Lehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU RAČUNALNIŠTVA IN MATEMATIKE Mentor: prof. dr. Aleksandar Jurišić Somentor: prof. dr. Roman Drnovšek Ljubljana 205

Rezultati diplomskega dela so intelektualna lastnina avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko ter Fakultete za matematiko in fiziko, Univerze v Ljubljani. Za objavljanje ali izkoriščanje rezultatov diplomskega dela je potrebno pisno soglasje avtorja, Fakultete za računalništvo in informatiko, Fakultete za matematiko in fiziko ter mentorja. Besedilo je oblikovano z urejevalnikom besedil L A TEX.

Fakulteta za računalništvo in informatiko izdaja naslednjo nalogo: Tematika naloge: Delo naj predstavi osnove, potrebne za razumevanje najpomembnejših metod za računanje največjega skupnega delitelja, kot so Evklidov algoritem tudi razširjena verzija za iskanje multiplikativnega inverza obrnljivih elementov po modulu izbranega naravnega števila) in verižni ulomki. Opravi naj se tudi časovna primerjava različnih metod ter verjetnostna analiza za ugotavljanje porazdelitve kvocientov. Glavni cilji so: a) Lehmerjev algoritem in njegova implementacija, b) Knutova analiza, c) primerjava različnih algoritmov glede na časovno zahtevnost, d) analiza rezultatov, ki omogoči izbiro optimalnih modulov za učinkovito implementacijo. Literatura: M. Urlep, Analiza Evklidovega algoritma, seminarska naloga pri predmetu Kriptografija na FMF, UL, 2005. S. Maksimović: Učinkovita aritmetika v praštevilskih obsegih, diplomsko delo, Ljubljana, Fakulteta za matematiko in fiziko, 2003. J. Sorenson, An Analysis of Lehmer s Euclidean GCD Algorithm. In Proc. AMC IS- SAC 95 Symp., pages 254 258, 995. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming: Seminumerical Algorithms, Vol. 2, Addison-Wesley, Reading, Ass., 2nd. edition, 98. A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, CRC Press Series on Discrete Mathematics and its Applications), 4th ed, 999.

Izjava o avtorstvu diplomskega dela Spodaj podpisana Mirjam Kolar, z vpisno številko 63080497, sem avtorica diplomskega dela z naslovom: Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja Lehmer s GCD algorithm S svojim podpisom zagotavljam, da: sem diplomsko delo izdelala samostojno pod mentorstvom prof. dr. Jurišića in somentorstvom prof. dr. Romana Drnovška, Aleksandra so elektronska oblika diplomskega dela, naslov slov., angl.), povzetek slov., angl.) ter ključne besede slov., angl.) identični s tiskano obliko diplomskega dela soglašam z javno objavo elektronske oblike diplomskega dela v zbirki Dela FRI. V Ljubljani, dne 20. januarja 205 Podpis avtorja:

Kazalo Povzetek Abstract Uvod 2 Evklidov algoritem 3 2. Največji skupni delitelj............................. 3 2.2 Najmanjši skupni večkratnik.......................... 4 2.3 Iskanje največjega skupnega delitelja..................... 5 2.4 Iskanje inverza v Z n............................... 8 3 Verižni ulomki 3. Povezava Q polinomov z verižnimi ulomki.................. 3.2 Realna števila in verižni ulomki........................ 4 3.3 Evklidov algoritem in verižni ulomki..................... 6 4 Kvocienti v Evklidovem algoritmu 9 4. Porazdelitvene funkcije............................. 9 4.2 Porazdelitvena funkcija F n x)......................... 2 4.3 Wirsingova metoda............................... 23 4.4 Porazdelitev delnih kvocientov......................... 36 5 Lehmerjev algoritem 5 5. Ideja algoritma................................. 52 5.2 Primerjava z Evklidovim algoritmom..................... 53 5.3 Inverz z razširjenim Lehmerjevim algoritmom................ 53 6 Implementacija algoritmov 55 6. Implementacija Evklidovega algoritma.................... 55

KAZALO 6.2 Implementacija Lehmerjevega algoritma................... 56 6.3 Časovna zahtevnost............................... 6 7 Primeri računanja 63 7. Iskanje največjega skupnega delitelja..................... 63 7.2 Iskanje inverza................................. 67 8 Testiranje 7 8. Primerjava časov................................ 7 8.2 Porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu............... 72 8.3 Kvocienti pri naključno izbranih celih številih................ 75 Literatura 8

Povzetek V nalogi si na kratko ogledamo pravila v zvezi z največjim skupnim deliteljem ter najmanjšim skupnim večkratnikom dveh celih števil in opišemo Evklidov algoritem. Ogledamo si povezavo med Evklidovim algoritmom in verižnimi ulomki, Wirsingovo metodo za določanje porazdelitvene funkcije in kako je Knuth z uporabo te funkcije izračunal porazdelitev delnih kvocientov v Evklidovem algoritmu. Iz tega sledi še opis ideje Lehmerjevega algoritma, v čem se razlikuje od Evklidovega algoritma ter kako z njim poiščemo največji skupni delitelj dveh velikih števil in multiplikativni inverz po modulu n za naravno število n. Algoritma ter njuni razširitvi tudi implementiramo ter primerjamo, kdaj in za koliko je kateri od njiju hitrejši. Na koncu še na naključno izbranih številih preverimo, kakšni so kvocienti v Evklidovem algoritmu v praksi. Ključne besede: Lehmerjev algoritem, Evklidov algoritem, verižni ulomki, porazdelitvene funkcije, Wirsingova metoda za določanje porazdelitvene funkcije, kvocienti v Evklidovem algoritmu.

Abstract In this thesis we briefly look at the rules related to the greatest common divisor and the lowest common multiple of two integers and we describe the Euclidean algorithm. We study connections between Euclidean algorithm and continued fractions, Wirsing s method for determining the distribution function and how Knuth calculated the distribution of partial quotients in Euclidean algorithm using this method. Next Lehmer s algorithm is described and how it improves Euclidean algorithm, greatest common divisor and the multiplicative inverse mod n for a natural number n. We implement both Euclidean algorithm and Lehmer s algorithm in order to compare their speed. We also confirm the calculated distributions of partial quotients in Euclidean algorithm through an experiment. Keywords: Lehmer s algorithm, Euclidean algorithm, continued fractions, distribution function, Wirsing s method for determining the distribution function, quotients in Euclidean algorithm.

Poglavje Uvod Evklidov algoritem je verjetno eden izmed najstarejših znanih algoritmov in je že dve tisočletji znan kot učinkovit algoritem za iskanje največjega skupnega delitelja dveh celih števil. Poleg tega ga uporabljamo tudi za iskanje multiplikativnega inverza po modulu n, kjer je n N, reševanje diofantskih enačb, iskanje čim bolj točnega racionalnega približka iracionalnega števila pri dani velikosti števca in imenovalca itd. Z algoritmom za dani različni števili izrazimo večje število kot večkratnik drugega števila, povečan za ostanek ki je nenegativno število, manjše od drugega števila), in nato postopek nadaljujemo z drugim številom in ostankom itd., vse dokler ne pridemo do ostanka 0. Predzadnji ostanek je iskan največji skupni delitelj. Oglejmo si naslednji primer. Primer.. Iskanje največjega skupnega delitelja števil A = 660695 in B = 6840 z Evklidovim algoritmom. 660695 = 242 6840 + 545 6840 = 545 + 425 545 = 3 425 + 40 425 = 40 + 285 40 = 4 285 + 0 Z algoritmom smo izračunali, da je največji skupni delitelj števil 660695 in 6840 število 285. Čeprav se v tem primeru zdi, da je računanje kvocientov enostavno, se s povečevanjem števil izkaže, da je to časovno zelo zamudna operacija. Zaradi tega pri velikih številih potrebujemo hitrejšo rešitev. Ena izmed njih je Lehmerjev algoritem, kjer kvociente računamo s pomočjo manjših števil. V veliko primerih namreč lahko izračunamo kvociente tudi, če številom odrežemo zadnjih nekaj števk. Oglejmo si na primeru, kako to storimo.

2 POGLAVJE. UVOD Primer.2. A = 0 230 724 535 829 006 630, B = 3 072 467 67 98 905 265. A B a 0 = = 02 307, a = = 30 724, 00 000 000 000 000 00 000 000 000 000 q a0 + 02 308 = = = 3, q a0 02 307 = = = 3, 30 724 a + 30 725 a q = q = 3. Če deljenje preverimo z računalnikom, vidimo, da nam vrne enak rezultat A B = 3. Namesto deljenja dveh velikih števil smo prišli do iskanega kvocienta z deljenjem dveh manjših števil. Velja namreč q A q. B Kot bomo videli, se v Evklidovem algoritmu večinoma pojavljajo majhni kvocienti. Kvocienti, 2 in 3 se namreč pojavljajo v približno 67, 8 %, kar bomo kasneje pokazali tako v teoriji, kot tudi v praksi. Derrick Henry Lehmer je to upošteval v svojem algoritmu, ki kvociente računa s pomočjo manjših števil. Tako je njegov algoritem hitrejši od Evklidovega na velikih številih. Tak algoritem je predvsem uporaben pri šifriranju, kjer se pogosto uporabljajo velika cela števila. Procesorji namreč ne zmorejo obdelovati tako velikih števil z eno operacijo. Na primer, 32 bitni procesorji lahko računajo s števili do 2 32, ta števila pa so za šifriranje občutno premajhna. Preden bomo opisali Lehmerjev algoritem, bomo v naslednjih poglavjih na kratko opisali Evklidov algoritem ter s pomočjo verižnih ulomkov in Wirsingove metode za določanje porazdelitvene funkcije pokazali, da je porazdelitev kvocientov res takšna, kot smo zgoraj omenili. Evklidov algoritem je namreč osnova za Lehmerjev algoritem, dejstvo, da se kvocienti res pojavljajo v tolikšnih odstotkih, kot smo omenili in bomo kasneje pokazali, pa nam pove, da je Lehmerjev algoritem res učinkovitejši od Evklidovega za velika števila.

