zmenični sinali metode reševanja vezij Vsebina polavja: Metode za analizo vezij z izmeničnimi sinali (metoda Kirchoffovih zakonov, metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov), stavki (superpozicije, eveninovo in Nortonovo nadomestno vezje, Telleen). Posebnost pri izmeničnih vezjih obravnava sklopljenih tuljav. Načine analize enosmernih vezij smo že spoznali. Pri vezjih z izmeničnimi sinali lahko uotovimo, da smo z vpeljavo kompleksorjev toka in napetosti vpeljali sorodne relacije: s kompleksorji smo zapisali Ohmov zakon ter oba Kirchoffova zakona. Za reševanje vezij z izmeničnimi sinali lahko torej uporabimo iste metode reševanja kot pri enosmernih, le s kompleksorji jih moramo pisati. Sklopljene tuljave. mamo pa pri izmeničnih sinalih še en poseben slučaj. n sicer manetno sklopljene elemente, ki nastopajo v primeru obravnave vezij z najmanj dvema tuljavama, ki si delita del (ali celoten) fluksa. Ti elementi imajo zaradi sklopitve dodaten padec napetosti na tuljavi, ki se padcu napetosti zaradi lastne induktivnosti prišteva ali pa odšteva. O označevanju podpiranja fluksov smo že ovorili v prejšnjih polavjih, torej samo na kratko: podpiranje (seštevanje) fluksov označimo tako, da postavimo piko v obeh sklopljenih elementih na začetek ali konec elementa lede na tok v element. Ta dodatni padec napetosti lahko označimo s posebnim simbolom (romb) in a imenujemo tokovno krmiljen napetostni vir. S takimi in podobnimi elementi si pomaamo tudi pri nadomestnih vezjih bolj zahtevnih elementov, kot so različni tipi nelinearnih elementov (tranzistorjev,...). Primer: V veji s tokom = 0A je tuljava z X = 0 Ω, ki ima manetni sklep (k = 0,8) s tuljavo z X L = 90Ω v sosednji veji s tokom = ( + j5) A. Fluksa se podpirata. Kolikšna je napetost na tuljavama? zračun: Določiti moramo medsebojno induktivnost oziroma upornost zaradi medsebojne induktivnosti ωm = ωk L L = k ωl ωl = k X LX L, ki bo 4 Ω. Nato določimo še padec napetosti kot L /
U = jx + jx = 0A j0ω + ( + j5)a j4ω = ( 0 + j48) A L U = jx + jx = ( + j5)a j90ω+0a j4ω + = ( 450 + j40) A L M M SLKA: Manetno sklopljeni tuljavi. Napetost zaradi medsebojne induktivnosti lahko predstavimo s tokovno krmiljenim napetostnim virom. Osnovne metode za analizo vezij: ) Metoda Kirchoffovih zakonov ) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialov Stavki (teoremi): ) Stavek superpozicije ) Stavek evenina / Nortona 3) Stavek Telleena 4) Stavek o največji moči Vse omenjene metode analize in stavkov bomo prikazali na sledečem primeru vezja. /
