UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo Izračun torzijskega vztrajnostnega momenta poljubnega preseka Zaključna naloga Razvojno raziskovalnega programa I. stopnje Strojništvo Jon Sepin Ljubljana, marec 2018
UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojništvo Izračun torzijskega vztrajnostnega momenta poljubnega preseka Zaključna naloga Razvojno raziskovalnega programa I. stopnje Strojništvo Jon Sepin Mentor: prof. dr. Marko Nagode, univ. dipl. inž. Somentor: doc. dr. Domen Šeruga, univ. dipl. inž. Ljubljana, marec 2018
Zahvala Najprej se iskreno zahvaljujem svojemu mentorju prof. dr. Marku Nagodetu in somentorju doc. dr. Domnu Šerugi za vse strokovne nasvete tekom izdelave naloge in čas, ki sta mi ga posvetila. Zahvalil bi se tudi svoji družini, še posebej mami in očetu, ki sta mi omogočila študij in mi z vso ljubeznijo in potrpljenjem stala ob strani v vseh lepih in slabih trenutkih. v
Izjava vi
Izvleček Tek. štev.: UN I/972 UDK 519.61:539.414(043.2) Izračun torzijskega vztrajnostnega momenta poljubnega preseka Jon Sepin Ključne besede: torzijski vztrajnostni moment torzija numerične metode presek nosilca metoda končnih razlik numerični algoritem Za preračun deformacije nosilca, ki je obremenjen s čisto torzijo, moramo poznati torzijski vztrajnostni moment preseka obravnavanega nosilca. V primeru bolj preprostih oblik preseka lahko to storimo analitično s pomočjo splošnih obrazcev, v primeru bolj zahtevnih geometrijskih oblik pa je analitični izračun zelo težaven oz. nemogoč, zato uporabljamo numerične metode. Zaključna naloga predstavlja zasnovo in izvedbo algoritma za numerično računanje torzijskega vztrajnostnega momenta preseka poljubne geometrije, ki temelji na podlagi metode končnih razlik. Prikazani so rezultati algoritma za primere polnega in votlega kvadratnega preseka ter polnega okroglega preseka. Za namene preverjanja natančnosti algoritma so dobljeni rezultati primerjani glede na vrednosti analitičnih izračunov. vii
Abstract No.: UN I/972 UDC 519.61:539.414(043.2) Calculation of the torsion constant of any cross section Jon Sepin Key words: torsion constant torsion numerical methods profile cross section finite difference method numerical algorithm To calculate the deformation of a beam, which is subjected to pure torsion, we require the torsional constant of the beam cross section. In the case of simpler cross section shapes, this can be done analytically by means of general terms, while in the case of more demanding geometric shapes, analytical calculation is either immensely difficult or even impossible. It is for this reason that we utilise numerical methods. This final thesis includes the design and implementation of an algorithm for the numerical calculation of the torsional constant of a cross section of an arbitrary shape based on the finite difference method. Shown within this thesis are the results of the algorithm for a full and hollow square cross section as well as a full circular cross section which are, for the purposes of verifying the algorithm's accuracy, compared against values obtained via analytical calculations. viii
Kazalo 1 Uvod... 1 1.1 Ozadje problema... 1 1.2 Cilji... 2 1.3 Struktura zaključne naloge... 2 2 Teoretične osnove in pregled literature... 4 2.1 Vodilna enačba... 4 Deformacijska konsistentnost... 4 Ravnotežje napetosti... 6 Konstitucijsko obnašanje... 6 Napetostna funkcija... 7 2.2 Robni pogoji... 8 2.3 Torzijski vztrajnostni moment... 9 2.4 Reševanje z diferenčno metodo... 10 2.5 Večkrat sovisni preseki... 12 3 Metodologija raziskave... 13 3.1 Algoritem... 13 Vhodna datoteka... 14 Branje vhodne datoteke... 14 Diskretizacija preseka... 15 3.1.3.1 Najmanjši očrtan pravokotnik... 16 3.1.3.2 Filtracija točk... 17 Generacija sistema linearnih enačb... 21 3.1.4.1 Metoda vezalk... 22 Reševanje sistema enačb... 23 3.2 Preseki... 24 Polni preseki... 24 Votli preseki... 25 4 Rezultati... 26 4.1 Polni preseki... 26 ix
4.2 Votli preseki... 28 5 Diskusija... 29 5.1 Polni preseki... 29 5.2 Votli preseki... 30 6 Zaključki... 31 Literatura... 32 Priloga A... 34 x
Kazalo slik Slika 2.1: (a) Linijski nosilec obremenjen s torzijo. (b) Presek linijskega nosilca po deformaciji... 4 Slika 2.2: Strižna napetost na konturi preseka... 8 Slika 2.3: Ravnotežje momentov v preseku... 9 Slika 2.4: Meje konture preseka... 10 Slika 2.5: Diskretizacijske točke v notranjosti preseka... 11 Slika 3.1: Diagram poteka algoritma z delnimi funkcijami... 13 Slika 3.2: (a) Točke na konturi in v notranjosti. (b) Točke na konturi. (c) Točke v ogliščih... 14 Slika 3.3: Slika vhodne datoteke za kvadratni presek s stranico dolžine osem celic... 14 Slika 3.4: Grafični prikaz izhoda funkcije za branje vhodne datoteke... 15 Slika 3.5: Diagram poteka delne funkcije za branje vhodne datoteke in ekstrakcijo... 15 Slika 3.6: Diagram poteka delne funkcije diskretizacije preseka... 16 Slika 3.7: Grafični prikaz izhoda funkcije najmanjšega očrtanega pravokotnika... 16 Slika 3.8: Diagram poteka podprocesa generacije najmanjšega očrtanega pravokotnika... 17 Slika 3.9: Diagram poteka podprocesa filtracije potencialnih točk... 18 Slika 3.10: Diagram poteka podprocesa kontrole konturnih točk... 19 Slika 3.11: Grafični prikaz delovanja metode žarka... 20 Slika 3.12: (a) Problem oglišča. (b) Rešitev problema oglišča... 20 Slika 3.13: Diagram poteka podprocesa kontrole točk znotraj konture... 21 Slika 3.14: Diagram poteka generacije linearnega sistema enačb... 22 Slika 3.15: Križno množenje koordinat [12]... 23 Slika 3.16: Povečevanje ločljivosti rasterja v primeru kvadratnega preseka... 24 Slika 3.17: Povečevanje ločljivosti rasterja v primeru krožnega preseka... 25 Slika 3.18: Tanjšanje debeline stene votlega profila... 25 Slika 4.1: Odvisnost relativnega odstopka TVM v odvisnosti od ločljivosti rasterja... 26 Slika 4.2: Odvisnost povprečnega časa reševanja v odvisnosti od ločljivosti rasterja... 27 Slika 4.3: Odvisnost relativnega odstopka TVM v odvisnosti od debeline stene prereza... 28 Slika 5.1: Odvisnost relativnega odstopka ploščine rasteriziranega preseka od ločljivosti rasterja. 29 xi
