9. Z-trasformacia Uvod Z-trasformacia: Ivera Z-trasformacia x[ ] X = (9..) = = π d (9..) [ ] X ( ) x Osova pravila: Premik: Kovolucia: x [ ] X( ) m [ ] x m X [ ]* [ ] = [ ] [ ] x y x i y i i= [ ]* [ ] x y X Y (9..3) (9..). Naloga Skicirate podae časovo diskrete sigale i iračuate ihove Z-trasforme. x = a u, < a < a) [ ] [ ] ; < N = ; sicer x = a cos u, < a < b) x [ ] c) [ ] [ ] d) x [ ] x[ ] δ [ ] x[ ] 3 = = e) x [ ] = {,,, }, ; ; sicer
Rešitev: x = a u, < a < a) [ ] [ ] Skica: x[] - - 3 6 7 = [ ] = = ( ) X x a a X = = = ( a ) N = lim = = N a a a (9..) (9..) b) x [ ] Skica: ; N = ; sicer x[] - - N- N N = [ ] = = ( ) X x N ( ) X = = = = N (9..3) N N = = = = (9..) N
=, < a < c) x[ ] a cos u[ ] Skica: x[] - - 3 6 7 8 9 - cos ( e = + e ) (9..) x[ ] = a cos( ) u[ ] = a ( e + e ) u[ ] = ( a e + a e ) u[ ] (9..6) [ ] ( X = x = ae + ae = ae + ae = = = ) (9..7) X = a e a e ( ae ) ( ae + = + = = ) = = (9..8) ae + ae X ( ) = + ae ae = ae ae (9..9) X a e + e a cos = = X ae ae ae ae ( )( ) ( a cos( )) ( ) a cos = = ae ae ae ae (9..) (9..)
d) x [ ] x[ ] δ [ ] x[ ] Skica: 3 = = x [], ; ; sicer 3/ δ[] / - - 3 6 7 - - 3 6 7 x[] -3/ / - - 3 6 7 3 3 X ( ) = x[ ] = + + + + (9..) = 3 3 3 + + 3 + + X ( ) = + + + + = (9..3) 3 + + + + + ( + + ) + + + X ( ) = = (9..) X + + + + ( + ) = = ± (9..) p3, = = ± (9..6) + + X ( ) = (9..7)
e) x [ ] = {,,, } Skica: x[] - - - 3 6 7-3 (9..8) = 3 3 + = [ ] = + X x 3 + + X ( ) = ( + ) = = (9..9) 3 3 3 ( + )( ) ( + )( )( + ) X ( ) = = (9..) 3 3. Naloga π π 3π Določite frekveči odiv liearega sita pri =,,,, π, če e sistem poda diferečo y= x+ x x x3. eačbo [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Rešitev: S pomočo Z-trasformacie poiščemo sistemsko fukcio H(). = + Y X X X X 3 3 ( ) (9..) Y = X + (9..) 3 3 Y 3 + + + H( ) = = ( + ) = = (9..3) 3 3 3 X H ( )( + ) ( )( + )( + ) = = (9..) 3 3 Od tu lahko rešuemo a dva ačia: I H() iračuamo H() tako da upoštevamo = e ali v Z-ravio vrišemo ičle i pole, i račuamo radale posameih točk a krožici ičel i polov e do
. Iračuamo H() upoštevaem = e 3 H H( ) ( ) e 3 = = + + (9..) = = e H = + e e e = + e e e 3 + H( ) = + e e ( + e ) = ( + e )( e ) = e e + e e ( e e 3 3 H( ) = e cos ( si ( )) = cos si ( ) e + 3 H e ( ) = cos si( ) = cos si( ) cos si (9..6) ) (9..7) (9..8) (9..9) H = = (9..) H π = cos π si π,6 8 (9..) H π = cos π si π,83 (9..) 3 3 3 H π = cos π si π,8 8 = (9..3) H π = cos si = ( π) ( π) (9..). Iračuamo s pomočo lege ičel i polov v Z-ravii ( )( + )( + ) Pole i ičle eačbe H( ) = 3 arišimo: Im,3 p,,3 - Re Na sliki vidimo, da so ičle a eotski krožici = π eak. - e pri kotih i π. I tega sledi, da e odiv pri = i H = H π = (9..)
