1

Decj ekost, presek, uje rzlke dve možc Možc A B st ek tko tkrt, kdr mt ste elemete, kr zpšemo A B N prmer, možc vse rel števl je ek možc: A {; je relo števlo, } Uj A U B je možc, k vseuje vse elemete, k so v možc A l v možc B: A U B {; A l B} Presek A B je možc, k vseuje vse elemete, k so v oe možc, v A v B: A B {, A B} Rzlk A\B dve možc je možc, k vseuje vse elemete možce A, k so elemet možce B: A\B {; A B} Rzlk A\B prvmo tud komplemet možce B, glede možco A Možc je zrk ojektov, k j meujemo elemet možce Možco lko opredelmo tko, d štejemo vse jee elemete A {,,,} l p s pomočjo prvl, k tko določ prpdjoče elemete B {; R, > } Možc A B st ek tko tkrt, kdr mt ste elemete A B Pokž: A l B, A B A B A B A l B, A B A l B, A B A U B, A B A U B, rze A B A U B A B Osove opercje z možcm so: Uj A B je možc, k vseuje vse elemete, k so v možc A B Presek A B je možc, k vseuje vse elemete, k so v oe možc, v A v B Rzlk A \ B dve možc je možc, k vseuje vse elemete možce A, k so elemet možce B Rzlk A \ B prvmo tud komplemet možce B glede možco A Krtezč produkt A B je možc, ktere elemet so ureje pr, y, kjer je prv elemet z možce A, drug p z možce B 5 Ilustrrj z Veovm dgrmom ekost A B A U B Opom: tu je X komplemet možce X

A B {,,, 5, 7,8, 9,} A B A B {,,, 5, 7,8, 9,} {,,,7,9,} {,,7,9} A prv podmožc možce B 7 S d možc, E, F, G dele možce možce S, E komplemet možce E glede S Pokžte: E F U G E F U E G E UF E F Vzmemo elemet z prve možce pokžemo, d lež tud v drug možc: E F UG E F U G E F l G E F E G E F U E G E UF E UF E F E F 8 Preslkv l upodotev možce A v možco B ƒ: A B je prvlo, k vskemu elemetu A prred točo določe elemet v možc B Elemet možce B, k g preslkv prred elemetu A, je slk elemet g zpšemo kot ƒ Možco A meujemo decjsko omočje preslkve ƒ, možco ƒa p jeo zlog vredost Pozmo vrste preslkv: jektv, surjektv jektv Preslkv ƒ: A B je jektv, če st slk rzlč elemetov vedo rzlč elemet ƒ ƒ Preslkv ƒ: A B je surjektv, kdr je je zlog vredost ek cel možc B ƒa B Preslkv ƒ: A B je jektv, kdr vskemu elemetu z A prpd tko e elemet z B je vsk elemet z B slk tčo eeg elemet z A

9 Upodotev : M M je pod tkole: l Določte decjsko omočje upodotve kkš upodotev je to D {, R, > } Upodotev je jektv Decjsko omočje so vs elemet možce A -,,, zlog vredost p vse reštve eče ƒ, A, torej Ker slk rzlč elemetov st vedo rzlč elemet ukcj jektv Nštejte ekj rzlogov z rzšrtev števlsk sstemov Kter prcpov se držmo pr rzšrtv? Števlsk sstem rzšrmo, ker s v ovem števlskem sstemu želmo zvjt opercje, k v strem so le mogoče Pr tem se držmo prcp, d so v ovem števlskem sstemu, poleg ov, mogoče eomejee, vedo zvršljve tud vse stre opercje d veljjo vs zko pr komuttvost, soctvost, dstrutvost, k so veljl v strem števlskem sstemu Nrv števl so vs cel števl, k so večj od Z rčuje z rvm števl uporljmo možeje seštevje, sj dst le produkt vsot dve rv števl vedo ovo rvo števlo, k je večje l kvečjemu eko vredost vskeg posmezeg števl Možc rv števl je dskret, kr pome, d med dvem sosedjm čleom oeeg drugeg Je tud eskoč možc, sj m vsko števlo sledk Z rčuje z rvm števl veljjo sledeč zko: zko komuttvost, zko soctvost c c c c tez zko dstrutvost c Popol l mtemtč dukcj Al lko vedete kk prmer? Prcp popole dukcje pogosto uporljmo z dokzovje trdtev zrekov Vsk tk dokz potek v dve z: Njprej dokžemo, d trdtev velj z rvo števlo Nto dokžemo, d z veljvost trdtve z rvo števlo dukcjsk predpostvk lko sklepmo, d trdtev velj tud z sledje rvo števlo Prmer: Dokžmo, d eč velj z vs rv števl Z je veljvost trdtve očt Predpostvmo, d eč velj z eko rvo števlo k Ozčmo S K k zrčujmo S K Zrd dukcjske k k predpostvke velj: S K k k S K k k k k Deso str te ekost sprvmo skupe meovlec: S K, kr pome, d eč velj tud z k Eč torej velj z vs rv števl

