Poglavje 6 Krivulje v ravnini 6.1 Risanje krivulj Krivulja v ravnini je zvezna preslikava ϕ : [α, β] R 2, ki vsaki točki t [α, β] priredi neko točko (
|
|
- Ivo Pogačnik
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Poglvje 6 Krivulje v rvnini 6.1 Risnje krivulj Krivulj v rvnini je zvezn preslikv ϕ : [α, β] R 2, ki vski točki t [α, β] priredi neko točko (x(t), y(t)) R 2. y (x(),y()) (x(b),y(b)) x Slik 6.1: Krivulj v rvnini Točki (x(), y()) in (x(b), y(b)) imenujemo krjišči li robni točki krivulje. Če se ujemt, torej če je x() = x(b) in y() = y(b), je krivulj sklenjen. Točk, ki jo dobimo pri dveh rzličnih vrednostih t 1 t 2 [, b] je smopresečišče krivulje li dvojn točk. Vsk sklenjen krivulj im 191
2 192 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 1 y x Slik 6.2: Krivulj, dn eksplicitno z enčbo y = e x2. vsj eno smopresečišče: točko (x(), y()) = (x(b), y(b)). Če je to edino smopresečišče, je krivulj enostvn sklenjen. Krivuljo v rvnini lhko opišemo n več nčinov, ki jih bomo n krtko opisli v ndljevnju Eksplicitni opis krivulje. Krivulj je lhko dn kot grf neke funkcije y = f(x). V tem primeru vskemu številu x D f pripd ntnko en točk (x, f(x)) n krivulji. Krivulj, ki je opisn eksplicitno s funkcijo f sek vsko nvpično premico v njveč eni točki. Primer Krivulji, ki je grf funkcije f(x) = e x2 prvimo Gussov krivulj. Nštejmo nekj njenih lstnosti: 1. Je simetričn glede n os y, ker je f sod funkcij. 2. Im vodorvno simptoto y = 0, ker je lim f(x) = 0. x ± 3. Odvod f (x) = 2xe x2 je pozitiven z x < 0, tu funkcij nršč, in negtiven z x > 0, tu funkcij pd. V kritični točki x = 0 je zto mksimum. 4. Drugi odvod f (x) = 2e x2 + 4x 2 e x2 je pozitiven z x > 1/ 2, funkcij je tu konveksn, in negtiven z x < 1/ 2, funkcij je tu konkvn. Točki x = ±1/ 2 st prevoj. Krivulj je lhko dn tudi eksplicitno z enčbo x = g(y). Tk krivulj sek vodorvne premice v njveč eni točki.
3 6.1. RISANJE KRIVULJ 193 Primer Nrišimo še krivuljo x = e tg y. Slik 6.3: Krivulj, dn z enčbo x = e tg y Prmetričen opis krivulje Krivulj je opisn prmetrično s funkcijm x = x(t) in y = y(t), t [, b]. Predpisu t (x(t), y(t)) R 2 prvimo prmetrizcij krivulje, spremenljivki t p prmeter. Primer S predpisom x = cost, y = sin t, t [0, 2π] je dn prmetričen opis krožnice s središčem v izhodišču koordintneg sistem in s polmerom. Ko prmeter t teče od 0 proti 2π, se točk n krožnici giblje od točke (1, 0) v pozitivni smeri, tj. v smeri nsprotni smeri urineg kzlc. Krožnic je primer enostvne sklenjene krivulje. Tudi predpis x = sin t, y = cost, t [0, 2π] je prmetrizcij iste krožnice, le d je zčetn točk v tem primeru (0, 1) in smer gibnj nsprotn kot prej. 2. Predpis x = cost, y = b sin t, t [0, 2π] določ elipso s središčem v izhodišču koordintneg sistem in z glvnim osem in b, sj je x y2 b 2 = 1.
4 194 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 3. Krivulj, dn z je hiperbol x = ch t, y = sh t, t R, x 2 y 2 = 2. Krivulj v rvnini še zdleč nim ene sme prmetrizcije krožnico x 2 + y 2 = 2 smo prmetrizirli že n dv nčin. Rzličnih prmetričnih opisov dne krivulje je zelo veliko. Oglejmo si še nekj znčilnih prmetrično dnih krivulj. Cikloid je krivulj, ki jo opiše točk A n krožnici, ki se kotli po osi x. Zpišimo enčbo cikloide v prmetrični obliki, prmeter t p nj bo kot zsuk krožnice glede n zčetno lego, ki je izbrn tko, d je središče krožnice v točki (0, ), točk A p v koordintnem izhodišču (glej sliko 6.4). y A S t O x Slik 6.4: Cikloid in trohoid Ko se krožnic zvrti z kot t, se njeno središče premkne v točko (t, ), točk A p se zvrti okrog središč krog, tko d so njene nove koordinte x = (t sin t), y = (1 cost). Ko krožnic nredi en cel obrt, opiše točk A eno vejo cikloide in se spet dotkne osi x, rzlik med dvem dotikliščem je 2π.