J 3 R () () (3) R U + ~ J L J 5 4 3 L C (0 V) SLKA: Primer vezja za analizo vezij: R = 0 Ω, R = 5 Ω, C = 5 µf, L = 6,67 mh, L = 50 mh, u = 00 cos(ωt) V, i = cos(ωt +π/ ) A, ω = 33,34 s -. (Matlab: metode.m) Tvorimo kompleksorje impedanc in virov: Z L = jωl = j5ω, Z L = j5ω, Z C. Metoda Kirchoffovih zakonov. Temelji na uporabi. in K. Z.: = = j0ω, U = 00 V, = j A. jωc K.Z.: Vsota vseh tokov iz (ali v) spojišča je enaka nič, število enačb = število spojišč -. spojišče (): + + = 0 4 spojišče (): + + = 0 3 spojišče (3): + = 0 5 spojišče (0): ni potrebno, odvečna enačba.k. Z.: Vsota vseh napetosti v zanki je enaka nič, število enačb = številu dopolnilnih vej. zanka J : R + Z + ( Z ) U = 0 3 L 4 L zanka J : Z + R + Z = 0 3 L 5 zanka J : ni potrebna, niti je ne moremo zapisati 3 C Dobimo pet enačb za pet tokov. Reševanje takea sistema je lahko zamudno, običajno nam to delo poenostavijo računalniki. Mi moramo le poskrbeti, da sistem enačb zapišemo v matrični obliki. V našem primeru bi tvorili sistem: 3/
0 0 0 j 0 0 0 0 0 0 3 = j 0 0 j5 j5 0 00 4 0 5 j5 0 j0 5 0 To je zapis v obliki A x=b Polejmo si primer reševanja takea sistema s proramom Matlab. Tvorimo matriko A, ki bo A=[,0,0,,0;-,,,0,0;0,-,0,0,;0,0,5j,-5j,0;0,5,-5j,0,-0j] in vektor b, ki bo b=[-j;0;j;00;0]. Matlab ponuja različne načine reševanja sistemov enačb. Še najbolj enostavno dobimo rešitev tako, da invertiramo matriko A in jo pomnožimo z vektorjem b: Dobimo rešitev v obliki vektorja z iskanimi toki. Matlab: x=inv(a)*b Rezultat:.0873 -.3450i -0.35 + 3.485i.009-5.4934i -.0873 +.3450i -0.35 + 4.485i Tok bo torej (,0873-j,3450) A itd. Drui načini reševanja sistema enačb: Lahko uporabimo tudi Kramerjevo pravilo z reševanjem z determinanto in poddeterminantami, ki pa je nekoliko bolj zamudno. Determinanto dobimo z ukazom det(a), pri poddeterminantah pa moramo najprej sekvenčno menjati stolpce z vektorjem b. To naredimo s sledečimi ukazi: D=A, D(:,)=b, =det(d)/det(d). Dobimo.0873 -.3450i, kar je seveda rešitev za tok. Tretji način je tako imenovana Gaussova eliminacija (več pri matematiki), kjer enak rezultat dobimo s preprostim Matlab ukazom x=a\b. Analiza vezja v primeru sklopljenih tuljav. Slika: Enako kot predhodno vezje, le da sta tuljavi sklopljeni s faktorjem sklopa k. V tem primeru je potrebno upoštevati dodatna padca napetosti na tuljavah, ki sta posledica fluksa iz U () () (3) + ~ 4 J 3 R 5 J L J L k 3 C (0 V) 4/
sosednjih tuljav. Ta se prišteva ali odšteva od napetosti na tuljavi v skladu z doovorom o»pikah«. V konkretnem primeru re v obeh tuljavah tok najprej skozi tuljavo in potem»skozi«piko, zato se prispevka prištevata. Določiti je potrebno kompleksno upornost zaradi medsebojne induktivnosti, ki je: jωm = jωk L L = jk ωlω L = j0,8 5 Ω 5 Ω j6,93 Ω Napetosti na tuljavi L se prišteje prispevek 3Z M = 3 jωm, napetosti na tuljavi L pa se prišteje prispevek 4 Z M = 4 jωm. Za vsoto napetosti v zankah sedaj dobimo enačbe: zanka J : R + Z + Z + ( Z ) + ( Z M ) U = 0 3 L 4 M 4 L 3 zanka J : Z Z + R + Z = 0 3 L 4 M 5 zanka J : ni potrebna, niti je ne moremo zapisati 3 Nova matrika bo torej (spremenjeni sta le zadnji dve vrstici): 0 0 0 j 0 0 0 0 0 0 3 = j. 0 0 j8,07 j,93 0 00 4 0 5 j5 j6,93 j0 5 0 C Rešitev je sedaj seveda druačna: =.0536-3.6033i, =-.906 + 6.866i, itd.. Metoda zančnih tokov. Označimo zanke z zančnimi toki in zapišemo enačbe v skladu z K.Z. Vejske toke zapišemo z