Bivariatna analiza
|
|
- Breda žagar
- pred 5 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 11 Bivariata aaliza V tem poglavju obravavamo statističo aalizo slučajega vektorja dveh slučajih spremeljivk Iz vzorca i z uporabo ustrezih statističih metod lahko ugotovimo, ali sta dve slučaji spremeljivki statističo začilo medsebojo odvisi Drugi del tega poglavja opisuje aalizo lieare povezaosti dveh slučajih spremeljivk Vzorec običajo sestavljajo pari vredosti slučajih spremeljivk: X i, Y i, i = 1,,, kjer je velikost vzorca 111 Preizkušaje statističe odvisosti Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : spremeljivki X i Y sta eodvisi, H 1 : spremeljivki X i Y sta odvisi Za preizkušaje domeve o statističi povezaosti med dvema slučajima spremeljivkama X i Y a osovi vzorčih podatkov uporabimo test χ Ta test temelji a primerjavi empiričih (dejaskih frekvec s teoretičimi frekvecami Vzorec slučajega vektorja X l, Y l, l = 1,, razporedimo v razrede (k X razredov za spremeljivko X i k Y razredov za spremeljivko Y Števila elemetov vzorca v razredih, to so empiriče oziroma dejaske frekvece ˆ ij, i = 1,, k X, j = 1,, k Y, prikažemo v kotigeči pregledici (pregledica 111 Teoretiče frekvece oziroma teoretiče velikosti razredov ij v kotigeči pregledici izračuamo po asledji eačbi: ij = P [(X = x i (Y = y j ] (111 Z izrazom (X = x i (Y = y j opišemo dogodek, da slučaja spremeljivka X zavzame vredost v i-tem razredu, slučaja spremeljivka Y pa v j-tem razredu Ob predpostavki, da velja ičela hipoteza, da sta slučaji spremeljivki X i Y eodvisi, lahko verje-
2 Bivariata aaliza tost produkta dogodkov (X = x i (Y = y j zapišemo kot produkt verjetosti P [X = x i Y = y j ] = P [X = x i ] P [Y = y j ] Pregledica 111: Dejaske velikosti razredov Spremeljivka X Vsota za vse Spremeljivka Y 1 k X razrede Y 1 ˆ 11 ˆ 1 ˆ kx 1 ˆ Y 1 ˆ 1 ˆ ˆ kx ˆ Y k Y ˆ 1 ky ˆ ky ˆ kx k Y ˆ Y ky Vsota za vse razrede X ˆ X1 ˆ X ˆ X kx Verjetosti, da je X = x i oziroma Y = y j lahko oceimo iz vzorca: P [X = x i ] = ˆ Xi i P [Y = y j ] = ˆ Y j (11 Če eačbi (11 upoštevamo v eačbi (111, lahko zapišemo koči izraz za določitev teoretičih velikosti razredov ij ij = ˆ Xi ˆ Y j (113 Sestavimo kotigečo pregledico teoretičih frekvec ij ter jih s statistiko H primerjamo z dejaskimi: H = k X k Y j=1 ( ij ˆ ij ij (114 Statistika H se porazdeljuje po porazdelitvi χ z ν = (k X 1(k Y 1 prostostimi stopjami Kritičo območje za zavritev ičele domeve je [χ 1 α,ν, Če je statistika H > χ 1 α,ν, ičelo domevo zavremo i trdimo, da sta slučaji spremeljivki statističo začilo medsebojo odvisi Primer 111 Aketirace, ki jih razporedimo po starosti v tri skupie (mlajši, sredji, starejši, vprašamo, kaj si mislijo o ekem ukrepu ašega župaa Moža sta dva odgovora: za ali proti Rezultate podajamo v asledji kotigeči pregledici
3 111 Preizkušaje statističe odvisosti 185 Pregledica 11: Dejaske velikosti razredov Meje o Starost Vsota ukrepu mlajši sredji starejši za proti Vsota Ugotoviti želimo ali starost meščaov vpliva a meje o ukrepu župaa Tvegaje aj bo eako 5 % Rešitev: Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : Meje o ukrepu je eodvisa od starosti meščaov, H 1 : Meje o ukrepu je odvisa od starosti meščaov Statistiko H bomo določili po eačbi (114 Zato moramo ajprej izračuati teoretiče velikosti razredov ij po eačbi (113, ki jih prikazujemo v asledji pregledici Pregledica 113: Teoretiče velikosti razredov Meje o Starost Vsota ukrepu mlajši sredji starejši za proti Vsota Glede a tvegaje α = 005 lahko zapišemo kritičo območje: [χ 1 α,ν,, kjer je število prostostih stopej eako ν = (3 1( 1 = Če bo statistika H večja od χ 1 α,ν, ičelo hiptezo zavremo i trdimo, da sta meje o ukrepu i starost aketiracev odvisi slučaji spremeljivki Mejo kritičega območja odčitamo iz pregledic ali izračuamo z račuališkim programom (a primer EXCEL χ 1 α,ν = χ 095, = 5991 Statistika H je H = k X k Y j=1 ( ij ˆ ij ( ( ( = ij = 7878 Ker je H = 7878 > χ 095, = 5991, ičelo hipotezo zavremo i trdimo, da je meje o ukrepu statističo začilo odviso od starosti meščaov