5 6.1. RISANJE KRIVULJ 195 Trohoid Nlogo lhko posplošimo opišimo gibnje točke v notrnjosti krog, ki je oddljen od središč z b <. Krivulji, ki jo tk točk opiše, prvimo trohoid, njen prmetrizcij je: x = t b sin t, Cikloid je seved poseben primer trohoide. y = b cost. Epicikloid Nlogo p lhko posplošimo tudi v drugo smer. Nmesto po osi x (tj. po premici) se lhko krožnic kotli p kkšni drugi krivulji. Če se kotli po zunnji strni druge krožnice, prvimo krivulji, ki jo opiše točk A n krožnici, epicikloid. y C S t O t A x Slik 6.5: Epicikloid Polmer fiksne krožnice nj bo b, polmer kotleče se p. Kdr je rzmerje b/ celo število, bo po enem obhodu točk A spet v točki izhodiščni točki. Epicikloid je v tem primeru enostvno sklenjen krivulj. Če je b/ = p/q rcionlno število (p/q je okrjšn ulomek), se bo točk A vrnil v izhodiščno točko po q obhodih. Epicikloid bo v tem primeru sklenjen, vendr bo imel smopresečišč. Če p je b/ ircionlno število, se točk A ne bo nikoli več vrnil v izhodiščno točko in epicikloid v tem primeru ne bo sklenjen krivulj. Njenostvnejšo epicikloido dobimo tkrt, ko imt krožnici enk polmer = b. Tedj se točk A vrne v zčetno lego po enem obhodu in epicikloid im eno smo vejo. Tki epicikloidi prvimo, zrdi njene oblike, srčnic li krdioid.
6 196 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Hipocikloid Če se krožnic kotli po notrnji strni fiksne krožnice (ki mor v tem primeru biti večj od prve), dobimo krivuljo, ki ji prvimo hipocikloid. y x -2-4 Slik 6.6: Astroid Tudi hipocikloid je enostvn sklenjen krivulj, če je rzmerje b/ celo število. Hipocikolid z rzmerje b/ = 2 je premer krog (ki g točk opiše dvkrt, d dobimo sklenjeno krivuljo). Hipocikloidi z rzmerjem b/ = 4 prvimo stroid. Njen enčb v prmetrični obliki je x = 4 cos 3 t, y = 4 sin 3 t. Prmetrizciji epicikloide in hipocikloide st izpeljni v [8]. Tngent n prmetrično dno krivuljo Krivulj, dn v prmetrični obliki z x = x(t), y = y(t), je gldk, če st odvod ẋ(t) in ẏ(t) zvezni funkciji, ki nimt pri nobenem t obe hkrti vrednost 0. Če je v neki točki t 0 odvod ẋ = ẋ(t) 0, je v okolici točke t 0 funkcij x(t) monoton, tko d obstj inverzn funkcij t = t(x) in y se z x izrž eksplicitno: y = y(t(x)).
7 6.1. RISANJE KRIVULJ 197 Izrčunjmo odvod: dy dx = dy dt dt dx = dy/dx dx/dt = ẏ(t) ẋ(t). Od tod sledi, d obstj tngent n krivuljo v točki t 0, njen enčb je: y y(t 0 ) = ẏ(t 0) ẋ(t 0 ) (x x(t 0)). V okolici točke, kjer je ẋ(t 0 ) = 0 in y(t 0 ) 0, p je funkcij y monoton in je x = x(t(y)). Odvod je tngent je v tkih točkh nvpičn. Primer dx dy = ẋ(t 0) ẏ(t 0 ) = 0, 1. Zpišimo enčbo tngente n cikloido v točki x 0 = (t 0 sin t 0 ), y 0 = (1 cost 0 ). Smerni koeficient tngente je y = dy dx = ẏ ẋ = sin t 0 1 cost 0, zto je enčb tngente y = sin t 0 1 cos t 0 (x x 0 ) + y Dokžimo: odsek n tngenti n stroido, ki g odrežet koordintni osi, je v vseh točkh stroide enk. Smerni koeficient tngente je y = dy dx = ẏ ẋ = 12 sin2 t cost 12 cos 2 t sin t od koder dobimo enčbo tngente = tg t, y 4 sin 3 t = tg t(x 4 cos 3 t),
8 198 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI ki jo pomnožimo s cost in preuredimo y cost + x sin t = 2 sin t cost. Tko st presečišči tngente z bscisno in ordintno osjo x = 2 cost in y = 2 sin t, rzdlj med točkm (2 cost, 0) in (0, 2 sin t) p je neodvisno od t. 2 x + 2 y = 2, Krivulje v polrnem koordintnem sistemu Polrni koordintni sistem v rvnini je določen z izbiro točke, ki predstvlj koordintno izhodišče O, in poltrk z zčetkom v izhodišču, ki predstvlj polrno os. Točk v rvnini je v tem koordintnem sistemu določen s polrnim rdijem r, ki je oddljenost točke od izhodišč, in s polrnim kotom ϕ, ki g dljic med točko in koordintnim izhodiščem oklep s polrno osjo. Če je v rvnini že izbrn krtezični koordintni sistem, običjno koordintno izhodišče polrneg in krtezičneg koordintneg sistem sovpdt, polrn os p je n pozitivnem delu osi x. V tem primeru se krtezične koordinte izržjo s polrnimi z: polrne s krtezičnimi p z: x = r cosϕ, y = r sin ϕ, (6.1) r = x 2 + y 2, tg ϕ = y x. (6.2) Krivulj v polrnem koordintnem sistemu je določen s funkcijo r = r(ϕ). (6.3)
9 6.1. RISANJE KRIVULJ 199 Krivulji (6.3) pripd tist točk n poltrku ϕ = ϕ 0, ki je od izhodišč oddljen z r(ϕ 0 ). Običjno zhtevmo, d je r 0 1 Primer Krožnic s središčem v (0, 0) in polmerom je (po definiciji) množic točk, ki so z oddljene od središč, zto je r = enčb te krožnice v polrnih koordinth. 2. Krivuljo, ki jo opisuje enčb r = 2 cosϕ nrišemo tko, d n več poltrkih ϕ = ϕ i z rzlične ϕ i [ Π/2, Pi/2] odmerimo rzdljo r = 2 cosϕ i in povežemo dobljene točke. 1 2 Slik 6.7: Krivulj r = 2 cosϕ Pogled n sliko 6.7 nm pokže podobnost s krožnico. Prepričjmo se, d je dobljen krivulj res krožnic! Enčbo r = 2 cos ϕ pomnožimo z r in pretvorimo v krtezične koordinte x 2 +y 2 = 2x, od koder dobimo znčilno enčbo krožnice 1 V nekterih, predvsem meriških učbenikih lhko srečmo drugčen pristop, pri kterem je lhko r < 0, ustrezno točko n krivulji nnšmo n poltrk ϕ v negtivno smer, torej v resnici leži n komplementrnem poltrku. Mi se bomo vseskozi držli zhteve r > 0.
