Seminar Feynmanova interpretacija kvantne mehanike in primeri re²evanja problemov Avtor: Gal Lemut Mentor: prof. dr. Anton Ram²ak 31. maj 2016, Ljublj

Transkripcija

1 Seminr Feynmnov interpretcij kvntne mehnike in primeri re²evnj problemov Avtor: Gl Lemut Mentor: prof. dr. Anton Rm²k 31. mj 016, Ljubljn Povzetek Vsi poznmo kvntno mehniko predstvljeno s Schrödingerjevo en bo in vlovno funkcijo, vendr to ni edini n in r unnj v kvntnem svetu. Tudi meri²ki zik Richrd Feynmn je predstvil svojo formulcijo kvntnme mehnike s pomo jo popotnih integrlov. T nm sicer ne predstvlj novih re²itev, temve le drug en pogled n ºe znne probleme, kot so nprimer prosti delec, hrmonski osciltor in Ahron-Bohmov pojv.

2 Kzlo 1 Uvod Popotni integrl 3.1 Riemnnov integrl Feynmnov popotni integrl Produktno prvilo z se²tevnje Prosti delec 6 4 Jedro in vlovn funkcij Feynmnovo jedro kot integrlsk oblik Schrödingerjeve en be Propgtor in Evklidsk strtegij Izpeljv klsi ne Schrödingerjeve en be Potencil in hrmonski osciltor Izr un jedr in Gussovi integrli Jedro z hrmonski osciltor Ahron-Bohmov pojv 16 7 Zklju ek 17 8 Dodtek: Primer z rvni vl 18 1

3 1 Uvod še od smeg z etk kvntne mehnike, je bil rzlg njenih rezulttov vedno pod vpr²jem. Tko se je kvntn mehnik v z etku obrvvnvl n dv rzli n n in. Vzporedno st se rzvijli Heisenbergov mtri n formulcij in Schrödingerjev diferenciln oblik. Pribliºno 0 let ksneje p je meri²ki zik Richrd Feynmn predstvil tudi tretjo lterntivno formulcijo s pomo jo popotneg integrl. T je osnovn n principu klsi ne kcije, kjer z rzliko od klsi ne zike, upo²tevmo vse moºne poti. Kljub temu, d je t teorij lºje povezljiv s klsi no mehniko, je zrdi kompleksnosti popotneg integrl v ve ini primerov uporb Schrödingerjeve en be z izr un vlovnih funkcij precej enostvnej². Vseeno p je Feynmnov interpretcij zelo pomembn z globlje rzumevnje kvntne mehnike in numeri no re²evnje dolo enih problemov. V tem seminrju bom predstvil formulcijo Feynmnovih jeder in njihove osnovne zn ilnosti. Posvetili se bomo nliti nemu n inu re²evnj problemov, kot st prosti delec in Hrmonski osciltor, ter si pogledli njune re²itve. Slik 1: Richrd Feynmn. 1

4 Popotni integrl.1 Riemnnov integrl Z rzumevnje popotneg integrl se njprej spomnimo Riemnnove denicije integrl, pri kterem smo poizku²li izr unti plo² ino pod poljubno krivuljo. y = f(x) : R R (1) Pri tem smo rzdelili intervl [, b] n n intervlov ter vskemu intervlu pripisli vrednost x n, nɛ[0, N 1]. Tko smo denirli integrl kot limito, ko gre n v neskon nost in velikost intervlov proti 0. b N 1 f(x)dx = lim f(x n ) () N n=0. Feynmnov popotni integrl Pri popotnem integrlu je rzmislek podoben, le d ºelimo se²teti vse moºne poti med dvem to km. Slik : Primeri rzli nih poti med to km A in B. Njprej denirmo pot med dvem to km. Rzdelimo sovni intervl [t, t b ] n N delov z dolºino ɛ in z vsk s t n izberemo to ko x n. Vsk pot bo, tko tekl po neki mnoºici 3

