Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubl

Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Marjan Jenko Dopolnilno gradivo za Elektrotehnika in elektronika 3004, računske naloge z rešitvami Ljubljana, 2014 2

Kazalo 1. Ohmov zakon... 6 1.1. Enačba Ohmovega zakona... 6 2. Moč, energija... 8 2.1. Presek vodnika za prenos moči... 8 3. Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja... 10 3.1. Dobra predstavitev poenostavi problem... 10 3.1. Izračun karakteristike potenciometra... 13 4. Napetostni vir in tokovni vir... 17 4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo... 17 5. Superpozicija, Theveninov, Nortonov teorem in teorem maksimalne moči... 19 5.1. Enostavna uporaba Theveninovega teorema... 19 5.2. Uporaba Theveninovega teorema... 21 5.3. Razmerje R A /R B = 1 za maksimalno moč na bremenu... 26 6. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj... 30 6.1. Zvezda,-trikot in Wheatstonov mostič... 30 6.2. Zvezda-trikot in superpozicija... 34 7. Metoda vejnih tokov... 40 3

7.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami 40 8. Metoda zančnih tokov... 45 8.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk... 45 8.2. Izračun tokov v zankah... 48 9. Metoda vozliščnih potencialov... 50 9.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti... 50 9.2. Izračun tokov... 52 10. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov, vozliščnih potencialov:... 55 10.1. Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču 55 10.2. Izračun tokov v vezju z veliko zankami... 62 11. Srednja in efektivna vrednost... 66 11.1. Definicije in pogosto uporabljane enačbe... 66 11.2. Izračun 1 srednje in efektivne vrednosti signala... 69 11.3. Izračun 2 srednje in efektivne vrednosti signala... 72 12. Kazalci in kompleksna števila... 74 12.1. Algebra kompleksnih števil... 74 13. Kondenzatorji, tuljave, transformatorji... 78 4

13.1. Kondenzatorji, izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk... 78 13.2. Tuljave, izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk... 88 13.3. Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti... 95 14. RLC vezja... 96 14.1. Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo 96 14.2. Računanje impedanc in admitanc v vezjih... 100 15. Večfazni prenosni sistem... 106 15.1. Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po enofaznem sistemu, po trofaznem sistemu vezave zvezda in vezave trikot 106 5

1. Ohmov zakon 1.1. Enačba Ohmovega zakona I = U R, U = I R, R = U I Slika 1.1.1: Neznani tok I = U R = 50 = 0,05 A = 50 ma 1000 Slika 1.1.2: Neznana napetost U = I R = 0,1 3000 = 300 V 6

Slika 1.1.3: Neznana upornost R = U I = 100 0,02 = 5 kω Slika 1.1.4: Odvisnosti med napetostjo U, tokom I in upornostjo R 7

2. Moč, energija 2.1. Presek vodnika za prenos moči Za dvožilni bakreni vodnik, ki ima na določenih razdaljah priključene porabnike, dimenzionirajte presek vodnika, da bo maksimalni padec napetosti na celotni dolžini 2,5%! Slika 2.1.1: Sistem za prenos energije Podatki: U = 230 V I 1 = 12 A, I 2 = 16 A. I 3 = 36 A L 1 = 25 m, L 2 = 30 m, L 3 = 55m ρ cu = 0,0175 Ω mm2 m Uporabimo: Ohmov zakon: U = I R Upornost vodnika: R = ρ L/A 8

U 2 = ρ A (L 1 (I 1 + I 2 + I 3 ) + L 2 (I 2 + I 3 ) + L 3 I 3 ) Ena smer, polovica padca napetosti na dveh vodnikih: 230 2 0,025 = 0,0175 A (25 (12 + 16 + 36) + 30 (16 + 36) + 55 36) A = 31,29 mm 2 Premer vodnika je 6,31 mm. 9

3. Zaporedna, vzporedna in zaporedno vzporedna vezja 3.1. Dobra predstavitev poenostavi problem Pri odprtem stikalu S teče tok I = 1A. Določite tok, ki teče, ko sklenemo stikalo. Predpostavimo, da napetost ostane nespremenjena. Izračunaj tudi napetost na elementih. Slika 3.1.1: Vezje s stikalom in z upori Podatki: R 1 = 5 Ω, R 2 = 2 Ω, R 3 = 3 Ω, R 4 = 4 Ω, I = 1 A Slika 3.1.2: Razklenjeno stikalo 10

U = I (R 1 + R 2 ) = 1 7 = 7 V U R1 = I R 1 = 5 V U R2 = I R 2 = 2 V U R3 = I R 3 = 0 V U R4 = I R 4 = 0 V Sklenjeno stikalo: Slika 3.1.3: Sklenjeno stikalo Kadar je shema nepregledna, jo je smiselno preoblikovati in pri tem paziti pa na ohranitev povezav! Slika 3.1.4: Pregledneje narisana shema s slike 3.1.3. 11

R N = R 1 + R 2 R 3 R 4 = R 1 + 1 R 2 + 1 + 1 1 = R 3 R 4 = R 1 + R 2 R 3 R 4 R 3 R 4 + R 2 R 4 + R 2 R 3 = 5 + = 5 + 24 26 = 5 12 13 Ω 2 3 4 3 4 + 2 4 + 2 3 = I = U R N = 7 5 12 13 = 7 13 77 = 13 11 A Napetosti na elementih: U R1 = I R 1 = 13 5 11 = 65 11 V U R2 = U R3 = U R4 = 7 U R1 = 77 65 11 = 12 11 V Zadnja enačba je iz Kirchoffovega napetostnega zakona, n U i i = 1 v zanki = 0 V 12

3.2. Izračun karakteristike potenciometra Izračunajte in narišite v merilu diagram poteka razmerja U IZ /U VH v odvisnosti od normirane lege drsnega upora. Računajte to odvisnost za argument x, ki naj se spreminja v mejah od 0 do 1 s korakom x = 0,1. Pri izračunu upoštevajte linearno odvisnost upornosti potenciometra. Slika 3.2.1: Nastavitev izhodne napetosti U IZH s potenciometrom Slika 3.2.2: Potenciometer lahko razdelimo v zgornji in spodnji upor Nadomestna upornost za vzporedno vezavo xr in KR je 1 = 1 R N xr + 1 KR = K + x x K R 13

Slika 3.2.3: Napetostni delilnik iz vezja na sliki 3.2.2 Spodnji upor ima nadomestno upornost xkr R N = K + x Skozi oba upora teče isti tok. Zato je napetost na posameznem uporu proporcionalna vrednosti upora. U IZH U VH = x K R K + x (1 x)r + x K R K + x x K R = (R xx)(k + x) + xxx = x K R KK + xx xxx x 2 R + xxx = xx K + x x 2 = U IZH U VH Opaziti je potrebno dve skrajnosti: Če je K zelo velik, kar pomeni, da je bremenski upor zelo velik, lahko rezultat zapišemo kot približek U IZH U VH = x Če je K zelo majhen, kar pomeni, da je bremenski upor zelo majhen, lahko rezultat približno zapišemo kot U IZH U VH = 0 14

Tabela 3.2.1: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo pri velikem in majhnem K x U IZH UVH @ K = 1000 U IZH UVH @ K = 0,001 0 0 0 0,1 0,10 0,001 0,2 0,20 0,001 0,3 0,30 0,001 0,4 0,40 0,002 0,5 0,50 0,002 0,6 0,60 0,002 0,7 0,70 0,003 0,8 0,80 0,005 0,9 0,90 0,01 1 1 1 15

Slika 3.2.4: Razmerje med izhodno in vhodno napetostjo v odvisnosti od položaja potenciometra pri velikem K in pri majhnem K Interpretacija: Naloga predstavlja potenciometrsko regulacijo napetosti na bremenskem uporu R B. Če je R B velik, regulacija deluje po pričakovanjih (U RB je proporcionalen položaju srednjega priključka potenciometra). Če je RB majhen, imamo problem, ker vezje pod srednjim priključkom potenciometra (R B xr ) predstavlja majhno upornost ne glede na položaj potenciometra. Zato je v tem primeru UIZH bistveno manjša, kot bi jo s potenciometrom hoteli nastaviti. Izračunan rezultat, aproksimaciji rezultata za velik in majhen K, tabela in graf pojasnjujejo situacijo. 16

4. Napetostni vir in tokovni vir 4.1. Idealni vir in vir z notranjo upornostjo Slika 4.1.1: Idealni napetostni vir R VIRA = U I = 0 Ω Slika 4.1.2: Realni napetostni vir R VIRA = U I = R NOTRANJI 17