10 200 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI (x 1) 2 + y 2 = 1. Krivuljo, dno v polrnih koordinth z enčbo r = r(ϕ), lhko s pomočjo enčbe (6.1) vedno prmetrizirmo prmeter je v tem primeru kr polrni kot: x = r(ϕ) cosϕ, y = r(ϕ) sinϕ Implicitno dne krivulje Enčb F(x, y) = 0 lhko določ krivuljo v rvnini. V tem primeru prvimo, d je krivulj dn implicitno. N primer, z enčbo (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = 2 je implicitno dn krožnic s središčem v točki (x 0, y 0 ) in s polmerom. Enčbo tngente n implicitno dno krivuljo v točki (x 0, y 0 ) dobimo tko, d funkcijsko zvezo F(x, y) = 0 odvjmo n x in upoštevmo odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x. Primer Krivulji, dni z enčbo x 3 + y 3 = 3xy, (6.4) prvimo Descrtesov list. Zpišimo enčbo tngente v točki (3/2, 3/2) n krivulji. Z odvjnjem dobimo zto je enčb tngente 3x 2 + 3y 2 y = 3y + 3xy, y = y x2 y 2 x = 1, (y 3/2) = (x 3/2) ozirom y = x + 3. Pogosto implicitno dno krivuljo lže nrišemo tko, d poiščemo kkšno njeno prmetrizcijo in jo rišemo v prmetrični obliki. Primer
11 6.1. RISANJE KRIVULJ 201 y x Slik 6.8: Lemniskt 1. Lemniskto (x 2 +y 2 ) 2 = x 2 y 2 njlže nrišemo v polrnih koordinth (slik 6.8): r 2 = cos 2ϕ. 2. Nrišimo Descrtesov list (prepričj se, d je to ist krivulj kot (6.4), slik 6.9): x = 3t 3t2 1 + t3, y = 1 + t 3. Izhodišče je smopresečišče, poševn simptot je premic x + y = 1. Premiki koordintneg sistem. Pogosto lhko enčbo krivulje poenostvimo s togim premikom koordintneg sistem. Vsk togi premik koordintneg sistem (tj. premik, ki ohrnj medsebojne rzdlje med točkmi) lhko zpišemo kot kombincijo zsuk in prlelneg premik. Prlelni premik koordintneg sistem dosežemo tko, d vpeljemo nove koordinte (X, Y ) z enčbm X = x, Y = y b. Koordintno izhodišče noveg sistem im v strem sistemu koordinte (, b).
12 202 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI y x -1-2 Slik 6.9: Descrtesov list Primer Prbolo y = x 2 2x 3 = (x 1) 2 4 preprosteje opišemo v koordintnem sistemu, ki im izhodišče v njenem temenu, s koordintmi X = x 1, Y = y + 4, torej Y = X 2. Zsuk li vrtenje koordintneg sistem z kot α njlže opišemo s polrnimi koordintmi. Točk T(x, y) = T(r cosϕ, r sin ϕ) se v zsuknem koordintnem sistemu izrž s koordintm X = r cos(ϕ α) = r cosϕcosα + r sin ϕ sin α = x cosα + y sin α, Y = r sin(ϕ α) = r sin ϕ cosα r cosϕsin α = x sin α + y cosα,
13 6.1. RISANJE KRIVULJ 203 y Y b X x Slik 6.10: Premik koordintneg sistem stre p se z novimi izržjo z x = X cosα Y sin α, y = X sin α + Y cosα. (6.5) y T X Y α x Slik 6.11: Zsuk koordintneg sistem z kot α Primer S premikom in zsukom koordintneg sistem lhko vsko enčbo krivulje drugeg red x 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 prevedemo n eno od osnovnih oblik AX 2 + BY 2 = C, Y = 2qX 2 li X = 2pY 2. Poizkusimo z enčbo x 2 + xy + y 2 = 2. Mešeneg člen se znebimo z
14 204 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI 2 y x -1-2 Slik 6.12: Krivulj x 2 + xy + y 2 = 2. ustreznim zsukom, tko d v enčbo vpeljemo nove koordinte s predpisom (6.5) in kot α določimo tko, d bo koeficient pri mešnem členu enk 0: Mešni člen je (X cosα Y sin α) 2 + (X cosα Y sin α)(x sin α + Y cosα) +(X sin α + Y cosα) 2 = 2. 2XY cosαsin α + XY cos 2 α XY sin 2 α + 2XY sin α cosα = 0, XY cos(2α) = 0, od koder je α = π/4. Enčbo zpišemo v polrnih koordinth X 2 (cos 2 α + cos α sin α + sin 2 α) + Y 2 (sin 2 α sin α cosα + cos 2 α) = 2,
15 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI X Y 2 = 2. Krivulj je elips z glvnim osem 3/2 in 1/2, ki v strem koordintnem sistemu ležit n premich y = x in y = x. 6.2 Uporb integrlov v rvninski geometriji Ploščine krivočrtnih likov Ploščin krivočrtneg trpez, omejeneg z osjo x, s premicm x = in x = b in z grfom pozitivne zvezne funkcije y = f(x), je enk določenemu integrlu b f(x) dx. To velj tudi, če je krivulj, ki omejuje lik zvrh, podn prmetrično, s predpisom x = x(t), y = y(t), kjer je x(t) monoton funkcij: S = b y dx = β α y(t)ẋ(t) dt, x(α) =, x(β) = b. 2 y 1 π 2π x Slik 6.13: Ploščin lik pod cikloido
