Osnove teorije kopul in maksmin kopule
|
|
- Rafael Gorjup
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani Seminar Inštituta za biostatistiko in medicinsko informatiko 26. maj 25
2 Osnove teorije kopul Definicija kopule Definicija Funkcija C : A A 2 [, ], kjer sta A, A 2 [, ], je (dvorazsežna) podkopula, če velja, A j za j {, 2} in so izpolnjeni naslednji pogoji: (C) C(u, ) = za vsak u A in C(, v) = za vsak v A 2, (C2) C(u, ) = u za vsak u A in C(, v) = v za vsak v A 2, (C3) C je 2-naraščajoča, tj. za vse u u 2 iz A in v v 2 iz A 2 je V C ((u, u 2 ] (v, v 2 ]) = C(u 2, v 2 ) C(u 2, v ) C(u, v 2 ) + C(u, v ). (,) (u,v 2 ) id (u 2,v 2 ) (,) (Dvorazsežna) kopula je podkopula z definicijskim območjem I 2 := [, ] 2. V C ([u,u 2 ] [v,v 2 ]) id (u,v ) (u 2,v ) (,) (,)
3 Osnove teorije kopul Analitične lastnosti kopul Naj bo C poljubna kopula. Potem velja: C je naraščajoča v vsaki spremenljivki posebej. Za vse (u, v), (u, v ) I 2 velja C(u, v ) C(u, v) u u + v v, torej je C enakomerno zvezna. Za vsak v I obstaja parcialni odvod C(u, v)/ u za skoraj vsak u in pri takih u ter v je C(u, v)/ u [, ]. Podobno velja za C(u, v)/ v.
4 Osnove teorije kopul Sklarov izrek Kopule so torej zožitve skupnih porazdelitvenih funkcij, katerih robni porazdelitvi sta enakomerni zvezni porazdelitvi na [, ]. Izrek (Sklarov izrek) Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenima funkcijama F in G. Potem obstaja taka kopula C, da velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R. () Če sta F in G zvezni, potem je C enolično določena, v nasprotnem primeru pa je C enolična le na im F im G. Obratno, če je C kopula in sta F ter G porazdelitveni funkciji, potem je z enačbo () definirana skupna porazdelitvena funkcija H, katere robni porazdelitveni funkciji sta enaki F in G.
5 Osnove teorije kopul Urejenost kopul Definicija Kopula C je manjša od C 2, če je C (u, v) C 2 (u, v) za vse u, v I. Oznaka: C C 2. Fréchet-Hoeffdingova spodnja meja: W (u, v) = max{u + v, }. Fréchet-Hoeffdingova zgornja meja: M(u, v) = min{u, v}. Za poljubno kopulo C velja W C M. Produktna kopula: Π(u, v) = uv.
6 Osnove teorije kopul Verjetnostni pomen Π, M in W Definicija Naj bo C kopula. Če za slučajni spremenljivki X in Y z X F, Y G ter (X, Y ) H, velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R, potem C imenujemo slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula. Oznaka: C X,Y. Trditev Naj bosta X in Y zvezni slučajni spremenljivki. Potem velja: C X,Y = Π natanko tedaj, ko sta X in Y neodvisni. C X,Y = M natanko tedaj, ko za vsako točko (x, y) R 2 velja P(X > x, Y y) = ali P(X x, Y > y) =, tj. Y je skoraj gotovo strogo naraščajoča funkcija slučajne spremenljivke X. C X,Y = W natanko tedaj, ko za vsako točko (x, y) R 2 velja P(X x, Y y) = ali P(X > x, Y > y) =, tj. Y je skoraj gotovo strogo padajoča funkcija slučajne spremenljivke X.
7 v Osnove teorije kopul v v Grafi in grafi nivojnic kopul W, Π in M W Π M u u u
8 Osnove teorije kopul Kopula preživetja Naj bosta X in Y slučajni spremenljivki s pripadajočo kopulo C, porazdelitvenimi funkcijami F X, G Y in H (X, Y ) ter pripadajočimi funkcijami preživetja F, G in H. Potem za vse x, y R velja H(x, y) = F (x) G(x) + H(x, y) = F (x) + G(x) + C(F (x), G(y)) = F (x) + G(x) + C( F (x), G(y)). Slučajnima spremenljivkama X in Y pripadajoča kopula preživetja je funkcija Ĉ : I 2 I, Ĉ(u, v) = u + v + C( u, v). Kopula preživetja je kopula in zanjo velja H(x, y) = Ĉ(F (x), G(y)) za vse x, y R.