Slika 4.1.3: Idealni tokovni vir: R VIRA = U I = Ω Slika 4.1.4: Realni tokovni vir R VIRA = U I = R NOTRANJI 18

5. Superpozicija, Theveninov, Nortonov teorem in teorem maksimalne moči 5.1. Enostavna uporaba Theveninovega teorema Vezje levo od R 5 nadomestite s Theveninovim nadomestnim vezjem! Slika 5.1.1: Vezje, katerega del levo od priključnih sponk nadomeščamo s Theveninovim nadomestnim vezjem Podatki so: U G = 10 V, R 1 = 1 kω, R 2 = 2 kω, R 3 = 3 kω, R 4 = 4 kω, R 5 = 5 kω Rezultat: Slika 5.1.2: Theveninovo nadomestno vezje, priključeno na R 5 19

R TH = R 3 + R 4 (R 1 + R 2 ) = = 3 10 3 + 4 103 (1 10 3 + 2 10 3 ) 4 10 3 + 1 10 3 + 2 10 3 = = 3 10 3 + 12 (103 ) 2 7 10 3 = 4,71 Ω U TH = U G R 4 R 1 + R 2 + R 4 = 10 4 10 3 1 10 3 + 2 10 3 + 4 10 3 = 5,71 V 20

5.2. Uporaba Theveninovega teorema a) Nadomestimo na R 5 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem! Slika 5.2.1: Mostiščno vezje Podatki: U G = 4, 5 V, R 1 = R 2 = R 3 = R 5 = 3,3 kω, R 4 = 2,7 kω Določitev Theveninove upornosti R TH : Slika 5.2.2: Izboljšanje preglednosti vezja, prvi korak 21

Slika 5.2.3: Izboljšanje preglednosti vezja, drugi korak R TH = R 1 R 3 + R 2 R 4 = = 3,3 3,3 10 6 3,3 10 3 + 3,3 10 3 + 3,3 2,7 10 6 3,3 10 3 + 2,7 10 3 = = 1650 + 1485 = 3135 Ω Določitev Theveninove napetosti U TH : Slika 5.2.4: U TH je razlika potencialov V A in V B U TH = V A V B = U G R 3 R 1 + R 3 U G R 4 R 2 + R 4 = = 4,5 ( 3300 3300+3300 2700 3300 + 2700 ) = 0,225 V 22

Rezultat: Slika 5.2.5: R 5 je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 5.2.1 b) Nadomestimo na R 1 priključeno vezje s Theveninovim nadomestnim vezjem! Določitev Theveninove upornosti R TH : Slika 5.2.6: Vezje med priključnima sponkama nadomestimo z nadomestnim uporom R TH. 23

Slika 5.2.7: Preglednejše risanje sheme na sliki 5.2.6 R TH = R 3 (R 2 R 4 ) + R 5 R 2 R 4 = 1485 Ω (R 2 R 4 ) + R 5 = 4785 Ω R 3 (R 2 R 4 ) + R 5 = 1953 Ω Določitev Theveninove napetosti U TH : Slika 5.2.8: U TH je razlika potencialov V A in V B U TH = V A V B, V A = U G = 4, 5 V Za V B potrebujemo V C : 24

V C U G = (R 3 + R 5 ) R 4 R 2 + (R 3 +R 5 ) R 4 = 0,37 V C= 1,67 V R 3 + R 5 = 6600 Ω (R 3 + R 5 ) R 4 = 1916 Ω R 2 + (R 3 + R 5 ) R 4 = 5216 Ω V B V C = R 3 R 3 + R 5 = 3300 3300 + 3300 = 0,5 V B = 0,84 V U TH = V A V B = 4,5 0,84 = 3,66 V Slika 5.2.9: R 1 je priključen na Theveninovo nadomestno vezje preostanka mostiščnega vezja s slike 5.2.1 25

5.3. Razmerje RA/RB = 1 za maksimalno moč na bremenu Določimo razmerje K med bremensko upornostjo R B in notranjo upornostjo generatorja R G tako, da bo na bremenski upornosti R B maksimalna moč. Določimo graf razporeditve moči v odvisnosti od koeficienta K! Slika 5.3.1: Vezje za določitev maksimalne moči na bremenu P RB = I 2 R B = U RB I RB = U2 R B U RB U G = KR R + KR = P RB = U G 2 K 2 KR (1 + K) 2 = K 1 + K U 2 G K R (1 + K) 2 Določitev P RB max : d P RB d K = 0 Pomagamo si z: 26

d u(a ) v(a) = u(a) d v(a) d a d a in z: d (Cu(a ) ) d a = C d u(a) d a d u(a) + v(a) d a Določimo: u(k) = K in v(k) = 1 (1 +K ) 2 1 d K (1 + K) 2 d K = 1 (1 + K) 2 + k ( 2) (1 + K) 3 = 1 + K 2K (1 + K) 3 = 1 K (1 + K) 3 Iščemo: 1 K (1 + K) 3 = 0 K = 1 Za risanje in pisanje poteka moči izračunajmo še P RG in P CELOTNA : P RG = U R G 2 R G = 1 R 2 U G R 2 R 2 (1 + K) 2 = P CELOTNA = P RB + P RG = U G 2 (1 + K) R (1 + K) 2 = 2 U G R (1 + K) 2 U G 2 R (1 + K) 27

Tabela 5.3.1: Moč na bremenskem uporu R B, na uporu R G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K K P RB [W] P RG [W] P CELOTNA [W] 0 0 10 10 0, 1 0, 83 8, 26 9, 09 0, 2 1, 39 6, 94 8, 33 0, 3 1, 76 5, 92 7, 67 0, 4 2, 04 5, 10 7, 14 0, 5 2, 22 4, 44 6, 67 0, 6 2, 34 3. 91 6, 25 0, 7 2, 42 3, 46 5, 88 0, 8 2, 47 3, 09 5, 56 0, 9 2, 49 2, 77 5, 26 1, 0 2, 50 2, 50 5, 00 2, 0 2, 22 1, 11 3, 33 5, 0 1, 39 0, 28 1, 67 10, 0 0, 83 0, 08 0, 91 neskončno 0 0 0 28

Slika 5.3.2: Moč na bremenskem uporu R B, na uporu R G napetostnega vira in vsota obeh moči v odvisnosti od koeficienta K 29

6. Transformacija vezave zvezda v vezavo trikot in nazaj 6.1. Zvezda - trikot in Wheatstoneov mostič Izračunajte vse napetosti, tokove in moči! Slika 6.1.1: Wheatstoneov mostič Slika 6.1.2: Wheatstoneov mostič v obliki spodnjega trikotnika 30

Slika 6.1.3: Spodnji trikotnik Wheatstoneovega mostiča spremenjen v zvezdo Podatki za vezje na sliki 6.1.1: U G = 10 V R 1 = 1,2 kω R 2 = 0,8 kω R 3 = 0,8 kω R 4 = 1,2 kω R 5 = 1 kω R A = R B = R C = R 2 R 5 R 2 + R 4 + R 5 = R 4 R 5 R 2 + R 4 + R 5 = R 2 R 4 R 2 + R 4 + R 5 = 800 1000 = 266, 66 Ω 800 + 1200 + 100 1200 1000 800 + 1200 + 1000 = 400 Ω 800 1200 800 + 1200 + 1000 = 320 Ω 31

R CELOTNI = R C + (R 1 + R A ) (R 3 + R B ) = = 320 + (1200 + 266,66) (800 + 400) 1200 + 266,66 + 800 + 400 = 980 Ω I = I L I = U G = 10 R CELOTNI 980 R 3 + R B R 1 + R 3 + R A +R B = = = 10,2 ma 800 + 400 1200 + 266,66 + 800 + 400 = 0,45 I L = 0,45 10,2 ma = 4,59 ma I D = I I L = 10,2 4,59 = 5,61 ma V A = 10 I L R 1 = 10 4,59 10-3 1,2 10 3 = 4,49 V V B = 10 I D R 2 = 10 5,61 10-3 0,8 10 3 = 5,51 V I R1 = I L = 4,59 ma I R3 = I D = 5,61 ma I R5 = V B V A R 5 = 5,51 4,49 1000 = 1,02 ma I R2 = I R1 + I R5 = 4,59 ma + 1,02 ma = 5,61 ma I R4 = I R3 I R5 = 5,61 1,02 = 4,59 ma 32