Seznam uporabljenih simbolov Oznaka Enota Pomen A mm 2 ploščina a mm stranica kvadrata d mm premer kroga E N mm -2 modul elastičnosti G N mm -2 strižni modul h mm dimenzija elementa rasterja J mm 4 torzijski vztrajnostni moment L mm dolžina linijskega nosilca M N mm torzijski moment m / število diskretizacijskih točk v notranjosti preseka n / število notranjih kontur Ui mm 2 diskretna vrednost napetostne funkcije v mm premik v smeri z osi w mm premik v smeri y osi x mm poljubna dolžina na linijskem nosilcu y mm lega v smeri y osi z mm lega v smeri z osi β rad zasuk na dolžini x γ rad mm -1 specifična tangencialna deformacija ϑ rad zasuk na dolžini L ε mm mm -1 specifična deformacija ν / Poissonovo razmerje π / matematična konstanta pi σ N mm -2 Napetost τ N mm -2 strižna napetost ψ rad naklon tangente ψi / diskretna vrednost nap. funkcije v brezdimenzionalni obliki Indeksi cel k min max n pot celotni konturni najmanjši največji notranji potencialni xii
Seznam uporabljenih okrajšav Okrajšava KT NK NOP NT OT SLE TVM VD ZK Pomen konturne točke notranja kontura najmanjši očrtan pravokotnik notranje točke ogliščne točke sistem linearnih enačb torzijski vztrajnostni moment vhodna datoteka zunanja kontura xiii
1 Uvod 1.1 Ozadje problema Pri vrednotenju linijskega nosilca, ki je obremenjen s torzijo, je treba za namene dimenzioniranja konstrukcije izračunati deformacije nosilca, ki se pojavijo pri maksimalni vrednosti obremenitve. Če upoštevamo veljavnost Hookovega zakona, lahko specifično deformacijo torzijsko obremenjenega linijskega nosilca izračunamo po enačbi [1] γ = τ G = M G J (1.1) Za izračun specifične deformacije glede na enačbo (1.1) potrebujemo torzijski vztrajnostni moment preseka nosilca J. To je geometrijska lastnost preseka in ga lahko povzamemo kot odpor proti vzvoju, skupaj z dolžino nosilca in strižnim modulom materiala pa predstavlja torzijsko togost nosilca. Francoski inženir Alphonse Duleau je leta 1820 [2] analitično izpeljal, da je torzijski vztrajnostni moment preseka enak njegovemu polarnemu vztrajnostnemu momentu Ip ob predpostavki, da se prvotno ravni presek nosilca po deformaciji ne zvije. Ta predpostavka pa na žalost velja le za okrogle preseke. Analitična rešitev za izračun torzijskega vztrajnostnega momenta v primeru večine neokroglih presekov ne obstaja, obstajajo pa aproksimativne rešitve za številne oblike. Če želimo bolj natančen izračun torzijskega vztrajnostnega momenta uporabimo numerične metode[3]. Uporaba numeričnih metod prevede reševanje diferencialnih enačb na sistem linearnih enačb. Ročno reševanje takega sistema z velikim številom neznank bi bilo izjemno zamudno, zato želimo numerične metode implementirati v programskem jeziku, kar poznamo tudi kot numerični algoritem. Izhodišče za razvoj algoritma zajetega v tem zaključnem delu predstavlja primer numeričnega reševanja torzijskega problema z diferenčno metodo v delu Ervina Preloga, Mehanika konstrukcij [4]. 1
Uvod 1.2 Cilji Cilj te raziskovalne naloge je izdelati algoritem v programskem jeziku C++, ki bo na podlagi vhodne datoteke z diskretizacijskimi točkami geometrije preseka omogočal izračun torzijskega vztrajnostnega momenta za poljuben presek nosilca po metodi končnih razlik z dovolj dobro natančnostjo za grobi preračun nosilca. 1.3 Struktura zaključne naloge V okviru zaključne naloge se bomo omejili na obravnavanje torzijskega problema, kjer je linijski nosilec obremenjen s čisto torzijo [5]. To je torzija, kjer je nosilec na obeh koncih obremenjen samo s konstantnim torzijskim momentom, hkrati pa torzijski moment učinkuje v težišču preseka v smeri glavne osi nosilca. Naloga je sestavljena iz treh večjih sklopov. V prvem sklopu so predstavljene izhodiščne enačbe in zakoni na osnovi katerih je izpeljana vodilna diferencialna enačba torzijskega problema, ki nam skupaj z robnimi pogoji omogoča izračun torzijskega vztrajnostnega momenta. Drugi sklop je razdeljen na izbiro presekov in na razvoj ter razlago delovanja algoritma. Pri izbiri presekov se bomo omejili na pravokotne večkotnike (angl. 'rectilinear polygon'), saj so tako točke med seboj ekvidistančne in posledično nimamo težav z okrnjeno mrežo. Dodatna prednost te izbire je, da nam večkotnik tak vrste omogoča dobro aproksimacijo presekov vseh oblik. Na začetku razvoja vsakega algoritma je najprej treba določiti, kako naj izgledata njegov vhod in izhod. Algoritem bomo razčlenil na več enostavnejših enot, kjer vsaka opravlja specifično funkcijo in izhod vsake funkcije predstavlja vhod naslednje. Delovanje posamezne funkcije bomo razložili s pomočjo diagrama poteka (angl. flowchart diagram) in kratkega opisa. Algoritem bo v grobem sestavljen iz naslednjih funkcij: branja vhodne datoteke, diskretizacije preseka oz. delitev preseka na mrežo, generacije matrike koeficientov in vektorja konstant, reševanje sistema linearnih enačb. V zadnjem sklopu sta zajeta kontrola natančnosti algoritma in čas računanja glede na gostoto diskretizacijske mreže oz. ločljivost rasterja. V primeru polnih presekov bomo pričeli z rasterjem, ki nam da znotraj preseka eno točko, in nato njegovo ločljivost povečevali za konstantno število elementov. V primeru votlega preseka pa bomo obravnavali presek s fiksno ločljivostjo rasterja in uniformno debelino stene, katero bomo z vsakim ponovnim izračunom tanjšali. Vrednosti torzijskega vztrajnostnega momenta, relativni odstopek numerične rešitve in čas računanja bomo tudi grafično prikazali. Ker v algoritmu vodilno diferencialno enačbo rešujemo s pomočjo metode končnih razlik, lahko glede na princip delovanja metode predvidevamo, da se bo natančnost algoritma povečevala z gostoto mreže. Pri tem se število neznank povečuje s kvadratom inkrementa 2