16 206 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Primer Izrčunjmo ploščino pod enim lokom cikloide x = (t sin t), y = (1 cost). S = 2π 0 2π y dx = 2 (1 cost) 2 dt 0 2π = 2 (1 2 cost + cos 2 t) dt = 3π 2, 0 Ploščin pod cikloido je torej trikrt večj od ploščine krog, s kotljenjem ktereg je cikloid nstl. β α β α Slik 6.14: Ploščin izsek v polrnih koordinth Ploščin krivočrtneg trikotnik, omejeneg s poltrkom ϕ = α in ϕ = β in s krivuljo, dno v polrnih koordinth z zvezno funkcijo r = r(ϕ), se tudi izrž z integrlom. Nj bo
17 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 207 α = ϕ 0 < ϕ 1 <... < ϕ n 1 < ϕ n = β delitev intervl [α, β] in izrčunjmo ploščino lik, sestvljeneg iz krožnih izsekov S i nd kotom δ i = ϕ i ϕ i 1 s polmerom r = r(ϕ i ). Ploščin posmezneg krožneg izsek je ploščin celeg lik p S i = 1 2 r2 i δ i, S n = 1 2 n ri 2 δ i, kr je integrlsk vsot z funkcijo r(ϕ) 2 /2. Če je D n neko zporedje delitev intervl [α, β], kjer gredo rzmiki med delilnimi točkmi proti 0, ko n, konvergirjo intregrlske vsote proti določenemu integrlu, stopničsti lik p se čedlje bolje prileg krivočrtenmu trikotniku. V limiti je S = 1 2 β α i=1 r(ϕ) 2 dϕ. Primer Izrčunjmo ploščino lik, omejeneg z lemniskto r 2 = cos 2ϕ (slik 6.8). Zrdi simetrije je π/4 S = 2 cos 2ϕdϕ = [sin 2ϕ] ϕ=π/4 ϕ=0 = 1. 0 Formulo z ploščino krivočrtneg trikotnik v krtezičnih koordinth dobimo iz zveze torej x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, Od tod dobimo dx = dr cosϕ r sin ϕ dϕ; dy = dr sin ϕ + r cos ϕ dϕ.
18 208 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI in je 1 2 r2 dϕ = 1 (xdy y dx), 2 S = 1 2 β α (xẏ yẋ) dϕ. Izrz (xẏ yẋ) dϕ/2 se imenuje diferencil ploščine in je enk ploščini trikotnik OTT, kjer st T in T dve bližnji točki s koordintm (x, y) in (x + dx, y + dy). Primer Izrčunjmo ploščino elipse x = cost in y = b sin t. Tukj je ẋ = sin t dt in ẏ = b cos t dt zto je: S = 1 2 2π 0 (xẏ ẋy) dt = b 2 2π 0 dt = πb Ločn dolžin Nj bo f(x) zvezno odvedljiv funkcij n intervlu [, b], to je tk funkcij, d je odvod f zvezen funkcij n tem intervlu. Grf funkcije f je nek krivulj nd intervlom [, b]. Znim ns, kolikšn je dolžin lok te krivulje. Nj bo = x 0 x 1... x n = b delitev intervl in T i = (x i, f(x i )) točk n krivulji, ki leži nd delilno točko x i. Izrčunjmo dolžino s n lomljene dljice, ki povezuje vse točke T i n krivulji. Rzdlj med dvem zporednim točkm je: s i = (x i x i 1 ) 2 + (f(x i ) f(x i 1 )) 2. Po Lgrngeovem izreku lhko zpišemo torej je f(x i ) f(x i 1 ) = f (ξ i )(x i x i 1 ) = f (ξ i )δ i,
19 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 209 s n = n s i = i=1 n 1 + f (ξ i )δ i. i=1 To je integrlsk vsot z zvezno funkcijo 1 + (f (x)) 2. in celotn dolžin lok je s = b Z vsk x [α, β] je 1 + (f (x)) 2 dx = s(x) = x b 1 + y 2 dx 1 + (y ) 2 dx (6.6) dolžin lok krivulje od točke do točke x, torej je s(x) nrščjoč, zvezn in odvedljiv funkcij n [α, β], njen odvod p je ds dx = 1 + y 2. Če to relcijo pomnožimo z dx, dobimo ločni diferencil krivulje: ds = 1 + y 2 dx = dx 2 + dy 2, (6.7) če to kvdrirmo, p kvdrt ločneg diferencil ds 2 = dx 2 + dy 2. (6.8) Z krivuljo, dno prmetrično s predpisom x = x(t), y = y(t), dobimo ločni diferencil, tko d v izrzu (6.7) upoštevmo odvisnost koordint od prmetr t: ds = ṡdt = ẋ 2 + ẏ 2 dt. Dolžin lok je integrl ločneg diferencil: Funkcij s = β α ẋ2 + ẏ 2 dt. s(t) = β α ẋ2 + ẏ 2 dt