P R1 = I 2 R1 R 1 = 4,59 10 --6 1,2 10 3 = 25,28 mw P R2 = I 2 R2 R 2 = 5,61 10 --6 0,8 10 3 = 25,18 mw P R3 = I 2 R3 R 3 = 5,61 10 --6 0,8 10 3 = 25,18 mw P R4 = I 2 R4 R 4 = 4,59 10 --6 1,2 10 3 = 25,28 mw P R5 = I 2 R5 R 5 = 1,02 10 --6 1 10 3 = 1,04 mw P G = 10 10,2 10--3 = 102 mw Preizkus pravilnosti računanja: 5 P G = P R 1 i=1 102 mw = 25,28 mw + 25,18 mw + 25,18 mw + 25,28 mw + 1,04 mw (= 102,48 W, zaokrožanja) 33

6.2. Zvezda-trikot in superpozicija Izračunajte vse tokove in vse moči! Slika 6.2.1: Vezje s petimi neznanimi tokovi Podatki: R 1 = 4 Ω, R 2 = 4 Ω, R 3 = 2 Ω, R 4 = 2 Ω, R 5 = 4 Ω U 2 = 4 V, U 3 = 8 V Slika 6.2.2: Vezje s slike 6.2.1 po spremembi zvezde v trikot 34

R A = R B = R C = R 1 R 4 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω R 1 R 5 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω R 4 R 5 R 1 + R 4 + R 5 = 1,33 Ω A: Slika 6.2.3: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U 2 R N = R 2 + R B + R A (R 3 + R C ) = 4 + 1,33 + 1,33 (2 + 1,33) = I = U 2 R N = 4 6,28 = 0,64 A = 6,28 Ω R 3 + R C L I = I R A + R 3 + R = 0,64 2 + 1,33 C 1,33 + 2 + 1,33 = 0, 46 A 35

I D = I I L = 0,18 A B: Slika 6.2.4: Vezje za računanje tokov, ki jih povzroča vir U 3 R N = R 3 + R C + R A (R 2 + R B ) = 2 + 1,33 + 1,33 (4 + 1,33) I = U 3 R N = 8 4,39 = 1,82 A = 4,39 Ω R A L I = I R 2 + R B + R = 1,82 1,33 A 4 + 1,33 + 1,33 = 0,36 A I D = I I L = 1,46 A A+B: 36

Slika 6.2.5: Sešteti tokovni prispevki obeh napetostnih virov V A = U 2 0,28 R 2 = 4 0,28 4 = 2,88 A V B = 0,28 R B 1,64 R C = 0,28 1,33 1,64 1,33 = 1,81 V Začetno vezje: Slika 6.2.6: Začetno vezje s slike 6.2.1. z že izračunanimi tokovi in potenciali 37

I R1 = 2,88 R 1 = 2,88 4 = 0,72 A P R1 = 0,72 2 4 = 2,07 W I R2 = 0,28 A I R3 = 1,64 A P R2 = 0,28 2 4 = 0,31 W P R3 = 1,64 2 2 = 5,38 W 2,88 ( 1,81) I R4 = 4 = 1,17 A P R4 = 1,17 2 4 = 5,48 W I R5 = 1,81 4 = 0,45 A P R 5 = 0,45 2 4 = 0,81 W P U3 = U 2 I U2 = 0,28 4 = 1,12 W P U3 = U 3 I U3 = 8 1,64 = 13,12 W 3 P Ux x = 2 5 = P Ri i=1 1,12 + 13,12 = 2,07 + 0,31 + 5,38 + 5,48 + 0,81 1,3 % razlika med levo in desno stranjo enačbe je napaka zaokroževanja tekom računanja. Vse napetosti, vsi tokovi: 38

Slika 6.2.7: Začetno vezje s slike 6.2.1. z izračunanimi tokovi in potenciali 39

7. Metoda vejnih tokov 7.1. Izračun tokov z eliminacijo spremenljivk in z determinantami Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči! Slika 7.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo vejnih tokov Podatki: U 1 = 10 V, U 2 = 5 V, R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 68 Ω Potrebujemo tri neodvisne enačbe za izračun treh tokov, dvakrat uporabimo Kirchhoffov napetostni zakona in uporabimo Kirchhoffov tokovni zakon: U 1 + I R1 R 1 + I R2 R 2 = 0 U 2 I R2 R 2 I R3 R 3 = 0 40

I R1 I R2 + I R3 = 0 I R1 = I 1, I R2 = I 2, I R3 = I 3 Enačba I 10 + 47 I 1 + 22 I 2 = 0 Enačba II 5 22 I 2 68 I 3 = 0 Enačba III I 1 I 2 + I 3 = 0 47 I 1 + 22 I 2 = 10 22 I 2 + 68 I 3 = 5 I 1 I 2 + I 3 = 0 Reševanje z eliminacijo spremenljivk: Iz enačbe III: Rešujemo enačbo II: I 3 = I 2 I 1 22 I 2 + 68 I 2 68 I 1 = 5 68 I 1 + 90 I 2 = 5 I 2 = 5+ 68 I 1 90 in enačbo I: 47 I 1 + 11 9 + 1496 90 I 1 = 10 47 I 1 + 22 I 2 = 10 41

63, 62 I 1 = 8, 78 I 1 = 137, 97 ma I R1 = 137, 97 ma I 2 = 159, 80 ma I R2 = 159, 80 ma I 3 = 21, 83 ma I R3 = 21, 83 mm V X = I R2 R 2 = 0, 1598 22 = 3515, 6 mv U R1 = U 1 V X = 10 000 3515, 6 = 6484 mv U R2 = V X = 3515,6 ma U R3 = U 2 V X = 5 000 3515, 6 = 1484, 4 mv P R1 = I 2 R1 R 1 = 0, 13797 2 47 = 894,68 mw P R2 = I 2 R2 R 2 = 0,1598 2 22 = 561,79 mw P R3 = I 2 R3 R 3 = 0, 02183 2 68 = 32,41 mw P U1 = U 1 I R1 = 10 137, 97 = 1379,7 mw P U2 = U 2 I R3 = 5 21, 83 = 109,15 mw P G = P R 42

Reševanje z determinantami, kofaktorsko: I 1 47 22 0 10 0 22 68 2 I = 5 1 1 1 3 I 0 D 0 = 47 22 1 68 ( 1) 0 22 1 0 ( 1) + +1 (22 68 0 22) = 5726 10 22 0 5 22 68 0-1 1 D 1 = 10 22 1 68 ( 1) 5 22 1 0 ( 1) + + 0 (22 68 22 0) = 790 47 10 0 0 5 68 1 0 1 D 2 = 47 (5 1 68 0) 0 (10 1 0 0) + 43

+ 1 (10 68 5 0) = 915 47 22 10 0 22 5 1-1 0 D 3 = 47 22 0 5 ( 1) 0 22 0 10 ( 1) + + 1 (22 5 22 10) = 125 I 1 = D 1 D 0 = 790 5726 I 2 = D 2 D 0 = 915 5726 I 3 = D 3 D 0 = 125 5726 = 137,97 ma = 159,80 ma = 21,83 ma 44

8. Metoda zančnih tokov 8.1. Izračun zančnih tokov z eliminacijo spremenljivk Izračunajmo vse napetosti, tokove in moči! Slika 8.1.1: Enostavno vezje za izračun tokov z metodo zančnih tokov Podatki: U 1 = 10 V, U 2 = 5 V R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 82 Ω Zapis Kirchhoffovega zakona za vsako zaprto zanko: U 1 + I 1 R 1 + R 2 (I 1 I 2 ) = 0 U 2 + R 2 (I 2 I 1 ) + I 2 R 3 = 0 Uredimo: 45

I 1 (R 1 + R 2 ) I 2 R 2 = U 1 I 1 R 2 + I 2 (R 2 + R 3 ) = U 2 69 I 1 22 I 2 = 10 22 I 1 + 104 I 2 = 5 I 2 = 10 69 I 1 22 = 5 11 + 69 1 I 22 22 I 1 520 11 + 104 69 I 1 22 = 5 304,18 I 1 = 42, 27 I 1 = 138,97 ma I 2 = 18,68 ma I R1 = I 1 = 138,97 ma I R2 = I 1 I 2 = 157,65 ma I R3 = I 2 = 18,68 ma V X = I R2 R 2 = 120, 29 22 = 2646,38 mv P R1 = 0, 13897 2 47 = 907,70 mw P R2 = 0, 15765 2 22 = 546, 78 mw P R3 = 0, 01868 2 82 = 28, 61 mw P U1 = 10 0, 13897 = 1389, 70 mw P U2 = 5 ( 0, 01868) = 93, 40 mw 46