Za ostale kote si moramo arisati slike. π = : Im N N 3 P,,3 N,3 p,,3 - Re - H + + N N N = = P P P 3 3 (9..6) Absoluta vredost ralike dveh kompleksih števil e pravaprav radala med tema dvema številoma. Te radale smo oačili N, N i N 3 a ičle i s P, P i P 3 a pole. Ker so v tem primeru vsi poli v ihodišču, e radala od polov do katerekoli točke a eotski krožici. Zato e pod ulomkovo črto vedo vredost. Zato lahko formulo poeostavimo v H ( ) = N N N3 (9..7) Zato v adalevau v skice e bomo več vrisovali radal do polov. Radale N, N i N 3 bomo iračuali i skice s pomočo geometrie. N N = + =, 76 = N = + + =,878 π H = e (9..8) (9..9) =,76,878 =,6 (9..)
π = : Im N N 3 N,3 p,,3 - Re - N π H N = (9..) N = e = = (9..) 3 = =,83 (9..3) Za ostale kote si moramo arisati slike. 3π = : Im N N 3 N,3 p,,3 - Re - N N = + + =,878 = N = + =, 76 3 H (9..) (9..) π =,76,878 =,8 (9..6) = e
3. Naloga. Določite impuli i frekveči odiv povprečevalika podaega eačbo y [ ] = x [ i] Določite tudi ičle i pole v Z-ravii i shemo vea. Rešitev: i = Impuli odiv: [ ] y [ ] X[ ] =δ [ ] h = (9.3.) h [ ] = δ [ i] (9.3.) i = h [ ] = ( δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ 3] + δ[ ]) (9.3.3) Z-trasformacia: i Y( ) = X ( ) i= (9.3.) i Y = X i= (9.3.) Y i 3 ( H = = = + + + + ) X (9.3.6) i= Shema vea: X() - - - - / Y()
Ali: i i (9.3.7) Y H( ) = = = = = X i= i= Y( )( ) = X ( ) ( ) (9.3.8) Y( ) Y( ) = X ( ) X ( ) (9.3.9) Y( ) = X ( ) X ( ) + Y( ) (9.3.) Shema vea: X() / Y() - - / H = = ( ) (9.3.) Poli: Ničle: p,,3, = (9.3.) p = (9.3.3) = (9.3.) kπ = = e (9.3.) π k = e (9.3.6) = 3 = e = e = e = e π π π π (9.3.7)
Ničle i poli v Z-ravii: Im 3 p,,3, - p Re - Ničla i pol, ki sta v ihodišču, se pokrašata = = : p Im 3 p,,3, - Re - I slike ičel i polov v Z-ravii lahko arišemo skico odiva H(): 3D-slike Z-ravie: Skica odiva H(): ( X, Y, Z),( Wx, Wy, W) ( X, Y, Z),( Wx, Wy, W) ( X, Y, Z), ( Wx, Wy, W) Hw( ). 6 ( X, Y, Z), ( Wx, Wy, W)
. Naloga Načrtate shemo LTI sistema a geerirae harmoičega sigala s kostato amplitudo. Za ihodišče uporabite Z-trasform sigala ( cos( )) x [ ] = cos( ) u [ ] X( ) = cos + Rešitev: Želimo vee, ki bo geeriralo harmoiči sigal (si ali cos). Ea možost e, da aredimo sistem, katerega odiv a eoti impul e kosius. Ničle i poli: p h [ ] cos u [ ] ( cos( )) = H = (9..) = cos + = cos( ) ( ) ± ( ( )) (9..) (9..3) cos cos p, = = cos( ) ± cos ( ) (9..) = cos ± cos cos + si = cos ± si ) (9..) (, p, e ± = (9..6) Im p - p Re -
Sistemsko fukcio preuredimo tako, da bomo lahko arisali shemo vea: Y( ) cos( ) = X ( ) cos( ) + Y( ) ( cos ) X ( ) ( ( cos)) cos cos (9..7) + = (9..8) Y Y + Y = X X (9..9) - + Možee pomei akasitev. Možee bi pomeilo pohitritev oiroma gledae v prihodost. To i možo, ato e treba eačbo tako preurediti, da e bo opisovala emogočih stvari. cos cos cos( ) + = cos( ) = cos( ) + cos( ) Y Y + Y = X X (9..) Y Y Y X X Y X X Y Y (9..) (9..) Shema vea: X() Y() - cos( ) cos - -
