Microsoft Word - 04 Inferencna statistika - Katja

Transkripcija

1 Auška Ferligoj, Katja Loar afreda, Aleš ibera: OSNOVE STATISTIKE NA PROSOJNICA Študijko gradivo ri redmetu Statitika. Fakulteta a družbee vede, Uivera v Ljubljai Ljubljaa, 0 4 INFERENČNA STATISTIKA 4. UVOD VZORČENJE Eotavo lučajo vorčeje Sitematičo vorčeje Stratificirao vorčeje Vorčeje v kuiah i večtoejko vorčeje... 6 Primerjava: tratificirao vorčeje - vorčeje v kuiah o. večtoejko vorčeje VZORČNE STATISTIKE IN NJIOVE PORAZDELITVE Oovi ojmi i oake Poradelitve vorčih tatitik Poradelitev vorčih aritmetičih redi Poradelitev vorčih deležev Poradelitev ralik vorčih aritmetičih redi Poradelitev ralik vorčih deležev INTERVALI ZAUPANJA Uvod Iterval auaja a oulacijko aritmetičo redio Iterval auaja a oulacijki delež Pome toje tvegaja ri itervalih auaja Kako e remija iterval auaja PREVERJANJE DONEV Uvod Nači ramišljaja ri reverjaju domev o oulacijkih arametrih Naaki I. i II. vrte Potoek reverjaja domev o oulacijkih arametrih Ii rogramov a tatitičo aalio odatkov Primeri Primer : Domeva o oulacijki aritmetiči redii Primer : Domeva o oulacijkem deležu Primer 3: Domeva o raliki oulacijkih aritmetičih redi Primer 4: Domeva o raliki oulacijkih deležev TEORIJA ALI VZORCEV Studetova t oradelitev Poradelitev vorčih aritmetičih redi Poradelitev ralik vorčih aritmetičih redi DOLOČANJE VELIKOSTI VZORCA Določaje velikoti vorca, ko ocejujemo aritmetičo redio Določaje velikoti vorca, ko ocejujemo delež VAJE Vorčeje, oradelitve vorčih tatitik: uvod, veliki vorci Itervali auaja Preverjaje domev Teorija malih vorcev Določaje velikoti vorca... 7

2 4. UVOD Ifereča klea tatitika odročje tatitike, ki e ukvarja metodami tatitičega kleaja agl. to ifer kleati. Statitičo kleaje idukcija agl. tatitical iferece kleaje i vorca a oulacijo. V tatitiki možiče ojave raviloma raikujemo a odlagi odatkov i verjetotih vorcev. Pri tem uorabljamo metode tatitičega kleaja. etode tatitičega kleaja: - tatitičo ocejevaje otoek, katerim i vorca ridobimo oceo tatitiče karakteritike celote oulacije, - reikušaje hiote reverjaje domev otoek, v katerem a oovi odatkov i vorca reverjamo veljavot domev a oulaciji. Somimo e: - oulacija možica veh roučevaih elemetov, veh eot, - vorec odmožica oulacije, a oovi katere kleamo o latotih cele oulacije. Pomembo je, da je vorec verjetote. 4. VZORČENJE Literatura: G. Kalto i V. Vehovar 00: Vorčeje v aketah. Ljubljaa: FDV. Primeri uorabe: tetiraje atveih teorij ociol., olit., ekoom. itd., dravtvo r. tetiraje dravil, vlade ititucije demografki odatki, odatki o breoeloti, dohodkih, življejkih troških, iobraževaju itd., tržo raikovaje, javomejke raikave.

3 Zgodovia: Začelo v 30-ih letih 0. tol.. Ramah i lošo rejeto v letih red. v. vojo. Oovi ojmi Poulacija: možica veh roučevaih elemetov. Vorec: odmožica oulacije, a oovi katere kleamo o latotih cele oulacije. Vorčeje: Proce ibire dela oulacije, ki bo vključe v raikavo. Pomembo: elemete i oulacije lučajo ibiramo v vorec verjetoto o. lučajoto vorčeje. Vorči okvir: eam elemetov eot cilje oulacije, i katerega ibiramo elemete v vorec. Verjetoti vorci agl. robability amle: vak elemet v oulaciji ima varej ao i eičelo verjetot, da e ojavi v vorcu. Neverjetoti vorci agl. orobability amle: e adotijo gorjemu ogoju. Pomembo: Samo ri verjetotih vorcih lahko uorabimo tatitičo kleaje i vorca a oulacijo. Zato jih ogoto imeujemo tudi atvei vorci. Načii verjetotega vorčeja: eotavo lučajo vorčeje itematičo vorčeje tratificirao vorčeje večtoejko vorčeje oramero vorčeje dvofao vorčeje vorčeje relikacijami aeli vorci Načii everjetotega vorčeja: riložoto vorčeje ekerta ibira kvoto vorčeje 3

4 4.. Eotavo lučajo vorčeje Najrerotejše, oova vem drugim metodam. Agl. imle radom amlig SRS vorci. Kdaj je vorec SRS vorec?. Vaka eota ima eičelo, varej ao verjetot ibora. Verjetoti vorec.. Vaka eota ima eako verjetot ibora v vorec. EPSE vorec. 3. Vi moži vorci o eako verjeti. SRS vorec. Vorčeje oavljajem ibrae eote red oovih ibirajem vremo v oulacijo. Število veh možih vorcev je N, če je N število eot v oulaciji i število eot v vorcu. Vorčeje bre oavljaja ibrae eote red oovih ibirajem e vremo v oulacijo. Število lučajih vorcev bre oavljaja a je eot v vorcu. N e uoštevamo vrtega reda ibraih PRIER: Vorčimo 00 študetov med 500 redimi študeti. letika FDV v štud. letu 003/004. Poulacija: 500 redih študetov FDV v 003/004 N500 Vorec: 00 študetov 00 Vorči okvir: eam študetov i Referata, ureje o idetifikacijkih številkah od 00 do 500. Načii ibire vorca: r. loterija, varej riravljea tabela lučajih števil, lučajo račuališko geerira eam števil. 4.. Sitematičo vorčeje Bolj raktiča, eotava metoda. Agl. ytematic amlig. I eama vorčega okvira iberemo v vorec vak k-ti elemet, ri čemer mo redhodo ibrali določe lučaji ačetek. Verjetoti i EPSE vorec, i a SRS vorec. 4

5 PRIER: Vorčimo 00 študetov med 500 redimi študeti. letika FDV v štud. letu 003/004. Načii ibire vorca: itematičo vorčeje. Delež vorca v celoti oulaciji: 00/5000. o. ramerje :5. Sitematiči vorec velikoti 00 dobimo tako, da določimo lučajo številko med i 5 i tem določimo rvega študeta v vorcu. Nato a v vorec vključimo vakega etega študeta. Če bi r. lučajo ibrali ačeto številko 4, bi bili v vorcu študeti števili 4, 9, 4, 9, itd. Zakaj itematičo vorčeje i SRS? Nr. vorec elemetoma i 4 je emogoč. Verjetot, da iberemo vorec elemetoma 4 i 9 a je /5. Torej, vi vorci io eako verjeti Stratificirao vorčeje Pomagamo i varej oaimi iformacijami o oulaciji. Pri tratificiraem vorčeju oulacijo a oovi ekih varej oaih iformacij radelimo a odoulacije o. tratume. V otoku ibiraja vorca ato oravimo vorčeje ločeo i eodvio v vakem tratumu oebej. Proorcioala tratifikacija: velikoti vorca v tratumih o oramere utrei velikoti oulacije. Diroorcioala tratifikacija: velikoti vorca v tratumih io oramere utrei velikoti oulacije. PRIER: Vorčimo 00 študetov med 500 redimi študeti 350 žekami, 50 moškimi, torej 70% žek i 30% moških. letika FDV v štud. letu 003/004. Stratificirao vorčeje Poulacijo 500 študetov radelimo a dva tratuma: N 350 žeke i N 50 moški. a V vorcu želimo 50 študetk i 50 študetov DISPROPORCIONALNA STRATIFIKACIJA. Zotraj žek vorčimo 50 eot i otraj moških vorčimo 50 eot. b V vorcu želimo 70% 70 študetk i 30% 30 študetov PROPORCIONALNA STRATIFIKACIJA Zotraj žek vorčimo 70 eot i otraj moških vorčimo 30 eot. Torej ramerje žeke:moški je 7:3 a oulaciji i v vorcu. 5