zančnimi. Število potrebnih enačb je enako številu dopolnilnih vej (ponovi pojme raf, drevo, veje, dopolnilne veje,... iz OE). ( J J ) R + ( J J ) Z + J Z U = 0 3 L L ( J J ) Z + ( J J ) R + J Z = 0 J 3 L 3 = C Dobimo sistem treh enačb, ki pa je pravzaprav le sistem dveh, saj je tok v tretji zanki določen kar s tokom. Če to upoštevamo v naslednjem koraku, dobimo matrični sistem oblike R + Z L + Z L jz L J U + R Z R Z Z = J R + + L L C oziroma 0 + j0 j5 J 00 + j0 = j5 5 j5 J j5 5/
Tudi ta sistem enačb lahko preprosto rešimo z eno od zoraj omenjenih načinov. Matrika A bo A=[0+0j,-5j;-5j,5-5j], b pa b=[00+0j;5j]. Rešitev dobimo z ukazom X=inv(A)*b in dobimo.0873 -.3450i -0.35 + 4.485i Zančni tok J je torej (,0873-j,3450) A. Ta tok je tudi enak toku - 4, kar se lahko prepričamo iz prejšnje rešitve sistema petih enačb. 3. Metoda spojiščnih potencialov. Število enačb enako številu spojišč -. zhajamo iz tea, da izrazimo toke v vejah s potenciali spojišč. Če je v veji upor, izrazimo tok v veji s padcem napetosti na tem uporu, le-to pa izrazimo s potenciali spojišč, na katera je priključen. Če je v veji le napetostni vir, tok v tej veji izrazimo s toki v sosednje spojišče (v skladu s KZ). Potencial enea od spojišč lahko poljubno izberemo (običajno ozemljimo). V U V V spojišče (): + + = 0 Z L R V V V V V R Z R 3 spojišče (): + + = 0 L V V V 3 3 spojišče (3): + = 0 R Z C Dobimo sistem treh enačb, ki jih zapišemo v matrični obliki / j5 + /0 /0 0 V j + 00 / j5 /0 /0 + / 5 + / j5 / 5 V = 0 0 / 5 / 5 / j0 V 3 j Rešitev so spojiščni potenciali, iz katerih lahko nato izračunamo vejske toke, itd. zračun z Matlabom: A=[/5j+/0,-/0,0; -/0,/0+/5+/5j,-/5;0,-/5,/5-/0j], b=[- j+00/5j;0;j], inv(a)*b Rešitev je 93.75-5.4367i 8.407 +8.03i 8.9694 +.707i 6/
STAVK ) Stavek superpozicije Če imamo več različnih virov v vezju, lahko pri linearnem vezju odklopimo določen vir in analiziramo vezje kot vsoto več poenostavljenih vezij. Če so viri različnih frekvenc, ne smemo izračunanih kompleksorjev tokov preprosto sešteti, saj re za časovne sinale različnih frekvenc. Seštejemo lahko časovne sinale. Z metodo superpozicije lahko analiziramo tudi vezje, ki vključuje enosmerne in izmenične vire. Odklopljen napetostni vir nadomestimo s kratkim stikom, tokovni vir pa z odprtimi sponkami. SLKA: Razdelitev vezja v dve vezji s posameznimi vključenimi viri. ) eveninovo in Nortonovo nadomestno vezje. Enako kot je veljalo za enosmerna vezja, lahko pri (linearnih) izmeničnih vezjih vezje med poljubnima dvema sponkama nadomestimo z realnim napetostnim ali tokovnim virom. Nortonovo nadomestno vezje je ekvivalentno eveninovemu, le da a predstavimo z realnim tokovnim virom. Velja U N = in Z Z N / Y N Z = =. SLKA: eveninovo in Nortonovo nadomestno vezje. 7/