5 } to k {x 0, x 1, x..., x N 1. S tem smo zdj denirli mnoºico poti in lhko po njih se²tevmo z { } integrcijo po spremenljivkh x n z n 0, 1,, 3..., (N 1) v vski to ki t n kjer velj: 3, 4 t b t = nɛ (3) t n+1 = t n + ɛ t 0 = t, t N 1 = t b x 0 =, x N 1 = b. Slik 3: Delitev poti n intervle t n pri pozicijh x n ob tem su. 5 Tko dobimo N -krtni integrl, ker st to ki x 0 in x N 1 pritrjeni n poziciji in b. K(b, )... φ[x(t)]dx 1 dx...dx N (4) Zdj mormo N poslti v neskon nost, d dobimo res vsoto po vseh poteh. Tko kot pri Riemnovem integrlu, mormo tudi tu denirti normlizcijski fktor, ki bo odvisen od ɛ, d bo t limit sploh lhko obstjl. Fktor A p n ºlost ne moremo v splo²nem denirti, vendr se z n²e primere, kjer uporbljmo en bo klsi ne kcije izkºe, d je t normlizcijski fktor kr A (N 1) kjer z A velj: 3, 4 Zdj lhko splo²no denirmo popotni integrl med in b. A = ( πi ɛ m ) 1 (5) b 1 F (b,) [(x(t)]dx = lim ɛ 0 A... F (b,) [(x(t))] dx 1 A dx A...dx N A (6) 4

6 V Feynmnovi formulciji kvntne mehnike uporbimo popotni integrl z denicijo jedr, ki nm pove verjetnostno mplitudo, d je nek delec pri²el iz to ke v to ko b. V izpeljvo te formule se v tem seminrju ne bomo poglbljli in jo bomo le zpisli kot: K(b, ) = b kjer S[b, ] predstvlj klsi no kcijo po poti med in b. e ( i )S[b,] Dx (7) S[b, ] = tb t L(ẋ, x, t)dt (8).3 Produktno prvilo z se²tevnje Zdj, ko immo zpisno prvilo z izr un verjetnostne mplitude, si poglejmo ²e, kko se te med seboj se²tevjo. Predstvljjmo si, d immo med z etnim som t in kon nim som t b ²e nek vmesni dogodek, ki se zgodi ob su t c. Potem lhko zpi²emo kcijo in jedro kot: 3 S[b, ] = S[c, ] + S[b, c] (9) K(b, ) = b e ( i )S[b,] Dx = b e ( i )(S[c,]+S[b,c]) Dx (10) Iz teg vidimo, d lhko njprej izvedemo integrcijo po poteh od do c, nto po poteh od c do b in nzdnje ²e po vseh vrednostih vmesne to ke c. K(b, ) = b c K(b, ) = e ( i )(S[c,]+S[b,c]) Dx(t)dx c (11) K(b, c)k(b, c) ƒe to prvilo posplo²imo z poljubno ²tevilo zporednih dogodkov dobimo: K(b, ) =... K(b, N 1)K(N 1, N )...K(i, i 1)...K(1, )dx 1 dx...dx N 1 (1) Tko lhko denirmo med to km in b, N vmesnih to k in dobimo jedr, lo en z zelo krtkimi sovnimi intervli: 5

7 xn 1 K(n, n 1) = e ( i )S[n,n 1] Dx (13) x n S[n, n 1] = ɛl( x n x n 1 ɛ, x n + x n 1, t n t n 1 ) (14) N t n in lhko zpi²emo skupno jedro med to km in b kot produkt mnj²ih jeder z n krtkih intervlov, ko limitirmo dolºino intervl ɛ 0. K(b, ) = lim ɛ 0 n=1 N K(n, n 1) (15) 3 Prosti delec No, p si poglejmo kko t formlizem deluje. funkcijo: 3 Vzemimo primer prosteg delc z Lgrngovo L = m ẋ (16) in denirmo kcijo z nek krtek intervl med x n in x n 1 kot S = m (x n x n 1 ) ɛ (17) s K 0. Tko lhko potem zpi²emo denicijo jedr z prosti delec, ki g bomo od zdj nprej ozn evli K 0 (b, ) = lim m ( ɛ 0 πi ɛ )(N/)... { im exp N (x n x n 1 ) } dx 1...dx N 1 (18) ɛ n=1 Tu mormo re²iti set Gussovih integrlov, kterih integrcijo lhko zpi²emo kot: { exp (x x 1 ) + (x 1 + x 0 ) } π dx 1 = e(x+x0) (19) ƒe to pomnoºimo z Gussovo funkcijo, ki vsebuje x 3, x in integrirmo po x nm enk postopek d rezultt: π 3 e(x3+x0) 6