Poglavje 2 Evklidov algoritem V tem poglavju bomo opisali največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil ter pokazali, kako z Evklidovim algoritmom izračunamo največji skupni delitelj. Ogledali si bomo tudi, kako poiščemo inverz števila v Z n z razširjenim Evklidovim algoritmom. 2. Največji skupni delitelj Največji skupni delitelj dveh celih števil A in B je največje celo število, ki deli tako A kot tudi B. Označimo ga z gcda, B) kratica izhaja iz angleškega izraza greatest common divisor). Zanj velja: gcda, B) = gcdb, A), gcda, B) = gcd A, B), gcda, 0) = A. Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno število, ki je večje od, zapišemo kot produkt praštevil, pri čemer je ta razcep na praštevila enoličen. Tako lahko števili A in B zapišemo kot A = 2 a2 3 a3 5 a5 7 a7... = B = 2 b2 3 b3 5 b5 7 b7... = pri čemer so eksponenti a 2, a 3, a 5, a 7,..., b 2, b 3, b 5, b 7,... nenegativna cela števila in je le končno mnogo eksponentov različnih od 0. Iz tega zapisa lahko enostavno dobimo formulo za največji skupni delitelj števil A in B, ki je enaka gcda, B) = p P 3 p minap,bp). p P p P p ap, p bp, 2.)

4 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM Primer 2.. A = 565950 = 2 3 5 2 7 3, B = 780 = 2 2 3 5 3, gcda, B) = 2 3 5 = 30. Iz definicije 2.) sledi, da je gcda, B) C = gcda C, B C), za C Z. Trditev 2.2. Za največji skupni delitelj velja gcda, B) = gcda q B, B), za q Z. Dokaz. Pokažimo, da velja c gcda, B) c gcda ± B, B), kjer je c Z\{0}. = ) =) Ker c gcda, B), sledi, da je A = k c in B = l c za neka k, l Z. Zato je A ± B = k ± l) c, natanko tedaj, ko c gcda ± B, B). Naj bo D = A ± B oziroma A = D B. Potem je potrebno pokazati, da iz c gcdd, B) sledi c gcdd B, B), kar smo že pokazali v prvem delu. Tako smo se prepričali, da velja gcda, B) = gcda ± B, B). Če število B odštejemo oziroma prištejemo večkrat, pridemo do tega, kar smo želeli pokazati. Če je gcda, B) =, pravimo, da sta si števili A in B tuji. 2.2 Najmanjši skupni večkratnik Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil A in B je najmanjše celo pozitivno število, ki je deljivo tako z A kot tudi z B. Označimo ga z lcma, B) kratica izhaja iz angleškega izraza lowest common multiple). Zanj velja: lcma, B) = lcmb, A), lcma, B) = lcm A, B), lcma, 0) = A. Če števili A in B zapišemo kot produkta praštevil, je njun najmanjši skupni večkratnik enak lcma, B) = p P p maxap,bp). 2.2)

2.3. ISKANJE NAJVEČJEGA SKUPNEGA DELITELJA 5 Primer 2.3. A = 565950 = 2 3 5 2 7 3, B = 780 = 2 2 3 5 3, lcma, B) = 2 2 3 5 2 7 3 3 = 474700. Iz definicije 2.2) sledi, da je lcma, B) C = lcma C, B C), za C Z. Če združimo definiciji 2.) in 2.2), dobimo gcda, B) lcma, B) = A B. 2.3 Iskanje največjega skupnega delitelja Enačba 2.) sicer izgleda uporabna v teoriji, vendar je v praksi problem, če imamo opravka z večjimi števili, saj moramo najprej faktorizirati števili A in B, da lahko potem poiščemo njun največji skupni delitelj. Za faktorizacijo trenutno ne poznamo nobene hitre metode, vseeno pa obstaja učinkovit enostaven algoritem za računanje največjega skupnega delitelja, ki ga je 300 let pr. n. št. opisal Evklid v svojem delu Elementi, v knjigi 7. Ta algoritem je verjetno najstarejši in najpomembnejši algoritem v teoriji števil. Predpostavimo skozi vso nalogo, da je A B. Pri iskanju največjega skupnega delitelja števil A in B algoritem izvaja zaporedje korakov, pri čemer se rezultat vsakega koraka uporabi kot vhodni podatek za naslednji korak. Definirajmo na začetku kvocient q 0 in ostanek r 0 : q 0 = A, r 0 = A q 0 B. B Zapišimo definicijo za r 0 drugače: A = q 0 B + r 0. Iz definicije števil q 0 in r 0 je očitno, da je r 0 < B. Ker po trditvi 2.2 velja gcda, B) = gcdq 0 B + r 0, B) = gcdr 0, B), lahko problem iskanja gcda, B) prevedemo na problem iskanja gcdb, r 0 ), ki je manjši. B Če zapišemo q = r 0, r = B q r 0, torej B = q r 0 + r, dobimo tako prva dva koraka Evklidovega algoritma. Postopek rekurzivno ponavljamo. Vsak korak se začne z

6 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM dvema nenegativnima ostankoma r k in r k 2. Cilj k tega koraka je najti kvocient q k in ostanek r k, da velja r k 2 = q k r k + r k, kjer je r k < r k. 2.3) V prvem koraku k = 0) velja A = r 2, B = r. Prvih nekaj korakov algoritma je A = q 0 B + r 0, B = q r 0 + r, r 0 = q 2 r + r 2, r = q 3 r 2 + r 3,. Zaporedje {r i }, i = 2,,..., imenujemo Evklidovo zaporedje števil A in B. Trditev 2.4. Evklidov algoritem se konča po končnem številu korakov in vrne pravilen rezultat. Dokaz. Zaporedje {r i } nenegativnih celih števil je strogo padajoče, kar pomeni, da po končnem številu korakov pridemo do 0, tj. r N = 0 za nek N N. Po trditvi 2.2 velja: gcda, B) = gcdb, r 0 ) = gcdr 0, r ) = = gcdr N 2, r N ) = gcdr N, r N ) = gcdr N, 0) = r N, torej nam algoritem res vrne pravilen rezultat, tj. gcda, B) = r N. Oglejmo si še, kolikšno je število korakov v Evklidovem algoritmu. Predpostavimo, da sta števili A in B naključno porazdeljeni med številoma in M. Lamé je pokazal, da je število korakov v Evklidovem algoritmu enako največ ln 5M) ln + 2 2, 078 ln M +, 672, 5)/2) Heilbronn pa, da je povprečno število korakov v Evklidovem algoritmu približno enako 2 ln 2 ln M + 0, 4 0, 843 ln M + 0, 4. π 2 Dokaz najdemo npr. v knjigi The Art of Computer Programming [6]), poglavje 4.5.3. Analysis of Euclid s Algorithm. Izrek 2.5. Za števili A B, ki sta naključno porazdeljeni med številoma in M, je časovna zahtevnost Evklidovega algoritma enaka Olog 2 M) 2 ).

2.3. ISKANJE NAJVEČJEGA SKUPNEGA DELITELJA 7 Dokaz. Časovna zahtevnost izračuna q B + r je enaka Olog 2 B log 2 q), saj je časovna zahtevnost množenja dveh celih števil m in n enaka Olog 2 m log 2 n). Zahtevnost A B je enaka Olog 2 M) 2 ). Ker je število M večje od števil B in q, je tako časovna zahtevnost enega koraka Olog 2 M) 2 ). algoritma enaka Olog 2 M) 3 ). Ker je število korakov Olog 2 M), je časovna zahtevnost Poskusimo sedaj dokazati, da je časovna zahtevnost manjša. Pokažimo najprej, da se število A po dveh korakih v Evklidovem zaporedju zmanjša vsaj za faktor 2. Vemo, da velja r k < r k. Razdelimo dokaz na dva primera: ) r k r k 2 2 2) r k > r k 2 2 = r k < r k r k 2 2, = po definiciji 2.3) velja r k = r k 2 q k r k. Edini možni primer za q k je q k = in v tem primeru velja r k = r k 2 r k < r k 2 2. Če je v prvi in morda še drugi) vrstici zahtevnost algoritma Olog 2 M) 2 ), je zahtevnost vseh ostalih vrstic tako skupaj manjša od zahtevnosti prve vrstice, torej od Olog 2 M) 2 ). Skupaj je tako časovna zahtevnost manjša ali enaka vsoti zahtevnosti prve vrstice, druge vrstice in vseh ostalih vrstic skupaj, kar pomeni, da je manjša ali enaka Olog 2 M) 2 ) + Olog 2 M) 2 ) + Olog 2 M) 2 ) = 3 Olog 2 M) 2 ) = Olog 2 M) 2 ). Primer računanja Evklidovega algoritma smo si ogledali že v uvodu Primer.), še enega pa si oglejmo sedaj. Primer 2.6. A = 837, B = 329. i q i r i 2 837 329 837 = 55 329 + 276 0 55 276 329 = 276 + 53 53 276 = 5 53 + 2 5 53 = 4 + 9 3 4 9 = 9 + 2 4 2 9 = 4 2 + 5 4 2 = 2 + 0 6 2 0 Števili 837 in 329 sta si tuji, saj je gcd837, 329) =.

