Slide 1

Transkripcija

1 Zaščina ehnika in avomaizacija Diskreni Fourierev ransform

2 Digialna zaščia Razvoj numeričnih meod Upoševanje višjih harmonskih komponen, šuma, frekvence odbiih valov, Za pravilno obdelavo signalov je ključna naančna prevorba izmerjenega analognega signala v digialno obliko (v zaporedje časovno diskrenih vrednosi) Upoševanje Shannonovega eorema (nasanek drugačnosne frekvence ob neizpolnjevanju eorema) Proces vzorčenja x() δ() x * ( ) x( kt ) ( kt ) k v(k) x * ()

3 Vzorčenje signala Neizpolnjevanje Shannonovega eorema povzroči nasanek drugačnosne frekvence x() 1/11f s Signal drugačnosne frekvence 1/11f s f s =1/T 3

4 Frekvenčni speker Frekvenčni speker vzorčenega signala Uporaba maemaičnih orodij, ko je Fourierev ransform Ampliuda signala Začeni ko signala Primer: x() = 4 sin(π f 1 + π/) + sin(π f 3 + π/3), kjer f 1 = 50 Hz, f 3 = 150 Hz x() 4

5 Frekvenčni speker Signal sesavljen iz osnovne in reje harmonske komponene x 1 () Osnovna harmonska komponena 4 sin(π f 1 + π/) x 3 () Treja višja harmonska komponena sin(π f 3 + π/3) 5

6 Frekvenčni speker Prikaz ampliud in faznih koov harmonskih komponen signala v frekvenčnem prosoru (prikaz valovanja) A A 1 = 4 A 3 = φ f 1 f f 3 f 4 f 5 φ 1 = π/ φ 3 = π/3 f f 1 f f 3 f 4 f 5 f 6

7 Meode obdelave signalov Digialna zaščia emelji na uporabi časovno diskrenih signalov (numerične meode) Sposobnos obravnave harmonsko popačenih signalov in enosmerne komponene Fouriereva analiza Walshova analiza Meoda najmanjših kvadraov Kalmanov filer Meode se razlikujejo po Hirosi delovanja meode (hiros zaščie) Naančnosi meode (naančnos zaščie) 7

8 Meode obdelave signalov Naloga Izločii določene komponene signala Signal preoblikovai v časovni in frekvenčni prosor Pridobii informacijo o signalu Ampliuda, fazni ko, frekvenca Efekivna vrednos, povprečna vrednos 8

9 Fouriereva vrsa in ransformacija Fourierev ransform poda frekvenčni speker signala Določiev ampliude in faznega koa harmonskih komponen Predposavka periodičnosi signala Osnovni princip: Opis poljubnega (periodičnega) signala s sinusnimi in kosinusnimi funkcijami vorjenje Fouriereve vrse a x a n b n 0 ( ) ncos( 1 ) nsin( 1 ) n1 n1 9

10 Fouriereva vrsa in ransformacija Fourierev ransform poda frekvenčni speker signala Določiev ampliude in faznega koa harmonskih komponen Predposavka periodičnosi signala Osnovni princip: Opis poljubnega (periodičnega) signala s sinusnimi in kosinusnimi funkcijami vorjenje Fouriereve vrse Fourierevi koeficieni a 0, a n, b n Osnovna perioda signala a x a n b n 0 ( ) ncos( 1 ) nsin( 1 ) n1 n1 n-a harmonska komponena 10

11 Fouriereva vrsa za zvezne funkcije a x a n b n 0 ( ) ncos( 1 ) nsin( 1 ) n1 n1 Fourierevi koeficieni: a 0 0 x() d T T 0 T 0 an x( ) cos( n1 ) d T 0 T 0 bn x( ) sin( n1 ) d T 0 11

12 Fouriereva vrsa za zvezne funkcije Fourierevo vrso a0 x( ) ancos( n1 ) bn sin( n1 ) lahko zapišemo drugače a0 x( ) a1 cos( 1 ) b1 sin( 1 ) a cos( ) b sin( )... oziroma ko n1 n1 1 a x A A Fazni ko n-e harmonske komponene 0 ( ) 1 cos( 1 1) cos( 1 )... Ampliuda n-e harmonske komponene 1

13 Fouriereva vrsa za zvezne funkcije Ampliuda n-ega harmonika se izračuna po A a b n n n Fazni n-ega harmonika ko pa po n b n arcan an Povezava razvidna v kompleksni ravnini Im b n A a b n n n n a n Re 13

14 Uporaba Fouriereve vrse Primer ţagase funkcije f ( x) x, za x f ( x ) f ( x), za x Fourierevi koeficieni so 1 an x cos( nx) dx 0, n 0, n bn xsin( nx) dx cos( n ), n 1. n n Fouriereva vrsa za ţagaso funkcijo n1 n 1 1 f ( x) sin( nx), za x Z. n Ţagaso funkcijo opišemo s sinusnimi in kosinusnimi funkcijami Kako naančno opišemo funkcijo je odvisno od n 14

