UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO Andrej Gril VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH ČASOV GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ Diplomsko delo Maribor, maj 2013
I Diplomsko delo visokošolskega študijskega programa VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH ČASOV GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ Študent: Andrej GRIL Vpisna številka: 93564394 Študijski program: Gradbeništvo, visokošolski Smer: Mentor: Operativno-konstrukcijska izr.prof.dr.matjaž SKRINAR Maribor, maj 2013
II
III ZAHVALA Zahvaljujem se mentorju dr. Matjažu Skrinarju za pomoč in vodenje pri opravljanju diplomskega dela. Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili študij.
IV VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH ČASOV GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ Ključne besede: gradbeništvo, diplomsko delo, potresna analiza, okvirna konstrukcija, nihajni čas UDK: 624.131.55(043.2) Povzetek Pri potresni analizi konstrukcij se lahko uporabljajo različni modeli in metode, s katerimi lahko analiziramo obnašanje konstrukcije. Glede na stopnjo pravilnosti konstrukcije je tudi predpisana izbira računskega modela in metode, ki se uporabita za izvedbo potresne analize. Namen diplomskega dela je bilo opazovanje obnašanja različnih ravninskih modelov konstrukcij glede na število etaž konstrukcije. Zato smo v diplomskem delu uporabili konstrukcijo iz strokovnega članka, za katero smo izračunali pomike in nihajne čase. Glede na to, da je konstrukcija tlorisno pravilna in po višini tudi smo lahko uporabili dva modela po Buchholdtu, dve metodi iz Slovenski standard SIST EN 1998-1 in računalniški program Tower 7. V zaključku smo izvedli primerjavo dobljenih pomikov in nihajnih časov, ter na osnovi izračunanih vrednosti podali komentarje posameznih modelov.
V VERIFICATION OF DIFFERENT STRUCTURAL MODELS FOR EIGENPERIODS ANALYSIS REGARDING THE NUMBER OF STOREYS Key words: civil engineering, graduate work, seismic analysis, frame system constraction, vibration period UDK: 624.131.55(043.2) Abstract In the seismic analysis of structures, various models and methods can be used in order to analyse the behaviour of the structure. Selection of the calculation model and the methods used for the seismic analysis are prescribed according to the degree of accuracy of the structure. The aim of the thesis was observation of the behaviour of different models of planar structures depending on the number of floors of the structure. Therefore, for my thesis I used the structure from a technical article, for which I calculated the displacements and swing era. Since the ground plan and the height are correct, I could use the two models by Buchholdt, two methods of Slovenian standard SIST EN 1998-1 and the computer program Tower 7. In conclusion, the resulting displacement and swing times were compared and individual models were commented on the basis of the calculated values.
VI VSEBINA 1 UVOD... 1 1.1 SPLOŠNO O PODROČJU DIPLOMSKEGA DELA... 1 1.2 NAMEN IN CILJ DIPLOMSKE NALOGE... 2 1.3 SPLOŠNO O POTRESU... 2 1.4 DOLOČITEV POTRESNEGA VPLIVA PO RAZLIČNIH MODELIH IN METODAH... 4 2 OPIS OBRAVNAVANE KONSTRUKCIJE... 7 3 IZRAČUN POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJE:... 10 3.1 TLORISNA PRAVILNOST ZA PRITLIČNO ETAŽO... 10 3.2 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z ENO ETAŽO... 14 3.3 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z DVEMA ETAŽAMA:... 22 3.4 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S TREMI ETAŽAMI:... 32 3.5 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S ŠTIRIMI ETAŽAMI:... 43 3.6 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S PETIMI ETAŽAMI:... 54 4 PRIMERJAVA POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJ... 67 4.1 DISKUSIJA REZULTATOV... 71 5 ZAKLJUČEK... 73 6 LITERATURA... 74 7 PRILOGE... 75 7.1 KAZALO SLIK... 75 7.2 KAZALO TABEL... 76 7.3 NASLOV ŠTUDENTA... 76 7.4 KRATEK ŽIVLJENJEPIS... 77
VII UPORABLJENI SIMBOLI B - širina E - elastični modul kostrukcije F b - potresna sila H - višina I - vztrajnostni moment I n - vstrajnostni moment stebra nosilca I s L M - vstrajnostni moment stebra nosilca - dolžina - magnituda žariščne cone M etaže - masa etaže P i - horizontalna sila i - redukcijski faktor etaže T - nihajni čas - kinetična energija mas - potencialna energija a - širina profila HOP - pospešek tal b - višina profila HOP - hitrost longitudinalnih valov - hitrosti transverzalnih valov d i - vodoravni pomik e ox - razdalja med središčem togosti in masnim središčem
VIII - zemeljskim pospešek h - višina konstrukcije k i - togost l s - vztrajnostni polmer mase - masa posamezne etaže r i - polmer r x - kvadratni koren razmerja med torzijsko in translacijsko togostjo t - debelina profila HOP - center togosti v x-smeri x i - pomik - masno središče v x-smeri - center togosti v y-smeri - masno središče v y-smeri - vitkost - lastna frekvenca - krožna frekvenca
IX UPORABLJENE KRATICE CAD - Computer Aided Design EN - evropski standard SIST - Slovenski inštitut za standardizacijo RF - Redukcijski faktor
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 1 1 UVOD 1.1 Splošno o področju diplomskega dela Potresne sile spadajo med vplive, za katere ni mogoče jasno napovedati, ali bodo delovale na konstrukcijo v obdobju, v katerem bo služila svojemu namenu. Kljub temu jih ne smemo zanemariti in jih zaradi morebitnega uničujočega učinka potresov upoštevamo pri projektiranju. Vpliv potresnih sil je praviloma bistveno večji v vodoravni smeri kot v navpični smeri, kar še poudari zahtevo po upoštevanju potresnih vplivov pri projektiranju. V horizontalni smeri je namreč nosilnost gradbenih konstrukcij na nepotresno obtežbo, ki deluje v vodoravni smeri, običajno bistveno manjša kot nosilnost, potrebna za zagotovitev prevzema potresnih sil. Tako bi, če pri projektiranju konstrukcij delovanja potresnih sil ne bi upoštevali, prevzeli tveganje, da se bodo gradbeni objekti med potresom močno poškodovali ali celo porušili. Velikost potresnih sil na konstrukcijo je odvisna od različnih parametrov, med ostalim tudi od potresne aktivnosti območja, kjer se bo objekt nahajal. S pravilno zasnovo objekta pri projektiranju lahko bistveno prispevamo k temu, da lažje ocenimo njegovo obnašanje med delovanjem potresnega vpliva in s tem zmanjšamo negativne vplive potresa na konstrukcijo. Da se zagotovi kar najbolj direktni prenos potresne obtežbe, se priporoča, da so konstrukcije tako po svoji tlorisni zasnovi kot po višini kar se da pravilne. Glede na stopnjo pravilnosti konstrukcije je tudi predpisana natančnost (uporaba računske metode), ki je potrebna za analizo potresne odpornosti. Bolj kot je konstrukcija pravilna in enostavna, bolj jasen in direkten je prenos potresne obtežbe po konstrukciji, in enostavnejša sta lahko računska model kot tudi računska metoda za analizo konstrukcije. Ker je mogoče v strokovni literaturi zaslediti različne poenostavljene modele, je smiselno ugotoviti, kako uspešni so posamezni modeli.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 2 1.2 Namen in cilj diplomske naloge Namen diplomske naloge je opazovanje obnašanja različnih ravninskih modelov konstrukcij s primerjavo njihove uporabnosti v analizi osnovne periode konstrukcije. Zato bomo opazovali različne konstrukcije, ki se bodo razlikovale v številu etaž. V ta namen smo iz strokovnega članka»a quick method for estimating the lateral stiffness of building systems«, objavljenega v reviji The Structural Design of Tall Buldings 8, 247 260 (1999), povzeli jekleno konstrukcijo, ki predstavlja osnovo za modele, analizarne v diplomskem delu. Za vse opazovane konstrukcije bomo izračunali nihajne čase, kot tudi pomike na vrhu zaradi sil teže, apliciranih horizontalno. Vsaka konstrukcija bo modelirana z dvema poenostavljenima modeloma (osnovnim in modificiranim) po Buchholdu. Analizo bomo izvedli tudi z modelom, dobljenim z metodo končnih elementov, za kar bomo uporabili program Tower 7 demo. Za izračun primerjalnih parametrov bomo dodatno uporabili enačbi iz Slovenskega standarda SIST EN 1998-1. Začetno konstrukcijo bo predstavljala enoetažna konstrukcija, nato pa se bo število etaž postopoma dvigovalo do pet, kar bo vodilo do konstrukcije iz članka. Cilj teh izračunov je prikaz kvalitete uporabljenih modelov za analizo obnašanja konstrukcije glede na število etaž. Kot primerjalna parametra bomo uporabili prvo periodo in vertikalni pomik zgornje etaže, torej parametra, ki omogočata izračun potresnega vpliva. 1.3 Splošno o potresu Potresno obtežbo predstavlja horizontalno in vertikalno gibanje površine tal, katerega posledice so vztrajnostne sile, ki se pojavljajo v masah konstrukcije. Potres lahko nastane zaradi več vzrokov: - trka dveh tektonskih plošč, - premikov magme, - udora in podora, - človeških aktivnosti. Najmočnejši so potresi zaradi tektonskih premikov, zato so potresno najbolj izpostavljena področja v bližini tektonskih prelomnic. Medsebojni pomiki med tektonskima ploščama so
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 3 lahko horizontalni ali vertikalni. Mesto trka, ki je izvor valovanja, imenujemo žarišče ali hipocenter potresa, vertikalno projekcijo na zemeljsko površino pa epicenter. Od žarišča se valovanje širi prostorsko radialno nazven. Iz teorije valovanja vemo, da v prostoru obstajajo longitudinalni valovi, kjer delci materije nihajo v smeri širjenja motnje, in transverzalni valovi, kjer delci nihajo pravokotno glede na smer širjenja motnje. Kjer je hitrost longitudinalnih valov večja od hitrosti transverzalnih valov, longituinalno valovanje imenujemo tudi primarno, transverzalno pa sekundarno valovanje. Zemeljsko površino tako najprej dosežejo longitudinalni valovi, ki jih na prosti površini tal zaznamo kot vertikano nihanje, nekoliko pozneje pa še transverzalni valovi, ki jih zaznamo kot horizontalno nihanje. Na moč potresa zelo vpliva globina žarišča (H), ki predstavlja razdaljo med hipocentrom in epicentrom. Glede na globino potrese v splošnem delimo na - plitve ), - globoke ). Nevarnejši so seveda plitvi potresi, saj je za objekte merodajna energija, ki se sprosti na zemljski površini, torej v epicentru. Globoki potresi nas običajno niti ne zanimajo. Razdaljo od epicentra do obravnavane lokacije konstrukcije imenujemo epicentralna razdalja. Moč potresa označujemo z magnitudo žariščne cone v obliki končne sproščene energije z enačbo: kjer sta, (1) M E magnituda žariščne cone količina sproščene energije Enačbo (1) je leta 1935 definiral Richter, zato jo imenujemo tudi Richterjeva skala. Zaradi dejstva, da je moč potresa v tem primeru odvisna le od količine sproščene energije, še danes velja za najprimernejšo lestvico vrednotenja potresa. Ker je v obliki desetiškega logaritma, je njena vrednost od 1 (najmanjša moč potresa) do 10 (največja moč potresa). Iz enačbe (1) je ravidno, da na primer 32-kratno povečanje sproščene energije poveča magnitudo potresa za 1 stopnjo.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 4 1.4 Določitev potresnega vpliva po različnih modelih in metodah Potresno obtežbo predstavljajo sile, ki se pojavljajo v masah objekta zaradi dinamičnega gibanja tal, torej pospeška tal (Slika 1). Ker ima vsaka konstrukcija nešteto kontiniurno razporejenih masnih točk, je toliko tudi prostostnih stopenj in vztrajnostnih sil, ki delujejo na objekt. Kot bistvene običajno upoštevamo le horizontalne prostostne stopnje etaž, kjer so skoncentrirane največje mase objekta, in kjer posledično na objekt delujejo največje horizontalne vztrajnostne sile. Kot poenostavljen matematični model tako lahko uporabimo kar model s koncentriranimi masami v etažah in pripadajočimi vztrajnostnimi silami (Slika 1). Slika 1: Poenostavljena porazdelitev potresnih sil na večetažnem objektu Po poznanih zakonih fizike bi lahko rezultantno vztrajnostno silo na objekt (Sliki 1) izračunali kar v obliki: ) ) (1.1) kjer sta: masa posamezne etaže pospešek tal,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 5 ki pa velja le za idealno togo telo in ne upošteva nekaterih bistvenih parametrov, ki lahko vplivajo na dinamično obnašanje objekta (duktilnost, elastičnost, vpliv zemljine, ), ki jih je pri potresni analizi objekta vsekakor potrebno upoštevati. V splošnem tako za potresno analizo objektov obstaja več računskih modelov in metod, ki se precej razlikujejo tako po svoji zahtevnosti in natančnosti. Med modeli, ki jih je mogoče dovolj natančno analizirati brez uporabe računalnika, smo izbrali modificirani strižni model z upoštevanjem redukcijskega faktorja (RF) po Buchholdu, in sicer RF za etažo kot celoto in modificirano različico z RF za vsak steber posebej. V takšnih primerih je potrebno najprej izračunati togosti strižnega modela, ki jih pomnožimo z redukcijskim faktorjem (RF), ki je funkcija togosti stebrov in nosilcev etaže. Tako dobimo enačbo za redukcijski faktor: ( ) ( ) ( ) (1.2) kjer so: redukcijski faktor etaže E I L elastični modul kostrukcije vstrajnostni moment stebra oz. nosilca dolžina stebra oz. nosilca Faktorji v enačbi (1.2) so odvisni, od razmerja upogibnih togosti srebrov, [( ) ] in upogibnih togosti nosilcev [( ) ] v različnih etažah, ter od dimenzij elementov okvirja konstrukcije. Orginalni redukcijski faktor zajame vse nosilce in stebre obravnavane etaže. Mogoče pa ga je uporabiti tudi modificirano za vsak steber etaže posebej. Ne glede na izbiro računskega modela je mogoče uporabiti različne metode za analizo dinamičnega obnašanja konstrukcije: Nelinearna analiza časovnega odziva,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 6 pri kateri se časovni potek odziva konstrukcije določi z direktno numerično integracijo diferencialnih enačb gibanja. V praksi se uporablja za najzahtevnejše objekte (jedrske centrale, termoelektrarne, zelo visoke stavbe...) Linearna analiza frekvenčnega odziva, ki se lahko uporabi le za linearno analizo konstrukcije, temelji na Laplaceovi transformaciji. Metoda je nekoliko enostavnejša od nelinearne analize časovnega odziva, saj odpade časovna odvisnost problema. V praksi se ponavadi uporablja le za posebno zahtevne konstrukcije. Modalna analiza s spektri odziva, ta metoda se uporablja za stavbe, ki ne izpolnujejo osnovnih pogojev glede pravilnosti po višini ter posledično ni dovoljena uporaba poenostavljene modalne analiz. Poenostavljena modalna analiza, ki predstavlja še dodatno poenostavitev modalne analize s spektri odziva, in jo kot najenostavnejšo predpisuje tudi EN 1998-1:2004. Metodo, uporabljeno v SIST EN 1998-1:2006 imenujemo tudi» Metoda z vodoravnimi silami«. Metoda je izmed vseh omejenih daleč najenostavnejša in edina, pri katerem lahko problem rešimo tudi»prostoročno«(angl.»on hand calculation method«). Seveda jo posledično lahko uporabimo le za relativno enostavne oziroma»pravilne konstrukcije«. EN 1998-1:2004 jo dovoljuje za stavbe, ki morajo zadostiti zahtevam glede pravilnosti konstrukcije po višini in tlorisu. Poleg naštetih metod standard EN 1998-1:2004 podaja tudi enostavna izraza za izračun prvega nihajnega časa.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 7 2 OPIS OBRAVNAVANE KONSTRUKCIJE Kot osnovo za analizo v diplomskem delu smo izbrali jekleno konstrukcijo iz strokovnega članka A Quick Method for Estamating the Lateral Stiffness of Building Systems, iz revije The Structural Design of Tall Buldings 8, 247 260 (1999). Za to konstrukcijo smo se odločili, ker so v članku izračunani pomiki in nihajni časi, katere bomo lahko uporabili za primerjavo. Slika 2: Model konstrukcije
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 8 Kot je razvidno v sliki 2, je model konstrukcije enoladijski okvir, ki ima 5 etaž in 8 polno vpetih podpor. Ker je konstrukcija jeklena, je modul elastičnosti. Masa posamezne etaže, povzeta po literaturi, je 43 ton. Dimenzije okvirja so v metrih in so razvidne na sliki 3, kjer so prikazane tudi vrednosti vztrajnostnih momentov posameznih elementov konstrukcije. V referenčnem članku so uporabljene vrednosti očitno idealizirane, saj nam ni uspelo najti ustreznih profilov, ki bi vodili do enakih vrednosti. Zato smo, da bi se izvedla realnejša analiza poiskali jeklene profile, ki imajo približno enake vztrajnostne momente. Izbrani prerezi HOP so prikazani v tabeli 1. Slika 3: Prikaz žičnega modela konstrukcije in vztrajnostnih momentov iz članka
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 9 Tabela 1: Izbrani HOP - profili Vztrajnostni momenti v članku na konstrukciji Izbrani HOP - profili Dimenzije [a/b/t] vztrajnostni moment I=400 cm 4 16x10x5 cm I=406.59 cm 4 I=600 cm 4 16x12x5 cm I=617.25 cm 4 I=700 cm 4 16x12x6 cm I=718.25 cm 4 I=800 cm 4 14x12x8 cm I=797.33 cm 4 I=900 cm 4 16x12x8 cm I=896.55 cm 4 I=1000 cm 4 16x14x6 cm I=1028.23 cm 4 I=1200 cm 4 22x14x5 cm I=1153.43 cm 4 I=1300 cm 4 16x14x8 cm I=1291.63 cm 4 I=1400 cm 4 22x14x6 cm I=1351.65 cm 4 I=1600 cm 4 25x15x5 cm I=1507.91 cm 4 I=1800 cm 4 25x15x6 cm I=1765.98 cm 4 I=1850 cm 4 25x15x6 cm I=1765.98 cm 4 I=2000 cm 4 22x14x10 cm I=2028.66 cm 4 I=2400 cm 4 22x14x12.5 cm I=2375.66 cm 4 I=2800 cm 4 26x18x6 cm I=2759.78 cm 4 I=3250 cm 4 30x18x10 cm I=3170.50 cm 4 I=3900 cm 4 30x20x6 cm I=3961.98 cm 4 Slika 4: Prerez profila HOP
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 10 3 IZRAČUN POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJE: 3.1 Tlorisna pravilnost za pritlično etažo Merila za tlorisno pravilnost konstrukcije so odločilna pri izbiri računskega modela. Če je konstrukcija tlorisno pravilna, lahko izberemo dva neodvisna ravninska modela, v nasprotnem primeru pa smo primorani izbrati prostorski računski model. Po EN 1998-1:2004 velja, da je stavba tlorisno pravilna, če velja: tlorisna razporeditev nosilnih elementov je glede na dve pravokotni smeri simetrična glede na togosti in mase, obod vsake etaže naj tvori poligonalno konveksno linijo v tlorisu stavbe naj torej ne obstajajo vdolbine, če pa že, naj njihova površina naj ne bo večja od 5% etažne površine, izpolnjeno mora biti, da je tlorisna vitkost stavbe λ = L max / L min 4.0, kjer sta L max večja tlorisna dimenzija stavbe in L min manjša tlorisna dimenzija, merjeni v pravokotni smeri, ekscentričnost konstrukcije e o mora v vsaki etaži glede na torzijski polmer etaže r ustrezati pogoju: e ox 0.30 r x r x l s e ox..razdalja med središčem togosti in masnim središčem, merjena v smeri x, ki je pravokotna na smer analize r x..kvadratni koren razmerja med torzijsko in translacijsko togostjo v smeri y ( torzijski polmer ) l s..vztrajnostni polmer mase etaže (koncentrirane v višini stropa) v vodoravni ravnini,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 11 pri več etažnih stavbah je možna le približna definicija središča togosti in torzijskega polmera, zato velja poenostavljena definicija za opredelitev tlorisne pravilnosti; vsi elementi, ki prenašajo horizontalno obtežbo (jedra, stene, okvirji) naj potekajo neprekinjeno od temeljev do vrha stavbe. Izračun vitkosti: Izračun centra togosti: X koordinata je na polovici širine konstrukcije; Y koordinato pa izračunamo; Izračun masnega središča: X koordinata Y koordinata Razdalja med središčem togosti (c.t.) in masnim središčem (m.s.) ekscentričnost:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 12 X koordinata; Y koordinata; ( ker ni ekscentričnosti) Slika 5: Prikaz središča togosti in masnega središča Vztrajnostni polmer mase etaže l s (poenostavljen račun): Izračun vztrajnostnega polmera r za obe smeri pritlične etaže: [ ) ) ) ) ) ) ) ) )]
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 13 Za x-smer velja: ) ) Za y-smer velja: ) ) Vidimo, da sta obe smeri vrednosti torzijskega polmera r enaki: in 1. Pogoj (SIST EN 1998-1:2006, enačba 4.1a, str.42) 2. Pogoj (SIST EN 1998-1:2006, enačba 4.1b, str.42) Vsi pogoji so izpolnjeni, torej konstrukcija je tlorisno pravilna kar je razvidno iz pogoja 1. in pogoja 2. ter vitkosti.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 14 3.2 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z ENO ETAŽO Najprej bomo izračunali nihajne čase in pomik samo za eno etažo. Za izračune bomo uporabili različne metode: dve metodi iz EC8, strižni model in dva modela po Buchholdu. Podatki, ki jih smo jih uporabili: Masa etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov) Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=1153.43 cm 4, I=2375.66 cm 4, I=3961.98 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 7. Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=1028.23 cm 4, I=2028.66cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 7. L 1 =2 m, L 2 =4 m, L 3 =6.5 m, H 1 =3.5 m Slika 6: Model konstrukcije ene etaže Slika 7: Žični model ene etaže
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 15 Nihajni čas: Osnovni nihajni čas ravninskih modelov stavbe je mogoče izračunati s pomočjo približnih izrazov, ki temeljijo na metodah dinamike konstrukcij. Za stavbe do 40m višine je mogoče približno vrednost prvega nihajnega časa v sekundah izračunati po enačbi: EC 8, enačba (4.6), stran 48 = 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje), je višina stavbe v metrih Nihajni čas alternativno: Alternativno je mogoče nihajni čas oceniti v sekundah z enačbo: EC 8, enačba (4.9), stran 49 d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno Za izračun po zgornji enačbi je potrebno poznati pomik d zaradi sil teže, apliciranih horizontalno. Mase apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 16 Etažne plošče so neskončno toge v svoji ravnini, kar pomeni, da privzamemo, da se stebri pri stikih s ploščami ne zasučejo. Izračun togosti: Totalni pomik: Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo prvi nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ("po Buchholdtu"): V prejšnem izračunu je bil uporabljen strižni model, ki je sicer dovolj enostaven, vendar ne dovolj natančen, saj upošteva neskončno toge prečke. Predpostavka neskončno togih prečk, ki je utemeljevana z upogibno togostjo plošč, vodi do "pretoge" konstrukcije in posledično prenizkih vrednosti za prvi nihajni čas. Zato so bili razviti različni pristopi, kako računski model približati realnejšemu stanju brez izvedbe natančne analize (npr. z metodo končnih elementov). Eden izmed pristopov je zmanjšanje togosti stebrov s pomočjo redukcijskega faktorja, ki so ga obravnavali različni avtorji. Čeprav se redukcijski faktorji različnih avtorjev medsebojno razlikujejo, vsi izhajajo iz istih osnov, kjer na osnovi razmerja upogibnih togosti (Flexural stiffness) nosilcev in stebrov etaže empirično izračunamo vrednost, s katero pomnožimo strižno togost stebra. V naših analizah smo upoštevali osnovni in modificirani redukcijski faktor po Buchholdtu. Osnovni faktor kot ga je podal Buchholdt, se uporabi hkrati za vse elemente etaže, medtem ko se njegova modificirana oblika individualno uporabi za vsak steber etaže.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 17 Reducirana togost stebra je: RF, redukcijski faktor za prvo etažo kot celoto Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi: ( ) ( ) ( ) Togost stebra je: Skupna togost prve etaže je tako: ) Totalni pomik prve etaže: ) Prva krožna frekvenca in lastna frekvenca konstrukcije pa sta:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 18 Prvi nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran model po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebra je: RF, redukcijski faktor prve etaže za vsak steber posebej Steber 1: Steber 2: ( ) ( ) Steber 3:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 19 ( ) ( ) Steber 4: Togost stebra je: Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov": Skupna reducirana togost vseh stebrov prve etaže je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 20 ) ) Totalni pomik prve etaže: Krožna frekvenca in lastna frekvenca konstrukcije pa sta: Nihajni čas: Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7: Program Tower 7 je izdelalo podjetje Radimpex Software, ustanovljeno leta 1989, ki se od takrat izključno ukvarja z razvojem programske opreme na področju gradbeništva. Tower 7 je grafični program za splošno analizo vplivov v ravninskih in prostorskih konstrukcijah. Program je zmožen statične analize v skladu s teorijo 1. reda in 2. reda ter dinamične analize konstrukcij, bodisi iz betona, lesa ali jekla. Program nam tudi omogoča izračun stabilnosti konstrukcij (določitev kritičnih sil in uklonskih dolžin). Za to diplomsko nalogo smo uporabili brezplačno demo različico programa Tower 7. Verzija ima enako funkcionalnost kot profesionalna različica, saj omogoča - statične analize (teorije 1. reda in 2. reda), analize stabilnosti, modalna analiza in seizmična analiza. Demo verzija pa je omejena na konstrukcije z največ 300 vozlišči, hkrati pa dimenzioniranja betona, jekla in lesa ni mogoče izvesti.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 21 Izračun s podprogramom modalna analiza V sliki 8 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je razvidno, da je osnovni nihajni čas. Slika 8: Prikaz nihajnega časa enoetažne stavbe s programom Tower 7 Izračun pomikov s programom Tower 7 Maso etaže smo pomnožili z zemeljskim pospeškom ( ), nato smo te sile aplicirali horizontalno na konstrukcijo in izračunali pomik. V sliki 9 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z eno etažo
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 22 Slika 9: Prikaz pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7 Tabela 2: Izračun pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7 Število nadstropja Tower 7 1. 0.09342 m Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49. 3.3 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z DVEMA ETAŽAMA: Enako kot za konstrukcij z eno etažo bomo izračunali nihajne čase in pomik še za konstrukcijo z dvema etažema, pri tem bomo uporabili enake modele in metode. Podatki o konstrukciji: Masa etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov) Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=1153.43 cm 4, I=2375.66 cm 4, I=3961.98 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=3170.50 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 11. Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=896.55 cm 4, I=1765.98 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 11.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 23 L 1 =2 m, L 2 =4 m, L 3 =6.5 m, H 1 =3.5 m, H 2 =3 m Slika 10: Model konstrukcije z dvema etažama Slika 11: Žični model konstrukcije z dvema etažama Nihajni čas: EC 8, enačba (4.6), stran 48 = 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje), je višina stavbe v metrih
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 24 Nihajni čas - alternativno: EC 8, enačba (4.9), stran 49 d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno Mase apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo: Račun togosti druge etaže: Pomik prve etaže: Pomik druge etaže:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 25 Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ("po Buchholdtu"): Reducirana togost stebra je: RF, redukcijski faktor za drugo etažo kot celoto Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi: ( ) ( ) ( ) Togost stebrov v drugi etaži : Skupna togost druge etaže je tako: ) Pomik prve etaže: )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 26 Pomik druge etaže: Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ] Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) )) ( ) ) ) )) Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 27 Nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran model po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebrov za drugo etažo je: RF, redukcijski faktor druge etaže za vsak steber posebej Steber 1: Steber 2: ( )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 28 ( ) Steber 3: ( ) ( ) Steber 4: Togost stebrov v drugi etaži : Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 29 Skupna reducirana togost vseh stebrov druge etaže je: ) ( ) Pomik prve etaže: Pomik druge etaže: Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ]
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 30 Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) )) ( ) ) ) )) Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco: Nihajni čas: Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7: Izračun s podprogramom modalna analiza V sliki 12 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je razvidno da je osnovni nihajni čas.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 31 Slika 12: Prikaz nihajnega časa dvoetažne stavbe s programom Tower 7 Izračun pomikov s programom Tower 7 V sliki 13 je prikazan pomik konstrukcije zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z dvema etažema Slika 13: Prikaz pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 32 Tabela 3: Izračun pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7 Število nadstropja Tower 7 1. 0.18126 m 2. 0.25212 m Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49. 3.4 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S TREMI ETAŽAMI: Podatki o konstrukciji: Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov) Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm 4, I=1765.98 cm 4, I=797.33 cm 4, I=1153.43 cm 4, I=2375.66 cm 4, I=3961.98 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=3170.50 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 15. Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=797.33 cm 4, I=1351.65 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=896.55 cm 4, I=1765.98 cm 4, I=1507.91 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 15. L 1 =2 m, L 2 =4 m, L 3 =6.5 m, H 1 =3.5 m, H 2 =3 m, H 3 =3 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 33 Slika 14: Model konstrukcije s tremi etažami Slika 15: Žični model konstrukcije s tremi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 34 Nihajni čas: EC 8, enačba (4.6), stran 48 = 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje), je višina stavbe v metrih Nihanji čas alternativno: EC 8, enačba (4.9), stran 49 d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo: Račun togosti tretje etaže:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 35 Totalni pomik etaž: Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebrov za tretjo etažo je: RF, redukcijski faktor za tretjo etažo kot celoto Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi: ( ) ( ) ( )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 36 Togost stebrov v tretji etaži : Skupna togost tretje etaže je tako: ) ) Totalni pomik etaž: Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ]
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 37 [ ) ) ) ] = Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) )) ( ) ) ) ) ) )) = Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco: Nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran model po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebrov za tretjo etažo je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 38 RF, redukcijski faktor tretje etaže za vsak steber posebej Steber 1: Steber 2: ( ) ( ) Steber 3: ( ) ( ) Steber 4:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 39 Togost stebrov v tretji etaži : Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov": Skupna reducirana togost vseh stebrov tretje etaže je: ) ) Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 40 Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ) ] = Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) )) ( ) ) ) ) ) )) Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 41 in tako lahko izračunamo krožno frekvenco: Nihajni čas: Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7: Izračun s podprogramom modalna analiza V sliki 16 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je razvidno, da je osnovni nihajni čas. Slika 16: Prikaz nihajnega časa trietažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 42 Izračun pomikov s programom Tower 7 V sliki 17 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije s tremi etažami Slika 17: Prikaz pomika trietažne stavbe s programom Tower 7 Tabela 4: Izračun pomika trietažne stavbe s programom Tower 7 Število nadstropja Tower 7 1. 0.248423 m 2. 0.38956 m 3. 0.47606 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 43 Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49. 3.5 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S ŠTIRIMI ETAŽAMI: Podatki o konstrukciji: Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov) Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm 4, I=1765.98 cm 4, I=797.33 cm 4, I=1153.43 cm 4, I=2375.66 cm 4, I=3961.98 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=718.25 cm 4, I=3170.50 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 19. Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=718.25 cm 4, I=797.33 cm 4, I=1351.65 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=896.55 cm 4, I=1765.98 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 19. L 1 =2 m, L 2 =4 m, L 3 =6.5 m, H 1 =3.5 m, H 2 =3 m, H 3 =3 m, H 4 =3 m Slika 18: Model konstrukcije s štirimi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 44 Slika 19: Žični model konstrukcije s štirimi etažami Nihajni čas: EC 8, enačba (4.6), stran 48 = 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje), je višina stavbe v metrih Nihanji čas alternativno: EC 8, enačba (4.9), stran 49 d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 45 Izračun togosti četrte etaže je: Totalni pomik pritličja:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 46 Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebra četrte etaže je: RF, redukcijski faktor za četrto etažo kot celoto Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi: ( ) ( ) ( ) Togost stebrov v četrti etaži : Skupna togost četrte etaže je tako: ) )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 47 Totalni pomik etaž: Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ) ) ]= Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) ) ) ))
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 48 ( ) ) ) ) )) ) ) Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco: Nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran model po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebrov za četrto etažo je: RF, redukcijski faktor četrte etaže za vsak steber posebej Steber 1:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 49 Steber 2: ( ) ( ) Steber 3: ( ) ( ) Steber 4: Togost stebrov v 3 etaži :
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 50 Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov": Skupna reducirana togost vseh stebrov četrte etaže je: ) ) Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 51 Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ) ) ] = Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) ) ) )) ( ) ) ) ) ) ) ) )) = Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 52 Nihajni čas: Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7: Izračun s podprogramom modalna analiza V sliki 20 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je razvidno da je osnovni nihajni čas Slika 20: Prikaz nihajnega časa štirietažne stavbe s programom Tower 7 Izračun pomikov s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 53 V sliki 21 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z štirimi etažami. Slika 21: Prikaz pomikov štirietažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 54 Tabela 5: Izračun pomika štirietažne stavbe s programom Tower 7 Število nadstropja Tower 7 1. 0.31485 m 2. 0.52743 m 3. 0.66848 m 4. 0.76332 m Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49. 3.6 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S PETIMI ETAŽAMI: Podatki o konstrukciji: Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov) Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm 4, I=1765.98 cm 4, I=797.33 cm 4, I=1153.43 cm 4, I=2375.66 cm 4, I=3961.98 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=3170.50 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 23. Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=797.33 cm 4, I=1351.65 cm 4, I=1028.23 cm 4, I=2028.66 cm 4, I=896.55 cm 4, I=1765.98 cm 4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 23. L 1 =2 m, L 2 =4 m, L 3 =6.5 m, H 1 =3.5 m, H 2 =3 m, H 3 =3 m, H 4 =3 m, H 5 =3 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 55 Slika 22: Model konstrukcije s petimi etažami Slika 23: Žični model konstrukcije s petimi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 56 Nihajni čas: EC 8, enačba (4.6), stran 48 = 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje), je višina stavbe v metrih Nihanji čas alternativno: EC 8, enačba (4.9), stran 49 d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 57 Račun togosti posameznih etaž: Totalni pomik pritličja: Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebra pete etaže je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 58 RF, redukcijski faktor pete etaže kot celoto Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi: ( ) ( ) ( ) Togost stebrov v peti etaži : Skupna togost pete etaže je tako: ) ) Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 59 Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ) ) ) ]= Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ( ) ) ) ) ) ) ) )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 60 Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco: Nihajni čas: Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran model po Buchholdtu" ): Reducirana togost stebrov za peto etažo je: RF, redukcijski faktor pete etaže za vsak steber posebej Steber 1:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 61 Steber 2: ( ) ( ) Steber 3: ( ) ( ) Steber 4: Togost stebrov v peti etaži : Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 62 Skupna reducirana togost vseh stebrov je: ) ) Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 63 Vektor pomilov: { } Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije: Posamezni pomik se zapiše v obliki: ), max.potencialna energija v skrajni legi ), max.kinetična energija v skrajni legi Kinetična energija mas: [ ] [ ) ) ) ) ) ]= Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž): ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) )) ( ) ) ) ) ) ) ) ) Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič ) in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 64 Nihajni čas: Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7: Izračun s podprogramom modalna analiza V sliki 24 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je razvidno da je osnovni nihajni čas Slika 24: Prikaz nihajnega časa petetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 65 Izračun pomikov s programom Tower 7 V sliki 25 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z petimi etažemi Slika 25: Prikaz pomika petetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 66 Tabela 6: Izračun pomika petetažne stavbe z programom Tower 7 Število nadstropja Tower 7 1. 0.44823 m 2. 0.71285 m 3. 0.93984 m 4. 1.0423 m 5. 1.12028 m Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 67 4 PRIMERJAVA POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJ V tem poglavju bomo izvedli primerjavo dobljenih nihanjih časov in pomikov, ki smo jih izračunali v tretjem poglavju. Kot primerjalna parametra bomo uporabili prvo periodo in vertikalni pomik zgornje etaže. Za izračun nihajnih časov, ki so prikazani v tabeli 7, in izračun pomikov, prikazani v tabeli 8, smo uporabili različne modele in metode: Enačbo 4.6, str.48 iz slovenskega standarda SIST EN 1998-1 Ta enačba nam omogoča približni izračun nihajnega časa, brez pripadajoče inženirske analize, le v nekaj sekundah, tako, da lahko hitro ocenimo kakšen je nihajni čas konstrukcije. Enačbo 4.9, str. 49 iz slovenskega standarda SIST EN 1998-1 Enačba nam omogoča, da lahko nihajni čas izračunamo tako, da upoštevamo vodoravni pomik na vrhu konstrukcije, ta pomik pa smo dobili tako da smo sile teže aplicirali vodoravno na posamezno etažo. Nihajni čas pa smo izračunali z izrazom, podanim v standardu. Z upoštevanjem modela RF "po Buchholdtu" za etažo kot celoto in z modificiranim modelom "po Buchholdtu" za vsak steber posebaj Osnovni strižni model smo nadgradili z redukcijskimi faktorji, nato pa smo izračunali vodoravne pomike etaž zaradi sil teže, apliciranih vodoravno. Za izračun osnovnega nihajnega časa smo uporabili zakon o ohranitvi mehanske energije. S pomočjo programa Tower 7 V programu Tower 7 smo pripravili realni model konstrukcije in zanj izvedli modalno analizo z uporabo obstoječega podprograma. Model smo dodatno obremenili še s silami teže apliciranimi vodoravno in s pomočjo pomika zgornje etaže ter enačbe (4.9) iz EC8 izračunali še približek prve periode. Če primerjamo nihajne čase iz tabele 7, je iz posameznih modelov in metod razvidno, da nihajni čas narašča z višino, torej več kot je etaž, večji je nihajni čas. To je tudi pričakovan
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 68 rezultat, saj togost konstrukcije z višino upada, tabela 10. Podobno je razvidno iz tabele 8, kjer so podani pomiki etaž. Očitno je, da pomik narašča z višino konstrukcije. V tabeli 7 smo prikazali še relativne napake vseh modelov in metod, kot referenčno vrednost smo uporabili izračun dinamične analize s programom Tower 7. Tabela 7: Nihajni časi in relativne napake etaž Št. Nihajni Strižni RF po RF Program Program etaž čas EC8, enačba 4.6,str.48 model EC8, enačba 4.9, str.49 Buchholdu za etažo kot celoto modificiran model po Buchholdu za vsak steber posebej Tower 7 EC8, enačba 4.9, str.49 Tower 7, Dinamična analiza 1. prvi nihajni čas konstrukcij 2. 3. 4. 5. Št. relativne napake vseh modelov in metod Ref. etaž Napaka Napaka Napaka Napaka [%] Napaka vrednost [%] [%] [%] [%] 1. 41.18 8.990-11.000-2.629-13.609 2. 42.14 2.686-11.556-2.935-18.238 3. 43.60-0.722-12.784-4.015-19.888 4. 45.15-3.459-17.068-5. 771-20.725 5. 51.11-5.796-19.539-7.761-23.126
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 69 Tabela 8: Pomik po etažah Število Strižni model RF po RF modificiran Program etaž EC8,enačba 4.9, str.49 Buchholdu, za etažo kot celoto model po Buchholdu, za vsak steber posebej Tower 7 1. 2. 3. 4. 5.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 70 Tabela 9: Relativne napake pomikov po etažah Število Strižni model RF po RF modificiran Program etaž EC8,enačba 4.9, str.49 Buchholdu, za etažo kot celoto model po Buchholdu, za vsak steber posebej Tower 7 Napaka [%] Napaka [%] Napaka [%] Ref. vrednost 1. 2. 3. 4. 5.