Uvod ločljivosti, torej lahko pričakujemo, da bo tudi čas računanja naraščal eksponentno. Predvidevamo tudi, da se bo natančnost v primeru presekov z neortogonalno in krivo geometrijo povečevala zaradi boljše aproksimacije konture z rasterizacijo. 3
2 Teoretične osnove in pregled literature 2.1 Vodilna enačba Za uporabo numeričnih metod pri reševanju torzijskega problema moramo poznati njegovo vodilno enačbo, ki jo izpeljemo na podlagi: deformacijske konsistentnosti, ravnotežja napetosti, konstitucijskega obnašanja. Izpeljava vodilne enačbe, ki je prikazana v nadaljevanju, predstavlja nekoliko okrajšano obliko izpeljave, ki je prikazana v delu Ervina Preloga [6]. Deformacijska konsistentnost Kot čisto torzijo razumemo obremenitev linijskega nosilca konstantnega preseka na obeh koncih z vzvojnim momentom. Primer takega nosilca je predstavljen na sliki 2.1 (a). Slika 2.1: (a) Linijski nosilec obremenjen s torzijo. (b) Presek linijskega nosilca po deformaciji 4
Teoretične osnove in pregled literature Iz slike 2.1 (b) je razvidno, da se točka A iz izhodiščne lege po deformaciji pomakne v lego A1. Z vpeljavo kota β je y = r cos β z = r sin β (2.1) y + v = r cos(β + dβ) z + w = r sin(β + dβ) (2.2) Če enačbi (2.2) razvijemo v skladu z adicijskimi izreki in upoštevamo teorijo majhnih kotov, dobimo y + v = r (cos β dβ sin β) z + w = r (sin β + dβ cos β) (2.3) Ob upoštevanju enačb (2.1) pa je v = dβ z w = dβ y (2.4) Glede na sliko 2.1 (a) lahko vpeljemo tudi sledeče razmerje, kjer je ϑ predstavlja zasuk na dolžini L, dβ pa na dolžini x. dβ = x L θ (2.5) Z vstavljanjem enačbe (2.5) v enačbi (2.4) dobimo premika točke A po deformaciji v = θ L x z w = θ L x y (2.6) Zdaj je možno postaviti Saint-Venantovo hipotezo, ki pravi, da se preseki nosilca po celotni dolžini L izbočijo enako [6]. Če ta hipoteza velja, je deformacija u, ki deluje v smeri x, le funkcija koordinat y in z. Funkcijo u zaradi lepše ureditve zapišemo v obliki u = θ L φ(y, z) (2.7) Veljavnost Saint-Venantove hipoteze je možno dokazati s pomočjo Hookovega zakona. Ker so pri čisti torziji napetosti σ x = σ y = σ z = 0, je specifična deformacija v smeri x po Hookovem zakonu ε x = u x = 1 E [σ x ν (σ y + σ z )] = 0 (2.8) 5
Teoretične osnove in pregled literature Enačba (2.8) potrjuje Saint-Venantovo hipotezo, da je premik u neodvisen od koordinate x, torej je odvisen le od koordinat y in z. Ravnotežje napetosti Če upoštevamo splošne ravnotežne enačbe elastomehanike [7], dobimo pri čisti torziji naslednje ravnotežne enačbe: τ xy y + τ xz z = 0 (2.9) τ yx x + τ yz z = 0 (2.10) τ zx x + τ zy y = 0 (2.11) Konstitucijsko obnašanje Na podlagi Hookovega zakona [7] in enačb (2.6) ter enačbe (2.7) dobimo za napetosti sledeče vrednosti: τ xy = G ( u y + v x ) = G θ L ( φ z) (2.12) y τ yz = G ( v z + w y ) = G θ ( x + x) = 0 (2.13) L τ zx = G ( w x + u z ) = G θ L ( φ z y) (2.14) 6
Teoretične osnove in pregled literature Če zdaj vstavimo enačbe za napetosti (2.12 2.14) v ravnotežne enačbe (2.9-2.11), lahko prvo enačbo zapišemo kot 2 w y 2 + 2 φ z 2 = 0 (2.15) Izbočitvena funkcija φ mora pri čisti torziji glede na enačbo (2.15) zadoščati Laplaceovi diferencialni enačbi, će želimo, da so izpolnjene ravnotežne in deformacijske enačbe. Napetostna funkcija Nadalje si poglejmo, kako rešujemo torzijo, ko poznamo zunanjo obremenitev oz. torzijski moment M. Pri reševanju si pomagamo z uporabo napetostne funkcije. Prednost uporabe te funkcije pred uporabo splošnih enačb je v tem, da se pojavi le ena sama diferencialna enačba, ki hkrati zadošča vsem elasticitetnim enačbam in pogojem [8]. Napetostna funkcija U naj bo funkcija koordinat y in z ter v sledeči zvezi s strižnimi napetostmi v preseku τ xy = 2G θ L U z τ xz = 2G θ L U y (2.16) Funkcija U more zadoščati ravnotežnim enačbam. Z vstavljanjem enačb (2.16) v (2.10) preverimo ali izbrana napetostna funkcija izpolnjuje splošne ravnotežne enačbe 2G θ 2 U L y z + 2G θ 2 U L y z = 0 Preverimo še, ali funkcija U izpolnjuje tudi deformacijske enačbe, tako da vstavimo enačbi (2.16) še v enačbi (2.12) in (2.14) φ U z = 2 y z φ U + y = 2 z y (2.17) Če prvo enačbo zdaj odvajamo po z, drugo pa po y in odštejemo eno enačbo od druge, dobimo 2 U y 2 + 2 U y 2 = 1 (2.18) To je Poissonova diferencialna enačba in predstavlja vodilno enačbo torzijskega problema. Če napetostna funkcija U predstavlja njeno rešitev, bodo izpolnjene tudi vse elastostatične enačbe. 7