cos : cos : cos cos cos cos cos s s cos 5 Pokžte s popolo dukcjo, d velj : L, D : : : : 7 Opšte rzšrtev možce rv števl ulomke štejte lstost možce ulomkov Vsko rcolo števlo lko predstvmo kot ulomek m/, kjer je števec m celo, meovlec p rvo števlo V možc rv števl st ed eomejeo zvršljv opercj seštevje možeje, v možc ulomkov p je eomejeo zvršljvo tud odštevje deljeje rze deljej z Veljjo zko soctvost, dstrutvost ter komuttvost, jmjšeg l jvečjeg števl Možc ulomkov je gost možc, kr pome, d je med dvem števlom vedo še jmj eo Prvl, k veljjo v možc ulomkov: kržo možeje, rzšrjje ulomk, poeostvljje dvoj ulomkov, djje skup meovlec 8 Vsko rcolo števlo lko predstvmo kot ulomek m/, kjer je števec m celo, meovlec p rvo števlo Dv rzlč ulomk m/ p/q predstvljt sto rcolo števlo, če je mq p Ulomek p/q je okrjš, če st p q tuj s števl Rcol števl so dskret, z jm p lko uporljmo vse mtemtče opercje

9 Pokžte, d rcolo števlo m Če lo rcolo števlo, g lko zpsl kot, m, Z, kjer števl m mt skup delteljev Potem je m, torej je m večkrtk števl Potem je tud m večkrtk števl sj mt m m ste prktorje, torej m k 9k Od tod sled k, torej je večkrtk števl, to p je v sprotju s predpostvko, d m mt skup delteljev Zšl smo v protslovje, predpostvk d je rcolo števlo je pč Asolut vredost je preslkv z R v možco eegtv rel števl, k je določe s predpsom, -, < Lstost: < <, Rel števl j upodotev števlsk premc Geometrjsko lko rel števl predstvmo kot točke števlsk premc, kjer smo zrl zodšče točko, k predstvlj števlo, očjo deso od je točko, k predstvlj števlo S tem smo določl koordt sstem števlsk premc eoto z merjeje dolže Vskemu števlu R prpd tko določe točk števlsk premc: če je poztvo števlo, mu prpd točk deso od, k je od oddlje z, če je egtvo, p je ustrez točk lev, z oddlje od N števlsk premc se zoro pokžejo ektere relcje med števl N prmer, števlo je smetrčo števlu glede zodšče Relcj < se održ tko, d je levo od Vsoto števl domo tko, d števlo premkemo po števlsk premc v smer z dolžo, k ju določ Možco vse števl dljc med dvem dm števlom <, meujemo tervl T je lko odprt, zprt l polodprt, glede to, l vseuje svoj krjšč l e Asolut vredost rzlke - je ek dolž tervl, Če je Eepslo mjo poztvo števlo, potem možc {; - < E} vseuje tko tst števl, k so od števl oddlje z mj kot E Prvmo j E okolc števl jo lko zpšemo tud kot odprt tervl dolže E s sredščem v točk Pozmo tud eomejee tervle, to so poltrk števlsk premc l p cel števlsk premc Dvojšk r števlsk sstem je števlsk sstem z osovo Ed števk uporlje v tem sstemu st 5 : : : : : 5 DEC BIN Decj komplekseg števl, ekost dve kompleks števl kojugre vredost komplekseg števl

Komplekso števlo α je ureje pr rel števl,; prvo števlo, Re α, meujemo rel kompoet, drugo števlo, Im α, p mgr kompoet Možco vse kompleks števl ozčmo s smolom C Dve kompleks števl st ek, kdr mt ek rel ek mgr kompoet Števlo α kojugro števlo je α Števlo αje smetrčo števlu α glede relo os Nekj lstost kojugrj: α α α β α β α α Asolut vredost l modul komplekseg števl α je dolž dljce, k povezuje koordto zodšče s kompleksm števlom α To je tud kvdrt kore števl α ᾱ α αα 5 Artmetče opercje s kompleksm števl - decj lstost Seštevje, odštevje, poseej seštejemo/odštejemo Im Re del možeje, deljeje pr deljeju meovlec števec pomožmo s kojugro vredostjo meovlc kojugrje predzk mgre kompoete se spreme Kompleks števl predočmo v kompleks rv z Re Im osjo, kmor šmo rele mgre kompoete 7 Trgoometrč olk komplekseg števl Z r Z tg y 5 5 Z cos y 5 s e 5 8 Movreovo prvlo prv z r cos s pr čemer je r solut vredost komplekseg števl z, φ p kot med r relo osjo