6 4..4 Vorčeje v kuiah i večtoejko vorčeje Pomagamo i varej oaimi iformacijami o oulaciji o tem, kako e eote družujejo v eke kuie, r.: - oebe v goodijtva, goodijtva v aelja, aelja v občie, občie v regije, - dijaki v rarede, raredi v šole. Potoek vorčeja: Na rvi toji lučajo iberemo vorec kui. Na drugi toji otraj ibraih kui a iberemo v vorec ve eote vorčeje v kuiah ali b eote vorčimo dvotoejko vorčeje. ožo je tudi vorčeje a več kot dveh tojah - večtoejko vorčeje. PRIER Redi študeti. letika FDV o viai v 3 rogramov. Vorčeje v kuiah: Na rvi toji lučajo iberemo 3 imed 3 rogramov, ato a otraj ibraih rogramov kui iberemo ve študete. Pričakujemo vorec velikoti cca. 50 eot. Dvotoejko vorčeje: Na rvi toji lučajo iberemo 3 imed 3 rogramov kui, ato a otraj ibraih kui lučajo iberemo še vorec 0 študetov, da dobimo vorec velikoti 60. Primerjava: tratificirao vorčeje - vorčeje v kuiah o. večtoejko vorčeje Stratificirao vorčeje Vi tratumi o vključei v vorec. Povečuje atačot oce. Zaželea je otraja homogeot tratumov. Vorčeje v kuiah o. večtoejko vorčeje V vorec je vključe le vorec kui. Zmajšuje atačot oce, ato je omembo, da ibrae kuie redtavljajo tudi otale kuie. Zaželea je otraja homogeot kui. Ceejše. 6

7 4.3 VZORČNE STATISTIKE IN NJIOVE PORAZDELITVE 4.3. Oovi ojmi i oake Statitiče karakteritike imeujemo: arametri, če o iračuae ali ocejee a oulacijo fika števila, običajo eaa, tatitike, če o iračuae a vorcu variabila števila, e remijajo od vorca do vorca. Oake: Statitiče karakteritike oulacije torej arametre oačujemo grškimi črkami, r. - število eot N, - aritmetiča redia µ, - tadardi odklo σ, - delež, vorca torej tatitike oačujemo latikimi črkami, r. - število eot, - aritmetiča redia, - tadardi odklo, - delež. Večio akoitoti ifereče tatitike je bilo ieljaih od redotavko, da ibrae eote red oovih ibirajem vremo v oulacijo vorec oavljajem. Če je velikot vorca v rimerjavi oulacijo majha, e e regrešimo reveč, če imamo a lučaji vorec tudi vorec, ki atae lučajim ibirajem bre oavljaja. Va ravila a iraču tatitičih karakteritik a oulaciji torej arametrov, ki jih že oamo, veljajo tudi a iraču tatitičih karakteritik a vorcu torej tatitik, le da v jih uorabimo druge oake. Ijema ta variaca i i je iračuai tadardi odklo. 7

8 Poulacija Vorec Aritmetiča redia µ N x i N i x i i Variaca σ N N i x i µ i x i Stadardi odklo σ σ N N i x i µ i x i Delež eot določeo latotjo relativa frekveca vredoti x i f i f i N 4.3. Poradelitve vorčih tatitik Zakaj a aimajo oradelitve vorčih tatitik? Ker o oova a dva oova otoka kleaja i vorca a oulacijo:. tatitičo ocejevaje ačiloti oulacije točkovimi oceami ali itervali auaja i. reverjaje domev tetiraje hiote. Gre a akoitot ve med oovo oulacijo i oulacijo veh možih vorcev i te oulacije, temeljijo a a verjetotem račuu. Defiirajmo... Deimo, da imamo v oulaciji N eot i da i te oulacije lučajo ibiramo oavljajem eot v eotavi lučaji vorec ali a kratko lučaji vorec vaka eota ima eako verjetot, da bo ibraa v vorec, i vi vorci o eako verjeti. Predtavljamo i, da mo i oulacije brali ve može vorce. Dobili mo oulacijo veh možih vorcev. Primer: Vemimo oulacijo N 4 eotami, ki imajo aledje vredoti remeljivke : 0,,, 3 8

9 Grafičo i lahko oradelitev remeljivke redtavimo hitogramom: f i % 5% 0% 0 3 Iračuamo lahko oulacijko aritmetičo redio i tadardi odklo: µ N σ N N i σ. N x i i x i 3 µ 5 4 Sedaj a tvorimo ve može vorce velikoti oavljajem vorcev je N 4 6 i a vakem iračuajmo vorčo aritmetičo redio : x i i vorci vorci 0, 0 0, 0 0, 0.5,.5 0,, 0, 3.5, 3.5, , 0.5, 3,,,5 3,.5, 3 3, 3 3 eote remeljivka: vorča aritmetiča redia Ve može vorce lahko obravavamo kot eko ovo oulacijo, aritmetičo redio a vorcih a kot lučajo remeljivko. vredoti remeljivke Eota: vorec Velikot oulacije: N 4 6 vi moži vorci Sremeljivka: vorča aritmetiča redia/ovrečje aritmetiča redia, iračuaa a vak vorec Za remeljivko vorča aritmetiča redia/ovrečje lahko aišemo frekvečo oradelitev: 9

10 Vorča aritmetiča redia i f i f i % Število veh vorcev Delež veh vorcev relativa frekveca 0 /6 0,5 /6 3 3/6,5 4 4/6 3 3/6,5 /6 3 /6 6 Sremeljivko vorča aritmetiča redia lahko grafičo redtavimo hitogramom: f i Iračuamo lahko aritmetičo redio imeovali jo bomo matematičo uaje i variaco imeovali jo bomo dierija lučaje remeljivke vorča aritmetiča redia. atematičo uaje agl. exected value aritmetiča redia lučaje remeljivke. I verjetote teorije: matematičo uaje lučaje remeljivke E je ričakovaa vredot lučaje remeljivke, če oku velikokrat oovimo. Predtavlja ovrečje realiacij remeljivke v velikem številu oovitev okua. V ašem rimeru: matematičo uaje lučaje remeljivke vorča aritmetiča redia redtavlja ričakovao vredot vorče aritmetiče redie, ki jo iračuamo tako, da iračuamo ovrečje vorčih aritmetičih redi a veh možih vorcih. E µ f i i i 0 + 0, , ,5 + 3,5 6 Dierija agl. dierio variaca lučaje remeljivke. I verjetote teorije: dierija ali variaca meri variabilot lučaje remeljivke okoli voje aritmetiče redie, torej okoli matematičega uaja E. Iračuamo jo kot ovreči kvadrati odklo vredoti od aritmetiče redie. 0

11 V ašem rimeru: dierija ali variaca lučaje remeljivke vorča aritmetiča redia meri variabilot vorčih aritmetičih redi okoli vojega ovrečja, torej okoli matematičega uaja. Kore i dierije je tadardi odklo. m D σ fi D σ i 0,65 0,79 i µ 0, ,5, ,5 5 0,65 8 S tem rimerom mo okaali, da je tatitika vorča aritmetiča redia lučaja remeljivka vojo oradelitvijo, vojo aritmetičo redio i vojim tadardim odkloom. Povetek: Origiala oulacija N 4, remeljivka Eakomera oradelitev. f i % 5% Poulacija veh vorcev N 6, remeljivka Simetriča, uimodala oradelitev. 4 f i 3 0% µ σ σ x E µ D σ 3 µ σ σ σ Katere ačiloti oradelitve vorčih tatitik lahko oaimo i tega rimera?. Poradelitev vorčih tatitik e e ujema oradelitvijo origiale remeljivke a oulaciji.. Povrečje matematičo uaje veh vorčih aritmetičih redi je ravo eako ovrečju vredoti a oulaciji.