20 210 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI dy ds dx Slik 6.15: Ločni diferencil krivulje je nrščjoč, torej je injektivn in im inverzno funkcijo t = t(s). Če to vstvimo v enčbi krvulje, x = x(t(s)), y = y(t(s)), prvimo, d je krivulj prmetrizirn z nrvnim prmetrom. Kdr je x = x(s), y = y(s) prmetrizcij z nrvnim prmeterom, je zto je dolžin lok enk ẋ 2 + ẏ 2 = ( ) 2 dx + ds s = α β ds. ( ) 2 dy = 1, ds Primer Izrčunjmo dolžino lok cikloide Ker je x = (t sin t), y = (1 cost). je kvdrt ločneg diferencil ẋ = (1 cost), ẏ = sin t, ẋ 2 + ẏ 2 = 2 (2 2 cost) = 4 2 sin 2 t 2,
21 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 211 r dϕ ds dr Slik 6.16: Ločni diferencil krivulje v polrnih koordinth od tod p dobimo s = 2π 0 2 sin t [ 2 dt = 4 cos t ] t=2π = 8. 2 t=0 2. Obseg elipse x = cost, = b sin t je enk s = 2π 0 2π 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt = b 2 (b 2 2 ) sin 2 t dt, 0 t integrl p s substitucijo sin t = x prevedemo n eliptični integrl prve vrste, ki ni elementrn funkcij. Obseg elipse se torej izrž z eliptičnim integrlom (od koder je integrl tudi dobil svoje ime). N bo krivulj v polrnih koordinth dn z enčbo r = r(ϕ), Prmetrizcij krivulje s kotom ϕ je: ϕ [α, β]. x = x(ϕ) cosϕ, torej je kvdrt ločneg diferencil enk y = r(ϕ) sin(ϕ), ds 2 = ( (r cosϕ r sin ϕ) 2 + (r sin ϕ + r cosϕ) 2) dϕ = ( (r ) 2 + r 2) dϕ = dr 2 + r 2 dϕ 2.
22 212 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Dolžin lok je s = β α (r ) 2 + r 2 dϕ. y 2 x - Slik 6.17: Krdioid Primer Izrčunjmo dolžino lok krdioide r = (1 + cos ϕ) (Slik 6.17). Ker je r = sin ϕ, je s = 2π 2π cosϕdϕ = 2 cos ϕ dϕ =
23 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI Prostornin geometrijskih teles Prostornin teles z znno ploščino prerez Prostornino teles lhko izrčunmo, če znmo izrčunti ploščine njegovih vzporednih prerezov. Nj bo telo postvljeno med dve vzporedni rvnini v prostoru, prvokotni n os x, n primer x = in x = b. Prerez teles pri poljubnem x [, b] je nek lik, njegov ploščin je odvisn od položj prerez, torej je nek funkcij, oznčimo jo z A(x). Če poznmo vrednost funkcije A(x) pri vskem x [, b], lhko odtod izrčunmo prostornino teles. Nj bo = x 0 < x 1 <... < x n = b nek delitev intervl. Volumen rezine teles med delilnim točkm x i 1 in x i je približno enk V i = A(ξ i )(x i x i 1 ) = A(ξ i )δ i, vsot volumnov vseh teh rezin p je približek z celotno prostornino V n = n V i = δa(ξ i )δ i. i=1 To je kot integrlsk vsot z funkcijo A(x). Če je A(x) integrbiln funkcij (n primer odsekom zvezn li monoton), je volumen enk V = b A(x) dx. (6.9) (0,0,0) Slik 6.18: Prostornin klin
24 214 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Primer Izrčunjmo volumen klin, ki g izrežet iz vlj s polmerom dve rvnini prv je prvokotn n os vlj, drug p jo sek v premeru vlj pod kotom π/4 (slik 6.18). Koordintni sistem izberemo tko, d je x, osnovn ploskev vlj je določen z neenčbm 0 y 2 x 2 in pri vskem x je ploščin prvokotneg prerez enk ploščini enkostrničneg trikotnik A(x) = Volumen klin je zto enk ( 2 x 2) 2 2 = (2 x 2 ). 2 V = A(x) dx = 1 ( 2 x 2 ) dx = 2 1 ( 2 x x 3 /3 ) 2 = 23 /3. Prostornin rotcijskeg teles Nj bo f zvezn in nenegtivn funkcij n intervlu [, b]. Če zvrtimo krivuljo y = f(x) okoli bscisne osi, opiše rotcijsko ploskev. T ploskev in rvnini, ki v točkh x = in x = b stojit prvokotno n bscisno os, omejujejo rotcijsko telo (slik 6.19). x Slik 6.19: Rotcijsko telo Ker je ploščin prvokotneg prerez rotcijskeg teles enk zto je njegov volumen A(x) = π(f(x)) 2,
25 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 215 Primer V = π b f 2 (x) dx = π b 1. Izrčunjmo prostornino krogle s polmerom. y 2 dx. (6.10) Krogl nstne, ko se okrog osi x zvrti krog x 2 + y 2 2. Volumen krogle je ] x= V = π ( 2 x 2 ) dx = π [ 2 x x3 = 4π3 3 x= Izrčunjmo prostornino torus (slik 6.20), ki nstne, ko krog z rdijem in središčem v točki (, b), kjer je < b, zvrtimo okoli osi x. y b - x -b Slik 6.20: Presek torus Krožnico lhko obrvnvmo kot grf dveh funkcij: y = b ± 2 x 2.