15 Uporaba Fouriereve vrse n = 1 1 n1 n f ( x) sin( nx) sin( x), za x Z n pi -pi -pi 0 pi pi 3pi 15

16 Uporaba Fouriereve vrse n = n1 1 1 n1 1 f ( x) sin( nx) n sin( x) sin( x), za x Z pi -pi -pi 0 pi pi 3pi 16

17 Uporaba Fouriereve vrse n = 3 n f ( x) sin( nx) sin( x) n 1 n sin( x) sin(3 x), za x Z pi -pi -pi 0 pi pi 3pi 17

18 Uporaba Fouriereve vrse n n1 n 1 1 f ( x) sin( nx), za x Z n pi -pi -pi 0 pi pi 3pi 18

19 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije Digialna zaščia emelji na zaporedju časovno diskrenih vrednosi uporaba časovnega okna Znoraj okna določamo pripadajočo ampliudo in fazo signala FIFO regiser z vsakim novim vzorčenjem se premakne za čas vzorčenja Za diskrene signale inegral Fourierevih koeficienov nadomesimo z vrso X a N1 N1 in x cos x W X b N1 N1 in x sin x W Re, n n i i Re, n, i N i0 N N i0 Im, n n i i Im, n, i N i0 N N i0 19

20 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije Digialna zaščia emelji na zaporedju časovno diskrenih vrednosi uporaba časovnega okna Znoraj okna določamo pripadajočo ampliudo in fazo signala FIFO regiser z vsakim novim vzorčenjem se premakne za čas vzorčenja Za diskrene signale inegral Fourierevih koeficienov nadomesimo z vrso vrednos vzorca i i-i vzorec X a N1 N1 in x cos x W X b N1 N1 in x sin x W Re, n n i i Re, n, i N i0 N N i0 Im, n n i i Im, n, i N i0 N N i0 n-a harmonska komponena Ševilo vzorcev v oknu 0

21 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() Izmerimo prvo vrednos signala x 1 T s x... Sanje pri začeku merive Okno vsebuje prvo meriev x N x 1 = [1 ma] x = [0] x 3 = [0] x 4 = [0] x 5 = [0] V podanem primeru N = 5 N T s Okno širine N T s Čas vzorčenja T s =1/f s Ševilo vzorcev znoraj okna 1

22 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() Izmerimo naslednjo vrednos signala T s kasneje v oknu zajei dve merivi x 1 = [5 A] x = [1 ma] x 3 = [0] x 4 = [0] x 5 = [0] Vrednos prve merive se premakne za eno meso v FIFO regisru

23 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() V oknu ri merive x 1 = [0,3 A] x = [5 A] x 3 = [1 ma] x 4 = [0] x 5 = [0] Nova meriev premakne prejšnje vrednosi na naslednjo meso v FIFO regisru 3

24 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() V oknu širi merive x 1 = [-5 A] x = [0,3 A] x 3 = [5 A] x 4 = [1 ma] x 5 = [0] Nova meriev premakne prejšnje vrednosi na naslednjo meso v FIFO regisru 4

25 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() V oknu pe meriev okno je polno x 1 = [16 ma] x = [-5 A] x 3 = [0,3 A] x 4 = [5 A] x 5 = [1 ma] Nova meriev premakne prejšnje vrednosi na naslednjo meso v FIFO regisru 5

26 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() V oknu pe meriev okno je polno x 1 = [4,95 A] x = [16 ma] x 3 = [-5 A] x 4 = [0,3 A] x 5 = [5 A] Prva meriev (1 ma) gre ven iz regisra in v regiser vsopi nova meriev (4,95 A) 6

27 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [-7 ma] x = [4,95 A] x 3 = [16 ma] x 4 = [-5 A] x 5 = [0,3 A] 7

28 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [-4,96 A] x = [-7 ma] x 3 = [4,95 A] x 4 = [16 ma] x 5 = [-5 A] 8

29 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [0,01 A] x = [-4,96 A] x 3 = [-7 ma] x 4 = [4,95 A] x 5 = [16 ma] 9

30 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [19 A] x = [0,01 A] x 3 = [-4,96 A] x 4 = [-7 ma] x 5 = [4,95 A] 30

31 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [0,07 A] x = [19 A] x 3 = [0,01 A] x 4 = [-4,96 A] x 5 = [-7 ma] 31

32 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [-19,7 A] x = [0,07 A] x 3 = [19 A] x 4 = [0,01 A] x 5 = [-4,96 A] 3

33 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije x() x 1 = [19 ma] x = [-19,7 A] x 3 = [0,07 A] x 4 = [19 A] x 5 = [0,01 A] 33

34 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije V oknu se izvaja obdelava vzorcev - zakasniev zaznavanja sprememb zakasniev delovanja zaščie Dejanska prekoračiev omejive v oknu zaradi povprečenja e prekoračive ne zaznamo v renuku zajei porebno več spremenjenih vrednosi x() Omejiev 34

35 Fouriereva vrsa za diskrene funkcije Uporaba polovičnega okna Namen izboljšai hiros meode za obdelavo signalov Slabos je poslabšanje frekvenčne karakerisike Nepravilna analiza sodih harmonskih komponen Občuljivos na enosmerno komponeno N 1 N 1 4 in 4 X x cos x W Re, n i i Re,1/, n, i N i0 N N i1 N 1 N 1 4 in 4 X x sin x W Im, n i i Im,1/, n, i N i0 N N i1 35