4 Bivariata aaliza Ugotovimo še dejasko tvegaje ob zavritvi ičele hipoteze! Iz porazdelitvee fukcije porazdelitve F χ (glej sliko 105 lahko izračuamo 1 α = F χ (7878 α = 1 F χ (7878 = = Tvegaje je torej ekoliko pod % Ker je to tvegaje ižje od predpisaega tvegaja α = 5 %, smo ičelo hipotezo zavrili 11 Preizkušaje lieare povezaosti Povezaost med dvema številskima spremeljivkama grafičo poazorimo z razsevim grafom (slika 111 Y R = Y R = X Y R = Y X R = X Y R = X X 30 Slika 111: Vzorci X i Y z različo liearo povezaostjo
5 11 Preizkušaje lieare povezaosti 187 Liearo povezaost med dvema spremeljivkama merimo s kovariaco (glej tudi primera 63 i 64: σ XY = X Y j=1 (x i m X (y j m Y p XY (x i, y j oziroma σ XY = (x m X (y m Y f XY (x, y dx dy Brezdimezijska mera liere povezaosti je Pearsoov koeficiet korelacije: ρ XY = σ XY σ X σ Y Iz vzorčih podatkov X i, Y i, i = 1,, lahko oceimo kovariaco po asledji eačbi: ˆσ XY = S XY = 1 (X i X(Y i Ȳ, kjer je število opazovaj v vzorcu, X povprečje vzorca Xi i Ȳ povprečje vzorca Y i Ocea koeficieta korelacije pa je ˆρ XY = R XY = S XY S X S Y = (X i X(Y i Ȳ (X i X (Y i Ȳ Pome parametra ρ XY oziroma R XY za različe vzorce prikazujemo a sliki 111 V primerih, kjer je parameter R blizu ič, lahko govorimo o zelo slabi lieari povezaosti Če se R približuje vredosti ea, sta spremeljivki močo pozitivo liearo povezai, če pa se približuje vredosti 1, sta spremeljivki močo egativo liearo povezai Statističo sklepaje o lieari povezaosti Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : ρ XY = 0 (spremeljivki ista liearo povezai H 1 : ρ XY 0 (spremeljivki sta liearo povezai Statistika T T = R XY 1 RXY (115
6 Bivariata aaliza se v tem primeru porazdeljuje po Studetovi porazdelitvi t z ν = prostostimi stopjami Kritičo območje oziroma območje zavritve je (, t 1 α/ ], [t 1 α/, Če je torej vredost statistike T majša od t 1 α/ ali večja od t 1 α/, lahko s tvegajem α zaključimo, da sta spremeljivki statističo začilo liearo povezai 113 Regresija Regresijska fukcija Ŷ = f(x opisuje, kakše je vpliv spremeljivke X a Y brez drugih vplivov, ki so lahko posledica vpliva drugih spremeljivk ali slučajega odstopaja Slučajo spremeljivko Y lahko zapišemo kot vsoto dveh spremeljivk Y = Ŷ + ε = f(x + ε, kjer spremeljivko X imeujemo eodvisa spremeljivka, slučajo spremeljivko Y pa odvisa spremeljivka ter ε apaka (ali slučajo odstopaje Neodvisa spremeljivka X je determiističa ali slučaja Poglejmo dva primera: 1 Ugotavljamo zvezo med trdostjo zemljie Y i globio od površja X Glede a to, da si globio lahko sami izberemo, lahko privzamemo, da je eodvisa slučaja spremeljivka determiističa Aaliziramo, kako sta povezaa elastiči modul X i trdost Y betoa V tem primeru moramo arediti preizkus, kjer a istem preizkušacu ajprej izmerimo elastiči modul, ato pa še trdost V tem primeru sta obe spremeljivki slučaji Običajo predpostavimo, da se ε porazdeljuje ormalo s pričakovao vredostjo 0 i stadardo deviacijo σ E[ε] = 0 var[ε] = σ 1131 Lieara regresija V primeru, da je regresijska fukcija lieara Ŷ = f(x = a + b X, zapišemo regresijsko eačbo takole: Y = Ŷ + ε = f(x + ε = a + b X + ε Za posamezi elemet vzorca X i i Y i zapišemo asledjo regresijsko eačbo: Y i = Ŷi + ε i = a + b X i + ε i Z regresijo določimo tiste vredosti oce â i ˆb, da je prilegaje regresijske premice elemetom vzorca čimboljše Če za določitev ocee parametrov â i ˆb uporabimo metodo ajmajših kvadratov, moramo poiskati miimum fukcije S(a, b, ki predstavlja vsoto kvadratov odstopaj ε i S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i (a + b X i
