6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta priliko hranjenja s čokolado tako, da se v eni potezi poje vse koščke spodaj in desno od izbranega kosa. Vendar pa je najbolj zgornji levi košček zastrupljen in tisti igralec, ki ga poje, izgubi. Bolj splošna oblika chompa je pa igra na katerikoli delno urejeni množici z najmanjšim elementom. V tej igri poteza predstavlja odstranitev elementa vključno z vsemi večjimi. Kdor izbere najmanjši element, izgubi. 6.2 Obstoj zmagovalne strategije Kdo zmaga? Da se pokazati, da ima prvi igralec zmagovalno strategijo. Kakšno natančno za poljubno velikost plošče in to na preprost način še ni znano. Moramo obravnavati določene posebne primer, kot bomo videli v nadaljevanju. Denimo, da ima drugi igralec zmagovalno strategijo proti katerikoli prvi potezi prvega igralca. In denimo, da prvi igralec izbere najbolj zgornjo, desno točko, torej zmanjša čokolado za en stolpec. Ker smo predopostavili, da ima drugi igralec zmagovalno strategijo, lahko primerno odigra z naslednjo potezo. Ampak če taka strategija res obstaja, bi jo takoj lahko uporabil prvi igralec. Torej drugi igralec ne more imeti zmagovalne strategije. Vsaka n n plošča ima preprosto zmagovalno strategijo za prvega igralca. Prvi igralec izbere najprej točko (1, 1), potem pa simetrično odgovarja na poteze drugega igralca. Torej če izbere (a, 0), vrnemo z (0, a). S tem plošča ohranja obliko, le manjša se, in v zadnjem koraku drugemu igralcu ne preostane drugega, kot da poje zadnji košček in izgubi. 6.3 2 n Chomp Najbolj preprost primer igre je kar 2 n plošča, zato je naravno tu začeti z obravnavo. Izrek 6.1 V 2 n igri Chompa je (a, a 1) P pozicija za a 1. 1
1. P 1 (a) : (a, a 1) za a 1. 2. P 2 (a) : Pozicije oblike (a, b), če velja: a b 0 in a b 1. Poteze, s katerimi pridemo nazaj v P 1 pozicijo. (a, a 1), če je a = b (b + 1, b), če je a b 2 Dokaz z indukcijo. Pozicija P 1 (1) (torej (1, 0)) je trivialno P pozicija. Pozicije, ki jih lahko dosežemo s pozicije P 1 (a), torej (a, a 1) so: (a k, a k) za a k 1 in (a, a k) za a k 2. Te pozicije so oblike P 2 (a) (ali P 2 (a k)), ni pa možno priti v P 1 (a k). Iz P 2 (a) pa lahko pridemo v P 1 (n k) ali v P 2 (a k) za nek k. Ker pa že vemo, da je P 1 (1) P pozicija in da iz P 1 (a) lahko vsakič pridemo v P 1 (a k) v dveh premikih, lahko nasprotnika vedno držimo v P (i) poziciji, kjer n i 1. To pa po indukciji pomeni, da so P 1 ravno vse P pozicije in P 2 ravno N pozicije. 