Izpitne naloge

Transkripcija

1 Višj dini in Dini strojev Zbir izpitnih nlog Priož Čerelj Zdnj spreeb: 5. j 9

2 Kzlo 1 Periodično vzbujn nihnj - uporb Fourierovih vrst 4 Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Udrn otnj - Duhelov integrl 7 Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Sistei z več prostostnii stopnji 1 Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Zvezni sistei 19 Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog

3 5 Metod prenosnih tri 3 Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog Nlog

4 1 Periodično vzbujn nihnj - uporb Fourierovih vrst 1 Periodično vzbujn nihnj - uporb Fourierovih vrst Nlog 1.1 Določi odziv siste (t) n dno inetio podlge. = g = 18 N/ = T = 1 s =, n =, b n = nπ (t) = 4 n=1 sin(nωt) nπ(1 (nω/ω ) ) y(t)( ) / / (t) y(t) () t( s) Nlog 1. Določite odziv ril v nvpični seri, (t), zrdi periodično se ponvljjočih udrcev prveg oles v udrne je, y(t) - sl. (c). Predpostvite, d st olesi ves čs v dotiu s podlgo, znerite vpliv udrjnj zdnjeg oles v udrne je, znerite vplive prei olesrj s oleso v seri vzporedni s lnce ter upoštevjte dni sni vztrjnostni oent olesrj in oles glede n točo, J - upoštevjte odel s sl.., T,, J, Y Nlog 1.3 = Y, n =, b n = Y (n 1)π (t) = Y + Y ω π n=1 sin((n 1)ωt) (n 1)ω ω (n 1) y J () y J y(t) T.5T t( s) Y (c) Obe osi vgon v enoernih čsovnih intervlih udrjt v utor spoj trčnic, r ponzorio z y(t). Če vpliv gibnj vl v horizontlni seri znerio, prv to znerio rotcijso gibnje vgon, pote določite odziv vgon v nvpični seri, (t). Vgon odelirjte ot siste z eno prostostno stopnjo, (t), in ustrezno ndoestno togostjo. Vgon i so, vs od osi p je n vgon pripet z eleento togosti. y v,, T, Y = Y, n =, b n = 4Y (n 1)π (t) = Y + Y sin((n 1)ωt) (n 1)π1 (n 1) n=1 /ω y(t).5t T t( s) Y 4

5 1 Periodično vzbujn nihnj - uporb Fourierovih vrst Nlog 1.4 Pri pehnju (poseben postope odrezvnj), so izerili silo n nož v horizontlni seri, le-t p se periodično ponvlj (glej slio). Obdelovnec je fisno vpet v izo stroj, iz p je vpet n podjno podnožje. Zni ns, o sil vpliv n nihnje siste iz-obdelovnec. Določite odziv ize, supj z obdelovnce, v horizontlni seri (t), če oenjeni siste odeliro ot siste z eno prostostno stopnjo. Podjno podnožje poenostvljeno predstvio v oblii dveh vzeti, vs predstvlj togost v seri. Supn s ize in obdelovnc je en.,, T, F = F, n =, b n = F (n 1)π (t) = F 4 + n=1 F sin((n 1)ωt) (n 1)π( (n 1) ω ) (t) () (c).5t F T t( s) Nlog 1.5 Zrdi turbulence je heliopter ed leto izpostvljen periodično se ponvljjoči suno. Suni n obeh oncih elise, poii y(t), so izerjeni ot jih prizuje grf n sl.. Če heliopter odeliro ot siste z eno prostostno stopnjo, jer eliso predstvio z ndoestno togostjo (sl. (c)), ostli del heliopterj p ot sno točo se, pote določite odziv bine heliopterj, (t), v nvpični seri. Vpliv gibnj heliopterj in vrtenje elise znerio.,, T, Y = n=1 (t) = n=1 4Y sin((n 1)ωt) (n 1)π 4Y sin((n 1)ωt) (n 1)π ω (n 1) y y(t) u T/ T Togost elise f=u y t( s) Y () ( b) ( c) Nlog 1.6 Zrdi nehoogenosti vrtečeg se dis s sl. (), nnj periodično deluje centrifugln sil, i je prizn n sl.. Če ob ležj ndoestio z eno so linerno vzetjo togosti, celotni vrteči se del p predpostvio v oblii sne toče z so, pote določite odziv dis v nvpični seri, (t), zrdi delovnj sile. Ohišje dis iruje. (t) (),, T, A (t) = A + n=1 A sin((n 1)ωt) (n 1)π( (n 1) ω ) A T/T/... t( s ) ( b) 5