8 Ko t postopek ponovimo (N 1)-krt z rekurzijo in upo²tevmo, d velj nɛ = (t b t ) dobimo rezultt, ki g lhko uporbimo z izr un jedr z prosti delec, ki se potem glsi: 3 m { K 0 (b, ) = πi (t b t ) exp im(xb x ) } (t b t ) (0) Slik 4: Odvisnost R( ik 0 ) od neke reltivne pozicije x pri predpostvki, d je z etn to k x 0 = 0 7

9 Slik 5: Odvisnost R( ik 0 ) od reltivneg s t pri predpostvki, d je ob z etni to ki s t 0 = 0 Slik 6: Odvisnost R( ik 0 )(t) z dlj²e se po pri kovnju upd. 4 Jedro in vlovn funkcij 4.1 Feynmnovo jedro kot integrlsk oblik Schrödingerjeve en be Zdj, ko ºe znmo po deniciji izr unti jedro z prosti delec, p si poglejmo, kj to jedro prvzprv predstvlj in kko se povezuje z vsem bolj poznno Schrödingerjevo vlovno funkcijo. Jedro smo denirli s pomo jo popotneg integrl, ki upo²tev kcije vseh moºnih poti. Predstvlj nm verjetnostno mplitudo, d se je n² delec, ki je bil ob su t v to ki, ob su t b zn²el v to ki b. Schrödingerjev vlovn funkcij p nm z rzliko od Feynmnoveg jedr pove verjetnostno mplitudo, d se nek delec ob su t nhj v to ki x ne glede n njegov krj in s izvor. To ns pripelje do rzmislek, d e bi se²teli verjetnostne mplitude jeder, ki se ob su t b znjdejo v to ki b po vseh moºnih izvornih sih t in to kh, bi lhko izr unli tudi vlovno 8

10 funkcijo teg delc. Tko lhko pri z etni verjetnostni gostoti ψ(x 0, t 0 ) s pomo jo jeder zpi²emo izrz z vlovno funkcijo ob nekem poznej²em krju in su. 6 ψ(x, t) = K(x, x 0, t, t 0 )ψ(x 0, t 0 )dx 0 (1) Jedro nm prek te en be predstvlj propgtor vlovne funkcije ozirom neke vrste integrlski zpis Schrödingerjeve en be, sj lhko iz, nekeg z etneg stnj s pomo jo jedr, dobimo poljubno ksnej²e stnje. Slik 7: Slik prikzuje primer propgirnj ²ktlste vlovne funkcije, z jedrom z prosti delec, pri rzli nih slede ih reltivnih sih. Kot znimivost opzimo, d je to ekvivlentno Fresnelovem uklonskem integrlu z prvokotno reºo. Integrl, ki se pojvit v teh dveh primerih st mtemti no ekvivlentn, kr je tudi nekko smiselno sj v obeh primerih propgirmo neke vrste rvne vlove z z etno ²ktlsto porzdelitvijo. 9

11 4. Propgtor in Evklidsk strtegij Z lºjo predstvo pomen propgtorj si lhko, podobno kot v primeru Schrödingerjeve en be, pomgmo z difuzijsko en bo. Z to en bo vemo, d nm propgtor predstvlj Gussov funkcij. 6 1 P(x, x 0, t, t 0 ) = 4πD(t t 0 ) e (x x0) 4D(t t0) () Z difuzijsko en bo vemo, d e nprimer vzmemo z etno porzdelitev Φ(x 0, t 0 ) = δ(x 0 ) in uporbimo formulo [1] z propgtor, lhko zpi²emo stnje ob poljubnem su kr kot Φ(x, t) = 1 4πD(t t e (x x0) 4D(t t0) 0). Pri preskoku nzj n kvntno mehniko, se spomnimo kko lhko dobimo Schrödingerjevo en bo iz difuzijske s substiticijm: t it (3) D = m Temu postopku re emo tudi Evklidsk strtegij, ki prvi, d si mormo z izr un kvntnih procesov v nrvi njprej predstvljti difuzijske procese in potem preiti n imginrni s. 7 Zdj lhko t proces poizkusimo uporbiti ²e n propgtorju z difuzijsko en bo in lhko tkoj prepoznmo jedro z prosti delec. 1 4πD(t t 0 ) e (x x0) 4D(t t0) m πi (t t 0 ) e im(x x0) (t t 0 ) = K 0 (x, x 0 ) (4) 4.3 Izpeljv klsi ne Schrödingerjeve en be Ko si zdj bolj²e predstvljmo jedro kot propgtor, lhko pogledmo ²e njegovo direktno povezvo s Schrödingerjevo en bo. Vzemimo, d immo neko z etno funkcijo ψ(x 0, t 0 ). Z nek ksnej²i s t 1 = t 0 + δ in pozicijo x 1 = x 0 ɛ lhko prek jedr zpi²emo en bo z ψ. 6 ψ(x 1, t 1 ) = Z upo²tevnjem, d st δ in ɛ mjhn zpi²emo jedro kot: K(x 1, x 0, t 1, t 0 )ψ(x 0, t0)dx 0 (5) 10

