NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
|
|
- Darko Gorjup
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice o M (notranjost), M (rob) in M (zaprtje)! 3. Dokažite, da je v evklidskem prostoru R n rob B r (x 0 ) = o B r (x 0 ) = S r (x 0 ) (sfera)! 4. Kdaj imenujemo območje D R n odprto, zaprto, omejeno in kdaj povezano v evklidskem prostoru R n? 5. Dokažite, da je množica M := {(x, y) : x, y R, x 3 + y 3 = 1} neomejena v evklidskem prostoru R 2! Določite še množice o M (notranjost), M (rob) in M (zaprtje)! 6. Dokažite, da je množica M : {(x, y) : x, y R, x 4 + y 4 = 1} omejena v evklidskem prostoru R 2! 7. Ali je unija n 2 B 1/n (x n ) omejena množica v R 2, če je x n = ( (1 + 1/n) n, (1 1/n) n 1)? 8. Dokažite, da je odprta krogla o B r (x n ) odprta množica v evklidskem prostoru R n! 9. Dokažite, da je zaprta krogla B r (x n ) zaprta množica v evklidskem prostoru R n! 10. Dokažite, da je odprt kvadrat (1, 2) (0, 1) odprta množica v evklidskem prostoru R 2! 11. Prepričajte se, da pravokotnik (0, 2] [0, 1) ni odprta, niti zaprta množica v evklidskem prostoru R 2! 12. Dokažite, da je odprta krogla o B r (x n ) (zaprta krogla B r (x n )) povezana množica v evklidskem prostoru R n! 13. Če je x0 y 0 < r1 + r 2 je množica B r1 (x 0 ) B r2 (y 0 ) povezana v evklidskem prostoru R n. Dokažite to! 14. Dokažite enakomerno zveznost funkcije f (x, y) x 2 y na pravokotniku [0, 2] [0, 1] (na krogu krogli B 2 (3, 4))! 15. Prepričajte se, da je vsaka linearna preslikava prostora R n v prostor R m zvezna v vsaki točki! 16. Definicija odvoda skalarne funkcije f vektorske spremenljivke x = (x 1,..., x n ) v smeri enotskega vektorja s = (s 1,..., s n )? 17. Definicija prvih parcialnih odvodov funkcije f : R 2 R v točki (a, b)? { x sin Ali za funkcijo f : R 2 y R, kjer je f (x, y) = + y sin 1 x, če je xy 0 0, če je xy = 0 odvod f (0, 1)! Ali je funkcija f zvezna v točkah (0, 0) in (0, 1)?, obstaja parcialni { x 19. Za funkcijo f : R 2 R, kjer je f (x, y) = 2 sin y x, če je xy 0, izračunajte po definiciji 0, če je xy = 0 parcialni odvod f (0, 1)! Ali je funkcija f zvezna v točkah (0, 0) in (0, 1)? 1
2 { ( xy/ x 20. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = 2 + y 2), če je (x, y) (0, 0), izračunajte po definiciji 0, če je (x, y) = (0, 0) njen odvod v točki (0, 0) v smeri enotskega vektorja s = (s 1, s 2 )! Ali je funkcija f zvezna v točki (0, 0)? 21. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = xy ( x 2 y 2) / ( x 2 + y 2) 2, če je (x, y) (0, 0) 0, če je (x, y) = (0, 0), izračunajte po definiciji njen odvod v točki (0, 0) v smeri enotskega vektorja s = (s 1, s 2 )! Ali je funkcija f zvezna v točki (0, 0)? 22. V kateri smeri v točki (x 1,..., x n ) D (D je neprazna, odprta množica v prostoru R n, n N) zvezno parcialno odvedljiva (diferenciabilna) funkcija f : D R najhitreje raste (pada)? 23. Naj bo D neprazna odprta množica v prostoru R 3 in funkcija f C 1 (D, R) z lastnostjo grad f (x, y, z) = 0 za vsako točko (x, x, z) D. Dokažite, da obstaja tedaj konstanta c, da je f (x, y, z) c na D. 24. Če za funkcijo f : R 2 R obstaja okolica točke (a, b), da ima f povsod na tej okolici omejena oba parcialna odvoda, je f zvezna v točki (a, b). Preveri to! (Nasvet: f (a + h, b + k) f (a, b) [ f (a + h, b + k) f (a, b + k) ] + [ f (a, b + k) f (a, b) ] ). 25. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je xy 3, če je (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 2 0, če je (x, y) = (0, 0), se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) 0! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 26. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = x 3 y xy 3 x 2 +y 2, če je (x, y) (0, 0) 0, če je (x, y) = (0, 0), se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) x! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 27. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = x 2 y xy 2 x+y, če je x + y 0 0, če je x + y = 0, se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) x! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 28. Formulirajte Schwarzov (Eulerjev) izrek o enakosti mešanih parcialnih odvodov! 29. Kdaj imenujemo skalarno funkcijo f (x 1, x 2,..., x n ) p krat zvezno parcialno odvedljivo na odprti množici D in kaj pomeni simbol C p (D)? 30. Definirajte odvod (totalni ali Fréchet-jev, Maurice Fréchet: francoski matematik ) vektorske funkcije vektorske spremenljivke! 31. Kdaj imenujemo vektorsko funkcijo diferenciabilno ali (totalno) odvedljivo v dani točki? 2
