Izmenicni_signali-diferencialne enacbe _18e_

Transkripcija

1 Od diferencialnih enačb do kopleksnega računa Vsebina: prehod od zapisa z diferencialnii enačbai do kopleksnega računa, osnove kopleksnega računa (prikaz v kopleksni ravnini, konjugirano število, Eulerjev obrazec, osnovne operacije), kopleksor, povezava ed časovni signalo sinusne oblike in kopleksni zapiso (v obe seri), povezava ed kopleksorje toka in napetosti na uporu, kondenzatorju in tuljavi, Kirchoffova zakona s kopleksorji, kopleksna upornost in prevodnost (ipedanca, aditanca), reaktanca, susceptanca. Equation Section 8 Spoznali so že zveze ed toko in napetostjo na posaeznih eleentih pri vzbujanju z izeničnii signali. Običajno iao opravka z vezji, v katerih iao pri napajanju z izeničnii signali priključene tako upore kot tudi kondenzatorje in tuljave. Kako v takih prierih analizirati vezje? Vzeio kar preprost prier tuljave, ki je preko zaporedno vezanega upora priključena na izenični napetostni generator. Kako določiti tok v vezju ali napetost na tuljavi? Pokažio to kar na konkretne prieru. por R = Ω je zaporedno s tuljavo z induktivnostjo L = H priključen na vir izenične napetosti u = sin( ωt ) V ; ω = 5 Hz. g SLKA: Zaporedna vezava upora in tuljave priključena na vir izenične napetosti. Pri izračunu orao upoštevati osnovne zveze ed toko in napetostjo na posaezne eleentu in Kirchoffova zakona. Odtod sledi ug = ur + ul. Sedaj napetosti na uporu in tuljavi izrazio s toko: di ug = Ri + L. d t Dobio diferencialno enačbo, katere rešitev bo tok v vezju. Obstaja vrsta načinov reševanja diferencialnih enačb, orda najpreprostejši je kar z uporabo t.i.»nastavka«, to je vnaprej poznane oblike rešitve. V konkretne prieru bo le ta oblike i = A sin( ωt ) + B cos( ωt ). Ta nastavek uporabio v diferencialni enačbi in dobio (za enostavnejše računanje ne upoštevao enot) /5

2 sin ( ωt ) =( A sin( ωt ) + B cos( ωt )) +, ( A ωcos( ωt ) B ωsin( ωt )). Sedaj orao le še združiti člene, ki sodijo skupaj (sinusne in cosinusne člene) in dobio: sin ( ωt ) =A sin( ωt ), B ωsin( ωt ), od koder ora veljati = A, 5B in hkrati =B cos( ωt ) +, A ωcos( ωt ), od koder ora veljati = B +, 5A. Dobio siste dveh enačb, od koder določio konstanti A in B, ki sta B = -,765 in A = 4,759. Rešitev je torej i 4, 7sin( ωt ), 8cos( ωt ). To rešitev lahko zapišeo tudi v obliki i = K sin( ωt + ϕ), kjer je = + 4,86 in Arc tan, 5 K A B i ω = 4,86sin( t 4 ) A. B ϕ = v radianih oziroa A 8 π ϕ, 5 = 4, torej 8 6 Napetost (V), Tok (A) Cas /s SLKA: Napetost (odra polna črta) in tok (zelena črtkana črta). Rezultat je zaniiv in pričakovan. Tok zaostaja za napetostjo za fazni kot 4. V prieru, da bi ieli na vir priključen le upor, bi bil tok v fazi z napetostjo, če bi bila priključena le idealna tuljava, bi tok zaostajal za 9, če pa sta zaporedno priključena oba eleenta, pa tok zaostaja za napetostjo za določen fazni kot, ki je ed in 9. Dodatno: Ali bi bila situacija podobna, če bi na napetostni vir priključili vzporedno vezana upor in tuljavo? Odgovor: Da, tudi v te prieru bi tok zaostajal za napetostjo. Poskusite preveriti sai! gotovili so, da je za analizo tudi že preprostega vezja, ki je priključeno na izenični vir, potrebno zapisati diferencialno enačbo in poiskati njeno rešitev. To pa ni vedno enostavno. Najbolj učinkovita etoda za analizo vezij vzbujanih z izeničnii signali se izkaže uporaba /5

