1 (R 1 + R 2 ) I 2 R 2 = U 1 I 1 R 2 + I 2 (R 2 + R 3 ) = U 2 69 I 1 22 I 2 = I I 2 = 5 I 2 = I 1 22 = I I I 1 22 = 5 304,18 I 1 = 42, 27 I 1 = 138,97 ma I 2 = 18,68 ma I R1 = I 1 = 138,97 ma I R2 = I 1 I 2 = 157,65 ma I R3 = I 2 = 18,68 ma V X = I R2 R 2 = 120, = 2646,38 mv P R1 = 0, = 907,70 mw P R2 = 0, = 546, 78 mw P R3 = 0, = 28, 61 mw P U1 = 10 0, = 1389, 70 mw P U2 = 5 ( 0, 01868) = 93, 40 mw 46

46 2 3 P Ui = P Rj i=1 j=1 47

47 8.2. Izračun tokov v zankah Izračunajmo zančne tokove: Slika 8.2.1: Vezje za izračun treh zančnih tokov Podatki: R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 33 Ω, R 4 = 10 Ω U 1 = 6 V, U 2 = 8 V Zapis Kirchhoffovega napetostnega zakona v vsaki zaprti zanki: I 1 R 1 + (I 1 I 3 ) R 3 + (I 1 I 2 ) R 2 = 0 U 1 + (I 2 I 1 ) R 2 + (I 2 I 3 ) R 4 = 0 U 2 + (I 3 I 2 ) R 4 + (I 3 I 1 ) R 3 = 0 Ureditev enačb: I 1 (R 1 + R 2 + R 3 ) I 2 R 2 I 3 R 3 = 0 48

48 I 1 R 2 + I 2 (R 2 + R 4 ) I 3 R 4 = U 1 I 1 R 3 I 2 R 4 + I 3 (R 3 + R 4 ) = U I 1 22 I 2 33 I 3 = 0 22 I I 2 10 I 3 = 6 33 I 1 10 I I 3 = 8 Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznane tokove: I 1 = 298 ma I 2 = 563 ma I 3 = 546 ma 49

49 9. Metoda vozliščnih potencialov 9.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti Izračunajte vse napetosti in vse tokove z metodo vozliščnih potencialov! Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun potencialov z metodo vozliščnih potencialov Podatki: R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 82 Ω U 1 = 10 V, U 2 = 5 V Zapis Kirhhoffovega tokovnega zakona za vsako vozlišče z neznanim potencialom: I 1 I 2 + I 3 = 0 Tokove izrazimo z neznanimi vozliščnimi potenciali. Neznan vozliščni potencial je v tem vezju samo VA. 50

50 I 1 = U 1 V A R 1, I 2 = V A R 2, I 3 = U 2 V A R 3 U 1 R 1 V A R 1 V A R 2 + U 2 R 3 V A R 3 = 0 V A 1 R 1 1 R 2 1 R 3 = U 1 R 1 U 2 R 3 0, V A = 0, V A = 3, 47 V I R1 = U 1 V A R 1 = 10 3, = 138,94 ma I R2 = V A R 2 = 3, = 157,73 ma I R3 = U 2 V A = 5 3,47 = 18,66 ma R 3 82 U R1 = U 1 V A = 10 3, 47 = 6,53 V U R2 = V A = 3,47 V U R3 = U 2 V A = 5 3, 47 = 1,53 V 51

51 9.2. Izračun tokov Izračunajte vse tokove z metodo vozliščnih potencialov! Slika 9.2.1: Vezje z neznanima potencialoma V A in V B Podatki: U 1 = 4, 5 V, U 2 = 7 V R 1 = 470 Ω, R 2 = 680 Ω, R 3 = 330 Ω, R 4 = 1000 Ω, R 5 = 100 Ω Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona v vozliščih z neznanim potencialom: I 1 I 2 I 3 = 0 I 3 I 4 I 5 = 0 Zapis obeh tokovnih enačb z neznanima potencialoma: Prva enačba: U 1 V A R 1 V A R 2 V A V B R 3 = 0 U 1 R 1 V A R 1 V A R 2 V A R 3 + V B R 3 = 0 52

52 V A 1 R 1 1 R 2 1 R 3 + V B 1 R 3 = U 1 R 1 V A V B = 4, , 63 E 3 V A 3, 03 E 3 V B = 9,57 E 3 6, 63 V A 3, 03 V B = 9,57 V B = 9, , 63 V A 3, 03 Druga enačba: V A V B R 3 V B R 4 V B + U 2 R 5 = 0 V A R 3 V B R 3 V B R 4 V B R 5 U 2 R 5 = 0 V A 1 R 3 + V B 1 R 3 1 R 4 1 R 5 = U 2 R 5 V A V B = , 03 E 3 V A + 14, 03 E 3 V B = 70 E 3 3, 03 V A + 14,03 V B = 70 Vstavimo iz prve enačbe V B = 9, , 63 V A 3, 03, sledi 53