12 3. Stadardi odklo vorčih aritmetičih redi je ravo eak tadardemu odklou vredoti a oulaciji, deljeo koreom i velikoti vorca. Imeovali ga bomo tadarda aaka. eri raršeot vorčih tatitik, v tem kokretem rimeru σ vorčih aritmetičih redi. σ Pogledali mo i, kaj e godi, če i eke oulacije tvorimo ve može vorce i a vak može vorec iračuamo aritmetičo redio. V tem rimeru lahko vorče aritmetiče redie obravavamo kot ovo lučajo remeljivko, lahko jo grafičo redtavimo i ajo iračuamo matematičo uaje i dierijo. Na eak ači bi lahko a veh možih vorcih iračuali katerokoli tatitiko oleg aritmetiče redie tudi mediao, modu, kvatile, variaco, delež itd. i ajo aiali oradelitev. Če torej i eke oulacije aredimo ve može vorce velikoti i če a vak vorec iračuamo eko tatitiko, e ta vorča tatitika ralikuje od vorca do vorca. Na ta ači dobimo eko oradelitev vorče tatitike, ki jo imeujemo vorča oradelitev agl. amlig ditributio. Nr. oradelitev vorčih aritmetičih redi, deležev itd. Sloše ai: V lošem bomo oradelitve vorčih tatitik aiali a aledji ači:. g je vorča tatitika, katero ocejujemo oulacijki arameter γ.. Poradelitev vorče tatitike r. g: N Eg, SEg vorča tatitika oblika oradelitve arametri oradelitve 3. Oblika oradelitve je lahko ormala N, Studetova t t, hi-kvadrat χ itd. Kakša bo oblika oradelitve, je odvio od tega, a katero vorčo tatitiko gre i kako velike vorce delamo.

13 4.3.3 Poradelitev vorčih aritmetičih redi Deimo, da e remeljivka a oulaciji oradeljuje ormalo Nµ, σ. I oulacije tvorimo ve može vorce velikoti i a vakem vorcu iračuamo vorčo aritmetičo redio. Dokaati e da, da je oradelitev vorčih aritmetičih redi a veh možih vorcih ormala, kjer je: matematičo uaje vorčih aritmetičih redi t.j. ovrečje vorčih aritmetičih redi reko veh vorcev eako aritmetiči redii remeljivke a oulaciji torej oulacijkemu arametru: E µ tadardi odklo vorčih aritmetičih redi im. ga tadarda aaka eak σ σ SE D µ če tvorimo vorce i koče oulacije oavljajem SE σ N N če tvorimo vorce i koče oulacije bre oavljaja če je vorec v rimerjavi oulacijo elo majhe, je oravek, torej i ralike med vorčejem ali bre oavljaja Torej: : N E, SE σ : N µ, oradelitev vorčih aritmetičih redi Ta akoitot velja a adoti velike vorce 30, tudi če e remeljivka a oulaciji e oradeljuje ormalo. Primer: Deimo, da e remeljivka iteligeči kvociet a oulaciji oradeljuje ormalo aritmetičo redio µ00 i tadardim odkloom σ 5. : N 00, 5 I oulacije tvorimo vorce oavljajem velikoti 5 eot 5. a Kako e oradeljujejo vorče aritmetiče redie? b Grafičo redtavite obe oradelitvi oradelitev remeljivke iteligeči kvociet i remeljivke vorče aritmetiče redie. c Kolikše vorče aritmetiče redie ima 90% veh vorcev imetričo a ovrečje? d Kakše je ta iterval, če ovečamo velikot vorca a 500? e Primerjajte oradelitve vorčih aritmetičih redi ri raličo velikih vorcih: 5, 65, 500. a Poradelitev vorčih aritmetičih redi 5 Vorče aritmetiče redie e oradeljujejo ormalo aledjima matematičim uajem i tadardo aako: 3

14 E 00 SE σ 5 5 : N E, SE σ : N µ, : N00, b Poradelitvi obeh remeljivk Poulacija: : N 00, 5 Poulacija veh vorcev: : N00, c Vorče aritmetiče redie 90% vorcev imetričo a ovrečje Iščemo takše vredoti remeljivke vorča aritmetiča redia, da bo veljalo: P < < 0,90 4

15 Pomagamo i tadardiirao lučajo remeljivko Z, a katero velja: i E i µ i SE σ Iračuamo meje 90% itervala a remeljivko Z i ato iračuamo še meje itervala a remeljivko : P 0,90 0,90 + 0,90 / 0, / 0,05 < Z <,65 +,65 SE + E, ,35 SE + E, ,65 P98,35 < < 0,65 0,90 90% veh lučajih vorcev 5 eot oavljajem bo imelo vorča ovrečja a iteligeči kvociet od 98,35 do 0,65. d Vorče aritmetiče redie 90% vorcev imetričo a ovrečje v rimeru večjega vorca 500 V rimeru večjega vorca je tadarda aaka oradelitve vorčih aritmetičih redi majša. σ 5 E 00 SE 0,3 500 : N00,0.3 Zaradi majše variabiloti vorčih aritmetičih redi je ožji tudi tak iterval: SE + E,65 0, ,5 SE + E,65 0, ,5 P99,5 < < 00,5 0,90 e Poradelitev vorčih aritmetičih redi ri raličo velikih vorcih 5 : N 00, 65 : N 00, : N 00,0.3 5

16 NEKAJ ZAKONITOSTI.... Za dovolj velike vorce 30 e vorče aritmetiče redie oradeljujejo ribližo ormalo goraj defiiraima matematičim uajem i tadardo aako, e glede a obliko oradelitve a oulaciji.. Z večajem vorca e majšuje variabilot vorčih aritmetičih redi majšuje e σ SE. 6

17 Teoretiča oradelitev Vorec remeljivke Vorec remeljivke Vorec remeljivke 5 Vorec remeljivke 0 Vorec remeljivke 30 Gotota Gotota Gotota Gotota Sremeljivka Sremeljivka Sremeljivka Sremeljivka Sremeljivka Sremeljivka ŠE NEKAJ OSNOVNI POJOV... Stadardi odklo tatitike imeujemo tadarda aaka. Stadardi odklo meri variabilot vredoti remeljivke a origiali oulaciji mera variabiloti oameih vredoti remeljivke. Stadarda aaka meri variabilot vorčih tatitik r. vorčih aritmetičih redi a oulaciji veh možih vorcev mera variabiloti vorčih oce tatitik. Je mera a atačot vorče ocee i lučajega vorca. Vorča aritmetiča redia i, iračuaa a i-tem vorcu, je ocea arametra oulacijke aritmetiče redie µ. To je le ea od vredoti, ki jo lahko avame lučaja remeljiva. Vorčo aritmetičo redio imeujemo tudi ceilka oulacijke aritmetiče redie µ. Ceilka je lučaja remeljivka, katere vredoti o odvie od vredoti a vorcu. Je amreč tatitiča karakteritika, ki je iračuaa a vorcu. Namejea je ocejevaju arametra. 7

18 Najbolj omemba merila a kakovot ceilke o:. eritrakot: ceilka je eritraka, če je ovrečje veh vorčih oce matematičo uaje ceilke eako ocejevaemu arametru;. doledot: ceilka je doleda, če e večajem vorca vorča ocea bliža arametru, 3. učikovitot: ceilka je učikovita, kadar je v rimerjavi kako drugo ceilko učikovitejša, če ima majšo variaco, 4. adotot: ceilka je adota, če uorabi ve iformacije vorca, ki o omembe a oceo arametra. Najomembejša latot je eritrakot. Le eritrakimi ceilkami lahko ocejujemo oulacijke arametre. Vorča aritmetiča redia je eritraka ceilka oulacijke aritmetiče redie, ker velja: E µ Poradelitev vorčih deležev Deimo, da želimo a oulaciji oceiti delež eot določeo latotjo. Zato a vakem vorcu oiščemo vorči delež. Pokaati e da, da e a dovolj velike lučaje vorce oavljajem a deleže okoli 0.5 je dovolj 0 eot ali več vorči deleži oradeljujejo ribližo ormalo matematičim uajem vorčih deležev t.j. ovrečjem vorčih deležev reko veh vorcev, ki je eako deležu a oulaciji torej oulacijkemu arametru: E µ tadardim odkloom vorčih deležev tadardo aako, ki je eak Torej: : N E, SE SE D : N, oradelitev vorčih deležev Vorči delež je eritraka ceilka oulacijkega deleža, ker velja E. Primer V ibrai oulaciji rebivalcev je olovica žek 0.5. Če tvorimo vorce o 5 eot, a aima, kakša je verjetot, da je v vorcu več kot 55% žek? 8