3 kopleksnega računa. S poočjo kopleksnega računa lahko v osnovi diferencialne enačbe»prevedeo«na preproste algebraične. Poleg analitičnega pristopa na bo v veliko pooč tudi grafičen prikaz s t.i. kazalci v kopleksni ravnini. Osnove kopleksnega računa Kopleksno število. Kopleksno število sestavlja realni in iaginarni del. Običajno kopleksna števila označio s črtico pod črko. Prier takega števila je npr. Z = + j3. je realni del, 3 pa iaginarni del kopleksnega števila. j je iaginarno število in je enako oziroa, črko i, ki pa jo v elektrotehniki pogosto uporabljao kot sibol za tok. j =. V ateatiki ga pogosto označio s Kopleksno število lahko prikažeo v t.i. kopleksni ravnini kot točko s koordinataa na realni in iaginarni osi (, j3). Še bolj pogosto tako število prikažeo s kazalce kopleksorje v kopleksni ravnini. Poljubno kopleksno število zapišeo z realni in iaginarni delo kot { } { } Z = Re Z + j Z = X + jy. X je realni del, Y pa iaginarni del kopleksnega števila. SLKA: Prikaz kopleksnega števila v kopleksni ravnini kot točka ali v obliki kazalca (vektorja). Določen je z realni in iaginarni delo ali pa z aplitudo in fazni koto. 3/5

4 Pogosto zapišeo kopleksno število tudi v polarni obliki, z aplitudo in fazni koto. Velja Z = X + Y, fazni kot pa je ϕ Arctan Y =. Narišeo ga s kazalce (kopleksorje) v X kopleksni ravnini. Velikost kazalca je Z in je od realne osi»zasukan«za kot ϕ. Eulerjev obrazec. Za tvorjenje kopleksnih signalov (kopleksorjev) in za pretvarjanje iz polarnega zapisa v realni in iaginarni del kopleksnega števila se poslužujeo t.i. Eulerjevega obrazca e jα = cos( α) + j sin( α) (8.) Prieri računanja s kopleksnii števili. Z = + j3; Z = 4 j5 Vsota: Z + Z = + j3 + 4 j5 = 6 j Razlika: ( ) ( ) Z Z = + j3 4 j5 = + j8 Produkt: ( ) ( ) Kvocient: Z Z = + j3 4 j5 = 4 j 5 + j( ) = 3 + j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + j3 + j3 4 + j5 7 + j 7 + j Z / Z = = = =, 7 + j, 54 4 j5 4 j5 4 + j Kvocient s poočjo polarnega zapisa: ( + j ) ( j ) j56 3 3, 6e j7 Z / Z =, 56e, 56 5 ( cos(7 )+jsin(7 )) =, 64 + j, 54. j 4 5 6, 4e Razlika ed prvi in drugi izračuno nastopi zaradi različnega zaokroževanja. Polarni zapis je bolj prieren za noženje in deljenje. Pri pretvarjanju v polarni zapis je potrebno biti previden v prieru, ko je realni del negativen, saj se to število (kazalec) nahaja v druge ali tretje kvadrantu. V te prieru je potrebno kotu dodati 8 oz. π. Prier: Pretvorio kopleksno število j π+ Arc tan j( 3π/4) + j = e = e. * Konjugacija: Z = j3. Pri konjugaciji obrneo predznak iaginarneu delu. Posebno prierna je uporaba konjugacije za izračun absolutne vrednosti kopleksnega števila: * ( )( ) Z = + j3 = Z Z = + j3 j3 = + 3 = 3 Prikaz kopleksorjev v kopleksni ravnini. Posaezne kopleksorje lahko prikažeo v kopleksni ravnini, jih seštevao ali odštevao na enak način kot vektorje. 4/5