12 K(x 1, x 1 + ɛ, t 0 + δ, t 0 ) A(δ)e ( i )( m δ ɛ δv (x 1+ ɛ )) (6) in lhko rzvijemo e iδ V (x1+ ɛ ), ψ(x 0, t 0 ) in ψ(x 1, t 1 ) z mjhne vrednosti ɛ in δ. e iδ V (x1+ ɛ ) = 1 iδ V (x 1) (7) ψ(x 0, t 0 ) = ψ(x 1 + ɛ, t 0 ) = ψ(x 1, t 0 ) + ɛ ψ(x 1, t 0 ) + 1 x 1 ɛ ψ(x 1, t 0 )... (8) x 1 Ko potem to vstvimo v en bo [5] dobimo: [ ψ(x 1, t 1 ) = A(δ) 1 iδ ] [ V (x 1) ψ(x 1, t 0 ) + ɛ ψ(x 1, t 0 ) + 1 x 1 ɛ ψ(x 1, t 0 ) ] x e ( i )( m δ ɛ) dɛ (9) 1 Tkoj lhko izlo imo len z ɛ n prvo potenco, ki bo zrdi integrcije lihe funkcije po simetri nem intervlu izpdel in dobili bomo neko obliko Gussoveg integrl z re²itvjo: δ [ ψ(x 1, t 1 ) = ψ(x 1, t 0 + δ) = A(δ) 1 iδ im V (x 1) + δ mi x 1 ] ψ(x 1, t 0 ) (30) Ker mort biti lev in desn strn en be enki, ko po²ljemo δ 0, lhko zdj kon no izrzimo ºe prej uporbljeno vrednost normlizcijske konstnte A = ( πi ɛ m ) 1. En bo lhko zdj preuredimo in ko zrdi lep²e notcije ozn imo x 1 = x in t 0 = t lhko zpi²emo: i (ψ(x, t + δ) ψ(x, t)) δ = [ V (x) δ ] m x ψ(x, t) (31) Ko sedj dokon no limitirmo δ 0, prepoznmo odvod po su kot lim δ 0 i (ψ(x,t+δ) ψ(x,t)) δ in dobimo z rezultt klsi no Schrödingerjevo en bo. ψ(x, t) [ i = V (x) δ ] t m x ψ(x, t) (3) 11