53 3,03 V A + 14,03 3,03 6, 63 V A = ,03 3,03 9,57 V A = 928,38 mv, V B = 5189 mv I R1 = U 1 V A R 1 = = 11,55 ma I R2 = V A = 928 = 1,36 ma R I R3 = V A V B R 3 = I R4 = V B = 5190 = 5,19 ma R I R5 = V B U = R = 12,92 ma = 18,1 ma 54

54 10. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov ter vozliščnih potencialov: Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču Določite vse tokove po metodah vejnih tokov, zančnih tokov in vozliščnih potencialov! Slika : Wheatstoneov mostiček, 6 neznanih vejnih tokov in 2 neznana potenciala Podatki: U = 60 V R 1 = 10 Ω R 2 = 15 Ω 55

55 R 3 = 30 Ω R 4 = 40 Ω R 5 = 60 Ω a) Uporaba metode vejnih tokov: Slika : Računanje vejnih tokov v Wheatstoneovem mostiču Imamo 6 vej, 6 neznanih tokov, potrebujemo 6 enačb. Iz treh zaprtih zank dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov napetostni zakon), iz treh vozlišč dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov tokovni zakon). I 1 R 1 + I 3 R 3 U = 0 I 2 R 2 + I 5 R 5 I 1 R 1 = 0 I 5 R 5 + I 4 R 4 I 3 R 3 = 0 I 6 = I 1 + I 2 I 1 = I 3 + I 5 I 4 = I 5 + I 2 56

56 10 I I I I I I 6 = I I I I 4 60 I I 6 = 0 0 I I 2 30 I I I I 6 = 0 I 1 I I I I 5 + I 6 = 0 I I 2 I I 4 I I 6 = 0 0 I 1 + I I 3 I 4 + I I 6 = 0 10 I I 3 = I I 2 60 I 5 = 0 30 I I I 5 = 0 I 1 I 2 + I 6 = 0 I 1 I 3 I 5 = 0 I 2 I 4 + I 5 = 0 I 1 = 1,51304 A = I R1 I 2 = 1,07826 A = I R2 I 3 = A = I R3 I 4 = 1,09565 A = I R4 I 5 = o, A = I R5 57

57 I 6 = 2,59130 A = I U6 b) Uporaba metode zančnih tokov: Imamo 3 zaprte zanke, potrebujemo 3 enačbe za tri neznane tokove. Slika : Računanje zančnih tokov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko: U + R 1 (I 1 I 2 ) + R 3 (I 1 I 3 ) = 0 I 2 R 2 + R 5 (I 2 I 3 ) + R 1 (I 2 I 1 ) = 0 I 3 R 4 + R 3 (I 3 I 1 ) + R 5 (I 3 I 2 ) = 0 Uredimo: I 1 (R 1 + R 3 ) I 2 R 1 I 3 R 3 = U I 1 R 1 + I 2 (R 1 + R 2 + R 5 ) I 3 R 5 = 0 I 1 R 3 I 2 R 5 + I 3 ( R 3 + R 4 + R 5 ) = 0 58

58 Vstavimo podatke: 40 I 1 10 I 2 30 I 3 = I 1 85 I 2 60 I 3 = 0 30 I 1 60 I I 3 = 0 Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznanke neznane tokove treh zaprtih zank: I 1 = 2,59130 A I 2 = 1,07826 A I 3 = 1,09565 A Iz zančnih tokov izračunamo vejne tokove: I R1 = I 1 I 2 = 1,51304 A I R2 = I 2 = 1,07826 A I R3 = I 1 I 3 = 1,49565 A I R4 = I 3 = 1,09565 A I R5 = I 3 I 2 = 1,01739 A I UGENERATOR = I 1 = 2,59130 A c) Uporaba metode vozliščnih potencialov: 59

59 Imamo 2 neznana vozliščna potenciala, potrebujemo 2 enačbi. Slika : Računanje vozliščnih potencialov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov tokovni zakon za vsako vozlišče z neznanim potencialom: I 1 I 3 I 5 = 0 I 2 I 4 + I 5 = 0 Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, prva enačba: U V A R 1 V A R 3 V A V B R 5 = 0 V A 1 R 1 1 R 3 1 R 5 + V B 1 R 5 = U R 1 Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, druga enačba: 60