26 216 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Prostornin torus je rzlik prostornine teles, ki g ob vrtenju opiše zgornj vej, in prostornine teles, ki g opiše spodnj vej, torej V = π = 4πb [(b + 2 x 2 ) 2 (b ] 2 x 2 ) 2 dx π/2 2 x 2 dx == 4π b 2 cos 2 t dt = 2π 2 2 b. π/2 Če je krivulj dn prmetrično z enčbm x = x(t), y = y(t), kjer je t [α, β], je β V = π y 2 (t)ẋ(t) dt. (6.11) α Primer Prostornin vrtvke, ki jo dobimo, če steroido zvrtimo okrog osi x je x = cos 3 t, y = sin 3 t 0 V = 3π 3 sin 6 t cos 2 t( sin t) dt π π = 3π 3 (1 cos 2 t) 3 cos 2 t d(cost) 0 1 = 3π 3 (1 u 2 ) 3 u 2 du = 3π (u 2 3u 4 + 3u 6 u 8 ) du = 32π Volumen rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem lik pod krivuljo y = f(x), x b okrog osi y, mormo izrčunti drugče. Nj bo = x 0 x 1... x n = b
27 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 217 delitev intervl [, b]. Z vrtenjem prvokotnik z višino f(x i ) nd intervlom [x i 1, x i ] dobimo votel vlj li tnko vljno lupino, ktere volumen je približno enk V i = 2πf(x i ) x i + x i+1 (x i x i 1 ) = 2πf(x i ) x i δ i, 2 kjer je x i = (x i + x i+1 )/2 povprečn vrednost polmer, δ i = x i x i 1 p debelin lupine. Z vrtenjem stopničsteg lik, sestvljeneg iz tkšnih prvokotnikov, dobimo stopničsto telo, sestvljeno iz vljnih lupin, ktereg volumen je V n = 2π f(x i ) x i δ i. Ker je to integrlsk vsot z funkcijo 2πf(x)x, je iskni volumen enk V = lim n V n = 2π b xf(x) dx. (6.12) Primer Izrčunjmo prostornino teles, ki nstne, če odsek sinusoide y = sin x med 0 in π zvrtimo okoli ordintne osi. π π V = 2π x sin xdx = 2π [ x cosx] x=π x=0 + cosxdx = 2π Volumen rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem krivulje okrog neke splošne osi x = x(t), y = y(t), α t β je enk x = x 0 + αt, y = y 0 + βt V = π β α (ρ(t)) 2 dl, kjer je ρ(t) oddljenost točke n krivulji od osi vrtenj, dl = (α 2 + β 2 ) p je diferencil lok n osi vrtenj.
28 218 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Površin rotcijskeg teles Izrčunjmo površino plšč rotcijskeg teles, ki g dobimo z vrtenjem grf y = f(x), x [, b] okrog osi x. Funkcij f nj bo zvezno odvedljiv. Če izberemo delitev intervl = x 0 x 1... x n = b, je telo, ki g pri vrtenju opiše lomljen dljic, ki povezuje posmezne delilne točke n krivulji, sestvljeno iz priseknih stožcev. Dljic med točkm T i 1 in T i dolžine s i pri tem opiše stožec s plščem P i = 2π y i 1 + y i 2 Površin celeg teles je tko P n = n P i = π i=1 s i = 2π y i 1 + y i 1 + (f (ξ i )) 2 2 δ i. n (f(x i 1 + f(x i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i. i=1 Če izberemo zporedje delitev, kjer gredo vse dolžine δ i 0, je limit dobljeneg zporedj (P n ) enk površini rotcijskeg teles: = π P = lim n π n (f(x i 1 + f(x i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i i=1 n (2f(ξ i )) 1 + (f (ξ i )) 2 δ i = 2π i=1 b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. (6.13) Primer Izrčunjmo površino teles, ki nstne, ko krivuljo y = ch x med x = 1 in x = 2 zvrtimo okoli bscisne osi. ds = 1 + sh 2 xdx = ch xdx; 2 2 P = 2π ch ch 2x xdx = 2π dx = π [x + 12 ] x=2 sh 2x = π ( sh ) sh 2 x= 1 = π (6 + sh 4 + sh 2). 2
29 6.2. UPORABA INTEGRALOV V RAVNINSKI GEOMETRIJI 219 Če je krivulj podn v prmetrični obliki x = x(t); y = y(t), je β P = 2π y ẋ 2 + ẏ 2 dt. (6.14) α Primer Krdioido x = (2 cost cos 2t), y = (2 sin t sin 2t), nj zvrtimo okoli bscisne osi. Izrčunjmo površino dobljene rotcijske ploskve. Ker je kvdrt diferencil lok enk je iskn površin ẋ 2 + ẏ 2 = 16 2 sin 2 t 2, π P = 8π 2 (2 sin t sin 2t) sin t π2 dt = Momenti funkcije Funkcij f nj bo n intervlu [, b] pozitivn in integrbiln. Integrl oblike M n = b x n f(x) dx; n = 0, 1, 2,... imenujemo n-ti moment funkcije. Momenti M n sestvljjo neko zporedje števil, ki je s funkcijo enolično določeno. Velj tudi obrtn trditev: dno zporedje momentov M n enolično določ funkcijo f. Primer Izrčunjmo momente konstntne funkcije f(x) = 1 n intervlu [, b]. M n = 1 0 [ x x n n+1 dx = n + 1 ] x=1 x=0 = 1 n + 1.