19 To omei, da iščemo verjetot, da lučaja remeljivka vorči delež avame vredoti, večje od 0.55: P > 0.55? Vemo, da e vorči deleži a veh možih vorcih oradeljujejo ribližo ormalo aledjima matematičim uajem i tadardo aako: : N E, SE : N, : N0.5, 5 : N0.5,0. x Ker lahko tudi vorče deleže tadardiiramo i i E SE Poradelitev remeljivke "vorči deleži" a oulaciji veh vorcev lahko verjetot ikaega itervala račuamo omočjo tadardiirae remeljivke Z: Če bi lučajo ibrali e vorec, bi bila verjetot, da je v jem delež žek večji od 0.55, ribližo 3%. Pričakujemo lahko, da bo ri ribližo 3% vorcev delež žek večji od i P > Sremeljivka - vorči delež žek P > 0.55 P Z > P Z > Poglejmo, kakša je verjetot, če bi tvorili vorce velikot 500. V tem rimeru je oradelitev vorčih deležev aledja: Verjetot ikaega itervala je: : N E, SE : N, : N0.5, : N0.5, P > 0.55 P Z > P Z > Če je delež žek a oulaciji 0.5, otem i verjeto, da bi a vorcu 500 eot dobili več kot 55% žek. 7 9

20 4.3.5 Poradelitev ralik vorčih aritmetičih redi Deimo, da imamo dve oulaciji velikoti N i N i e remeljivka a rvi oulaciji oradeljuje ormalo : Nµ,σ, a drugi oulaciji a : Nµ,σ. V vaki od obeh oulacij tvorimo eodvio lučaje vorce oavljajem velikoti i. Na vakem vorcu rve oulacije iračuamo vorčo aritmetičo redio i odobo a vakem vorcu druge oulacije. Dokaati e da, da je a dovolj velike vorce, 30 oradelitev ralik vorčih aritmetičih redi ribližo ormala, kjer je matematičo uaje ralik vorčih aritmetičih redi t.j. ovrečje ralik vorčih aritmetičih redi reko veh arov vorcev i obeh oulacij eako raliki oulacijkih aritmetičih redi torej oulacijkemu arametru E E E µ µ tadardi odklo ralik vorčih aritmetičih redi tadarda aaka eak SE D D + D σ σ + Torej: : N E, SE σ σ : N µ µ, + oradelitev ralik vorčih aritmetičih redi Primer: Dvema oulacijama študetov a eki uiveri tehikom i družbolovcem o imerili eko oobot ovrečjema µ d 80 i µ t 70 točk ter tadardim odkloom, ki je a obeh oulacijah eak, σ d σ t 7 točk. Kolikša je verjetot, da je aritmetiča redia lučajega vorca družbolovcev velikot d 36 eot večja a več kot točk od aritmetiče redie lučajega vorca tehikov velikot t 64 eot? To omei, da iščemo verjetot, da lučaja remeljivka ralika vorčih aritmetičih redi avame vredoti, večje od : >? P d t Vemo, da e ralike vorčih aritmetičih redi a veh možih vorcih oradeljujejo ribližo ormalo aledjima matematičim uajem i tadardo aako: 0

21 d d d d t t t t : N E : N µ µ, d d : N80 70, : N0,.46 t, SE t σ d σ + d t t d t x Poradelitev remeljivke "ralike vorčih aritmetičih redi" a oulaciji veh vorcev P d t > Sremeljivka ralika vorčih aritmetičih redi družbolovcev i tehikov Ker lahko tudi ralike vorčih aritmetičih redi tadardiiramo i E SE σ µ σ + µ lahko verjetot ikaega itervala račuamo omočjo tadardiirae remeljivke Z: E d t 0 P d t > P Z > P Z > P Z > , SE.46 d t Če bi lučajo ibrali o e vorec i vake oulacije študetov e ar vorcev, bi bila verjetot, da je ovrečje družbolovcev a točk večje od ovrečja tehikov, ribližo 8.5%. 8.5% arov vorcev je torej takih, da je ovrečje družbolovcev večje od ovrečja tehikov a točk Poradelitev ralik vorčih deležev Podobo kot ri oradelitvi ralik vorčih aritmetičih redi aj bota dai dve oulaciji velikoti N i N deležema eot eko latotjo i. I rve oulacijo tvorimo lučaje vorce oavljajem velikoti i a vakem iračuamo delež eot to latotjo. Podobo aredimo tudi a drugi oulaciji: eodvio od rvih vorcev tvorimo lučaje vorce oavljajem velikoti i a jih določimo deleže. Pokaati e da, da je a dovolj velike vorce oradelitev ralik vorčih deležev ribližo ormala, kjer je

22 matematičo uaje ralik vorčih deležev t.j. ovrečje ralik vorčih deležev reko veh arov vorcev i obeh oulacij eako raliki oulacijkih deležev torej oulacijkemu arametru E E E tadardi odklo ralik vorčih deležev tadarda aaka eak SE D D + D + Torej: : N E : N,, SE + oradelitev ralik vorčih deležev Primer: Za dve oulaciji študetov a eki uiveri tehiki i družbolovci imamo odatek o tem, koliko jih redo uorablja iteret. Ikaalo e je, da a obeh oulacijah iteret redo uorablja 95% veh študetov. Recimo, da tvorimo vorec študetov tehike t 64 i vorec študetov družbolovja d 36. Kolikša je verjetot, da bi dobili taka vorca, da bi bil delež redih uorabikov itereta med tehiki večji kot med družbolovci? To omei, da iščemo verjetot, da lučaja remeljivka t - d ralika vorčih deležev avame vredoti, večje od 0: P t > d P t - d > 0? Vemo, da e ralike vorčih deležev a veh možih vorcih oradeljujejo ribližo ormalo aledjima matematičim uajem i tadardo aako: t t d d : N E : N, t t, SE d d t t d d + t t d d t t d d : N , : N0, Poradelitev remeljivke "ralika vorčih deležev" a oulaciji veh vorcev x P t d > Sremeljivka t d ralika vorčih deležev tehikov i družbolovcev

23 3 Ker lahko tudi ralike vorčih deležev tadardiiramo lahko verjetot ikaega itervala račuamo omočjo tadardiirae remeljivke Z: Če bi lučajo ibrali o e vorec i vake oulacije študetov e ar vorcev, bi bila verjetot, da je delež tehikov, ki redo uorabljajo iteret, večji od deleža družbolovcev, ki redo uorabljajo iteret, 50%. Kljub temu da a oulacijah tehikov i družbolovcev i ralik v ogototi uorabe itereta, bi v olovici rimerov arov vorcev dobili tak ar, kjer bi bil delež redih uorabikov itereta med tehiki večji od deleža med družbolovci. SE E i > > > > Z P Z SE E Z P P d t d t d t d t