Teoretične osnove in pregled literature 2.2 Robni pogoji Da bo rešitev vodilne enačbe problema konsistentna tudi z vrednostmi napetostne funkcije po konturi, mora rešitev zadostiti robnim pogojem. Slika 2.2: Strižna napetost na konturi preseka Strižna napetost τ je na obodu preseka tangencialna na konturo, kot to prikazuje slika 2.2, torej lahko komponenti napetosti v smeri y in z zapišemo z enačbo k τ xy k τ xz = dy = tan ψ (2.19) dz Z upoštevanjem enačb (2.16), dobimo U k y dy + Uk z dz = 0 (2.20) Enačba (2.20) predstavlja totalni odvod funkcije U, torej du k = 0 U k = konst = U 0 (2.21) Funkcija U torej izpolnjuje robne pogoje, če je konstantna po konturi, v notranjosti preseka pa mora zadoščati Poissonovi diferencialni enačbi. Konstanta U0 je lahko v primeru polnega preseka tudi nič, saj so vrednosti napetosti τxy in τxz glede na enačbi (2.16) odvisne od odvodov napetostne funkcije. 8
Teoretične osnove in pregled literature 2.3 Torzijski vztrajnostni moment Če želimo zdaj izračunati torzijski vztrajnostni moment, moramo ugotoviti njegovo korelacijo z napetostno funkcijo. Glede na sliko 2.3 lahko okoli vzdolžne osi nosilca zapišemo ravnotežje momentov v preseku Slika 2.3: Ravnotežje momentov v preseku M (τ xz y τ xy z)da = 0 (2.22) To enačbo preoblikujemo tako, da napetosti τxz in τxy zamenjamo z enačbam (2.16) M = 2G θ L ( U y U y + z) da (2.23) z Če upoštevamo enačbo (1.1) za specifično deformacijo torzijsko obremenjenega nosilca, je torzijski vztrajnostni moment enak dvojni vrednosti integrala v zgornji enačbi J = 2 ( U y U y + z) da (2.24) z Enačbo (2.24) lahko zapišemo v obliki dvojnega integrala, saj je element preseka da enak dzdy b z 2 d y 2 J = 2 [ ( U z) dzdy + ( U y) dydz] (2.25) a z 1 z c y y 1 9
Teoretične osnove in pregled literature kjer pri prvem integrandu najprej izvedemo integracijo po z in nato po y, pri drugem pa najprej po y in nato po z. Pri tem je vredno opozoriti, da sta meji z1 in z2 funkciji y, meji y1 in y2 pa funkciji z, kot to prikazuje slika 2.4 Slika 2.4: Meje konture preseka Enačbo (2.25) lahko poenostavimo, če oba integranda parcialno integriramo in pri tem upoštevamo, da je vrednost napetostne funkcije U k na konturi enaka nič. b z 2 d y 2 J = 2 [ U dzdy U dydz] (2.26) a z 1 c y 1 Če zdaj pri drugem integralu zamenjamo vrstni red integriranja, vidimo, da sta integrala med seboj enaka. Zato je b z 2 J = 4 U dzdy = 4 U da (2.27) a z 1 Dobljena enačba predstavlja zvezo med torzijskim vztrajnostnim momentom in napetostno funkcijo, hkrati pa ima mnogokrat enostavnejšo obliko kot enačba (2.24). 2.4 Reševanje z diferenčno metodo V naši implementaciji numeričnega algoritma želimo vodilno enačbo torzijskega problema (2.15) rešiti po metodi končnih razlik. 10
Teoretične osnove in pregled literature Slika 2.5: Diskretizacijske točke v notranjosti preseka Poissonovo enačbo za točko znotraj konture preseka, kot jo prikazuje slika 2.5, zapišemo v diferenčni obliki kot U 1 + U 2 + U 3 + U 4 4U 0 h 2 = 1 (2.28) Če vpeljemo brezdimenzionalno obliko funkcijske vrednosti Ui, je U i = ψ i h 2 (2.29) in enačba (2.29) spremeni obliko v ψ 1 + ψ 2 + ψ 3 + ψ 4 4ψ 0 = 1 (2.30) Torzijski vztrajnostni moment je tako J = 4h 2 U i A i (2.31) Torzijski vztrajnostni moment je torej vsota funkcijskih vrednosti Ui v vseh točkah pomnožena s 4h 2. V brezdimenzionalni obliki pa je J = 4h 4 ψ i (2.32) 11
Teoretične osnove in pregled literature 2.5 Večkrat sovisni preseki V primeru, da obravnavamo polni presek, lahko robne pogoje izpolnimo brez posebnih zapletov. Pri votlih presekih pa so vrednosti U k na notranjih konturah prav tako konstantne, vendar jih je treba izračunati iz dodatnega robnega pogoja [9] U n ds = A i, (2.33) kjer Ai predstavlja ploščino, ki jo zapira notranja kontura. Če upoštevamo diferenčno obliko odvoda, lahko zapišemo enačbo (2.33) kot (U n U i ) + A i = 0 (2.34) V tej enačbi so Un funkcijske vrednosti na notranji konturi, Ui pa so funkcijske vrednosti vseh prvih notranjih točk poleg notranje konture. 12
3 Metodologija raziskave 3.1 Algoritem Preden lahko začnemo oblikovati algoritem in pisati v programskem jeziku, moramo temeljito poznati problem, ki naj bi ga le-ta rešil. Naš problem je relativno preprost, saj želimo le, da algoritem na podlagi vhodne datoteke z diskretizacijskimi točkami geometrije izračuna torzijski vztrajnosti moment preseka. V naslednjem koraku moramo določiti, kako želimo, da izgleda vhod in izhod algoritma. V našem primeru izhod že poznamo; torzijski vztrajnostni moment obravnavanega preseka v brezdimenzionalni obliki, zaokrožen na tri decimalna mesta; obliko vhoda oz. vhodne datoteke pa bomo določili v nadaljevanju tega poglavja. V fazi oblikovanja algoritma bomo njegovo funkcionalnost razčlenili na več manjših delnih funkcij, kot je to prikazano z diagramom poteka na sliki 3.1. START Vhodna datoteka Branje VD Seznam OT ZK Seznam OT NK Filtiranje Seznam točk NK Seznam točk v prerezu Generacija SLE Sistem lin. en. Reševanje SLE END Diskretne vredn. Ui TVM = sum(ui)*4 Slika 3.1: Diagram poteka algoritma z delnimi funkcijami 13
Metodologija raziskave Vhodna datoteka Vhodna datoteka naj bi glede na cilje, definirane v uvodu, vsebovala diskretizacijske točke geometrije obravnavanega preseka, vendar nam ta kriterij prepušča izbiro, katere točke naj datoteka vsebuje. Izbiramo lahko med: točke na konturi in v notranjosti preseka (slika 3.2 (a)), točke na konturi (slika 3.2 (b)), točke v ogliščih (angl. 'vertices') konture (slika 3.2 (c)). Slika 3.2: (a) Točke na konturi in v notranjosti. (b) Točke na konturi. (c) Točke v ogliščih Ker želimo, da bi bila vhodna datoteka kar se da preprosta za generacijo, se odločimo za slednjo opcijo. Datoteka naj ima obliko, kot jo prikazuje slika 3.3: v vsaki vrstici naj bosta zapisani koordinati samo ene točke, v prvem stolpcu naj bo zapisana x koordinata točke, v drugem stolpcu naj bo zapisana y koordinata točke, stolpca naj bosta med seboj ločena s tabulatorjem, točke naj si sledijo v urnem ali protiurnem zaporedju, kot si sledijo na konturi, konture naj bodo v datoteki ločene s prazno vrstico. Slika 3.3: Slika vhodne datoteke za kvadratni presek s stranico dolžine osem celic Branje vhodne datoteke Naloga te delne funkcije je, da datoteko prebere in ekstrahira koordinate diskretizacijskih točk za uporabo v algoritmu. Funkcija sprejme na vhodu datoteko z ogliščnimi točkami in vrne seznam točk s koordinatami v zaporedju, kot so podane v vhodni datoteki. Primer izhoda funkcije je prikazan na sliki 3.4. 14