8 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM 2.4 Iskanje inverza v Z n Če Evklidov algoritem razširimo, lahko z njim poiščemo inverz števila v Z n. Definirajmo poleg Evklidovega zaporedja {r i } še zaporedji {s i } in {t i }, s katerima računamo inverz števila v Z n. Zanju velja: s 2 =, t 2 = 0, s = 0, t =, 2.4) s i A + t i B = r i, za i = 2,,... Izrek 2.7. Z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma lahko poiščemo števili x in y, ki sta eni izmed rešitev diofantske enačbe z dvema neznankama x A + y B = C, natanko tedaj, ko gcda, B) deli C. Dokaz. Najbolj enostavna primera sta, ko je C = A ali ko je C = B: A + 0 B = A, 2.5) 0 A + B = B. V primeru, ko je C = gcda, B), nam enačba 2.5) omogoči, da iščemo rešitve z zaporedji {s i }, {t i } in {r i }. Ideja je, da gre r i dovolj hitro proti gcda, B). Tako je r i = r i 2 q i r i. Če q i+ krat odštejemo enačbo 2.4) predhodni enačbi s i A + t i B = r i, dobimo As i q i+ s i ) + Bt i q i+ t i ) = r i+. Zaporedji {s i } in {t i } tako računamo po enakem principu kot zaporedje r i : s k 2 = q k s k + s k, t k 2 = q k t k + t k. Ko se algoritem konča z r N = 0, velja r N = gcda, B), prav tako velja tudi s N = s ter t N = t. Števili s in t tako že imamo. Kako sedaj dobimo števili x in y, rešitvi linearne diofantske enačbe? Ker velja gcda, B) C, je C = C gcda, B). Tako lahko enačbo s A + t B = gcda, B) pomnožimo s C in dobimo s C ) A+t C ) B = gcda, B) C = C. Rešitvi linearne diofantske enačbe sta tako x = s C in y = t C.

2.4. ISKANJE INVERZA V Z N 9 Rešitvi x in y sta le eni izmed neskončno rešitev diofantske enačbe, s pomočjo teh rešitev pa lahko dobimo vse ostale. Kot vidimo, pri Evklidovem algoritmu računamo zaporedje {r i }, če pa računamo še zaporedje {s i } in/ali zaporedje {t i }, imenujemo ta algoritem razširjen Evklidov algoritem. Ko sta si števili A in B tuji, torej ko velja gcda, B) =, lahko z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma poiščemo inverz števila A po modulu B in inverz števila B po modulu A. Število s je v tem primeru multiplikativni inverz števila A po modulu B in število t je multiplikativni inverz števila B po modulu A. Vendar za inverz računamo poleg zaporedja {r i } le {s i } ali le {t i }, saj potrebujemo le enega od njiju, odvisno za katero od števil A oziroma B računamo inverz. Tako lahko z razširjenim Evklidovim algoritmom poiščemo multiplikativni inverz obrnljivih elementov po modulu izbranega naravnega števila. Primer 2.8. Oglejmo si primer računanja inverza na primeru 2.6 iz prejšnjega poglavja za tuji si števili A = 837 in B = 329 z uporabo razširjenega Evklidovega algoritma. Računanje zaporedja s i : = 55 0 + 0 = + ) = 5 ) + 6 = 4 6 + 25) 6 = 25) + 3 25 = 4 3 + 49) 3 = 2 49) + 329 Računanje zaporedja t i : 0 = 55 + 55) = 55) + 56 55 = 5 56 + 335) 56 = 4 335) + 396 335 = 396 + 73) 396 = 4 73) + 8320 73 = 2 8320 + 837)

0 POGLAVJE 2. EVKLIDOV ALGORITEM Zapis s tabelo: i q i r i s i t i 2 837 0 329 0 0 55 276 55 53 56 2 5 6 335 3 4 9 25 396 4 2 3 73 5 4 49 8320 6 2 0 Torej je 837 49) + 329 8320 =. Preverimo inverza: 49 80 mod 329), 837 80 = 3306780 mod 329), 329 8320 = 3306780 mod 837).

Poglavje 3 Verižni ulomki Realno število a = a 0, a a 2 a 3... lahko predstavimo z zaporedjem {a n }: a = a 0 + a 0 + a 2 00 + a 3 000 + Pri tem je a 0 Z, a i N, za i > 0. Daljše kot je zaporedje, bolj se približujemo vrednosti števila a. Verižni ulomki so alternativa temu zaporedju, saj lahko realno število predstavimo tudi z njimi. Vendar verižni ulomki niso zanimivi le zaradi tega, ampak tudi, ker so tesno povezani z Evklidovim algoritmom. Mi se bomo večinoma ukvarjali s končnimi verižnimi ulomki, za katere velja, da so vsi števci enaki. Oglejmo si njihov zapis na dva načina: a 0 + = a 0 + /a + /a 2 + /... /a n + /a n )...))). a + a 2 + a n + a n Zgornji ulomek na kratko zapišemo v naslednji obliki: [a 0 ; a, a 2, a 3,..., a n ]. V primeru, da je a 0 = 0, kar bomo skozi nalogo tudi privzeli, izpustimo a 0 in zapišemo kar [a, a 2, a 3,..., a n ]. 3. Povezava Q polinomov z verižnimi ulomki V tem razdelku nas bo zanimalo, kako izgleda verižni ulomek, če ga poskusimo izraziti kot običajni ulomek, to je kvocient dveh celih števil. Oglejmo si najkrajše tri primere

2 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI verižnih ulomkov: [a ] = a, [a, a 2 ] = [a, a 2, a 3 ] = a + a 2 = a + a 2 a a 2 +, = a 3 a + a 2 a 3 + = a 2 a 3 + a a 2 a 3 + a + a 3. 3.) a 2 + a 3 Opazimo, da v števcu in imenovalcu dobimo polinome, kar nas pripelje do Q polinomov več spremenljivk, ki so definirani z [x, x 2,..., x n ] = Q n x 2,..., x n ) Q n x, x 2,..., x n ). 3.2) Iz 3.) in 3.2) dobimo Q 0 = in Q x ) = x, nato pa iz rekurzije izračunamo oziroma [x, x 2,..., x n ] = Q n x 2,..., x n ) Q n x, x 2,..., x n ) x + [x 2, x 3,..., x n ] = x + Q n 2x 3,...,x n) Q n x 2,...,x n) Q n x, x 2,..., x n ) = x Q n x 2,..., x n ) + Q n 2 x 3,..., x n ). 3.3) Oglejmo si prvih nekaj primerov Q polinomov: Q 0 =, Q x ) = x, Q 2 x, x 2 ) = x Q x 2 ) + Q 0 = x x 2 +, Q 3 x, x 2, x 3 ) = x Q 2 x 2, x 3 ) + Q x 3 ) = x x 2 x 3 + ) + x 3 = x x 2 x 3 + x + x 3. Za Q polinome velja: Q n x, x 2,..., x n ) = Q n x n, x n,..., x ). 3.4) Kot posledico enačb 3.3) in 3.4) dobimo Q n x, x 2,..., x n ) = x n Q n x,..., x n ) + Q n 2 x, x 2,..., x n 2 ).

3.. POVEZAVA Q POLINOMOV Z VERIŽNIMI ULOMKI 3 Trditev 3.. Za Q polinome velja enakost Q n x,..., x n ) Q n x 2,..., x n+ ) Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n ) = ) n, Dokaz. Uporabimo indukcijo. n = : Q x ) Q x 2 ) Q 2 x, x 2 ) Q 0 = x x 2 x x 2 + ) =, n n + : Q n+ x,..., x n+ ) Q n+ x 2,..., x n+2 ) n. 3.5) Q n+2 x,..., x n+2 ) Q n x 2,..., x n+ ) = Q n+ x,..., x n+ ) x n+2 Q n x 2,..., x n+ ) + Q n x 2,..., x n ) ) x n+2 Q n+ x,..., x n+ ) + Q n x,..., x n ) ) Q n x 2,..., x n+ ) = x n+2 Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n+ ) Q n+ x,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n+ ) ) ) n = ) n+. Trditev 3.2. Če označimo q k = Q k x,..., x k ), velja Dokaz. Uporabimo indukcijo. [x,..., x n ] = q 0 q q q 2 + q 2 q 3 + )n q n q n. n = : [x ] = Q 0 Q x ) =, q 0 q n n + : Če enačbo 3.5) delimo s dobimo Q n x,..., x n ) in Q n+ x,..., x n+ ), Q n x 2,..., x n+ ) Q n x 2,..., x n ) = )n. q n+ q n q n q n+ Če v to enačbo vstavimo še enakost 3.2), dobimo [x,..., x n+ ] [x,..., x n ] = )n q n q n+, od tod pa z indukcijsko predpostavko: [x,..., x n+ ] = [x,..., x n ] + )n = ± + )n. q n q n+ q 0 q q q 2 q n q n+

4 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI 3.2 Realna števila in verižni ulomki Oglejmo si, kako lahko povežemo z verižnimi ulomki realna števila. Vsako realno število X [0, ) lahko zapišemo kot enostavni verižni ulomek. Definirajmo ga takole: X 0 = X, A n+ =, X n+ = A n+, X n X n 3.6) za vsak n 0, za katerega velja X n 0. Števila A, A 2,... se imenujejo delni kvocienti števila X. Če je X n = 0, potem nista definirana niti A n+ niti X n+. Če pa velja X n 0, iz definicije sledi, da je 0 X n+ < saj iz 3.6) sledi X n+ = X n X n ). To pomeni, da je A n naravno število. Iz definicije 3.6) lahko izračunamo X n+ = X n A n+, X n = A n+ + X n+. 3.7) Iz tega vidimo, da velja X = X 0 = A + X = =, A + A 2 + X 2 torej je X = [A, A 2,..., A n + X n ] 3.8) za vsak n, kadarkoli je X n definiran. Če je X n = 0, je X = [A, A 2,..., A n ]. Oglejmo si primer izračuna zapisa realnega števila z verižnim ulomkom.