24 4.4 INTERVALI ZAUPANJA 4.4. Uvod Pogledali mo i, kako lahko reko teorije vorčeja ridobimo iformacije o vorcih, ki o bili lučajo ibrai i ae oulacije. V raki a je otrebo ravo obrato: kleati o oulaciji a oovi vorcev, ki o bili lučajo ibrai i te eae oulacije. V tem rimeru gre a tatitičo kleaje agl. tatitical iferece, katerim e ukvarja odročje ifereče tatitike. Statitičo kleaje uorablja verjetoto teorijo a to, da ove, koliko lahko auamo reultatom, ridobljeim a verjetotem vorcu. Statitičo kleaje kleaje i vorca a oulacijo:. ocea oulacijkih arametrov a oovi vorčih tatitik točkove ocee, itervali auaja;. tetiraje domev o oulaciji. Točkova ocea arametra če je ocea arametra odaa eo amo vredotjo. Itervala ocea arametra če je ocea arametra odaa itervalom vredoti. Iterval vredoti kot oceo oulacijkega arametra im. iterval auaja akauje a točot ocee ter vebuje iformacijo o aeljivoti te ocee določeo verjetotjo auamo, mo gotovi v ravilot ocee. Defiirajmo... Deimo, da lučajim vorcem ocejujemo oulacijki arameter γ. Pokušamo ajti vorčo tatitko g, ki je eritraka ceilka Eg γ i e a veh možih vorcih vaj ribližo ormalo * oradeljuje g: NEg, SEg. Nato okušamo ajti iterval, v katerem e bo dao gotovotjo - ahajal ocejevai arameter: Pa < γ < b - a... odja meja itervala auaja b... gorja meja itervala auaja -... verjetot gotovoti * Dejako i ujo, da e oradeljuje o ormali oradelitvi. Dovolj je že, da to oradelitev oamo kakrša koli ač je. Potoek e utreo rilagodi. 4

25 Ta iterval imeujemo iterval auaja. Iterretiramo: S tvegajem o. gotovotjo - lahko trdimo, da e oulacijki arameter γ ahaja v tem itervalu. Kako kotruiramo iterval auaja?. Statitiko g lahko glede a redotavke o jei oradelitvi tadardiiramo a aledji ači: g E g g γ g Z SE g SE g Dobljea lučaja remeljivka Z e oradeljuje tadardiirao ormalo Z: N0,.. Iterval tvegajem o. gotovotjo - lahko aišemo a tadardiirao remeljivko Z: P < Z < - Ker tvegaje oradelimo olovico a levo i olovico a deo a koce ormale oradelitve velja - /, bomo i odlej iali idekom /. Torej lahko iterval aišemo kot: P- / <Z < / - Grafičo to redtavimo takole: x P < Z < Z 3. Nameto Z-ja v iterval vtavimo obraec, o katerem mo oblikovali tadardiirao remeljivko Z: g γ P < < SE g 4. Ira otraj okleaja utreo reuredimo: 5

26 6 / / / g SE g g SE g g g SE g g SE g g SE g g SE g g SE g g SE g SE g SE g γ γ γ γ γ + < < + > > + < < < < < < i dobimo obraec a iterval auaja: V tem obracu je / določe le tojo tvegaja. Vredoti / lahko raberemo i tabele a verjetoti a tadardiirao ormalo oradelitev, ker velja - / - / /. 0.0, / , / , /.58 Sloše obraec a iterval auaja tvegajem o. gotovotjo -: γ g:neg, SEg o. g:nγ, SEg Pg - / SEg < γ < g + / SEg Iterval auaja a oulacijko aritmetičo redio Iterval auaja a oulacijko aritmetičo redio µ tvegajem o. gotovotjo -: Poulacijkega tadardega odkloa σ eveda običajo e oamo. Če lahko redotavimo, da e remeljivka a oulaciji oradeljuje ormalo i če imamo dovolj velik vorec > 30, lahko ameto oulacijkega tadardega odkloa vamemo oceo tadardega odkloa i vorca i iterval auaja aišemo:, :., : N o SE E N σ µ µ σ µ σ µ + < < + < <. P o SE SE P µ + < < P

27 ri čemer vorči tadardi odklo iračuamo takole: i x i Tako defiiraa vorča variaca je amreč eritraka ceilka oulacijke variace E σ i tako adoti dobra ocea oulacijke variace. Primer: Na vorcu velikoti 5 odjetikov v majhih odjetjih v Sloveiji, ki je bil ivede v okviru akete Drobo goodartvo v Sloveiji Prašikar, 993, o iračuali, da je ovreča tarot aketiraih odjetikov 40.4 let i tadardi odklo 0. let. Pri 5% tvegaju želimo itervalom auaja oceiti ovrečo tarot odjetikov v majhih odjetjih v Sloveiji. µ : N E, SE o. σ : N µ, P P SE < µ < + σ < µ < + SE σ o. o. ker σ e oamo : P < µ < + I tabele a tadardiirao oradelitev Z raberemo: a ,05 I tabele raberemo: m.96 V obraec a iterval auaja vtavimo otrebe odatke i iračuamo: P < µ < < µ < < µ < < µ < % iterval auaja a ovrečo tarot odjetikov v majhih odjetjih v Sloveiji je med 38.8 i 4.0 leti. Z 95% gotovotjo o. 5% tvegajem ocejujemo, da je ovreča tarot odjetikov v majhih odjetjih v Sloveiji med 38.8 i 4.0 leti. 7

28 Iterval auaja a oulacijki delež Iterval auaja a oulacijki delež tvegajem o. gotovotjo -: Seveda oulacijkega deleža e oamo, ato v tadardi aaki SE ameto uoštevamo jegovo vorčo oceo. Če imamo dovolj velik vorec > 0 ri deležih okoli 0.5, ri bolj ektremih deležih mora biti vorec večji, lahko torej iterval auaja aišemo: Primer: Na vorcu 5, ki je bil ivede v okviru akete Drobo goodartvo v Sloveiji, o iračuali, da je delež obrtih odjetij Pri 0% tvegaju želimo itervalom auaja oceiti delež obrtih majhih odjetij v Sloveiji. + < < + < < + < < o.:., :., : P P o SE SE P N o SE E N I tabele a tadardiirao oradelitev Z raberemo: V obraec a iterval auaja vtavimo otrebe odatke i iračuamo: < < + < < + < < + < < P, :., : N o SE E N + < < + < <. P o SE SE P + < < P.65 I tabele raberemo: 0, m a

29 90% iterval auaja a delež majhih obrtih odjetij med vemi majhimi odjetji v Sloveiji je med 0.43 i Z 90% gotovotjo o. 0% tvegajem ocejujemo, da je % majhih obrtih odjetij med vemi odjetji v Sloveiji med 43% i 57% Pome toje tvegaja ri itervalih auaja Za vak lučaji vorec lahko ob omejeih redotavkah iračuamo ob ibrai toji tvegaja iterval auaja a arameter γ. Ker e odatki od vorca do vorca ralikujejo, e ralikujejo tudi iračuae vorče tatitike vorče ocee arametrov i tem iračuai itervali auaja a arameter γ. Če bi a oovi veh možih lučajih vorcev eke velikoti i eke oulacije iračuali itervale auaja tojo tvegaja 0.05, bi 5% teh itervalov e okrilo ikaega arametra γ. Primer: Ocejujemo oulacijki arameter aritmetiča redia µ remeljivke iteligeči kvociet. Deimo, da v tem rimeru oamo oradelitev te remeljivke a oulaciji : N00, 5. Recimo, da aredimo 00 lučajih vorcev velikoti 00 eot i a oovi vakega vorca iračuamo 95% iterval auaja a to oulacijko aritmetičo redio. Pričakujemo lahko, da bo ribližo 95% teh itervalov ravilo okrilo arameter µ. S omočjo račuališke imulacije htt://ltat.kuleuve.be/java/ mo iračuali 00 itervalov auaja ri 0.05 a oovi lučajih vorcev velikoti 00 eot i oulacije oradelitvijo : N00, 5. V gorjem delu je rikaaa oradelitev remeljivke a oulaciji krivulja ter oradelitev vredoti v eem imed lučajih vorcev hitogram tolci. V odjem delu je rikaaih 00 itervalov auaja ikica vorča aritmetiča redia, daljica meje itervala. Rdeče obarvai itervali e okrijejo e vebujejo oulacijke aritmetiče redie µ 00. V tem rimeru je takih itervalov % v rimeru veh možih vorcev bi jih bilo 5%. atematičo uaje 00 vorčih aritmetičih redi je v rimeru veh možih vorcev bi bilo 00. 9