9 Pregled metod konstrukcij kopul Konveksne kombinacije kopul Definicija Naj bo {C θ } θ neka družina kopul. Parameter θ naj bo realizacija slučajne spremenljivke Θ s porazdelitvenim zakonom µ Θ. Konveksna vsota kopul {C θ } θ glede na µ Θ je funkcija C(u, v) = R C θ (u, v) dµ Θ (θ). Porazdelitev Θ je lahko odvisna še od nekega parametra. Fréchetova družina kopul Naj bosta α, β [, ] taka, da je α + β. Dvoparametrična Fréchetova družina kopul je podana s C α,β (u, v) = αw (u, v) + ( α β)π(u, v) + βm(u, v).
10 Pregled metod konstrukcij kopul Grafi nivojnic Fréchetove družine kopul α =.2, β = α = /3, β = / α =.3, β = v v v u u u
11 Pregled metod konstrukcij kopul Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje Preureditve Fréchet-Hoeffdingove zgornje meje M, angleško shuffles of M, so singularne kopule, ki jih dobimo na naslednji način: Kvadrat I 2, opremljen s porazdelitvenim zakonom µ M, navpično razrežemo na končno mnogo trakov, ki jih nato med seboj premešamo in nekatere izmed njih obrnemo okoli svoje navpične simetrijske osi
12 Pregled metod konstrukcij kopul Preureditve M lastnosti X in Y sta medsebojno popolno odvisni, če obstaja taka injektivna funkcija g : im X im Y, da je Y = g(x) skoraj gotovo. Če je C X,Y preureditev M, sta X in Y medsebojno popolno odvisni. Trditev Za vsak ε > obstaja taka preureditev M, ki jo označimo s C ε, da je sup C ε (u, v) Π(u, v) < ε. u,v I Posplošitev: Π lahko zamenjamo s poljubno kopulo. Posledica: preureditve kopule M so goste v množici kopul glede na supremum normo.
13 Pregled metod konstrukcij kopul Kopule s predpisanimi vodoravnimi odseki vsi vodoravni odseki so linearne funkcije, tj. C(u, v) = a(v)u + b(v) za neki funkciji a, b : I R = C = Π vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije = C(u, v) = uv + ψ(v)u( u), kjer je ψ : [, ] R -Lipschitzeva s ψ() = ψ() = vsi vodoravni odseki so kvadratne funkcije + simetrična kopula = C θ (u, v) = uv + θuv( u)( v), θ [, ] Farlie-Gumbel-Morgensternove kopule
14 Pregled metod konstrukcij kopul Razsevni diagrami FGM kopul θ = θ = θ =
15 Pregled metod konstrukcij kopul Kopule s predpisanim diagonalnim odsekom Naj bo δ : I R neka funkcija. Želimo definirati kopulo C, katere diagonalni odsek δ C (t) = C(t, t), t I, je enak δ. Funkcija δ : I R je diagonala, označimo δ D, če je naraščajoča, 2-Lipschitzeva in zanjo velja δ() =, δ() = ter δ id. Za δ D je diagonalna kopula funkcija { C δ (u, v) = min u, v, Za δ D je Bertinova kopula funkcija } δ(u) + δ(v). 2 B δ (u, v) = min{u, v} min{t δ(t) t [min{u, v}, max{u, v}]}.
16 Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Definicija Arhimedovih kopul Definicija Naj bo ϕ: [, ] [, ] zvezna strogo padajoča funkcija, za katero je ϕ() =. Psevdoobrat funkcije ϕ je funkcija ϕ [ ] : [, ] [, ], podana s predpisom ϕ [ ] = { ϕ (t), za t [, ϕ()],, za t [ϕ(), ]. Arhimedova kopula je funkcija C : I 2 I, podana s predpisom C(u, v) = ϕ [ ]( ϕ(u) + ϕ(v) ).
17 Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Verjetnostna interpretacija Naj bodo E, E 2 in R neodvisne, E, E 2 Exp(), R >. Definiramo (X, Y ) = (E /R, E 2 /R). Naj bo ψ Laplaceova transformacija R. Za x, y > velja F X (x) = ψ(x), F Y (y) = ψ(y), F (X,Y ) (x, y) = ψ(x + y). Po Sklarovem izreku torej obstaja taka kopula preživetja C, da je ψ(x + y) = C(ψ(x), ψ(y)) za x, y > oziroma C(u, v) = ψ(ψ (u) + ψ (v)), u, v [, ]. (2) Glede na prvotno definicijo: ϕ ψ. Funkcija (2) je kopula za večji razred funkcij kot so Laplaceove transformacije.