7 113 Regresija 189 Fukcijo S(a, b odvajamo po a i b i zahtevamo, da so ti odvodi eaki ič S a = S b = (Y i â ˆb X i ( 1 = 0, (Y i â ˆb X i ( X i = 0 Po preureditvi zgorjih izrazov dobimo sistem dveh liearih eačb z dvema ezakama â i ˆb Temu sistemu pravimo tudi sistem ormalih eačb: ( â + X i ˆb = Y i, ( ( X i â + X i ˆb = Y i X i, ki ga lahko zapišemo tudi v matriči obliki X i X i X i â = ˆb Y i Y i X i Sistem liearih eačb lahko rešimo a različe ačie Morda ajbolj običaje ači je reševaje z Gaussovo elimiacijo, tako da sistem preoblikujemo tako, da je matrika sistema zgorja trikota Prvo eačbo pomožimo z X i/ i prištejemo drugi eačbi: ( â + X i ˆb = Y i, 0 â + ( ( Xi 1 ( X i 1 ˆb = Y i X i Y i X i Iz druge eačbe v sistemu (116 lahko določimo oceo ˆb ˆb = ( ( 1 Y i X i Y i X i ( Xi 1 X i (116
8 Bivariata aaliza Če imeovalec i števec delimo z i upoštevamo eačbi (6 i (14, dobimo ˆb = 1 ( ( Y i X i 1 1 Y i X i ( 1 = Xi 1 X i 1 1 Y i X i Ȳ X = Xi X Uporabimo še prvo eačbo iz sistema (116 i določimo oceo parametra â S XY S X (117 â = 1 Y i 1 X iˆb = Ȳ X ˆb = Ȳ S XY S X X (118 Ocei parametrov â i ˆb sta slučaji spremeljivki, za katere lahko zapišemo sredji vredosti i variaci: E[â] = a var[â] = σ E[ˆb] = b var[ˆb] = σ S X (1 + X S X (119 Izraza za sredji vredosti pričata, da sta obe ocei epristraski Iz izrazov za variaco pa vidimo, da velikost odstopaj ε, ki se odraža z variaco σ vpliva a povečaje variace obeh oce, medtem ko ta variaca pada z velikostjo vzorca Variaci obeh oce parametrov smo izrazili z variaco σ slučaje spremeljivke ε, ki predstavlja odstopaja elemetov vzorca od modela oziroma regresijske premice Te variace običajo e pozamo, zato jo moramo oceiti iz vzorca Nepristrasko oceo ˆσ določimo po asledji eačbi ˆσ = 1 ε i = 1 (Y i â ˆb X i = S Y (1 R XY, (1110 kjer smo pri račuu variace delili z, saj se je število prostostih stopej pri določitvi dveh oce parametrov â i ˆb zmajšalo za dve Preizkušaje domeve o vredosti koeficieta b Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : b = b 0, H 1 : b b 0 Testa statistika T je ormiraa ocea parametra ˆb tako, da ima sredjo vredost eako ič i stadardo deviacijo ea Če amesto variace σ zapišemo jeo oceo ˆσ i uporabimo eačbi (117 i (1110,
9 113 Regresija 191 dobimo asledji izraz T = ˆb E[ˆb] var[ˆb] = ˆb b 0 σ S X = S XY SX b 0 S Y 1 R XY 1 S X Ta statistika se porazdeljuje po porazdelitvi t z ν = prostostimi stopjami Z ičelo domevo ajpogosteje predpostavimo, da je b = 0, kar ustreza predpostavki, da sta slučaji spremeljivki X i Y liearo eodvisi V tem primeru lahko iz zgorjega izraza izpeljemo eačbo za določitev statistike T T = S XY S X S Y 1 R XY = R XY, ( RXY ki smo jo že uporabili pri preizkušaju domev o lieari eodvisosti med dvema slučajima spremeljivkama Primer 11 V asledji pregledici podajamo lete povpreče kocetracije žveplovega dioksida SO v Mariboru za obdobje od 199 do 00 Glavi vir oesažeja z žveplovim dioksidom so termocetrale, ki za gorivo uporabljajo premog (pri as Šoštaj i Trbovlje, majši izvori pa so