60 U V B R 2 V B R 4 V A V B R 5 = 0 V A 1 R 5 + V B 1 R 2 1 R 4 1 R 5 1 R 5 = U R 2 Dve neodvisni enačbi za dve neznanki: 0,15 V A + 0,016 V B = 6 0,016 V A 0,1083 V B = 4 Neznana vozliščna potenciala: V A = 44,9 V (44,869) V B = 43,8 V (43,826) Izračun vejnih tokov iz vozliščnih potencialov: I R1 = U V A 60 44,9 = = 1,510 A R 1 10 I R2 = U V B 60 43, 8 = = 1, 080 A R 2 15 I R3 = V A R 3 = 44,9 30 = 1,495 A I R4 = V B R 4 = 43,8 40 = 1,095 A I R5 = V A V B 44,9 43,8 = = 0,0183 A R

61 10.2. Izračun tokov v vezju z veliko zankami Zapišimo sistem enačb za vezje na sliki po najbolj smiselni metodi (najmanjše število enačb, zančna ali vejna metoda ali metoda vozliščnih potencialov). Slika : Večje vezje z neznanimi tokovi in potenciali Podatki: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 = R 7 = R 8 = R 9 = R 10 = R 11 = = R 12 = R 13 = R 14 = R 15 = R 16 = R 17 = R 18 = R 19 = R 20 = 10 Ω Vej z neznanimi tokovi je 20. Neznanih vozliščnih potencialov je

62 Neznanih zančnih tokov je 9. Metoda zančnih tokov je najprimernejša: Slika : Določitev zančnih tokov za vezje na sliki Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko: I 1 R 4 + R 9 (I 1 I 4 ) + R 1 (I 1 I 2 ) U 1 = 0 I 2 R 5 + U 1 + R 1 (I 2 I 1 ) + R 8 (I 2 I 5 ) + U 2 = 0 I 3 R 6 U 2 + R 7 (I 3 I 6 ) = 0 I 4 R 10 + R 14 (I 4 I 7 ) + R 11 (I 4 I 5 ) + R 9 (I 4 I 1 ) = 0 R 11 (I 5 I 4 ) + R 15 (I 5 I 8 ) + R 12 (I 5 I 6 ) + R 8 (I 5 I 2 ) = 0 63

63 I 6 R 13 + R 7 (I 6 I 3 ) + R 12 (I 6 I 5 ) + R 16 (I 6 I 9 ) = 0 I 7 R 19 U 3 + R 14 (I 7 I 4 ) = 0 I 8 R 20 + R 17 (I 8 I 9 ) + R 15 (I 8 I 5 ) + U 3 = 0 I 9 R 18 + R 16 (I 9 I 6 ) + R 17 (I 9 I 8 ) = 0 Vstavimo številske vrednosti: 10 I I 1 10 I I 1 10 I 2 = 5 10 I I 2 10 I I 2 10 I 5 = I I 3 10 I 6 = I I 4 10 I I 4 10 I I 4 10 I 1 = 0 10 I 5 10 I I 5 10 I I 5 10 I I 5 10 I 2 = 0 10 I I 6 10 I I 6 10 I I 6 10 I 9 = 0 10 I I 7 10 I 4 = I I 8 10 I I 8 10 I 5 = I I 9 10 I I 9 10 I 8 = 0 Uredimo: 30 I 1 10 I 2 10 I 4 = 5 10 I I 2 10 I 5 = I 3 10 I 6 = 15 64

64 10 I I 4 10 I 5 10 I 7 = 0 10 I 2 10 I I 5 10 I 6 10 I 8 = 0 10 I 3 10 I I 6 10 I 9 = 0 10 I I 7 = I I 8 10 I 9 = I 6 10 I I 9 = 0 Iz 9 neodvisnih enačb izračunamo 9 zančnih tokov: I 1 = 0,0308 A I 2 = 0,819 A I 3 = 0,743 A I 4 = 0,227 A I 5 = 0,426 A I 6 = 0,0134 A I 7 = 1,360 A I 8 = 1,100 A I 9 = 0,371 A 65

65 11. Srednja in efektivna vrednost Definicije in pogosto uporabljane enačbe Določimo srednjo in efektivno vrednost za signale sinusne, trikotne in pravokotne oblike! Definiciji srednje in efektivne vrednosti signala: T T U SR = u(t)dt 0 T U EF 2 T = u 2 (t)dt 0 Pripomočki: sin (Ax) dx = 1 A cos (Ax) cos (Ax) dx = 1 A sin (Ax) sin 2 (Ax) dx = 1 2 x 1 4A sin (2Ax) Signal sinusne oblike: 2π 2π U SR = U VRŠNA sin φ dd = U VRŠNA cos φ 0 2π 0 U SR = 0 V 66