6.4 3 n Chomp Probamo zdaj razširiti idejo na 3 n Chomp. Poljubno pozicijo lahko zapišemo kot trojico (a, b, c), kjer so a, b, c dolžine zgornje, srednje in spodnje vrstice. Seveda velja a b c 0. Ko je c = 0 smo očitno pri 2 n Chomp-u, katerega smo že obravnavali. Zaenkrat obravnavamo pozicije kjer je c = 1. Trivialno je videti, da je (b + 1, b, 1) N pozicija, saj odstranjevanje spodnje točke (edine v zadnji vrstici), nas pripelje v P pozicijo (b + 1, b, 0). Vidimo tudi, da je pozicija (1, 1, 1) N pozicija, saj iz nje lahko pridemo do pozicije (1, 0, 0), kar je očitno P pozicija. Pozicije (a, a, 0) in (a, b, 0), kjer je a b 2 so N pozicije, ker smo te že obravnavali iz 2 n Chompa. Katere so najmanjše P pozicije, kjer je c 1? Hitro se da preveriti, da so pozicije (4, 0, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (2, 1, 1) N pozicije. Med pet celičnimi pozicijami so (5, 0, 0), (4, 1, 0) N pozicije. Vemo že, da je (3, 2, 0) P pozicija. Torej sta poziciji (2, 2, 1), (3, 1, 1) P poziciji, saj vse možne poteze nas pripeljejo v N pozicijo. Edini P poziciji (a, b, c), kjer je c = 1 so (2, 2, 1) in (3, 1, 1). Vsaka N pozicija s c = 1 in najmanj 6 celic je oblike: (3, 2, 1), (3, 3, 1), (4 + α, 1, 1) (α 0), (2 + α, 2 + β, 1) (α β 0, α + β > 0) in zmagovalne poteze so: (3, 2, 1) (3, 1, 1) (3, 3, 1) (3, 1, 1) 2
(4 + α, 1, 1) (3, 1, 1) (2 + α, 2 + β, 1) (2, 2, 1) Izrek 6.2 Chomp pozicija (a, b, 2) je P pozicija natanko tedaj, ko je a b = 2. 1. P 1 (a) : Pozicije oblike (a + 4, a + 2, 2) za a 0. 2. P 2 (a) : Pozicije oblike (a, b, 2) za a b 2 in a b + 2. Lahko je preveriti, da je P 1 (0) P pozicija. Spet vidimo, da lahko pridemo iz P 1 (a) pozicije le v P 2 (a k) pozicijo (v primeru da nasprotnik naredi potezo na (p, q, 1) ali (p, q, 0) je to za nas ugodno, saj od prej že vemo, da so to N pozicije) in iz P 2 (a) pozicije tudi v P 1 (a k) pozicijo. Ker pa smo pa preverili, da je P 1 (0) P položaj, po podobnem premisleku kot pri 2 n Chompu ugotovimo da izrek velja po indukciji. Torej so P 1 vse P pozicije, P 2 pa N pozicije. 6.4.1 Vzorci Lahko se nadaljuje obravnava 3 n chompa z vedno večjimi c-ji. Izkaže se, da za majhne c imamo ali končno mnogo P pozicij (,, c) (ker se pojavi P pozicija (a, a, c) (če je to res P pozicija potem je dosegljiva iz vseh večjih pozicij, zato so te N pozicije)), ali pa dobimo linearen vzorec dovolj pozno za vse večje P pozicije; da se a in b razlikujeta za konstanto. Te primere se sicer da obravnavati na roko, ampak postane hitro zelo težavno, zato se uporablja računalnik za iskanje P pozicij. Prva izjema se pojavi pri c = 120. Izaže se, da še vedno imamo vzorec P pozicij, kjer je a funkcija b-ja, le da ni več tako preprosta. Da se pokazati, da v tem primeru je a = b + konstanta + ( 1) b. Pri večjih c-jih se še bolj zakomplicira. Zato lahko definiramo: f(b, c) je tisti a, da je (a, b, c) P pozicija. 3