13 5 Potencil in hrmonski osciltor 5.1 Izr un jedr in Gussovi integrli Poleg jedr z prosti delec, lhko preizkusimo to formulcijo ²e z druge zglede. Njpreprostej²i primeri so tisti, v kterih se pojvijo spremenljivke n njve drugo potenco. Te integrle lhko klsicirmo kot Gussove integrle in si jih bomo podrobneje ogledli. Predstvljjmo si, d immo v splo²nem primeru neko Lgrngovo funkcijo oblike: 3 in zpi²emo jedro kot: L(x) = A(t)ẋ + B(t)ẋ + C(t)x + D(t)x + E(t)ẋx + F (t) (33). K(b, ) = b e ( i ) t b t A(t)ẋ +B(t)ẋ+C(t)x +D(t)x+E(t)ẋx+F (t)dt Dx (34) Uvedemo lhko novo krivuljo x kl (t), ki nj predstvlj pot, ki je ekstremln z kcijo S. x(t) = x kl (t) + y(t) (35) Poljubno pot lhko torej denirmo s krivuljo y(t), ki predstvlj odstopnje od klsi ne poti. ƒe sedj preuredimo izrz z kcijo, g lhko zpi²emo tudi kot: 3 S(x kl (t) + y(t)) = tb t Ax kl + Bx kl + Cx kl + Dx kl + Ex kl x kl (36) +(Aẏ + (Ax kl + Ex kl )ẏ + Cy + (Cx kl + Ex kl )y + Eẏy)dt Ker je kcij klsi ne poti ekstremln, nm po deniciji integrli s leni y in ẏ n prvo potenco izpdejo in dobimo: tb S(x kl (t) + y(t)) = S(x kl (t)) + ((t)ẏ + b(t)y + d(t)y + c(t)ẏy)dt (37) t Popotni integrl p seved ni odvisen od klsi ne kcije (S kl = S(x kl )) in lhko to sedj izpostvimo in zpi²emo jedro v novi obliki. K(b, ) = e ( i )(S kl) b e ( i ) t b t ((t)ẏ +b(t)y +d(t)y+c(t)ẏy)dt Dy (38) 1

14 Ko n²e poti izrºmo z odstopnjem od klsi ne poti, vidimo, d se vse krivulj y(t) z nejo in kon jo pri y = 0. To nm pove, d so popotni integrli v tem primeru le funkcij z etne in kon ne to ke v su in jih lhko zpi²emo v nekoliko drug ni obliki. 3 K(b, ) = e ( i )(Skl) F(t b t ) (39) V tej obliki je F(t b t ) denirn kot: F(t b t ) = 0 0 e ( i ) t b t ((t)ẏ +b(t)y +d(t)y+c(t)ẏy)dt Dy(t b t ) (40) 5. Jedro z hrmonski osciltor S tem znnjem si lhko kon no pogledmo primer, ko n n² delec deluje nek potencil. Osredoto- ili se bomo n primer vsem poznneg hrmonskeg osciltorj, vendr velj podoben postopek z vse potencile, ki sestvljjo Lngrngovo funkcijo v prej zpisni obliki. Z nimo z zpisom potencil in kcije z t n² primer. 3 S[b, ] = V = mω x (41) tb t m ẋ mω x dt (4) N² problem se tko rzdeli, n izr un klsi ne kcije in funkcije F(t b t ). Ker klsi no kcijo z hrmonski oscilltor ºe poznmo iz mehnike, se bomo njprej posvetili isknju oblike funkcije F. Z bolj pregleden izr un, bomo sedj nstvili t = 0, t b = T. F(T ) bo potem denirn kot: 3 F(T ) = 0 0 e ( i ) T 0 m ẏ mω y dt Dy(t) (43) Tu lhko spet upo²tevmo, d se n²e krivulje y(t) vse z nejo in kon jo v to ki y = 0 in jih zpi²emo kot Fourierjevo vrsto funkcije s periodo T. y(t) = n=1 n sin( nπt T ) (44) T nstvek, lhko zdj vstvimo v en bo z kcijo, d dobimo: S[b, ] = T 0 m n=1 m=1 nπt mπ T T n m cos( nπt T )cos(mπt T ) (45) 13

15 T mω 0 = m n=1 m=1 T n=1 n m sin( nπt T )sin(mπt T ) n [ ( nπ T ) ω ] Ob predpostvki, d je s T rzdeljen n N intervlov dolºine ɛ, lhko zpi²emo F(T ) kot kon no ²tevilo integrlov po koecientih n. F(t) = J A { imt... exp N n=1 n [ ( nπ T ) ω ]} d 1 A d A...d N A (46) V tem primeru J predstvlj Jkobijn, ki je neodvisen od ω, in g bomo zto lhko ksneje por unli. Ob pogledu n eneg izmed teh integrlov, ponovno prepoznmo obliko Gussoveg integrl ki g lhko zdj re²imo. { imt [ exp n ( nπ T ) ω ]} d n A = ( ɛt ) ( n π T ω ) (47) Skupen rezultt lhko zpi²emo kot produkt N-tih re²itev, kr je tudi v skldu z drugo formulcijo jedr iz en be [15]. N ( n π T ω ) 1/ = n=1 N ( n π n=1 T ) 1/ N (1 ω T n π ) 1/ (48) Vse lene, ki so od ω neodvisne, lhko skupj z Jkobijnom posprvimo v skupno konstnto C in por unmo le zdnji produkt v limiti N ozirom ɛ 0. Pri upo²tevnju limite N lim Nto n=1 (1 x n π ) 1/ = ( sin x x ) 1/ lhko zpi²emo F(T ) kot: n=1 F(T ) = C ( sin (ωt ) ) 1/ (49) πi T Z izr un konstnte C upo²tevmo, d mor n² re²itev pri ω = 0 ustrezti re²itvi z prosti delec. Tko lhko izrzimo vrednost C in dobimo F. C = ( m ) 1/ (50) πi T ( mω ) 1/ F(T ) = (51) πi sin (ωt ) 14

16 Ko zdj rezultt zdruºimo ²e z izrzom z klsi no kcijo dobimo skupno re²itev jedr z hrmonski osciltor. ( K(b, ) = S kl = mω πi sin (ωt ) mω ] [(x + x sinωt b) cos ωt x x b ) 1/exp { imω ]} [(x + x sinωt b) cos ωt x x b (5) (53) Slik 8: R( ik)(t) z hrmonski osciltor. Pri tem je odvisnost od x enk kot pri prostem delcu med tem ko odvisnost od t ne upd pove pri ve jih vrednostih t. Slik 9: Pri ve jih vrednostih t lhko opzimo tudi periodi no, strukturo, ki nm nekko pove, d se verjetnostn mplitud, d delec, preide iz to ke v to ko b ob rzli nih sih t z ne periodi no ponvljti. 15

17 6 Ahron-Bohmov pojv N koncu si lhko ogledmo, ²e primer Ahron-Bohmoveg pojv, z ktereg je zrdi oblike problem primern Feynmnov obrvnv s popotnimi integrli. 8 Poizkus nstvimo podobno, kot e bi gledli interferenco med dvem reºm le, d med njim postvimo tuljvo, ki nm generir mgnetno polje (slik 10). Slik 10: Skic eksperiment z meritev Ahron-Bohmoveg pojv. 10 del. 11 Zdj lhko zpi²emo Lgrngovo funkcijo z delec v mgnetnem polju in jo rzdelimo n dv L = mv + e A v eφ = L + e A v (54) Jedro z t primer lhko rzdelimo n dv lo en integrl in g z upo²tevnjem t b t e A vdt = b e Ad s zpi²emo kot: K(b, ) = b e ( i ) t b t L 1 dt+ b e Ad s 1 Dx 1 + b Ko sedj izrzimo eneg izmed teh dveh eksponentov, e ( i ) t b t L dt+ b e Ad s Dx = K 1 e ( i ) b e Ad s 1 +K e ( i ) b e Ad s (55) = K 1 e ( i ) b e Ad s 1 + K e ( i ) b e Ad s = e ( i )e Ad s 1 (K 1 + K e ( i ) b e Ad s b e Ad s 1 ) (56) in prepoznmo integrl po zklju eni znki, velj b e Ad s b Ad s 1 = φ m. Zdj lhko zpi²emo verjetnost z delec n zslonu. P = K = K 1 + K + K 1 K cos ( e φ m + δ) (57) 16

18 Tu δ predstvlj fzni zmik, e φ m p predstvlj dodten interferen ni len, ki nstne zrdi mgnetneg polj. T len nm, d mksimume vski, ko se mgnetni pretok spremeni z en kvnt. To spreminjnje intenzitete zrdi mgneteg potencil imenujemo tudi Ahron-Bohmov pojv. 11 φ m = ( π e ) 7 Zklju ek Feynmnov formulcij kvntne mehnike je mtemti no zelo zhtevno zsnovn. Kljub temu, d so nektere re²itve dobro nliti no re²ljive, jih je brez povezve z vlovno funkcijo teºko interpretirti. Prv zrdi teh dveh dejstev nm v ve ini primerov t formulcij ne predstvlj dobre lterntive re²evnju Schrödingerjeve en be. Kljub vsemu p im Feynmnov formulcij svoje prednosti. Zrdi direktne povezve z kcijo, je t v dolo enih primerih bolje povezljiv s klsi no mehniko in z primere, kot je Ahron-Bohmov pojv, zrdi svoje zsnove celo bolj smiseln. Predstvlj ²e eno izmed pomembnih orodij z r unnje v kvntnem svetu. 17