66 2π 2 2π U EF = U 2 VRŠNA sin 2 φ dφ = U 2 VRŠNA φ 2 0 sin (2φ ) 4 2π 0 = = U VRŠNA 2 π U EF = U VRŠNA 2 Signal trikotne oblike: Slika : Signali trikotne oblike u(t) = U VRŠNA P t 0 P U VRŠNA P t dt = U VRŠNA 2P t 2 P 0 P U 2 VRŠNA dt = U VRŠNA 2 P P 2 0 t 3 3 = U VRŠNA P 2 P 0 = U SR P U SR = U VRŠNA 2 = U VRŠNA 2 P = U 2 3 EF P U EF = U VRŠNA 3 Signal pravokotne oblike: 67

67 Slika : Signal pravokotne oblike u(t) = U VRŠNA T U VRŠNA dt = U VRŠNA T = 0 U SR T U SR = U VRŠNA T U 2 VRŠNA dt = U 2 VRŠNA T = U 2 EF T U EF = 0 U VRŠNA Izračun srednje vrednosti signala ob odsekoma znanih srednjih vrednostih signala: TU SR = T 1 U SR1 + T 2 U SR2 + + T n U SRN Izračun efektivne vrednosti signala ob odsekoma znanih efektivnih vrednostih signala: T U EF = T 1 U EF1 + T 2 U EF2 + + T N U EFN 68

68 11.2. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 1 Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za napetost periodične oblike: Slika : Signal periodične oblike u 1 = 6t u 2 = 12 u 3 = 6t 36 u 4 = 12 T TT SR = u(t)dt = = 12 U SR = ( 6)dt + ( 12)dt + (6t 36)dt + 12dt =

69 = 3t t t t + 12t = = 24 U SR = = 2 V = Ali: U SR1 = U VRŠNA 2 = 12 2 V U SR2 = U VRŠNA = 12 V U SR3 = U VRŠNA 2 = 12 2 V U SR4 = U VRŠNA = 12 V U SR 12 = U SR1 2 + U SR2 2 + U SR3 2 + U SR4 6 = U SR = = 2 V = = 24 TT EF T 2 = u 2 (t) dt = 0 = ( 6t) 2 dt + ( 12) 2 dt + (6t - 36) 2 dt + (12) 2 dt =

70 2 4 6 = 36t 2 dd dd + (36t 2 432t ) dd = = 12t t 4 2 (12t 3 216t t) + 144t = 2 = = 1344 = 12 U EF U EF = = 10,58 V Ali: U EF1 = 12 3 V U EF2 = 12 V U EF3 = 12 3 V U EF4 = 12 V 12 U EF 2 = U EF = = 10,58 V =

71 11.3. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 2 Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za periodičen signal na sliki Slika : Signal periodične oblike T T U SR = u(t)dt 0 5 = 10 dt + (10t 30) dt = = 10t + (5t 2 30t) = 20 + ( 25) ( 45) = 40 = 6 U SR 0 3 U SR = 6, 67 V Ali: U SR1 = 10 V U SR2 = 20 2 = 10 V 72

72 6 U SR = = 40 V U SR = 6, 67 V TT EF T 2 = u 2 (t) dt = 100 dt + (100 t t + 900) = 2 = 100 t t t t = , = 2 = 466, 6 = 6 U EF U EF = 8, 82 V 3 Ali: U EF1 = 10 V U EF2 = 20 3 V 6 U 2 EF = = 466, 6 U EF = 466, 6 = 8,82 V 6 73

73 12. Kazalci in kompleksna števila Algebra kompleksnih števil Pravokotna in polarna oblika kazalčne algebre. Spreminjanje pravokotne oblike v polarno obliko: a) A = 1 + j2 b) B = 4 + j4 c) C = 2 j6 d) D = 5 j3 Opomnik: tan α = tan(180 + α) = tan(180 α) = tan( α) a) A = = 5 α = tan 1 2 = 63,4 1 A = 5 63,4 b) B = = 4 2 α = tan 1 ( 1) = 135 B = c) C = = 2 10 α = tan 1 6 = 251,6 2 C = ,6 d) D = = 34 74

74 α = tan = 329 D = Spreminjanje iz polarne v pravokotno obliko: A = 5 63,4 B = C = ,6 D = A = 5 cos 63,4 + j 5 sin 63,4 = 1 + j2 B = 4 2 cos j 4 2 sin 135 = 4 + j4 C = 2 10 cos 251,6 + j 2 10 sin 251,6 = 2 j6 D = 34 cos j 34 sin 329 = 5 j3 Seštevanje: A = 2 + j3 B = 6 60 A + B = 2 + j3 + 6 cos 60 + j 6 sin 60 = = 2 + j j5,2 = 5 + j8,2 = ,2 2 tan 1 8,2 5 = 75