3 32. Prepričajte se, da je vsaka odvedljiva vektorska funkcija vektorske spremenljivke v obravnavani točki nujno zvezna! 33. Če sta vektorski funkciji f in g vektorske spremenljivke (totalno) odvedljivi v točki a, je taka tudi njuna vsota in je odvod D( f + g)(a) = D f (a) + Dg(a). Dokažite to! 34. Formulirajte verižno pravilo za vektorsko funkcijo vektorske spremenljivke! 35. Totalni diferencial je invarianten glede na uvedbo nove spremenljivke. Razložite to trditev! 36. Naj bo S simetrična (sebi adjungirana) preslikava evklidskega prostora R n vase, t.j. skalarni produkt Sx, y = x, Sy za vsak x, y R n. Za funkcijo f : R n R, kjer je f (x) Sx, x, poiščite odvod D f (x) pri poljubnem x! 37. Ali je za vektorsko funkcijo f : (x 1,..., x n ) (y 1 (x 1,..., x n ),..., y n (x 1,..., x n )) prostora R n vase in njen jakobijan (y 1,...,y n ) (x 1,...,x n ) pravilna katera od dveh implikacij: (y 1,...,y n ) (x 1,...,x n ) (x) 0 za vsak x = (x 1,..., x n ) R n = = Funkcija f je injektivna.? (Odgovor obvezno utemeljite!) 38. Zapišite formulo (verižno pravilo) za odvod ϕ (t 0 ) funkcije ϕ, ϕ(t) f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), če je skalarna funkcija f (x 1, x 2,..., x n ) zvezno parcialno odvedljiva po vseh spremenljivkah na odprti množici D, ki vsebuje točko (x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x n (t 0 )) in so skalarne funkcije x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) odvedljive v točki t 0! 39. Prepričajte se, da velja za odvedljivo funkcijo f : R + R enakost grad f ( x ) f ( x ) x x za vsak x R n \{0}! 40. Naj imata funkciji f : R 2 R 3 in g: R 3 R vse svoje komponente zvezno parcialno odvedljive (po vseh spremenljivkah) ter naj bo h kompozitum, h = g f, h(u, v) = g( f (u, v)) za vsak (u, v) R 2. Kako se potem izračuna parcialni odvod h u v točki (a, b)? 41. Zapišite Taylorjevo formulo prvega reda (z napako!) za skalarno funkcijo f dveh spremenljivk x in y okrog točke (a, b)! 42. Zapišite Taylorjevo formulo drugega reda z začetno točko (a, b) za funkcijo f : R 2 R, ki ima povsod na R 2 zvezne vse parcialne odvode do vključno tretjega reda! 43. Če je funkcija f : R 2 R zvezno parcialno odvedljiva in = {(x, y) : (x, y) R 2, x 0, y 0, x 2 + y 2 4}, kako bi določili min f (x, y)? (x,y) 44. Če ima neprazno območje D R 2 definirano ploščino, navedite vsaj en zadostni pogoj za to, da je funkcija f : D R integrabilna (v Riemannovem smislu)! 45. Navedite primer uporabe dvojnega (Riemannovega) integrala! 46. Ali je funkcija, ki je v osnovnem pomenu Riemannovo integrabilna, nujno omejena? 47. Ali je omejenost funkcije zadosten pogoj za njeno integrabilnost? (Odgovor utemeljite!) 48. Zapišite formulo za izračun dvojnega integrala po območju, ki ima obliko krivočrtnega trapeza! 49. Zapišite kakšen zadosten pogoj, ki mu morajo ustrezati funkcija f : D R ter območji D in D D, da velja enakost f dp = 2 f dp! D D 50. Za pravokotnik D = [0, 1] [0, 2] utemeljite oceno 2 e e (x2 +y 2) dx dy 2! 5 D 51. Formulirajte izrek o povprečni (srednji) vrednosti funkcije f : D R na območju D R 2! 3