19 8 Dodtek: Primer z rvni vl Ker vemo, d so rvni vlovi lstne re²itve Schrödingerjeve z prosti delec, je potrebno preveriti kj nm vrne propgtor prosteg delc, pri z etnem stnju rvneg vl. Zdj denirmo z etni rvni vl ψ 0 Feynmnovim jedrom. = e i(kx0) in g vstvimo v formulo z propgcijo s ψ(x, t) = m K 0 (x, x 0, t)ψ 0 (x 0, t)dx 0 = πi t e im(x x 0 ) t e i(kx0) dx 0 (58) ƒlene v eksponentu lhko se²tejemo in dopolnimo vse lene, ki vsebujejo x 0, do popolnih kvdrtov. Z bolj pregleden izr un bomo denirli = m. i t (x 0 +x xx 0 +( kt )x 0) = i t (x 0 +x +x 0 ( kt x)) = i t (x 0 + ( kt x) ) i t (1 4 (kt ) kt x) (59) To lhko zdj vstvimo v zgornjo en bo, dodtno denirmo b = kt in izpostvimo vse lene, ki ne vsebujejo x 0 iz integrl. ψ(x, t) = πt e i t ( b 4 bx) e i t (x0+ ( kt x) ) dx 0 (60) Iz izrz prepoznmo Fresnelove integrle (x+d) tπ ei t = (C(x)+iS(x)) tπ = (1+ i) in re²imo n² integrl. ψ(x, t) = πt e i t ( b tπ 4 bx) (1 + i) (1 + i) = e i t ( b 4 bx) (61) ƒe vstvimo nzj = m in b = kt lhko por unmo izrz v eksponentu. i t (b 4 bx) = i t ((kt ) 4 kt t ) x) = i(k 4 + ikx = it k + ikx (6) m V rezulttu lhko prepoznmo k m = E prostidelec in zpi²emo re²itev. ψ(x, t) = (1 + i) e kx Et i e = Ae i(kx ωt) (63) 18

20 Iz te kon ne re²itve vidimo, d propgtor prosteg delc ohrnj njegove lstne funkcije in dodtno vklu uje ²e njen sovni rzvoj. Rezultt je o itno v tem primeru ekvivlenten re²evnju Et i Schrödingerjeve stcionrne enn be z upo²tevnjem opertorj sovneg rzvoj. A = e. 19

21 Litertur 1 https: // www. en. wikipedi. org/ wiki/ Richrd_ Feynmn, ( ). Feynmn R.P. in Hibbs A.R.: Quntum mechnics nd Pth Integrls, Dover Publictions, http: // wiki. physics. fsu. edu/ wiki/ index. php/ Feynmn_ Pth_ Integrls, ( ). 4 Susi V.: Feynmn's formultion of Quntum mechnics, 010, dostopno n: http: // www-f1. ijs. si/ ~rmsk/ seminrji/ susic. pdf, ( ). 5 https: // www. en. wikipedi. org/ wiki/ Pth_ integrl_ formultion, ( ). 6 Quntiztion of the Hrmonic Oscilltor dostopno n: https: // mth. byu. edu/ ~sg/ QuntumFieldTheory/, strn , ( ) 7 Zeidler E.: Applied Functionl Anlysis: Applictions to Mthemticl Physics, Springer Science+Business Medi New York, 1995, strn Perepelist D.V.: Pth Integrls in Quntum Mechnics, dostopno n:http: // web. mit. edu/ dvp/ www/ Work/ 8. 06/ dvp pper. pdf, ( ). 9 Gerry C.C. in Singh V.A.: Feynmn pth-integrl pproch to the Ahronov-Bohm eect, Physicl review D, volumen 0, strn 550, https: // en. wikipedi. org/ wiki/ Ahronov-Bohm_ effect, ( ). 11 Jesenko S.: Ahronov-Bohmov pojv, 007, dostopno n: http: // www. burn. ijs. si/ wiki/ imges/ 0/ 0/ Ahbohm. pdf, ( ). 0