75 = 9,6 58,6 Odštevanje: A = B = 3 j4 A B = 12 cos j 12 sin j4 = = 6 + j10,4 3 j4 = 9 + j6,4 = ,4 2 tan 1 9 6,4 = = 11,04 125,4 Množenje: A = B = A B = 5 16 ( ) = = = j80 A = 5 + j3 B = 6 j2 A B = (5 + j3) (6 j2) = 5 6 j2 5 + j3 6 j = = 30 j10 + j18 ( 1) 6 = 36 + j8 = 36,9 12,5 Deljenje: 76

76 A = B = 4 90 A B = 8 4 ( ) = 2 45 = 2 + j 2 A = 4 + j2 B = 2 + j3 A B = 4 + j2 (2 j3) (4 + j2) 8 + j4 j j8 = = = = 2 + j3 (2 + j3) (2 j3) 4 j6 + j = 1,08 j0,62 = 1,25 330,1 77

77 13. Kondenzatorji, tuljave, transformatorji Kondenzatorji - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk 1. V kondenzatorju je shranjenih 40 μc (40 μas) pri 15 V na sponkah kondenzatorja. Kolikšna je kapacitivnost tega kondenzatorja? Q = C U C = Q U = As 15 V = 2, As V = 2,66 µf 2. Kondenzator kapacitivnosti C = 2μF je deklariran za napetost do 315 V. Kolikšna je največja možna množina naboja v tem kondenzatorju? As -6 Q = C U = 2, V = 630 µas = 630 µc V 3. Kolikšna je napetost na 100 nf kondenzatorju, v katerem je 5μC naboja? Q = C U U = Q C = As V As = 0, V = 50 V 78

78 4. Izračunajmo nadomestno kapacitivnost za vezje: Slika : Zaporedno in vzporedno vezani kondenzatorji Podatki: C 1 = 100 nf, C 2 = 200 nf, C 3 = 300 nf, C 4 = 400 nf, C 5 = 500 nf, C 6 = 600 nf, C 7 = 700 nf, C 8 = 800 nf C N = = C 1 C 7 C 8 C 2 + C 3 + C 4 C 5 + C 6 = = = = = 1, = 68,03 nf 79

79 5. Izračunajmo razporeditev napetosti: Slika : Kapacitivni delilnik napetosti Tok i skozi C 1, C 2, C 3, C 4 je isti. Napetosti se bodo porazdelile v razmerju impedanc kondenzatorjev (v nadaljevanju: FS Faktor Skaliranja): Z C1 = Z 2 = Z C3 = Z C4 = 1 ω = 1 ω = FS ω = 1 ω = FS ω = 1 ω = FS ω = 1 ω = FS 1 7 Napetost 10 V se razporedi v razmerju: = =

80 Napetost 10 V normiramo v = 69 enot. U VRŠNA VREDNOST C 1 = U VRŠNA VREDNOST C 2 = = 6,09 V 10 = 2,03 V U VRŠNA VREDNOST C 3 = = 1,01 V U VRŠNA VREDNOST C 4 = = 0,87 V U VRŠNA VREDNOST = U VRŠNA VREDNOST Ci 4 i=1 = 10 V 6. Izračunajmo razporeditev tokov: Slika : Kapacitivni tokovni delilnik 81

81 Napetost na vseh kondenzatorjih je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju admitanc Y (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja). Y C1 = ω C 1 = 2π = FS 4 Y C2 = ω C 2 = 2π = FS 2 Y C3 = ω C 3 = 2π = FS 5 Y C4 = ω C 4 = 2π = FS 8 4 Y Ci = FS 19 i=1 I VRŠNA VREDNOST C1 = I VVG 4 19 = 0,21 A I VRŠNA VREDNOST C2 = I VVG 2 19 = 0,11 A I VRŠNA VREDNOST C3 = I VVG 5 19 = 0,26 A I VRŠNA VREDNOST C4 = I VVG 8 19 = 0,42 A 4 I Ci i=1 = 1A = I VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA 7. Polnjenje in praznjenje kondenzatorja iz napetostnega vira preko upora: Polnjenje kondenzatorja: 82

82 u C = U GENERATORJA 1 e t τ τ = R C I C = I 0 e t τ I 0 = U GENERATORJA R Slika : Polnjenje kondenzatorja preko upora Slika : Časovni potek napetosti u C pri polnjenju kondenzatorja 83