18 Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Primeri parametričnih družin Claytonova kopula: C θ (u, v) = max{u θ + v θ, } /θ, θ [, )\{}. V verjetnostnem modelu: za θ (, ) je R Γ(/θ, ). θ =.7 θ = Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).
19 Pregled metod konstrukcij kopul Gumbelova kopula: C θ (u, v) = exp Arhimedove kopule [ ( ( ln u) θ + ( ln v) θ) /θ ], θ [, ). Joejeva kopula: ( C θ (u, v)= ( u) θ +( v) θ ( u) θ ( v) θ) /θ, θ [, ). V verjetnostnem modelu ima R Sibuya porazdelitev: P(R = k) = ( ) k+( ) /θ k za k N. Gumbel, θ = 5 Joe, θ =
20 Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Frankova kopula: C θ (u, v) = ( θ ln + (e θu )(e θv ) ) e θ, θ R\{}. Za θ (, ) je v verjetnostnem modelu R porazdeljena logaritemsko s parametrom p = e θ. θ = 5 θ = Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).
21 Pregled metod konstrukcij kopul Arhimedove kopule Ali-Mikhail-Haqova kopula: C θ (u, v) = uv, θ [, ). θ( u)( v) V verjetnostnem modelu: R Geom( θ). θ = θ = Slika: Razsevna diagrama pri θ < (levo) in θ > (desno).
22 Pregled metod konstrukcij kopul Obratna metoda Naj bo H skupna porazdelitvena funkcija z robnima porazdelitvenima funkcijama F in G. Po Sklarovem izreku obstaja enolično določena podkopula C z domeno im F im G, za katero velja H(x, y) = C(F (x), G(y)) za vse x, y R. Za vsak (u, v) dom C torej velja C(u, v) = H(F (u), G (v)), (3) kjer je F posplošeni obrat porazdelitvene funkcije F, tj. F : [, ] R, F (u) = inf{x R F (x) u}. Če sta F in G zvezni, potem velja (3) za vse (u, v) I 2.
23 Pregled metod konstrukcij kopul Eliptične kopule Če je H porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (X, X 2 ) z eliptično porazdelitvijo, dobimo s (3) eliptično kopulo. Ta je neodvisna od µ i = E(X i ). Gaussova (ali normalna) kopula je eliptična kopula, ki pripada slučajnemu vektorju (X, X 2 ) z bivariatno normalno porazdelitvijo s p := ρ Pearson (X, X 2 ). Studentova t-kopula je eliptična kopula, ki pripada bivariatni Studentovi t-porazdelitvi s stopnjo prostosti ν in p := ρ Pearson (X, X 2 ).
24 Pregled metod konstrukcij kopul p =.3 p =.5 p = Slika: Razsevni diagrami Gaussove kopule pri različnih vrednostih parametra p. p =.3 p =.5 p = Slika: Razsevni diagrami Studentove t-kopule pri stopnji prostosti ν = 2 in različnih vrednostih parametra p.
25 Motivacija in Marshallove kopule Verjetnostni model A življenjskadoba U B življenjskadoba V U = min{x, Z} V = min{y, Z} Marshallove kopule od predpostavki X, Y, Z Exp neodvisne X Z Y Marshall-Olkinove kopule možnost obnovitve A življenjskadoba U B življenjskadoba V U = max{x, Z} V = min{y, Z} maksmin kopule neodvisne X Z Y
26 Motivacija in Marshallove kopule Definicija Marshallovih kopul Naj funkciji φ, ψ : I I zadoščata pogojem: φ() = ψ() = in φ() = ψ() =, φ in ψ sta naraščajoči, funkciji φ (u) = φ(u) u in ψ (v) = ψ(v) v sta padajoči na (, ]. Marshallova kopula je funkcija, definirana s predpisom za u, v (, ]. C φ,ψ (u, v) = min{φ(u)v, uψ(v)} = uv min{φ (u), ψ (v)} Posebni primer so Marshall-Olkinove kopule: C α,β (u, v) = min{u α v, uv β }, α, β [, ].
27 Motivacija in Marshallove kopule Karakterizacija Marshallovih kopul Izrek (Marshallov izrek) Naj bo C φ,ψ Marshallova kopula in H = C φ,ψ (F, G). Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: Obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je H porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (max{x, Z}, max{y, Z}). 2 φ F = ψ G. Izrek Naj bo U = max{x, Z} in V = max{y, Z}, kjer so X, Y in Z neke neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Potem obstajata taki funkciji φ in ψ, da za pripadajočo Marshallovo kopulo C φ,ψ velja H = C φ,ψ (F, G).