4 52. Zapišite formulo za izračun dvojnega integrala D f (x, y) dx dy, če je D = {(x, y) R 2 : a x b, c(x) y d(x)} in če je D = {(x, y) : c y d, a(y) x b(y)}! 53. Zamenjajte vrstni red integriranja v dvakratnem integralu 0 dx x 2 f (x, y) dy, kjer je f zvezna 2 2x funkcija R 2 R! 54. Formulirajte izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral in povejte, kakšen je geometrijski pomen jakobijana! 55. S pomočjo dvojnega integrala izračunajte dvakratni integral 1 0 dy 1 y sin ( x 2) dx! 56. Definicija izlimitiranega dvojnega integrala zvezne funkcije (konstantnega) znaka po neomejenem območju? 57. Definicija trojnega (Riemanovega) integrala f (x, y, z) dx dy dz? 58. Navedite primer uporabe trojnega (Riemannovega) integrala! 59. Navedite vsaj en zadostni pogoj za obstoj trojnega (Riemannovega) integrala! 60. Formulirajte izrek o povprečni (srednji) vrednosti funkcije f : R na območju R 3! 61. Zapišite formulo za izračun trojnega integrala f (x, y, z) dx dy dz, če je = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} in če je = {(x, y, z) R 3 : z 1 z z 2, (x, y) D(z)}! 62. Kako bi dokazali enakost e x2 dx = 0 π 2? 63. Navedite zadostni pogoj za to, da je funkcija F, F(y) = b f (x, y) dx za vsak y [c, d], odvedljiva na a [c, d]! Kako se izraža odvod F s funkcijo f (pri navedenem pogoju)? 64. Pri nekem pogoju velja Leibnizova formula za odvod d b(y) dy f (x, y) dx. a(y) zapišite formulo! Navedite ta pogoj in 65. Definicija realnih funkcij Γ in B in zveza med njima? 66. Opišite Stirlingovo formulo in povejte zakaj jo uporabljamo! 67. Skicirajte graf funkcije Γ! 68. Kako lahko izračunamo numerične vrednosti funkcije Γ pri velikih in pri majhnih vrednostih argumenta? 69. Katero funkcijo realne spremenljivke imenujemo faktorsko? 70. Za skalarne in vektorske funkcije izpeljite formule za odvode: d dτ [ f [ f f (t(τ)), d dt (t) g (t)] in d dt (t) g (t)]! 71. Če je vektorska funkcija f (t) odvedljiva in ima konstantno absolutno vrednost ( f (t) konst.), je za vsak t odvod d dt f (t) pravokoten na f (t). Dokažite to! 72. Dani sta skalarna funkcija λ(s) in odvedljiva vektorska funkcija B (s) z lastnostjo, da je B (s) 1 in λ(s) B (s) n= konst. 0. Pokažite, da sta tedaj obe funkciji λ(s) in B (s) konstantni! 73. Ali je kakšna razlika med pojmoma pot v R 3 in krivulja v R 3? (Definicija obeh pojmov?) 4
5 74. Ali je krivulja z enačbo r = r (t) (t 2 2t 3, 2t t 2, 3t 2 2t 3 4t) ravninska? Če je, v kateri ravnini leži? 75. Ali se krivulji K 1 in K 2 z enačbama r = r 1 (s) ( s s2, s 2, 3 4 s) in r = r 2 (t) (t 2 t, 2t, t 2 + t) sekata? Če se, v koliko točkah se sekata? 76. Katero krivuljo imenujemo gladko, odsekoma gladko, enostavno in enostavno sklenjeno? 77. Definicija dolžine poti in ločne dolžine krivulje? 78. Kdaj imenujemo parametrizacijo krivulje naravno? 79. Ali za vsako enostavno krivuljo razreda C 1 obstaja naravna parametrizacija? 80. Kako sta definirani (analitično) fleksijska in torzijska in ukrivljenost (κ in ω) gladke enostavne krivulje v dani točki te krivulje? 81. Ali sta fleksija in torzija krivulje razreda C 3 povsem enolično določeni, t.j. neodvisni od parametrizacije te krivulje? 82. Kakšen je geometrijski pomen fleksije in torzije? ( T, ) 83. Razložite pojem osnovnega spremljajočega triedra N, B gladke krivulje razreda C 3! 84. Kateri vektorji osnovnega triroba v dani točki gladke krivulje razreda C 3 so povsem enolično določeni? 85. Kakšen je kinematični pomen osnovnega triedra in fleksije krivukje? 86. Frenet Serret-jeve formule in njihov pomen? 87. Definicija krivinskega polmera, pritisnjene krožnice in evolute krivulje? 88. Kako bi zapisali parametrično enačbo pritisnjene krožnice krivulje K z enačbo r = f (t), t [a, b], v točki z radijem vektorjem r 0 = f (t 0 ), kjer je f gladka, trikrat zvezno odvedljiva vektorska funkcija? 89. Katere izmed količin T, N, B, κ in ω so pri gladki krivulji razreda C 3 povsem enolično določene, t.j. neodvisne od parametrizacije? 90. Za krivuljo K razreda C 3 preverite trditve : (i) κ(s) 0 K leži na premici (ii) ω(s) 0 = K je ravninska (iii) κ(s) 0 = ( ω(s) 0 K je ravninska )! 91. Definicija klotoide? 92. Izpeljite parametrično enačbo klotoide, ki leži nad abscisno osjo in se dotika te osi v koordinatnem začetku! 93. Definicija krivinskega polmera krivulje K razreda C 3 v dani točki in kako bi ga izračunali za krivuljo, ki leži v ravnini 0xy in ima enačbo y = y(x)? 94. Kako bi zapisali parametrično enačbo pritisnjene krožnice krivulje K z enačbo r = f (t), t [a, b], v točki z radijem vektorjem r 0 = f (t 0 ), kjer je f gladka, trikrat zvezno odvedljiva vektorska funkcija? 95. Definicija evolute krivulje? 5