30 220 POGLAVJE 6. KRIVULJE V RAVNINI Oglejmo si fiziklno interpretcijo momentov. Nj bo n intervlu [, b] porzdeljen ms in nj bo vrednost funkcije f(x) enk gostoti mse v rzdlji x od izhodišč (predstvljjmo si, d n bscisni osi leži plic, ki je neenkomerno debel). Potem imjo prvi trije momenti m = b f(x) dx, M = b xf(x) dx, J = b x 2 f(x) dx fiziklen pomen. Prvi integrl (m) je enk msi plice, sj je ms koščk plice z dolžino dx enk f(x) dx. Drugi integrl je sttični moment M, tretji integrl p je vztrjnostni moment plice J. Če sttični moment M delimo z mso m, dobimo bsciso x 0 težišč plice mx 0 = b xf(x) dx. Z drugčno interpretcijo momentov se bomo srečli pri verjetnostnem rčunu.
31 Litertur [1] K. G. Binmore: Mthemticl Anlysis ( strightforewrd pproch), 2 ed., Cmbridge University Press, Cmbridge, [2] C. H. Edwrds Jr. in D. E. Penney: Clculus nd Anlytic Geometry, Prentice-Hll Interntionl, Inc., Englewood Cliffs, [3] R. Jmnik: Mtemtik, Prtiznsk knjig, Ljubljn, [4] P. Lx, S. Burstein in A. Lx: Clculus with Applictions nd Computing, Vol I, Springer-Verlg, New York, [5] N. Piskunov: Differentil nd Integrl Clculus, vol. I, Mir Publishers, Moscow, [6] N. Prijtelj: Uvod v mtemtično nlizo, 1. del, DMFA, Ljubljn, [7] G. B. Thoms, Jr: Clculus nd Anlytic Geometry, Addison-Wesley Publishing Compny, Reding, [8] I. Vidv: Višj mtemtik I (10. ntis), DMFA, Ljubljn,
Matematika Uporaba integrala (1) Izračunaj ploščine likov pod grafi danih funkcij: (a) f(x) = x 2 na [0, 2], (b) f(x) = e x na [0, 1], (c) f(x) = x si
Mtemtik Uporb integrl () Izrčunj ploščine likov pod grfi dnih funkcij: () f() n [ ] (b) f() e n [ ] (c) f() sin n [ π]. Rešitev: Nj bo f zvezn pozitivn funkcij n intervlu [ b]. Ploščin lik ki leži pod
Prikaži večŠtudij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x
Prikaži večKOTNE FUNKCIJE Kotne funkcije uporabljamo le za pravokotni trikotnik! Sinus kota α je enak razmerju dolžin kotu nasprotne katete in hipotenuze. sin α
KOTNE FUNKCIJE Kotne funkije uporljmo le z prvokotni trikotnik! Sinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu nsprotne ktete in hipotenuze. sin α = Kosinus kot α je enk rzmerju dolžin kotu priležne ktete in hipotenuze.
Prikaži večIntegrali odvisni od parametra Naj bo f : D = [a; b] [c; d]! R integrabilna na [a; b]. Deniramo funkcijo F : [c; d]! R z Z b F (y) = f (x; y) dx in im
Integrli odvisni od prmetr Nj o f : D = [; ] [c; d]! R integriln n [; ]. Denirmo funkcijo F : [c; d]! R z F () = f (; ) d in imenujemo F integrl odvisen od prmetr. Izreki: Ce je f zvezn n D, je F zvezn
Prikaži večDN4(eks7).dvi
DN#4 lnsk DN#7) - mrec 09) B Potence s celimi eksponenti Potenc je izrz oblike n, kjer je poljubno število R), n p poljubno nrvno li celo število n N li n Z). Število imenujemo osnov, n je stopnj li eksponent.