28 Maksmin kopule Funkciji φ in ψ Za funkciji φ, ψ : [, ] [, ] definiramo funkciji φ, ψ : [, ] [, ]: φ (u) = φ(u) u ;, če je ψ(v) = v [, ), ψ(v) ψ (v) =, če je ψ(v) v, v ψ(v), če je v =. Funkciji φ in ψ naj zadoščata naslednjim pogojem: φ() = ψ() = in φ() = ψ() =, φ in ψ sta naraščajoči, φ in ψ sta padajoči. Pravimo, da par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F).
29 Maksmin kopule Lastnosti funkcij φ in ψ Iz (F) sledijo naslednje lastnosti: u φ(u) za vse u I, ϕ ψ(v) v za vse v I, če je φ(u)=u za nek u (, ], potem je φ na intervalu [u, ] enaka identični funkciji, ψ če je ψ(v)=v za nek v [, ), potem je ψ na intervalu [, v] enaka identični funkciji, ϕ ψ (v) v, φ (u) u c [, ], ψ
30 Maksmin kopule Lastnosti funkcij φ in ψ nadaljevanje φ(u 2 ) φ(u ) u 2 u φ (u 2 ) φ (u ) za vse < u < u 2, ψ(v 2 ) ψ(v ) v 2 v ψ(v ) v ψ(v 2) v 2 za vse v < v 2 <, φ (t) in ψ (t) obstajata za skoraj vsak t in za vsak tak t je φ (t) φ (t) in ψ (t) ψ(t) t, φ je zvezna na (, ], ψ je zvezna na [, ), φ ψ.
31 Maksmin kopule Definicija maksmin kopule Definicija Naj par funkcij (φ, ψ) zadošča pogoju (F). Funkcijo C φ,ψ : I 2 I, definirano s predpisom C(u, v) = C φ,ψ (u, v) = min{φ(u)(v ψ(v)), u( ψ(v))} + uψ(v), imenujemo maksmin kopula. Ekvivalentno: { u(v ψ(v)) min{φ (u), ψ (v)} + uψ(v), če je φ (u), ψ (v) <, C(u, v) = uv, C(u, v) = Za u v je φ (u) ψ (v). sicer; { φ(u)(v ψ(v)) + uψ(v), če je φ (u) ψ (v), u, če je ψ (v) φ (u).
32 Maksmin kopule Verjetnostna lema Lema Naj bosta U in V slučajni spremenljivki, U F, V G in (U, V ) H. Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni: Obstajajo neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z s porazdelitvenimi funkcijami F X, F Y oziroma F Z, za katere je U = max{x, Z} in V = min{y, Z}. 2 Porazdelitveno funkcijo H lahko s porazdelitvenimi funkcijami F X, F Y in F Z izrazimo kot H(x, y) = F X (x)( F Y (y)) min{f Z (x), F Z (y)} + F X (x)f Y (y)f Z (x). Če velja katerakoli izmed trditev (i) ali (ii), je F = F X F Z in G = F Y + F Z F Y F Z.
33 Maksmin kopule Prvi izrek karakterizacije Izrek Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neke neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Potem obstaja tak par funkcij (φ,ψ), ki zadošča pogoju (F), da za pripadajočo maksmin kopulo C φ,ψ velja H(x, y) = C φ,ψ (F (x), G(y)) za vse x, y R. Ideja dokaza: Želimo F X (x) = φ(f (x)) in F Y (y) = ψ(g(y)). Definiramo zato φ(u) = F X (F (u)) za u im F \{, }, ψ(v) = F Y (G (v)) za v im G\{, }.
34 Maksmin kopule Drugi izrek karakterizacije Iz dokaza prejšnjega izreka sledi Izrek φ(f (x)) [ G(x) ψ(g(x)) ] = F (x) [ ψ(g(x)) ] za vse x R. (4) Naj bo C φ,ψ maksmin kopula s pripadajočima funkcijama φ in ψ. Naj bosta F in G porazdelitveni funkciji ter H = C φ,ψ (F, G). Za funkcije φ, ψ, F in G naj velja (4) ter: Funkcija φ je zvezna v, ali pa je x F = inf{x R F (x) > } > in ima F v x F skok. Funkcija ψ je zvezna v, ali pa obstaja tak x R, da je G(x) =. Obstaja tak x, da je F (x ) > in G(x ) <. Potem obstajajo take neodvisne slučajne spremenljivke X, Y in Z, da je H skupna porazdelitvena funkcija slučajnega vektorja (max{x, Z}, min{y, Z}). Ideja dokaza: F X = φ F, F Y = ψ G, in F Z = /(φ F ) = /(ψ G), ko je F > in G <.