6 96. Definicija enostavne gladke krivulje K in krivuljnega integrala 1. vrste K u ds? 97. Naštejte nekaj primerov uporabe krivuljnega integrala 1. vrste! 98. Definicija enostavne, gladke orientirane krivulje K in krivuljnega integrala 2. vrste K a d r? 99. Za daljico K s krajiščima A(a 1, a 2, a 3 ) in B(b 1, b 2, b 3 ) preverite enakost B K:A x dy y dx = a 1 a 2 b 1 b 2! 100. Dokažite enakost a dr = a dr! K K 101. Preverite oceno a dr K K a ds! 102. Formulirajte reenov teorem o cirkulaciji ravninskega vektorskega polja! 103. Naj bosta funkciji f (t) in g(t) zvezno odvedljivi na intervalu [α, β] in naj bo f (t) g(t) za vsak t (α, β). Naj bo D 1 = {(x, y) R 2 : α x β, f (x) y g(x)} in D 2 = {(x, y) R 2 : α y β, f (y) x g(y)}. Funkciji P(x, y) in Q(x, y) naj bosta po obeh spremenljivkah zvezno parcialno odvedljivi na odprtem območju D R 2. Dokažite implikaciji: (a) D 1 D = P(x, y) dx = D 1 D 1 (b) D 2 D = Q(x, y) dy = D 2 D 2 P y (x, y) dx dy Q (x, y) dx dy Za območje D R 2, ki je omejeno z odsekoma gladkim robom D, je ploščina P(D) dana s formulo P(D) = 1 x dy y dx. 2 D Dokažite jo! 105. Naj bo v ravnini Oxy dana krivulja K v polarni obliki r = r(ϕ), ϕ [ϕ 1, ϕ 2 ], ϕ 1 < ϕ 2, kjer je funkcija ϕ r(ϕ) zvezno odvedljiva (r = r, r = x i + y j je radij vektor točke T(x, y) K). Nadalje naj območje D v ravnini Oxy tvorijo vse daljice, ki imajo eno krajišče skupno in sicer v koordinatnem začetku in drugo krajišče na krivulji K. Dokažite, da je tedaj ploščina P(D) območja D dana z enačbo P(D) = 1 2 ϕ2 ϕ 1 r 2 (ϕ) dϕ. (Upoštevajte prejšnjo izražavo ploščine s krivuljnim integralom!) 106. Naj bo odprto, povezano območje in vektorsko polje v naj bo na zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah ter naj bo krivuljni integral B K:A vd r odvisen le od začetne točke A in končne točke B krivulje K in nič od oblike krivulje K - to pri poljubni enostavni, odsekoma gladki krivulji K. Preverite, da je pri teh pogojih vektorsko polje v gradientno na Naj bo D neprazno, odprto območje v prostoru R 2 in naj bosta funkciji P(x, y) in Q(x, y) zvezni na D. Navedite zadostni pogoj, ki se nanaša le na območje D ter na funkciji P in Q, da bo krivuljni integral B K:A P dx + Q dy odvisen le od začetne točke A in od končne točke B krivulje K za vsako enostavno, odsekoma gladko krivuljo K D! 6
7 108. Naj bo odprto, povezano območje in vektorsko polje v naj bo na gradientno, v = grad u. Dokažite, da je tedaj B K:A vd r = u(b) u(a), za vsako enostavno, odsekoma gladko krivuljo K! 109. Prepričajte se, da je gravitacijsko vektorsko polje F = κ mm r ( r = x i + y j + z k) gradientno na r 3 odprtem območju = R 3 {(0, 0, 0)}. Poiščite potencial tega polja na! 110. Definicija gladke elementarne ploskve in odsekoma gladke ploskve ter njene orientacije? 111. Katere ploskve imenujemo orientabilne in katere neorientabilne? 112. Izpeljite formulo za površino gladke elementarne ploskve, dane v eksplicitni obliki z = f (x, y)! (Formulirajte trditev!) 113. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo notranjost oz. rob gladke elementarne ploskve? 114. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo odsekoma gladko ploskev? 115. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo gladko ploskev? 116. Kdaj imenujemo gladko oz. odsekoma gladko ploskev orientabilno? 117. Definicija ploskovnega integrala 1. vrste skalarnega polja u po gladki elementarni in po odsekoma gladki ploskvi? 118. Razložite, zakaj je ploskovni integral 1. vrste posplošitev dvojnega integrala! 119. Naštejte nekaj primerov uporabe ploskovnega integrala 1. vrste! 120. Definicija ploskovnega integrala 2. vrste vektorskega polja v po gladki elementarni orientirani ploskvi? 121. Razložite, zakaj je ploskovni integral 2. vrste posplošitev dvojnega integrala! 