SLKA: Levo: Nadomestimo vezje med sponkama upora R s eveninovim nadomestnim virom. Desno: eveninov nadomestni vir. Osnovna pravila za izračun elementov eveninovea (ali Nortonovea) nadomestnea vezja: - eveninovo (ali Nortonovo) nadomestno upornost določimo kot kompleksno upornost med sponkama, kjer želimo določiti nadomestno vezje. Pri tem napetostne vire v vezju kratko sklenemo, tokovne pa odklopimo. Za lažje pomnjenje si lahko pomaamo z vedenjem, da je notranja upornost idealnea napetostnea vira enaka nič, tokovnea pa neskončna. Velja Z = Z = / Y. N N - V primeru bolj kompleksnea vezja (če ni mooče kar preprosto seštevati zaporedno in vzporedno vezane elemente vezja) moramo eveninovo upornost določiti tako, da med sponki priključimo poljubno napetost (npr. Kar V) in določimo tok v vezje. Razmerje med njima pa je vhodna impedanca oziroma eveninova nadomestna (kompleksna) upornost. Tak primer vezja so tudi vezja s sklopljenimi elementi. - eveninovo nadomestno napetost določimo kot napetost odprtih sponk med sponkama (seveda pri priključenih virih). - Vrednost Nortonovea tokovnea vira določimo kot tok kratkea stika med priključnima sponkama ( N = k.s. ) ali iz eveninove napetosti: = U Z N Primer: zračun toka skozi upor R z nadomestitvijo vezja med sponkama upora s eveninovim nadomestnim virom. Recimo, da nas zanima le en tok v vezju, ki a analiziramo. Naj bo to tok skozi upor R v že analiziranem vezju. Poiščimo nadomestno eveninovo upornost in napetost. eveninova upornost je notranja upornost vezja ledana s sponk upora R, pri čemer tokovni vir 8/
odklopimo (odprte sponke), napetostnea pa kratko sklenemo. Dobimo ( ) Z = R + Z Z + Z. Zopet si pomaajmo z Matlabom >>ZT=/(/(0+5j)+/(5j))- L L C 0j. Rezultat je Z = 4, 5 j4ω. Napetost evenina dobimo kot napetost med sponkama odklopljenea upora. Uporabiti moramo določeno metodo reševanja tudi za izračun te napetosti. Vzemimo za vajo metodo spojiščnih potencialov, pri kateri upoštevamo, da mora biti vsota tokov v spojišče enaka nič: V U V U + + = 0 V + = +. Z L R + Z L Z L R + Z L Z L Rešitev z Matlabom: >> V=(-j+00/5j)/(/5j+/(0+5j)). Rezultat je V =(84-j0,5)V. Z L Napetost evenina je U = U + L U = C V Z R + Z Rešitev z Matlabom >> U=V*5j/(0+5j)-j*(-0j). Rezultat je U = (43+j3,5) V. Tok skozi upor R je torej = = = ( + j ) R L U 43 + j3,5 V Z + R 4,5 j4 + 5Ω Rezultat je enak kot z metodo Kirchoffovih zakonov. T C. 0,35 3,485 A. Poskusimo še z metodo zančnih tokov (pri čemer je sedaj upor R odklopljen): Napetost evenina bo U ( J ) Z ( )( Z ) = +. Tok J dobimo iz zančne enačbe L C ( ) ( ) U + J R + Z + Z R + Z =, od koder >> J=(00+j*(0+5j))/(0+0j) L L L 0 = ( ) in >> U=(J-j)*5j-j*(-0j) U ( j, ) J, j 3, A = 43+ 3 5 V. 3) Telleenov stavek. Telleenov stavek pravi, da je vsota moči virov enaka vsoti moči bremen. V obravnavanem vezju bo moralo veljati * * U ( 4) + ( V 3 V ) = 4 Z L + 3 Z L + 5 Z C + R + R. zračunamo z Matlabom: >> PV=0.5*00*(-(4))+0.5*j*(V(3)-V()). Dobimo ( ) S = 50, 5 j, 4 VA. virov Moč na bremenih pa je >> PB=0.5*((4)^*5j+(3)^*5j+(5)^*(- 0j)+()^*5+()^*0). Dobimo S (, j, ) bremen = 50 5 4 VA. 9/