30 30

31 4.4.5 Kako e remija iterval auaja. Če remijamo tojo tvegaja? Večji ožji iterval Večje tvegaje o. majša gotovot riaša bolj atačo oceo.. Če remijamo velikot vorca? Večji ožji iterval, ker e majšuje SEg r., če je g aritmetiča redia velja: SEg t.odklo/ Večji vorec riaša bolj atačo oceo. 3

32 Primer: Sremijaje velikoti itervala auaja ob remijaju toje tvegaja Račuališke imulacije, htt://ltat.kuleuve.be/java/ 3

33 Primer: Sremijaje velikoti itervala auaja ob remijaju velikoti vorca Račuališke imulacije, htt://ltat.kuleuve.be/java/ 33

34 4.5 PREVERJANJE DONEV 4.5. Uvod Preverjaje domev kot atvea metoda: oaovaje ojava, otavljaje vrašaj, formuliraje hiote, biraje emiričih odatkov ekerimet, aketa itd., rejemaje o. avračaje hiote i oledičo, ravijaje teorij i akoitoti. Primer domeve o oulaciji: eke o oobe oravljati več alog itočao kot moški. eke o bolj vetrake. Reševaje roblema: V ekerimet vključimo lučaji vorec moških i lučaji vorec žek. V ekerimetu morajo te oebe oravili več eotavih alog itočao. Na oovi dobljeih reultatov reverjamo domevo: ovrečo število alog, ki o jih oobe oravljati žeke itočao, je večje od ovrečega števila alog a moške: : µ - µ >0 Zatvea domeva hiotea trditev o ekem dejtvu, ki ahteva otrditev. Statitiča domeva hiotea domeva o eem ali več oulacijkih arametrih, o oulacijki oradelitvi, o oveaoti dveh remeljivk a oulaciji, o odvioti dveh remeljivk a oulaciji itd., ki ahteva otrditev. Statitiče domeve običajo e moremo reverjati a celoti oulaciji, ač a jo reverjamo a oovi odatkov i vorca. Z metodami tatitičega kleaja reverjamo, ali akoitot, 34

35 ugotovljea a vorcu, velja tudi a oulacijo. Preverjamo, kako verjeto je, da e je akoitot, ugotovljea a vorcu, godila golj lučajo. Če je to elo malo verjeto, redvidevamo da e je godila ato, ker velja ta akoitot tudi a oulaciji. To aredimo tako, da rimerjamo oceo i vorca domevo oulacijko vredotjo. Preverjaje domev im. tudi tet tatitiče ačiloti agl. tet of igificace. V okviru ašega redmeta bomo obravavali aledje vrte domev: domeve o oulacijkih arametrih, domeve o oveaoti dveh remeljivk a oulaciji, domeve o odvioti dveh remeljivk a oulaciji. Nekaj oovih ojmov: ičela, alterativa oova domeva tatitiča ačilot igifikaca vredot območje avračaja kritičo območje, območje rejemaja domeve teta tatitika aaka I., II. vrte eotraki, dvotraki tet 4.5. Nači ramišljaja ri reverjaju domev o oulacijkih arametrih. Potavimo domevo o vredoti arametra, r. - delež eot določeo latotjo a oulaciji. Deimo, da je domeva :

36 Ob redotavki, da je domeva ravila, vemo, da e vorči deleži, iračuai a veh možih lučajih vorcih velikoti, oradeljujejo ribližo ormalo : N E, SE : N, Če delamo r. lučaje vorce velikoti 900 i a vakem vorcu določimo vorči delež, e ti vorči deleži oradeljujejo a aledji ači: : N0.36, : N0.36, Poradelitev vorčih deležev veh možih vorcev velikoti 900 ob redotavki Gotota Vemimo e lučaji vorec velikoti 900 vorčim deležem. Ta e lahko bolj ali maj ralikuje od. Če e elo ralikuje, lahko odvomimo o reičoti domeve o. Nr. a ekem vorcu določimo delež I hiotetiče oradelitve vidimo, da je vorcev, ki imajo tak vorči delež, kar ekaj. Torej bi bila domeva lahko reiča. Nr. a ekem vorcu določimo delež 0.3. Vorcev takšim deležem v gorji oradelitvi a je elo malo. Zato odvomimo o reičoti domeve. 3. Kako določimo mejo kdaj odvomimo o reičoti domeve? Okoli določimo območje rejemaja domeve i ive tega območja območje avračaja domeve im. tudi kritičo območje. Običajo je območje avračaja določeo 5% vorcev, ki imajo ektreme vredoti deležev.5% levo i.5% deo, torej imajo elo malo verjete vorče deleže. Včaih je takšo območje določeo tudi 0% ali % vorcev ektremimi vredotmi deležev E Vorči delež 36

37 Poradelitev vorčih deležev veh možih vorcev velikoti 900 ob redotavki 0.36 Gotota Območje avračaja 0.05 Območje rejemaja domeve Vorči delež Območje avračaja 0.05 V ašem rimeru je tàko območje rejemaja domeve ri vorčih deležih med 0.33 i 0.39, območje avračaja domeve a ri vorčih deležih < 0.33 i > Kako mo določili meji 0.33 i 0.39? P P 0.95 / 0.56 < Z < < < ,95 + 0, E i i SE i i Če torej a vorcu dobimo r. delež, ki je majši od 0.33, bi bilo to ri domevi, da je oulacijki delež 0.36, tako malo verjeto, da odvomimo v ravilot domeve Naaki I. i II. vrte Srejemaje ali avračaje domev o oiaem otoku je lahko aačo v dveh milih:. Naaka I. vrte : Če vorča vredot deleža ade v območje avračaja, domevo avremo. Pri tem a vemo, da ob reiči domevi obtajajo vorci, ki imajo vredoti v območju avračaja. Takih 37

38 vorcev je %. je verjetot, da vorča vredot ade v območje avračaja ob redotavki, da je domeva reiča. Zato je verjetot, da avremo ravilo domevo. To verjetot imeujemo aaka I. vrte. Ta aaka je merljiva i jo lahko oljubo majšamo.. Naaka II. vrte β: Vorča vredot lahko ade v območje rejemaja domeve, čerav je ta aača. Verjetot, da e to godi, oačimo β. Gre a verjetot, da rejmemo aačo domevo i jo imeujemo aaka II. vrte. V rimeru, ki ga obravavamo, aj bo rava vredot deleža a oulaciji Tedaj je oradelitev vorčih deležev dejako : N, : N0.40, 900 : N0.40, i e : N 0.36, Ker je območje rejemaja domeve v itervalu 0.33 < < 0.39, lahko iračuamo verjetot β, da bomo rejeli aačo domevo, tako da oiščemo verjetot, da vorči deleži i rave oradelitve vorčih deležev avamejo vredoti med 0.33 i E 0.39 E β P0.33 < < 0.39 P < Z < SE SE P < Z < P 4.9 < Z <

39 Naako II. vrte lahko iračuamo le, če imamo ao reičo vredot arametra. Ker a ga oavadi e oamo, tudi e oamo verjetoti aake II. vrte. Zato je rejemaje domev roblematičo. Gotota Poradelitev vorčih deležev veh možih vorcev velikoti Domeva oradelitev 0.36 Prava oradelitev 0.4 β Vorči delež V tatitiki je bil oblikova oebe otoek reverjaja domev, v katerem domeve, ki jo eoredo reverjamo ičele domeve, ikoli e rejemamo, ač a jo le avremo ali a aključimo, da imamo dokaov, da bi jo avrili Potoek reverjaja domev o oulacijkih arametrih. Ničela i alterativa domeva Potavimo dve aroti i domevi o arametru, ki ju imeujemo ičela i alterativa oova domeva agl. ull i alterative hyothei. Ker aradi aake II. vrte domev e moremo rejemati, i otavimo ičelo domevo, ki jo eoredo reverjamo, ter jej aroto alterativo domevo, ki je e reverjamo eoredo. Če v otoku reverjaja domev ičelo domevo lahko avremo, to omei, da otaja alterativa domeva kot ravila domeva. Običajo je ičela domeva tita, ki jo želimo avriti, ker bi radi dokaali ravilot alterative domeve. Od tod tudi oimeovaje alterative domeve oova domeva. Ničela domeva je vedo: 0 : γ γ 39