122. Dokažite enakost a d P S= a d P S! 123. Preverite oceno a d P S P a ds! 124. Naj bosta funkciji z 1 (x, y) in z 2 (x, y) zvezno parcialno odvedljivi po obeh spremenljivkah na odprtem območju D v postoru R 2, naj bo z 1 (x, y) z 2 (x, y) za vsako točko (x, y) D D in = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)}, kjer je D omejeno konveksno območje v R 2, katerega rob D je enostavna sklenjena gladka krivulja. Skalarno polje u(x, y, z) naj bo zvezno parcialno odvedljivo po vseh spremenljivkah na odprtem območju. Neposredno iz definicije ploskovnega integrala druge vrste, brez uporabe aussovega teorema, izpeljite tedaj enakost + (u k) d S = u z dv (integrirate po zunanji strani območja )! 125. Dokažite formulo a ds = ± [ fu (u, v), f v (u, v), a(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ] du dv P za izračun skalarnega pretoka vektorskega polja a skozi orientirano gladko elementarno ploskev P, ki ima gladko injektivno reprezentacijo (parametrizacijo) ( D,, f )! 7
8 126. Skalarni pretok zveznega vektorskega polja a = a(x, y, z) = a 1 (x, y, z) i + a 2 (x, y, z) j + a 3 (x, y, z) k skozi zgornjo stran gladke elementarne orientirane ploskve P, ki je dana kot graf parcialno zvezno odvedljive funkcije z : D odp. R 3, je dan s formulo [ ] ( ) ( ) a ds z = a 3 x, y, z(x, y) a1 x, y, z(x, y) (x, y) a ( ) z 2 x, y, z(x, y) (x, y) dx dy, y P kjer je P = {( x, y, z(x, y) ) ( x, y ) }. Preverite to! 127. Naj bodo funkcije x 1 (y, z), x 2 (y, z), y 1 (x, z), y 2 (x, z), z 1 (x, y) in z 2 (x, y) zvezno parcialno odvedljive po vseh spremenljivkah na odprtih območjih D 1, D 2 in D 3 v postoru R 2, naj bodo D 1, D 2 in D 3 zaprte in omejene množice, ki imajo za svoje robove D 1, D 2 in D 3 enostavne sklenjene in gladke krivulje ter naj bo: Naj bo R 3 regularno območje, + x 1 (y, z) x 2 (y, z) za vsako točko (y, z) D 1 D 1 y 1 (x, z) y 2 (x, z) za vsako točko (x, z) D 2 D 2 in z 1 (x, y) z 2 (x, y) za vsako točko (x, y) D 3 D 3. = {(x, y, z) R 3 : (y, z) D 1, x 1 (y, z) x x 2 (y, z)} = = {(x, y, z) R 3 : (x, z) D 2, y 1 (x, z) y y 2 (x, z)} = = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D 3, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} in vektorsko polje a(x, y, z) a 1 (x, y, z) i+a 2 (x, y, z) j+a 3 (x, y, z) k naj bo zvezno parcialno odvedljivo po vseh spremenljivkah na odprtem območju. Neposredno, brez uporabe aussovega teorema, dokažite, da veljajo tedaj enakosti (a 1i) ds = a 1 dv, (a 2 j) ds = a 2 y dv in (a 3k) ds = a 3 z dv, (integrirate + po zunanji strani območja )! 128. Kako se glasi aussov divergenčni teorem? 129. Izpeljite enakost u grad v d S = ( ) ( ) grad u grad v dv + u v dv ( = ), če je območje + v R 3 z odsekoma gladkim robom, ki leži v odprtem območju R 3 in če je skalarno polje u zvezno parcialno odvedljivo na po vseh spremenljivkah ter ima skalarno polje v na zvezne vse parcialne odvode do vključno drugega reda! + K r (a) Če označuje r krajevni vektor poljubne točke T v prostoru R 3 ( r = OT, O je koordinatni začetek), pokažite, da je div r r 3 = 0 za vsak r 0! (b) Za kroglo K s središčem v koordinatnem začetku O pokažite, da je skalarni pretok I := r ds = 4π, kjer pomeni + K pozitivno orientiran rob krogle K (površje krogle s poljem zunanjih normal). (c) Če bi za vektorsko polje r r r + 3 uporabili aussov divergenčni teorem, bi zaradi (a) dobili za skalarni pretok I tega polja skozi površje K v smeri zunanje normale enakost I = 0, kar je v nasprotju z (b). Razložite to navidezno protislovje! 131. Definirajte vektorski pretok u dsskalarnega polja u skozi orientirano gladko ploskevpin volumski integral P vdv vektorskega poljavpo območju ter dokažite enakost u d S = grad u dv! + (Integrirate po zunanji strani površja.) 132. Formulirajte Stokesov teorem o cirkulaciji! 8