termocetrale oziroma toplare, ki za gorivo uporabljajo afto Meja vredost povpreče lete kocetracije SO po Direktivi Sveta EU (99/30/EEC je eaka 0 µg/m 3 Pregledica 114: Lete povpreče kocetracije SO v Mariboru v µg/m 3 Leto SO Vir: Oesažeost zraka v Sloveiji v letu 00, Poročilo Agecije Republike Sloveije za okolje (ARSO, Miistrstvo za okolje i prostor Določimo ocei za parametra â i ˆb lieare regresije Če bi veljal lieari model, katerega leta bi bila kocetracija eaka ič? Določimo oceo stadarde deviacije odstopaj od modela sigma ˆ i preizkusimo domevo o parametru b oziroma domevo o lieari eodvisosti med spremeljivkama Tvegaje aj bo eaodstoto Rešitev: Prede začemo z reševajem aloge, bomo vredosti za leta spremeili tako, da bodo leta (spremeljivka X tekla od 0 do 10 To aredimo zato, da vredosti S X, S XY i ocee parametra â e bodo prevelike številke Povprečo leto kocetracijo SO ozačimo z Y Nove podatke podajamo v pregledici 115, skupaj z rezultati za vredost modela i odstopaj od modela
10 19 11 Bivariata aaliza Pregledica 115: Lete povpreče kocetracije SO, lieari model i odstopaja X Y Model Odstopaja Ocei parametrov â i ˆb ter oceo stadarde deviacije ˆσ določimo iz eačb (117, (118 i (1110 Iz vredosti osovih statistik za dae podatke X = 5, Ȳ = 3636, S X = 10, S Y = 14050, S XY = R XY = lahko izračuamo ocee S XY ˆb = SX = = 36545, 10 â = Ȳ ˆb X = 3636 ( = 41909, ˆσ = S Y (1 RXY = (1 ( = Zapišemo lahko lieari model, ki se po metodi ajmajših kvadratov ajbolje prilega podatkom: Ŷ = f(x = X (111 Z eačbo (111 lahko izračuamo vredosti modela v točkah, kjer imamo podatke i odstopaje modela od pravih vredosti (pregledica 115 Iz eačbe (111 lahko izračuamo tudi leto, ko bi morala biti povpreča leta kocetracija SO eaka ič, če bi bil lieari model ustreze X = 0 X = = 1147 To bi pomeilo, da bi morala biti povpreča leta kocetracija SO eaka ič ajpozeje v letu 004 To se seveda i zgodilo, kar pomei, da je lieari model sicer ustreze za obdobje od 199 do 00, ekstrapolacija z liearo fukcijo pa v tem primeru i bila ustreza Grafiči prikaz podatkov i liearega modela prikazujemo a sliki 11
11 113 Regresija 193 Kocetracija SO Leta (od 199 dalje Slika 11: Povpreča leta kocetracija SO v obdobju od 199 do 00 Nazadje preizkusimo še domevo o lieari eodvisosti spremeljivk X i Y Postavimo ičelo i alterativo domevo: H 0 : b = 0, H 1 : b 0 Statistiko T izračuamo po eačbi (115 T = R XY = 1 RXY ( = Meja kritičega območja je t 1 α/ = 350 Ker je vredost statistike T = majša od t 1 α/ = 350, moramo ičelo domevo zavriti i trdimo, da je parameter b statističo začilo različe od 0 Zaključimo lahko tudi z izjavo, da sta spremeljivki X i Y statističo začilo liearo odvisi 113 Nelieara regresija Rezultati pogosto kažejo, da zveza med dvema spremeljivkama i lieara Obravavajmo ajprej fukcijo z dvema parametroma a i b Y = Ŷ + ε = f(x, a, b + ε Ocei parametrov â i ˆb določimo po metodi ajmajših kvadratov tako, da poiščemo miimum fukcije S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i f(x, a, b
12 Bivariata aaliza Ta fukcija je v splošem elieara glede a parametra a i b, zato je iskaje miimuma lahko zelo zahteva Nelieara fukcija ima lahko mogo lokalih ekstremov, iskaje globalega miimuma pa je še vedo problem, ki ga poskušajo rešiti mogi raziskovalci Metod i jihovih različic je mogo, v grobem jih lahko delimo a gradiete metode (a primer Newtoova metoda i geetske algoritme Problem se zelo poeostavi, če je fukcija f(x, a, b lieara glede a parametra a i b, sicer pa je lahko poljuba elieara fukcija f(x, a, b = a f 1 (X + b f (X Taki