6 1 Periodično vzbujn nihnj - uporb Fourierovih vrst Nlog 1.7 Določite odziv spodnjeg onc plice, (t), n dno, periodično vzbujevlno silo. Msiln sil je F, sni vztrjnostni oent plice orog vrtišč p je en 1 3 l. Upoštevjte jhne zsue in poie. Upoštevti orte tudi silo teže. l/,, F, T, l (t) = F l g+4l 4F l π(g+4l) n=1 sin((n 1)ωt) (n 1)(1 ((n 1)ω/ω ) ) l/.5t F T t( s) (t) Nlog 1.8 Določite odziv jbor jdrnice, ϕ(t), ot posledic periodičneg gibnj trup jdrnice φ(t). Celotn s jbor in jder je en, rotcijs togost vpetj jbor v trup je (M = ϕ), višin jbor je en h. Vzdolžno gibnje jdrnice znerite, upoštevjte jhne zsue, trup jdrnice p obrvnvjte ot togo telo.,, φ(t),, T, h ϕ(t) = ( gh) n=1 ω = gh h sin(nωt) π( gh) 1 ( nω ω ) (t) () (t) (t) (t)( rd ) (t) h T (t) g t( s) (c) 6

7 Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog 1.9 Pri vožnji hitreg vl Thlys čez ost, sl. (), pride zrdi sti ed trčnici do periodičneg udrjnj oles vl in posledično, do periodičneg vzbujnj ostu. Če predpostvio enostven odel siste (ost in vl) s sl. (c), z tereg st () F znni to togostn in sn tri ot tudi odlne lstnosti, pote določite ustljeni odziv siste = { 1 } T F/ preo uporbe odlnih oordint. Periodično vzbujnje siste je oblie = {f 1 (t) f (t)} T, sl (c). f(t i ).5T f 1 (t) f (t) T t( s) Mẍ + K = f K = ω 1 =, ω = M = Φ = 1 1 { } η1 + η =, η η 1 η i = F i + F i sin(n 1)ωt i π(n 1) n=1 i (n 1) i ω, F 1 = 3/F, F = 1/F 1 f 1(t) f (t) (c) Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog.1 Ob čsu t / žerjvist vlopi nvijlni boben žerjv, le-t p se nto po čsu t / ustvi zrdi npe. Če upoštevo poenostvljeni odel žerjv s sl. b) in predpostvljeni sune obreenitve n žerjv zrdi vztrjnostnih sil breen, pote določite odziv žerjv (t) z poljubni čs t >. (),, F, t, = (t) = ; t < t / { F ; t / t t ; drugje f( t) F (t) = F 1 cos ω (t t /) ; t / t t (t) = F cos ω (t t ) cos ω (t t /) ; t > t t / t( s) t (c) 7

8 Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog. Ko se sučr usede n sedež enosedežnice, le-t znih supj s sedeže. Vš nlog je, d določite izrz z odziv sučrj s sedeže (supn s ) z čs t > t (ϕ(t) =?). Pri te znerite vpliv gibnj sedež v n nihnje, z ipulz sile, i g povzroči sučr n siste sučr-sedež, p upoštevjte izrz F = βv in slio (c). Predpostvio, d celotni siste pred ipulzo iruje in z reševnje upoštevo ndoestni odel s slie, i vljučuje ndoestni sni vztrjnostni oent sedež in sučrj J orog toče vrtišč ot tudi ndoestno, supno so. v () f(t L, J L,, J, β, v, t, ϕ(t) = βv g cos(ω (t t )) cos(ω t) ; t t f( t) F t t( s) (c) Nlog.3 Ovir n slii odeliro ot nedušen siste z eno prostostno stopnjo. Določite odziv ovirj z čs t t d, če nnj deluje sune sile triotne oblie. Nig: prvilo integrirnj po delih : b udv = uv b b vdu.,, F, t d (t) = F 1 cos(ω t) t + 1 sin(ω t d t d ω t) / / F t d t( s) Nlog.4 Nosilec sedež legendrneg oles 1919 Indin Bicycle, sl. (), tereg odel je prizn n sl. (s predstvlj olesrj), v nee trenutu ed vožnjo utrpi sune ot je to prizno n sl. (d). Določite odziv ndoestneg odel s sl. (c), z tereg orte še prej določiti ndoestno togost n. Nesto dejnseg poi y(t), (površin pod rivuljo y(t) je en I) le-teg predstvite v poenostvljeni oblii ot orčno funcijo (debel poln črt n sl. (d)) višine Y in širine t in eni ipulzo sile, I.,, I 1 = = n =, ω = { I (t) = cos(ω t t) cos(ω (t t )) ; t t I cos(ω t t) 1 ; t > t (t) y(t) () n Ndoestni odel (c) (t) y(t) 1 y(t) I t Y (d) t(s) 8