40 Alterativa domeva a je lahko: : γ γ dvotraki tet : γ > γ eotraki tet : γ < γ eotraki tet V adaljevaju reverjamo ičelo domevo ciljem, da bi jo avrili. Potavimo torej ičelo domevo o oulacijkem arametru, a katero redotavljamo, da je ravila. Če a lučajem vorcu dobimo reultat, ki e ato ralikuje od reultata, ki bi ga ričakovali ri taki domevi, otem rečemo, da je oažea ralika tatitičo ačila agl. tatitically igificat i avremo ičelo domevo. Kako določimo, kdaj je ralika tatitičo ačila? Odločamo e a oovi oradelitve vorče tatitike, ki je kar e da dobra ceilka r. eritraka oulacijkega arametra. To oradelitev tadardiiramo i ajo določimo območje avračaja o. kritičo območje. Če tadardiiraa vredot vorče tatitike ade v kritičo območje, rečemo, da je ralika med vorčo oceo i domevo vredotjo arametra tatitičo ačila i ičelo domevo avremo.. Stoja ačiloti i kritičo območje Odločimo e a makimalo verjetot, ob kateri mo riravljei tvegati aako I. vrte aako, da avremo ravilo domevo. To verjetot imeujemo toja ačiloti agl. level of igificace. Običajo e odločimo a 5% tojo ačiloti 0.05, lahko a tudi % 0.0 ali 0% 0.0. I tabele raberemo vredot utreo tadardiirae remeljivke ob ibraem i tem določimo kritičo območje, torej kdaj bomo avrili ičelo domevo. Pri tem uoštevamo, ali delamo dvotraki ali eotraki tet. Dvotraki tet: : γ γ Iščemo /. Velikot oameega dela kritičega območja je v tem rimeru /. Kritičo območje e ahaja a obeh kocih oradelitve vak del a eem kocu i ima kuo velikot. 40

41 Kritičo območje 0.05 Kritičo območje Z Eotraki tet: : γ > γ ali : γ < γ Iščemo. Velikot kritičega območja je eako i e ahaja krajo levo γ < γ ali krajo deo γ > γ v oradelitvi. Kritičo območje Z 3. Teta tatitika i jea ekerimetala vredot Za arameter oiščemo utreo tatitiko, ki je kar e da dobra ceilka r. eritraka arametra, i jeo oradelitev. To oradelitev tadardiiramo. Stadardiirao ceilko im. teta tatitika. V aših rimerih bomo uorabljali kaeje tudi t teto tatitiko, odvio od tega: kateri oulacijki arameter ocejujemo, kako e oradeljuje vorča tatitika, ki je eritraka ceilka tega arametra. 4

42 g E g g γ g E g g γ t SE g SE g SE g SE g V irau atoa γ, ki je hiotetiča vredot oulacijkega arametra ob redotavki, da je ravila ičela domeva. Na oovi odatkov i vorca iračuamo ekerimetalo vredot tete tatitike e ali t e, ki je tadardiiraa vredot vorče ocee. 4. Skle Primerjamo ekerimetalo vredot tete tatitike vredotjo tete tatitike ri ibrai toji ačiloti. 0 e avremo, če je eotraki tet: e < dvotraki tet: e < /. Če ekerimetala vredot tete tatitike a ade v kritičo območje, ičele domeve e avremo. Rečemo, da vorči odatki kažejo a tatitičo eačile ralike med hiotetičim arametrom γ i vorčo oceo g ri toji ačiloti. Kritičo območje 0.05 Kritičo območje avremo, če eotraki tet: e, dvotraki tet: e / e.96 Če ekerimetala vredot tete tatitike ade v kritičo območje, ičelo domevo avremo i kot ravilo rejmemo alterativo domevo. Rečemo, da vorči odatki kažejo Z 4

43 a tatitičo ačile ralike med hiotetičim arametrom γ i vorčo oceo g ri toji ačiloti. Kritičo območje 0.05 Kritičo območje e Z V otoku reverjaja domev torej ajrej otavimo ičelo domevo o oulacijkem arametru i to domevo reverjamo. Potavimo tudi jej aroto alterativo oovo domevo. Nato vredot vorče tatitike, ki jo dobimo a lučajem vorcu, rimerjamo reultatom, ki bi ga ričakovali ri ravili ičeli domevi. Zaima a, ali je ralika med jima tatitičo ačila agl. tatitically igificat. O tem, ali je ralika tatitičo ačila, e odločamo a oovi oradelitve vorče tatitike, ki je kar e da dobra ceilka r. eritraka oulacijkega arametra. To oradelitev tadardiiramo i ajo - a odlagi ibrae toje ačiloti - določimo območje avračaja o. kritičo območje. Če a lučajem vorcu dobimo reultat, ki e ato ralikuje od reultata, ki bi ga ričakovali ri ravili ičeli domevi, otem rečemo, da je oažea ralika tatitičo ačila i avremo ičelo domevo ter rejmemo alterativo oovo domevo. Poovimo:. Potavimo ičelo i je aroto alterativo domevo.. Poiščemo utreo teto tatitiko i jeo oradelitev. 3. Iračuamo ekerimetalo vredot tete tatitike tadardiiraa vredot a oovi odatkov i vorca. 4. Na odlagi ibrae toje ačiloti določimo območje avračaja ičele domeve kritičo območje. 43

44 5. Če ekerimetala vredot tete tatitike ade v kritičo območje, ičelo domevo avremo i rejmemo oovo domevo. Če ekerimetala vredot tete tatitike e ade v kritičo, rečemo, da ri ibrai toji ačiloti ičele domeve e moremo avriti Ii rogramov a tatitičo aalio odatkov Programi a tatitičo aalio odatkov r. SPSS, Excel iišejo ekerimetalo vredot tete tatitike i odajo t.im. vredot agl. P-value, t.j. verjetot, da ima tadardiiraa remeljivka bolj ektremo vredot od ekerimetale vredoti. Poor: Programi običajo ri tetih, kjer je to mielo vrejo dvotrako -vredot kot a liki. Če želimo dobiti eotrako i dvotrake, jo eotavo delimo. Seveda moramo biti oori, če je e a ravi trai Gre torej a verjetot, da ob ravili ičeli domevi dobimo ekerimetalo vredot tete tatitike, ki je tako ektrema ali bolj ektrema kot vredot, ki mo jo dejako dobili a vorcu. ajša kot je ta verjetot majši kot je, večjo gotovotjo lahko avremo ičelo domevo, aj omei, da bi bila takša vredot, kot mo jo dobili a vorcu, elo malo verjeta ob ravili ičeli domevi e e Z 44

45 vredot lahko iterretiramo tudi kot verjetot aake I. vrte, t.j. aake, da avremo ravilo domevo. Če je verjetot te aake velika, otem e bomo avrili ičele domeve. Če a je verjetot te aake majha, bomo avrili ičelo domevo. Običajo ravilo: Če je ig. 0.05, ičelo domevo avremo. Če je ig. > 0.05, ičele domeve e avremo Primeri Primer : Domeva o oulacijki aritmetiči redii V aketi SJ 00/ 5 je bilo ovrečo število člaov v lovekih goodijtvih 3.7 i variaca.03. Ali lahko ob 0% toji ačiloti trdimo, da je ovrečo število člaov goodijtva v Sloveiji tatitičo ačilo raličo od 3? Sremeljivka - število člaov goodijtva Poulacijki arameter, ki ga ocejujemo: oulacijka aritmetiča redia µ ovrečo število člaov goodijtva Podatki i vorca: 5, 3,7,.03,.45. Domevi: 0 : µ 3 v obliki γ γ : µ 3 v obliki γ γ dvotraki tet Ker rašujemo, ali je ovrečo število člaov raličo od 3.. Teta tatitika i jea ekerimetala vredot Za ceilko oulacijke aritmetiče redie arameter vamemo vorčo aritmetičo redio tatitika, ki e oradeljuje: σ : N E, SE o. : N µ, Iračuajmo hiotetičo oradelitev ob redotavki, da velja ičela domeva. Pri tem oulacijki tadardi odklo, ki ga e oamo, oceimo vorčim tadardim odkloom..45 : N µ, : N3, : N3,