2 3 P Ui = P Rj i=1 j=1 47

8.2. Izračun tokov v zankah Izračunajmo zančne tokove: Slika 8.2.1: Vezje za izračun treh zančnih tokov Podatki: R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 33 Ω, R 4 = 10 Ω U 1 = 6 V, U 2 = 8 V Zapis Kirchhoffovega napetostnega zakona v vsaki zaprti zanki: I 1 R 1 + (I 1 I 3 ) R 3 + (I 1 I 2 ) R 2 = 0 U 1 + (I 2 I 1 ) R 2 + (I 2 I 3 ) R 4 = 0 U 2 + (I 3 I 2 ) R 4 + (I 3 I 1 ) R 3 = 0 Ureditev enačb: I 1 (R 1 + R 2 + R 3 ) I 2 R 2 I 3 R 3 = 0 48

I 1 R 2 + I 2 (R 2 + R 4 ) I 3 R 4 = U 1 I 1 R 3 I 2 R 4 + I 3 (R 3 + R 4 ) = U 2 102 I 1 22 I 2 33 I 3 = 0 22 I 1 + 32 I 2 10 I 3 = 6 33 I 1 10 I 2 + 43 I 3 = 8 Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznane tokove: I 1 = 298 ma I 2 = 563 ma I 3 = 546 ma 49

9. Metoda vozliščnih potencialov 9.1. Izračun potencialov, tokov in napetosti Izračunajte vse napetosti in vse tokove z metodo vozliščnih potencialov! Slika 9.1.1: Enostavno vezje za izračun potencialov z metodo vozliščnih potencialov Podatki: R 1 = 47 Ω, R 2 = 22 Ω, R 3 = 82 Ω U 1 = 10 V, U 2 = 5 V Zapis Kirhhoffovega tokovnega zakona za vsako vozlišče z neznanim potencialom: I 1 I 2 + I 3 = 0 Tokove izrazimo z neznanimi vozliščnimi potenciali. Neznan vozliščni potencial je v tem vezju samo VA. 50

I 1 = U 1 V A R 1, I 2 = V A R 2, I 3 = U 2 V A R 3 U 1 R 1 V A R 1 V A R 2 + U 2 R 3 V A R 3 = 0 V A 1 R 1 1 R 2 1 R 3 = U 1 R 1 U 2 R 3 0, 07893 V A = 0, 27374 V A = 3, 47 V I R1 = U 1 V A R 1 = 10 3, 47 47 = 138,94 ma I R2 = V A R 2 = 3, 47 22 = 157,73 ma I R3 = U 2 V A = 5 3,47 = 18,66 ma R 3 82 U R1 = U 1 V A = 10 3, 47 = 6,53 V U R2 = V A = 3,47 V U R3 = U 2 V A = 5 3, 47 = 1,53 V 51

9.2. Izračun tokov Izračunajte vse tokove z metodo vozliščnih potencialov! Slika 9.2.1: Vezje z neznanima potencialoma V A in V B Podatki: U 1 = 4, 5 V, U 2 = 7 V R 1 = 470 Ω, R 2 = 680 Ω, R 3 = 330 Ω, R 4 = 1000 Ω, R 5 = 100 Ω Zapis Kirchhoffovega tokovnega zakona v vozliščih z neznanim potencialom: I 1 I 2 I 3 = 0 I 3 I 4 I 5 = 0 Zapis obeh tokovnih enačb z neznanima potencialoma: Prva enačba: U 1 V A R 1 V A R 2 V A V B R 3 = 0 U 1 R 1 V A R 1 V A R 2 V A R 3 + V B R 3 = 0 52

V A 1 R 1 1 R 2 1 R 3 + V B 1 R 3 = U 1 R 1 V A 1 470 + 1 680 + 1 330 V B 1 330 = 4, 5 470 6, 63 E 3 V A 3, 03 E 3 V B = 9,57 E 3 6, 63 V A 3, 03 V B = 9,57 V B = 9, 57 + 6, 63 V A 3, 03 Druga enačba: V A V B R 3 V B R 4 V B + U 2 R 5 = 0 V A R 3 V B R 3 V B R 4 V B R 5 U 2 R 5 = 0 V A 1 R 3 + V B 1 R 3 1 R 4 1 R 5 = U 2 R 5 V A 1 330 + V B 1 330 + 1 1000 + 1 100 = 7 100 3, 03 E 3 V A + 14, 03 E 3 V B = 70 E 3 3, 03 V A + 14,03 V B = 70 Vstavimo iz prve enačbe V B = 9, 57 + 6, 63 V A 3, 03, sledi 53

3,03 V A + 14,03 3,03 6, 63 V A = 70 + 14,03 3,03 9,57 V A = 928,38 mv, V B = 5189 mv I R1 = U 1 V A R 1 = 4500 + 928 470 = 11,55 ma I R2 = V A = 928 = 1,36 ma R 2 680 I R3 = V A V B R 3 = 928 + 5190 330 I R4 = V B = 5190 = 5,19 ma R 4 1000 I R5 = V B U 2 5190 + 7000 = R 5 100 = 12,92 ma = 18,1 ma 54

10. Primerjava uporab metod vejnih in zančnih tokov ter vozliščnih potencialov: 10.1. Tokovi, potenciali in napetosti v Wheatstonovem mostiču Določite vse tokove po metodah vejnih tokov, zančnih tokov in vozliščnih potencialov! Slika 10.1.1: Wheatstoneov mostiček, 6 neznanih vejnih tokov in 2 neznana potenciala Podatki: U = 60 V R 1 = 10 Ω R 2 = 15 Ω 55

R 3 = 30 Ω R 4 = 40 Ω R 5 = 60 Ω a) Uporaba metode vejnih tokov: Slika 10.1.2: Računanje vejnih tokov v Wheatstoneovem mostiču Imamo 6 vej, 6 neznanih tokov, potrebujemo 6 enačb. Iz treh zaprtih zank dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov napetostni zakon), iz treh vozlišč dobimo 3 enačbe (Kirchhoffov tokovni zakon). I 1 R 1 + I 3 R 3 U = 0 I 2 R 2 + I 5 R 5 I 1 R 1 = 0 I 5 R 5 + I 4 R 4 I 3 R 3 = 0 I 6 = I 1 + I 2 I 1 = I 3 + I 5 I 4 = I 5 + I 2 56

10 I 1 + 0 I 2 + 30 I 3 + 0 I 4 + 0 I 5 + 0 I 6 = 60 10 I 1 + 15 I 2 + 0 I 3 + 0 I 4 60 I 5 + 0 I 6 = 0 0 I 1 + 0 I 2 30 I 3 + 40 I 4 + 60 I 5 + 0 I 6 = 0 I 1 I 2 + 0 I 3 + 0 I 4 + 0 I 5 + I 6 = 0 I 1 + 0 I 2 I 3 + 0 I 4 I 5 + 0 I 6 = 0 0 I 1 + I 2 + 0 I 3 I 4 + I 5 + 0 I 6 = 0 10 I 1 + 30 I 3 = 60 10 I 1 + 15 I 2 60 I 5 = 0 30 I 3 + 40 I 4 + 60 I 5 = 0 I 1 I 2 + I 6 = 0 I 1 I 3 I 5 = 0 I 2 I 4 + I 5 = 0 I 1 = 1,51304 A = I R1 I 2 = 1,07826 A = I R2 I 3 = 1.49565 A = I R3 I 4 = 1,09565 A = I R4 I 5 = o, 01739 A = I R5 57

I 6 = 2,59130 A = I U6 b) Uporaba metode zančnih tokov: Imamo 3 zaprte zanke, potrebujemo 3 enačbe za tri neznane tokove. Slika 10.1.3: Računanje zančnih tokov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko: U + R 1 (I 1 I 2 ) + R 3 (I 1 I 3 ) = 0 I 2 R 2 + R 5 (I 2 I 3 ) + R 1 (I 2 I 1 ) = 0 I 3 R 4 + R 3 (I 3 I 1 ) + R 5 (I 3 I 2 ) = 0 Uredimo: I 1 (R 1 + R 3 ) I 2 R 1 I 3 R 3 = U I 1 R 1 + I 2 (R 1 + R 2 + R 5 ) I 3 R 5 = 0 I 1 R 3 I 2 R 5 + I 3 ( R 3 + R 4 + R 5 ) = 0 58