3.2. REALNA ŠTEVILA IN VERIŽNI ULOMKI 5 Primer 3.3. X = 25 2044. A = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = X = [6, 2,, 5, 3, 2]. X 0 X X 2 X 3 X 4 X 5 = 2044 25 = 25 44 = 44 37 = 37 7 X 0 = X = 25 2044, = 6, X = A = 2044 X 0 6 = 44 25, 25 = 2, X2 = A 2 = 25 X 44 2 = 37 44, =, X3 = A 3 = 44 X 2 37 = 7 37, = 5, X4 = A 4 = 37 X 3 7 5 = 2 7, = 7 2 = 3, X5 = X 4 A 5 = 7 2 3 = 2, = 2 = 2, X6 = X 5 A 6 = 2 2 = 0. Trditev 3.4. Če velja X n [A, A 2,..., A n + ], saj je X n <. Natančneje 0, potem število X vedno leži med [A, A 2,..., A n ] in X [A, A 2,..., A n ] Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n A,..., A n ). 3.9) Dokaz. Iz 3.8) dobimo X [A, A 2,..., A n ] = [A, A 2,..., A n + X n ] [A, A 2,..., A n ]. Iz enačbe 3.7) sledi [A, A 2,..., A n + X n ] [A, A 2,..., A n ] = [A, A 2,..., A n, X n ] [A, A 2,..., A n ]. Iz osnovne lastnosti Q polinomov 3.2) sledi [A, A 2,..., A n, X n ] [A, A 2,..., A n ] Q n A 2,..., A n, X = n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A 2,..., A n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n, X = n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ). Zaradi lastnosti Q polinomov 3.5) je prejšnja enačba enaka Q n A 2,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) Q n A 2,..., A n ) Q n+ A,..., A n, Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) = Q n+ A,..., A n, X n ) Q n A,..., A n ) X n ) Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n A,..., A n ).

6 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI Zadnji neenačaj velja zaradi tega, ker zaradi definicije 3.6), A n+ = X n, velja Q n+ A,..., A n, A n+ ) Q n+ A,..., A n, X n ). Iz enačbe 3.9) vidimo, da ko gre n, gre vrednost X [A, A 2,..., A n ] proti 0, zato je [A, A 2,..., A n ] zelo dobra aproksimacija števila X za velike n. Če je X n = 0, je število X racionalno, saj ga lahko predstavimo z enostavnim končnim verižnim ulomkom. Če pa je X iracionalno število, je nemogoče, da bi bil X n = 0 za katerikoli n. Zato za iracionalna števila enostavne končne verižne ulomke razširimo na enostavne neskončne verižne ulomke [A, A 2,...]. Neskončni verižni ulomek definiramo kot in iz 3.9) je očitno, da je limita enaka X. [A, A 2,...] = lim n [A, A 2,..., A n ] 3.3 Evklidov algoritem in verižni ulomki Ko je X racionalno število, lahko enostavni verižni ulomek povežemo z Evklidovim algoritmom. V tem poglavju si bomo ogledali, kako. Recimo, da je X = B, kjer je 0 B < A. A Pri enostavnem verižnem ulomku velja X 0 = X. Vzemimo, da je U 0 = A in V 0 = B in predpostavimo, da X n = V n 0. Potem U n iz definicije 3.6) sledi, da je A n+ = = U n, X n X n+ = V n X n A n+ = U n V n U n = U n mod V n. V n V n 3.0) Če vzamemo, da je U n+ = V n, V n+ = U n mod V n, 3.) bo s tako definicijo pogoj X n = V n U n veljal skozi ves postopek. Oglejmo si postopek iskanja največjega skupnega delitelja, pri tem pa uporabimo število X iz primera 3.3).

3.3. EVKLIDOV ALGORITEM IN VERIŽNI ULOMKI 7 Primer 3.5. X = 25 = [6, 2,, 5, 3, 2], A = 2044, B = 25. 2044 gcd2044, 25) =. Evklidov algoritem: Izračun z verižnim ulomkom: r k 2 = q k r k + r k, X 0 = 25 2044, 2044 = 6 25 + 44, A = 6, X = 44 25, 25 = 2 44 + 37, A 2 = 2, X 2 = 37 44, 44 = 37 + 7, A 3 =, X 3 = 7 37, 37 = 5 7 + 2, A 4 = 5, X 4 = 2 7, 7 = 3 2 +, A 5 = 3, X 5 = 2, 2 = 2 + 0, A 6 = 2, X 6 = 0. Lahko vidimo, da je definicija 3.) transformacija, narejena na spremenljivkah r k in r k+ v Evklidovem algoritmu. Za ta primer lahko iz X = 25 = [6, 2,, 5, 3, 2] točno vidimo, 2044 da bo Evklidov algoritem za ta primer porabil 6 korakov in da bodo kvocienti q k = rk 2 r k zaporedoma enaki 6, 2,, 5, 3, 2. Trditev 3.6. Postopek 3.0) nam vrne največji skupni delitelj števil A in B. Dokaz. V prejšnjem poglavju smo povedali, da X n ne more biti enak 0, če je X iracionalno število. Za Evklidov algoritem vemo, da se vedno konča. Iz teh dveh lastnosti ter iz povezave med Evklidovim algoritmom in enostavnimi verižnimi ulomki vidimo, da se enostavni verižni ulomek za X konča pri nekem koraku z X n = 0 če in samo če je X racionalno število. Če so dobljeni kvocienti, ki jih dobimo v Evklidovem algoritmu, enaki A, A 2,..., A n, potem je X n = 0 in imamo po 3.2): B A = [A, A 2,..., A n ] = Q n A 2,..., A n ) Q n A, A 2,..., A n ), n. 3.2) Če v enačbi 3.5) n nadomestimo z n, dobimo y Q n x 2,..., x n ) Q n x,..., x n ) z = ) n, n,

8 POGLAVJE 3. VERIŽNI ULOMKI kjer sta y in z neki racionalni števili. Iz tega vidimo, da sta Q n x 2,..., x n ) in Q n x,..., x n ) tuji si števili in je ulomek B A v 3.2) pokrajšan. Zato je Iz tega sledi d = gcda, B). A = Q n A, A 2,..., A n ) d in B = Q n A 2,..., A n ) d.

Poglavje 4 Kvocienti v Evklidovem algoritmu Opisani postopek za računanje verižnih ulomkov deluje tudi za A < B. V tem primeru je A = 0. Kakšne so frekvence pojavitev delnih kvocientov za takšen B v Evklidovem algoritmu lahko vidimo iz tega, kakšni bodo verižni ulomki za X = 0 B, B, 2 B,..., B B. Če predpostavimo, da je B zelo veliko število, lahko preučujemo enostavne verižne ulomke, ko je X R [0, ). Vpeljemo zaporedje slučajnih spremenljivk {X n } n=, kot smo ga definirali v 3.6): X 0 = X in X n+ =. 4.) X n X n Ker je X zvezno porazdeljena slučajna spremenljivka, je za vsak n N takšna tudi slučajna spremenljivka X n. Definirajmo porazdelitveno funkcijo F n x): F n x) = P X n x), za 0 x <. 4.2) Z uporabo te porazdelitvene funkcije bomo kasneje izračunali porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu, najprej pa si oglejmo nekaj osnovnih lastnosti porazdelitvenih funkcij. 4. Porazdelitvene funkcije Ponovimo osnovne lastnosti porazdelitvenih funkcij. 9