46 Teta tatitika je v tem rimeru tadardiiraa vorča aritmetiča redia: E SE µ Iračuamo ekerimetalo vredot tete tatitike: E µ SE 3. Stoja ačiloti i kritičo območje 0.0 / ±.65 e Skle 6.3 >.65 o. e > / Ekerimetala vredot tete tatitike ade v kritičo območje. 0 avremo, rejmemo Ii i tat. rograma: ig.000, kar beremo kot vredot dvotraka je majša od i omei P Z > 6.3 < Torej je agotovo majša od 0.0 i ičelo domevo lahko avremo. Z e Iterretacija Ničelo domevo avremo ob 0% toji ačiloti. Povrečo število člaov goodijtva a oulaciji je tatitičo ačilo raličo od 3 ri 0% toji ačiloti. 46

47 Pome toje ačiloti V tem rimeru mo 90% gotovi, da je rejeta odločitev o avritvi ičele domeve ravila. Oiroma, obtaja 0% možoti, da mo avrili ravilo domevo aaka I. vrte. Ko rečemo, da domevo avremo ob 0% toji ačiloti, omei, da obtaja 0% možoti, da e motimo. Vedar, ker mo ugotovili, da je vredot < , je možot te aake dejako še majša. Primer : Domeva o oulacijkem deležu V telefoki aketi 50 RIS Raba itereta v Sloveiji htt:// decembra 00 o ugotovili, da je delež uorabikov, ki iteret uorabljajo koraj vak da, 49%. S 5% tojo ačiloti reverimo domevo, da v Sloveiji maj kot olovica rebivalcev devo uorablja iteret. Sremeljivka deva uoraba itereta da, e Poulacijki arameter, ki ga ocejujemo: oulacijki delež delež devih uorabikov itereta. Podatki i vorca: 50, Domevi: 0 : 0.5 v obliki γ γ : < 0.5 v obliki γ < γ eotraki tet Ker rašujemo, ali je delež devih uorabikov itereta majši od Teta tatitika i jea ekerimetala vredot Za ceilko oulacijkega deleža arameter vamemo vorči delež tatitika, ki e oradeljuje: : N E, SE o. : N, Iračuamo hiotetičo oradelitev ob redotavki, da je ravila ičela domeva: : N, : N0.5, : N0.5, Teta tatitika je v tem rimeru tadardiirai vorči delež: E SE 47

48 Iračuamo ekerimetalo vredot tete tatitike: E e 0.45 SE Stoja ačiloti i kritičo območje Skle < -.65 o. e < Ekerimetala vredot tete tatitike e ade v kritičo območje. 0 e moremo avriti e Z Ii i tat. rograma: ig.657, kar beremo kot vredot dvotraka je i omei P Z > Eotraka vredot tita, ki je utrea v tem rimeru - a je 0.657/ i omei PZ < Ker i majša od 0.05, ičele domeve e moremo avriti. Iterretacija Ničele domeve ob 5% toji ačiloti e moremo avriti. Delež devih uorabikov itereta ri 5% toji ačiloti i tatitičo ačilo majši od 0.5. Nimamo dokaov, da bi rekli, da maj kot olovica rebivalcev devo uorablja iteret. Pome Vorči delež 0.49 e ada med 5% ajmajših možih vorčih deležev ri oulacijkem deležu 0.50 i ato e moremo odvomiti v ravilot ičele domeve. Kar 33% veh možih 48

49 vorcev ali vak tretji moži vorec ima ob oulacijkem deležu 0.50 vorči delež 0.49 ali maj, ato i raloga, da bi milili, da domeva o oulacijkem deležu 0.5 i ravila. Primer 3: Domeva o raliki oulacijkih aritmetičih redi V eki majši aketi o aketirace raševali, koliko e trijajo trditvijo Zako je atarela ititucija. Odgovarjali o a letvici od loh e e trijam do 0 elo e trijam. Preveriti želimo domevo, da e moški v ovrečju bolj trijajo to trditvijo kot žeke. ed aketiraci je bilo 36 moških, ki o imeli a tej letvici ovrečje 7., tadardi odklo a. ed aketiraci je bilo še 36 žek, ki o a tej letvici imele ovrečje 7.0 i tadardi odklo. Domevo reverimo ri 5% toji ačiloti. Sremeljivka trijaje trditvijo Zako je atarela ititucija a letvici od do 0. Poulacijki arameter, ki ga ocejujemo: ralika v aritmetiči redii moških i žek µ - µ ralika v ovrečem trijaju moških i žek. Podatki i vorcev: - moški: 36, 7., - žeke: 36, 7.0,. Domevi: 0 : µ µ o. µ - µ 0 v obliki γ γ : µ > µ o. µ - µ > 0 v obliki γ > γ eotraki tet Ker rašujemo, ali e moški v ovrečju bolj trijajo kot žeke, torej, ali je ralika med moškimi i žekami večja od ič.. Teta tatitika i jea ekerimetala vredot Za ceilko ralike oulacijkih aritmetičih redi arameter vamemo raliko vorčih aritmetičih redi tatitika, ki e oradeljuje a aledji ači: : N E, SE σ σ : N µ µ, + 49

50 50 Iračuamo hiotetičo oradelitev ob redotavki, da velja ičela domeva. Pri tem a oceo oulacijkih variac, ki jih e oamo, vamemo vorči variaci kot eritraki ceilki oulacijkih variac: Teta tatitika je v tem rimeru tadardiiraa ralika vorčih aritmetičih redi: Iračuamo ekerimetalo vredot tete tatitike: 3. Stoja ačiloti i kritičo območje Skle <.65 o. e < Ekerimetala vredot tete tatitike e ade v kritičo območje. 0 e moremo avriti. Z e , : , :, : N N N + + µ µ SE E + µ µ D e SE E µ µ

51 Ii i tat. rograma: ig.3953, kar beremo kot vredot dvotraka je i omei P Z > Eotraka vredot ki je utrea v tem rimeru - je / i omei PZ > Ker i majša od 0.05, ičele domeve e moremo avriti. Iterretacija Ničele domeve ob 5% toji ačiloti e moremo avriti. Pri 5% toji ačiloti ugotavljamo, da e moški v ovrečju trditvijo, da je ako atarela ititucija, e trijajo tatitičo ačilo bolj kot žeke. Pome Ralika vorčih aritmetičih redi 0. e ada med 5% ajvečjih možih ralik vorčih aritmetičih redi ri oulacijki raliki 0. Zato e moremo odvomiti v eravilot ičele domeve. Kar 0% veh možih arov vorcev ali vak eti moži ar vorcev ima ob oulacijki raliki 0 raliko vorčih aritmetičih redi 0. ali več, ato i raloga, da bi milili, da domeva o raliki oulacijkih aritmetičih redi 0 i ravila. Primer 4: Domeva o raliki oulacijkih deležev elimo reveriti, ali je redediški kadidat raličo riljublje med metimi i vaškimi rebivalci. Zato mo lučaji vorec rebivalcev ovrašali, ali bi glaovali a redediškega kadidata. Od 300 lučajo ibraih metih rebivalcev jih je 90 glaovalo a kadidata. Od 00 lučajo ibraih vaških rebivalcev a je a kadidata glaovalo 50 rebivalcev. Domevo, da je kadidat raličo riljublje v teh dveh območjih, reverimo ri 0% toji ačiloti. Sremeljivka ali bi glaovali a kadidata DA, NE Poulacijki arameter, ki ga ocejujemo: ralika v deležu med metimi i vaškimi rebivalci - ralika v deležu titih, ki bi glaovali a kadidata, med metimi i med vaškimi rebivalci. Podatki i vorcev: - meti rebivalci: 300, 90/ , - vaški rebivalci: 00, 50/