primeri so: f(x, a, b = a + b X, f(x, a, b = a si X + b cos X, f(x, a, b = a log X + b cos X Ocei parametrov â i ˆb določimo po metodi ajmajših kvadratov S(a, b = ε i = (Y i Ŷi = (Y i a f 1 (X + b f (X Fukcijo S(a, b odvajamo po parametrih a i b ter zahtevamo, da sta odvoda eaka ič S a = S b = (Y i â f 1 (X i ˆb f (X i ( f 1 (X i = 0, (Y i â f 1 (X i ˆb f (X i ( f (X i = 0 Podobo kot pri lieari regresiji dobimo tudi v tem primeru sistem liearih eačb ( ( f1 (X i â + f 1 (X i f (X i ˆb = f 1 (X i Y i, ( f 1 (X i f (X i â + ( f (X i ˆb = f (X i Y i, ki ima eoličo rešitev le v primeru, da je determiata sistema različa od ič Ta pogoj je izpolje v primeru, da sta fukciji f 1 (x i f (x liearo eodvisi Iz zadjega sistema eačb lahko hitro izpeljemo sistem eačb za liearo regresijo, če zapišemo, da je f 1 (x = 1 i f (x = x Včasih je fukcija f(x, a, b taka, da jo s preprosto trasformacijo prevedemo v liearo fukcijo Tudi
13 113 Regresija 195 v tem primeru je določitev oce parametrov â i ˆb relativo preprosto Nekaj takih fukcij z ustrezo trasformacijo opisujemo z asledjimi izrazi: Y = 1 a + b X Y = a b X Y = a e bx Y = a X b Y = l(a + b X 1 Y 1 Y = a + b X Z = a + b X l Y l Y = l a + X l b Z = A + B X l Y l Y = l a + X b Z = A + b X l Y l Y = l a + b l X Z = A + b W e Y e Y = a + b X Z = a + b X (1113 Druga i tretja eačba predstavljata isti model, drugače je le zapis eačbe Primer 113 Vrimo se k problemu, ki smo ga obravavali v primeru 11 Namesto lieare regresije poskusimo, ali je morda bolje uporabiti eliearo (ekspoeto regresijo S primerjavo oce variace odstopaj ˆσ lahko ugotovimo, kateri model se bolje prilega podatkom Rešitev: Regresijska fukcija je v tem primeru Ŷ = f(x = a e bx Eačbo logaritmiramo i dobimo l Ŷ = l a + b X Z = A + b X Podatke iz pregledice 115 preuredimo tako, da izračuamo še vredosti spremeljivke Z = l Y V pregledici 116 prikazujemo vredosti spremeljivke Z ter vredosti, ki jih določimo z ekspoetim modelom, i odstopaja ekspoetega modela od dejaskih podatkov Pregledica 116: Vredosti spremeljivk X, Y i Z, ekspoeti model i odstopaja X Y Z = l Y Model Odstopaja Izračuati moramo še osove statistike za slučajo spremeljivko Z: Z = 308, SZ = 0866, S XZ = 16717
14 Bivariata aaliza i ocei parametrov  i ˆb S XZ ˆb = SX = = , 10  = Z ˆb X = 308 ( = 38636, â = eâ = Če primerjamo vredosti modela v pregledicah 115 i 116, vidimo, da so odstopaja bistveo majša pri ekspoeti regresiji Oceo variace odstopaj ˆσ določimo po eačbi (1110 ˆσ = 1 ε i = 1 ( X Y i âeˆb i 1 ( = ( = Ocea variace odstopaj ˆσ je torej bistveo majša kot v primeru lieare regresije Primerjavo med liearo i ekspoeto regresijo prikazujemo tudi a sliki 113 Tudi iz slike je očito, da je v tem primeru ekspoeta regresija boljša od lieare Kocetracija SO Leta (od 199 dalje Slika 113: Povpreča leta kocetracija SO v obdobju od 199 do Lieara regresija več spremeljivk Lieara regresija več spremeljivk oziroma multipla lieara regresija je posplošitev lieare regresije ee same eodvise spremeljivke Ta problem pravzaprav e sodi v poglavje Bivariata aaliza, saj tu aaliziramo več kot dve spremeljivki Vseeo bomo to sov podali a kocu tega poglavja, saj se eposredo avezuje a liearo regresijo V tem primeru obravavamo model odvisosti med spremeljivkami X j, j = 1,, k i slučajo spremeljivko Y