83 Slika : Časovni potek toka i C pri polnjenju kondenzatorja Praznjenje kondenzatorja: u C = U CZAČETNA e t τ I C = I C0 e t τ I C0 = U C 0 R Slika : Praznjenje kondenzatorja preko upora 84

84 Slika : Časovni potek napetosti u C pri praznjenju kondenzatorja Slika : Časovni potek toka i C pri praznjenju kondenzatorja 85

85 8. Določi napetost in tok na kondenzatorju 50 µs po sklenitvi stikala. Napetost na kondenzatorju pred sklenitvijo stikala je 0 V. Slika : Vezje za določitev napetosti u C in toka i C po sklenitvi stikala u C = U GENERATORJA 1 e t RR u µs = 50 1 e = i µs = I 0 e t RR = e = 50 (1 0,54) = 22,83 V = = 6,10 ma 0,54 = 3,30 ma 86

86 9. Kondenzator je napolnjen na 10 V. V kolikšnem času po sklenitvi stikala bo napetost na kondenzatorju padla na 2 V? Slika : Praznjenje kondenzatorja C skozi upor R u C = U C ZAČETNA e t τ u C U C ZAČETNA = e t τ u C ln = t U C ZAČ τ ln 2 10 = t -6 t = 131,97 µs

87 13.2. Tuljave - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk 1. Tuljava z induktivnostjo L = 50 mh je vključena v tokokrog, v katerem teče tok I = 3 A. Ta tok pade na 0 A po razklenitvi stikala, ki je vključeno v isti tokokrog. Prehodni pojav (sprememba toka s 3 A na 0 A) traja 1 ms. Kolikšna napetost se inducira v tuljavi pri tem prehodu? u IND = L di dt Privzamemo, da tok upada linearno, zato lahko pišemo dd dd = i t u IND = L i t = 0,05 H 3A 0, 001 s = 150 W b A A s = 150 V s A A s = 150 V 2. Izračunajmo nadomestno induktivnost za vezje: Slika : Zaporedno in vzporedno vezane tuljave Podatki: 88

88 L 1 = 1 mh, L 2 = 2 mh, L 3 = 3 mh, L 4 = 4 mh, L 5 = 5 mh, L 6 = 6 mh, L 7 = 7 mh, L 8 = 8 mh L N = L L L 2 L 3 L 4 L 5 L 7 +L 8 = 6 = 0, , , , , , , ,008 = = 0, , , = = 19,65 mh 3. Izračunajmo razporeditev napetosti: Slika : Induktivni delilnik napetosti Tok I skozi L 1, L 2, L 3, L 4 je isti. Napetost se porazdeli v razmerju impedanc tuljav (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja): Z L1 = ω = FS 1 89

89 Z L2 = ω = FS 3 Z L3 = ω = FS 6 Z L4 = ω = FS 7 Napetost 10 V se razporedi v razmerju 1 : 3 : 6 : 7. U VRŠNA VREDNOST L1 = = 0,59 V U VRŠNA VREDNOST L2 = = 1,76 V U VRŠNA VREDNOST L3 = = 3,53 V U VRŠNA VREDNOST L4 = = 4,12 V 4 U Li i=1 = 10 V = U VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA 4. Izračunajmo razporeditev tokov: 90

90 Slika : Induktivni tokovni delilnik Napetost na vseh tuljavah je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju admitanc Y (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja). Y L1 = Y L2 = Y L3 = Y L4 = 1 ω L 1 = 1 ω L 2 = 1 ω L 3 = 1 ω L 4 = 1 2π = FS 1 10 = FS π = FS 1 20 = FS π = FS 1 5 = FS π = FS 1 8 = FS 8 40 I VRŠNA VREDNOST L1 = I VRŠNA VREDNOST = I VRŠNA VREDNOST L2 = I VRŠNA VREDNOST L3 = 5 43 I VRŠNA VREDNOST L4 = = 0,47 A 1= 0,12 A 1= 0,19 A 1= 0,23 A I VRŠNA VREDNOST Li = 1A = I VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA i=1 5. Polnjenje in praznjenje tuljave iz napetostnega vira preko upora: Polnjenje tuljave: 91

91 I L = U GENERATORJA 1 eτ t R τ = L = L G R Slika : Polnjenje tuljave preko upora Praznjenje tuljave: I L = U GENERATORJA R e t τ τ = L = L G R Slika : Vezje za določitev toka i L in napetosti u L po spremembi položajev stikal 92