9 133. Razložite, zakaj je Stokesov teorem o cirkulaciji posplošitev reenovega izreka! 134. Če je vektorsko polje v(x, y, z) zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah na odprtem območju R 3 in na gradientno, je brezvrtinčno, t.j. rot v = 0 na. Prepričajte se o tem! 135. Če je povezano območje R 3 odprto in enostavno povezano in je vektorsko polje v na zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah ter je rot v = 0 na, je polje v gradientno na. Preverite to! 136. Ali je vektorsko polje a nujno potencialno na odprtem območju R 3, če je (rot a)(x, y, z) = 0 za vsako točko T(x, y, z) in so vse komponente P, Q in R polja a(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k zvezno parcialno odvedljive po vseh treh spremenljivkah na vsem območju? (Odgovor utemeljite!) 137. Prepričajte se, da veljata za vektorsko polje v(x, y, z) y i + x j enakosti: x 2 +y 2 x 2 +y 2 (a) v(x, y, z) = grad ( ) arctan y x za vsak x 0 (b) (rotv) (x, y, z) = 0 za vsako točko (x, y) (0, 0). Torej je polje v gradientno na območju R 3 ({0} R R) in brez vrtincev na odprtem povezanem območju (votel valj) = { (x, y, z) R 3 : 1 < x 2 + y 2 < 9, 0 < z < 2 }. Prepričajte se, da je cirkulacija vd r = ±2π za vsako enostavno sklenjeno, odsekoma gladko, orientirano krivuljo K, ki,,objame K izrezani valj! Zakaj je neenakost in (b)? K 138. Dokažite, da so diferencialni operatorji grad, div in rot linearni! vd r 0 le v navideznem nasprotju z zgornjima točkama (a) 139. Prepričajte se, da veljajo pri določenih predpostavkah (katerih?) enakosti: (a) div(rot a)= 0, grad div a = rot rot a + a (b) grad(uv) = u grad v + v grad u (c) div(u a) = u div a + a grad u (d) rot(u a) = u rot a+grad u a (e) grad( a b) = a rot b + b rot a + ( a ) b + ( b ) a (f) div( a b) = b rot a a rotb (g) rot( a b) = a div b b div a + ( b ) a ( a ) b. Delovanje Laplaceovega operatorja = = 2 2 definirano takole: y 2 z 2 u = 2 u + 2 u + 2 u, (a 2 y 2 z 2 1i + a2 j + a3 k) = ( a1 ) i + ( a 2 ) j + ( a 3 ) k. na skalarnem in vektorskem polju je Delovanje diferencialega operatorja b = b 1 + b 2 y + b 3 z na skalarnem in vektorskem polju je definirano z: ( b ) u u = b 1 + b 2 u y + b 3 u z in ( b ) ( ) i ( ) j ( ) k. (a 1i + a2j + a3k) = ( b ) a 1 + ( b )a 2 + ( b )a Razložite pojem rešitve navadne diferencialne enačbe F(x, y, y, y ) = 0! 141. Razložite pojma začetnega in robnega problema (Cauchyjeva in Sturm-Liouvilleova naloga) za navadno diferencialno enačbo drugega reda! 142. Razložite pojem začetnega problema za navadno diferencialno enačbo n-tega reda! Navedite kakšne zadostne pogoje za rešljivost in za enolično rešljivost tega začetnega problema! 143. Kdaj ima začetni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 pri predpisanih x 0 in y 0 vsaj eno rešitev in kdaj natanko eno (zadostni pogoj)? 144. eometrijsko tolmačenje začetnega problema za navadno diferencialno enačbo prvega reda? 9
10 145. Razložite pojem numeričnega reševanja začetnega problema za navadno diferencialno enačbo drugega reda! 146. Izpeljite vsaj en algoritem (Picardov, Eulerjev,,,Taylorjev ) za numerično reševanje začetnega problema za navadno diferencialno enačbo prvega reda! 147. Dokažite, da pri poljubni partikularni rešitvi y navadne linearne diferencialne enačbe drugega reda obstaja za vsako rešitev y te diferencialne enačbe taka rešitev y h prirejene homogene diferencialne enačbe, da je y = y h + y! 148. Razložite čemu služi in kako deluje metoda variacije konstante za navadno linearno diferencialno enačbo prvega reda! 149. Opišite in dokažite metodo variacije konstant, s katero lahko poiščemo partikularno rešitev ỹ diferencialne enačbe y +p(x)y +q(x)y = r(x) (p, q, r zvezne funkcije na nekem odprtem intervalu), če sta znani linearno neodvisni rešitvi η 1 (x) in η 2 (x) prirejene homogene d.e.! 150. Če imamo znanih n linearno neodvisnih rešitev navadne homogene linearne diferencialne enačbe reda n, ali lahko potem vedno rešimo začetni problem y(0) = y 0,..., y (n 1) (0) = y n 1 pri poljubnih y 0,..., y n 1? (Odgovor utemeljite!) 151. Če imamo znanih n različnih rešitev navadne homogene linearne diferencialne enačbe reda n s konstantnimi koeficienti ali lahko potem vedno rešimo začetni problem y(0) = y 0,..., y (n 1) (0) = y n 1 pri poljubnih y 0,..., y n 1? (Odgovor utemeljite!) 152. Definicija karakterističnega polinoma diferencialne enačbe, na katero diferencialno enačbo se nanaša in kakšen je njegov pomen? 