15 113 Regresija 197 Vzorec je v tem primeru običajo poda z vredostmi X ij, i = 1,,, j = 1,, k eodvisih sremeljivk i ustreze vredosti Y i, i = 1,, spremeljivke Y Lieari model zapišemo z eačbo Y = Ŷ + ε = a + b 1 X 1 + b X + + b k X k + ε, kjer ε, podobo kot pri lieari regresiji ee spremeljivke, predstavlja odstopaje od modela Običajo predpostavimo, da je ε porazdelje ormalo s pričakovao vredostjo ič i stadardo deviacijo σ Za posamezi elemet vzorca X ij, Y i zapišemo regresijsko eačbo takole: Y i = a + b 1 X i1 + b X i + + b k X ik + ε i = a + k b j X ij + ε i Z regresijo želimo določiti ocee ezaih regresijskih parametrov â i ˆb j tako, da bodo odstopaja dejaskih vredosti Y i od modela čimmajša Uporabimo metodo ajmajših kvadratov, s katero iščemo miimum fukcije k S(a, b j = ε i = Y i a b j X ij = (Y i a b 1 X i1 b X i b k X ik j=1 Miimum te fukcije določimo tako, da jo odvajamo po a i b j ter postavimo pogoj, da so ti odvodi eaki ič: S a = (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( 1 = 0 S b 1 = S b = S b k = j=1 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X i1 = 0 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X i = 0 (Y i â ˆb 1 X i1 ˆb X i ˆb k X ik ( X ik = 0 Po preureditvi zgorjih eačb dobimo sistem k + 1 liearih eačb za k + 1 ezao oceo parametrov â i ˆb j â + Xi1 â + Xi1 ˆb1 + Xi ˆb + + Xik ˆbk = Y i, X i1 ˆb1 + X i X i1 ˆb + + X ik X i1 ˆbk = Y i X i1, Xi â + X i1 X i ˆb1 + X i ˆb + + X ik X i ˆbk = Y i X i, Xik â + X i1 X ik ˆb1 + X i X ik ˆb + + X ik ˆbk = Y i X ik,
16 Bivariata aaliza kjer smo z zakom za vsoto zapisali vsoto Ta sistem ormalih eačb lahko zapišemo tudi v matriči obliki Xi1 Xi Xik â Xi1 X i1 Xi X i1 Xik X i1 ˆb1 Yi Yi X i1 Xi Xi1 X i X i Xik X i = Yi X i (1114 ˆb Xik Xi1 X ik Xi X ik X ik ˆbk Yi X ik Primer 114 V okviru projekta za določitev trdosti lesa smo izmerili različe lastosti a istih leseih deskah Na spodji pregledici prikazujemo rezultate za 0 desk Predpostavimo, da je upogiba trdost f leseih desk odvisa od elastičega modula E i gostote ρ Določimo ocee za koeficiete regresijske fukcije y = a + b 1 x 1 + b x x 1 = E [MPa] x = ρ [kg/m 3 ] y = f [MPa] Rešitev: Za določitev oce â, ˆb 1 i ˆb uporabimo prve tri vrstice v eačbi (1114 izračuati asledje vsote: Zato moramo
17 113 Regresija 199 X i1 = = 08404, X i = = 9139, Xi1 = = , Xi = = , X i1 X i = = , Y i = = 6609, X i1 Y i = = , X i Y i = = Iz liearega sistema eačb izračuamo ocee parametrov lieare regresije â ˆb1 ˆb = â ˆb1 ˆb =
Četrta vaja iz matematike 1 Andrej Perne Ljubljana, 2006/07 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu n N priredi a n R. Monotonost zaporedij: Zapore
Četrta vaja iz matematike Adrej Pere Ljubljaa, 2006/07 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu N priredi R. Mootoost zaporedij: Zaporedje { } je araščajoče, če je za vsak. Zaporedje { } je strogo araščajoče,
Prikaži večFORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija 2 2 Razdalja dveh točk v ravnini: d( A, B) ( x2 x1) ( y2 y1) y2 y1 Linearna funk
FORMULE. Pravokoti koordiati sistem v ravii, lieara fukcija Razdalja dveh točk v ravii: d( A, B) ( ) ( ) Lieara fukcija: f ( ) k Smeri koeficiet: k k k Nakloski kot premice: k ta Kot med premicama: ta
Prikaži večMATEMATIKA – IZPITNA POLA 1 – OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN
Državi izpiti ceter *M840* Osova i višja rave MATEMATIKA JESENSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Poedeljek, 7. avgust 08 SPLOŠNA MATURA Državi izpiti ceter Vse pravice pridržae. M8-40-- IZPITNA POLA
Prikaži večO EKSPONENTNI FUNKCIJI Martin Raič Jesen 2013
O EKSPONENTNI FUNKCIJI Mari Raič Jese 203 M. RAIČ: O EKSPONENTNI FUNKCIJI Ekspoea fukcija z osovo a > 0 je defiiraa ko fukcija, ki x preslika v a x. Ta fukcija je pomembe sesavi del začeega ečaja aalize.