Vidimo, da sta moči enaki, kar je tudi dober način preverjanja pravilnea rezultata analize vezja. Vprašanje: Zakaj smo množili z izhaja iz + sponke. * 4 in ne z * 4. Odovor: Zato, ker moramo upoštevati tok, ki 4) Maksimalna moč. O maksimalni moči smo že ovorili v polavju o moči (PONOV). Zato tokrat bolj na kratko. Vzemimo primer optimiranja upornosti R iz obravnavanea primera tako, da bo na njem (delovna) moč maksimalna. z teorije vemo, da bo to tedaj, ko bo upornost bremena (upora) enaka absolutni vrednosti eveninove upornosti, ki je Z = 4, 5 j4 Ω = 4,7 Ω. Maksimalna moč pa bo >> Pmax=U*conj(U)/(4*(5+4.7)) P b,max = U 36 W 4. ( R + Z ) Pole uporabljene metode lahko uporabimo tudi klasično analizo vezij za določitev maksimalne moči. Uporaba proramov Matlab je dobrodošla tudi v primeru optimiranja elementov, saj je izračunavanje (linearnih) sistemov enačb izredno hitro. Naredimo preprost proramček, ki povečuje vrednost upora R od do 00 Ω, vsakič izračunamo toke in moč na uporu R ter na koncu izrišemo raf. z rafa uotovimo, da bo največja moč dejansko pri upornosti R med 0 in 0. Glede na natančnost izračuna, dobimo maksimum pri vrednosti upora 5 Ω. Pole tea odčitamo maksimalno moč približno 36 W. 40 35 SLKA: Moč na uporu R ima maksimum pri vrednosti, ki je enaka absolutni vrednosti eveninove nadomestne upornosti. (Matlab: Moc_na_R.m) Moc na R / W 30 5 0 5 0 5 0 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 R / Ohm S»polovičko«pri izrazih za moč je potrebno biti vedno nekoliko previden. Včasih so moči izražene z efektivnimi vrednostmi, tedaj je izraz za moč brez polovičke, če pa so z maksimalnimi, pa je potrebno v izrazu upoštevati ½. 0/
% Proram v Matlabu za izris moči na uporu R P=[]; % prazen array for R=0::00 % povečujem upornost od 0 do 00 A=[,0,0,,0;-,,,0,0;0,-,0,0,;0,0,5j,-5j,0;0,R,-5j,0,-0j]; % matrika b=[-j;0;j;00;0]; =inv(a)*b; % resitev tokov, () je tok skozi upor R PR=0.5*().*conj(())*R % izracun moci P=[P PR] % shranjevanje vrednosti moci v vektor P end plot(0::00,p) % izris xlabel('r / Ohm') ylabel('moc na R / W') Vprašanja za obnovo: ) Upoštevanje sklopljenih tuljav pri analizi vezij. Tokovno krmiljen napetostni vir. ) Metode reševanja vezij: način uporabe, primer. 3) Stavki: superpozicija, evenin/norton, Telleen, maksimalna moč: primer uporabe. izpit, 4. junij 006 izpit, 8. junij 006 kol. 9.6.999 /
* Reševanje bolj kompleksnih vezij s proramsko opremo. Prorami za analizo vezij, kot je na primer Spice, najpoosteje uporabljajo kar»preprosto«metodo Kirchoffovih zakonov, saj reševanje večjea sistema enačb za računalnike ni težava. Reševanje postane težavnejše, ko v analizi upoštevamo kompleksnejše modele nelinearnih elementov. Ti imajo lahko tudi modele, ki so opisani z več kot deset parametri. Zaradi zahtevnosti določanja teh parametrov, poosto proizvajalci podajajo kar SPCE parametre svojih izdelkov. SLKA: Primer SPCE modela Schottky diode 0BQ00 (zaporna napetost 00 V) proizvajalca nternational Rectifier.»Preprosto«diodo popišejo z nič manj kot 5 parametri. /