35 Maksmin kopule Maksmin kopula za enako porazdeljene čase udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z enako porazdeljene s porazdelitveno funkcijo F X. Dobimo F = FX 2 in G = 2F X FX 2. Iščemo φ in ψ, za kateri velja φ(f (x)) = F X (x) in ψ(g(y)) = F X (y) = F Y (y). Definiramo zato funkciji φ(u) = u, u I, in ψ(v) = v, v I. Od tu sledi H = C φ,ψ (F, G).
36 Maksmin kopule Maksmin kopule za eksponentno porazdeljene čase udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne slučajne spremenljivke. Naj bo U F, V G in (U, V ) H. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z porazdeljene eksponentno s parametri λ, λ 2 oziroma λ 2. Zopet želimo poiskati takšni funkciji φ in ψ, da bo H = C φ,ψ (F, G). Po dokazu prvega izreka karakterizacije dobimo ψ(v) = ( v) β, kjer je β = λ 2 λ 2 + λ 2, in, če je u =, φ(u) = e λ F (u), če je u (, ),, če je u =.
37 Maksmin kopule Parametrična družina maksmin kopul Za parametra α, β [, ] definiramo naslednji družini funkcij: za α [, ) naj bo φ α (u) = u α, u I, za α = naj bo φ = (,], in za β [, ) naj bo ψ β (v) = ( v) β, v I, za β = naj bo ψ = {}. Označimo s C α,β pripadajočo maksmin kopulo.
38 v Maksmin kopule v v Parametrična družina grafi nivojnic in razsevni diagrami α =.5, β = α =.9, β = α =.5, β = u u u α =.5, β =.5 α =.9, β =.5 α =.5, β =
39 Maksmin kopule Urejenost maksmin kopul Za vsako maksmin kopulo C φ,ψ velja: Π C φ,ψ M, φ = id ali ψ = id = C φ,ψ = Π, φ = (,] in ψ = {} = C φ,ψ = M, ζ φ in η ψ = C φ,ψ C ζ,η. ϕ M ζ ϕ ψ η ψ M
40 Maksmin kopule Enakomerno zvezno porazdeljeni časi udarov Naj bo U = max{x, Z} in V = min{y, Z}, kjer so X, Y in Z neodvisne. Dodatno predpostavimo, da so X, Y in Z porazdeljene enakomerno zvezno na intervalih [, a], [, b] in [, c]. Označimo α = c/a > in β = c/b >. Po prvem izreku karakterizacije dobimo { αu, če je u [, α], za α je φ α (u) = u, če je u (α, ]; { αu, če je u [, /α], za α > je φ α (u) =, če je u (/α, ], in ( ) +β ψ β (v) = 2 +β 2 2 βv, če je v <,, če je v =.
41 Maksmin kopule EZ porazdeljeni časi udarov razsevni diagrami α =.5, β =.2 α α =.5, β =.8 α α =.5, β =.5 α/β 2 α α =.5, β = α =.5, β =.2 /β α =.5, β = 2 α/β /α /α /α
42 Maksmin kopule Še ena parametrična družina maksmin kopul Za < a < b < in < c < d < definiramo odsekoma linearni funkciji b a u, za u [, a], φ(u) = b, za u (a, b], u, za u (b, ]; v, za v [, c), ψ(v) = c, za v [c, d), c d v d c d, za v [d, ]. Naj bo b/a ( c)/(d c). Potem za vse u (, ] in v [, ) velja φ (u) b/a < ( c)/(d c) ψ (v).
43 Maksmin kopule Nadaljevanje primera a b a b D 5 D 4 v d v d D 2 D 3 c c D u u Slika: a =.35, b =.7, c =.3 in d =.5.
44 Literatura R. B. Nelsen, An Introduction to Copulas, Springer Science+Business Media, Inc., New York, 26. J.-F. Mai, M. Scherer, Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications, Imperial College Press, London, 22. A. W. Marshall, I. Olkin, A multivariate exponential distribution, J. Am. Stat. Assoc. 62 (967), str A. W. Marshall, Copulas, marginals, and joint distributions, v: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. D. Taylor (ur.), Distributions with Fixed Marginals and Related Topics, IMS Lecture Notes Monograph Series, vol. 28, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 996, str M. Omladič, N. Ružić, Shock models with recovery option via the maxmin copulas, Fuzzy Sets and Systems, sprejeto v objavo 24, DOI:.6/j.fss
Osnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/testi in izpiti/ /IZPITI/FKKT-februar-14.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 6. 2. 2014 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument.