Prikaži večInformativni test
9. Z-trasformacia Uvod Z-trasformacia: Ivera Z-trasformacia x[ ] X = (9..) = = π d (9..) [ ] X ( ) x Osova pravila: Premik: Kovolucia: x [ ] X( ) m [ ] x m X [ ]* [ ] = [ ] [ ] x y x i y i i= [ ]* [ ]
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži več6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrič
6.6 Simetriči problem lastih vredosti Če je A = A T, potem so laste vredosti reale, matrika pa se da diagoalizirati. Schurova forma za simetričo matriko je diagoala matrika. Laste vredosti ozačimo tako,
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večVsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo
Ljubljaa 09 MATEMATIKA Predmeti izpiti katalog za splošo maturo Predmeti izpiti katalog se uporablja od spomladaskega izpitega roka 0, dokler i določe ovi Veljavost kataloga za leto, v katerem bo kadidat
Prikaži večvaja4.dvi
Laboraorijske vaje Račuališka simulacija /3. laboraorijska vaja deifikacija diamičih sisemov Pri ej vaji bomo uporabili eosavo meodo ideifikacijo diamičega sisema. Srejceva meoda emelji a odzivu procesa
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _SPO-UPES_05_Racunovodsko-financna_funkcija.ppt
Staska za poslovo odločaje SPO v račuovodsko-fiači fukciji prof. dr. Lea Bregar 7. predavaje Vsebia. Staska i fiačo-račuovodska fukcija. 2. Fiace: borza staska i borzi ideksi. 3. Račuovodstvo i staska.
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži več1. Kako opišemo povezano in pogojno verjetnost dogodkov A in B? Kdaj sta dogodka A in B statistično povezana in kdaj neodvisna? Kaj je popolna verjetn
. Kako opšemo povezao pogoo veretost dogodkov A B? Kda sta dogodka A B statstčo povezaa kda eodvsa? Ka e popola veretost dogodka B? Ka opsue Baesov teorem? Navedte prmer uporabe Baesovega teorema. * Povezaa
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMicrosoft Word - 04 Inferencna statistika - Katja
Auška Ferligoj, Katja Loar afreda, Aleš ibera: OSNOVE STATISTIKE NA PROSOJNICA Študijko gradivo ri redmetu Statitika. Fakulteta a družbee vede, Uivera v Ljubljai Ljubljaa, 0 4 INFERENČNA STATISTIKA 4.