153. Nihanje (z viskoznim dušenjem) masne točke v smeri abscisne osi okrog koordinatnega začetka popisuje d.e. x + 2βx + ω 2 0 x = f (t) (β in ω 0 sta dani konstanti, f je dana zvezna funkcija). Če sta ob času t = t 0 vnaprej dani začetna lega x 0 = x(t 0 ) in začetna hitrost v 0 = x (t 0 ), ali je začetni pospešek a 0 = x (t 0 ) s tem že enolično določen ali pa je lahko še poljuben? (Odgovor utemeljite!) 154. Poiščite vsaj eno netrivialno rešitev u(t, x) valovne enačbe u tt = 4u xx, ki ustreza robnim pogojem u(t, 0) u(t, π) 0! 155. Opišite Fourierjevo metodo reševanja valovne enačbe u tt = c 2 u xx (c, L R + ) z danimi začetnimi in robnimi pogoji: u(0, x) = f 1 (x), u t (0, x) = f 2 (x), u(t, 0) = g 1 (t), u(t, L) = g 2 (t)! 10
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večPopravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG : popravljena naloga : popravljena naloga 14 domače naloge - 2. skupina
Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večPredtest iz za 1. kontrolno nalogo- 2K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota.
Predtest iz za 1. kontrolno nalogo- K Teme za kontrolno nalogo: Podobni trikotniki. Izreki v pravokotnem trikotniku. Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih
Prikaži večMatematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje
Matematika 2 - ustna vprašanja 1) Determinanta, poddeterminanta (1,3)...3 2) Lastnosti determinante (5)...3 3) Cramerjevo pravilo (9)...3 4) Računanje z vektorji, kot med vektorij (11)...3 5) Skalarni
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večŠtudij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večLinearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 4.10 Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi s
Linearna algebra - povzetek vsebine Peter Šemrl Jadranska 21, kabinet 410 petersemrl@fmfuni-ljsi Izpitni režim: Kolokviji in pisni izpiti so vsi sestavljeni iz dveh delov: v prvem delu se rešujejo naloge,
Prikaži večMATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140
MATEMATIKA 2. LETNIK GIMNAZIJE G2A,G2B Sestavil: Matej Mlakar, prof. Ravnatelj: Ernest Simončič, prof. Šolsko leto 2011/2012 Število ur: 140 Pravila ocenjevanja pri predmetu matematika na Gimnaziji Krško
Prikaži večBojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Mih
Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA I IN ANALIZA II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 1) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večUM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del
UM FKKT, Bolonjski visoko²olski program Kemijska tehnologija Vpisna ²tevilka Priimek, ime 3. test pri predmetu MATEMATIKA II Ra unski del 13. 6. 2016 Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani
Prikaži večPRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x x 8 s koordinatnima osema. R: 2 0, 8, 4,0,,0
PRIPRAVA NA 1. Š. N.: KVADRATNA FUNKCIJA IN KVADRATNA ENAČBA 1. Izračunaj presečišča parabole y=5 x +18 x 8 s koordinatnima osema. R: 0, 8, 4,0,,0 5. Zapiši enačbo kvadratne funkcije f (x )=3 x +1 x+8
Prikaži večMatematika II (UN) 1. kolokvij (13. april 2012) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je A
Matematika II (UN) 1 kolokvij (13 april 01) RE ITVE Naloga 1 (5 to k) Dana je linearna preslikava s predpisom τ( x) = A x A 1 x, kjer je 0 1 1 A = 1, 1 A 1 pa je inverzna matrika matrike A a) Poi² ite
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večVEKTORSKE FUNKCIJE Vektorske funkcije so funkcije, katerih rezultat preslikave je vektor v prostoru. Preslikave so: preslikava rezultat 3 f(t) = ( x(t
VETORSE FUNCIJE Vektorske funkcije so funkcije, katerih rezultat preslikave je vektor v prostoru. reslikave so: preslikava rezultat 3 f(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) 3 f(u,v) = ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) ). 3 3
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večKotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos = b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu naspr