c: 10 18 9 16 17 8 15 14 16 7 13 14 12 15 6 11 12 13 9 9 5 10 9 11 12 13 14 4 8 9 10 7 7 7 7 3 6 7 5 5 5 5 5 5 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabela vrednosti f(b, c) pri danih b, c. Vrednost c = 120 je prvikrat, ko se zgodi, da vzorec ni ne konstantna f(b, c) = a 0 ne linearna funkcija f(b, c) = b + d. Dobimo ponavljajoč vzorec 1, 1, 1, 1, 1, (s periodo 2) dodan na linearno funkcijo. Seveda to prinese vprašanje, če je za vsak c N ta vzorec periodičen. Izkaže se, da je; trditev je dokazal Steven Byrnes, dokaz izpustimo. Zgled 6.1 c = 6541, zaetek = 9250, perioda = 9, vzorec = 1, 1, 1, 3, 0, 1, 1, 1, 3 Na ta način delujejo nekateri programi, s katerimi iščemo P pozicije 3 n Chomp-a pri fiksnem c. Ugane vzorec in ga proba dokazati. 6.5 Transfinitni Chomp Ker se Chomp da igrati na katerikoli delno urejeni množici, ga lahko igramo tudi na plošči ordinalnih števil. Izkaže se, da ima ω ω Chomp enostavno rešitev za prvega igralca. V resnici je enaka zmagovalni strategiji kot na končni n n plošči. Prvi igralec ponovno izbere točko (1, 1) in potem odgovarja simetrično. Izrek 6.3 Prvi igralec ne zmaga vseh transfinitnih iger. Dokaz: Poglejmo si primer 2 ω. Torej začetna pozicija je (ω, ω). Prvi igralec mora naredit potezo, kar pripelje igro v pozicijo (n, n) ali (ω, n). V obeh primerih je za drugega igralca zmagovalna poteza oblike (a + 1, a), za katero pa že vemo, da je P pozicija. V tem primeru prvi igralec izgubi. 4
Omenimo tudi, da prvi igralec zmaga vse igre oblike 2 α za vse α > ω, saj lahko takoj premakne v (ω, ω) in potem uporabi strategijo drugega igralca. 6.6 3D Chomp Obstaja tudi igra 3D Chompa, kjer namesto pravokotnike, odstranjujemo kvadre. Poteza je odstranitev bloka in vse bloke z večjimi koordinatami. Na ta način lahko Chomp posplošimo na poljubno dimenzijo. Seveda, na ta način postane igra bistveno težja. Oglejmo si najbolj preprost primer, ko je igra oblike 2 2 n. Izrek 6.4 2 2 n Chomp zmagamo tako, da izberemo točko (n, n, n, n 1). Naj bo prva komponenta število kosov na mestu x = 1, y = 1, druga na mestu x = 2, y = 1, tretja x = 1, y = 2 in četrta x = 2, y = 2. Prestavljamo si, da imamo stolp kosov nad xy ravnino. P pozicije so oblike (a, a, a, a 1) in (a, b, c, d), kjer b + c = a 1 in d = min(a, b). 1. P 1 (a) : (a, a, a, a 1). 2. P 2 (a) : Pozicija oblike (a, b, c, d) kjer b + c = a 1 in d = min(b, c). 3. P 3 (a) : Ni P 1 (a) niti P 2 (a) pozicija. Najprej poglejmo, da sta P 1 (1) in P 2 (1) P poziciji. Res velja, saj (1, 1, 1, 0) je že znana pozicija iz 2 n Chompa, medtem ko je (1, 0, 0, 0) očitno P pozicija. Iz P 1 (a) lahko pridemo v pozicije (a, a, a, a k), (a, a, a k, a k), (a, a k, a, a k) in (a k, a k, a k, a k) za a k 1. Vse te pozicije so očitno N(a). Iz teh pozicij pa s pravilnimi potezami pridemo v P 1 ali P 2 pozicije: (a, a, a, a 1 k) (a k, a k, a k, a 1 k) (a, a, a k, a k) (a, k 1, a k, min(k 1, a k)) (a, a k, a, a k) (a, a k, k 1, min(a k, k 1)) (a k, a k, a k, a k) (a k, a k, a k, a k 1) Iz P 1 ne moremo priti v P 2 (ali iz P 2 v P 1 ) v eni potezi, kar pomeni, da iz teh pozicij pridemo le v P 3 pozicije. Ker pa vemo, da sta P 1 (1) in P 2 (1) P poziciji, po indukciji velja, da so P 1 in P 2 P pozicije in P 3 N pozicije. 5