Iberimo i preskusimo vee: π = 6 (9..3) π cos( ) = cos =,866 6 (9..) cos =,73 (9..) ( ) [ ] [ ],866 [ ], 73 [ ] [ ] y= x x + y y (9..6) Tako vee lahko preskusimo ročo ali s programom kot e MS Excel ali OpeOffice. V Excelu v e stolpec vpišemo, v drug stolpec vhodi sigal, v treti pa formulo a ihodi sigal. Pri tem e potrebo paiti, da e pred ačetkom dovol praih celic toliko a kolikor aa e potrebo gledati (v tem primeru sta to dve celici). V prvo vrstico vpišemo imea stolpcev. V celico C vpišemo eačbo sistema: "=B-,866*B3+,73*C3-C". Nato celico C skopiramo v celice C do C (lahko tudi več ali ma). V celicah odebeleo pisavo so vpisae formule, v ostalih so a roke apisae številke: x[] y[] - -,866,999 3 -, -, -,866 6-7 -,868 8 -,996 9,6,,8663 3,8669,9938 -,8 6 -,7,, -, - -, x[] y[]
. Naloga Določite koeficiete i arišite shemo vea v direktih oblikah I i II a diskrete LTI sistem drugega reda podaega ičlami i poli:, = ±, p, = ( ± ) Določite tudi frekveči odiv H(). Rešitev: Sistemsko fukcio drugega reda lahko v splošem apišemo eačbo (9..) ( )( ) ( )( ) H = K p p (9..) Pogosto e apisaa v obliki (9..3) + + + + H( ) = K = K p p p p p p p p + + + + H a a (9..) b + b + b = (9..3) V daem primeru e kostata K (oačee sistema) kar. I ičel i polov iračuamo kostate a i b. b = b = + = + + = b = = a = p+ p = + + = a =p p = ( + ) ( ) = = (9..) Velikokrat e treba arisati shemo vea, ato bomo eačbo (9..3) preoblikovali v primere apis. Y b + b + b H( ) = = (9..) X a a ( ) = ( + + ) Y a a X b b b = + + = + + + + Y ay a Y b X b X b X Y b X b X b X ay a Y (9..6) (9..7) (9..8)
Sploša shema vea drugega reda, direkta oblika I: X() b Y() - - b a - - b a Direkta oblika I sheme vea ihaa i eačbe apisae v taki obliki kot (9..8). Ta oblika i augodeša a idelavo. Za idelavo e augodeša direkta oblika II. I direkte oblike I lahko pridemo v direkto obliko II v treh korakih:. korak: Shemo radelimo a dva dela. korak: Ker e H () H () = H () H (), lahko ameamo vrsti red obeh vei H () H () H () H () X() b Y() X() U() b Y() - - - - b a a b - - - - b a a b 3. korak: Obe akasili verigi (v H () i v H ()) akasueta isti sigal U(). Zato u lahko družimo: X() U() b Y() a - b a - b Direkta oblika II e bol ugoda a idelavo, ker ima eako število može i sešteva, vedar ma akasilih elemetov.
Iračuae kostate a i b vstavimo v splošo shemo vea v obeh oblikah: Direkta oblika I X() Y() Direkta oblika II (kaoiča oblika) X() U() Y() - - - - - - -/ - -/ - Frekveči odiv H(): H = H (9..9) = e H e + e e + e = = e + e e + e (9..) b + b + b Eačbo H( ) = e poučo apisati a več ačiov. Zato bomo a tem mestu to tudi a a aredili, čeprav e aloga sicer že kočaa: b b b b + + + + b b b b b b b H( ) = = b = b + + a a a a a a H = b ( )( ) ( p )( p ) Zapišimo sploši ičli i sploša pola: + p = R e, = R e, p = R e +, p = R e p p + p p ( R p e )( R p e ) p + + + + p p + p p p p + p p (9..) (9..) (9..3) R e R e R e R e + R e R e H( ) = b = b (9..) R e R e R e R e + + p p R e + e + R R + R H( ) = b = b R R cos R pcos p e + e + R p ( p) + p (9..)