5 SLKA: Prier seštevanja in odštevanja dveh kopleksorjev v kopleksni ravnini. Princip je enak kot pri seštevanju vektorjev. S konjugacijo se kopleksor prezrcali preko realne osi. Zapis časovnega signala s kopleksorje. S poočjo Eulerjevega obrazca lahko zapišeo poljuben haroničen signal, pri čeer pa poleg realnega dela pridobio še iaginarni del. Vzeio prier tokovnega signala oblike i( t) = cos( ωt) A. Ta tok lahko zapišeo z upoštevanje Eulerjevega obrazca kot ( ω ω ) i( t) = cos( t) + j sin( t) A = e ω A. Tak kopleksen zapis toka seveda nia posebnega fizikalnega poena. Fizikalno ia poen le njegov realni del, torej { } { } ( ) i( t) = Re i( t) = Re cos( ωt) + j sin( ωt) A = cos( ωt)a. V nadaljevanju boo spoznali, da na to»kopliciranje«z vpeljavo kopleksnih števil olajša obravnavo vezij vzbujanih s haroničnii signali. Vzeio sedaj bolj splošen zapis toka i( t) = cos( ωt + ϕ) in ga zapišio z upoštevanje Eulerjevega obrazca kot ( ) ( cos( ω ϕ) sin( ω ϕ) ) so kopleksor haronične funkcije ( ω + ϕ ) ϕ ω ω i t t e e e e j = = = =. Tvorili j = e ϕ, ki opisuje aplitudo in fazo (fazni kot) toka, kar pa je tudi popolna inforacija o toku v vezju. Frekvenca signala se nareč pri linearnih vezjih vzbujanih s haronični signalo ne spreinja. Dovolj bo torej, da boo poznali le aplitudo in fazo (fazni kot) signala, seveda relativno na druge signale v vezju, če pa bi nas zanial trenutni (časovni) potek signala, kopleksor ponožio s členo e ω in upoštevao le realni del. Prieri: Tvorio kopleksorje toka za sledeče oblike tokov: i ( t) = cos( ωt) A = A i t = + j45 = e A ( ) cos( ωt 45 )A i ( t ) 3sin( ωt ) A = 3cos( ωt π/)a 3 3 = 3e A = 3 cos(-π/)+ jsin(-π/) A = j3 A = jπ/ ( ) i t t t t 4 ( ) = 4sin( ω + 3 ) A = 4cos( ω 9 +3 ) A = 4cos( ω 6 ) A 5/5

6 j6 3 ( ) ( ) 4 = 4e A = 4 cos(-6 )+ jsin(-6 ) A = 4 j A 3, 46 A SLKA: Prikaz kopleksorjev toka v kopleksni ravnini. Določitev časovnega signala iz kopleksorja. z znanega kopleksorja vedno lahko dobio časovno obliko signala. Kopleksor je potrebno ponožiti z j 45 e ω in upoštevati le realni del signala. Vzeio kot prier kopleksor toka = e A, ki ga ponožio z dobio iz relanega dela izraza e ω in upoštevao Eulerjev obrazec. Časovno obliko toka j { } { } jωt j ωt+ { } i t e e e ωt j ωt ωt 45 ( 45 ) ( ) = Re A = Re A = 5 Re cos( + 45 ) + sin( + 45 ) A= cos( + 45 )A Prier: Tok veji tok enak i t = ωt + se razdeli v dve veji. Kolikšen je tok v drugi veji, če je v prvi ( ) 3cos( 3 )A i t ( ) cos( ωt 45 ) A =? SLKA: zris tokov v vejah. zračun: Tokove zapišeo kot kopleksorje j3 = 3e A, = e j in ker ora biti vsota vseh 45 A tokov v spojišče enaka nič, bo to veljalo tudi za kopleksorje =. Torej lahko zapišeo = e e = + j + j. j3 j45 3 A A 3(cos(3 ) sin(3 ))A+(cos( 45 ) sin( 45 ))A e e j3 j45 = 3 A A = 3(cos(3 ) + jsin(3 )) A+(cos(-45 ) + jsin(-45 )) A 6/5