Metodologija raziskave Slika 3.4: Grafični prikaz izhoda funkcije za branje vhodne datoteke Delovanje funkcije je v nadaljevanju razloženo in ponazorjeno z diagramom poteka na sliki 3.5. START VD Odpri datoteko Preberi vrstice i = prva vrstica False i = nasl. vrstica Pripni točko i v seznam i == zadnja vrstica Seznam OT True END Slika 3.5: Diagram poteka delne funkcije za branje vhodne datoteke in ekstrakcijo Vhodno datoteko v algoritmu odpremo z integriranim razredom (angl. class) za branje in pisanje v datoteko. Funkcija nato iterira skozi vse vrstice v datoteki (točke) in pripne vsebino posamezne vrstice (koordinate) v prazen seznam. Ko funkcija doseže zadnjo vrstico, datoteko zapre in vrne kreirani seznam s točkami. Diskretizacija preseka 15
Metodologija raziskave Iz vhodne datoteke pridobimo le točke, ki ležijo na ogliščih konture, za izračun torzijskega vztrajnostnega momenta pa potrebujemo izpolniti vodilno enačbo v vsaki točki v notranjosti preseka. Presek moramo zato diskretizirati oz. razdeliti na ortogonalno mrežo in kreirati seznam točk, ki ustrezajo temu kriteriju. Delovanje glavne funkcije je predstavljeno z diagramom poteka na sliki 3.6, delovanje podprocesov pa je razloženo v naslednjih podpoglavijh. START Seznam OT ZK Seznam OT NK Generacija potencialnih točk Množica potencialnih točk Filtracija točk Seznam NT Seznam KT NK END Slika 3.6: Diagram poteka delne funkcije diskretizacije preseka 3.1.3.1 Najmanjši očrtan pravokotnik V fazi diskretizacije preseka moramo ugotoviti, katere točke ležijo v njegovi notranjosti, zato potrebujemo množico potencialnih kandidatov. Ta množica naj bo čim manjša, saj moramo tako filtrirati manjše število točk, torej bo algoritem hitrejši. To najlažje dosežemo z metodo najmanjšega očrtanega pravokotnika (angl. 'minimum bounding rectangle'). Slika 3.7: Grafični prikaz izhoda funkcije najmanjšega očrtanega pravokotnika Metoda generira ortogonalno mrežo točk pravokotne oblike na podlagi seznama ogliščnih točk iz vhodne datoteke, kot to prikazuje slika 3.7. Delovanje implementacije metode je v nadaljevanju razloženo in ponazorjeno z diagramom poteka na sliki 3.8 16
Metodologija raziskave START Seznam OT dx = max(x) - min(x) dy = max(y) - min(y) i = 0 j = 0 False i = i +1 False j = j + 1 Pripni točko (min(x) + j, min(y) + i) v seznam j == dx? True i == dy? Seznam NOP True END Slika 3.8: Diagram poteka podprocesa generacije najmanjšega očrtanega pravokotnika V prvem koraku funkcija med ogliščnimi točkami poišče največji in najmanjši koordinati x in y ter izračuna razliki Δx in Δy. Izvede se for zanka, ki iterira preko razpona velikosti Δy in nato še ugnezdena for zanka, ki iterira preko razpona velikosti Δx. V vsaki iteraciji se v prazen seznam pripne točka (x min + j, y min + i), kjer i in j predstavljata vrednosti trenutnih iteracij v for zankah. Po izvedbi obeh zank funkcija vrne seznam točk, ki potencialno ležijo v notranjosti preseka. 3.1.3.2 Filtracija točk V drugi fazi rasterizacije moramo množico točk, ki nam jih da metoda najmanjšega očrtanega pravokotnika, kategorizirati na notranje, zunanje in konturne. Za argumente funkcija sprejme seznam potencialnih točk in sezname ogliščnih. Na izhodu vrne seznam točk v notranjosti preseka in seznam točk na notranjih konturah. Slednji seznam bomo potrebovali pri generaciji matrike koeficientov. Delovanje funkcije je v nadaljevanju razloženo in ponazorjeno z diagramom poteka na sliki 3.9. 17
Metodologija raziskave START Seznam NOP Seznam OT NK Seznam OT ZK i = 0 Kontrola KT True i = i + 1 KT False Kontrola NT Pripni točko i v seznam NK True i = i + 1 NT False Kontrola KT True i = i +1 KT False Kontrola NT False i = i + 1 NT True END Seznam NT ZK i size(nop) Pripni točko i v seznam NT Seznam KT NK False i = i + 1 Slika 3.9: Diagram poteka podprocesa filtracije potencialnih točk Ob začetku se izvede for zanka, ki iterira preko vseh potencialnih točk. Če funkcija določi, da se točka nahaja izven preseka, jo preskoči. Točke, za katere pa določi, da se nahajajo znotraj preseka ali pa na notranji konturi, pripne v ustrezen seznam. Konturne točke Izvede se for zanka, ki iterira preko stranic konture. Da točka leži na stranici trenutne iteracije, more izpolnjevati dva pogoja: točka si mora deliti eno izmed svojih koordinat z ogliščema stranice, druga koordinata točke more ležati med vrednostmi druge koordinate oglišč stranice. Če sta izpolnjena oba kriterija, menimo, da točka leži na konturi. Delovanje metode je razloženo z diagramom poteka na sliki 3.10. 18