Prikaži večPonovitev prejšnjega predavanja Množico vseh možnih izidov poskusa, ki ustreza celotemu vzorčnemu prostoru S imenujemo populacija X. Izbrano podmnožic
oovtev prejšjega predavaja Možco vseh možh zdov posusa, ustreza celotemu vzorčemu prostoru meujemo populacja. Izbrao podmožco zdov z populacje meujemo vzorec: V,, K, ) ( V prmeru, o so posameze aljuče
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večLaTeX slides
Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA
ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA Navdih Poizvedovanje po BD podatkovnih virih, ki imajo časovno dimenzijo in so dostopni. Večji promet pomeni večje število dobrin in močnejšo
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večMicrosoft Word - UP_Lekcija04_2014.docx
4. Zanka while Zanke pri programiranju uporabljamo, kadar moramo stavek ali skupino stavkov izvršiti večkrat zaporedoma. Namesto, da iste (ali podobne) stavke pišemo n-krat, jih napišemo samo enkrat in
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večVerjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC
Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večNimenrix, Meningococcal group A, C, W135 and Y conjugate vaccine
PRILOGA I POVZETEK GLAVNIH ZNAČILNOSTI ZDRAVILA 1 Za to zdravilo se izvaja dodato spremljaje varosti. Tako bodo hitreje a voljo ove iformacije o jegovi varosti. Zdravstvee delavce aprošamo, da poročajo
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večKinematika
/1/6 1. Uavljaje V aalizi ereč e uporabljaa dva odela. Prvi je kieaiči odel, ki eelji a predpoavki poeka pojeka, drugi je diiči odel, ki oogoča izraču pojeka a oovi pozavaja zavorih il..1 Faze uavljaja
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večOSNOVE UMETNE INTELIGENCE
OSNOVE UMETNE INTELIGENCE 2017/18 regresijska drevesa ocenjevanje učenja linearni modeli k-nn Zoran Bosnić del gradiva povzet po: Bratko: Prolog programming for AI, Pearson (2011) in Russell, Norvig: AI:
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja5.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 5 Naloge 1. del: t test za
Prikaži večLaTeX slides
Model v matri ni obliki ena ba modela Milena Kova 13 november 2012 Biometrija 2012/13 1 Nomenklatura Skalarji: tako kot doslej, male tiskane, neodebeljene Vektorji: male tiskane, odebeljene rke (y) ali
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Kristjan Ažman Identifikacija dinamičnih sistemov z Gaussovimi procesi z vključenimi linearnimi model
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Kristjan Ažman Identifikacija dinamičnih sistemov z Gaussovimi procesi z vključenimi linearnimi modeli Magistrsko delo Mentor: prof. dr. Juš Kocijan V Ljubljani,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži več4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar
4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko
Prikaži večPoročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo
Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večUrejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se
Urejevalna razdalja Avtorji: Nino Cajnkar, Gregor Kikelj Mentorica: Anja Petković 1 Motivacija Tajnica v posadki MARS - a je pridna delavka, ampak se velikokrat zmoti. Na srečo piše v programu Microsoft
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Izobraºevalna matematika Pisni izpit pri predmetu K
31. januar 2014 1. [25] V kino dvorano z 10 vrstami po 10 o²tevil enih sedeºev vstopi 100 ljudi. Od tega je 40 deklet in 60 fantov. Na koliko na inov se lahko posedejo, (a) e ni nobenih omejitev? (b) e
Prikaži večMatematika 1 Rešitve 9. sklopa nalog Nedoločeni integral (4) Izračunaj integrale trigonometričnih funkcij: 1 (a) cos x dx, 1 (b) sin 2 x + 2 cos
Mtemtik Rešitve 9. sklop log Nedoločei itegrl (4) Izrčuj itegrle trigoometričih fukcij: 5 + 4 cos, si + cos, cos (c) + si. Rešitev: Pri itegrlih tip R(cos, si ), kjer je R rciol fukcij, si pomgmo z uiverzlo
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večPowerPoint Presentation
I&R: P-X/1/15 operatorji, ki jih uporabljamo za delo z vektorskimi veličinami vektorski oklepaj [ ] ločnica med elementi vrstičnega vektorja je vejica, ali presledek ločnica med elementi stolpčnega vektorja
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večDiapozitiv 1
9. Funkcije 1 9. 1. F U N K C I J A m a i n () 9.2. D E F I N I C I J A F U N K C I J E 9.3. S T A V E K r e t u r n 9.4. K L I C F U N K C I J E I N P R E N O S P A R A M E T R O V 9.5. P R E K R I V
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večKAKO BRATI IN UPORABITI REZULTATE PRIMERJALNE ANALIZE PRIMERI ZA ODVAJANJE IN ČIŠČENJE ODPADNE VODE ag. Sta ka Cerkve ik, I štitut za jav e služ e
KAKO BRATI IN UPORABITI REZULTATE PRIMERJALNE ANALIZE PRIMERI ZA ODVAJANJE IN ČIŠČENJE ODPADNE VODE ag. Sta ka Cerkve ik, I štitut za jav e služ e KAJ JE PRIMERJALNA ANALIZA? Primerjalna analiza je sklop
Prikaži večEquation Chapter 1 Section 24Trifazni sistemi
zmenicni_signali_triazni_sistemi(4b).doc / 8.5.7/ Triazni sistemi (4) Spoznali smo že primer dvoaznega sistema pri vrtilnem magnetnem polju, ki sta ga ustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s azno
Prikaži večOsnove teorije kopul in maksmin kopule
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko 26. maj 25 Osnove teorije kopul Definicija kopule Definicija Funkcija C : A A 2 [, ],
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži več