1 Osove ombiatorie 1 1 Osove ombiatorie 1.1 4 osova pravila ombiatorie Pravilo produta: ƒe laho elemet a A izberemo a a iov, elemet b B a m a iov, laho urejei par (a, b) izberemo a m a iov: Pravilo vsote: A = ; B = m = A B = m A = ; B = m; A B = = A B = + m Dirichletovo a elo (pricip golobjaa): ƒe predmetov zloºimo v m predalov, jer je > m, tedaj sta vsaj v eem predalu vsaj dva predmeta. Posplo²itev Dirichletovega a ela: ƒe = m + r, jer je r 1, predmetov zloºimo v m predalov, jer je > m, tedaj bo vsaj v eem predalu vsaj + 1 predmetov. Pravilo ²tetja parov: Naj bosta X i Y o i moºici ter R biara relacija a moºici X Y. ƒe oza imo potem velja: v x (R) = (x, y) (x, y) R, y Y s y (R) = (x, y) (x, y) R, x X, R = v x (R) = s y (R) x X y Y
1.1 4 osova pravila ombiatorie 2 Naloge: 1. Na razpolago imamo 6 razli ih uvert i 4 razli e zame. Na olio a iov laho (a) izberemo uverto z zamo? (b) polepomo vse 4 zame a uverte? (c) polepimo vse zame a uverte tao, da je a vsai uverti ajve ea zama? 2. Profesor je pozabil deºi ali a bai, ali v leari, ali a po²ti, ali v trgovii. Deºi je ²el isat a vsa mesta, jer se je tega de zadrºeval. Taoj, o ga ajde, se vre domov. Kolio razli ih profesorjevih obhodov obstaja? 3. Morsova abeceda je a i odiraja s pomo jo pi i rtic, jer so zai laho razli ih dolºi. Vsaj oli²a mora biti dolºia iza, da laho zaodiramo 25 r i 10 ²tev? 4. V razredu je 24 fatov. Vsa poza atao 3 deleta. Vsao dele poza atao 6 fatov. Kolio delet je v razredu? 5. V ravii je podaih 5 to s celo²tevilsimi oordiatami. Doaºi, da je razpolovi² e vsaj ee izmed daljic med dvema to ama celo²tevilsa to a. 6. Tablico 5 5 zapolimo z elemeti 1, 0, 1. Doaºi, da aoroli zapolimo tablico, sta vsaj dve izmed izra uaih vsot po vrsticah, stolpcih i obeh diagoalah vedo eai. 7. Doaºi, da v poljubi moºici sedmih celih ²tevil, obstajata vsaj dve, aterih vsota ali razlia je deljiva z 10. 8. Naj bo a 1,..., a zaporedje celih ²tevil. Doaºi, da vsebuje strjeo podzaporedje, aterega vsota je deljiva z. 9. Doaºi, da ima vsa sezam ve ot 2 razli ih ²tevil mooto podsezam dolºie vsaj + 1. 10. Naj bo M moºica desetih razli ih dvomestih aravih ²tevil. Doaºi, da obstajata razli i podmoºici moºice M, za ateri velja, da je vsota elemetov prve podmoºice eaa vsoti elemetov druge podmoºice. 11. Na olio a iov laho izmed 3 zaporedih aravih ²tevil izberemo urejeo trojico tao, da bo vsota teh treh ²tevil deljiva s 3, e
1.1 4 osova pravila ombiatorie 3 (a) je laho trojica sestavljea tudi iz eaih ²tevil; (b) vsao trojico sestavljajo sama razli a ²tevila. 12. Vzemimo poljubo raviso triagulacijo (vsao lice (tudi zuaje) je trioti). Zapi²i povezavo med ²tevilom povezav i triotiov. 13. Kolio ²tevil med 10000 i 100000 vsebuje le ²teve 3,5 i 7? 14. V eotsem eaostrai em triotiu imamo 4 +1 razli ih to. Doaºi, da med jimi obstajata to i, i sta med seboj oddaljei za ve jemu 1 2. 15. Na temovaju mladih taletov se je zvrstilo 45 astopajo ih. Vsa je zapel 3 pesmi, vsaa pesem je bila 5 rat izvedea. Kolio razli ih pesmi so poslu²alci sli²ali? 16. Naj bo (p 1,..., p ) poljuba permutacija moºice N, jer je liho ²tevilo. Doaºi, da je produt (p 1 1)(p 2 2)... (p ) sodo ²tevilo. 17. To e ravie R 2 pobarvamo z dvema barvama. Doaºi, da vedo obstaja eao pobarva par to a razdalji 1. 18. To e ravie R 2 pobarvamo s tremi barvami. Doaºi, da vedo obstaja eao pobarva par to a razdalji 1. 19. Naj bo liho ²tevilo i A Z moºica mo i +3. Doaºi, da moºica A 2 vsebuje ta par ²tevil, da je bodisi jua vsota bodisi razlia deljiva z. 20. Pobarvajmo vsa vadrate eso ega arirastega lista papirja z eo od desetih barv. Doaºi, da obstajajo ²tirje eao pobarvai vadrati, aterih sredi² a so ogli² a pravootia s straicami, i so vzporede rtam arirastega papirja. 21. tudeta imata 4 baovce po 5 EUR i 8 baovcev po 10 EUR. (a) Na olio a iov si jih laho razdelita? (b) Na olio a iov si jih laho razdelita tao, da dobita oba eao ²tevilo baovcev? 22. Doaºi asledji trditvi. (a) V vsai moºici + 1 aravih ²tevil obstajata 2, aterih razlia je deljiva z. (b) Za vsao aravo ²tevilo, obstaja aravo ²tevilo m, aterega ²teve so 0 i 5 i je deljivo z.
1.2 Urejee i eurejee izbire 4 1.2 Urejee i eurejee izbire elemetov a mest Urejee izbire (variacije) Neurejee izbire(ombiacije) ( S poavljajem + 1 ) ( Brez poavljaja = ( 1)... ( + 1) ) Permutacije: razli ih elemetov laho postavimo v vrsto a! = ( 1)... 1 razli ih a iov. Naloge: 1. Kolio besed iz 8 r laho sestavimo v a²i abecedi, e (a) i omejitev? (b) vsaa beseda vsebuje atao 3 razli e samoglasie i atao 5 razli ih soglasiov? (c) vsaa beseda vsebuje 3 ali 4 ali 5 e ujo razli ih samoglasiov? 2. V 1.a je 34 u ecev, v 1.b 37 i v 1.c 32. (a) Na olio a iov laho izberemo dva predstavia razredov? (b) Na olio a iov laho izberemo dva predstavia razredov, e morata biti iz razli ih razredov? 3. 10 turistov i 10 turist si ºeli ogledati blejsi oto. Na olio a iov si ga laho ogledajo s petimi eaimi oli, e morata biti v vsaem olu 2 mo²a i 2 ºesi? 4. Na olio a iov laho razporedimo vitezov za oroglo eoza eo mizo? 5. Na sestau je govoriov. Na olio a iov se laho razporedijo, e govori A e sme biti pred govoriom B? 6. Na ocertu bo astopilo, jer 2, pevcev i m pev. Na olio a iov laho sestavimo spored, e mora ocert za eti i o ati pevec?
1.2 Urejee i eurejee izbire 5 7. Na zabavi se je zbralo m fatov i m delet, od aterih delet o e plesati. Na olio a iov se laho preostali zdruºijo v plese pare? 8. Na olio a iov laho postavimo v vrsto belih i rih roglic, e mora biti med dvema rima vsaj ea bela roglica? 9. Naj bosta p i q aravi ²tevili. Poi² i ²tevilo ajraj²ih poti v celo²tevilsi mreºi od to e (0, 0) do to e (p, q). 10. Daih je razli ih pra²tevil. Poi² i ²tevilo razli ih deliteljev produta teh pra²tevil. 11. m ²tudetov je ²lo a izlet. Nastaili so se v hotelu z m razli imi eopostelimi sobami. Od teh ima le l sob balo. i ²tudetov mora imeti sobo z baloom, j ²tudetov pa e sme imeti baloa. Preostalim ²tudetom je vseeo v ateri sobi so. Na olio a iov laho ²tudete razporedimo v sobe? 12. V jedilici je avtomat, a aterem je moºo dobiti dolgo avo, rato avo, avo z mleom, apu io, aav i aj. Na olio a iov laho izberemo moºico 20 apitov? 13. Iz rumeih, rde ih i belih roº bi radi apravili ²ope 7 roº. Kolio razli ih ²opov laho apravimo? Kaj pa, e bi radi, da vsa ²ope vsebuje vsaj e cvet vsae barve? 14. Na olio a iov laho izmed 12 fatov i 15 delet sestavimo 4 pare za ples? 15. Babica ima a razpolago bomboe, ºve ile i ooladice. Najve ima bomboov ajmaj pa ooladic. Babica laho sladarije razdeli dvema vuoma a 715 a iov. Kolio sladarij vsae vrste ima a voljo? 16. Na voljo imamo 7 acijsih lmov, 5 omedij i 6 dram. Ma²a si bo ogledala vseh 18 lmov. Na olio a iov si jih laho ogleda, e (a) si lme iste zvrsti ogleda eega za drugim? (b) dveh omedij e pogleda supaj? 17. Na olio a iov laho 5 eaih roglic pobarvamo s 3 razli imi barvami, e moramo pobarvati vse roglice i laho tudi vse roglice pobarvamo z isto barvo? 18. Na bai aa 7 ljudi. Na olio a iov se laho razporedijo v vrsto, e:
1.2 Urejee i eurejee izbire 6 (a) i obeih omejitev, (b) mora pela stati eposredo za Juretom, (c) mora pela stati za Juretom, vedar e ujo eposredo za jim?
1.3 Biomsi i multiomsi oeciet 7 1.3 Biomsi i multiomsi oeciet ( ) ( )! =!( )! = ( )! = 1,..., m 1! m! Za 1 + 1 velja: ( ) + 1 = ( ) + 1 ( ) Vadermode-jeva idetiteta: Naj bodo m, i r taa arava ²tevila, da je r < m,. Potem velja: ( ) m + = r r =0 ( m )( ) r Biomsi izre: (x + y) = =0 ( ) x y Naj bo M multimoºica s razli imi elemeti, i se poavljajo 1,..., -rat, jer je 1 +... + = M =. Tedaj je ²tevilo permutacij M eao ( )! = 1,..., 1!...! Multiomsi izre: (x 1 + x 2 + x ) = 1 + + = ( 1,..., ) x 1 1 x
1.3 Biomsi i multiomsi oeciet 8 Naloge: 1. Na olio a iov laho razdelimo arte za taro med (a) 4 igralce? (b) 3 igralce? 2. Na olio a iov laho razvrstimo v vrsto 5 rde ih, 3 zelee i 4 modre roglice? 3. Naj bo a = 62774277. Kolio 8 oziroma 5 mestih ²tevil laho sestavimo iz ²tev ²tevila a? 4. V razvoju multioma (4x 1 3x 2 2x 3 ) 13 poi² i oeciet pred leom x 3 1x 2 x 9 3. 5. V razvoju (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 8 poi² i oeciet pred x 2 1x 2 x 3 4x 2 5. 6. Poi² i oeciet pred x 2 v poliomu (1 4x) 6 (1 + 3x) 8. 7. Poi² i oeciet pred x 10, x 24, x 28 v poliomu (1 + 2x 6 x 8 ) 20. ( ) 8. Izra uaj vredost. 1,..., i 0 1 +...+ = 1 i ( ( 9. Izra uaj vredost izraza 0) ) ( 1 +... + ( 1) ). 10. Na olio a iov laho razvrstimo 30 u ecev v 3 eao²tevil e supie, e (a) prva sadi roºe, druga osi travo, tretja reºe veje? (b) vse tri osijo travo? ( ) m + 11. Doaºi idetiteto: = r 12. Doaºi, da za vsa N velja: r =0 ( )( ) m. r 1 +1( 2 ) = ( 2 ) ( 2 1). 13. Osem mo²ih se je odlo ilo, da bodo ustaovili otet. Zastopai glasovi so bas, prvi teor i drugi teor. Na olio a iov laho sestavijo otet, e vsa izmed pevcev laho poje aterioli glas i otet sestavljajo (a) ²tirje basi, dva prva teorja i dva druga teorja? (b) vsaj e bas, vsaj e prvi teor i vsaj e drugi teor?
1.3 Biomsi i multiomsi oeciet 9 14. Na olio a iov laho pride ralj iz spodjega levega ota v zgorji desi ot ²ahovice, e mora biti pri vsaem premiu bliºe cilju? 15. Tlaovali bi radi 9m dolgo i 1m ²iroo pot. Na razpolago imamo 4 bele, 3 rumee, 1 zeleo i 1 modro plo² o veliosti 1m 2. (a) Na olio a iov laho tlaujemo pot? (b) Na olio a iov laho tlaujemo pot, e mora a za etu i a ocu biti plo² a iste barve? (c) Na olio a iov bi laho s temi plo² ami tlaovali pot dolºie 5m? ( ) ( + 16. Doaºi: 2 + ++1 ) 2 je popol vadrat;
1.4 Pravilo vlju itev i izlju itev 10 1.4 Pravilo vlju itev i izlju itev A B = A + B A B Naj bodo A 1,... A o e moºice. Tedaj je A i = α 1 α 2 + α 3... ± α i=1 jer je α i vsota mo i vseh moºih preseov po i moºic. Deraºacija je premutacija brez egibih to. Eulerjeva fucija Φ(): je ²tevilo ²tevil med 1 i, i so tuja z. Naloge: 1. Kolio je ²tevil med 1 i 1000, i so deljiva s 3, iso pa deljiva z 2,5,7? 2. Na olio a iov laho razporedimo re J,A,Z,T,I,M v ta²o zaporedje, da e astopata iti podzaporedje JAZ iti podzaporedje TI? 3. Na olio a iov laho razli ih obla il pospravimo v 5 razli ih omar tao, da obea omara e bo ostala praza? 4. Po Sahari gre aravaa sestavljea iz amel. Na olio a iov se laho po po itu v oazi razporedijo tao, da obea amela e hodi za isto amelo, ot je hodila pred postaom? 5. Pri vhodu v restavracijo je vsa izmed ljudi pustil deºi i lobu. Ko zapustijo restavracijo vsa a slepo vzame deºi i lobu. Na olio a iov se laho zgodi, da ih e e vzame obeh svojih stvari? 6. Neje v porajii so zgradili 5 ovih aselij. Iºierju so aro ili aj zgradi sistem dvosmerih cest tao, da obeo aselje e bo izolirao. Na olio a iov laho to aredi? 7. Naj bo 0 m. Doaºi, da je ²tevilo vseh permutacij moºice N, i m imajo atao m sih to eao! ( 1) j. m! j! 8. S petimi avtomobili gre a izlet 8 ljudi. V vsaem avtomobilu se laho pelje do 8 ljudi. Na olio a iov laho to izvedejo, e imajo vsi vozi²i izpit i ho ejo potovati z vsemi petimi avtomobili? j=0
1.4 Pravilo vlju itev i izlju itev 11 9. Dolo i ²tevilo permutacij iz S 8, v aterih se obeo liho ²tevilo e preslia vase. 10. Na olio a iov laho pet Ameri aov, ²tiri Brazilce i tri Ciper ae postavimo v vrsto, tao da obea acioalost e tvori eega bloa? (Vsi Ameri ai e smejo stati supaj. Eao velja za Brazilce i Ciper ae.) 11. Za pravooto mizo z 2 o²tevil eimi stoli je zajtrovalo 2 oseb. Na A strai mize so stoli o²tevil ei s ²tevilami od 1 do, a asproti B strai mize pa so stoli s ²tevilami od + 1 do 2. Istih 2 oseb ºeli za isto mizo tudi ve erjati. Na olio a iov se laho posedejo tao, da obea oseba, i je pri zajtru sedela a strai A, e sedi iti a istem iti a asprotem stolu, ot je sedela pri zajtru? 12. Podaih je vozli² v 1, v 2,..., v. Na olio a iov laho pare vozli² poveºemo med sabo, da bo stopja vsaega vozli² a vsaj ea? 13. Kolio je vseh surjetivih fucij f : A B, jer je A = i B = m? 14. Na olio a iov laho 10 poro eih parov posedemo za oroglo mizo tao, da obea ºea e sedi poleg svojega moºa?
1.5 Stirligova ²tevila 1. i 2. vrste 12 1.5 Stirligova ²tevila 1. i 2. vrste Stirligova ²tevila 1. vrste [ ] Stirligovo ²tevilo 1. vrste je ²tevilo permutacij iz S, i jih laho zapi²emo ot produt disjutih cilov. Za vsa 1 < < velja: [ ] = ( 1) =1 [ ] 1 + [ ] 1 1 [ ] x = x(x + 1)... (x + 1) Stirligova ²tevila 2. vrste { } Stirligovo ²tevilo 2. vrste je ²tevilo razbitij moºice z razli imi elemeti a eprazih razredov. Za vsa 1 < < velja: { } = =1 { } 1 + { } (x) = x { } 1 1 tevilo surjecij iz -moºice v -moºico je eao! { }.
1.5 Stirligova ²tevila 1. i 2. vrste 13 Naloge: 1. Izra uaj Stirligovi ²tevili prve vrste [ ] 5 i 3 [ ] 7. 5 2. V poliomu p(x) = x(x + 1)... (x + 7) dolo i oeciete pred x 6 i x 3. 3. Poda je poliom p(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 2. Izrazi oeciete polioma p s Stirligovimi ²tevili 1. vrste. 4. Doaºi: [ ] =0 x = x. 5. Doaºi, da za vsa m velja: [ ] + 1 = m + 1 =m [ ]! m! 6. Na olio a iov laho 8 vitezov posedemo za 3 orogle mize, tao da obea miza e bo praza? 7. Na olio a iov laho moºico s ²tirimi elemeti razbijemo a aprazih razredov, jer je 1 4? 8. Doaºi, da za vsa 2 velja: { } = 2 1 1 2 9. Poaºi, da za vsa 3 velja { } = 1 3 2 (3 1 2 + 1). 10. Poaºi, da za m velja: { } + 1 = m + 1 11. Doaºi, da za m,, m N velja: { } = m ( ) { }. m =1 m ( ) m (m ) ( 1). m! =0
1.5 Stirligova ²tevila 1. i 2. vrste 14 12. Doaºi, da za vsa,, N velja: { } 1 { }! = j. j 13. V eem mestu imamo p avto²ol. Vsa izmed p + prijateljev se vpi²e v eo avto²olo. Na olio a iov laho to aredijo, e je v vsao avto²olo vpisa vsaj ede izmed jih i sta p i poljubi aravi ²tevili? j=1
1.6 Porazdelitve 15 1.6 Porazdelitve elemetov razporejamo v predalov, i so laho prazi ali pa e: elemeti oza ei predali oza ei predali prazi porazdelitev DA DA DA { } DA DA NE! { } DA NE DA i=1 { } i DA NE NE ( NE DA DA + 1 ) ( NE DA NE 1 ) 1 NE NE DA i=1 p i() NE NE NE p () p () predstavlja ²tevilo razli ih zapisov ²tevila ot vsota ei elih sumadov. Velja: p () = p ( ) + p 1 ( ) +... + p 1 ( ) p () = p(; ajve ji sumad je )
1.6 Porazdelitve 16 Naloge: 1. Na olio a iov laho zapi²emo 8 ot vsoto ²tirih sumadov? 2. Izra uaj p 3 (9) i poi² i tiste particije ²tevila 9, v aterih je 3 ajve ji sumad. 3. Doaºi, da je ²tevilo particij ²tevila, jer je ²tevilo sumadov ve jemu m (m ), eao ²tevilu particij ²tevila + m(m+1) 2 z m razli imi sumadi. 4. Poi² i vse sebi-ojugirae particije ²tevila 18. 5. 10 ºog ºelimo razdeliti v rde, moder i zele zaboj. Na olio a iov laho to aredimo, e (a) imamo omejitev? (b) mora biti v rde em zaboju vsaj 5 ºog? 6. Plosve igrale oce barvamo s ²estimi barvami. Na olio a iov jih laho pobarvamo, e (a) poljubo barvamo? (b) vsao plosev pobarvamo druga e? (c) uporabimo 3 barve? 7. Kolio re²itev ima ea ba y 1 + y 2 +... + y = v N, e (a) upo²tevamo vrsti red re²itev? (b) e upo²tevamo vrstega reda re²itev? 8. Kolio razli ih sumadov je v razvoju izraza (x 1 + x 2 +... + x )? 9. Doaºi, da velja p () = p 1 ( 1) + p ( ) 10. Imamo 8 eaih belih, 10 eaih rde ih i 12 eaih rih roglic. Na olio a iov (a) jih laho postavimo v vrsto, e morajo roglice iste barve stati supaj? (b) laho vseh 30 roglic razdelimo v rumeo i zeleo ²atlo, e obea ²atla e sme biti praza? (c) laho roglice postavimo v vrsto, e dve beli ioli e stojita supaj, rde i pa vedo sledi ra roglica?
1.6 Porazdelitve 17 11. Na avtobus, i ima predvidee postae a desetih postajah, vstopi 6 ljudi. Do vlju o zadje postaje morajo vsi potii izstopiti, prav tao pa a vmesih postajah ih e ve e vstopi. Na olio a iov laho potii izstopijo, e: (a) obea dva e izstopita a isti postaji? (b) izstopajo v parih? (c) izstopijo a atao dveh postajah? 12. Na olio a iov laho trem otroom razdelimo 7 ooladih boboov, e so le ti med seboj: (a) eai i vsa otro dobi vsaj e bobo? (b) eai i laho do ostae tudi brez boboa? (c) razli i i vsa otro dobi vsaj e bobo?
1.7 Reurzija 18 1.7 Reurzija a = f(a 1,..., a 0 ) Zvezi a + = A 1 a + 1 +... + A a pravimo homogea - lea lieara reurzija. Re²evaje: Reurziji priredimo arateristi o ea bo x = A 1 x 1 +... + A Naj bodo α 1,... α orei te ea be. Potem velja: 1. ƒe so orei vsi razli i, potem je a = K 1 α1 +... + K α za ee K i 2. ƒe je α i -rati ore, potem je a = (K 1 + K 2 +... + K m m 1 ) αi +... Zvezi a + = A 1 a + 1 +... + A a + f() pravimo ehomogea reurzija. Re²evaje: Partiulara re²itev: splo²a re²itev = a (h) + a (p) 1. ƒe je f() poliom stopje m, je tudi astave poliom stopje m z edolo eimi oecieti. 2. ƒe je f() = p()α, jer je p poliom stopje r i je α s-rata i la arateristi e ea be pripadajo e homogee reurzije, potem je astave oblie s P ()α, jer je P poliom stopje r z edolo eimi oecieti. 3. ƒe je f() = cos (ϕ), potem je astave B si(ϕ) + C cos(ϕ). 4. ƒe je f() lieara ombiacija zgorjih fucij, je tudi astave lieara ombiacija ustrezih astavov.
1.7 Reurzija 19 Naloge: 1. Poi² i splo²i le Fiboaccijevega zaporedja. 2. Poi² i splo²i le reurzivo podaega zaporedja: (a) a = 3a 2 + 2a 3, jer je 3, a 0 = 1, a 1 = 3, a 2 = 7; (b) a = 2a 1 + a 2 2a 3, jer je 3, a i = i za i = 0, 1, 2; (c) a +3 3a +2 + 4a = 0, jer je a 0 = 2, a 1 = 2 i a 2 = 6; (d) a +2 = 4a +1 8a, jer je a 0 = 2 i a 1 = 10; (e) a +2 = 2a +1 4a, jer je a 0 = 2, a 1 = 4. 3. Poi² i reurzivi zapis zaporedja, aterega splo²i le je (a) a = (2 1)3 + 5 2 ; (b) a = 2 5 + 7; (c) a = ( 4 25 + 24 5 ) 2 4 25 3 ; (d) a = 2. 4. Poi² i i re²i reurzijo za ²tevilo vseh besed dolºie sestavljeih iz 0, 1, 2, jer so prepovedae zaporede i le. 5. Poi² i splo²o re²itev ehomogee reurzije: (a) 2a +2 a +1 a = 2 ; (b) 3a +2 + 2a +1 a = 3 ; (c) a +2 5a +1 + 6a = 1 + 6 2 2, jer je a 0 = 2 i a 1 = 4; (d) a a 1 6a 2 = 6 + 2 +1, jer je a 0 = 3 i a 1 = 5 (e) a = 3a 1 + 2 3, jer je a 0 = 1; (f) a +2 4a +1 + 4a = 5 3 + 3, jer je a 0 = 2 i a 1 = 1; (g) a 4a 1 = 1 2 (3 1 2 + 1), jer je a 1 = 0; (h) a a 1 2a 2 = cos ( ) π 3, jer je a0 = 1 i a 1 = 1; (i) a +2 + 4a +1 + 3a = 2 3 si ( ) π 2 ; 6. Kolio besed dolºie ad abecedo {a, b, c}, i e vsebujejo podiza cc i se za ejo s c, obstaja? 7. Zapi²i reurzijo za ²tevilo izov dolºie ad abecedo {0, 1, 2}, i e vsebujejo podiza 01.
1.7 Reurzija 20 8. Mateja se vzpeja a vrh stopi² a z stopicami. Na olio a iov laho pride do vrha, e a vsaem orau stopi bodisi eo, bodisi dve stopici vi²e?
1.8 Trdjavsi poliomi 21 1.8 Trdjavsi poliomi Naloge: 1. Dolo i trdjavsi poliom za deso a slii. 2. Na olio a iov laho a spodjo deso postavimo 5 eapadajo ih se trdjav? 3. Dolo i trdjavsi poliom za desi a slii: 4. 7 ljudi bi si v videotei rado sposodilo lm Syfall, vsa za atao e da. Na olio a iov si laho v asu eega teda izposodijo lm e Aa i Boja a rtujeta izlet v soboto i edeljo, Cee je zadrºa v poedelje, Deja gre v pete v io, Eva obisuje plese vaje v pete i soboto, Fraja i v pete, er igra taro s prijatelji, Ga²per pa ima as vsa da? 5. Poi² i deso, atere trdjavsi poliom je 1 + 5x + 8x 2 + 5x 3 + x 4. 6. Kolio je eapadajo ih razvrstitev dveh trdjav a deso oblie 7. Ali je poliom p(x) = 1 + 8x + 18x 2 + 19x 3 + 16x 4 + 9x 5 + x 6 trdjavsi poliom? 8. Naj bo R (x) trdjavsi poliom pole dese, S (x) pa trdjavsi poliom pole dese ( 1). Izrazi R z R 1 i S.
1.8 Trdjavsi poliomi 22 9. S pomo jo trdjavsega polioma zapi²i ²tevilo deraºacij moºice []. 10. Mordro i rumeo oco vrºemo 6-rat. Vemo, da se iso pojavili pari (1, 6), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 5) i (6, 6). Koli²a je verjetost, da je a modri oci padlo vseh 6 razli ih vredosti, prav tao pa tudi a rumei oci?