20 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU 4.. Diskretne slučajne spremenljivke Verjetnostna porazdelitev diskretne slučajne spremenljivke je funkcija, ki vrača verjetnost, da ima diskretna slučajna spremenljivka točno določeno vrednost. Označujemo jo s px), zanjo velja, da je za vsako število x: Pri tem velja še:. px) 0, za vsak x, 2. x px) =. px) = P X = x). Porazdelitvena funkcija opisuje verjetnostno porazdelitev slučajne spremenljivke X. Označujemo jo z F x). Za diskretno slučajno spremenljivko X s funkcijo verjetnosti px), je definirana za vsako število x z Zanjo velja še:. lim F x) = 0, lim F x) =, x x F x) = P X x) = y R y x py). 2. če sta a in b realni števili, za kateri velja a < b, potem je F a) F b), 3. označimo z a prvo vrednost od X, ki je manjša od a. Potem je P a X b) = P X b) P X < a) = F b) F a ). To velja za vse realne a, b, kjer je a < b. 4..2 Zvezne slučajne spremenljivke Funkcija gostote verjetnosti zvezne slučajne spremenljivke X je realna funkcija fx) 0, za < x <, za katero velja: P a X b) = b a fx) dx, za a, b R, a b. Funkcija gostote verjetnosti vrača relativno verjetnost, da bo zvezna slučajna spremenljivka imela točno določeno vrednost iz množice možnih vrednosti. Zanjo velja še:

4.2. PORAZDELITVENA FUNKCIJA F N X) 2. fx) dx =, 2. P X = c) = 0 za vsak c R. Porazdelitvena funkcija F x) zvezne slučajne spremenljivke X je definirana kot Zanjo velja še: x F x) = P X x) = fy) dy, za < x <.. lim F x) = 0, lim F x) =, x x 2. če sta a in b realni števili, za kateri velja, da je a < b, potem je F a) F b), 3. če sta a in b realni števili, za kateri velja, da je a < b, velja tudi b b a P a X b) = fx) dx = fx) dx fx) dx a = P X b) P X < a) = F b) F a), 4. funkcijo fx) lahko dobimo iz F x) z odvajanjem: fx) = F x). 4.2 Porazdelitvena funkcija F n x) Sedaj, ko smo ponovili osnovne lastnosti porazdelitvenih funkcij, lahko izračunamo porazdelitveno funkcijo F n x). Izrek 4.. Za porazdelitveno funkcijo F n x) velja F 0 x) = x, F n+ x) = k F n k ) ) ) F n. k + x 4.3) Dokaz. Iz definicij 4.) in 4.2) ter dejstva, da je X enakomerno porazdeljena, dobimo F 0 x) = P X 0 x) = P X x) = x.

22 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Spomnimo se rekurzivne zveze 4.): X 0 = X in X n+ =. Od tod in iz X n X n definicije 4.2) sledi: F n+ x) = P X n+ x) = P = P X n = k k ) A n+ x X n X n [ k, k + x ] ) = P P k + x X n ) = k k = P [ k F n k x + A n+ X n ] ) k + x, k ) ) ) ) F n. k + x Če se F n x) približuje limitni porazdelitvi F x) = F x), dobimo: F x) = ) F k k ) ) F. 4.4) k + x Trditev 4.2. Funkcija F x) = log b + x), za b >, zadošča relaciji 4.4). Dokaz. Oglejmo si delno vsoto vrste v 4.4): k N ) F k = = F k N k N k + x ) ) = k N log b + k k ) log b + ) log k b + ) ) k + x ) ) log b + k + x k + x log b + k) log b k) log b + k + x) + log b k + x) = log b 2) log b ) log b 2 + x) + log b + x) + log b 3) log b 2) log b 3 + x) + log b 2 + x) + log b 4) log b 3) log b 4 + x) + log b 3 + x) +... + log b N) log b N ) log b N + x) + log b N + x) + log b + N) log b N) log b + N + x) + log b N + x) = log b + x) + log b + N) log b + N + x) ) ) + N + N = log b + x) + log b = F x) + log + N + x b. + N + x )

4.3. WIRSINGOVA METODA 23 ) + N Ko gre N, gre log b 0, zato je + N + x ) ) ) F F = F x). k k + x k Ker za porazdelitveno funkcijo velja F ) =, bo ustrezna osnova b = 2. Iz tega dobimo funkcijo F x) = log 2 + x) = lg + x). Radi pa bi dobili tudi oceno porazdelitvenih funkcij F n x). Omenjene porazdelitvene funkcije je prvi študiral F. K. Gauss leta 800, a problema asimpotičnega obnašanja funkcije F n x) ni znal rešiti. Leta 928 je R. O. Kuz min pokazal, da je F n x) = lg + x) + Oe A n ) za neko pozitivno konstanto A. Leta 929 je Paul Lévy napako izboljšal in pokazal, da je F n x) = lg + x) + Oe A n ) za neko pozitivno konstanto A. Problem, kako določiti asimptotično obnašanje F n x) lg + x), je rešil šele Eduard Wirsling leta 974 in v naslednjem poglavju si bomo ogledali, kako. 4.3 Wirsingova metoda Naj bo G : [0, ] R odvedljiva funkcija z omejenim odvodom. Torej obstaja taka konstanta M 0, da je G x) M, za vse x [0, ]. Potem z znanim Lagrangeovim izrekom dokažemo neenakost Gx) Gy) M x y, ki velja za poljubni števili x, y [0, ]. Z njeno uporabo in z uporabo Weierstrassovega izreka glej [3], 7. poglavje, Izrek 7.0) dokažemo absolutno in enakomerno konvergenco vrste saj velja ocena k k ) G k ) G k ) ) G, za x [0, ], 4.5) k + x ) G k + x M M k k k k + x k k + = M.

24 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Torej lahko definiramo funkcijo SG : [0, ] R z vrsto ) ) SG x) = G k Tako smo definirali operator S, ki funkciji G priredi funkcijo SG. k ) ) G. 4.6) k + x Trditev 4.3. Transformacija S je linearna, tj. zanjo veljata aditivnost: SG + G 2 ) = SG + SG 2, ter homogenost: ScG) = csg), kjer so G, G 2 ter G odvedljive funkcije z omejenimi odvodi in je c R. Dokaz. Aditivnost operatorja S sledi iz SG + G 2 ) ) ) ) x) = G + G 2 k k ) ) = G + G 2 k k k ) = G k k ) = G G k k + x k = SG ) x) + SG2 ) x), ) ) ) G + G 2 k + x ) ) ) G G 2 k + x k + x ) ) ) ) G + G 2 G 2 k + x k ) ) + k G 2 k ) k + x ) ) G 2 k + x kjer smo smeli zamenjati vrstni red členov zaradi absolutne konvergence vrst. Ker je ) ) ) ) ScG) x) = cg cg k k + x k ) )) ) = c G G k k + x k ) ) ) = c G G k k + x je S tudi homogen operator. k = c SG ) x), Če vrsto v 4.5) členoma odvajamo, dobimo vrsto k ) k + x) 2 G, k + x

4.3. WIRSINGOVA METODA 25 ki tudi enakomerno in absolutno konvergira, saj velja k k + x) 2 G ) k + x M M k k k + x) 2 k 2 <. Po znanem izreku glej [6], XV. poglavje Teorija vrst), 6. razdelek) je potem funkcija SG odvedljiva in velja SG) x) = k ) k + x) 2 G. k + x S tem smo dokazali tudi, da ima funkcija SG omejen odvod. Z uporabo funkcije SG in še nekaterih funkcij in operatorjev, ki jih bomo sproti definirali, bomo sedaj določili asimptotično obnašanje F n x) lg + x). Definirajmo za začetek funkcije Dobimo ) G k + x H = SG, gx) = + x) G x), hx) = + x) H x). = = ) g k + x + ) k + x ) ) k + x g. k + x + k + x Vstavimo rezultat v definicijo funkcije hx) in dobimo hx) = + x) H x) = ) 2 ) + x) G k + x k + x = = k k k ) + x k + x k + x + g k + x k k + x + k ) k + x ) g. k + x 4.7)

26 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Vpeljimo novo linearno transformacijo T, tako da velja: h = T g. Če je funkcija g zvezno odvedljiva, lahko T g členoma odvajamo in dobimo ) 2 ) 2 ) T g) x) = k ) k ) ) k + x + k + x k k + k + x + k ) ) 2 )) ) ) g k + x k + x k + x ) ) k = g k + x k + x) k 2 k + x + ) 2 k ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ) ) k + x ) k = g k + x k + x) 2 k 2 k k ) g k + x k k + x + ) 2 ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ). k + x V prvo vsoto vpeljemo m = k in dobimo T g) x) = m ) m g m + + x m + + x) 2 k ) g k + x k k + x + ) 2 ) ) 2 k g k + x k + x k + x + k ) k + x k ) )) k = g g k + x k + + x k + + x) 2 k ) ) + x + g. k + x k + x) 3 k + x + ) ) g k + x Za lažji zapis v nadaljevanju definirajmo funkcijo ρx) = g x), ρx) : [0, ] R + 0 vpeljimo še zadnjo transformacijo U, za katero velja in T g) = Ug ). 4.8)

4.3. WIRSINGOVA METODA 27 Tako lahko zgornjo vsoto zapišemo kot ) k Uρ x) = k + + x) 2 k /k+x) /k++x) ρt) dt ) + x ) + k + x) 3 k + x + ) ρ. k + x Oglejmo si, kakšna je povezava med našim problemom in vsem do sedaj opisanim. Za operator S po enačbi 4.3) velja: F n+ x) = SF n )x) = SSF n ) ) x) = S 2 F n )x) =, torej F n x) = S n F 0 )x). Če vzamemo dobimo F n x) = lg + x) + R n lg + x) ), f n x) = + x) F nx), ) ) f n x) = + x) lg + x) + R n lg + x) = + x) Odvod te funkcije je enak ln 2) + x) + ln 2) + x) R n = ln 2 ) + R n ) lg + x). f nx) = = + R n ln 2 ln 2 + ln 2 R n = ln 2 = ln 2 = Trditev 4.4. Za funkcijo f n velja R n ) )) lg + x) ) ) lg + x) ln 2) + x) R n ln 2) 2 + x) R n ) ) lg + x) ) lg + x) ) lg + x). lg + x) ) ) 4.9) 4.0) f n = T n f 0.

28 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Dokaz. Za računanje funkcije T f n ) x) uporabimo zvezo 4.7), za računanje fn+ x) pa 4.3). Najprej pokažimo, da velja f = T f 0. V ta namen izračunajmo prvih nekaj vrednosti: F 0 x) = x, F 0x) =, ) ) ) F x) = F 0 F 0 = k k + x k ), k + x F x) = k k k + x) 2, f 0 x) = + x)f 0x) = + x, f x) = + x)f x) = + x) Izračunajmo še funkcijo T f 0 ) x): ) k T f0 x) = k + x + k ) k + x = = = = k k k k k k k k + x + k ) k + x k k + x) 2. ) f 0 k + x + ) k + x ) kk + x) k )k + x + ) k + x + )k + x) + ) k + x k 2 + kx k 2 ) kx k + k + x + ) k + x + k + x + )k + x) k + x x + k + x) 2. Pokažimo sedaj, da velja f n+ = T f n : ) k T fn x) = k + x + k ) k + x = = k k k ) f k + x ) ) kk + x) k )k + x + ) F n + ) k + x + )k + x) k + x k + x ) + x k + x) F 2 n. k + x

4.3. WIRSINGOVA METODA 29 = Rekurzivno dobimo f n+ x) = + x)f n+x) ) ) ) = + x) F n F n k k + x = + x) k k k ) k + x) F 2 n k + x ) + x k + x) F 2 n. k + x f n+ = T f n ) x) = T T fn ) ) x) = T 2 f n ) x) = = T n+ f 0 ) x). Vstavimo funkcijo f n v zvezo T g) = Ug ), ki smo jo definirali v 4.8). Dobimo f n = T n f 0 ) = ) n U n f 0. Funkciji F n in f n sta n krat zvezno odvedljivi. Zato iz 4.0) sledi f nx) = ln 2) 2 + x) R n ) lg + x) = ) n U n f 0. Če enačbo preuredimo, dobimo Začetni funkciji sta: ) n R n ) lg + x) = ln 2) 2 + x) U n f 0. 4.) F 0 x) = x in f 0 x) = + x) F 0x) = + x. Opišimo na tem mestu na kratko nekaj lastnosti deljenih diferenc, ki jih bomo potrebovali za določanje ostanka R n x). Newtonov interpolacijski polinom P n x) je polinom, ki se v točkah x 0,..., x n ujema s funkcijo f. Zapišemo ga kot P n x) = f[x 0 ] + f[x 0, x ]x x 0 ) + f[x 0, x, x 2 ]x x 0 )x x ) + + f[x 0, x,..., x n ]x x 0 ) x x n ). Pri tem je f[x 0, x,..., x k ] deljena diferenca, tj. vodilni koeficient pri x k ) interpolacijskega polinoma stopnje k, ki se ujema z f v paroma različnih točkah x 0, x,..., x k.

30 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Za deljene diference velja naslednja rekurzivna formula: f[x 0 ] = fx 0 ), f[x 0, x,..., x n ] = f[x,..., x n ] f[x 0,..., x n ] x n x 0. 4.2) Oglejmo si deljeni diferenci za k = in k = 2: f[x 0, x ] = f[x ] f[x 0 ] x x 0 = fx ) fx 0 ) x x 0 = fx 0) + fx ), x 0 x x x 0 f[x 0, x, x 2 ] = f[x, x 2 ] f[x 0, x ] x 2 x 0 = = fx 2 ) fx ) x 2 x fx ) fx 0 ) x x 0 x 2 x 0 fx2 ) fx ) ) x x 0 ) fx ) fx 0 ) ) x 2 x ) x 2 x 0 )x 2 x )x x 0 ) = fx 0)x 2 x ) + fx ) x + x 0 x 2 + x ) + fx 2 )x x 0 ) x 2 x 0 )x 2 x )x x 0 ) fx 0 ) = x 0 x )x 0 x 2 ) + fx ) x x 0 )x x 2 ) + fx 2 ) x 2 x 0 )x 2 x ). Izrek 4.5. Iz definicije 4.2) lahko izpeljemo drugačen zapis deljene diference: f[x 0, x,..., x n ] = 0 k n fx k ) x k x j ). 0 j n j k Dokaz. Za dokazovanje uporabimo indukcijo. Da to velja za f[x 0, x ] in za f[x 0, x, x 2 ], lahko vidimo že iz zgornjih primerov. Predpostavimo, da to velja za f[x 0, x,..., x n ] in

4.3. WIRSINGOVA METODA 3 dokažimo, da velja tudi za f[x 0, x,..., x n+ ]. f[x 0, x,..., x n+ ] = f[x,..., x n+ ] f[x 0,..., x n ] x n+ x 0 ) fx k ) / ) = x k x j ) fx k ) x n+ x 0 x k x j ) = = = k n+ 0 k n+ 0 k n+ 0 k n+ j n+ j k 0 k n fx k )x k x 0 ) x k x j ) 0 j n+ j k 0 k n+ 0 j n j k ) / ) fx k )x k x n+ ) x n+ x 0 x k x j ) 0 j n+ j k ) / ) fx k )x k x 0 x k + x n+ ) x n+ x 0 x k x j ) 0 j n+ j k fx k ) x k x j ). 0 j n+ j k Za k krat zvezno odvedljivo funkcijo f velja f[x 0, x,..., x k ] = k! f k) ξ), pri čemer je min i=0,...,k x i) < ξ < max i=0,...,k x i). 4.3) Sedaj, ko smo si ogledali osnovne lastnosti deljenih diferenc, izpeljimo formulo za določanje ostanka R n x). Izrek 4.6. Za ostanek R n x) velja R n x) = x x) ) R 2 n ξx), 4.4) za neko funkcijo ξx), za katero velja 0 ξx), ko je 0 x. Dokaz. Za dokazovanje bomo uporabili deljene diference. Najprej pokažimo, da velja R n 0) = R n ) = 0. Funkcijo F n x) smo definirali kot F n x) = P X n x). Vemo, da je F n x) = lg + x) + R n lg + x)). Če vstavimo x = 0, dobimo: P X n 0) = 0 = F n 0) = lg) + R n lg)) = 0 + R n 0), torej R n 0) = F n 0) = 0. Če pa vstavimo x =, dobimo: P X n ) = = F n ) = lg2) + R n lg2)) = + R n ), torej R n ) = F n ) = 0.

32 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Izberimo sedaj tri različne točke: x 0 = 0, x = x, x 2 =, kjer 0 < x <. Zaradi definicije 4.3) velja pri čemer je 0 < ξx) <. R n [x 0, x, x 2 ] = 2! R n ξx) ), Po drugi strani pa je deljena diferenca ostanka na zgornjih treh točkah enaka R n [0, x, ] = Iz tega sledi, da je R n 0) 0 x)0 ) + R n x) x 0)x ) + R n ) 0) x) = R nx) xx ). R n x) xx ) = 2! R n ξx) ) x x) ) oziroma R n x) = R 2 n ξx). V nadaljevanju bomo pokazali, da transformacija U n funkcijo z zelo majhnimi vrednostmi. konstantno funkcijo spremeni v Posledično to pomeni, da je zaradi 4.) tudi R nx) zelo majhen za 0 x <. Izrek 4.3 pa nam zagotovi, da je majhen prav tako R n x). Linearna transformacija U je pozitivna, kar pomeni, da je Uρ ) x) 0 za vsak x, če je ρx) 0 za vsak x. Je tudi monotona: če je ρ x) ρ 2 x) za vsak x, potem je ) ) Uρ x) Uρ2 x) za vsak x. Zato lahko poiščemo takšno funkcijo ρ, za katero bomo lahko natančno izračunali Uρ. S tem pa bomo prišli do omejitev, ki nas zanimajo. Najprej poiščimo funkcijo g, tako da je T g enostavno izračunati. Če vzamemo, da so funkcije definirane za vse x 0, namesto le za 0 x <, dobimo iz enačbe 4.6): ) ) ) SG x + ) SG x) = G k k ) G k k G ) ) k + x + ) ) G k + x ) ) = G G x + 2 x + 3 ) ) + G + G + x + x + 2 ) ) = G lim G x + k k + x ) = G G0), x +

4.3. WIRSINGOVA METODA 33 kadar je G zvezna funkcija. Iz definicij funkcij in transformacij sledi T g ) x) = hx) = + x) H x) = + x) SG) x). Če v to zvezo vstavimo definicijo gx) = + x) G x), dobimo Iz tega sledi ) T g x) ) T g x + ) x + x + 2 T + x) G ) = + x) SG). = + x) SG) x) 2 + x) SG) x + ) x + x + 2 = SG ) ) x x) SG + ) ) 2 ) = G k + x k + x k k k + x + ) 2 G k + x + ) 2 ) ) 2 ) = G + G + + x + x 2 + x 2 + x ) 2 ) ) 2 ) G G 2 + x 2 + x 3 + x 3 + x ) 2 ) ) 2 ) = G lim G + x + x k k + x k + x ) 2 ) = G. + x + x 4.5) Če v enačbi gx) = + x) G x) izberemo x = + y, dobimo ) ) ) ) g = + G, + x + x + x ) iz česar sledi Vstavimo to v enačbo 4.5): ) T g x) ) T g x + ) x + x + 2 ) ) G = g + x + x + x 2 + x. = = ) 2 ) g + x + x + x 2 + x ) + x 2 + x g. + x 4.6)

34 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Ker je + x 2 + x = + x 2 + x, velja T gx) x + T gx + ) x + 2 Če vzamemo, da je T gx) =, pa dobimo + x = + x ) ) g. 2 + x + x T gx) x + T gx + ) x + 2 Združimo 4.6) in 4.7): = +x x + 2+x x + 2 = 2x + 3 x + ) 2 x + 2). 4.7) 2 ) 2x + 3 = x + ) 2 x + 2) 2 + x 2 + x g, + x ) 2x + 3 = g. x + ) x + 2) + x Izberimo y = + x, kar pomeni, da je x = y. Dobimo gy) = y 2 ) + 3 2 y ) + 2) = y + y + = y 2 + y + y y y 2y + y2 = + y = y + )2 = y + + y + y. Naj bo ρx) = g x) = + + x). Iz T 2 g) = Ug ) dobimo Uρ ) x) = T gx)) = + x) 2. To je funkcija ρ, ki smo jo iskali. Za to izbiro funkcije ρ velja Omejimo se sedaj nazaj na 0 x. Vrednost z ρx) ) = + +x) 2 Uρ x) = + x) 2 +. 4.8) +x) 2 2 ρx) Uρ ) x) 5 oziroma ρx) Uρ ) x) lahko po formuli 4.8) omejimo ρ 5 Uρ ρ 2.

4.3. WIRSINGOVA METODA 35 Ker sta U in ρ pozitivni, veljajo tudi naslednje neenakosti: ρ Uρ ρ 5 25 Uρ ρ Uρ 2 2 Uρ 5 ρ 4 in Uρ U 2 ρ ρ Uρ 5 25 5 in U 2 ρ Uρ U 2 ρ Uρ 2 2 torej ρ 25 U 2 ρ ρ 4. Po n korakih tako za zgoraj izbrano funkcijo ρ velja U 2 ρ, ρ 4, 5 n ρ U n ρ 2 n ρ. 4.9) Prej smo izračunali funkcijo f 0 x) = + x. Sedaj definirajmo konstantno funkcijo χx) = f 0x) = in ker je ρx) = +, zanjo velja + x) 2 Če združimo neenačbi iz 4.9) in 4.20), dobimo Pomembni deli teh neenačb so 5 4 χ ρ 2 χ, za 0 x. 4.20) 5 4 ρ = 5 8 5 n χ 2 5 n ρ, 5 n ρ U n ρ = 2 5 n ρ U n ρ, 2 2 χ = U n ρ 2 U n χ, χ 4 ρ 5 = U n χ 4U n ρ, 5 U n ρ 2 n ρ = 4 5 U n ρ 4 5 2 n ρ, ρ 2 χ = 4 5 2 n ρ 8 5 2 n χ. 5 8 5 n χ U n χ 8 5 2 n χ. Na levi in desni strani upoštevamo χx) =, na sredini pa χx) = f 0x) ter enačbo pomnožimo z + x)ln 2) 2 in dobimo + x)ln 2) 2 5 8 5 n + x)ln 2) 2 U n f 0x) + x)ln 2) 2 8 5 2 n, kar je po enačbi 4.) enako ) + x)ln 2) 2 5 8 5 n ) n R n lg + x) + x)ln 2) 2 8 5 2 n.

36 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Če v tej neenačbi definiramo y = lg+x), torej +x = 2 y velja 0 y za 0 x ), dobimo 2 y ln 2) 2 5 8 5 n ) n R ny) 2 y ln 2) 2 8 5 2 n. Za y = 0 velja 2 y =, za y = pa 2 y = 2. Iz tega sledi naslednja neenakost: torej ln 2) 2 5 8 5 n ) n R ny) 2 ln 2) 2 8 5 2 n, 5 ln 8 2)2 5 n ) n R nx) 6ln 5 2)2 2 n, za 0 x. 4.2) Z uporabo vsega do sedaj izračunanega lahko izpeljemo naslednji izrek: Izrek 4.7. Za porazdelitveno funkcijo F n x) velja: Dokaz. Spomnimo se enačb 4.9) in 4.4): F n x) = lg + x) + O2 n ), ko n. F n x) = lg + x) + R n lg + x) ), x x) ) R n x) = R 2 n ξx), za neko funkcijo ξx), za katero velja 0 ξx), ko je 0 x. Ko gre n, lahko drugi odvod ostanka zaradi 4.2) zapišemo kot R nx) = O2 n ). Vrednost lg + x) je za 0 x < znotraj intervala [0, ), zato lahko ostanek zapišemo kot R n lg + x) ) = lg + x) lg + x)) 2 R n ξ lg + x) )). Ko gre n, lahko tako tudi ostanek zapišemo kot R n lg + x)) = O2 n ). Res je F n x) = lg + x) + O2 n ), ko n. 4.4 Porazdelitev delnih kvocientov Rezultati o verjetnostnih porazdelitvah, ki smo jih dobili do sedaj, veljajo za verižne ulomke, ko je X realno število, enakomerno porazdeljeno na intervalu [0, ). Toda realno število je racionalno z verjetnostjo 0, saj so skoraj vsa realna števila iracionalna. Zato teh rezultatov ne moremo direktno uporabiti za Evklidov algoritem. Preden lahko uporabimo izrek 4.7, moramo definirati še nekaj pravil. Uporabimo znanje iz osnov teorije mere.

4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 37 Lema 4.8. Naj bodo I, I 2,..., J, J 2,... paroma disjunktni intervali znotraj intervala [0, ) in naj bo I = k I k, J = k J k, K = [0, ]\I J). Recimo, da ima K mero 0. Definirajmo še množico P n = I P n lim = µi), n n kjer je µi) Lebesguova mera in zanjo velja µi) = µi ) + µi 2 ) + = I P n pa označuje število elementov množice I P n. Dokaz. Naj bo I N = k N I k in J N = k N µi N ) + µj N ) ε, tako da pokrijemo skoraj celoten interval, in naj bo K N = K k>n { } 0,, 2,..., n. Potem je n n n n k J k. Za ε > 0 poiščimo tak N, da bo I k k>n J k. dolžinai k ), Če je I interval katerekoli izmed oblik a, b), [a, b), a, b] ali [a, b], potem je µi) = b a. Kolikšno je v tem primeru število elementov množice I P n? Recimo, da je k a k+ n n in l b l+ za k + < l. Možne situacije so podane v tabeli 4. stran 38). Rezultati n n tabele 4., ki nas zanimajo, so povzeti v tabeli 4.2 stran 38). Možen pa je še en primer, namreč m < a b < m+. V tem primeru je 0 nµi) <, I P n n n = 0, torej je nµi) I P n. To je prvi robni primer. Drugega lahko razberemo iz tabele 4.2: nµi) + I P n. Tako dobimo nµi) I P n nµi) +. Naj bo sedaj še r n = I N P n, s n = J N P n ter t n = K N P n. Ker unija I N J N K N pokrije celoten interval, je r n + s n + t n = n, nµi N ) N = nµi ) + nµi 2 ) +... r n nµi ) + + nµi 2 ) + + = nµi N ) + N, nµj N ) N = nµj ) + nµj 2 ) + s n nµj ) + + nµj 2 ) + + = nµj N ) + N.

38 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU a = k n k < a < k+ n n a = k+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n b = l n l < b < l+ n n b = l+ n nµi) = l k I P n = l k + l k < nµi) < l k + I P n = l k + nµi) = l k + I P n = l k + 2 l k < nµi) < l k I P n = l k l k < nµi) < l k + I P n = l k l k < nµi) < l k + I P n = l k + nµi) = l k I P n = l k l k < nµi) < l k I P n = l k nµi) = l k I P n = l k + Tabela 4.: Število elementov množice I P n. a = k n k < a < k+ n n a = k+ n b = l n nµi) = I P n l n n I P n < nµi) < I P n b = l+ n nµi) = I P n b = l n I P n < nµi) < I P n l n n I P n < nµi) < I P n + b = l+ n I P n < nµi) < I P n b = l n nµi) = I P n l n n I P n < nµi) < I P n b = l+ n nµi) = I P n Tabela 4.2: Število elementov množice I P n povzetek. Ker velja ε + µi) µi N ) + µj N )) + µi) µi N ) + µj) + µi)) = µi N ) +,

4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 39 je µi N ) µi) ε. Iz ε µi N ) + µj N ) µi) + µj N ) sledi tudi µi) + ε µj N ). Če vse skupaj združimo, dobimo: µi) N n ε µi N) N n rn n rn+tn n = sn n µj N) + N n µi) + N n + ε. r To velja za vse n in za vsak ε, zato lim nn n I = lim N P n n n I P = lim n n n = µi). Sedaj lahko združimo izrek 4.7 in lemo 4.8 in izpeljemo nekaj dejstev v zvezi z Evklidovim algoritmom. Izrek 4.9. Naj bosta n in k pozitivni celi števili in naj bo p k a, n) verjetnost, da je k+) ti kvocient A k+ v Evklidovem algoritmu enak a, ko je B = n in je A izbran naključno. Potem velja ) lim p ka, n) = F k n a kjer je F k x) porazdelitvena funkcija iz 4.2). ) F k, a + Dokaz. Množica I vseh X ov na intervalu [0, ), za katere je A k+ = a, je unija disjunktnih intervalov. Prav tako je množica J vseh X ov na intervalu [0, ), za katere A k+ a, unija disjunktnih intervalov. Sedaj uporabimo lemo 4.8, kjer je K množica vseh X ov, za katere je A k+ nedefiniran. Za razliko porazdelitvenih funkcij velja: ) F k = P X k ), a a ) F k = P X k ), a + a + ) ) F k F k = P a a + a + < X k ). a Ker je A k+ = X k, velja P a + < X k ) = P a ) < a + = P A k+ = a). a X k In ker je I množica vseh X ov, za katere je A k+ = a, je P A k+ = a) = µi). Če vse to združimo, dobimo ) ) F k F k a a + = P a + < X k ) = µi) = P A k+ = a) = lim p k a, n). a n

40 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU Izrek 4.0. V Evklidovem algoritmu se kvocient, ki je enak a, pojavi s približno verjetnostjo a + ) 2 ) lg. a + ) 2 Dokaz. Spomnimo se še enkrat izreka 4.7, velja F n x) = lg + x) + O2 n ). povežemo z izrekom 4.9, dobimo naslednji izračun: ) ) lim p ka, n) = F k F k n a a + = lg + ) + O2 k ) lg a ) = lg a+ a a+2 a+ a + ) 2) = lg aa + 2) a + ) 2 ) = lg. a + ) 2 + ) O2 k ) a + Če to Število k se tukaj izgubi, zato je verjetnost enaka za katerokoli število k. Iz tega sledi, da a + ) 2 ) se kvocient, ki je enak a, pojavi s približno verjetnostjo lg. a + ) 2 Primeri za nekatere od kvocientov so zapisani v tabeli 4.3 stran 4). Če seštejemo verjetnosti pojavitev kvocientov, 2 in 3, je vsota enaka 0, 45038 + 0, 69925+0, 09309 = 0, 678072, kar pomeni, da se kvocienti, 2 in 3 pojavijo v približno 67, 8 % vseh primerov kvocientov v Evklidovem algoritmu. Za primer si oglejmo verižne ulomke za množico vseh ustreznih ulomkov, katerih imenovalec je enak 37. = [37] 0 = [3,, 2, 3] 9 = [,, 8] 28 = [, 3, 9] 37 37 37 37 2 = [8, 2] = [3, 2,, 3] 20 = [,, 5,, 2] 29 = [, 3,,,, 2] 37 37 37 37 3 = [2, 3] 2 = [3, 2] 2 = [,, 3, 5] 30 = [, 4, 3, 2] 37 37 37 37 4 = [9, 4] 3 = [2,, 5, 2] 22 = [,, 2, 7] 3 = [, 5, 6] 37 37 37 37 5 = [7, 2, 2] 4 = [2,,,, 4] 23 = [,,,,, 4] 32 = [, 6, 2, 2] 37 37 37 37 6 = [6, 6] 5 = [2, 2, 7] 24 = [,,, 5, 2] 33 = [, 8, 4] 37 37 37 37 7 = [5, 3, 2] 6 = [2, 3, 5] 25 = [, 2, 2] 34 = [,, 3] 37 37 37 37 8 = [4,,,, 2] 7 = [2, 5,, 2] 26 = [, 2, 2,, 3] 35 = [, 7, 2] 37 37 37 37 9 = [4, 9] 8 = [2, 8] 27 = [, 2,, 2, 3] 36 = [, 36] 37 37 37 37 Na primeru lahko opazimo nekatera zanimiva dejstva:

4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 4 Kvocient Verjetnost pojavitve kvocienta ) 4 lg = 0, 45038 3 ) 9 2 lg = 0, 69925 8 ) 6 3 lg = 0, 09309 5 ) 25 4 lg = 0, 058894 24 ) 36 5 lg = 0, 040642 35 ) 49 6 lg = 0, 029747 48 ) 64 7 lg = 0, 022720 63 ) 8 8 lg = 0, 07922 80 ) 00 9 lg = 0, 0440 99 ) 2 0 lg = 0, 0973 20 ) 020 00 lg = 0, 0004 0200 ) 00200 000 lg = 0, 00000 002000 Tabela 4.3: Verjetnosti pojavitev nekaterih kvocientov v Evklidovem algoritmu. a) Vrednosti stolpcev na desni strani so povezane z vrednostmi stolpcev na levi strani. Zanimiva povezava je [x, x 2,..., x n ] = [, x, x 2,..., x n ], recimo [7, 2, 2] = 5 = 32 = [, 6, 2, 2]. 37 37 b) Obstaja simetrija med desno in levo stranjo v prvih dveh stolpcih, npr. [8, 2] [2, 8], [4,,,, 2] [2,,,, 4],... Če se pojavi [A, A 2,..., A t ], se vedno pojavi tudi [A t, A t,..., A ]. c) Vseh kvocientov je 24, od tega jih je 44 = 34, 48 % enakih, 29 = 23, 39 % enakih 24 24 2 ter 5 = 2, 09 % enakih 3, skupaj je to 70, 96 % vseh pojavitev, kar približno ustreza 24 verjetnostim, ki smo jih prej izračunali. Upoštevati moramo, da je to primer na majhnem številu 37) in da bodo odstotki porazdelitev natančnejši pri večjih številih.

42 POGLAVJE 4. KVOCIENTI V EVKLIDOVEM ALGORITMU V tabeli 4.4 stran 42) lahko vidimo za nekatere izmed števil porazdelitev delnih kvocientov in tako potrdimo izrek 4.9. Vidimo, da večje kot je izbrano število, bolj se približujemo zgoraj izračunanim odstotkom. Izbrano število Število vseh kvocientov Kvocient Kvocient 2 Kvocient 3 2 4 = 6 34 32, 3529 % 23, 5294 % 7, 647 % 2 5 = 32 24 36, 2903 % 24, 935 % 2, 9032 % 2 6 = 64 342 37, 4269 % 22, 8070 % 3, 579 % 2 7 = 28 856 39, 087 % 2, 9626 %, 6822 % 2 8 = 256 200 38, 4577 % 2, 4925 %, 4428 % 2 9 = 52 4636 38, 893 % 2, 0095 %, 0440 % 2 0 = 024 050 39, 40 % 20, 3045 %, 0847 % 2 = 2048 23464 39, 7375 % 20, 036 % 0, 825 % 2 2 = 4096 5658 39, 6434 % 9, 9853 % 0, 6586 % 2 3 = 892 2892 39, 745 % 9, 9040 % 0, 3887 % 2 4 = 6384 24498 39, 8550 % 9, 6956 % 0, 2977 % 2 5 = 32768 528264 40, 0054 % 9, 4834 % 0, 200 % 2 6 = 65536 33066 40, 0980 % 9, 38 % 0, 532 % 2 7 = 3072 249356 40, 887 % 9, 75 % 0, 0860 % 2 8 = 26244 544838 40, 2597 % 9, 0437 % 0, 0397 % 2 9 = 524288 090292 40, 3334 % 8, 9289 % 9, 9955 % 2 20 = 048576 2303482 40, 3954 % 8, 8284 % 9, 956 % 2 2 = 209752 4852572 40, 4482 % 8, 7426 % 9, 976 % 2 22 = 494304 092224 40, 4935 % 8, 6638 % 9, 8866 % 2 23 = 8388608 23647368 40, 5406 % 8, 5887 % 9, 8578 % 2 24 = 677726 446897362 40, 5827 % 8, 586 % 9, 8340 % 2 25 = 33554432 932999788 40, 624 % 8, 4547 % 9, 85 % 2 26 = 6708864 944403662 40, 6566 % 8, 396 % 9, 792 % Tabela 4.4: Odstotki porazdelitev delnih kvocientov, 2 in 3 za izbrana števila. Ob tem povejmo, da porazdelitev kvocientov v Evklidovem algoritmu ni enaka porazdelitvi kvocientov q = A B za celi števili A in B, za kateri velja B A N, kjer je N neko veliko) naravno število. Za porazdelitev teh kvocientov lahko enostavno narišemo graf Slika 4.), iz

4.4. PORAZDELITEV DELNIH KVOCIENTOV 43 Slika 4.: Porazdelitev kvocientov q = A B za celi števili A in B, za kateri velja B A N. katerega je razvidno, da je ploščina za kvocient i, P in, enaka P in = N ) N i) N ) N i ) i i+, 2 število celih robnih točk na grafu za kvocient i, r in, pa je enako r in = N i + N i+ N ) i+2. Vseh kvocientov je k N = + 2 + 3 + + N = Po Pick ovem izreku glej [20]) je ploščina poligona za kvocient i, P in, enaka N k= k. kjer n in P in = n in + r i N 2, predstavlja število notranjih točk. Tako lahko iz ploščine in števila robnih točk izračunamo število notranjih točk za kvocient i: n in = P in r i N2 + N ) N i) N i i+ = ) N i ) 2 N i + N i+ N ) i+2 +. 2