92 6. Določite tok skozi tuljavo 50 µs po sklenitvi stikala. Tok skozi tuljavo pred sklenitvijo stikala je 0 Amperov. Slika : Vezje za določitev toka i L in napetosti u L po sklenitvi stikala I L = U GENERATORJA 1 eτ t R τ = L = L G R i µs = e 8, = 0, 5 1 e 8,2 5 = 100 = 0,5 (1 0,54) = 0,23 A 93

93 2 A? 7. V kolikšnem času po preklopu stikal bo tok skozi tuljavo padel na Slika : Praznjenje tuljave L skozi upor R i L = I LZAČETNI e t τ i L I LZAČETNI = e t τ i L ln = t I LZAČETNI τ I LZAČETNI = U GENERATORJA R = = 10 A τ = L G = 8, = 8, = s ln 2 10 = t t = 1, = 131,97 µs 94

94 13.3. Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti Transformatorji: Pretvorba upornosti: u 2 u 1 = N 2 N 1 i 2 i 1 = N 1 N 2 Slika : Transformator pretvornik upornosti = u PRI PRI i R B R PRI u SEK i SEK = u PRI i SEK u SEK i PRI = N PRI N PRI = N 2 PRI N SEK N SEK 2 N SEK N SEK 2 = N PRI 95

95 14. RLC vezja Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo Z = R + jj Z = impedanca, R = upornost, X = reaktanca Y = G + jj Y = Z 1 Y = admitanca, G = prevodnost, B = susceptanca Upor: Slika : Upor z označbami napetosti in toka u(t) = Z R i(t), Z R = u(t) i(t) = R, Y R = 1 Z R = G Kondenzator: Slika : Kondenzator z označbami napetosti in toka 96

96 i(t) = C dd(t) dd, Z C = u(t) i(t) =? Z C za poljubno obliko u(t) je težko izračunljiv, je pa enostavno izračunljiv za: u(t) = U 0 sin(ωω) i(t) = C d(u 0 sin(ωω)) dd = U 0 CC cos(ωω) = ju 0 CC sin(ωω) Z c = u(t) i(t) = Y c = 1 Z c = j ωc U 0 sss(ωω) ju 0 CC sss(ωω) = 1 jjj = j 1 ωω Tuljava: Slika : Tuljava z označbami napetosti in toka u(t) = L dd dd, Z L = u(t) i(t) =? Z L za poljubno obliko i(t) je težko izračunljiv in je enostavno izračunljiv za: i(t) = I 0 sss(ωω) u(t) = L d(i 0 sin(ωω)) dd = I 0 LL cos(ωω) = ji 0 LL sin(ωω) 97

97 Z L = u(t) i(t) = ji 0LL sin(ωω) = jjj I 0 sin(ωω) Y L = 1 Z = 1 L j ωl = j 1 ωl Zakaj v izpeljavi lahko zapišemo, da je cos(ωt) = j sin(ωt)? Slika : Funkciji sin(ωω) in cos(ωω) Funkciji sta oblikovno enaki, cos(ωω) prehiteva sin(ωω) za 90. V enotskem krogu narišemo, da B prehiteva A za 90, kot: 98

98 Slika : Vrtenje kazalca za 90 V kompleksni ravnini 90 rotacijo narišemo: Slika : Kazalca A in B v kompleksni ravnini j je operator vrtenja za 90 Zato je cos(ωω) = j sin(ωω) 99

99 14.2. Računanje impedanc in admitanc v vezjih 1) Določite napetost na kondenzatorju. Je to vezje bolj induktivno ali kapacitivno? Slika : RLC vezje in napetostni vir Y R2 X c = (0,001 + j0,002) S Z R2 X c = 1 Y = 1 0,001 + j0,002 = = Z R1 +X L = ( j500) Ω (0,001 j 0,002) (0,001 + j0,002) (0,001 j0,002) = = j = (200 j400) Ω Z R1 +X L +R 2 X c = Z VSOTA = j j400 = = ( j100) Ω Vezje je bolj induktivno kot kapacitivno. 100

100 Določitev napetosti na kondenzatorju u C : Naj bo in naj bo Z R1 +X L = Z 1 Sledi: Z R2 X c = Z 2 Slika : Vezje s slike v obliki napetostnega delilnika u Z2 = i Z 2 u G = i (Z 1 + Z 2 ) u Z2 iz 2 = u G i(z 1 + Z 2 ) = Z 2 Z 1 + Z 2 Z j400 u Z2 = u c = u G = 50 0 Z 1 + Z j100 = 447,21 63,6 = ,16 4,76 = = (50 447, ,16) (0 63,4 4,76 ) = 101

101 = 18,60 V 68,16 = u c Narišimo še kazalce napetosti u Z1,, u Z2 in u G : Slika : Kazalci napetosti u Z1,, u Z2 in u G za vezje na sliki u G = u Z1 + u Z2 2) Določimo napetost na uporu R 2 za sledeče vezje: Slika : RLC vezje in napetostni vir 102