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete in hipotenuze. Kosinus kota je razmerje
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večBojan Magajna Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo sin πz = πz n=1 (1 z2 n 2 ) DMFA založništvo
Bojan Magajna Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo sin πz = πz n=1 (1 z2 n 2 ) DMFA založništvo Kazalo Predgovor 9 1. Osnovno o diferencialnih enačbah 13 1.1. Nekatere enačbe
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večNaloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Tr
Naloge 1. Dva električna grelnika z ohmskima upornostma 60 Ω in 30 Ω vežemo vzporedno in priključimo na idealni enosmerni tokovni vir s tokom 10 A. Trditev: idealni enosmerni tokovni vir obratuje z močjo
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večPoglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s ko
Poglavje 1 Kinematika in dinamika 1.1 Premočrtno gibanje 1.1.1 Rešene naloge 1. Točka se giblje premočrtno po osi x. V času od 0 do t 1 se giblje s konstantno brzino v 1, v času od t 1 do t 2 enakomerno
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večNumeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge - 1. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 10 to k
Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za
Prikaži večDiploma.Žiga.Krofl.v27
Univerza v Ljubljani Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo University of Ljubljana Faculty of Civil and Geodetic Engineering Jamova cesta 2 1000 Ljubljana, Slovenija http://www3.fgg.uni-lj.si/ Jamova
Prikaži večUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednot
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI Vrednotenje zavarovalnih produktov Seminarska naloga Naloge so sestavni del preverjanja znanja pri predmetu Vrednotenje zavarovalnih produktov. Vsaka naloga je vredna
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži večPowerPoint Presentation
RAK: P-II//9 NUMERIČNI MODE esatno reševanje: reševanje dierencialni enačb aprosimativno reševanje: metoda ončni razli (MKR) inite dierence metod (FDM) metoda ončni elementov (MKE) inite element metod
Prikaži večPriloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito
Priloga 1 Ljubljana 2018 MATEMATIKA Katalog znanja za osebe z mednarodno zaščito KAZALO 1 UVOD... 3 2 IZPITNI CILJI... 4 3 ZGRADBA IN VREDNOTENJE IZPITA... 5 3.1 Shema izpita... 5 3.2 Tipi nalog in vrednotenje...
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večSTROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknj
STROJNIŠKI VESTNIK LETNIK 22 LJUBLJANA, JULIJ AVGUST 1976 ŠTEVILKA 7 8 UDK 624.073.12 Prispevek k reševanju drugega robnega problema pri steni z luknjo F R A N C K O S E L M A R K O Š K E R L J Članek
Prikaži večMatematika Uporaba integrala (1) Izračunaj ploščine likov pod grafi danih funkcij: (a) f(x) = x 2 na [0, 2], (b) f(x) = e x na [0, 1], (c) f(x) = x si
Mtemtik Uporb integrl () Izrčunj ploščine likov pod grfi dnih funkcij: () f() n [ ] (b) f() e n [ ] (c) f() sin n [ π]. Rešitev: Nj bo f zvezn pozitivn funkcij n intervlu [ b]. Ploščin lik ki leži pod
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večFGG14
Iterativne metode podprostorov Iterativne metode podprostorov uporabljamo za numerično reševanje linearnih sistemov ali računanje lastnih vrednosti problemov z velikimi razpršenimi matrikami, ki so prevelike,
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večMicrosoft Word - 9.vaja_metoda porusnih linij.docx
9. vaja: RAČUN EJNE NOSILNOSTI AB PLOŠČ PO ETODI PORUŠNIH LINIJ 1. ZASNOVA S pomočjo analize plošč po metodi porušnih linij bomo določili mejno obtežbo plošče, za katero poznamo geometrijo, robne pogoje
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večVsebinska struktura predmetnih izpitnih katalogov za splošno maturo
Ljubljana 017 MATEMATIKA Predmetni izpitni katalog za splošno maturo Predmetni izpitni katalog se uporablja od spomladanskega izpitnega roka 019, dokler ni določen novi. Veljavnost kataloga za leto, v
Prikaži več