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večEKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Mi
EKVITABILNE PARTICIJE IN TOEPLITZOVE MATRIKE Aleksandar Jurišić Politehnika Nova Gorica in IMFM Vipavska 13, p.p. 301, Nova Gorica Slovenija Štefko Miklavič 30. okt. 2003 Math. Subj. Class. (2000): 05E{20,
Prikaži več5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisn
5 SIMPLICIALNI KOMPLEKSI Definicija 5.1 Vektorji r 0,..., r k v R n so afino neodvisni, če so vektorji r 1 r 0, r 2 r 0,..., r k r 0 linearno neodvisni. Če so krajevni vektorji do točk a 0,..., a k v R
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-junij-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večZveznostFunkcij11.dvi
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večUčinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero v
Učinkovita izvedba algoritma Goldberg-Tarjan Teja Peklaj 26. februar 2009 1 Definicije Definicija 1 Naj bo (G, u, s, t) omrežje, f : E(G) R, za katero velja 0 f(e) u(e) za e E(G). Za v V (G) definiramo presežek
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 217 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Prikaži večLehmerjev algoritem za racunanje najvecjega skupnega delitelja
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko ter Fakulteta za Matematiko in Fiziko Mirjam Kolar Lehmerjev algoritem za računanje največjega skupnega delitelja DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži večGeomInterp.dvi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar za Numerično analizo Geometrijska interpolacija z ravninskimi parametričnimi polinomskimi krivuljami Gašper Jaklič, Jernej Kozak, Marjeta
Prikaži več'Kombinatoricna optimizacija / Lokalna optimizacija'
Kombinatorična optimizacija 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 15. november 2006 / 23 : 17 V. Batagelj: Kombinatorična optimizacija / 3. Lokalna optimizacija 1
Prikaži večDel 1 Limite
Del 1 Limite POGLAVJE 1 Zaporedja realnih števil 1. Osnovne lastnosti realnih števil Naravna števila označujemo z N, cela z Z, racionalna z Q in realna z R. Naravna števila so nastala iz potrebe po preštevanju.
Prikaži več2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter
2. izbirni test za MMO 2017 Ljubljana, 17. februar 2017 1. Naj bosta k 1 in k 2 dve krožnici s središčema O 1 in O 2, ki se sekata v dveh točkah, ter naj bo A eno od njunih presečišč. Ena od njunih skupnih
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pini izpit 2. januar 22 Ime in priimek: Vpina št: Navodila Pazljivo preberite beedilo naloge, preden e lotite reševanja. Veljale bodo amo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večNamesto (x,y)R uporabljamo xRy
RELACIJE Namesto (x,y) R uporabljamo xry Def.: Naj bo R AxA D R = { x; y A: xry } je domena ali definicijsko obmocje relacije R Z R = { y; x A: xry } je zaloga vrednosti relacije R Za zgled od zadnjič:
Prikaži večOdvodFunkcijEne11.dvi
III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvajanje funkcij ene spremenljivke Odvajanje je ena najpomembnejši operacij na funkcija. Z uporabo odvoda, kadar le-ta obstaja, lako veliko bolje spoznamo
Prikaži večOptimizacija z roji delcev - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz optimizacije 2. junij 2011 Koncept PSO Motivacija: vedenje organizmov v naravi Ideja: koordinirano
Prikaži večKazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE Operacije z dvomestnimi relacijami Predstavitev relacij
Kazalo 1 DVOMESTNE RELACIJE 1 1.1 Operacije z dvomestnimi relacijami...................... 2 1.2 Predstavitev relacij............................... 3 1.3 Lastnosti relacij na dani množici (R X X)................
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večUniverza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta L
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA I Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Ljubljana, 2004 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi
Prikaži večLaTeX slides
Linearni in nelinearni modeli Milena Kovač 22. december 2006 Biometrija 2006/2007 1 Linearni, pogojno linearni in nelinearni modeli Kriteriji za razdelitev: prvi parcialni odvodi po parametrih Linearni
Prikaži več3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja
3. Metode, ki temeljijo na minimalnem ostanku Denimo, da smo z Arnoldijevim algoritmom zgenerirali ON bazo podprostora Krilova K k (A, r 0 ) in velja AV k = V k H k + h k+1,k v k+1 e T k = V kh k+1,k.