102 Oznake: Z XL R 2 = Z 1 Z 1 + Z C2 = Z 2 Z 2 R 1 = Z 3 Y 1 = 1 8 j 1 = 0,24 S 57,99 5 Z 1 = Y 1 1 = 4,24 Ω 57,99 Z 2 = j + 2,25 + j3,60 = 2,25 + j2,60 Ω = 3,44 Ω 49,13 Y 2 = 1 Z 2 = 0,29 S 49,13 Y 3 = 0,1 + 0,19 j0,22 = 0,29 j0,22 = 0,36 S 37,18 Z 3 = 1 Y 3 = 2,78 Ω 37,18 Z 3 2,78 37,18 v X = u VIRA = 30 0 Z 3 + X C1 2,78 37,18 j2 = 83,4 37,18 2,21 + j1,68 j2 = = 83,4 37,18 2,21 j0,32 = = 83,4 37,18 2,23 8,24 = 37,40 45,42 V = v X U R2 = v X Z 1 Z 1 + X C2 = v X Z 1 Z 2 = 37,40 45,42 4,24 57,99 3,44 49,13 = 103

103 = 37,40 4,24 3,44 (45, ,99 49,13 ) = 46,10 Ω 54,28 = U R2 3) Seštejmo impedance v kazalčnem diagramu: Slika : Zaporedno RLC vezje Slika : Impedance vezja na sliki v kazalčnem diagramu Z REZULTAT = 3 + j2 Ω 4) Seštejmo admitance v kazalčnem diagramu: 104

104 Slika : Vzporedno RLC vezje Slika : Admitance vezja na sliki v kazalčnem diagramu Y REZULTAT = 2 j2 S 105

105 15. Večfazni prenosni sistem Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po a) enofaznem sistemu, b) po trifaznem sistemu vezave zvezda in c) vezave trikot Večfazni sistemi: 100 kw moči prenesimo 5 km daleč z 2% izgubami, na tri načine: a) Enofazni sistem: U EF = 230 V b) Trifazni sistem zvezda: U EF = 230 V c) Trifazni sistem trikot, medfazna napetost: U EF = V Izračunajmo potrebno maso bakra za vsakega od treh primerov: ρ CC = 1,7 E 8 Ωm, Volumska gostota g Cu = 8920 kg/m 3 a) Enofazni sistem: Slika : Prenos moči 100 kw po enofaznem sistemu 106

106 P = 100 kw = 230 V 434,78 A P IZGUBLJENA = 2 kw = 434,78 2 A 2 10,58 mω R = ρρ A A = ρρ R = 1,7 E 8 10 E 3 Ωm m 10,58 E 3 Ω = 1,61 E 2 m 2 = = 0,0161 m 2 = 161 cm 2 = 12,7 12, 7 cm 2 ali r = 7,16 cm V Cu = A l = 0, = 161 m 3 m Cu = g Cu V Cu = = 1436, 12 t b) Trifazni sistem z vezavo zvezda: Slika : Trije porabniki, za en porabnik P = 33,3 kw = 230 V 144,78 A P IZGUBLJENA = 666 W = 144,78 2 A 2 31,77 mω 107

107 R = ρρ A A = ρρ R = 1,7 E 8 5 E 3 Ωm m 31,77 E 3 Ω = 0,27 E 2 m 2 = = 0,0027 m 2 = 27 cm 2 = 5,2 5,2 cm 2 ali r = 2,93 cm V Cu = 0, = 40,5 m 3 m Cu = ,5 = 361 t c) Trifazni sistem z vezavo trikot: Slika : Vodniki so tokovno obremenjeni enako kot v primeru b), zato sta V Cu in m Cu približno enaka kot v primeru b) kjer so trije tokovno obremenjeni vodniki in v primeru simetričnega bremena tokovno neobremenjen četrti vodnik. 108

108 Tabela: enofazna napeljava trifazna napeljava Y trifazna napeljava 1436 t Cu prbl. 400 t Cu prbl. 400 t Cu 2 vodnika 4 vodniki 3 vodniki U REF = 230 V U REF = 230 V U REF = V Razmerja mas vodnikov: 3,6 / 1 / 1 109

109 Ker gradivo služi le kot komplement k predavanjem, avditornim vajam, laboratorijskim vajam in priporočenim študijskim knjigam pri predmetu Elektrotehnika na Fakulteti za strojništvo Univerze v Ljubljani, sta priporočena tudi obiskovanje predavanj in aktivna udeležba na vseh vajah. 110