7 ( ) ( ) ( ) j 67, 9 = + = + =. Če želio zapisati tok v, 6 j, 5 A, 44 - j, 44 A, 8 j, 9 A 3, 5e A drugi veji v časovni obliki, ponožio kopleksor z j { } { } ωt j ωt+ i t = e = e = t +. 67,9 j ( 67,9 ) ( ) Re 3,55 A e Re 3,5 A 3,5cos( ω 67,9 )A e ω in upoštevao le realni del signala Prier: Rešio prier zaporedne vezave upora in tuljave na začetku poglavja z uporabo kopleksnega računa. zračun: Napetostni signal oblike u = sin( ωt ) = cos( ωt π/) zapišeo kot g u e e j( ωt π/) jωt g = =, kjer je jπ/ e j j( ωt + ϕi ) jωt = =. Rešitev pričakujeo v obliki i = e = e, kjer je j i = e ϕ. Vstavio ta zapisa v diferencialno enačbo jωt jωt d jωt e = Re + L ( e ) in z odvajanje dt di ug = Ri + L in dobio d t jωt jωt jωt e = Re + L jωe. Člen e ω lahko v enačbi pokrajšao in tako postane enačba enostavna algebrajska: = R + jωl. z enačbe določio kopleksor toka =. Razstavio enačbo na realni in iaginarni del. Če se želio R + jωl»znebiti«iaginarnega dela v ienovalcu, orao ienovalec ponožiti z njegovo konjugirano kopleksno vrednostjo, to je z R jωl. Dobio ( R jωl) ( R jωl) ( R jωl) = = =. To je že rešitev, ki jo lahko izrišeo v ( R + jωl) ( R jωl) R ( jωl) R + ( ωl) kopleksni ravnini. Narišeo kopleksor napetosti, ki je j ( R jωl) ( ωl + jr) = =, kopleksor toka pa je = = R + ( ωl) R + ( ωl) jπ/ e j in ia negativen tako realni kot iaginarni del. Vsota teh dveh kopleksorjev je kopleksor toka, ki zaostaja za kopleksorje napetosti za kot, ki ga dobio iz zapisa toka v polarni obliki: j i = e ϕ. Aplituda toka je = = R + jωl R + ( ωl), fazni kot pa * { } R ϕi = Arctan = Arctan. Z vstavitvijo Re{ } ωl vrednosti dobio = 4,85 A in ϕi = 56. Kopleksor toka je torej j A., e Sponio se lahko, da je bil kopleksor napetosti jπ/ j3π/ j7 = e = e = e. Fazni kot ed toko in napetostjo je torej ϕ = ϕ ϕ = 7 56 = 4. Kazalec napetosti prehiteva kazalec toka za fazni kot 4. To predstavlja induktivni karakter vezja. u i * Dobljeneu kotu je potrebno prišteti kot 8o, saj sta tako realni kot iaginarni del negativna. 7/5

8 Tok v časovni obliki dobio tako, da kopleksor toka ponožio z del: jωt j { } { } { } jωt j ωt+ e ω in upoštevao le realni 56 ( 56 ) i( t) = Re e = Re 4,85e e A = Re 4,85e A = 4,85cos( ωt + 56 ) A, kar lahko zapišeo tudi s sinuso: i t ωt ωt ωt ( ) = 4,85sin( ) A = 4,85sin( ) A=4,85sin( 4 ) A SLKA: Kazalca (kopleksorja) napetosti in toka. 8/5

9 Kopleksorji toka in napetosti na eleentih vezja. Kako si torej poagao s kopleksni računo pri analizi vezij s haroničnii signali? Poglejo si zveze ed kopleksorji toka in napetosti na posaeznih eleentih vezja: POR Vzeio i( t) = cos( ωt), kopleksor bo kar i( t) Re{ e ω = }. Napetost na uporu bo u( t) Re{ e ω } jωt jωt { } Re{ Re } Re e = od koder sledi zapis s kopleksorji: = R. Ponovno vidio, da sta kopleksorja toka in napetosti na uporu v fazi. j = e =. Tokovni signal pa lahko zapišeo kot = in bo enaka u( t) = R i( t) oziroa SLKA: Kopleksor napetosti in toka na uporu. TLJAVA Vzeio zopet i( t) = cos( ωt) s kopleksorje j = e =. gotovili so že, da napetost na π tuljavi prehiteva tok za četrtino periode in bo torej enaka u( t) = ωlcos ωt +. Če ta signal π j zapišeo kot kopleksor, dobio = ωle = ωl j, kar v splošne zapišeo v obliki = jωl (8.) SLKA: S prikazo v kopleksni ravnini pokažeo, da napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala. 9/5