6. Naloga Iračuate koeficiete areega (otch) filtra, ki a služi a iločae mote s frekveco kh. Aalogi sigal vorčimo s frekveco f S = H. Eosmere sigale mora filter preašati bre dušea. Pasova širia dušea (-3 db) e H. Rešitev: Zarei filter popoloma duši določeo frekvečo kompoeto, ostale pa bol ali ma dobro prepušča. H(f) B f Z f S / f Z π Glede a frekveco vorčea e potrebo frkveco aree preračuati v diskreto frekveco aree. Prav tako pasovo širio aree. fz H Z = π = π =,97π fs H (9.6.) B H BZ = π = π =,97π f H (9.6.) S Zareo bomo dosegli tako, da bomo a eotsko krožico v Z-ravii postavili ičlo pri frekveci (kotu) Z. To povroči odiv pri te frekveci, pri ostalih pa odiv raste, ko se oddaluemo od ičle. Im 3 Hw ( ) - Re - ( X, Y, Z),( Wx, Wy, W) 6 Ker želimo, da bi bil odiv pri ostalih frekvecah vsa približo, postavimo v eposredo bližio ičle pol. Če bi bila ičla i pol a istem mestu, bi se pokrašala, i odiv bi bil povsod eak. Če pol malo
odmakemo od ičle, se sicer e pokrašata, vedar če se dovol odmakemo od iu po frekveči osi, e radala do iu približo eaka, ato e vredost odiva približo. Bol bliu skupa damo pol i ičlo, ma se e treba odmakiti od aree frekvece, da pride odiv a približo. Im. p Hw( ) - p Re. - Pol bol odmake od ičle: ( X, Y, Z), ( Wx, Wy, W) 6. Hw( ). ( X, Y, Z), ( Wx, Wy, W) 3 6 Pol bliže ičle:. Hw( ). ( X, Y, Z), ( Wx, Wy, W) 3 6
I gorih slik e ravido, da pasovo širio določamo oddaleosto pola od ičle. Zapišimo eačbo a amplitudo frekvečega odiva vea. Preoblikumo o tako, da bo primera a primeravo s sliko. H H( ) N N = = = = = e p p p p P P = e = e (9.6.3) Zaradi bolše pregledosti bomo od seda apre apis N() ali P() poeostavili v N ali P. H N N P P ( ) = (9.6.) Na spodih slikah e aradi bolše pregledosti prikaa samo I. kvadrat. Zato sta vida le e pol i ea ičla. Vsak kompleksi pol ali ičla imata svo komplekso kougira par, sicer koeficieti vea e bi bili reali i tudi doblei sigal e bi bil reale. Para arisaega pola i ičle sta v III. Kvadratu. Im Na sliki e prikaa primer iračua amplitude odiva sistema a eo frekveco. V tem primeru sta radali do ičle i pola v III. Kvadratu N i P praktičo eaki ato u lahko v eačbi (9.6.3) pokrašamo: P N H = N N P P N P (9.6.) P N p Tudi radali do ičle i pola v I. kvadratu sta skora eaki, vedar e radala P vseeo malo veča od N, ato e odiv malo maši od. Z Re
Če račuamo odiv a frekveco, ki e elo bliu ičle, e N veliko kraši kot P, ato e odiv mahe. Poiskati moramo tisto točko, pri kateri odiv upade a 3 db, glede a ormale odiv. To e a faktor. Im BZ N H Z + = P N (9.6.6) P (9.6.7) P N =r p r Ker sta ičla i pol elo bliu skupa, so radale v primeravi s krožico elo mahe. Zato e krožica skorada rava črta i o tudi obravavamo kot ravo črto. Oačimo radalo med polom i ičlo r. Če račuamo velikost odiva v točki a krožici, ki e a r oddalea od ičle, e N ravo r, radala do pola P pa r + r = r. Tore e to točka, ker oačee pade a 3 db. Seda moramo le še iraiti r s pasovo širio, pa imamo vse podatke a apis poici polov i ičel. Obseg kroga iračuamo eačbo Dolžio loka določeega kota pa kot o= π R (9.6.8) ϕ l = R (9.6.9) π Ker e to eotska krožica, e polmer R eak, kot e BBZ/, r pa e iskaa dolžia loka Seda lahko apišemo položae ičel i polov Z BZ B, 97, 97 Z π r = = = = =,7 (9.6.) π π π ± Z, e cos( Z ) si ( Z ) ± Z = = ± (9.6.) p, = r e = r cos Z ± r si Z (9.6.) P N Re
, =,997 ±,8 (9.6.3) p, =,97 ±,8 (9.6.) I ičel i polov iračuamo koeficiete a shemo vea. ( )( ) ( + ) + ( + ) + H( ) = = = ( p)( p) ( p+ p) + p p ( p+ p) + pp Y( ) ( ( p p) pp ) X ( ) ( ( ) + + = + + ) Y( ) = X ( ) ( + ) X ( ) + X ( ) + ( p+ p) Y( ) ppy( ) = cos( Z) + + ( ) cos( Z) ( ) Y( ) = X ( ),99 X ( ) + X ( ) +,9 Y( ),99 Y( ) Y X X X r Y r Y (9.6.) (9.6.6) (9.6.7) (9.6.8) (9.6.9) Shema vea: X() Y() X() U() Y() - - cos( ) ( r) ( ) Z cos Z - ( r) ( ) cos( ) cos Z Z - ( r) - ( r) - oiroma