Vstavimo podatke: 40 I 1 10 I 2 30 I 3 = 60 10 I 1 85 I 2 60 I 3 = 0 30 I 1 60 I 2 + 130 I 3 = 0 Iz treh neodvisnih enačb izračunamo tri neznanke neznane tokove treh zaprtih zank: I 1 = 2,59130 A I 2 = 1,07826 A I 3 = 1,09565 A Iz zančnih tokov izračunamo vejne tokove: I R1 = I 1 I 2 = 1,51304 A I R2 = I 2 = 1,07826 A I R3 = I 1 I 3 = 1,49565 A I R4 = I 3 = 1,09565 A I R5 = I 3 I 2 = 1,01739 A I UGENERATOR = I 1 = 2,59130 A c) Uporaba metode vozliščnih potencialov: 59

Imamo 2 neznana vozliščna potenciala, potrebujemo 2 enačbi. Slika 10.1.4: Računanje vozliščnih potencialov v Wheatstoneovem mostiču Zapišemo Kirchhoffov tokovni zakon za vsako vozlišče z neznanim potencialom: I 1 I 3 I 5 = 0 I 2 I 4 + I 5 = 0 Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, prva enačba: U V A R 1 V A R 3 V A V B R 5 = 0 V A 1 R 1 1 R 3 1 R 5 + V B 1 R 5 = U R 1 Tokove zapišemo z neznanimi potenciali, druga enačba: 60

U V B R 2 V B R 4 V A V B R 5 = 0 V A 1 R 5 + V B 1 R 2 1 R 4 1 R 5 1 R 5 = U R 2 Dve neodvisni enačbi za dve neznanki: 0,15 V A + 0,016 V B = 6 0,016 V A 0,1083 V B = 4 Neznana vozliščna potenciala: V A = 44,9 V (44,869) V B = 43,8 V (43,826) Izračun vejnih tokov iz vozliščnih potencialov: I R1 = U V A 60 44,9 = = 1,510 A R 1 10 I R2 = U V B 60 43, 8 = = 1, 080 A R 2 15 I R3 = V A R 3 = 44,9 30 = 1,495 A I R4 = V B R 4 = 43,8 40 = 1,095 A I R5 = V A V B 44,9 43,8 = = 0,0183 A R 5 60 61

10.2. Izračun tokov v vezju z veliko zankami Zapišimo sistem enačb za vezje na sliki 10.2.1. po najbolj smiselni metodi (najmanjše število enačb, zančna ali vejna metoda ali metoda vozliščnih potencialov). Slika 10.2.1: Večje vezje z neznanimi tokovi in potenciali Podatki: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 = R 7 = R 8 = R 9 = R 10 = R 11 = = R 12 = R 13 = R 14 = R 15 = R 16 = R 17 = R 18 = R 19 = R 20 = 10 Ω Vej z neznanimi tokovi je 20. Neznanih vozliščnih potencialov je 11. 62

Neznanih zančnih tokov je 9. Metoda zančnih tokov je najprimernejša: Slika 10.2.2: Določitev zančnih tokov za vezje na sliki 10.2.1 Zapišemo Kirchhoffov napetostni zakon za vsako zaprto zanko: I 1 R 4 + R 9 (I 1 I 4 ) + R 1 (I 1 I 2 ) U 1 = 0 I 2 R 5 + U 1 + R 1 (I 2 I 1 ) + R 8 (I 2 I 5 ) + U 2 = 0 I 3 R 6 U 2 + R 7 (I 3 I 6 ) = 0 I 4 R 10 + R 14 (I 4 I 7 ) + R 11 (I 4 I 5 ) + R 9 (I 4 I 1 ) = 0 R 11 (I 5 I 4 ) + R 15 (I 5 I 8 ) + R 12 (I 5 I 6 ) + R 8 (I 5 I 2 ) = 0 63

I 6 R 13 + R 7 (I 6 I 3 ) + R 12 (I 6 I 5 ) + R 16 (I 6 I 9 ) = 0 I 7 R 19 U 3 + R 14 (I 7 I 4 ) = 0 I 8 R 20 + R 17 (I 8 I 9 ) + R 15 (I 8 I 5 ) + U 3 = 0 I 9 R 18 + R 16 (I 9 I 6 ) + R 17 (I 9 I 8 ) = 0 Vstavimo številske vrednosti: 10 I 1 + 10 I 1 10 I 4 + 10 I 1 10 I 2 = 5 10 I 2 + 10 I 2 10 I 1 + 10 I 2 10 I 5 = 15 5 10 I 3 + 10 I 3 10 I 6 = 15 10 I 4 + 10 I 4 10 I 7 + 10 I 4 10 I 5 + 10 I 4 10 I 1 = 0 10 I 5 10 I 4 + 10 I 5 10 I 8 + 10 I 5 10 I 6 + 10 I 5 10 I 2 = 0 10 I 6 + 10 I 6 10 I 3 + 10 I 6 10 I 5 + 10 I 6 10 I 9 = 0 10 I 7 + 10 I 7 10 I 4 = 25 10 I 8 + 10 I 8 10 I 9 + 10 I 8 10 I 5 = 25 10 I 9 + 10 I 9 10 I 6 + 10 I 9 10 I 8 = 0 Uredimo: 30 I 1 10 I 2 10 I 4 = 5 10 I 1 + 30 I 2 10 I 5 = 20 20 I 3 10 I 6 = 15 64

10 I 1 + 40 I 4 10 I 5 10 I 7 = 0 10 I 2 10 I 4 + 40 I 5 10 I 6 10 I 8 = 0 10 I 3 10 I 5 + 40 I 6 10 I 9 = 0 10 I 4 + 20 I 7 = 25 10 I 5 + 30 I 8 10 I 9 = 25 10 I 6 10 I 8 + 30 I 9 = 0 Iz 9 neodvisnih enačb izračunamo 9 zančnih tokov: I 1 = 0,0308 A I 2 = 0,819 A I 3 = 0,743 A I 4 = 0,227 A I 5 = 0,426 A I 6 = 0,0134 A I 7 = 1,360 A I 8 = 1,100 A I 9 = 0,371 A 65

11. Srednja in efektivna vrednost 11.1. Definicije in pogosto uporabljane enačbe Določimo srednjo in efektivno vrednost za signale sinusne, trikotne in pravokotne oblike! Definiciji srednje in efektivne vrednosti signala: T T U SR = u(t)dt 0 T U EF 2 T = u 2 (t)dt 0 Pripomočki: sin (Ax) dx = 1 A cos (Ax) cos (Ax) dx = 1 A sin (Ax) sin 2 (Ax) dx = 1 2 x 1 4A sin (2Ax) Signal sinusne oblike: 2π 2π U SR = U VRŠNA sin φ dd = U VRŠNA cos φ 0 2π 0 U SR = 0 V 66

2π 2 2π U EF = U 2 VRŠNA sin 2 φ dφ = U 2 VRŠNA φ 2 0 sin (2φ ) 4 2π 0 = = U VRŠNA 2 π U EF = U VRŠNA 2 Signal trikotne oblike: Slika 11.1.1: Signali trikotne oblike u(t) = U VRŠNA P t 0 P U VRŠNA P t dt = U VRŠNA 2P t 2 P 0 P U 2 VRŠNA dt = U VRŠNA 2 P P 2 0 t 3 3 = U VRŠNA P 2 P 0 = U SR P U SR = U VRŠNA 2 = U VRŠNA 2 P = U 2 3 EF P U EF = U VRŠNA 3 Signal pravokotne oblike: 67

Slika 11.1.2: Signal pravokotne oblike u(t) = U VRŠNA T U VRŠNA dt = U VRŠNA T = 0 U SR T U SR = U VRŠNA T U 2 VRŠNA dt = U 2 VRŠNA T = U 2 EF T U EF = 0 U VRŠNA Izračun srednje vrednosti signala ob odsekoma znanih srednjih vrednostih signala: TU SR = T 1 U SR1 + T 2 U SR2 + + T n U SRN Izračun efektivne vrednosti signala ob odsekoma znanih efektivnih vrednostih signala: 2 2 2 2 T U EF = T 1 U EF1 + T 2 U EF2 + + T N U EFN 68

11.2. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 1 Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za napetost periodične oblike: Slika 11.2.1: Signal periodične oblike u 1 = 6t u 2 = 12 u 3 = 6t 36 u 4 = 12 T TT SR = u(t)dt = 0 2 4 6 12 = 12 U SR = ( 6)dt + ( 12)dt + (6t 36)dt + 12dt = 0 2 4 6 69

= 3t 2 2 0 12t 4 2 + 3t 2 6 4 6 36t + 12t = 12 24 + 60 72 + 72 = 24 U SR = 24 12 = 2 V 4 12 6 = Ali: U SR1 = U VRŠNA 2 = 12 2 V U SR2 = U VRŠNA = 12 V U SR3 = U VRŠNA 2 = 12 2 V U SR4 = U VRŠNA = 12 V U SR 12 = U SR1 2 + U SR2 2 + U SR3 2 + U SR4 6 = U SR = 24 12 = 2 V = 12 24 12 + 72 = 24 TT EF T 2 = u 2 (t) dt = 0 = ( 6t) 2 dt + ( 12) 2 dt + (6t - 36) 2 dt + (12) 2 dt = 0 2 2 4 4 6 6 12 70

2 4 6 = 36t 2 dd + 144 dd + (36t 2 432t + 1296) + 144 dd = 0 2 4 6 12 = 12t 3 2 0 + 144t 4 2 (12t 3 216t 2 + 1296t) + 144t 6 4 12 6 = 2 = 96 + 288 + 2592 2496 + 864 = 1344 = 12 U EF U EF = 1344 12 = 10,58 V Ali: U EF1 = 12 3 V U EF2 = 12 V U EF3 = 12 3 V U EF4 = 12 V 12 U EF 2 = 12 144 3 + 2 144 + 2 144 3 U EF = 1344 12 = 10,58 V + 6 144 = 1344 71

11.3. Izračun srednje in efektivne vrednosti signala, 2 Izračunajmo srednjo in efektivno vrednost za periodičen signal na sliki 11.3.1. Slika 11.3.1: Signal periodične oblike T T U SR = u(t)dt 0 5 = 10 dt + (10t 30) dt = 0 2 3 2 5 = 10t + (5t 2 30t) = 20 + ( 25) ( 45) = 40 = 6 U SR 0 3 U SR = 6, 67 V Ali: U SR1 = 10 V U SR2 = 20 2 = 10 V 72

6 U SR = 2 10 + 2 10 = 40 V U SR = 6, 67 V TT EF T 2 = u 2 (t) dt = 100 dt + (100 t 2-600 t + 900) 0 0 3 2 5 = 2 = 100 t 0 100 t3 + 3 5 300 t 2 + 900 t = 200 + 1166, 6 900 = 2 = 466, 6 = 6 U EF U EF = 8, 82 V 3 Ali: U EF1 = 10 V U EF2 = 20 3 V 6 U 2 EF = 2 10 2 + 2 400 3 = 466, 6 U EF = 466, 6 = 8,82 V 6 73

12. Kazalci in kompleksna števila 12.1. Algebra kompleksnih števil Pravokotna in polarna oblika kazalčne algebre. Spreminjanje pravokotne oblike v polarno obliko: a) A = 1 + j2 b) B = 4 + j4 c) C = 2 j6 d) D = 5 j3 Opomnik: tan α = tan(180 + α) = tan(180 α) = tan( α) a) A = 1 + 4 = 5 α = tan 1 2 = 63,4 1 A = 5 63,4 b) B = 16 + 16 = 4 2 α = tan 1 ( 1) = 135 B = 4 2 135 c) C = 4 + 36 = 2 10 α = tan 1 6 = 251,6 2 C = 2 10 251,6 d) D = 25 + 9 = 34 74

α = tan 1 3 5 = 329 D = 34 329 Spreminjanje iz polarne v pravokotno obliko: A = 5 63,4 B = 4 2 135 C = 2 10 251,6 D = 34 329 A = 5 cos 63,4 + j 5 sin 63,4 = 1 + j2 B = 4 2 cos 135 + j 4 2 sin 135 = 4 + j4 C = 2 10 cos 251,6 + j 2 10 sin 251,6 = 2 j6 D = 34 cos 329 + j 34 sin 329 = 5 j3 Seštevanje: A = 2 + j3 B = 6 60 A + B = 2 + j3 + 6 cos 60 + j 6 sin 60 = = 2 + j3 + 3 + j5,2 = 5 + j8,2 = 5 2 + 8,2 2 tan 1 8,2 5 = 75

= 9,6 58,6 Odštevanje: A = 12 120 B = 3 j4 A B = 12 cos 120 + j 12 sin 120 3 j4 = = 6 + j10,4 3 j4 = 9 + j6,4 = 9 2 + 6,4 2 tan 1 9 6,4 = = 11,04 125,4 Množenje: A = 5 120 B = 16 330 A B = 5 16 (120 + 330 ) = 80 450 = 80 90 = j80 A = 5 + j3 B = 6 j2 A B = (5 + j3) (6 j2) = 5 6 j2 5 + j3 6 j 2 3 2 = = 30 j10 + j18 ( 1) 6 = 36 + j8 = 36,9 12,5 Deljenje: 76

A = 8 135 B = 4 90 A B = 8 4 (135 90 ) = 2 45 = 2 + j 2 A = 4 + j2 B = 2 + j3 A B = 4 + j2 (2 j3) (4 + j2) 8 + j4 j12 + 6 14 j8 = = = = 2 + j3 (2 + j3) (2 j3) 4 j6 + j6 + 9 13 = 1,08 j0,62 = 1,25 330,1 77

13. Kondenzatorji, tuljave, transformatorji 13.1. Kondenzatorji - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk 1. V kondenzatorju je shranjenih 40 μc (40 μas) pri 15 V na sponkah kondenzatorja. Kolikšna je kapacitivnost tega kondenzatorja? Q = C U C = Q U = 40 10-6 As 15 V = 2,66 10-6 As V = 2,66 µf 2. Kondenzator kapacitivnosti C = 2μF je deklariran za napetost do 315 V. Kolikšna je največja možna množina naboja v tem kondenzatorju? As -6 Q = C U = 2,66 10 315 V = 630 µas = 630 µc V 3. Kolikšna je napetost na 100 nf kondenzatorju, v katerem je 5μC naboja? Q = C U U = Q C = 5 10-6 As V 100 10-6 As = 0,05 1000 V = 50 V 78

4. Izračunajmo nadomestno kapacitivnost za vezje: Slika 13.1.1: Zaporedno in vzporedno vezani kondenzatorji Podatki: C 1 = 100 nf, C 2 = 200 nf, C 3 = 300 nf, C 4 = 400 nf, C 5 = 500 nf, C 6 = 600 nf, C 7 = 700 nf, C 8 = 800 nf C N = 1 + 1 + 1 1 + + 1-1 = C 1 C 7 C 8 C 2 + C 3 + C 4 C 5 + C 6 = 1 100 + 1 700 + 1 800 + 1 200 + 300 + 400 + 1 500 + 600 1-1 10-9 = = 1 100 + 1 700 + 1 800 + 1 900 + 1-1 1100 109 = = 1, 47 10-2 10-9 1 = 68,03 nf 79

5. Izračunajmo razporeditev napetosti: Slika 13.1.2: Kapacitivni delilnik napetosti Tok i skozi C 1, C 2, C 3, C 4 je isti. Napetosti se bodo porazdelile v razmerju impedanc kondenzatorjev (v nadaljevanju: FS Faktor Skaliranja): Z C1 = Z 2 = Z C3 = Z C4 = 1 ω 100 10-9 = 1 ω 100 10-9 1 = FS 1 1 1 ω 300 10-9 = 1 ω 100 10-9 3 = FS 1 3 1 ω 600 10-9 = 1 ω 100 10-9 6 = FS 1 6 1 ω 700 10-9 = 1 ω 700 10-9 7 = FS 1 7 Napetost 10 V se razporedi v razmerju: 1 1 1 3 1 6 1 7 = 42 42 14 42 7 42 6 = 42 14 7 6 42 80

Napetost 10 V normiramo v 42 + 14 + 7 + 6 = 69 enot. U VRŠNA VREDNOST C 1 = 42 69 U VRŠNA VREDNOST C 2 = 14 69 10 = 6,09 V 10 = 2,03 V U VRŠNA VREDNOST C 3 = 7 69 10 = 1,01 V U VRŠNA VREDNOST C 4 = 6 69 10 = 0,87 V U VRŠNA VREDNOST = U VRŠNA VREDNOST Ci 4 i=1 = 10 V 6. Izračunajmo razporeditev tokov: Slika 13.1.3: Kapacitivni tokovni delilnik 81

Napetost na vseh kondenzatorjih je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju admitanc Y (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja). Y C1 = ω C 1 = 2π 1000 4 100 10 9 = FS 4 Y C2 = ω C 2 = 2π 1000 2 100 10 9 = FS 2 Y C3 = ω C 3 = 2π 1000 5 100 10 9 = FS 5 Y C4 = ω C 4 = 2π 1000 8 100 10 9 = FS 8 4 Y Ci = FS 19 i=1 I VRŠNA VREDNOST C1 = I VVG 4 19 = 0,21 A I VRŠNA VREDNOST C2 = I VVG 2 19 = 0,11 A I VRŠNA VREDNOST C3 = I VVG 5 19 = 0,26 A I VRŠNA VREDNOST C4 = I VVG 8 19 = 0,42 A 4 I Ci i=1 = 1A = I VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA 7. Polnjenje in praznjenje kondenzatorja iz napetostnega vira preko upora: Polnjenje kondenzatorja: 82

u C = U GENERATORJA 1 e t τ τ = R C I C = I 0 e t τ I 0 = U GENERATORJA R Slika 13.1.4: Polnjenje kondenzatorja preko upora Slika 13.1.5: Časovni potek napetosti u C pri polnjenju kondenzatorja 83

Slika 13.1.6: Časovni potek toka i C pri polnjenju kondenzatorja Praznjenje kondenzatorja: u C = U CZAČETNA e t τ I C = I C0 e t τ I C0 = U C 0 R Slika 13.1.7: Praznjenje kondenzatorja preko upora 84

Slika 13.1.8: Časovni potek napetosti u C pri praznjenju kondenzatorja Slika 13.1.9: Časovni potek toka i C pri praznjenju kondenzatorja 85

8. Določi napetost in tok na kondenzatorju 50 µs po sklenitvi stikala. Napetost na kondenzatorju pred sklenitvijo stikala je 0 V. Slika 13.1.10: Vezje za določitev napetosti u C in toka i C po sklenitvi stikala u C = U GENERATORJA 1 e t RR u C @50 µs = 50 1 e 50 10 6 82 10 6 = i C @50 µs = I 0 e t RR = 50 8200 e = 50 (1 0,54) = 22,83 V 50 10 6 82 10 6 = = 6,10 ma 0,54 = 3,30 ma 86

9. Kondenzator je napolnjen na 10 V. V kolikšnem času po sklenitvi stikala bo napetost na kondenzatorju padla na 2 V? Slika 13.1.11: Praznjenje kondenzatorja C skozi upor R u C = U C ZAČETNA e t τ u C U C ZAČETNA = e t τ u C ln = t U C ZAČ τ ln 2 10 = t -6 t = 131,97 µs 82 10 87

13.2. Tuljave - izračuni napetosti, tokov, časovnega poteka spremenljivk 1. Tuljava z induktivnostjo L = 50 mh je vključena v tokokrog, v katerem teče tok I = 3 A. Ta tok pade na 0 A po razklenitvi stikala, ki je vključeno v isti tokokrog. Prehodni pojav (sprememba toka s 3 A na 0 A) traja 1 ms. Kolikšna napetost se inducira v tuljavi pri tem prehodu? u IND = L di dt Privzamemo, da tok upada linearno, zato lahko pišemo dd dd = i t u IND = L i t = 0,05 H 3A 0, 001 s = 150 W b A A s = 150 V s A A s = 150 V 2. Izračunajmo nadomestno induktivnost za vezje: Slika 13.2.1: Zaporedno in vzporedno vezane tuljave Podatki: 88

L 1 = 1 mh, L 2 = 2 mh, L 3 = 3 mh, L 4 = 4 mh, L 5 = 5 mh, L 6 = 6 mh, L 7 = 7 mh, L 8 = 8 mh L N = L 1 + 1 + 1 + 1-1 + 1 + 1-1 +L L 2 L 3 L 4 L 5 L 7 +L 8 = 6 = 0,001 + 1 0,002 + 1 0,003 + 1 0,004 1 + + 1 0,005 + 1 0,006 1 + 0,007 + 0,008 = = 0,001 + 9,23 10 4 + 2,73 10 3 + 7 10 3 + 8 10 3 = = 19,65 mh 3. Izračunajmo razporeditev napetosti: Slika 13.2.2: Induktivni delilnik napetosti Tok I skozi L 1, L 2, L 3, L 4 je isti. Napetost se porazdeli v razmerju impedanc tuljav (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja): Z L1 = ω 1 10 3 = FS 1 89

Z L2 = ω 3 10 3 = FS 3 Z L3 = ω 6 10 3 = FS 6 Z L4 = ω 7 10 3 = FS 7 Napetost 10 V se razporedi v razmerju 1 : 3 : 6 : 7. U VRŠNA VREDNOST L1 = 1 17 10 = 0,59 V U VRŠNA VREDNOST L2 = 3 17 10 = 1,76 V U VRŠNA VREDNOST L3 = 6 17 10 = 3,53 V U VRŠNA VREDNOST L4 = 7 17 10 = 4,12 V 4 U Li i=1 = 10 V = U VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA 4. Izračunajmo razporeditev tokov: 90

Slika 13.2.3: Induktivni tokovni delilnik Napetost na vseh tuljavah je ista. Tokovi se razporedijo v razmerju admitanc Y (v nadaljevanju FS Faktor Skaliranja). Y L1 = Y L2 = Y L3 = Y L4 = 1 ω L 1 = 1 ω L 2 = 1 ω L 3 = 1 ω L 4 = 1 2π 10 10 3 4 10-3 = FS 1 10 = FS 4 40 1 2π 10 10 3 2 10-3 = FS 1 20 = FS 2 40 1 2π 10 10 3 5 10-3 = FS 1 5 = FS 5 40 1 2π 10 10 3 8 10-3 = FS 1 8 = FS 8 40 I VRŠNA VREDNOST L1 = 10 43 I VRŠNA VREDNOST = 10 43 I VRŠNA VREDNOST L2 = 20 43 I VRŠNA VREDNOST L3 = 5 43 I VRŠNA VREDNOST L4 = 8 43 4 1= 0,47 A 1= 0,12 A 1= 0,19 A 1= 0,23 A I VRŠNA VREDNOST Li = 1A = I VRŠNA VREDNOSTGENERATORJA i=1 5. Polnjenje in praznjenje tuljave iz napetostnega vira preko upora: Polnjenje tuljave: 91

I L = U GENERATORJA 1 eτ t R τ = L = L G R Slika 13.2.4: Polnjenje tuljave preko upora Praznjenje tuljave: I L = U GENERATORJA R e t τ τ = L = L G R Slika 13.2.5: Vezje za določitev toka i L in napetosti u L po spremembi položajev stikal 92

6. Določite tok skozi tuljavo 50 µs po sklenitvi stikala. Tok skozi tuljavo pred sklenitvijo stikala je 0 Amperov. Slika 13.2.6: Vezje za določitev toka i L in napetosti u L po sklenitvi stikala I L = U GENERATORJA 1 eτ t R τ = L = L G R i L @50 µs = 50 50 10-6 100 1 e 8,2 10 3 = 0, 5 1 e 8,2 5 = 100 = 0,5 (1 0,54) = 0,23 A 93

2 A? 7. V kolikšnem času po preklopu stikal bo tok skozi tuljavo padel na Slika 13.2.7: Praznjenje tuljave L skozi upor R i L = I LZAČETNI e t τ i L I LZAČETNI = e t τ i L ln = t I LZAČETNI τ I LZAČETNI = U GENERATORJA R = 1000 100 = 10 A τ = L G = 8,2 10 3 10 2 = 8,2 10 5 = 82 10 6 s ln 2 10 = t 82 10-6 t = 1,61 82 10-6 = 131,97 µs 94

13.3. Enačbe transformiranja napetosti, toka in upornosti Transformatorji: Pretvorba upornosti: u 2 u 1 = N 2 N 1 i 2 i 1 = N 1 N 2 Slika 13.3.1: Transformator pretvornik upornosti = u PRI PRI i R B R PRI u SEK i SEK = u PRI i SEK u SEK i PRI = N PRI N PRI = N 2 PRI N SEK N SEK 2 N SEK N SEK 2 = N PRI 95

14. RLC vezja 14.1. Izpeljava impedance in admitance za kondenzator in tuljavo Z = R + jj Z = impedanca, R = upornost, X = reaktanca Y = G + jj Y = Z 1 Y = admitanca, G = prevodnost, B = susceptanca Upor: Slika 14.1.1: Upor z označbami napetosti in toka u(t) = Z R i(t), Z R = u(t) i(t) = R, Y R = 1 Z R = G Kondenzator: Slika 14.1.2: Kondenzator z označbami napetosti in toka 96

i(t) = C dd(t) dd, Z C = u(t) i(t) =? Z C za poljubno obliko u(t) je težko izračunljiv, je pa enostavno izračunljiv za: u(t) = U 0 sin(ωω) i(t) = C d(u 0 sin(ωω)) dd = U 0 CC cos(ωω) = ju 0 CC sin(ωω) Z c = u(t) i(t) = Y c = 1 Z c = j ωc U 0 sss(ωω) ju 0 CC sss(ωω) = 1 jjj = j 1 ωω Tuljava: Slika 14.1.3: Tuljava z označbami napetosti in toka u(t) = L dd dd, Z L = u(t) i(t) =? Z L za poljubno obliko i(t) je težko izračunljiv in je enostavno izračunljiv za: i(t) = I 0 sss(ωω) u(t) = L d(i 0 sin(ωω)) dd = I 0 LL cos(ωω) = ji 0 LL sin(ωω) 97

Z L = u(t) i(t) = ji 0LL sin(ωω) = jjj I 0 sin(ωω) Y L = 1 Z = 1 L j ωl = j 1 ωl Zakaj v izpeljavi lahko zapišemo, da je cos(ωt) = j sin(ωt)? Slika 14.1.4: Funkciji sin(ωω) in cos(ωω) Funkciji sta oblikovno enaki, cos(ωω) prehiteva sin(ωω) za 90. V enotskem krogu narišemo, da B prehiteva A za 90, kot: 98

Slika 14.1.5: Vrtenje kazalca za 90 V kompleksni ravnini 90 rotacijo narišemo: Slika 14.1.6: Kazalca A in B v kompleksni ravnini j je operator vrtenja za 90 Zato je cos(ωω) = j sin(ωω) 99

14.2. Računanje impedanc in admitanc v vezjih 1) Določite napetost na kondenzatorju. Je to vezje bolj induktivno ali kapacitivno? Slika 14.2.1: RLC vezje in napetostni vir Y R2 X c = (0,001 + j0,002) S Z R2 X c = 1 Y = 1 0,001 + j0,002 = = Z R1 +X L = (1000 + j500) Ω (0,001 j 0,002) (0,001 + j0,002) (0,001 j0,002) = = 1 10 3 j2 10 3 1 10 6 = (200 j400) Ω + 4 10 6 Z R1 +X L +R 2 X c = Z VSOTA = 1000 + j500 + 200 j400 = = (1200 + j100) Ω Vezje je bolj induktivno kot kapacitivno. 100

Določitev napetosti na kondenzatorju u C : Naj bo in naj bo Z R1 +X L = Z 1 Sledi: Z R2 X c = Z 2 Slika 14.2.2: Vezje s slike 14.2.1 v obliki napetostnega delilnika u Z2 = i Z 2 u G = i (Z 1 + Z 2 ) u Z2 iz 2 = u G i(z 1 + Z 2 ) = Z 2 Z 1 + Z 2 Z 2 200 j400 u Z2 = u c = u G = 50 0 Z 1 + Z 2 1200 + j100 = 447,21 63,6 = 50 0 1204,16 4,76 = = (50 447,21 1204,16) (0 63,4 4,76 ) = 101

= 18,60 V 68,16 = u c Narišimo še kazalce napetosti u Z1,, u Z2 in u G : Slika 14.2.3: Kazalci napetosti u Z1,, u Z2 in u G za vezje na sliki 14.2.2. u G = u Z1 + u Z2 2) Določimo napetost na uporu R 2 za sledeče vezje: Slika 14.2.4: RLC vezje in napetostni vir 102

Oznake: Z XL R 2 = Z 1 Z 1 + Z C2 = Z 2 Z 2 R 1 = Z 3 Y 1 = 1 8 j 1 = 0,24 S 57,99 5 Z 1 = Y 1 1 = 4,24 Ω 57,99 Z 2 = j + 2,25 + j3,60 = 2,25 + j2,60 Ω = 3,44 Ω 49,13 Y 2 = 1 Z 2 = 0,29 S 49,13 Y 3 = 0,1 + 0,19 j0,22 = 0,29 j0,22 = 0,36 S 37,18 Z 3 = 1 Y 3 = 2,78 Ω 37,18 Z 3 2,78 37,18 v X = u VIRA = 30 0 Z 3 + X C1 2,78 37,18 j2 = 83,4 37,18 2,21 + j1,68 j2 = = 83,4 37,18 2,21 j0,32 = = 83,4 37,18 2,23 8,24 = 37,40 45,42 V = v X U R2 = v X Z 1 Z 1 + X C2 = v X Z 1 Z 2 = 37,40 45,42 4,24 57,99 3,44 49,13 = 103

= 37,40 4,24 3,44 (45,42 + 57,99 49,13 ) = 46,10 Ω 54,28 = U R2 3) Seštejmo impedance v kazalčnem diagramu: Slika 14.2.5: Zaporedno RLC vezje Slika 14.2.6: Impedance vezja na sliki 14.2.5. v kazalčnem diagramu Z REZULTAT = 3 + j2 Ω 4) Seštejmo admitance v kazalčnem diagramu: 104

Slika 14.2.7: Vzporedno RLC vezje Slika 14.2.8: Admitance vezja na sliki 14.2.7. v kazalčnem diagramu Y REZULTAT = 2 j2 S 105

15. Večfazni prenosni sistem 15.1. Izračun porabe materiala pri prenosu električne energije po a) enofaznem sistemu, b) po trifaznem sistemu vezave zvezda in c) vezave trikot Večfazni sistemi: 100 kw moči prenesimo 5 km daleč z 2% izgubami, na tri načine: a) Enofazni sistem: U EF = 230 V b) Trifazni sistem zvezda: U EF = 230 V c) Trifazni sistem trikot, medfazna napetost: U EF = 230 2 V Izračunajmo potrebno maso bakra za vsakega od treh primerov: ρ CC = 1,7 E 8 Ωm, Volumska gostota g Cu = 8920 kg/m 3 a) Enofazni sistem: Slika 15.1.1: Prenos moči 100 kw po enofaznem sistemu 106

P = 100 kw = 230 V 434,78 A P IZGUBLJENA = 2 kw = 434,78 2 A 2 10,58 mω R = ρρ A A = ρρ R = 1,7 E 8 10 E 3 Ωm m 10,58 E 3 Ω = 1,61 E 2 m 2 = = 0,0161 m 2 = 161 cm 2 = 12,7 12, 7 cm 2 ali r = 7,16 cm V Cu = A l = 0,0161 10000 = 161 m 3 m Cu = g Cu V Cu = 8920 161 = 1436, 12 t b) Trifazni sistem z vezavo zvezda: Slika 15.1.2: Trije porabniki, za en porabnik P = 33,3 kw = 230 V 144,78 A P IZGUBLJENA = 666 W = 144,78 2 A 2 31,77 mω 107

R = ρρ A A = ρρ R = 1,7 E 8 5 E 3 Ωm m 31,77 E 3 Ω = 0,27 E 2 m 2 = = 0,0027 m 2 = 27 cm 2 = 5,2 5,2 cm 2 ali r = 2,93 cm V Cu = 0,0027 5000 3 = 40,5 m 3 m Cu = 8920 40,5 = 361 t c) Trifazni sistem z vezavo trikot: Slika 15.1.3: Vodniki so tokovno obremenjeni enako kot v primeru b), zato sta V Cu in m Cu približno enaka kot v primeru b) kjer so trije tokovno obremenjeni vodniki in v primeru simetričnega bremena tokovno neobremenjen četrti vodnik. 108

Tabela: enofazna napeljava trifazna napeljava Y trifazna napeljava 1436 t Cu prbl. 400 t Cu prbl. 400 t Cu 2 vodnika 4 vodniki 3 vodniki U REF = 230 V U REF = 230 V U REF = 230 3 V Razmerja mas vodnikov: 3,6 / 1 / 1 109

Ker gradivo služi le kot komplement k predavanjem, avditornim vajam, laboratorijskim vajam in priporočenim študijskim knjigam pri predmetu Elektrotehnika na Fakulteti za strojništvo Univerze v Ljubljani, sta priporočena tudi obiskovanje predavanj in aktivna udeležba na vseh vajah. 110