10 KONDENZATOR Vzeio zopet i( t) = cos( ωt) s kopleksorje j = e =. gotovili so že, da napetost na π kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode in bo torej enaka u( t) = cos ωt ωc. Če π j ta signal zapišeo kot kopleksor, dobio = e = =, kar v splošne π ωc j jωc e ωc zapišeo v obliki jωc = (8.3) ali tudi = j ωc SLKA: S prikazo v kopleksni ravnini pokažeo, da napetost na kondenzatorju zaostaja za toko za četrtino periode signala. Kirchoffova zakona s kopleksni zapiso. Pri vezjih z enosernii signali je za K.Z. veljalo k =, kar bi pri vezjih z izeničnii k = signali lahko zapisali v obliki k k = i cos( ωt + ϕ ) = oziroa izraženo s kopleksni zapiso k k = { ke ω } Re =, kar bo veljalo, če bo k =, (8.4) k = Z besedai: vsota vseh kopleksorjev toka v spojišče je enaka nič. SLKA: Vsota vseh kopleksorjev toka v spojišču je enaka nič. /5

11 Podobno bi lahko pokazali, da za drugi K.Z. velja n j =, (8.5) j= vsota vseh kopleksorjev napetosti v zanki je enaka nič. SLKA: Vsota vseh kopleksorjev napetosti v zanki je enaka nič. Kirchoffove zakone torej lahko uporabio tudi pri zapisu s kopleksorji. pedanca in aditanca j i Vzeio tokovni signal oblike i( t) = cos( ωt + ϕ ), ki ga opišeo s kopleksorje = e ϕ, ki na sponkah v dvopolno vezje povzroča padec napetosti oblike u( t) = cos( ωt + ϕ ), ki ga opišeo s kopleksorje i j u = e ϕ. Kvocient koplesorjev napetosti in toka ienujeo ipedanca ali kopleksna upornost (včasih rečeo tudi polna upornost): Velja Z e = = =. e jϕu j( ϕu ϕi ) jϕ Z e Ze jϕi =. (8.6) Govorio lahko o Ohove zakonu pri izeničnih signalih zapisan v obliki = Z (8.7) u SLKA: Poljubno (dvovhodno) vezje s priključeno napetostjo in toko v vezje. Kvocient kopleksorjev napetosti in toka je definiran kot ipedanca vezja. /5

12 pedanca je kopleksno število. Absolutna vrednost ipedance je kvocient ed aplitudo napetosti in toka, arguent pa je razlika ed faznia kotoa napetostnega in tokovnega signala. nverzna ipedanci je aditanca ali kopleksna prevodnost Y = Z =, (8.8) ki jo tudi lahko predstavio kot jϕ jϕ Y = e = Ye. Z Zapišio kopleksne upornosti in prevodnosti za posaezne eleente vezja pedanca Aditanca por R G Tuljava Z jω L = jx L Y jb L jω L = Kondenzator jx C jω C = jω C = jbc Pogosto se uporablja tudi poja reaktanca in susceptanca. Reaktanca predstavlja iaginarni del ipedance in je za tuljavo X L iaginarni del aditance in je za tuljavo = ωl in za kondenzator X C =. Susceptanca predstavlja ωc B L = in BC ωl = ωc. Zaporedna in vzporedna vezava ipedanc in aditanc. Če so ipedance vezane zaporedno, jih lahko seštevao tako, kot so seštevali zaporedno vezane upornosti pri enosernih vezjih Z = Z + Z + Z + (8.9) zaporedno 3... SLKA: Zaporedna vezava ipedanc. Pogosto se v literaturi poje reaktance enači s pojo upornosti pri izeničnih signalih. V te sislu se uporablja za reaktanco kondezatorja pozitivno vrednost. Glede na definicijo (reaktanca je iaginarni del ipedance), ora biti reaktanca kondenzatorja negativna. /5

13 Enako lahko seštevao tudi vzporedno vezane kopleksne prevodnosti Y = Y + Y + Y + (8.) vzporedno 3... SLKA: Vzporedna vezava ipedanc (aditanc). Prier: Določio ipedanco zaporedno vezanega upora R = Ω in kondenzatorja C = µf pri frekvenci ω = khz. zračun: Ker iao zaporedno vezavo, pišeo Z = R + = Ω + Ω = 3 6 ( j5) Ω. Dobio realni in iaginarni del jωc j ipedance, ki jo lahko predstavio v kopleksni ravnini. Določio lahko še aplitudo in fazo ipedance kot 5 Z = + ( 5) Ω = 5Ω in fazni kot ϕ = Arctan = 78,7. Prier: Določio aditanco vzporedne vezave upora in kondenzatorja iz prejšnjega priera. zračun: Tokrat seštevao prevodnosti, rezultat bo Y = G + jωc, številčno pa ( ) - j,3 Y =,S + j, S =, + j, S=, e S Prier: Tok v vezje vzporedne vezave kondenzatorja in upora iz prejšnjega priera je 3 ( ) cos( s t) A i t =. Določio napetost na sponkah vezja. zračun: Aditanco so že izračunali v prieru, tvorio še kopleksor tokovnega signala A j,3 = A in upoštevao = Z = = =,96e V. Da dobio»nazaj«j,3 Y, e S napetostni signal, orao kopleksor napetosti ponožiti z j jωt { },3 3 - u( t) = Re,96e e V =,96cos( s t j,3 ) V. e ω in upoštevati le realni del: Prier: Na sponke vezja na sliki priključio napetostni vir z aplitudo 4 V in frekvenco 5 Hz. Določio ipedanco vezja, tok v vezje in delovno oč. (C = µf, L = H, R = Ω) 3/5

14 C L R zračun: zračunao ipedanco vezja Z = Z C + Z L R, kjer je Z C = = j3,3ω in jωc Z jωl j6,8ω L = = in Z R = = (, + j, ) ( ) ( ) L j 6, 8 Ω Ω. pedanca vezja je torej j 6, 8 + Z = j3,3 +,79 + j5,7 Ω =,79 - j5,58 Ω = 6,e Ω. Tok v vezje je - j 86 = 4 V j86 Y= S 5, 3e A j86 6, e. Delovno oč dobio iz P 4V 5,6A ϕ = cos( ) = cos( 86 ) = 3, 45 W. Prier: Tok v zaporedno vezavo dveh eleentov je i( t ) ( t ) u( t ) = cos( ωt ) V. Določio vrednosti eleentov, če je ω = 5 khz. = 5cos ω + 45 A, napetost pa j45 j zračun: Tvorio kopleksorja toka in napetosti: = 5e A in = e V. Določio j e V 55 ipedanco: 45 4 j Z = = = e j Ω. Sedaj zapišeo v obliki realnega in iaginarnega dela: 5e A ( ) ( ) Z = 4 cos(-55 )+ j sin(-55 ), 9 j 3, 8 Ω. Očitno bo en eleent upor vrednosti,9 Ω, drug eleent pa bo kondenzator z reaktanco 3, 8 = C = 6, µf. ωc Dodatno: Določite eleenta vzporedne vezave vezij za enak tok in napetost. zračun: R 6, 98Ω, C 97, 66µF. Prieri izpitnih in kolokvijskih nalog zpit, zpit (4) zpit, /5

15 Vprašanja za obnovo: ) Kako analizirano vezja, ki so vzbujana z izeničnii signali? ) Kopleksno število: računanje s kopleksnii števili, Eulerjev obrazec, zapis signala s kopleksorje, prehod iz časovnega v kopleksni zapis in obratno. 3) Zveze ed kopleksorji toka in napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju. 4) Zapis Kirchoffovih zakonov s kopleksorji. 5) Definicija ipedance in aditance. pedanca in aditanca posaeznih eleenotv vezja. 6) Definicija reaktance in susceptance. Reaktanca in susceptanca tuljave in kondenzatorja. 7) Zaporedna in vzporedna vezava ipedanc in aditanc. 5/5