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večC:/Users/Marko.PEF010003/Dropbox/Matematicna analiza/MatematicnaAnaliza.dvi
Mrko Slpr Zpiski predvnj iz mtemtične nlize Ljubljn, Junij Nslov: Zpiski predvnj iz mtemtične nlize Avtor: Mrko Slpr. izdj Dostopno n spletnem nslovu hrst.pef.uni-lj.si/~slprm CIP - Kttloški zpis o publikciji
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži več24. državno prvenstvo iz gradbene mehanike za 3. letnike 16. maj naloga Med dve enakostranični prizmi s stranico a postavimo valj s polmerom r
24. držvno prvenstvo iz grdbene menie z 3. letnie 16. mj 2018 1. nlog Med dve enostrnični prizmi s strnico postvimo vlj s polmerom r, ot je prizno n slii. Tež prizm je G = 10 N, tež vlj p V = 14 N. Koeficient
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večNEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice
Prikaži večOlga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2 Z b i r k a n a l o g z a g i m n a z i j e
Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld onj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e Zirko nlog so nisli Olg rnuš, rof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, rof., mg. rjo Feld, onj
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večSeminar Feynmanova interpretacija kvantne mehanike in primeri re²evanja problemov Avtor: Gal Lemut Mentor: prof. dr. Anton Ram²ak 31. maj 2016, Ljublj
Seminr Feynmnov interpretcij kvntne mehnike in primeri re²evnj problemov Avtor: Gl Lemut Mentor: prof. dr. Anton Rm²k 31. mj 016, Ljubljn Povzetek Vsi poznmo kvntno mehniko predstvljeno s Schrödingerjevo
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večMicrosoft Word - 9.vaja_metoda porusnih linij.docx
9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ 1. ZASNOVA S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij bomo določili mejno obtežbo plošče, za katero poznamo geometrijo, robne pogoje
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večVAJE
UČNI LIST Geometrijska telesa Opomba: pri nalogah, kjer računaš maso jeklenih teles, upoštevaj gostoto jekla 7,86 g / cm ; gostote morebitnih ostalih materialov pa so navedene pri samih nalogah! Fe 1)
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večMATEMATIKA – IZPITNA POLA 1 – OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN
Državi izpiti ceter *M840* Osova i višja rave MATEMATIKA JESENSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Poedeljek, 7. avgust 08 SPLOŠNA MATURA Državi izpiti ceter Vse pravice pridržae. M8-40-- IZPITNA POLA
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večStrokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega pok
Strokovni izobraževalni center Ljubljana, Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad PRIPRAVE NA PISNI DEL IZPITA IZ MATEMATIKE 2. letnik nižjega poklicnega izobraževanja NAVODILA: Izpit iz matematike
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večMicrosoft Word - 9.vaja_metoda porusnih linij_17-18
9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij določite mejno obtežbo plošče, za katero poznate geometrijo, robne pogoje ter razporeditev
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večMicrosoft Word - N doc
Š i f r a u ~ e n c a/-k e : Dr`avni izpitni center *N05140131* REDNI ROK MATEMATIKA PISNI PREIZKUS Ponedeljek, 9.maj 005 / 60 minut Dovoljeno gradivo in pripomo~ki: u~enec prinese s seboj modro ali ~rno
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večSESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6
SESTAVA VSEBINE MATEMATIKE V 6. RAZREDU DEVETLETKE 1. KONFERENCA Št. ure Učne enote CILJI UVOD (1 ura) 1 Uvodna ura spoznati vsebine učnega načrta, način dela, učne pripomočke za pouk matematike v 6. razredu
Prikaži večUradni list Republike Slovenije Št. 44 / / Stran 6325 PRILOGA II Del A NAJVEČJE MERE IN MASE VOZIL 1 NAJVEČJE DOVOLJENE MERE 1.1 Največja
Uradni list Republike Slovenije Št. 44 / 18. 8. 2017 / Stran 6325 PRILOGA II Del A NAJVEČJE MERE IN MASE VOZIL 1 NAJVEČJE DOVOLJENE MERE 1.1 Največja dolžina: - motorno vozilo razen avtobusa 12,00 m -
Prikaži več4PSL A_2016_02
Omric z opcijsko opremo z nizkotemperturno enoto ROTEX Slovenščin Kzlo rezervneg grelnik: Kzlo Nvodil z montžo Formt: Ppirni izvod (v šktli rezervneg grelnik) O dokumentciji. O tem dokumentu... O šktli.
Prikaži večMatematika 1 Rešitve 9. sklopa nalog Nedoločeni integral (4) Izračunaj integrale trigonometričnih funkcij: 1 (a) cos x dx, 1 (b) sin 2 x + 2 cos
Mtemtik Rešitve 9. sklop log Nedoločei itegrl (4) Izrčuj itegrle trigoometričih fukcij: 5 + 4 cos, si + cos, cos (c) + si. Rešitev: Pri itegrlih tip R(cos, si ), kjer je R rciol fukcij, si pomgmo z uiverzlo
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večjj
Predmetni izpitni katalog za poklicno maturo Matematika Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 04, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v katerem bo kandidat
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večPoglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s ko
Poglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje 1.1.1 Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s konstantno brzino v 1, v času od t 1 do t 2 enakomerno
Prikaži večINDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani n
INDIVIDUALNI PROGRAM PREDMET: MATEMATIKA ŠOL. LETO 2015/2016 UČITELJ: ANDREJ PRAH Učenec: Razred: 7. Leto šolanja: Ugotovitev stanja: Učenec je lani neredno opravljal domače naloge. Pri pouku ga je bilo
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večDiploma.Žiga.Krofl.v27
Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo University of Ljubljana Faculty of Civil and Geodetic Engineering Jamova cesta 2 1000 Ljubljana, Slovenija http://www3.fgg.uni-lj.si/ Jamova
Prikaži večPRILOGA II MERE IN MASE VOZIL V CESTNEM PROMETU 1. Ta priloga v skladu Direktivo Sveta 96/53/ES z dne 25. julija 1996 o določitvi največjih dovoljenih
PRILOGA II MERE IN MASE VOZIL V CESTNEM PROMETU 1. Ta priloga v skladu Direktivo Sveta 96/53/ES z dne 25. julija 1996 o določitvi največjih dovoljenih mer določenih cestnih vozil v Skupnosti v notranjem
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži več