C:/Users/Marko.PEF010003/Dropbox/Matematicna analiza/MatematicnaAnaliza.dvi

Transkripcija

1 Mrko Slpr Zpiski predvnj iz mtemtične nlize Ljubljn, Junij

2 Nslov: Zpiski predvnj iz mtemtične nlize Avtor: Mrko Slpr. izdj Dostopno n spletnem nslovu hrst.pef.uni-lj.si/~slprm CIP - Kttloški zpis o publikciji Nrodn in univerzitetn knjižnic, Ljubljn 57(.34.) SLAPAR, Mrko Zpiski predvnj iz Mtemtične Anlize [Elektronski vir]/ Mrko Slpr. -. izd. - El. knjig. - Ljubljn : smozl., Nčin dostop (URL): ISBN (pdf) Izdno v smozložbi junij. Avtor si pridružuje vse prvice.

3 Kzlo Poglvje. Odvod.. Definicij odvod in osnovne lstnosti.. Odvodi osnovnih funkcij 4.3. Geometrijsk interpretcij odvod 6.4. Odvodi višjeg red 7.5. Geometrijske lstnosti prveg odvod 8.6. Ekstremi funkcij 9.7. Konkvnost in konveksnost funkcij.8. L Hospitlovo prvilo 3.9. Risnje grfov funkcij 5 Poglvje. Nedoločeni integrl 8.. Definicij nedoločeneg integrl 8.. Integrli nekterih elementrnih funkcij 8.3. Lstnosti nedoločeneg integrl 9.4. Integrcijske metode Poglvje 3. Določeni li Riemnnov integrl Definicij določeneg integrl Lstnosti določeneg integrl Osnovni izrek integrlskeg rčun Zmenjv spremenljivk in per-prtes v določenem integrlu Izitirni integrl Uporb integrl v geometriji 4 Poglvje 4. Funkcijsk zporedj in funkcijske vrste Konvergenc in enkomern konvergenc Funkcijske vrste Potenčne vrste Tylorjev vrst 54

4 POGLAVJE Odvod.. Definicij odvod in osnovne lstnosti Definicij... Nj bo funkcij f definirn v okolici točke R. Če obstj it f(x) f(), x x rečemo, d je f odvedljiv v točki in ito f () = x f(x) f() x imenujemo odvod funkcije f v točki. Z uvedbo nove spremenljivke h = x lhko odvod pišemo tudi kot ito f f(+h) f() () =. h h Primer... Izrčunjmo odvod funkcije f(x) = x +x v točki x =. f f(x+h) f() () = h h 5h+h h h = h 5+h = 5 = h (+h) +(+h) 6 h Primer..3. Pokžimo, d funkcij f(x) = x ni odvedljiv v točki. f f(h) f() h () = = h h h h. Ker je izrz h /h enk z pozitivne h in z negtivne h, zgornj it, in s tem tudi odvod v točki, ne obstj. Pokžimo, d je odvod več kot le zveznost. Izrek..4. Če je funkcij f v odvedljiv, je f v zvezn. Dokz. Velj ( f(x) = f()+(x ) f(x) f() ) = f()+f () = f(). x x x Definicij..5. Funkcij f : (,b) R je odvedljiv n intervlu (,b), če je odvedljiv v vski točki x (,b). Če je funkcij f odvedljiv n (,b) in je odvod f (x) zvezn funkcij n (,b), rečemo, d je f zvezno odvedljiv n (,b). Opomb. V kolikor je funkcij definirn n [, b], lhko definirmo (desni) odvod funkcije f v točki kot ito f(x) f(). x + x

5 .. DEFINICIJA ODVODA IN OSNOVNE LASTNOSTI 3 Podobno definirmo lhko (levi) odvod v točki b kot f f(x) f(b) (b) =. x b x b Z funkcijo f : [,b] R rečemo, d je odvedljiv n [,b], če je odvedljiv n (,b) in im v oz. b desni oz. levi odvod. Izrek..6. Če st f in g odvedljivi v, so v odvedljive tudi funkcije f +g, f g in f g. Če je g() je v odvedljiv tudi f/g. Velj (i) (f ±g) () = f ()±g (), (ii) (fg) ( ) () = f ()g()+f()g (), (Leibnizov formul) (iii) f g = f ()g() f()g () (g()). Dokz. (i) (ii) (f ±g) () = x f(x)±g(x) (f()±g()) x f(x) f() g(x) g() = ± = f ()+g () x x x x (fg) () = x f(x)g(x) f()g() x f(x)g(x) f(x)g()+f(x)g() f()g() = x x f(x)g(x) f(x)g() f(x)g() f()g() = + x x x ( ) = f(x) g(x) g() x x x f()g ()+f ()g() x f(x) f() +g() x x (iii) (f/g) f(x)/g(x) f()/g() () = x x f(x)g() f()g(x) = x g(x)g()(x ) f(x)g() f()g()+f()g() f()g(x) = x g(x)g()(x ) f(x)g() f()g() f()g() f()g(x) + x g(x)g()(x ) x g(x)(g()(x ) = x g(x) x f(x) f() x x f() g()g(x) x = f () g() f()g () (g()) = f ()g() f()g () (g()). g(x) g() x Izrek..7. Nj bo g odvedljiv v točki in f odvedljiv v točki g(). Potem je funkcij f g odvedljiv v in velj (f g) () = f (g()g (), (verižno prvilo)

6 Dokz. Oznčimo b = g()... ODVODI OSNOVNIH FUNKCIJ 4 (f g) f(g(x)) f(g()) () = x x f(g(x)) f(g()) g(x) g() = x g(x) g() x f(g(x)) f(g()) g(x) g() = x g(x) g() x x = g f(s) f(b) () = f (b)g () = f (g())g (). s b s b Z s smo oznčili g(x) in ker je g zvezn v, gre s = g(x) proti b = g(), ko gre x proti. f(x) = c: f(x) = x:.. Odvodi osnovnih funkcij f f(x+h) f(x) c c (x) = = = h h h h f f(x+h) f(x) x+h x (x) = = = h h h h f(x) = x n, n N: Z indukcijo pokžimo, d je (x n ) = nx n. Pozgornjemformulveljzn =. Predpostvimo, dvelj(x n ) = (n )x n. Potem je (x n ) = (xx n ) = x x n +x(n )x n = nx n. f(x) = e x : f(x) = lnx: Velj (e x ) e x+h e x = = e x e h = e x. h h h h x = e lnx in če obe strni odvjmo in upoštevmo verižno prvili, dobimo ozirom f(x) = x, > : f(x) = x, R: = e lnx (lnx) (lnx) = x. ( x ) = (e xln ) = e xln ln = x ln. (x ) = (e lnx ) = e lnx x = x x = x. f(x) = shx = ex e x in g(x) = chx = ex +e x in : ( e (shx) x e x ) = = ex +e x = chx ( e (chx) x +e x ) = = ex e x = shx

7 .. ODVODI OSNOVNIH FUNKCIJ 5 f(x) = sinx: (sinx) sin(x+h) sinx sinxcosh+cosxsinh sinx = = h h h h cosh sinh = sinx +cosx h h h h f(x) = cosx: = sinx sin h h h +cosx = cosh (cosx) = (sin( π x)) = cos( π x) = sinx f(x) = tnx: f(x) = rcsinx: (tnx) = ( ) sinx = cos x+sin x cosx cos = x cos x Ker je lhko poenostvimo f(x) = rccosx: f(x) = rctnx: Ker je lhko poenostvimo (sin(rcsinx)) = (x) cos(rcsinx)(rcsinx) = (rcsinx) = cos(rcsin x) cos (rcsinx) = sin (rcsinx) = x (rcsinx) = x. rccosx = π rccosx (rccosx) =. x (tn(rctnx)) = (x) cos (rctnx) (rctnx) = (rctnx) = cos (rctnx) cos (rctnx) = +tn (rctnx) = +x (rctnx) = +x. Primer... Izrčunjmo odvod funkcije pri čemer je poljubno relno število. f(x) = ln(x+ x +), (ln(x+ x +)) = x+ x + = x+ x + ( + ) x + x x ++x x + = x +

8 .3. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA ODVODA 6 Če v zpisu funkcije f(x) vstvimo =, dobimo funkcijo rshx, ki je inverzn funkcije funkciji shx, in če vstvimo = dobimo funkcijo rchx, ki je inverz funkcije ch x. Torej pri čemer smo izpeljli rshx = ln(x+ x +), rchx = ln(x+ x ), (rshx) = x +, (rchx) = x. Primer... Izrčunjmo odvod funkcije f(x) = x x. (x x ) = ( e xlnx) ( = e xlnx lnx+x ) = x x (+lnx). x Podobno izrčunmo vse odvode funkcij oblike f(x) = g(x) h(x). Primer..3. Izrčunjmo odvod funkcije { e x f(x) = ;x ;x = Ker je it x e x =, je funkcij f(x) zvezn n vsej relni osi. Z x je odvod funkcije enk ) (e x = e x x 3. V točki x = je nekoliko bolj zpleteno, sj mormo izrčunti ito Torej je Ker je f(h) f() = h h x f (x) = h e h h { x 3 e x ;x ;x = y=/x x 3e x je f zvezn in zto f zvezno odvedljiv. = y=/h y = =. y ± e y y ± y 3 e y =,.3. Geometrijsk interpretcij odvod Vzemimo poljubno funkcijo f : D R in poskusimo določiti tngento n grf funkcije f(x) v točki D. f() Slik.. Tngent n grf funkcije

9 .4. ODVODI VIšJEGA REDA 7 Povsem elementrno je težko določiti enčbo tngente, ker poznmo le eno točko, skozi ktero mor iti tngent. To je točk (,f()). Z določitev premice p bi rdi poznli koordinte dveh točk, ki ležit n premici. Seved p je enostvno določiti enčbo seknte, ki gre skoti točki (,f()) ter (x,f(x)), pri čemer je x neko število blizu. Oznčimo z k x smerni koeficient te seknte. Izrčunmo g kot kvocient k x = f(x) f(). x Opzimo, d (vsj z lepe funkcije) velj princip, d bližje ko izberemo točko x točki, bolj se bo seknt ujeml s tngento. Z smerni koeficient k tngente to pomeni k x = k, x ozirom f(x) f() k = = f (x). x x Definicij.3.. Nj bo funkcij f odvedljiv v točki. Tngent funkcije f v točki je premic y = f()+f ()(x ). Norml v točki je premic y = f() f () (x ). Primer.3.. Določimo tngento in normlo n grf funkcije v točki x =. Velj f(x) = xrctnx f () = (rctnx+ x +x ) x= = π 4 +. Zto je tngent v točki x = enk in norml je y = π 4 + π 4 (x ) = π x+ 4 y = π 4 4 π (x )..4. Odvodi višjeg red Nj bo f : I R odvedljiv funkcij n odprtem intervlu I. Odvod f je nto zopet funkcij, definirn n intervlu I. V kolikor je f : I R odvedljiv, oznčimo (f ) = f in to funkcijo imenujemo drugi odvod funkcije f. Postopek lhko indukcijsko ndljujemo. Recimo, d immo n-ti odvod funkcije f, t.j. f (n), in d je le t funkcij odvedljiv. Oznčimo (f (n) ) = f (n+ ) in funkciji rečemo (n+)-odvod funkcije f. Primer.4.. Izrčunjmo višje odvode funkcije f(x) = xe x. f (x) = e x +xe x f (x) = e x +e x +xe x = e x +xe x f (x) = e x +e x +xe x f (n) (x) = (n+x)e x.

10 .5. GEOMETRIJSKE LASTNOSTI PRVEGA ODVODA 8 Definicij.4.. Nj bo I poljuben intervl. S C(I) oznčimo množico zveznih funkcij n I. Če je I odprt intervl, s C n (I) oznčimo množico n-krt zvezno odvedljivih funkcij n I, t.j. funkcij, ki jih lhko n-krt odvjmo n I in je njihov n-ti odvod zvezen. S C (I) oznčimo množico neskončno krt odvedljivih funkcij, t.j. funkcij, ki jih lhko poljubno krt odvjmo..5. Geometrijske lstnosti prveg odvod Trditev.5.. Nj bo f definirn v okolici točke in nj bo f v odvedljiv. (i) Če je f () > funkcij f nršč v, t.j. obstj δ >, d je f(x) < f() z x ( δ,) in f() < f(x) z x (,+δ). (ii) Če je f () < funkcij f pd v, t.j. obstj δ >, d je f(x) > f() z x ( δ,) in f() > f(x) z x (,+δ). Dokz. Pokžimo smo točko (i), sj se (ii) dokže podobno. Po predpostvki velj f f(x) f() () = >. x x Iz definicije ite sledi, d obstj δ >, d velj f(x) f() >, x če je x ( δ,+δ)\{}. N intervlu ( δ,) je x < in je zto f() < f(). N (,+δ) je x > in zto f() < f(x). Izrek.5. (Rolleov izrek). Nj bo f zvezn n intervlu [, b], odvedljiv n (,b), in nj velj f() = f(b). Potem obstj ξ (,b), d velj f (ξ) =. Dokz. Ker je funkcij zvezn n [,b] im f n [,b] mksimum in minimum. V kolikor f ni konstntn, je vsj eden od njiju rzličen od f()(= f(b)). Recimo, d je to mksimum (enk sklep je z minimum) in d je le t dosežen v ξ (,b). Ker im f v ξ mksimum, funkcij v ξ ne nršč in ne pd, in iz prejšnje trditve sledi, d je f (ξ) =. Opomb. Rolleov izrek nm pove, d im funkcij, ki je zvezn n [,b], odvedljiv n (,b), in z ktero velj f() = f(b), vsj eno točko ξ (,b), z ktero je tngent vzporedn z x-osjo. Izrek.5.3 (Lgrngeov izrek). Nj bo f : [, b] R zvezn n [, b] in odvedljiv n (,b). Potem obstj ξ (,b), d velj f(b) f() = f (ξ)(b ). Dokz. Definirjmo g : [,b] R s predpisom g(x) = f(x) f(b) f() (x ). b Funkcij g je zvezn n [,b] ter odvedljiv n (,b) in velj g() = f() in g(b) = f(). Po Rolleovem izreku obstj ξ (,b), d velj g (ξ) =, kr pomeni ozirom g (ξ) = f (ξ) f(b) f() b f(b) f() = f (ξ)(b ). Posledic.5.4. Nj bo f : (,b) R odvedljiv. Velj (i) f (x) z vsk x (,b) ntnko tedj, ko je f nrščjoč n (,b). =

11 .6. EKSTREMI FUNKCIJ 9 (ii) f (x) z vsk x (,b) ntnko tedj, ko je f pdjoč n (,b). (iii) Če je f (x) > z vsk x (,b), je f strogo nrščjoč n (,b). (iv) Če je f (x) < z vsk x (,b), je f strogo pdjoč n (,b). Dokz. (i) Predpostvimo, d je f (x) n (,b). Nj bost x,x (,b), x < x. Iz Lgrngeoveg izrek sledi f(x ) f(x ) = f (ξ)(x x ) z nek ξ (x,x ). Ker je f (ξ) velj f(x ) f(x ). Obrtno, če je f nrščjoč, z h > velj f(x+h) f(x) in z h < f(x+h) f(x). Zto je z vsk mjhen h f(x+h) f(x) h in tko f f(x+h) f(x) (x) =. h h Podobno dokžemo ostle trditve. Opomb. Z funkcijo f(x) = x 3 velj f () =, funkcij vseeno strogo nrščncelemr(tudiskozitočko). Ztoimmovtočkh(iii)in(iv)implikcijo le v eno smer in ne ekvivlence..6. Ekstremi funkcij Definicij.6.. Nj bo f : D R funkcij. Funkcij f im v D globlni mksimum (globlni minimum), če z vsk x D velj f(x) f() (f(x) f()). Funkcij f im v b loklni mksimum (loklni minimum), če im f zožen n neko okolico b v b globlni mksimum (globlni minimum). Definicij.6.. Nj bo f : D R odvedljiv v D. Če je f () =, rečemo, d je stcionrn točk z funkcijo f. Trditev.6.3. Nj bo f : I R, kjer je I intervl. Če im f v I loklni ekstrem in je f v odvedljiv, je stcionrn točk, i.e. f () =. Dokz. Ker je f v odvedljiv, je nujno notrnj točk intervl I. Če je f () >, f vnršč, inztof vnimloklnegekstrem. Čejef () <, f v pd in zopet v ne more imeti loklneg ekstrem. Torej je nujno f () =. Isknje globlnih ekstremov. Nj bo f : [,b] R zvezn funkcij. Potem im f n [,b] tko globlni minimum kot tudi globlni mksimum. Iz trditve.6.3 sledi, d so edini možni kndidti z točke, kjer im funkcij globlne ekstreme,. robni točki in b,. stcionrne točke z f, t.j. točke, kjer je f (x) = in 3. točke x (,b), kjer funkcij f ni odvedljiv. D poiščemo globlni mksimum in globlni minimum mormo preveriti vrednosti funkcije f v teh točkh, in izbrti njvečjo ozirom njmnjšo. Običjno točk, v kterih mormo vrednosti preveriti ni veliko, seved p se lhko tudi zgodi, d je tkih ročk neštevno mnogo, in nm t strtegij ni v veliko pomoč. Primer.6.4. Poiščimo globlni ekstrem funkcije f(x) = 3sinx+cos x n intervlu [, π]. Funkcij je odvedljiv n [, π] zto so kndidti z globlne ekstreme le stcionrne in robne točke. Stcionrne točke so f (x) = 3cosx cosxsinx = cosx( 3 sinx) = x = π/, 3π/, x = π/3, x = π/3.

12 .6. EKSTREMI FUNKCIJ Preverimo vrednosti v stcionrnih točkh in robnih točkh intervl: f() =, f(π) =, f(π/) = 3, f(3π/) =, f(π/3) = 7/4, f(3π/) = 7/4. Globlni minimum je, dosežen v x = 3π/ in globlni mksimum je 7/4, dosežen v x = π/ in x = 3π/. Primer.6.5. Poiščimo dve nenegtivni števili z vsoto 9, tko d bo produkt prveg s kvdrtom drugeg njvečji možen. Če eno od teh dveh števil oznčimo z x, je drugo število 9 x. Poiskti mormo torej mksimum funkcije f(x) = x(9 x), kjer je f definirn n [, 9]. Poiščimo stcionrne točke: f (x) = (9 x) x(9 x) = (9 x)(9 3x) x = 9, x = 3. Ker ns znimjo le stcionrne točke iz notrnjosti intervl, je to le x = 3. Kndidt z ekstrem st tudi x = in x = 9. Preverimo vrednosti: f() =, f(9) =, f(3) = 8. Mksimum 8 je torej dosežen v točki x = 3. Klsifikcij loklnih ekstremov. Nj bo f : (,b) R odvedljiv. Če je v točki c (,b) loklni ekstrem, je c stcionrn točk. V tem rzdelku si bomo pogledli, kdj je stcionrn točk dejnsko loklni ekstrem in, li je t loklni ekstrem loklni mksimum li loklni minimum.. Izrek.6.6. Nj bo f definirn in odvedljiv v okolici točke in nj bo f () = (i) Če obstj δ >, d je f (x) z x ( δ,) in f (x) z x (,+δ), im f v loklni minimum. (ii) Če obstj δ >, d je f (x) z x ( δ,) in f (x) z x (,+δ), im f v loklni mksimum. (iii) Če obstj δ >, d je f (x) > z x ( δ, + δ)\{} ozirom f (x) < z x ( δ,+δ)\{}, f v nim loklneg ekstrem. Dokz. Dokz sledi iz Posledice.5.4. Izrek.6.7. Nj bo f definirn v okolici točke in nj im v drugi odvod. Nj bo f () =. (i) Če je f () > im f v loklni minimum. (ii) Če je f () < im f v loklni mksimum. Dokz. Čejef () >, f vnršč, krslediiztrditve.5.. Torejobstj δ >, d je f (x) < f () = z x ( δ,) in f (x) > f () = z (,+δ). Torej im f v loklni minimum po točki (i) prejšnjeg izrek. Podobno dokžemo točko (ii). Primer.6.8. Klsificirjmo loklne ekstreme funkcije f(x) = 3sinx+cos x n intervlu (,π). Stcionrne točke smo že izrčunli: x = π/, x = 3π/, x = π/3, x = π/3. Izrčunjmo drugi odvod f (x) = ( 3cosx cosxsinx) = 3sinx+sin x cos x. f (π/) = 3+ >, torej je v π/ loklni minimum. f (3π/) = 3+ >, torej je v 3π/ loklni minimum. f (π/3) = /, torej je v π/3 loklni mksimum in f (π/3) = /, torej je v π/3 loklni mksimum.

13 .7. KONKAVNOST IN KONVEKSNOST FUNKCIJ.7. Konkvnost in konveksnost funkcij Definicij.7.. Funkcij f : I R je konveksn n intervlu I, če z vski dve točki < b I in z vsk x (,b) velj f(x) f()+ f(b) f() (x ). b Če z vsk pr < b I in vsk x (,b) velj je funkcij f konkvn n I. f(x) f()+ f(b) f() (x ), b Opomb. Funkcij f je torej konveksn, če grf funkcije med poljubnim točkm < b leži pod seknto skozi (,f()) i n (b,f(b). Če vedno leži nd seknto, je konkvn. Slik.. Konkvn in konveksn funkcij Zgornj definicij konveksnosti in konkvnosti vnprej ne zhtev nobene dodtne lstnosti, vendr ni težko dokzti, d je vsk konveksn oz. konkvn funkcij nujno vsj zvezn. V ndljevnju bomo pogledli še nekj dodtnih krkterizcij konveksnosti in konkvnosti, ki p vnprej predpostvljjo obstoj prveg ozirom drugeg odvod. Trditev.7.. Nj bo f : I R odvedljiv n odprtem intervlu I. Funkcij f je konveksn n I ntnko tedj, ko z vsk pr x,y I velj f(y) f(x)+f (x)(y x) in konkvn, če z vsk pr x,y I velj f(y) f(x)+f (x)(y x). Dokz. Trditev bomo pokzli smo z konveksnost. Konkvnost je povsem nlogn. Nj bo funkcij odvedljiv funkcij f konveksn n I, in nj bost,x I, < x. Nj bo < +h < x. Potem velj ozirom f(+h) f()+ f(x) f() h x f(+h) f() h f()+ f(x) f(). x

14 Zto je ozirom.7. KONKAVNOST IN KONVEKSNOST FUNKCIJ f f(+h) f() () = f()+ f(x) f() h h x f()+f ()(x ) f(x). Podobeno lhko vidimo pri x <. Pokžimo še obrt. Nj bost,b I, < b poljubni točki. Nj bo < x < b. Po predpostvki velj f(x)+f (x)( x) f(), f(x)+f (x)(b x) f(b), torej obe točki (,f()) in (b,f(b)) ležit nd tngento v točki (x,f(x)). Zto (x,f(x)) leži pod dljico s krjiščem (,f()) in (b,f(b)). Ker je x poljubn točk med in b, celoten grf funkcije f med in b leži pod to seknto. Torej je funkcij konveksn. Opomb. Zgornji pogoj nm pove, d je funkcij konveksn, če njen grf leži nd ktero koli tngento in konkvn, če leži pod tngento. Seved p t pogoj predpostvlj obstoj tngente ozirom odvedljivost funkcije. Slik.3. Konkvn in konveksn funkcij Trditev.7.3. Nj bo f : (,b) R odvedljiv. Funkcij f je konveksn n (,b) ntnko tedj, ko je f nrščjoč funkcij n (,b). Funkcij f je konkvn ntnko tedj, ko je f pdjoč funkcij. Dokz. Trditev bomo zopet pokzli le z konveksne funkcije. Konkvnost je podobn. Predpostvimo torej, d je f konveksn. Nj bost < b in nj bo < x < b poljuben. Točk (x,f(x)) leži pod seknto skozi (,f()) ter (b,f(b)). Nj bo k smerni koeficient te seknte. Velj torej f(x) f()+k(x ), f(x) f(b)+k(x b) ozirom f(x) f() k, k f(x) f(b). x x b Če pri prvi neenkosti pošljemo x proti, pri drugi p proti b, dobimo f () k, k f (b). Torej je f () f (b). Ker to velj z poljubn < b je f nrščjoč. Obrt je posledic Lgrngeoveg izrek. Predpostvimo sedj, d je f nrščjoč in nj vlj < x. Potem je f(x) f() = f (ξ)(x ) f ()(x ),

15 .8. L HOSPITALOVO PRAVILO 3 kr ntnko pomeni, d (x,f(x)) leži nd tngento v točki (,f()). Povsem nlogno je z x < f() f(x) = f (ξ)( x) f ()( x), kr zopet pomeni, d (x,f(x)) leži nd tngento v (,f()). V prksi je njbolj primeren nčin ugotvljnj konkvnosti in konveksnosti nslednji: Posledic.7.4. Nj bo f : (,b) R dvkrt odvedljiv. Funkcij f je konveksn n (,b) ntnko tedj, ko je f n (,b). Funkcij f je konkvn ntnko tedj, ko je f n (,b). Dokz. Sledi iz zgornje trditve s pomočjo točk (i) in (ii) iz posledic.5.4. Definicij.7.5. Točk, kjer funkcij spremeni konkvnost v konveksnost ozirom obrtno, se imenuje prevoj. Primer.7.6. Poiščimo intervl nrščnj in pdnj ter konkvnosti in konveksnosti funkcije f(x) = (x +)e x. f (x) = xe x (x +)e x = (x x+)e x = (x ) e x, torej je funkcij ves čs pdjoč. Drugi odvod je enk f (x) = ( x+)e x +(x x+)e x = (x 4x+3)e x = (x 3)(x )e x. Torej je funkcij konveksn n (,3) in (, ) ter konkvn n ( 3, )..8. L Hospitlovo prvilo V tem rzdelku si bomo pogledli, kko si lhko pri rčunnju it tip in pogosto pomgmo z odvodi funkcij. Njprej dokžimo nslednjo pomožno trditev. Trditev.8.. Nj bost f,g : [,b] R zvezni in odvedljivi n (,b). Nj velj g (x) z vsk x (,b). Potem obstj ξ (,b), d velj Dokz. Definirjmo f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ). F(x) = f(x) f(b) f() g(b) g() (g(x) g()). Funkcij F je definirn n [,b] in zvezn n (,b) ter velj F() = F(b). Po Rolleovem izreku obstj ξ (,b), d je F (ξ) =, kr pomeni rvno f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ). Opomb. Lgrngeov izrek je poseben primer zgornje trditve, in g dobimo, če vzmemo g(x) = x. Izrek.8. (L Hospitlovo prvilo ). Nj bost f,g : [,b) R odvedljivi in nj velj g(x) in g (x) z vsk x (,b). Nj velj f() = g() =. Če obstj it f (x) x + g (x),

16 .8. L HOSPITALOVO PRAVILO 4 potem obstj tudi it in velj f(x) x + g(x) f(x) x + g(x) = f (x) x + g (x). Dokz. S pomočjo zgornje trditve immo f(x) x + g(x) = f(x) f() x + g(x) g() = x + f (ξ) g(ξ) = x + f (x) g (x). Pri zdnji enkosti smo upoštevli, d je < ξ < x in d zdnj it dejnsko obstj. Opomb. Izrek smo npisli v bolj splošni obliki, torej z enostrnske ite. Seved potem velj tudi z ite. L Hospitlovo prvilo velj tudi v primeru it tip. Nvedimo izrek brez dokz. Izrek.8.3 (L Hospitlovo prvilo ). Nj bost f,g : (,b) R odvedljivi in nj velj g(x) in g (x) z vsk x (,b). Nj velj x +f(x) = ±, +g(x) = ±. x Če obstj it potem obstj tudi it in velj f (x) x + g (x), f(x) x + g(x) f(x) x + g(x) = f (x) x + g (x). S pomočjo vpeljve nove spremenljivke lhko pokžemo, d nlogn rezultt vljt tudi z ite v neskončnosti. Posledic.8.4. Nj bost f,g : (, ) R odvedljivi pri čemer je g(x) in g (x) z vsk x (, ). Nj velj li li Če obstj it potem obstj tudi it in velj f(x) =, x f(x) = ±, x f (x) x g (x), f(x) x g(x) g(x) = x g(x) = ±. x f(x) x g(x) = f (x) x g (x).

17 .9. RISANJE GRAFOV FUNKCIJ 5 Dokz. Vpeljemo novo spremenljivko y = /x. Potem velj f(x) x g(x) = f(/y) y + g(/y) f (/y)( /y ) = x + g (/y)( /y ) = f (x) x g (x). Primer.8.5. Izrčunjmo ito 3x+. x sin(πx) Ker st tko števec kot imenovlec enk v točki, lhko uporbimo L Hospitlovo prvilo 3 3x+ L H 3x+ = x sin(πx) x πcos(πx) = 3 4π. Primer.8.6. Izrčunjmo ito x Števec in imenovlec st ob enk v neskončnosti. Z L Hospitlovim prvilom dobimo x x e x =L H = x e x =. Primer.8.7. Izrčunjmo ito Limito mlo preoblikujemo Velj x e x. x x. x + x +xx = x +exlnx. lnx L x +xlnx = H /x = x + /x x + /x = x +x =. Ker je e x zvezn, je = = e x +xx x +exlnx x + xlnx = e =. Preden skicirmo grf funkcije f(x):.9. Risnje grfov funkcij (i) S pomočjo izrz f(x) Določimo definicijsko območje funkcije f Ugotovimo obnšnje f n robu definicijskeg območj li mord v ± Njdemo ničle funkcije f (ii) S pomočjo odvod f (x) Določimo intervle nrščnj in pdnj. Določimo loklne in globlne ekstreme. Bolj ntnčno določimo obnšnje v robnih točkh in v ± (simptote) (i) S pomočjo drugeg odvod f (x). Določimo intervle konkvnosti in konveksnosti ter prevoje.

18 .9. RISANJE GRAFOV FUNKCIJ 6 Primer.9.. Čim bolj ntnčno nrišimo grf funkcije f(x) = x lnx +lnx. Definicijsko območje je (, )\{/e}. Obnšnje n robu definicijskeg območj. x lnx x + +lnx = x /lnx x + /lnx+ = = x /e = x /e + x lnx x +lnx = x/lnx x /lnx+ = Ničle so x = in x = e. f (x) = lnx +lnx (+lnx) = +ln x (+lnx) Funkcij je ves čs pdjoč, zto nim loklnih ekstremov. Poglejmo si, pod kkšnim kotom se grf funkcije približuje izhodišču Izrčunjmo drugi odvod +ln x x + (+lnx) =. f (x) = ( lnx) x(+lnx) 3. Drugi odvod je pozitiven n (/e,e) in negtiven n (,/e) (e, ).

19 .9. RISANJE GRAFOV FUNKCIJ 7 /e e Slik.4. Grf funkcije f(x) = x lnx +lnx

20 POGLAVJE Nedoločeni integrl.. Definicij nedoločeneg integrl Definicij... Odvedljiv funkcij F : I R je nedoločeni integrl funkcije f : I R n odprtem intervlu I, če z vsk x I velj F (x) = f(x). Pišemo F(x) = f(x)dx. Primer... Funkcij F(x) = cosx + x / je nedoločeni integrl funkcije f(x) = sinx+x, sj je (cosx+x /) = sinx+x. Vsk funkcij nim nedoločeneg integrl. Poglejmo si primer tke funkcije. Primer..3. Nj bo f : R R definirn kot f(x) = {, x, x > Predpostvimo, d obstj tk odvedljiv funkcij F : R R, d velj F (x) = f(x). Tk funkcij F bo pdl n (,), sj je F (x) = z x < in nrščl n (, ), sj je F (x) = z pozitivne x. Zto mor imeti F v točki x = loklni minimum in s tem F () =, kr p ni res. Seved im funkcij f nedoločeni integrl n intervlu (, ) in tudi n (, ), vendr smo pokzli, d nedoločeneg intervl nim n vsem R. Funkcij f iz teg primer ni zvezn funkcij. Ksneje bomo pokzli, d imjo vse zvezne funkcije nedoločeni integrl. Trditev..4. Če je funkcij F(x) nedoločeni integrl funkcije f(x), je z vsk C R tudi funkcij G(x) = F(x) + C tudi nedoločeni integrl funkcije f. Obrtno, če st F(x) in G(x) nedoločen integrl funkcije f n odprtem intervlu I, obstj C R, d je G(x) = F(x)+C. Dokz. Prvi del je preprost, sj je (F(x)+C) = F (x)+ = f(x). Obrtno, nj bost F,G ob nedoločen integrl funkcije f n I in definirjmo H(x) = G(x) F(x). Velj H (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) =. Nj bost x,y I poljubni števili. Po Lgrngeovem izreku je H(y) H(x) = H (ξ)(y x) =. Torej je H(x) = H(y). Ker to velj z vsk pr števil, je funkcij H konstnt, torej H(x) = C z nek C R in s tem G(x) = F(x)+C... Integrli nekterih elementrnih funkcij Večino spodnjih integrlov dobimo preprosto tko, d preberemo nzj tbelo odvodov. Pri ostlih integrlih p lhko veljvnost preverimo preprosto z odvjnjem. Bomo p ksneje nektere od teh formul tudi smostojno izpeljli. 8

21 .3. LASTNOSTI NEDOLOČENEGA INTEGRALA 9 f(x) f(x)dx x + x+ +C, x lnx+c e x e x +C x ln x +C lnx xlnx x+c sinx cosx+c cosx sinx+c tnx ln cosx +C rcsinx xrcsinx+ x +C rccosx xrccosx x +C rctnx xrctnx ln+x +C shx chx+c chx shx+c x + rctn x +C rcsin x x +C x ± ln x+ x ± +C x ± x x ± ± ln x+ x ± +C.3. Lstnosti nedoločeneg integrl Nslednji dve lstnosti nedoločeneg integrl sledit direktno iz definicije in linernosti odvod (f(x)±g(x)) dx = f(x)dx± g(x) dx λf(x)dx = λ f(x)dx. Bolj podrobno si oglejmo metodo integrcije po delih (per-prtes) in zmenjvo spremenljivke. Trditev.3. (per-prtes). Nj bost f(x) in g(x) odvedljivi. Potem velj f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Dokz. Dokz je posledic Leibnizove formule z odvod produkt Če obe strni integrirmo, dobimo (f(x)g(x)) dx = (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x). f (x)g(x)dx+ f(x)g (x)dx, in ker je (f(x)g(x)) dx po definiciji enk f(x)g(x) dobimo zgornjo formulo. Opomb. Nj bo f(x) odvedljiv funkcij. Oznki df = f (x)dx rečemo diferencil funkcije f. S pomočjo te oznke lhko zgornjo formulo krjše npišemo kot udv = uv vdu, kjer smo oznčili u = f(x) in v = g(x). Formulo z integrcijo po delih lhko rzumemo kot (ne preveč dober) poskus formule z integrcijo produkt dveh funkcij. Trditev.3. (substitucij). Nj bo F(x) nedoločeni integrl funkcije f(x) ter φ(x) odvedljiv funkcij. Potem velj F(φ(t)) = f(φ(t))φ (t)dx.

22 .3. LASTNOSTI NEDOLOČENEGA INTEGRALA Dokz. Formul je direktn posledic verižneg prvil z odvod: (F(φ(t))) = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ(t). Obe strni le še integrirmo. Opomb. Prvilo substitucije običjno uporbimo n nslednji nčin. Recimo, d žeo izrčunti integrl f(x)dx. Uvedemo novo spremenljivko t s pomočjo formule x = φ(t) in izrčunmo integrl G(t) = f(φ(t))φ (t)dt. Potem je F(x) = f(x)dx = G(φ (x)). Primer.3.3. S pomočjo integrcije po delih izrčunjmo integrl x sinxdx. x sinxdx = x cosx+ xcosxdx = x cosx+xsinx sinxdx = x cosx+xsinx+cosx+c. Primer.3.4. S pomočjo integrcije po delih izrčunjmo integrl e x sinxdx. e x sinxdx = e x cosx+ e x cosxdx = e x cosx+e x sinx e x sinxdx. Tko dobimo e x sinxdx = ex (sinx cosx)+c. Primer.3.5. Izrčunjmo integrl xe x dx. Vpeljimo substitucijo x = t. Potem je dx = t dt. Dobimo te xε x t dx = t dt = e t dt = e t +C = e x +C. Primer.3.6. Izrčunjmo integrl tnxdx.

23 .4. INTEGRACIJSKE METODE Uvedimo substitucijo t = cosx. Potem je dt = cosxdx. sinx dt tnxdx = cosx dx = t = ln t +C = ln cosx +C..4. Integrcijske metode Integrcij rcionlnih funkcij. V tem rzdelku bomo pogledli metodo, ki nm (pod določenimi pogoji) omogoč integrcijo rcionlnih funkcij. Rdi bo torej izrčunli integrl p(x) R(x)dx = q(x) dx, kjer st p(x) in q(x) poljubn polinom. Postopek je nslednji:. Če je stopnj polinom p večj li enk stopnji polinom q polinom njprej deo. Tko dobimo p(x) q(x) dx = r(x) p (x)dx+ q(x) dx, pri čemer st p in r polinom, in je stopnj r mnjš od stopnje q. Prvi integrl preprosto izrčunmo, z drugeg p postopek ndljujemo.. Polinom q rzcepimo n nerzcepne fktorje: q(x) = (x ) n (x k ) n k (x +p x+q ) m (x +p l x+q l ) m l 3. Rcionlno funkcijo r(x) q(x) rzcepimo n prcilne ulomke r(x) q(x) = A (x ) + A (x ) + + A n + n (x ) + Ak (x k ) + A k (x k ) + + A k n k (x k ) n k + C x+d (x +p x+q ) + Cx+D (x +p x+q ) + + Cn x+dn (x + m +p x+q ) + Cl x+d l (x +p l x+q l ) + C l x+d l (x +p l x+q l ) + + Cl n x+d l n (x +p l x+q l ) m l 3. Vskeg od sumndov v rzcepu n prcilne ulomke integrirmo. Izrčunti mormo torej znti nslednje tipe integrlov dx dx (i) (ii) x (x ) n x+b (iii) x +px+q dx (iv) x+b (x +px+q) n dx, pri čemer je kvdrtni polinom v imenovlcu zdnjih dveh integrlov nerzcepen, torej nim relnih ničel. Poglejmo vskeg od zgornjih integrlov. (i) dx x = ln x +C, (ii) dx (x ) n = n (x ) n +C,

24 .4. INTEGRACIJSKE METODE (iii) Oznčimo z D = p 4q diskriminnto kvdrtneg polinom v imenovlcu integrl x+b x +px+q. Ker smo predpostvili, d je t kvdrtni polinom nerzcepen, je D <. Njprej pišemo Zto je x+b x +px+q dx = p x+b x +px+q = (x+p)+(b x +px+q ) x+p b+p x dx+ +px+q. dx x +px+q. Prvi integrl lhko preprosto izrčunmo s pomočjo vpeljve nove spremenljivke t = x +px+q, dt = x+p: x+p dt x +px+q = t = ln t = ln(x +px+q). Pri drugem integrlu njprej kvdrtni polinom x + px + q zpišemo v temenski obliki ( x +px+q = x+ p ) 4q p ( + = x+ p ) D Če vpeljemo novo spremenljivko t = x+p/ preprosto dobimo dx x +px+q = dx dt ( x+ p) = ( + D D ) 4 t + = D rctn t D = D rctn x+p D. Če združimo skupj, dobimo pri D = p 4q < x+b x +px+q dx = ln(x +px+q) (iv) Pri integrlu + b p rctn (x +px+q) +C. D D x+b (x +px+q) n dx bomo nekoliko mnj ntnčni, in bomo smo pokzli, kkšn je oblik rezultt. Oznčimo zopet D = p 4q <. Podobno kot zgorj, nredimo njprej rzcep b p x+b (x +px+q) n = (x+p)+ (x +px+q) n. Zto je x+b (x +px+q) n dx = (x +px+q) b p (x dx+ +px+q) n dx (x +px+q) n.

25 .4. INTEGRACIJSKE METODE 3 Prvi integrl je (x +px+q) (x +px+q) n dx = n (x +px+q) n. Poglejmo si še drugi integrl dx (x +px+q) n = = 4n ( D) n dx ( (x+p/) + ( ) n = ( D ( D ) ) n dx ( ( ) ) n D (x+p/) + dt (t +) n kjer je t = D (x+p/). Torej mormo izrčunti integrl dt I n = (t +) n. Poskusimo z integrcijo po delih dt (t +) n = t (t +) n +n t dt (t +) n+ t = (t +) n +n t dt (t +) n+ t (t = (t +) n +n +) (t dt +) n+ = t (t +) n +n dt (t +) n n Torej dobimo formulo I n+ = t n(t +) n + n n I n ozirom I n = t n 3 n (t + +) n n I n. Induktivno lhko iz te formule izpeljemo, d je I n = P(t) (t +Arctnt, +) n dt (t +) n+. kjer je P(t) nek polinom stopnje n 3 in A nek konstnt. Če vrnemo v rezultt prvotno spremenljivko in združimo, dobimo x+b (x +px+q) n dx = P(x) (x +px+q) n +Aln(x +px+q)+brctn (x +px+q) D +C, kjer je polinom P nek polinom (ni poljuben, vendr g nismo ntnčno izrčunli) stopnje mnjše li enke n 3 in st A in B neki konstnti.

26 .4. INTEGRACIJSKE METODE 4 Če zberemo vse skupj dobimo, d je integrl r(x) q(x) dx oblike r(x) q(x) dx = P(x) (x ) n (x k ) n k (x +p x+q ) m (x +p l x+q l ) m l +A ln x + +A k ln x k +B ln(x +p x+q )+ +B l ln(x +p k x+q k ) +C rctn (x +p x+q ) D + +C l rctn (x +p k x+q k ) D, kjer je P(x) stopnje njveč (n )+ (n k )+(m )+ (m l ), torej eno mnj kot v imenovlcu. Zdnjo formulo lhko rzumemo kot nstvek z izrčun integrl rcionlne funkcije. Kot smo videli, z t nstvek potrebujemo rzcep polinom q n nerzcepne fktorje. Le to je v splošnem zelo težko doseči, sj od ns prvzprv zhtev, d poiščemo vse ničle (relne in kompleksne) polinom q. V kolikor nm to uspe, uporbimo zgornji nstvek in preko odvjnj določimo konstnte. Poglejmo si to n nekj primerih Primer.4.. Izrčunjmo integrle 3x 3 + x 3 +x dx x +x+ x 4 +4x dx 3x+5 (x +x+) dx Integrli trigonometričnih funkcij. Poglejmo si integrle oblike R(sinϕ,cosϕ)dϕ, kjer je R nek rcionln funkcij dveh spremenljivk. Tk integrl lhko vedno prevedemo n integrl neke rcionlne funkcije (kr smo obrvnvli zgorj) s pomočjo substitucije Poglejmo si zkj. Velj zto velj x = tn ϕ. +tn ϕ = cos ϕ, cos ϕ = +x, sin ϕ = cos ϕ = x +x, in zto ter sinϕ = sin ϕ cos ϕ = x +x cosϕ = cos ϕ sin ϕ = x +x.

27 Izrčunjmo še dφ in zto.4. INTEGRACIJSKE METODE 5 dx = cos ϕdϕ dϕ = +x. Prvotni integrl po uvedbi nove spremenljivke postne R(sinϕ,cosϕ)dϕ = R ( x x +x, +x Primer.4.. Izrčunjmo integrl cosϕ +cosϕ dϕ. Po vpeljvi nove spremenljivke x = tn ϕ x cosϕ +cosϕ dϕ = +x = + x +x x +x dx = +x dx ) +x dx, prevedemo integrl ( + +x ) dx = x+rctnx+c = tn ϕ +rctntn ϕ +C = tn ϕ +φ+c Poglejmo si sedj nekj posebnih primerov, ko lhko uvedemo bolj prijzno substitucijo. Pri integrlu oblike R(sin ϕ,cosϕ)sinϕdφ uvedemo novo spremenljivko x = cosϕ, ki nm integrl prevede v integrl R(sin ϕ,cosϕ)sinϕdφ = R( x,x)dx. Podobno pri integrlu R(cos ϕ,sinϕ)cosϕdφ uvedemo novo spremenljivko x = sinϕ, ki nm integrl prevede v integrl R(cos ϕ,sinϕ)cosϕdφ = R( x,x)dx.

28 Primer.4.3. Izrčunjmo integrl Integrl lhko preoblikujemo v.4. INTEGRACIJSKE METODE 6 sin ϕ cos 3 ϕ dϕ. sin ϕ cos 4 ϕ cosϕdϕ in je zgornje oblike. Vpeljemo novo spremenljivko x = sinϕ in dobimo sin ϕ cos 3 ϕ dϕ = = x ( x ) dx x (x ) (x+) dx = x x + 4 ln x 4 ln x+ +C = sinϕ cos ϕ + sinϕ ln 4 +sinϕ +C kr lhko izrčunmo po metodi z integrcijo rcionlnih funkcij. Kot zdnji si oglejmo še integrl oblike R(sin ϕ,cos ϕ)dϕ, torej integrl, kjer funkciji kosinus in sinus ob nstopt le v sodih potench. V tem primeru uvedemo substitucijo ki nm s pomočjo formul prevede integrl v cos ϕ = R(sin ϕ,cos ϕ)dϕ = x = tnϕ, +tn ϕ = +x sin ϕ = cos ϕ = x +x dϕ = cos ϕdx = dx +x Primer.4.4. Izrčunjmo integrl +cos ϕ dϕ. ( ) x R +x, +x +x dx.

29 .4. INTEGRACIJSKE METODE 7 Po uvedbi spremenljivke x = tnϕ prevedemo integrl v +cos ϕ dϕ = + +x +x dx = +x dx = rctn x +C = rctn tnϕ +C

30 POGLAVJE 3 Določeni li Riemnnov integrl 3.. Definicij določeneg integrl Definicij 3... Nj bo f : [,b] R omejen funkcij, definirn n zprtem intervlu. S točkmi = x < x < x < < x n = b rzdeo intervl [, b] n n podintervlov. Vsk tk izbor točk D = {x,x,...,x n } imenujemo prticij intervl [, b]. Oznčimo m k = inf{f(x),x [x k,x k ]}, M k = sup{f(x),x [x k,x k ]}, in definirmo vsoti n s(d) = m k (x k x k ), S(D) = k= n m k (x k x k ). s(d) imenujemo spodnj Drbouxov vsot funkcije f prirejen delitvi D, S(D) p zgornj Drbouxov vsot prirejen delitvi D. k= Slik 3.. Spodnj in zgornj Drbouxov vsot Definicij 3... Nj bo D je finejš od delitve D, če je D D. To pomeni, d delitev D dobimo tko, d delitvi D mord dodmo še nove delilne točke. Trditev Nj bo f : [,b] R omejen funkcij in D,D delitvi intervl [,b]. Nj bo delitev D finejš od delitve D. Potem velj s(d) s(d ), S(D ) S(D). Dokz. Ker je delitev D finejš od delitve D, smo dobili delitev D tko, d smo delitvi D dodli še nekj točk. Dovolj je torej, če pokžemo, d vskič ko neki delitvi dodmo še eno točko, s tem povečmo spodnjo 8

31 3.. DEFINICIJA DOLOČENEGA INTEGRALA 9 Drbouxovo vsoto in zmnjšmo zgornjo Drbouxovo vsoto. Nj bo torej D = D {x }. Recimo, d se t nov točk x nhj n podintervlu [x k,x k ]. Nj m k infimum funkcije f n intervlu [x k,x k ], m infimum n intervlu [x k,x ] in m infimum na intervlu [x,x k ]. Velj m m k in m m k. Zto je s(d ) = s(d) m k (x k+ x k )+m (x x k )+m (x k x ) = s(d)+(m m k )(x x k )+(m m k )(x k x ) s(d). Anlogno dokžemo S(D ) S(D). Trditev Nj bo f : [,b] R omejen funkcij in D,D poljubni delitvi intervl [, b]. Potem velj s(d ) S(D ). Dokz. Nredimo novo delitev D = D D. T delitev je finejš od obeh delitev D in D. Iz prejšnje trditve sledi s(d ) s(d ) S(D ) S(D ). Vzemimo sedj omejeno funkcijo f : [, b] R. Spodnje Drbouxove vsote so nvzgor omejene, sj z vsko delitev D velj s(d) S(D ), pri čemer lhko vzmemo z D ktero koli delitev. Lhko npr. vzmemo D = {,b}, in tko dobimo s(d) M(b ), M = supf. Podobno so vse zgornje Drbouxove vsote nvzdol omejene z npr. Zto lhko oznčimo S(D) m(b ), m = inff. I = sup{s(d),d poljubn delitev [,b]} I = inf{s(d),d poljubn delitev [,b]}. Seved velj I I, sj je s(d) s(d ) z poljubni delitvi D,D. Vrednosti I in I imenujemo spodnji ozirom zgornji integrl funkcije f n intervlu [, b]. Definicij Omejen funkcij f : [,b] R je (Riemnnovo) integrbiln n intervlu [, b], če velj I = I. V tem primeru oznčimo vrednost I (= I ) z b f(x)dx in ji rečemo Riemnnov ozirom določeni integrl funkcije f n intervlu [,b]. Trditev Omejen funkcij f : [,b] R je integrbiln n [,b] ntnko tedj, ko z vsk ε > obstj delitev D intervl [,b], d velj S(D) s(d) < ε.

32 3.. DEFINICIJA DOLOČENEGA INTEGRALA 3 Dokz. Predpostvimo njprej, d je f integrbiln n [,b]. Ker je I supremum vrednosti s(d), obstj D, d je s(d ) I ε/. Podobno obstj delitev D, d je S(D) < I ε/. Oznčimo D = D D. Ker je t delitev finejš tko od D kot tudi D, velj s(d) s(d ) in S(D) S(D ). Ker je f integrbiln, je I = I in zto S(D) s(d) = S(D) I +I s(d) < ε/+ε/ = ε. Pokžimo še obrt. Nj bo ε poljuben. Potem obstj delitev D, d je Zto velj S(D) s(d) < ε. I I S(D) s(d) < ε. Ker je ε poljuben, je I = I. Izrek Vsk zvezn funkcij n intervlu [, b] je integrbiln. Dokz. Če je f n [,b] zvezn, je n [,b] enkomerno zvezn. Nj bo ε > in nj bo δ tk, d bo f(x) f(x ) < ε b če le velj x x < δ. Nj bo D = {x,x,...,x n } poljubn delitev, ktere dolžin njdljšeg podintervl je mnjš od δ. Nj bost m k in M k infimum (minimum) in supremum (mksimum) n intervlu [x k,x k ]. Potem velj M k m k < ε b in velj S(D) s(d) = (M k m k )(x k x k ) < ε b k= n (x k x k ) = ε. k= Torej je f integrbiln n [,b]. Posledic Nj bo funkcij f : [,b] R omejen in zvezn n (,b). Potem je f integrbiln n [,b]. Dokz. Nj bo ε > in nj bo δ ε < 4(M m), kjer je M = sup [,b]f in m = inf [,b] f. Funkcij f je zvezn n [+δ,b δ], zto je tu integrbiln po zgornjem izreku. Nj bo D delitev intervl [ + δ,b δ ], tko d je S(D ) s(d ) < ε/. Potem je D = D {,b} delitev intervl [,b], in velj S(D) s(d) (M m)δ +S(D ) s(d) < ε/+ε/ = ε. Torej je f integrbiln po trditvi Izrek Vsk monoton funkcij n [, b] je integrbiln. Dokz. Predpostvimo, d je f nrščjoč (nlogno dokžemo z pdjoče funkcije). Nj bo ε > poljuben in D = {x,x,...,x n } poljubn delitev, z ktero je dolžin njdljšeg podintervl mnjš od ε f(b) f().

33 Potem velj Torej je f integrbiln. 3.. DEFINICIJA DOLOČENEGA INTEGRALA 3 S(D) s(d) = = < n (M k m k )(x k x k ) k= n (f(x k ) f(x k )(x k x k ) k= ε f(b) f() n f(x k ) f(x k ) k= ε = f(b) f() ((f(b) f()) = ε Nslednji izrek nvedimo brez dokz. Dokz je očiten z zvezne funkcije, sj v tem primeru tudi kompozitum zvezn funkcij. Izrek 3... Nj bo f integrbiln funkcij n [,b] in g zvezn funkcij n [m,m], kjer je m = inff in M = supf. Potem je g f integrbiln n [,b]. Primer 3... Izrčunjmo določeni integrl funkcije f(x) = x n intervlu [,]. Ker je funkcij zvezn, je integrbiln. Nj bo D n = {, n, n,...,} delitev intervl [,]. Velj n ( ) k s(d n )) = n n = n n 3 k = (n )n(n 6n 3 in Ker velj je S(D n )) = k= n k= ( ) k n n = n 3 k= n k= s(d n) = S(D n) = n n 6, x dx = 6. k = n(n+)(n+ 6n 3 Seved je tkšno rčunnje integrl neprktično. Ksneje bomo videli, kko je določeni integrl povezn z nedoločenim, kr nm bo omogočlo lžje rčunnje podobnih integrlov. Poglejmo si še primer funkcije, z ktero integrl ne obstj. Primer 3... Definirjmo f(x) = {, x R\Q, x Q Z vsko delitev D intervl [,b] velj s(d) = in S(D) = b. Torej določeni integrl funkcije f ne obstj n nobenem intervlu [, b]..

34 3.. LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA Lstnosti določeneg integrl Trditev 3... Nj bost f in g integrbilni n [,b] in λ R. Potem velj (i) f+g integrbiln n [,b] in velj b (f(x)+g(x))dx = b f(x)dx+ b g(x)dx. (ii) λf je integrbiln n [,b] in velj b λf(x)dx = λ b f(x)dx. (iii) fg je integrbiln n [,b]. Dokz. (i) Nj bo D = {x,x,...,x n } poljubn delitev intervl [,b]. Nj bodo m k = inf{f(x) + g(x),x [x k,x k ]}, m k = inf{f(x),x [x k,x k ]}, m k = inf{g(x),x [x k,x k ]}. Potem velj m k > m k + m k in zto s f (D)+s g (D) = n m k (x k x k )+ k= n k= n m k (x k x k ) = s f+g (D), k= m k (x k x k ) kjer smo z s f (D),s g (D) in s f+g (D) oznčili spodnje Drbouxove vsote pripdjočih funkcij. Podobno velj in skupj S f (D)+S g (D) S f+g (D) S f (D)+S g (D) S f+g (D) s f+g (D) s f (D)+s g (D). NjboD tkdelitev, dje b f(x)dx s f(d ) < εins f (D ) b f(x)dx < ε in D tk, d je b g(x)dx s g(d ) < ε in S g (D ) b g(x)dx < ε in nj bo D = D D. Potem je s f+g (D) b f(x)dx b g(x)dx < S f(d)+ S g (D) s f (D) s g (D) < εinpodobno S f+g (D) b f(x)dx b g(x)dx < S f (D)+S g (D) s f (D) s g (D) < ε. Ker jeεpoljuben, jef+g integrbiln, in velj zgornj formul. (ii) Predpostvimo njprej, d je λ >. Nj bo D = {x,x,...,x n } poljubn delitev, m k = inf{f(x),x [x k,x k ]} in M k = sup{f(x),x [x k,x k ]}. Ker je supλf = λsupf in infλf = λinff je s λf (D) = λs f (D), S λf (D) = λs f (D) dobimo točko (ii). (iii) Če st f in g zvezni, to sledi iz dejstv, d je tudi fg zvezn. Če p st zgolj integrbilni, p uporbimo formulo fg = ((f +g) f g ) in dejstvo, d je z integrbilno funkcijo tudi njen kvdrt integrbilen, kr sledi iz izrek 3... Trditev 3... Če st f in g integrbilni n [,b] in velj f(x) g(x) z vsk x [,b], potem velj b f(x)dx b g(x) dx.

35 3.. LASTNOSTI DOLOČENEGA INTEGRALA 33 Dokz. Pri vski delitvi D intervl [,b] velj s f (D) s g (D). Zto velj b f(x)dx = sups f (D) D D s g (D) = b g(x) dx. Trditev Če je f integrbiln n [,b], je n [,b] integrbiln f in velj b b f(x)dx f(x) dx. Dokz. D je f integrbiln sledi iz izrek 3... Nj bo D = {x,x,...,x n } poljubn delitev [,b]. Nj bost m k ter M k infimum in supremum funkcije f n [x k,x k ] in m k,m k infimum in supremum funkcije f n tem intervlu. Velj n n s f (D) = m k (x k x k ) M k (x k x k ) = S f (D). Zto je b k= k= f(x)dx = sup s f(d) infs f (D) = b f(x) dx. Izrek Nj bodo < c < b. Potem je funkcij f integrbiln n [,b] ntnko tedj, ko je integrbiln n [,c] in [c,b] in velj b f(x)dx = c f(x)dx+ b c f(x)dx. Dokz. Nj bo ε > in D tk delitev intervl [,b], d je S(D) s(d) < ε. Nj bo D = (D [,c]) {c} in D = (D [c,b]) {c}. Potem st D in D zporedom delitvi intervlov [,c] in [c,b] in velj ε > S(D) s(d) S(D D ) s(d D ) = (S(D ) s(d ))+(S(D ) s(d )). Zto velj S(D ) s(d ) < ε in S(D ) s(d ) < ε in je f integrbiln n [,c] in [c,b]. Dokžimo še obrt. Nj bost D in D delitvi zporedom intervlov[,c]in[c,b],dveljs(d ) s(d ) < ε/ins(d ) s(d ) < ε/. Nj bo D = D D. Potem je S(D) s(d) = S(D )+S(D ) s(d ) s(d ) < ε/+ε/ = ε. Dokžimo še enkost. Velj b f(x)dx = sups(d) = sups(d {c}) = sups(d )+sups(d ) = c f(x)dx+ b c f(x)dx, kjer smo z D oznčili delitve intervl [,b], z D delitve intervl [,c] in D delitve intervl [c,b].

36 3.3. OSNOVNI IZREK INTEGRALSKEGA RAČUNA 34 Trditev Nj bo f integrbiln n [,b] in nj bo m = inff in M = supf. Potem velj m(b ) b f(x)dx M(b ). Dokz. Dokz je očiten, sj z vsko delitev D = {x,x,...,x n } velj n m(b ) = m(x k x k ) Torej velj tudi k= n m k (x k x k ) k= m(b ) sups(d) = D n M(x k x k ) = M(b ). k= b f(x)dx M(b ). Posledic 3..6 (Izrek o povprečni vrednosti). Nj bo f zvezn n [,b]. Potem obstj ξ [,b], d velj f(ξ) = b Dokz. Iz zgornje trditve sledi m b b b f(x)dx f(x)dx M, kjer je m = min [,b] f, M = mx [,b] f. Ker zvezn funkcij zvzme vse vrednosti med minimumom in mksimumom, obstj tk ξ [,b], d velj f(ξ) = b b f(x)dx Osnovni izrek integrlskeg rčun V tem rzdelku bomo pogledli, kkšn je povezv med določenim in nedoločenim integrlom. Izrek 3.3. (Osnovni izrek integrlskeg rčun). Nj bo f : [,b] R zvezn funkcij. Definirmo F(x) = x f(t)dt. Potem je funkcij F : [,b] R odvedljiv in velj F (x) = f(x). Dokz. Nj x (,b) poljuben in h mjhen. Potem je x+h F(x+h) F(x) f(t)dt x = f(t)dt h h = h x+h x f(t)dt = f(ξ)

37 3.4. ZAMENJAVA SPREMENLJIVK IN PER-PARTES V DOLOČENEM INTEGRALU35 kjer je ξ neko število med x in x+h (posledic 3..6). Ko gre h proti gre seved ξ proti x. Ker je f zvezn v x zto velj F(x+h) F(x) = f(ξ) = f(x). h h h V primeru, ko je x = oz. x = b n enk nčin vidimo, d obstjt desni oz. levi odvod funkcije F in st enk f() oz. f(b). Opomb. Osnovni izrek integrlskeg rčun velj tudi v bolj strogi obliki: Nj bo f integrbiln n [,b] in zvezn v točki x. Potem je F(x) = x f(t)dt zvezn n [,b] in odvedljiv v x in velj F (x ) = f(x ). Dokz te trditve ne nekoliko bolj zhteven. Osnovni izrek integrlskeg rčun im nslednji dve neposredni posledici. Posledic Nj bo f : [,b] R zvezn. Potem je funkcij F(x) = x f(t)dt nedoločeni integrl funkcije f. Torej im vsk zvezn funkcij nedoločeni integrl. Posledic Nj bo f : [,b] R zvezn in F : [,b] R nedoločeni integrl funkcije f. Potem velj b f(x)dx = F(b) F(). Dokz. Nj bo G(x) = x f(t)dt. Ker st tko F kot G nedoločen integrl funkcije f velj F(x) = G(x)+C. Tko je F(b) F() = G(b) G() = b f(t)dt f(t)dt = Primer Ker je (x 3 /3) = x je x dx = x3 3 = = 3. b f(x)dx Zmenjv spremenljivk in per-prtes v določenem integrlu Izrek 3.4. (zmenjv spremenljivke). Nj bo f : [, b] R zvezn funkcij in ϕ : [α,β] R zvezno odvedljiv, pri čemer velj ϕ(α) = in ϕ(β) = b. Potem velj b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt.

38 3.4. ZAMENJAVA SPREMENLJIVK IN PER-PARTES V DOLOČENEM INTEGRALU36 Dokz. Nj bo F nedoločeni integrl funkcije f. Le t obstj, sj je f zvezn funkcij. Nj bo G(t) = F(ϕ(t)). Ker velj G (t) = F (ϕ(t))ϕ (t), je G(t) nedoločeni integrl f(ϕ(t))ϕ (t). Zto velj β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt = G(β) G(α) = F(b) F() = Primer Izrčunjmo integrl x dx. V integrl uvedimo substitucijo x = sint. Potem velj π/ π/ sin tcostdt = cos tdt. b f(x)dx. T integrl bi sicer lhko nprej z mlo trud izrčunli tko, d bi njprej izrčunli nedoločeni integrl.lhko p se lotimo tkole. Ker je ploščin pod grfom funkcije sin t in cos t enko med t = in t = π/ velj in ker je je π/ sin dt+ π/ π/ cos dt = sin dt = π/ π/ π/ cos dt sin +cos dt = cos tdt = π/4. π/ dt = π/, Ker je grf funkcije f(x) = x predstvlj del krožnice s središčem v in rdijem, ki leži v prvem kvdrntu, smo s tem izrčunli, d je ploščin krog z rdijem enk π. Izrek (per-prtes). Nj bost f in g zvezno odvedljivi funkciji n intervlu [, b]. Potem velj Zto je b Dokz. Velj b f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() b (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x). (f(x)g(x)) dx = b f (x)g(x)dx+ b f (x)g(x)dx. f(x)g (x)dx ozirom b f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g() b f (x)g(x)dx.

39 3.4. ZAMENJAVA SPREMENLJIVK IN PER-PARTES V DOLOČENEM INTEGRALU37 Primer Izrčunjmo integrl I n = π/ Če uporbimo per-prtes formulo, dobimo I n = Zto velj π/ sin n xsinxdx = (sin n xcosx) π/ + = +(n ) = (n ) π/ π/ π/ sin n xdx. sin n x( sin x)dx sin n xdx (n ) = (n )I n (n )I n Če je n sod, dobimo sj je Če je n lih, dobimo sj je Ker velj velj ozirom I n = n n I n. I n = (n )(n 3) n(n ) I = π/ I n = (n )(n 3) n(n ) 3 I = π/ (n )sin n xcosxcosxdx π/ sin n xdx I = (n )!! π n!!, dx = π/. I = (n )!!, n!! sinxdx =. sin k x sin k x sin k+ x (k)!! (k +)!! Če mlo premečemo, dobimo oceno ( (k)!! k + (k )!! I k+ > I k > I k (k )!! π < (k)!! ) < π < k < (k )!! (k )!!. ( ) (k)!!. (k )!!

40 3.5. IZLIMITIRANI INTEGRAL 38 Ker velj velj ( ) (k)!! k (k )!! = (k)(k +) k ( (k)!! k + (k )!! ) < π/ k ( (k)!! (k )!! ( ) (k)!! = π k + (k )!!. ) k, 3.5. Izitirni integrl Že iz definicije Riemnnoveg sledi, d mor z integrbilnost funkcij biti omejen. Prv tko definicij zhtev, d je intervl, n kterem funkcijo integrirmo omejen. V tem rzdelku bomo pogledli, kko lhko rzširimo definicijo integrl tudi n primere neskončnih li pol neskončnih integrlov ter neomejenih funkcij. Definicij Nj bo f : (,b] R zvezn neomejen funkcij. Če obstj it b f(x)dx ε + +ε jo imenujemo izitirni integrl funkcije f n intervlu (, b], rečemo d integrl konvergir in ito oznčimo z b f(x)dx. Če it ne obstj, rečemo, d integrl divergir. Podobno definirmo izitirni integrl zvezne neomejene funkcije f : [,b) R kot b b ε f(x)dx = f(x)dx, ε + če it seved obstj. Poglejmo si nekj primerov. Primer Poglejmo si integrl kjer je s <. b x s dx, x s dx = ε + ε xs ε + ( s) ε = ε + s ( s) ε s s sj je s >. Torej izitirni integrl obstj in je enk Poskusimo sedj izrčunti x s dx = s. x dx. = s,

41 V tem primeru je ε + b ε 3.5. IZLIMITIRANI INTEGRAL 39 dx = x ε + lnx ε = lnε. ε + Ker t it ne obstj, integrl x dx divergir, kr pomeni, d ne obstj. Ker z s > n intervlu (,) velj x > s x, integrl x s dx divergir z vsk s. Posplošitev zgornjih dveh primerov je nslednji izrek, ki g nvedimo brez dokz. Izrek Nj bo f zvezn n intervlu [, b]. Izitirni integrl b f(x) (x ) s dx obstj, če je s <. Če je s in f(), t integrl divergir. Definicij Nj bo f : [, ) R zvezn funkcij. Če obstj it b b f(x)dx jo imenujemo izitirni integrl funkcije f n intervlu [, ), rečemo d integrl konvergir in ito oznčimo z f(x)dx. Če it ne obstj, rečemo, d integrl divergir. Podobno definirmo integrl funkcij n (, ]. Primer Poglejmo si integrl kjer je s >. b b x s dx, dx = xs b ( s)x s b = b ( s)b s + s = s. Torej z s > izitirni integrl obstj in je enk Poskusimo sedj izrčunti x s dx = s. x dx.

42 3.5. IZLIMITIRANI INTEGRAL 4 V tem primeru je b dx = b x b lnx b = lnb. b Ker t it ne obstj, integrl x dx divergir, kr pomeni, d ne obstj. Podobno potem z vsk s integrl x dx divergir. s Zopet brez dokz nvedimo bolj splošen izrek Izrek Nj bo f zvezn in omejen n intervlu [, ). Izitirni integrl b f(x) x s dx obstj, če je s >. Če je s in f() > δ z vse x m, t integrl divergir. V primeru, ko immo n integrcijskem območju več problemov, mormo vskeg obrvnvti posebej. Poglejmo si dv primer. Primer Poglejmo si konvergenco integrl x x dx. Z obstoj integrl immo težvo pri in v. Integrl zto rzdeo n dv integrl x x dx = x x dx+ x x dx. Prvotni integrl bo obstjl ntnko tedj, če obstjt vsk od integrlov. Poglejmo prvi integrl x x dx = x x+ x dx. Ker je funkcij x zvezn n [,] integrl obstj, sj immo v imenovlcu (x ). Prv tko obstj drugi integrl, ker x+ je x x dx = x x x dx x in je funkcij x omejen. Prvotni integrl torej obstj. Primer Z ktere α obstj integrl rctn x x α dx? Problem obstoj teg integrl je tko v kot seved v. Zto integrl rzbijemo n dv integrl, in vskeg obrvnvmo posebej rctn x x α dx = rctn x x α dx+ rctn x x α dx.

43 Obrvnvjmo njprej prvi integrl IZLIMITIRANI INTEGRAL 4 rctn x x α dx = (rctn x)/x x α Oznčimo g(x) = (rctnx)/x. Ker velj x g(x) =, lhko rzumemo g kot zvezno funkcijo n [,], ki v nim ničle. Zto integrl obstj, če in smo če velj α <, ozirom α <. Poglejmo si še drugi integrl rctn x x α Ker je funkcij rctnx omejen in velj x rctnx = π/, integrl obstj če in smo če velj α >. Prvoten integrl obstj ntnko tedj, ko obstjt ob integrl, torej, ko je < α <. Eulerjev Γ funkcij. Kot primer izitirneg integrl si poglejmo definicijo funkcije Γ, ki je en pomembnejših funkcij v mtemtiki. Definicij Eulerjev Γ funkcij je funkcij, definirn n (, ) s zpisom Γ(s) = dx. x s e x dx. Poglejmo si njprej, d integrl dejnsko obstj z vsk s >. Ker je težv tko v kot v zpišemo x s e x dx = x s e x dx+ dx. x s e x dx. Prvi integrl zgotovo obstj ntnko tedj, ko je s >. D ugotovimo obstoj drugeg integrl, pišimo x s e x dx = x s+ e x dx. Ker je x x s+ e x = pri kterem koli s, integrl obstj. Funkcij Γ(s) je torej dobro definirn z vsk s >. Velj Poglejmo si še Γ( ). Γ( ) = Γ() = x e x dx u= x = x e x dx = e x =. e u du = e u du. Zdnjeg integrl še ne znmo izrčunti. Preprost izrčun je mogoč z uporbo dvojneg integrl. Velj p torej je e u du = π, Γ( ) = π. Trditev Z vsk s > velj Γ(s+) = sγ(s).

44 3.6. UPORABA INTEGRALA V GEOMETRIJI 4 Dokz. Formulo dokžimo s pomočjo integrcije po delih. Γ(s+) = b b x s e x dx ( = x s e x b +s b b s = b e b +s = sγ(s). b b b ) x s e x dx x s e x dx Trditev nm omogoč, d preprosto izrčunmo vrednost Γ funkcije z nrvn števil. Γ(n) = (n )Γ(n ) = (n )(n )Γ(n ) = = (n )(n ) Γ() = (n )!. Eulerjev Γ funkcij je torej nekkšn posplošitev pojm fkultet n pozitivn reln števil. Funkcij Γ im mnogo znimivih lstnosti, kterih izpeljv p običjno zhtev tehnike večkrtne li p kompleksne integrcije. Omenimo Eulerjevo zrclno formulo π Γ(s)Γ( s) = sin(πs), ki velj z < s < Uporb integrl v geometriji Ploščin med grfom. Nj bost funkciji f in g (kosom) zvezni n intervlu [,b] in nj velj f(x) g(x) z vsk x [,b]. Potem je ploščin med grfom funkcij f in g nd intervlom [,b] enk pl = b (g(x) f(x)) dx. g(x) pl f(x) b Slik 3.. Ploščin med grfom Primer Izrčunjmo ploščino lik, ki g omejujet grf funkcij f(x) = x x in g(x) = x. Grf se sekt v točkh, kjer velj f(x) = g(x), kr pomeni x x = x ozirom x = in x =.