Metodologija raziskave START Točka (xpot, ypot) Seznam OT i = 0 yi-1 ypot yi ali yi-1 ypot yi True xpot == xi in xpot == xi-1 False True False ypot == yi in ypot == yi-1 True xi-1 xpot xi ali xi-1 xpot xi False i < size(ot) False True False True KT = True i = i + 1 KT = False KT = True END END END Slika 3.10: Diagram poteka podprocesa kontrole konturnih točk Notranje točke Problem točke v večkotniku je dobro raziskan na področju računalniške grafike, zato je smiselno uporabiti že obstoječo rešitev. Odločimo se za t. i. metodo žarka (angl. 'raycasting method') [10], saj je med obstoječimi metodami najhitrejša, najpreprostejša in zadostuje za obravnavan tip večkotnika. Metoda temelji na ideji, da lahko določimo, ali poljubna točka T leži znotraj večkotnika tako, da preverimo, kolikokrat žarek, ki izvira iz izbrane točke in nadaljuje pot v fiksni smeri, seka konturo večkotnika, kot je prikazano na sliki 3.11. Točka T leži znotraj večkotnika, če žarek seka konturo v lihem številu presečišč. 19
Metodologija raziskave Slika 3.11: Grafični prikaz delovanja metode žarka Do zapleta pride, če žarek potuje skozi oglišče konture, kot je prikazano na sliki 3.12 (a), saj lahko pride do napake pri štetju presečišč. Tak primer štejemo kot presečišče, le če drugo oglišče testirane stranice leži pod žarkom. To je ekvivalentno obravnavanju oglišč, ki ležijo na žarku, da ležijo rahlo nad njem, kot je to prikazano na sliki 3.12 (b). Slika 3.12: (a) Problem oglišča. (b) Rešitev problema oglišča Slika 3.13 prikazuje implementacijo metode v algoritmu z diagramom poteka. V njej uporabimo horizontalni žarek, ki potuje desno od izbrane točke, in preverimo potencialna presečišča z vsemi stranicami konture preseka. Ker obravnavamo le pravokotne večkotnike, bo žarek sekal le stranice, ki se nahajo desno od točke izvora, zato je smiselno preveriti ali je njena koordinata x manjša od x koordinat obeh oglišč stranice. Preverimo še, ali se koordinata y testirane točke nahaja med obema ogliščnima točkama. Če sta oba kriterija izpolnjena, menimo, da je prišlo do presečišča. 20
Metodologija raziskave START Točka (xpot, ypot) Seznam OT i = 0 I < size(ot) True xpot < xi-1 in xpot < xi False yi-1 ypot yi ali yi-1 ypot yi True NT = False True NT = True False END END False i = i + 1 Slika 3.13: Diagram poteka podprocesa kontrole točk znotraj konture Generacija sistema linearnih enačb Ko imamo enkrat seznam točk znotraj preseka, je za vsako točko treba nastaviti diferenčno obliko Poissonove enačbe, kot je to prikazano v podpoglavju 2.4, in na podlagi le-teh generirati matriko koeficientov ter vektor konstant za dani sistem linearnih enačb. Delovanje funkcije je v nadaljevanju razloženo in ponazorjeno z diagramom poteka na sliki 3.14. 21
Metodologija raziskave START NT in OT NK Mm+n,m+n; vm+n KT NK Metoda vezalk i = 0 Mii = -4; vi = -1 E (xi+1, yi) N (xi, yi+1) W (xi-1, yi) S (xi, yi-1) P = [E,W,S,N] j = 0 Pj v NT True d = NT.index(Pj) Mi,d = 1 False Pj v NK True d = NK.index(Pj) Mi,d += 1 False j < m True i = m False i = i + 1 Mi,i = sum(od Mi,0 do Mi,m+n) Mcel,i = Mi,cel vi = Ai END Sistem lin. en. True i < m + n False i = i +1 Slika 3.14: Diagram poteka generacije linearnega sistema enačb Funkcija na podlagi seznama točk znotraj preseka in seznama točk na notranji konturi generira matriko koeficientov in vektor konstant. V prvi fazi se generira matrika ničel M dimenzij (m + n) (m + n) in vektor ničel v dimenzije (m + n), kjer je m število točk v notranjosti preseka in n število notranjih kontur. V drugi fazi se izvedeta dve for zanki; prva zanka iterira preko točk znotraj preseka, druga pa preko notranjih kontur. Prva zanka za i-to točko v i-to vrstico matrike zapiše koeficiente diferenčne enačbe na ustrezna mesta na podlagi informacij o indeksih sosednjih točk in pripiše vrednost -1 na i-to mesto v vektorju konstant. Druga zanka pa za i-to konturo transponira i-ti stolpec v i-to vrstico in pripiše negativno vrednost vsote elementov vrstice na diagonalo matrike ter ploščino konture na i-to mesto v vektorju konstant. 3.1.4.1 Metoda vezalk Metoda vezalk je matematični algoritem, s katerim lahko določimo ploščino poljubnega preprostega večkotnika na podlagi ogliščnih točk, ki so zapisane v urnem ali protiurnem vrstnem redu [11]. Ploščino izračunamo tako, da ustrezne koordinate navzkrižno pomnožimo med seboj, kot to prikazuje slika 3.15. 22
Metodologija raziskave Slika 3.15: Križno množenje koordinat [12] Metoda deluje tako, da vzamemo vsako stranico večkotnika AB in izračunamo predznačeno ploščino trikotnika ABO, kjer je O koordinatno izhodišče. Ploščino izračunamo na podlagi navzkrižnega produkta točk in ga delimo z dve. Z ovijanjem okoli večkotnika pride zaradi različnega predznaka ploščin do izničenja območja med koordinatnim izhodiščem in večkotnikom, zato ostane le ploščina znotraj večkotnika. Enačba (3.1) predstavlja formulo za izračun ploščine večkotnika, ki smo jo uporabili v algoritmu. n 1 n 1 A = 1 2 x i y i+1 + x n y 1 x i+1 y i x 1 y n (3.1) i=1 i=1 Reševanje sistema enačb Dobljena matrika koeficientov spada med t. i. redke matrike (angl. sparse matrix). Sistem linearnih enačb je redek v primeru, da je le relativno majhno število matričnih elementov različnih od nič. Uporaba splošnih metod linearne algebre, kot je Gaussova metoda, je za take primere matrik potratna [13], zato želim uporabiti problemu primernejše postopke reševanja, kot sta LU razcep in Cholesky dekompozicija. Pisanje svojega algoritma za reševanje redkih matrik je rahlo nesmiselno, saj želimo pri programiranju uporabljati programske knjižnice v čim večji meri in tako prihraniti na času. Prednost uporabe knjižnic je tudi visok nivo optimizacije in učinkovitosti njihovih funkcij. V primeru našega algoritma smo izbrali knjižnico Eigen [14], saj je hitra, zanesljiva in vsestranska. 23
Metodologija raziskave 3.2 Preseki V okviru tega zaključnega dela se bomo pri izbiri geometrije presekov omejili na pravokotne večkotnike. To so večkotniki, kjer se vse stranice stikajo le pod pravim kotom. Glavna prednost izbire večkotnika take vrste je, da so vse točke na mreži med seboj ekvidistančne, zato ne naletimo na problem okrnjene mreže. Z uporabo te vrste večkotnika lahko tudi zelo dobro aproksimiramo vse geometrijske oblike preseka ob pogoju dovolj velike ločljivosti, kot to tudi deluje pri prikazovanju predmetov na računalniških zaslonih. Polni preseki Pri obravnavi polnih presekov se bomo omejili na okrogle in kvadratne preseke, saj za te dve geometrijski obliki obstajajo splošni nastavki za izračun torzijskega vztrajnostnega momenta, kar omogoča primerjavo numerične rešitve z eksaktno in posledično izračun relativnega odstopanja. Analitično rešitev za kvadratni presek izračunamo po enačbi (3.2) za okrogli presek pa po enačbi (3.3). V enačbah predstavlja parameter a dolžino stranice kvadrata, parameter d pa premer kroga. J = 0.141 a 4 (3.2) π d4 J = 32 (3.3) Pričeli bomo z ločljivostjo rasterja 2 2, ki nam da znotraj preseka eno točko in nato z vsakim ponovnim izračunom ločljivost povečevali za konstantno število elementov rasterja do 64 64, kot prikazujeta slika 3.16 za kvadratni in slika 3.17 za okrogli presek. Slika 3.16: Povečevanje ločljivosti rasterja v primeru kvadratnega preseka 24
Metodologija raziskave Okrogle preseke moramo za uporabo v algoritmu pretvoriti iz vektorske oblike v rastersko. To storimo z algoritmom za rasterizacijo stožnic (angl. 'midpoint circle algorithm'). Kot je razvidno iz slike 3.17, se natančnost aproksimacije kroga povečuje z ločljivostjo rasterja. Slika 3.17: Povečevanje ločljivosti rasterja v primeru krožnega preseka Votli preseki Pri obravnavi votlih presekov pa se bomo omejili na kvadratni presek s fiksno ločljivostjo rasterja 64 64 in uniformno debelino stene. Debelino stene bomo pri vsakem ponovnem izračunu tanjšali za konstantno število elementov rasterja, kot je prikazano na sliki 3.18. Slika 3.18: Tanjšanje debeline stene votlega profila Ker za debelostenske votle preseke ne poznamo analitične rešitve, moramo za validacijo numerične rešitve uporabiti programski paket SolidWorks, ki vsebuje integrirano funkcijo za izračun torzijskega vztrajnostnega momenta. 25
4 Rezultati V okviru tega poglavja so predstavljeni rezultati izračuna torzijskega vztrajnostnega momenta za izbrane preseke na podlagi algoritma, zasnovanega v tej zaključni nalogi. Poglavje je razdeljeno na polne in votle preseke, kjer so rezultati za vsako obliko preseka predstavljeni grafično. 4.1 Polni preseki V našem interesu je, da se numerična rešitev čim bolj približa analitični pri čim manjši ločljivosti, zato na sliki 4.1 grafično prikažemo odvisnost relativnega odstopka numerične rešitve v odvisnosti od ločljivosti rasterja za obe obliki preseka. Slika 4.1: Odvisnost relativnega odstopka TVM v odvisnosti od ločljivosti rasterja 26
Rezultati Relativni odstopek v primeru kvadratnega preseka eksponentno upada s povečevanjem ločljivosti in konvergira k vrednosti 0, kar predstavlja enakovrednost numerične rešitve analitični. V primeru kroga pa relativni odstopek v večini prav tako eksponentno upada, vendar je možno pri nižjih ločljivostih opaziti deviacije od tega trenda, ki se pri nadaljnjem povečevanju ločljivosti zmanjšujejo. Opazimo lahko tudi, da odstopek v primeru krožnega preseka konvergira počasneje, npr. pri kvadratnem preseku dosežemo vrednost odstopka pod 10,00 % že pri ločljivosti 6 6, pri krožnem preseku pa šele pri ločljivosti 28 28. Vredno je še izpostaviti, da je relativni odstopek, ki ga dosežemo pri največji testirani ločljivosti 64 64, za primer kvadrata 0,38%, v primeru kroga pa 3,78 %, torej skoraj desetkrat večji. Poleg natančnosti je zaželena lastnost vsakega algoritma tudi, da se izvede v čim krajšem času, zato smo na sliki 4.2 grafično prikazali odvisnost časa reševanja od ločljivosti rasterja. Izmerjeni čas reševanja niha glede na zasedenost pomnilnika in procesorja sistema, na katerem se algoritem izvaja, zato so na sliki 4.2 prikazani povprečni časi, ki smo jih zabeležili preko 100 iteracij. Slika 4.2: Odvisnost povprečnega časa reševanja v odvisnosti od ločljivosti rasterja Kot je razvidno iz grafa, čas reševanja za obe obliki preseka eksponentno narašča; v primeru kvadratnega preseka hitreje kot v primeru krožnega. 27
Rezultati 4.2 Votli preseki Odvisnost relativnega odstopka torzijskega vztrajnostnega momenta v odvisnost od debeline stene je grafično predstavljena na sliki 4.3. Graf vključuje vrednosti relativnega odstopka za debeline stene od 2 do 30 celic. Debelina stene 32 celic predstavlja polni presek in je zato zgolj informativne narave. Slika 4.3: Odvisnost relativnega odstopka TVM v odvisnosti od debeline stene prereza Iz slike je razvidno, da se relativni odstopek zmanjšuje z debeljenjem stene. Pri debelini 2 celic znaša odstopek preko 90 % in nato linearno upada. Pri največji računani debelini stene 30 celic pa njegova vrednost ne presega 1 %. 28
5 Diskusija 5.1 Polni preseki Kot je navedeno v četrtem poglavju, relativni odstopek numerične rešitve s povečevanjem ločljivosti eksponentno upada, kar je v skladu s pričakovanji, saj večja ločljivost posledično pomeni tudi več točk znotraj preseka. Število točk je ključnega pomena za natančnost numerične rešitve, saj pri gostejši mreži z metodo končnih razlik bolje aproksimiramo odvode v izbranih točkah preseka. Našo pozornost zdaj usmerimo na deviacije relativnega odstopka torzijskega vztrajnostnega momenta od trenda eksponentnega upada za primer krožnega preseka. Deviacije so najverjetneje posledica rasterizacije krožnega preseka pri nižjih ločljivostih, rezultat česar je odstopanje ploščine preseka od analitične vrednosti, kar prikazuje slika 5.1. Slika 5.1: Odvisnost relativnega odstopka ploščine rasteriziranega preseka od ločljivosti rasterja 29
Diskusija Opazimo, da sta ločljivosti 2 2 in 6 6, pri katerih vrednosti relativnega odstopka torzijskega vztrajnostnega momenta najbolj deviirajo, tudi ločljivosti, pri katerih smo izračunali največji relativni odstopek ploščine. Deviacija ploščine pomeni, da pri povečevanju ločljivosti rasterja število točk v notranjosti prereza ne narašča natančno s kvadratom faktorja povečave, ampak imamo pri tem višek ali pa primanjkljaj točk. Ker pa je torzijski vztrajnostni moment funkcija vsote diskretnih vrednosti napetostne funkcije, ima na njegovo vrednost intenziven višek oz. primanjkljaj velik vpliv. Nazadnje obravnavajmo še čas reševanja. Eksponentna rast časa pri povečevanju ločljivosti je popolnoma pričakovana, saj se število točk v prerezu, in posledično število neznank, povečuje s kvadratom povečave. Razlog za daljši čas reševanja kvadratnih prerezov glede na krožne pri isti ločljivosti pa je večja ploščina in posledično večje število točk v preseku. 5.2 Votli preseki Potek relativnega odstopka torzijskega vztrajnostnega momenta je le delno v skladu s pričakovanji. Pri upoštevanju robnega pogoja na notranji konturi smo za aproksimacijo odvoda uporabili sekanto, kar vodi v relativno grobo aproksimacijo. Pri večjih debelinah stene je odstopanje manjše, saj je delež točk, v katerih smo za aproksimacijo odvoda uporabili centralno diferenčno shemo naprej (sekanto), manjši. Le-ta s tanjšanjem stene narašča, kar vodi v vse večje odstopanje numerične rešitve. 30
6 Zaključki 1) V sklopu te zaključne naloge smo zasnovali algoritem za izračun torzijskega vztrajnostnega momenta poljubnega preseka. 2) Pokazali smo, da se algoritem lahko uporablja za preračun presekov z ravno kot tudi s krivo geometrijo z zadovoljivo natančnostjo. 3) Dobljeni rezultati nam povedo, da število točk v preseku ključno vpliva na natančnost numerične rešitve. 4) Dokazali smo, da algoritem v trenutni obliki ni primeren za preračun votlih presekov zaradi velikega odstopanja rešitve kot posledica nenatančne aproksimacije odvoda v točkah notranje konture. Tekom zaključne naloge smo zasnovali in implementirali algoritem za numerično računanje torzijskega vztrajnostnega momenta. Lahko ga uporabimo za preračun presekov s popolnoma poljubno geometrijo, ki pa so lahko v tej implementaciji algoritma le enkrat sovisni (polni). Natančnost algoritma povečujemo tako, da povečamo gostoto mreže oz. ločljivost rasterja, vendar se pri tem zaradi večjega števila točk poveča tudi čas reševanja. Predlogi za nadaljnje delo Iz rezultatov je razvidno, da algoritem sicer deluje z zadovoljivo natančnostjo, vendar je zaradi uporabe izbrane numerične metode in neokrnjene mreže potrebno relativno veliko število točk. Število le-teh bi lahko zmanjšali, če bi implementirali okrnjeno mrežo ali pa z uporabo druge numerične metode, npr. metode končnih elementov. Algoritem bi lahko tudi izboljšali za preračun votlih presekov, če bi namesto s sekanto odvode v točkah notranjih kontur aproksimirali z diferenčno shemo naprej. 31
Literatura [1] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Linijski elementi: Statična določenost. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 7. [2] S. P. Timoshenko: History of Strength of Materials. Dover Publications Inc., New York, 1983, str. 82. [3] P. Seaburg, C. Carter: Torsional Analysis of Structural Steel Members, American Institute of Steel Construction, 1997, str. 3. [4] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Torzija: Reševanje torzijskega problema z diferenčno metodo. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 305 307. [5] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Torzija: Deformacije. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 282. [6] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Torzija: Čista torzija Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 283 291. [7] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Ravninski problemi reševanje sten: Postopek z napetostno funkcijo. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 212. [8] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Uvod in razdelitev. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 205 206. [9] E. Prelog: Mehanika konstrukcij. V: Torzija: Večkrat sovisna območja. Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1974, str. 315 320. [10] D. R. Finley: Point-In-Polygon Algorithm Determining Whether A Point Is Inside A Complex Polygon. Dostopno na: http://alienryderflex.com/polygon/, ogled 21. 1. 2018. [11] K. Dahlke: Shoelace formula. Dostopno na: http://www.mathreference.com/ladet,shoe.html, ogled: 17. 3. 2018. [12] J. Bouwman: Shoelace formula. Na Wikipediji. Dostopno na: https://en.wikipedia.org/wiki/shoelace_formula, ogled: 12. 3. 2018. [13] O. Soldatenko: Methods of solving sparse linear systems. St. Petersburg State University, St. Petersburg, 2009, str. 1. 32
Literatura [14] Eigen. Dostopno na: http://eigen.tuxfamily.org/index.php?title=main_page, ogled: 11. 3. 2018 33
Priloga A - Priloga 1: Programska koda algoritma napisana v jeziku C++ - Priloga 2: Vhodne datoteke za uporabljene preseke - Priloga 3: Excel datoteka z izračuni, uporabljenimi med izdelavo zaključne naloge - Priloga 4: Seznam literature, uporabljene med izdelavo zaključne naloge 34