Prikaži več6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru
6.1 Uvod 6 Igra Chomp Marko Repše, 30.03.2009 Chomp je nepristranska igra dveh igralcev s popolno informacijo na dvo (ali vec) dimenzionalnem prostoru in na končni ali neskončni čokoladi. Igralca si izmenjujeta
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKO DELO Daša Štesl Maribor, 2017 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večSlide 1
SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?
Prikaži večMatematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t
Matematika II (UN) 2. kolokvij (7. junij 2013) RE ITVE Naloga 1 (25 to k) ƒasovna funkcija f je denirana za t [0, 2] in podana s spodnjim grafom. f t 0.5 1.5 2.0 t a.) Nari²ite tri grafe: graf (klasi ne)
Prikaži večNEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic
NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večOsnove verjetnosti in statistika
Osnove verjetnosti in statistika Gašper Fijavž Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 26. februar 2010 Poskus in dogodek Kaj je poskus? Vržemo kovanec. Petkrat vržemo
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večOsnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani
Osnove verjetnostne metode doc. dr. R. Škrekovski Oddelek za Matematiko Fakulteta za Matematiko in Fiziko Univerza v Ljubljani naslov: Osnove verjetnostne metode avtorske pravice: dr. Riste Škrekovski
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model
Prikaži večMAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n+2
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 6 Strani 322 327 Borut Zalar: MAGIČNI KVADRATI DIMENZIJE 4n + 2 Ključne besede: matematika, aritmetika,
Prikaži večPOPOLNI KVADER
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 031-662 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 134 139 Edvard Kramar: POPOLNI KVADER Ključne besede: matematika, geometrija, kvader,
Prikaži večNaloge iz kolokvijev Analize 1 (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za
Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - p_TK_inzeniring_1_dan_v5_shortTS.ppt [Compatibility Mode]
Telekomunikacijski inženiring dr. Iztok Humar Vsebina Značilnosti TK prometa, preprosti modeli, uporaba Uvod Značilnosti telekomunikacijskega prometa Modeliranje vodovno komutiranih zvez Erlang B Erlang
Prikaži več00main.dvi
UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za elektrotehniko Vitomir Štruc, Simon Dobrišek INFORMACIJA IN KODI DOPOLNILNI UČBENIK Z VAJAMI UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM II. STOPNJE ELEKTROTEHNIKA - AVTOMATIKA IN
Prikaži večŠtudij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 2016/17 Vaje iz MATEMATIKE 9. Integral Določeni integral: Določeni integral: Naj bo f : [a, b] R funkcija. Int
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 6/7 Vje iz MATEMATIKE 9. Integrl Določeni integrl: Določeni integrl: Nj bo f : [, b] R funkcij. Intervl [, b] rzdelimo n n podintervlov z delilnimi točkmi: = x
Prikaži večREŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1
REŠEVANJE DIFERENCIALNIH ENAČB Z MEHANSKIMI RAČUNSKIMI STROJI Pino Koc Seminar za učitelje matematike FMF, Ljubljana, 25. september 2015 Vir: [1] 1 Nekateri pripomočki in naprave za računanje: 1a) Digitalni
Prikaži večUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Peter Škofič Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Prikaži večMere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike
Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April
Prikaži večUvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Uvod v diferencialne enačbe, kompleksno in Fourierovo analizo Bojan Magajna Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani UVOD V DIFERENCIALNE ENAČBE, KOMPLEKSNO IN FOURIEROVO ANALIZO Povzetek
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večRavninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako
Ravninski grafi Tina Malec 6. februar 2007 Predstavili bomo nekaj osnovnih dejstev o ravninskih grafih, pojem dualnega grafa (k danemu grafu) ter kako ugotoviti, ali je nek graf ravninski. 1 Osnovni pojmi
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večWienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TENOLOGIJE Matematične znanosti, stopnja Daliborko Šabić Wienerjevemu indeksu podobni indeksi na grafih Magistrsko delo Mentor:
Prikaži večH-Razcvet
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Gregor Šulgaj H-Razcvet DIPLOMSKO DELO INTERDISCIPLINARNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVA IN