Z Z z r z 8 8 8 s 8 cos s cos t 8 8 8 8 9 S pomočjo Movreove ormule poščte s s s s s s s s s cos s s cos s s cos s cos cos s s cos s cos cos k Koree kompleks števl lko rčumo s predpsom m m z w z w / /, 9 s 9 cos, 5 s 5 cos, s cos s cos, cos cos s cos s cos s cos s cos t s cos s cos w k w w k w w k w k k w k k k r r r r z r z r r r r r m m r z w m m m m Ζ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ Določte

cos s k cos k s cos k s k, k,, I : II : III : r t z z } z z z cos s cos s Določte vse komplekse točke, k zdoščjo eč z z 8 To je elps po decj, sj je to možc točk, z ktere velj, d je vsot rzdlj do dve ks točk kostt y y 8 Zporedje,,,, je predps, k vskemu rvemu števlu deksu zporedj prred eko relo števlo -t čle zporedj Zporedje je torej preslkv možce rv števl v rel števl ƒ: N R, Zporedje je vzgor omejeo, če ostj tko relo števlo M, d je z vsk -t čle zporedj mjš od zgorje meje M Njmjš zgorj mej prvmo tud tč zgorj mej supremum, k jo lko zporedje doseže mmum l p tud e Zporedje je vzdol omejeo, če ostj tko relo števlo m, d je z vsk -t čle zporedj večj od zgorje meje m Njvečj spodj mej p prvmo tud tč spodj mej um, k jo lko zporedje doseže mmum l p tud e 5 Kdj meujemo zporedje mootoo? Prmer Zporedje meujemo mootoo, kdr smo ršč l smo pd Števlsko zporedje je: mootoo rstoče, če velj z vse, mootoo pdjoče, če velj z vse, strogo mootoo rstoče, če velj < z vse, strogo mootoo rstoče, če velj > z vse,

Vsko mootoo rščjoče zporedje je vzdol omejeo, vsko mootoo pdjoče zporedje p je vzgor omejeo sup Nrščjoče zporedje, k je vzgor omejeo kovergr prot lm sup Pdjoče zporedje, k je vzdol omejeo, p kovergr prot lm 7 Decj steklšč zporedj Poščte steklšče z zporedje,,,,,,,, 5 5 Števlo je steklšče ekeg zporedj, ko je v vsk E- okolc eskočo mogo čleov zporedj Kokreto zporedje m steklšč scer 8, sup steklščt : sod, l,, 5,, 5 9 Določte mum supremum zporedj sup Zporedje je kostto, vs čle so ek Zgorj mej je ek spodj, sj je v zporedju smo e čle Zporedje kovergr prot števlu, tko tkrt, kdr z vsk ε > ostj tk deks, d so v ε-okolc števl vs čle z deksom Zporedje, k kovergr, je kovergeto zporedje, števlo p jegov lmt lm Števlo lmt zporedj če je v vsk ε okolc števl eskočo mogo čleov zve p le kočo mogo Lmt kovergeteg zporedj je edo steklšče zporedj Če m zporedje več steklšč kovergeto, oeo steklšče p lmt zporedj 7 Al je lmt zporedj,,,,,,? 5 5 Ne, lmt teg zporedj To zporedje kovergeto, sj m dve steklšč Če zporedje kovergeto, m lmte Iz predpostvke sled, d je zporedje kovergeto m v steklšču lmto Al je zporedje,,,,,, kovergeto kolko m steklšč?

Ne, kovergeto, sj zpolje pogoj mootoost Steklšče je smo eo pr, kr scer je pogoj z kovergeco, gre eo od podzporedj prot eskočost Zporedje, k omejeo, e more t kovergeto Cucyjev krterj prv, d mor z kovergeco vskemu poztvemu števlu ε prpdt tk deks, d je eeč p < ε zpolje z vsk > z vsko rvo števlo p 5 Dokžte, d kovergeto zporedje,,, z lmto ustrez Cucyjevemu pogoju E epslo je poljuo poztvo števlo Ker je zporedje kovergeto, ostj tk deks, d je - < E/ z vsk >, torej je tud - p < E/ z poljue p N, sj je p tud večj od Ocemo rzlko p - p - < p - < E/ E/ E, vdmo, d zporedje zdošč Cucyevemu pogoju lm c lm c lm c lm lm ± g g g lm c lm c e s lm c lm c, g lm lm ± lm c lm lm c c g P e s g g, P polom 7 Izrčujte lm e lm e 8 kjg 5, j 9 Decj potece z rcolm ekspoetom N 5

Decj števl e s pomočjo lmte st: lm lm 5 Izrčujte lm lm m m lm lm e m m e 5 s,,,,,,,,,,, Zporedje lko rzdelmo dv del Kdr je lo števlo zporedje ršč čez vse meje v ± Kdr p je sodo števlo p m zporedje kostto vredost Ker zporedje m steklšč m lmte ter kovergeto lm 5 Izrčujte! lm lm lm 5 Z Melto! 55 Pošč lmto zporedj ;, če veš, d lmt eksstr Tut z melto! 5 lm < < > 99, > 999999 57 Ugotovte lmto zporedj prej so vs v E-okolc lmte, ˇce je E določte čle, od ktereg lm >,78 < Od čle prej 58

lm lm lm lm 59 Alzrjte zporedje Zporedje je lterrjoče, jegov steklšč p st - k k k lm k k k k k k Pr dokzu, d je drugo steklšče -, upoštevmo d je k-, od tm je dokz zelo podoe Z sod števl je zporedje pdjoče z lmto, z l p rščjoče z lmto ½ Izrčujte lmto zporedj s splošm čleom m / lm lm lm e m lm lm < ε lm < ε < ε < ε log > log ε Ugotovte l je zporedje { s cos }omejeo Če je omejeo, določte oe mej mum supremum Zporedje je omejeo Če vstvmo ekj vredost, vdmo, d se vredost zčejo povljt -, sup

Zporedje je omejeo m spodjo mejo pr zgorjo p pr 5 Poščte lmto zporedj, > c c Določte še čle, od ktereg dlje se lmt rzlkuje z mj od E c > : lm lm c c < : k, k N lm k, k N lm Prvl odgovor je c Z kovergeco mor t zporedje omejeo 7 D je ukcj : Določ lmte zporedj, y, z 8 Če je do zporedje, je s predpsom S, S S - - določeo zporedje del vsot vrste s čle k, k jo ozčmo: k k Če k zporedje del vsot S kovergr prot števlu s, prvmo, d je vrst koverget d je je vsot ek s, kr zpšemo k k s Če je zporedje del vsot dvergeto, vsote 9 Cucyjev pogoj z kovergeco eskoče vrste Vrst je koverget tko tkrt, kdr z vsk E > ostj tk deks, d je S p S p < E, z vsk p N, če je le > Če je vrst koverget, lko zrčumo jeo vsoto poljuo tčo, če le seštejemo dovolj je zčet čleov vsot preostl eskočo mogo čleov o mjš od predpse pke 7 Potree pogoj z kovergeco vrste je: lm 7 Kj je to mjort vrste kko jo uporljmo pr ugotvljju kovergece eskoč vrst? Če mmo zporedj {} {} je vsk >, če velj < <, ter če oe vrst kovergrt, je vrst mjort z vrsto Torej, če kovergr mjort, potem kovergr tud vrst, s ktero smo jo prmerjl 7 Pozmo štr krterje z zgotvljje kovergece I scer:

Prmerjl krterj: če st z vsk ϵ N, velj: če je koverget / dverget vrst s poztvm čle je koverget / dverget je tud Kvocet krterj: če ostj lm L velj: vrst kovergr, če je L < dvergr, če je L > Koresk krterj: : če ostj lm L velj: vrst kovergr, če je L < dvergr, če je L > Itegrlsk krterj: če je eegtv zvez pdjoč ukcj [, eskočo, posploše tegrl vrst l p dvergrt krt 7 Ugotov l je vrst! koverget < Po kvocetem krterju, vrst kovergr d kovergrt 7 lm lm lm > koverget 75 Kko se gls rmoč vrst pokžte, d je to dverget vrst Vrsto meujemo rmoč vrst Če l koverget, po Cucyevemu krterju z vsk E > ostjl tk deks, d veljlo p < E z vsk > z vsk p Vedr, če zeremo poljue p, je >, to p poljuo mjo števlo 7 Z vrsto, k > k ugotovte kovergeco z tegrlskm krterjem Vrst d, k > k koergr tko tkrt, kdr je k kovergete z p > k d d k Ker tegrl kovergr, tud vrst kovergr k k 77 Kdj prvmo, d je eskoč vrst soluto koverget? Vrst 78 je soluto koverget, če je koverget vrst

Vrst je pogojo koverget, če je koverget, p soluto koverget 79 Al je vsk soluto koverget vrst tud koverget če je, zkj? D, ker je možc soluto koverget vrst podmožc možc koverget vrst 8 Alterrjoč vrst je vrst, kjer se predzk čleov zmejujejo Če v lterrjoč vrst - - solute vredost čleov pdjo, se prv > > > kovergrjo k, je vrst koverget 8 Nvedte prmer, k kže, d pogoj lm zdoste z kovergeco eskoče vrste Prmer je rmoč vrst 8 Preslkvm cel l rel števl v možce očjo prvmo ukcje Fukcj ƒ prred števlu ϵ D eodvs spremeljvk relo števlo y ƒ ϵ Z Fukcj je pod s decjskm omočjem D, predpsom ƒ zlogo vredost Z Kdr decjskeg omočj ukcje e vjmo poseej, je to jvečj možc D R, kter je predps ƒ še der 8 Kko je lko pod ukcjsk predps? Prmer Fukcjsk predps je lko pod eksplcto, mplcto, prmetrčo, opso, grčo eksplcto,, y mplcto F, y prmetrčo t 8 t t y t, y t mplcto : y t 85 Nrš prmer kostte ukcje, stopčste ukcje y Kostt y 8

Fukcj je sod kdr z vsk ϵ D velj: ƒ -ƒ l kdr z vsk ϵ D velj: ƒ- -ƒ Fukcj je vzgor omeje, če ostj z vsk ϵ D: M ƒ vzdol omeje, če ostj z vsk ϵ D: m ƒ 87 Polom - čle, gr Sploš eč polom je Ošje gr pr velk - je odvso od vodleg čle X-, pr kter je eč ek č, predstvljjo čle gr Če je čl le stopje sek os spreme predzk, če je sode stopje p se os le dotke e spreme predzk 88 Pokž, d m eč vsj e rel kore Kompleks kore vedo stopjo v pr Polom tretje stopje m torej tr koree, zmed kter so lko vs rel, l p je ede rele dv kompleks 89 Rcole ukcje - smptote, pol p Sploš eč rcole ukcje je q D R{ cleq} m < ; y Asmptot: 9 m ; y m > ; y kolčk med polomom Ekspoet: ƒ ƒ - D R Z, Zčet vredost: y Logrtemsk: ƒ log ƒ -log

D, Z R Nčl: Kote: ƒ s - l ƒ cos - sod Z -, ƒ tg - l ƒ ctg - l 9 Sploš olk rcole ukcje - prmer kke rcole ukcje A y A y A y A A,,A so polom Prmer: 9 Ijektv ukcj ƒ: D R je orljv, torej j prpd verz ukcj ƒ - : Z R ktere zlog vredost je decjsko omočje D ukcje ƒ Iverto ukcjo domo tko, d zmejmo vlogo spremeljvk y N gru p to pome zrcljeje preko premce y 9 Določ verzo ukcjo k ukcj y cos y cos D [,], Z [,] cos y y rccos D [,], Z [,] 9 ƒ Log Lstost: der z >, z > strogo rščjoč, z < strogo pdjoč,

čl: pr, povsod zvez 95 Kote ukcje ort le-te Osov kot l trgoometrč ukcj st sus kosus Povez st z ečo s cos s s, Velj tud:, zto st s cos perodč ukcj s perodo PI S cos cos pomočjo ukcj s cos st der ukcj tges kotges: s t, cos cos ctg s Tges je der povsod, rze v točk PI/ kpi, kjer m cos čle, kotges p povsod, rze v točk kpi, kjer m s čle Oe ukcj st perodč z osovo perodo PI Nekj lstost kot ukcj: ukcj s cos st omeje vsej rel os, ju zlog vredost je tervl [-,], ukcj tg ctg p mt zlogo vredost eko možc rel števl ukcj s je l, cos p sod Fukcj tg ctg st oe l s y s cos y cos s y dcjsk zrek z kote ukcje: cos y cos cos y s s y kote ukcje so zveze povsod, kjer so dere Kotm ukcjm verze ukcje, so cklometrče ukcje 9 Cklometrče ukcje so verze kotm ukcjm Pr decj verze ukcje se mormo omejt tk tervl, kjer je kot ukcj strogo mooto, torej jektv Fukcj rkus sus rcs, je omeje tervlu [-/, /] der z relcjo sy, Z [-/, /], D [-,] Je rščjoč, l zvez celotem decjskem omočju slk spodj Fukcj rkus kosus rccos, je omeje tervlu [, ] der z relcjo cosy, Z [, ], D [-,] Je pdjoč zvez celotem decjskem omočju Fukcj rkus tges rctg, je omeje tervlu [-/, /] der z relcjo tgy, Z [-/, /], D R Je pdjoč zvez celot možc R slk 97 Hperolče ukcje

Hperolče ukcje so v mrsčem podoe kotm ukcjm Osov perolč e e e e ukcj st perolč sus: s perolč kosus: c Fukcj c s st povez z ečo: c s Točk s koordtm ct,st torej lež perol y Poleg ukcj s c st še perolč tges perolč kotges, k st der s e e tkole: t Vse perolče ukcje so dere zveze z vs rel c e e števl, rze ct, k der z Nekj lstost perolč ukcj: ukcj s je l, vzgor vzdol eomeje strogo rščjoč ukcj c je sod, vzdol omeje, z < strogo pdjoč z > strogo rščjoč ukcj t je l, omeje strogo rščjoč ukcj ct je l, eomeje strogo pdjoč rze v, kjer der Tud z perolče ukcje veljjo podo dcjsk zrek kot z trgoometrče ukcje: c s c s c sc s 98 ƒ c, ƒ ct 99 Nršte s t S t Fukcj ƒ je v točk ξ zvez tko tkrt, kdr je lmt v točk ξ ostj velj: lm ξ ξ

Zvezost ukcje v točk: zvezost z dese Prmer - slk ukcj je v točk ξ zvez z dese, če velj lm ξ ξ d s y Decj ekomere zvezost ukcje dem tervlu Fukcj je tervlu [, ], ekomero zvez, če vskemu ε > prpd tk δ >, d je eeč < ε, zpolje z vse tke tervle, z tervl [, ], z ktere je < δ Če je ukcj zvez zprtem tervlu [, ], je tem tervlu ekomero zvez??? 5 Nj ost g z zvez Pokžte, d je g pr zvez ukcj lm lm g g Lmt ostjt, ker st ukcj v zvez lm g lm lm g g vsot ostj, ker ostj vsk lmt poseej Ker lmt v ostj, je tud g v tej točk zvez

lm F lm lm F Ker F zrz v zvez F ostj prv tko jegov lmt Iz teg sled, d je t ukcj 7 Kko je z zvezostjo posrede ukcje y yu? u g Če je u zvez v ks yg zvez v guks je kompoztum y y u y g yu zveze v ks 8 Fukcj je zvez odprtem tervlu [,] tkrt, kdr je zvez v vsk točk teg tervl Ker je decjsko omočje polom eko vsem relm števlom lmt polom ostj v vsk točk, je polom zvez ukcj Decjsko omočje rcole ukcje so prv tko vs rel števl, z zjemo tst, kjer m ukcj pol meovlec je Zto v vsk točk, kjer je ukcj der, ostj lmt zrd teg je tud rcol ukcj, z zjemo v pol, zvez ukcj 9 Pokžte, d je ukcj e zvez ukcj e e < ε Vsk,, če je < δ vedo lko jdemo tk δ >, Decj lmte vredost ukcje Nj o ukcj der tervlu,, rze mord v e točk ξ, Prvmo, d ukcj kovergr k vredostm l, ko gre prot ξ, če z vsk ε > ostj tk δ >, d je l < ε, če je le ξ < δ Števlo l je lmt ukcje v točk ξ, kr zpšemo lm l _ l _ l; ξ ξ??? s B Pokžte, d je lm B s B B lm B lm B B, y > v der

5 Nštejte lstost zvez ukcj če je ukcj zvez zprtem tervlu [,], je tem tervlu ekomero zvez če je ukcj zvez tervlu [,] je v krjšč tervl rzlčo predzče, potem ostj vsj e točk, kjer je vredost ukcje ukcj, k je zvez zprtem tervlu, je tem tervlu omeje ukcj, k je zvez zprtem tervlu [,], zvzme v ek točk m [, ] svojo tčo spodjo mejo m v ek točk M [, ] svojo tčo zgorjo mejo M ukcj, k je zvez zprtem tervlu [,], tem tervlu zvzme vsko vredost med svojo tčo spodjo mejo m tčo zgorjo mejo M zprt tervl se z zvezo ukcjo preslk v zprt tervl Fukcj je zvez, ker so zveze vse ukcje, k v jej stopjo s, cos,, e s 7 Izrčujte lm s lm s s s lm 8 rct lm rct lm rct 9 Pokžte, d je s lm s lm s s su u u lm lm lm u u u u u s

u, u u, u lm s s u lm u u cos Izrčujte lm cos s cos lm lm??? log lm lm Nršte gr ukcje y Nrš gr ukcje y lm, 8 5 5 5 Določte decjsko omočje ukcje Kolko je?

D [, {} lm lm lm y tg s 7 Izrčujte lmto lm s s s cos s cos cos lm lm lm s s cos s cos 8 lm lm s5 5cos5 9 Izrčujte levo deso lmto ukcje lm e lm e tg tg, tg e Fukcj ƒ je v točk odvedljv, če ostj lmt derečeg kvocet: lm, k j prvmo tud odvod ukcje ƒ v točk Odvod mer trost, s ktero se vredost ukcje spremj v lž točke Izrčujte s pomočjo decje odvod ukcje y 7 7 7 lm lm lm

Fukcj ƒ je v točk odvedljv z leve, če ostj lmt derečeg kvocet: lm odvedljv z dese, če ostj lmt: lm Poščte z ukcjo y lm lm lm lm Odvod ukcje ƒ v točk predstvlj smer koecet tgete ukcjo ƒ v točk 5 Dokžte, d je odvedljv ukcj tud zvez Vsk ukcj odvedljv e ostj 7 Odvod orte verze ukcje Iverz ukcj -- je določe z relcjo Če to ečo ekrt odvjmo pšemo y, domo ` y ` ` y y` 8 9 Odvod cklometrč ukcj Izpeljte odvod ukcje y rctg y rcctg rctg cos y tgy tg y rcctg s y ctgy cos y s y Nj o ukcj ƒ odvedljv tervlu,, točk tem tervlu y spremem vredost ukcje ƒ, ko se spreme z Odvod y lko zpšemo kot lm lm y Rzlk med odvodom derečm kvocetom η gre prot, ko Prrstek ukcjske vredost y η je torej pr mj spremem prlžo ek y Očjo pšemo d, zrzu dy d prvmo derecl ukcje Tko se dy odvod z dereclom zrž kot y d

Oce ukcjsk vredost s pomočjo derecl d y dy d Všj odvod Določte -t odvod od s Če je ukcj odvedljv ekem tervlu, je je odvod ov ukcj, der tem tervlu, k je lko odvedljv Odvod te ukcje meujemo drug odvod ukcje Če je tud t odvedljv, je jegov odvod tretj odvod ukcje N splošo prvmo: če je --v odvod ukcje odvedljv ukcj, je je odvod -t odvod ukcje l odvod -teg red, ukcj p je -krt odvedljv Z ukcjo, k m odvod poljueg red prvmo, d je eskočokrt odvedljv y s y cos y s y cos y s y s Izpeljte drug odvod z drekto ukcjo Drug odvod posrede ukcje y u, u u domo tko, d prv odvod, torej ukcjo dy dy du u u, odvjmo domo: d du d d y d u u d y du u u du d Če v točk ukcj ršč, mor veljt lm > Z dovolj mje mor t dereč kvocet > Rzlk ukcjske vredost je egtv, če je egtve, poztv, če je poztve To p pome, d ukcjsk vredost o preodu skoz točko ršč v točk levo od je mjš kot, v točk deso od p je večj kot 5 Rollejev zrek Rollejev zrek prv, d m ukcj, k je odvedljv zprtem tervlu [ ] krjšč ek vredost, tervlu,, vsj eo krtčo točko dy du d d u, m v Fermtov zrek Fermtov zrek prv, d če je ukcj odvedljv, je točk c, v kter m lokl ekstrem, krtč točk, torej je c Pogoj z Fermtoveg zrek je potree pogoj z ostoj ekstrem, vedr p zdoste 7 Lgrgeov zrek

Lgrgeov zrek prv, d če je odvedljv ukcj kočem tervlu [ ] tem tervlu vsj e točk c, kjer je c,, ostj 8 Ekstrem ukcje določtev s prvm odvodom Fukcj zvzme v krtč točk c lokl ekstrem tko tkrt, kdr odvod skoz točko c spreme predzk Če je ukcj < z < c > z > c, je v točk c lokl mmum, v ortem prmeru p je v točk c lokl mksmum 5 Pokžte, d je odvedljv ukcj [,], z ktero je z vsk [,], kostt To pokžemo s pomočjo Lgrgeoveg zrek c [,] z vsk [,] 5 Pokžte, d se dve ukcj, kter odvod je povsod ek, rzlkujet z dtvo kostto g c g 5 Nvedte, kko ugotovmo prevojo točko orčj Če je ukcj dvkrt odvedljv je v točk c je prevoj, je c se predzk drugeg odvod o preodu skoz točko c spreme Gr ukcje v točk c sek tgeto gru v točk c 5 Al je z y tg, točk orčj zkj? y cos s y cos s cos y Točk je orčj, ker se tud predzk drugeg odvod spreme 5 Al je z y,[, ] točk orčj zkj? y y y Točk je orčj, sj se predzk drugeg odvod o preodu skoz točko spreme 55 LHoptlovo prvlo LHosptlovo prvlo je preprost posledc Cucyeveg zrek je zelo uporo sredstvo z rčuje edoloče zrzov olke,

Nj ost ukcj g der odvedljv tervlu, g z vsk, Če v točk, velj g, je lm lm g pr pogoju, g d lmt des ostj cos 5 Izrčujte lm 57 Izrčujte lm l Z uporo LHosptloveg prvl: l l lm lm lm l l l 58 Izrčujte lm,, R ctg s lm lm lm ctg cos cos l lm lm l 59 S pomočjo derecl ocete vredost, 9,9 7,8 7,8,8,97 7 9 S pomočjo derecl ocete vredost, 7 8 8,7 9, 9,,,,9 9 y rctg Določte decjsko omočje zrčujte odvod ukcje Kolko je y? D : [,] D [,]

y y y lll Določte y decjsko omočje y ll l l > > e D y y y e, Določte y l e e l l e l s y Določte y s s l y e y e s l cos l s l s s cos l 5 Izrčujte odvod ukcje y tg l tg tg tg y l tg cos tg l tg cos Določte ekstrem ukcje y l y l l l e 7 Določte ekstrem ukcje y e,, e e y e 8 Z kolko se spreme plošč krožeg zsek R cm, α, če se spreme rdj z cm

l α R m R m m R α R α S S R m S S R S R S R,,5 S 5 % S 5 spreme kot z - α 59 57 S α 9 V kter točk ukcje y [,] je sekt vzpored tget? V, ker je tu y, kr pome, d je tm prevoj Z prevoj je zčlo, d gr sek tget sekt vzpored st, ker sovpdt rctg 7 Izrčujte lm l rctg lm lm lm lm lm l 7 Izrčujte lm e lm lm lm lm e e e e 7 Izrčujte lm e lm e lm lm lm e e e 7 Izrčujte lm l t l l t lm l lm t lm lm t t t t t t 7 Decj lokleg mksmum lokleg mmum Fukcj m v točk c lokl mksmum, če ostj tko števlo δ >, d je c z vsk c δ, c δ Če je <c z vsk c δ, c δ, rze z c, je v točk c strog mksmum ukcje

Kdr ostj števlo δ >, z ktereg je c z vsk c δ, c δ, m ukcj v točk c lokl mksmum Če je >c z vsk c δ, c δ, rze z c, je v točk strog mmum ukcje 75 Decj edoločeeg tegrl Fukcjo F, ktere odvod je ek, meujemo edoloče tegrl ukcje pšemo F d Kdr edoloče tegrl ukcje ostj, to e sm ukcj če je F tegrl ukcje C polju kostt, je tud FC tegrl ste ukcje, sj mt ukcj F FC st odvod 7 Pojem določeeg tegrl Z določem tegrlom lko zrčumo ploščo lk pod krvuljo, plošče, volume vrte 77 Decj določeeg tegrl Določe tegrl je lmt tegrlske vsote lm ξ K S K δ k d 78 Pogoj z tegrlost ukcj Fukcj je tegrl tervlu [,], če z vsk ε > ostj tk deltev tervl D, d je S s < ε, če je ukcj tegrl tervlu [,], očto velj D D m d M 79 Itegrlost ukcj Ktere ukcje so tegrle? N tervlu [,] so tegrle vse tem tervlu mootoe ukcje, ter vse ukcje, k so tem tervlu [,] zveze, l odsekom zveze 8 Lstost določeeg tegrl d d c d d c d < c < Povpreč vredost tegrle ukcje tervlu [,] je števlo P d P je med tčo spodjo mejo m tčo zgorjo mejo M ukcje, torej m P M Povprečo vredost ukcje s lko predstvljmo kot všo tsteg prvokotk d tervlom [,], k m eko ploščo kot lk, k g d tervlom [,] določ krvulj y 8 Izrek o povpreč vredost tegrl Če je zvez tervlu [,], ostj vsj e točk c [, ], kjer je c d P 8 Zkj velj oce d d?

Če upoštevmo, d z vsk velj, sled eposredo z prejšje lstost, d je d d d, to p je res tko tkrt, kdr je d d 8 Pokžte, d je določe tegrl eolč zvez ukcj zgorje meje Če sprememo vredost eodvse spremeljvke z, se vredost odvse spremeljvke y F spreme z dt t dt t dt t F F F Po zreku o povpreč vredost ostj tko števlo Θ ξ med, d je dt t Θ Ker je zvez ukcj, je [,] omeje, zto je rzlk lm lm Θ F 8 Pokžte, d je določe tegrl odvedljv ukcj zgorje meje dt t d d F Ečo lko zpšemo kot F F Θ Ko gre prot, kovergr Θ, zto je lm F F F 85 Kj je vredost odvod določeeg tegrl z zgorjo mejo? F Vredost, k jo ukcj zvzem v zgorj mej 8 Zvez med določem edoločem tegrlom F C C F C dt t F Zto je z : F F dt t F F C F dt t 87 Uved ove spremeljvke v edoloče tegrl dt t d t dt t t d 88 Uved ove spremeljvke v določe tegrl

d α β β α t t dt 89 Itegrcj po del Izrčujte e cos d,,> 9 Itegrl rcol ukcj č reševj Če je stopj v števcu ek l večj od stopje v meovlcu, potem celote števe celote meovlec med so delmo Imeovlec rzcepmo kr se d Če e gre drugče, prcle ulomke Itegrl rzdelmo več delov, vskeg rčumo poseej z zm metodm ov spremeljvk, per prtes d 9 Izrčujte d l l rctg 9 Izrčujte d 9 Izrčujte d 9 Izrčujte d 95 Izrčujte kd 9 Izrčujte d d rcs 97 Opšte č reševj tegrlov olke R s, cos d Itegrle, kjer je R rcol ukcj spremeljvk s cos, lko z uvedo ove spremeljvke t tg/ prevedemo v tegrl rcole ukcje, sj se s, cos d zržjo kot rcole ukcje s tg/ t tg t s t t cos t dt d t d 98 Izrčujte s cos

d s cos tg l 5 tg 5 5 d 99 Izrčujte 5 cos Izrčujte s s 5d s s 5d cos cos8 d s s 8 Potreuješ: s s y cos y cos y Izrčujte cos d cos cos d cos d d cos cos Izrčujte s d d d cos d cos d e Izrčujte e d e e d e l e e t e, l t, d dt / t 8 8 d s s Posploše tegrl Če ostj lmt tegrl I ε zgorj t, ko ε, j prvmo posploše l eprv ε ε tegrl ukcje tervlu [,] pšemo d lm I ε lm d Če m pol v točk je drugod,] zvez, dermo podoo: d lm I ε lm d ε ε ε ε če t lmt ostj Kdr m pol v kk otrj točk c [, ], tervl rzdelmo dv podtervl [,c] [c,] ter poščemo lmt: d lm cε d lm ε η c η d d 5 Al kovergr tegrl? A B Rešmo s pomočjo stvk C l Erctg kost, Ddskrm, D d 8 l Izrčujte d Itegrl kovergr, sj smo šl jegovo lmto 8

l d t l, dt l tdt C d 7 Izrčujte rctgd rctgd 5rctg u rctg, dv d per prtes 8 Al tegrl e l d kovergr l dvergr? Dvergr rezultt določeeg tegrl je eskočo 9 Plošč zsek zpeljte ormulo Plošč krvočrteg trkotk, omejeeg s poltrkom α β s krvuljo, do v polr koordt z zvezo ukcjo r r Nj o α < < < < < β Plošč posmezeg krožeg zsek je S r δ, plošč celeg lk p S r δ Ko gredo rzmk med dellm točkm prot, p prot eskočo, tegrlske vsote kovergrjo prot določeemu tegrlu, stopčst lk p se čedlje olj β prleg krvočrtemu trkotku V lmt je: S r d Derecl plošče v krtezč, prmetrč polr olk Krtezč: ds d Polr: ds r d Prmetrč: ds y y dt, t, y y t Loč dolž zpeljv Nj o zvezo odvedljv ukcj tervlu [,], gr je krvulj d tem tervlom Nj o deltev tervl T, točk krvulj, k lež d dello točko Iščemo dolžo lomljee dljce s, k povezuje vse točke T krvulj Rzdlj med dvem zporedm točkm je s Po Lgrgeovemu zreku lko zpšemo ξ ξ δ, s s ξ δ Celot dolž lok je s y d α Izrčujte dolžo krvulje y l z do e

y d e Izrčujte dolžo lok cklode: t s t; y cos t s y cos t s 8 t Prostor rotcjskeg teles V d 5 Površ rotcjskeg teles V d y y d yds Določte dolžo srčce: cos t cos t, y s t s t s y t cos t s 7 Cklod t s t; y cost j se zvrt okol os Izrčujte površo rotcjske ploskve