9 Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog.5 Heliopter ed leto, zrdi zrčnih luenj, v nee trenutu doživi enrtni sune v nvpični seri. Če je izerjen plitud sun vetr n oncih en Y, obli sun y(t) p je prizn n slii, pote določite odziv bine heliopterj z čs t >. Siste odelirjte ot siste z eno prostostno stopnjo, jer eliso, supj z vreteno, predstvite v oblii ndoestne vzeti togosti s sl. (c), bino p ot sno točo se. Vpliv gibnj heliopterj in vrtenj elise znerite Y, t (t) = Y cos(ω (t t )) cos(ω t) u ( ) f=u Togost elise ( c) y(t) Y t t( s) ( b) Nlog.6 Letlo ed leto zrdi zrčnih luenj doleti enrtni sune vetr v nvpični seri, i trj do t predpostvio d sune y neposredno deluje le n obeh oncih ril. Če je njvečji izerjen odi n obeh oncih ril (hrti) en Y, obli sun y(t) p je prizn n slii, pote določite odziv trup letl, ( ) (t), z čs t > t. Letlo odelirjte ot siste z eno prostostno stopnjo, jer rilo predstvite v oblii ndoestne vzeti togosti (glej sl. (c)), trup p ot sno točo se. Vpliv y(t) gibnj letl znerite.,, Y, t t ( b) (t) = Y t cos(ω ω t ω (t t )) + 1 ω (sin(ω (t t )) sin(ω t)) + Y ω cos(ω (t t )) cos(ω (t t )) Y t ( cos(ω ω t ω (t t )) cos(ω (t t ))) + 1 ω (sin(ω (t t )) sin(ω (t t ))) t Y u t( s) Togost ril f=u y ( c) 9

10 Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog.7 N slii je prizn trdi dis, sestvljen iz togeg, osrednjeg vrtečeg se del sneg vztrjnostneg oent ooli težišč, J T, ter togeg ohišj. Ohišje in osrednji del st povezn preo ležjev, i jih odeliro ot dve torzijsi vzeti, t. Ohišje utrpi nendni sune v oblii zsu α(t). Vš nlog je, d nesto dejnseg zsu α(t), (površin pod rivuljo α(t) je en I) le-teg predstvite v poenostvljeni oblii ot orčno funcijo (debel poln črt n sl. b)) višine α in širine t. N podlgi poenostvljeneg zsu pote določite odziv osrednjeg del dis, ϕ(t), z čs t t. (t) t J T () (t) (t) J T, t, t, I ϕ(t) = I t 1 cos(ω t), t t, ω = t J T I t t(s) Nlog.8 Določite odziv žerjv, ϕ(t), ot posledic udrne otnje, i deluje v horizontlni seri n žerjv zrdi obincije vetr, nihnj breen ipd. (glej sice). Model žerjv (sl. in b) i sni vztrjnostni oent orog vrtišč en J, so, togost celotneg žerjv p predstvio v oblii torzijse vzeti. Upoštevjte jhne zsue. Odziv določite z pogoj 1/t t t. J,,,, F, t ϕ(t) = 3F g 1 cos ω (t t /) ω = g J () f( t), J 3 F t t / t( s) g (c) 1

11 Udrn otnj - Duhelov integrl Nlog.9 Vožnjo vtoobil s sl. () odeliro ot gibnje togeg teles v rvnini (upoštevo so eno os oz. dve olesi). Med vožnjo v nee trenutu lev strn vtoobil zpelje n grbino, i je določen ot poi podlge y(t), sl. (c). T, nendni ipulz, se preo leve gue, tere togost je en, prenese n vtoobil in povzroči odziv leve strni vtoobil (t). Upoštevjte odel s sl. in določite odziv leve strni vtoobil, (t), v čsu vožnje vtoobil čez oviro ( t t ). Ndlje določite tudi, šn je lho njvečj višin grbine, h, d njvečji odziv (t) ne bo večji od (zopet v oviru t t ). Msni vztrjnostni oent vtoobil orog toče je J. (c) () DS-VD y(t) y t( s) t h J, t, J, h, (t) = h 1 cos(ω t) h = Nlog.1 Kolesr s onstntno hitrostjo zpelje čez oviro n cesti. Pri te se vzeteno prvo olo (prv os) sunovito prene v nvpični seri ot to poenostvljeno že grf y(t). Določite odziv ril v nvpični seri, (t), z čs t > t. Predpostvite, d st olesi ves čs v dotiu s podlgo, znerite vplive prei olesrj v vodorvni seri, znerite ngib prednjeg vzetenj (vzet predpostvio nvpično) in upoštevjte dni sni vztrjnostni oent olesrj s oleso orog, J. Preden olesr nleti n oviro, je siste olo-olesr v rvnovesni legi. Nig: pzite n ustrezne enote nehoogeneg del diferencilne enčbe (N li N) in od teg odvisne ipulzne prenosne funcije g(t). y y ( t) t( s) t J, t,, { J, Y Y ; t t y(t) = ; drugje (t) = Y cos ω (t t ) cos(ω t) 11

12 3 Sistei z več prostostnii stopnji 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.1 Določite lstne frevence strune, vpete ed dve oluto s poočjo dveh uteži se (glej slio). Izrčun izvršite z disretizcijo se strune n sni toči. Vertilne poie uteži znerite. s = 1 g = 1 g l = 1 ω 1 = 6g = 4,6 rd/s sl ω = 18g = 4, rd/s sl Nlog 3. Projetil prileti v ldo se in v čsu t nnjo deluje s silo. Določite odziv celotneg siste v čsu t > t, če le-t n zčetu iruje in so lstne frevence in lstni vetorji siste znni. Nvodilo: z odlno deopozicijo določite giblni enčbi v glvnih oordinth, nto uporbite onvolucijsi integrl n vsi od enčb. 1 1 f( t) 1 = = 1 g = = 1 N/ F = 1 N t =,1 s M η + Kη = Φ T f, η 1 (t) = 1,78F 1 η (t) =,8F ω 1 = 14,81 rd/s ω = 47,76 rd/s = Φη cos(ω 1 (t t )) cos(ω 1 t) cos(ω (t t )) cos(ω t) X (1) = (1 1,78) T X () = (1,8) { T F ; t t = ; drugje f( t) t( s) t 1

13 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.3 Vzbujnje, ot posledic delovnj vtoobilseg otorj, je v težišču vtoobil () ocenjeno z. Določite šen vetor plitud ustljeneg nihnj vtoobil pričujeo. Nlogo rešite z uporbo odlnih oordint. Avtoobil i so, sni vztrjnostni oent orog težišč J T ter eni togosti vzetenj prve in zdnje gredi,. Nig: Aplitud odziv ustljeneg stnj nedušeneg siste z eno prostostno stopnjo je X = F /(1 (ω/ω ) ), jer je F plitud vzbujevlne sile, togost siste in ω lstn rožn frevenc. Uporbite oordinti in ϕ. 3/,J = F sin(ωt) Ω = 1 Hz = 1 g J T = 1/ = 1 N/ =,8 b = 3/ ω 1 = 1,38 ω =,57 Ψ T MΨ q + Ψ T KΨq = Ψ T f 11,5,7 X = ΨQ = K = = Ψ T KΨ F 1 (1 (Ω/ω 1 ) ) F (1 (Ω/ω ) ) Nlog 3.4 Njveč olišn je lho rzdlj ed stebri sedežnice L, d bo prv lstn upogibn frevenc siste (pletenic in sučrji) vsj f 1. Ms pletenice ed dve sosednji stebro je približno onstntn in en p. Pletenic je obtežen z dve uteže se n vse oncu. Vs t odse žičnice je še dodtno obreenjen s težo dveh sučrjev, vs z so s. Izrčun izvršite z disretizcijo strune n sni toči n estih vpetj sedežev (upoštevjte tudi so dveh sučrjev). Vertilne poie uteži in ngib pletenice znerite. p = 8 g = g s = 1 g f 1 = 1 Hz L 6g ( s+ p)ω1 = 9,8 L L/3 L/3 L/3 pletenic, p 13

14 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.5 Z prier, o eletrootor nvijlneg siste žerjv iruje, sisteu bree nvijlni boben določite odlno togostno trio. Bree i so b, boben i so, poler r, in je z eletrootorje povezn preo gredi togosti t, boben in bree p st ed seboj povezn s pletenico togosti. Nig: ne pozbite n torzijso vzet t in n to, d se sil teže breen izenči s sttični rztezo pletenice in torzijse vzeti. r =, = g, b = 1 = 1 N/, t = 9r ω 1 =,3, ω = 4, Φ =,11 198,1, = r r 3,97 1 6,9 r, slop t b Nlog 3.6 Določite lstne frevence, sicirjte lstne oblie ter izrčunjte odlno sno trio siste n slii. Nvodilo: upoštevjte jhne ote in zsue. = 1 g, = 1 N/ 1 = = 3 = 1 = = ω 1 =,68 = 1,38 rd/s, ω =,9 Nlog 3.7 = 66,15 rd/s, Φ = 1 1 1,77,19 1 1, r r/ 3 r/, M = Φ T 1,4 MΦ = 1,11 Izvršite odlno deopozicijo siste s slie ter zpišite (oz. nžite) izrz z splošni odziv lstneg torzijseg nihnj siste ϕ(t) = {ϕ 1 (t), ϕ (t)} T ob uporbi odlnih oordint. Nvodilo: upoštevjte jhne zsue, so gredi p znerite. J 1 J t J, t J 1 = J J = J ω 1 =, ω = J, Φ = 1 η i = A i cos(ω i t) + B i sin(ω i t) ϕ(t) = Φη(t) = { A1 + A cos(ω t) + B sin(ω t) A 1 A cos(ω t) B sin(ω t) } 14

15 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.8 Ti preden vlovn opozicij trči (tr je trenuten) ob brezsno ončno oviro, se le-t giblje s onstntno hitrostjo v. Z čs, o je levi vgon v stiu z oviro, njprej določite lstne frevence in lstne vetorje siste. Ndlje nžite tudi izrz z odziv siste ot posledic hitrosti v, in sicer s poočjo odlnih oordint. Nreč, odziv posezne, i-te odlne oordinte lstneg nihnj, je v oblii η i (t) = A i cos(ω i t) + B i sin(ω i t) s onstnti A i in B i, odvisnii od zčetnih pogojev. Ker p že pozno povezvo fizilnih in odlnih oordint preo odlne trie Φ, = Φη, lho določio neznne onstnte A i in B i, terih izrčun orte torej nzti. v = N/, = 1 ton, v = 1 /s 1 1 ω 1 = 437 rd/s, ω = 1144,1 rd/s, Φ = ( ) ( ) 1,6,6 A1 () = Φη() = = Φ ( ) ( A ) A v B1 ω 1, A, B 1, B ẋ() = Φ η() = = Φ 1 v B ω Nlog 3.9 Ob tru loootive v prvi vgon irujoče opozicije dveh vgonov se ustvri sil (glej slio). Če so odlne lstnosti vgonse opozicije (dv vgon, brez loootive) že znne, določite odziv obeh vgonov zrdi delovnj sile ot posledic tr. Nvodilo: z odlno deopozicijo določite giblni enčbi v glvnih oordinth, nto uporbite onvolucijsi integrl. f( t) v,, F, t = (t) = Φ q(t) = { F ; t t ; drugje ω 1 = ω = ( / X (1) = 1 ( / X () = 1 F ( 5+1) (cos(ω 1 t) cos(ω 1 (t t))) 1 ω1 F ( 5 1) ω (cos(ω t) cos(ω (t t))) ) T ) T 5 ; M = Φ T MΦ = t( s) t F 1 15

16 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.1 Heliopter n sl. ) odeliro ot siste z dve prostostni stopnj, in ϕ, sl. b). Eliso ndoestio z linerno vzetjo togosti in spirlno vzetjo togosti t, bino heliopterj p ot togo telo se in sneg vztrjnostneg oent J T. Pri vrtenju elise heliopterj predpostvio vzbujnje v oblii ψ(t), i se od elise preo spirlne vzeti prenese n ohišje heliopterj. Določite lstne frevence ter tudi odziv ustljeneg stnj heliopterj ot posledic oenjeneg vzbujnj., J t = 1/,, t = 4, Ψ, Ω, ψ(t) = Ψ sin(ωt) ω 1 = ω = Nlog , = ( ϕ ) ( = 4Ψ 4 1/Ω ) sin(ωt) () t, J T Določite odlno (generlizirno) togostno trio sistestrune, če struno odelirte v oblii disretizcije n dve sni toči (glej sico). s = 1 g = 1 g l = 1 Nlog K = M = sl 1 1 6g 1 ω 1 = 6g = 4,6 rd/s sl ω = 18g = 4, rd/s sl 1 1 Φ = = Φ 1 1 T KΦ = 6 l/3 l/3 l/3 l strun, s Vpliv netočnosti izdelve, vpliv stiov in ostlih nehoogenosti trčnic s sl. () in, predstvio v oblii inetseg vzbujnj trčnic, y(t). To otnjo predstvio v oblii enostvne, hronse otnje, i deluje neposredno n oles vgon, sl., i so ves čs v stiu s trčnici. Določite njprej odlno sno trio siste, pote p še ustljeni odziv vgon (oordinti in ϕ) n dno otnjo, jer vpliv gibnj vgon n nihnje znerio. Vgon i so in sni vztrjnostni oent orog težišč J T. v (), J T T y v = 15 /s, =, = 1 g = 1 MN/, Y =,1, J T = 5 y(t) = Y sin(1vt/) ω 1 =,57, ω,84/ = 1,57 ( ) (, ) = 1,6 (t) 6,6 (t) = = ϕ(t),38 sin(1vt/) 16

17 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.13 Določite lstne frevence, sicirjte lstne oblie ter izrčunjte odlno sno trio siste n slii. Vlj se otli brez podrsvnj. Nvodilo: upoštevjte jhne ote in zsue. = 1 g, = 1 N/ ω 1 =,84 = 6,71 rd/s, ω = 1,74 = 55,1 rd/s 1 1 Φ =, M = Φ 1,55 1,93 T 5,41 MΦ = 6,7, 1 r/ Nlog 3.14 Vpliv netočnosti izdelve, vpliv stiov in ostlih nehoogenosti trčnic s sl. () in, predstvio v oblii inetseg vzbujnj trčnic, y(t). To otnjo predstvio v oblii enostvne, hronse otnje, i deluje neposredno n oles vgon, sl., i so ves čs v stiu s trčnici. Določite ustljeni odziv vgon (oordinti in ϕ) n dno otnjo, jer vpliv vzdolžneg gibnj vgon n nihnje znerio. Vgon i so in sni vztrjnostni oent orog težišč J T. v (), J T T y v = 15 /s, =, = 1 g = 1 MN/, Y =,1, J T = 5 y(t) = Y sin(1vt/) ( (t) (t) = ϕ(t) ) ( ) 6,6 =,38 sin(1vt/) Nlog 3.15 Letlo s sl. () je ed leto podvrženo periodični obreenitvi n vse rilu. Če to obreenitev predstvio v oblii enostvne, hronse otnje n vso rilo, y 1 in y, pote je vš nlog, () d določite ustljeni odziv trup letl, in ϕ, n dno vzbujnje s frevenco Ω. Uporbite odel s sl., v pooč p nj v, J bo tudi sl. (c), i prizuje odel v poljubni legi (vse oordinte o so prizne v pozitivni seri). y 1 y, J,,, Y Y 1 = Y, Y = Y y i = Y i sin(ωt) (t) = ( (t) ϕ(t) ) ( 3Y Ω = Y J Ω ) sin(ωt) y 1 y (c) 17

18 3 Sistei z več prostostnii stopnji Nlog 3.16 Z siste olo-olesr s sl. () določite lstne frevence, lstne vetorje in odlno sno ter odlno togostno trio. Uporbite odel s sl. ter upoštevjte jhne poie in zsue. (), J T,, J T = 1/, ω 1 = 1,38 /, ω =, /, φ =,/ 9,/ +, J T =, 1,94 = + 9, J T 74,8 Nlog / Kolesr je ed vožnjo zrdi nervnin podvržen vibrcij, i se preo oles prenšjo nnj. Kolesrj s oleso odeliro () v oblii ot to prizuje sl., jer je st in J T s in sni vztrjnostni oent olesrj supj s oleso, nervnine ed vožnjo p predstvio v poenostvljeni oblii vzbujnj podlge y(t) = {y 1 (t), y (t)} T. Določite plitudo težišč (oordint ) ustljeneg odziv olesrj s oleso., J T y 1 3/ y = 1 g, J T = 3/, = 1, Ω = π rd/s y 1 (t) = /4 sin(ωt) y (t) = / sin(ωt) X = 7,7 c Nlog 3.18 Slec v vodo je njprej irovl n odsočni desi, pote p se je od le-te odrinil. Izerjen diničn sil slc n deso je t ot to prizuje sli. Če deso predstvio ot siste z dve prostostni stopnj, pote določite odziv onc dese, (t), v trenutu, o slec izgubi sti z deso, t. Nvodilo: z odlno deopozicijo določite giblni enčbi v glvnih oordinth, nto uporbite onvolucijsi integrl. = 1 g u = 1 N/ F, t, = { F ; t t ; drugje ω 1 = 61,8 rd/s ω = 161,8 rd/s X (1) = {1 1,618} T X () = {1.618} T 1 f( t) u F u t t( s) 18

19 4 Zvezni sistei 4 Zvezni sistei Nlog 4.1 Določite oz. nžite izrz z določitev prvih treh lstnih frevenc torzijseg nihnj gredi po teoriji zveznih sisteov. J 1 = J J = J r 1 = r r = r d = r/1 l = r t = Gπd 4 /(3l) M t = GI t ϕ/ I t = πd 4 /3 ( ) ω ω GI t c + J ω c GIt + G It c J ω tn( ω c l) = ω 1 =, ostle iz: ω GI t c (1 + J) = (J ω GIt /c ) tn( ω c l) J1, r1 d, l, G J, r Nlog 4. Določite prve 3 lstne frevence lstneg upogibneg rvninseg nihnj nosilc po Euler-Bernoullijevi teoriji. b L = ρ = 785 g/ 3 = 1 c E = 1 GP b = 3 c Nlog 4.3 ( ) 4 ω = π EI l µ ; ω 1 = 11,5 rd/s ω = 44,8 rd/s ω 3 = 994,7 rd/s L Določite oz. nžite izrz z določitev prvih treh lstnih frevenc torzijseg nihnj gredi po teoriji zveznih sisteov. J J g, G, I t, l, J ω G I t c sin(ωl/c) Jω cos(ωl/c) = ω 1 =, ostle sledijo iz: c J ωl GI t l c = tn(ωl/c) I, t l, G, J g 19

20 4 Zvezni sistei Nlog 4.4 Njnj olio dodtnih stebrov (prizni črtno) oro nestiti ed prvi in zdnji stebro, i st edsebojno oddljen z L, d bo prv lstn frevenc pletenice sedežnice n Krvvcu en vsj f 1 (li večj). Pletenic je obtežen z dve uteže se n vse oncu. Vertilne poie uteži in ngib pletenice znerite. p = 1 g = 1 g L = f 1 =,5 Hz n = 7 L pletenic, p Nlog 4.5 Most s slie predstvio z odelo nosilc z enoerno porzdeljeno so in togostjo ter obojestrnsi člensti vpetje. Z uporbo Euler-Bernoullijeve teorije določite prvi dve lstni frevenci nihnj ostu ter pripdjoči lstni oblii. Lstni oblii zpišite tetično in ju pote še sicirjte. Most i evivlentni odul elstičnosti E, so in vztrjnostni oent prerez I. w l E, I, = g I =,417 4 E =, N/ l = 1 ω = π l EI µ ( ) W 1 () = D 4 sin(β 1 ) ± sin(β 1l) sinh(β 1 l) sinh(β 1) ( ) W () = D 4 sin(β ) ± sin(β l) sinh(β l) sinh(β ) Nlog 4.6 Zrdi želje po preučitvi vpliv dinie plice z golf n člove, je vš nlog, d določite (nžete) izrz z prvo lstno frevenco odel plice s sl. v odvisnosti od dnih pretrov. Dve vzeti togosti ponzrjt oprije plice z ro. Nlogo rešite z uporbo Euler-Bernoullijeve teorije. Opob: zsui nosilc n estu oprije ro so en nič (glej slio ). l,, E, I,, µ l, E, I, 1 1 EIβ 3 EIβ 3 cosh(βl) sinh(βl) cos(βl) sin(βl) = ω 1 (1. oren) sinh(βl) + ω EI cosh(βl) cosh(βl) + ω EI sinh(βl) sin(βl) + ω EI cos(βl) cos(βl) ω EI sin(βl) ( )

21 4 Zvezni sistei Nlog 4.7 Določite prvo in drugo lstno frevenco rvninseg upogibneg nihnj rvne, hoogene plice po Euler-Bernoullijevi teoriji. Podprtje je prosto-prosto. l, EI = onst l, E, I, µ cos(βl) cosh(βl) = 1 cos(βl) = β 1 = ω 1 =, 1 cosh(βl) ω nuerično iz zgornje trnscedentne enčbe Nlog 4.8 Določite prve tri lstne frevence strune, vpete ed dve oluto. Uporbite teorijo zveznih sisteov. strun, s s, l, w = π g sl l Nlog 4.9 Most s slie predstvio z odelo nosilc z enoerno porzdeljeno so in togostjo ter obojestrnsi člensti vpetje. Z uporbo Euler-Bernoullijeve teorije določite prve tri lstne frevence nihnj ostu ter sicirjte pripdjoče lstne oblie. Most i evivlentni odul elstičnosti E, so in vztrjnostni oent prerez I. w l E, I, = g I =,417 4 E =, N/ l = 1 ω = π l EI µ Nlog 4.1 Določite oz. nžite izrz z določitev prvih treh lstnih frevenc torzijseg nihnj gredi po teoriji zveznih sisteov. J g je sni vztrjnostni oent gredi, J je sni vztrjnostni oent dis n oncu gredi. Gred ni vpet v oolico. I, t l, G, Jg J J g, G, I t, l, J ω G I t c sin(ωl/c) Jω cos(ωl/c) = ω 1 =, ostle sledijo iz: c J ωl GI t l c = tn(ωl/c) 1

22 4 Zvezni sistei Nlog 4.11 Določite oz. nžite izrz z določitev prve lstne frevence torzijseg nihnj stolp vetrne turbine, sl. (), po teoriji zveznih sisteov. Uporbite ndoestni odel turbine s sl., jer st J v in J s sn vztrjnostn oent vetrnice in stolp, l, I t in G p so višin, vzvojni vztrjnostni oent in strižni odul stolp. I, l, G, J t J v s J s, J v, l, G, I t GI t cj t 1 ω = tn( ω c l) ω 1 c = GI tl J s ( ) Nlog 4.1 Kšn je rzli v rezulttu prve lstne frevence ed prositivni pristopo (disretizcij strune n 1 sno točo) in ed estni pristopo (strun ot zvezni siste), glede n estni rezultt. Izrz z estni izrčun prve lstne rožne P frevence je ω 1 = π, jer je P notrnj sil v struni, sl s je s strune, l p je dolžin strune ed podpor. strun, s l s,, l ɛ = π 1% = 36 % π Nlog 4.13 Ob uporbi Euler-Bernoullijeveg pristop je z jdrnico s sl. () potrebno določiti (nzti) izrz z prvo lstno frevenco upogibneg nihnj jbor jdrnice. Ker ns zni zgolj nihnje jbor, boo uporbili odel s sl.. V odelu st vod in deforbilnost trup predstvljen v oblii evivlentne rotcijse togosti, odel jbor p je predstvljen v oblii nosilc s specifično so µ. () h,, E, I h, E, I, µ, tnh(βh) = tn(βh) β 1 ω 1 = β 1 EI µ

23 5 Metod prenosnih tri 5 Metod prenosnih tri Nlog 5.1 Brlno-pisln glv trdeg dis, se, je zrdi vrtenj osrednjeg del izpostvljen vibrcij, i se preo ležjev prenšjo n nosilec le-te (nosilec i lstnosti E, I, l). Določite izrz z izrčun njnjšeg potrebneg vztrjnostneg oent prerez nosilc glve, I (onstnten po celotni dolžini nosilc), d bo lstn frevenc siste glv-nosilec vsj z 1% višj od vzbujevlne frevence ω v. Nosilec obrvnvjte ot brezsno elstično polje. Uporbite etodo prenosnih tri. E,I,l v l ω v, E,, l P = Nlog 5. 1 l l /(EI) l 3 /(6EI) 1 l/(ei) l /(EI) 1 l 1 M = ω 1 V = Z etodo prenosnih tri določite lstne frevence torzijseg nihnj siste n slii. l = d = G = MP J 1 = J 3 = J = 1 g J = J 4 = J r 1 = r 3 = r/ r = r 4 = r t = Gπd 4 /(3l) Nlog 5.3 ω J 1J ω 4 + 8J tω 15t = ω 1 = ω = 5t ω 6J 3 = 3t J y γ M T J1, r1 I in = (1,1ωv) l 3 3E d, l, G J r, J3, r3 d, l, G J r 4, 4 Z etodo prenosnih tri določite lstne frevence torzijseg nihnj siste n slii. l = J = J/4 d = r 1 = r 3 = r G = MP r = r/ J 1 = J 3 = J =,1 g t = Gπd 4 /(3l) ω 3J + 4ω J t = ω 1 = rd/s ω = 3 t = 153,5 rd/s J J1, r1 J, r d, l, G J3, r3 3

24 5 Metod prenosnih tri Nlog 5.4 Z etodo prenosnih tri določite lstne(o) frevence(o) torzijseg nihnj siste n slii. J1, r1 J, r J, r 3 3 l, d, G, J J = J/4, J 1 = J 3 = J r 1 = r 3 = r, r = r/ t = Gπd 4 /(3l) ω = Gπd 4 96lJ d, l, G Nlog 5.5 Po etodi prenosnih tri določite obe lstni frevenci torzijseg nihnj siste n slii. Siste je n srjne leve oncu vpet, n srjne desne oncu p ni vpet. t J, r J, t ω 1 =,33 ω = 1,7 J t J t J, r t J, r J, r Nlog 5.6 Zrdi izboljšnj vlitete igrnj golf n trvi, je potrebno plici z golf določiti ustrezni njnjši/njvečji preer ročj, d bo prv lstn frevenc torzijseg nihnj odel s slie večj od f 1. Model plice s sl. i orogli prese ročj, i je togo vpet n vrhu, n spodnje oncu ročj p J predstvlj sni vztrjnostni oent celotne plice z golf. Uporbite etodo prenosnih tri pri torziji. l, t = Gπd4 3l, f 1, J d = 4 18πf 1 l G G d=? ( ) ( b) J l 4

25 5 Metod prenosnih tri Nlog 5.7 Po etodi prenosnih tri določite upogibno lstno frevenco siste ost-tovornj z prier, o je tovornj n sredini ostu. Most je obojestrnso, člensto vpet, njegovo so p znerio. Tovornj predstvio v oblii sne toče se. Nig: ni potrebno rčunti vseh členov ončne prenosne trie. E, I l l, E,, I P = 1 l l /(EI) l 3 /(6EI) 1 l/(ei) l /(EI) 1 l 1 M = ω 1 V = y γ M T ω = 6EI l 3 Nlog 5.8 Z neno preučitve lstnih torzijsih nihnj vetrnice s sl. (), je n sl. prizn odel te vetrnice. Model je sestvljen iz brezsne, sestvljene gredi s togosti t1 in t ter zobnišeg prenos n vrhu, z vztrjnosti J v in J. Njprej določite ndoestni odel s sl. (c), pote p ob uporbi etode prenosnih tri določite šno togost oro uporbiti, d bo lstn frevenc vetrnice večj od zhtevne in podne frevence Ω: ω > Ω. ( ) J, r J v, r t1, l/ t, l/ J* * (c) Ω, r, J, l, t1 = /, t =, J v = 4J, J = J, r = r/4 = /3, J = 9/4J > 7JΩ 4 Nlog 5.9 Z vgonso opozicijo treh vgonov je potrebno dienzionirti/določiti elstično vpetje ed vgoni to, d bo odziv opozicije n rznovrstno vzbujnje, i se pojvi ed vožnjo vl, v podresonnčne obočju. Njvečj pričovn, zunnj frevenc vzbujnj opozicije, i se pojvi ed so vožnjo vl, je Ω. Uporbite odel s sl., znerite p vpliv vožnje opozicije (s stlno hitrostjo) n nihnje. Uporbite etodo prenosnih tri., Ω, K = > Ω 1 1/ 1, M = 1 ω 1 {, V = N } () 5

26 5 Metod prenosnih tri Nlog 5.1 Z vgonso opozicijo treh vgonov je potrebno dienzionirti/določiti elstično vpetje ed vgoni to, d bo odziv opozicije n rznovrstno vzbujnje, i se pojvi ed vožnjo vl, v ndresonnčne obočju. Njnjš pričovn, zunnj frevenc vzbujnj opozicije, i se pojvi ed so () vožnjo vl, je Ω. Uporbite odel s sl., znerite p vpliv vožnje opozicije (s stlno hitrostjo) n nihnje. Uporbite etodo prenosnih tri. { } 1 1/ 1, Ω, K =, M = 1 ω, V = 1 N < Ω 3 6