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži večrm.dvi
1 2 3 4 5 6 7 Ime, priimek Razred 14. DRŽAVNO TEKMOVANJE V RAZVEDRILNI MATEMATIKI NALOGE ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE Čas reševanja nalog: 90 minut Točkovanje 1., 2., in 7. naloge je opisano v
Prikaži večPodatkovni model ER
Podatkovni model Entiteta- Razmerje Iztok Savnik, FAMNIT 2018/19 Pregled: Načrtovanje podatkovnih baz Konceptualno načtrovanje: (ER Model) Kaj so entite in razmerja v aplikacijskem okolju? Katere podatke
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži več(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc)
3.4 Merilna negotovost Merilna negotovost je parameter, ki pripada merilnem rezltat. Označje razpršenost vrednosti, ki jih je mogoče z določeno verjetnostjo pripisati merjeni veličini. Navaja kakovost
Prikaži večMatematika II (UNI) Izpit (23. avgust 2011) RE ITVE Naloga 1 (20 to k) Vektorja a = (0, 1, 1) in b = (1, 0, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra una
Matematika II (UNI) Izpit (. avgust 11) RE ITVE Naloga 1 ( to k) Vektorja a = (, 1, 1) in b = (1,, 1) oklepata trikotnik v prostoru. Izra unajte: kot med vektorjema a in b, pravokotno projekcijo vektorja
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja1.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 1 Naloge 1. del: Opisna statistika
Prikaži večP182C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P18C10111* JESENSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Ponedeljek, 7. avgust 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večFGG02
6.6 Simetrični problem lastnih vrednosti Če je A = A T, potem so lastne vrednosti realne, matrika pa se da diagonalizirati. Schurova forma za simetrično matriko je diagonalna matrika. Lastne vrednosti
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večBiometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s š
Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s številom posameznih vrednosti (dogodkov) ali z deleži
Prikaži večTeme za zaključne naloge Jaka Smrekar 23. julij 2016 Kazalo 1 Topologija Dugundjijev razširitveni izrek Izrek
Teme za zaključne naloge Jaka Smrekar 23. julij 2016 Kazalo 1 Topologija 2 1.1 Dugundjijev razširitveni izrek............................. 2 1.2 Izrek o invarianci odprtih množic...........................
Prikaži večStatistika, Prakticna matematika, , izrocki
Srednje vrednosti Srednja vrednost...... številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži več(Microsoft PowerPoint - vorsic ET 9.2 OES matri\350ne metode 2011.ppt [Compatibility Mode])
8.2 OBRATOVANJE ELEKTROENERGETSKEGA SISTEMA o Matrične metode v razreševanju el. omrežij Matrične enačbe električnih vezij Numerične metode za reševanje linearnih in nelinearnih enačb Sistem algebraičnih
Prikaži večC:/AndrejT/vestnik/76_1/Rotovnik/main.dvi
Elektrotehniški vestnik 76(1-2): 19 24, 2009 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimalno permutacijsko usmerjanje v heksagonalnih omrežjih Maja Rotovnik 1, Jurij Šilc 2, Janez Žerovnik 3,1
Prikaži večELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "
ELEKTRIČNI NIHAJNI KROG TEORIJA Električni nihajni krog je električno vezje, ki služi za generacijo visokofrekvenče izmenične napetosti. V osnovi je "električno" nihalo, sestavljeno iz vzporedne vezave
Prikaži večMicrosoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večSrednja šola za oblikovanje
Srednja šola za oblikovanje Park mladih 8 2000 Maribor POKLICNA MATURA MATEMATIKA SEZNAM VPRAŠANJ ZA USTNI DEL NARAVNA IN CELA ŠTEVILA Opišite vrstni red računskih operacij v množici naravnih števil. Kakšen
Prikaži večP181C10111
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *P181C10111* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA Izpitna pola Sobota, 9. junij 018 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno
Prikaži večRešene naloge iz Linearne Algebre
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO LABORATORIJ ZA MATEMATIČNE METODE V RAČUNALNIŠTVU IN INFORMATIKI Aleksandra Franc REŠENE NALOGE IZ LINEARNE ALGEBRE Študijsko gradivo Ljubljana
Prikaži večPoglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri te
Poglavje 3 Reševanje nelinearnih enačb Na iskanje rešitve enačbe oblike f(x) = 0 (3.1) zelo pogosto naletimo pri reševanju tehničnih problemov. Pri tem je lahko nelinearna funkcija f podana eksplicitno,
Prikaži večZgledi:
a) za funkcijo f(x)= 1/3x 1 izračunaj ničlo, zapiši začetno vrednost in nariši graf (x=3, začetna vrednost: f(0)= 1, graf seka abscisno os v točki (3,0), ordinatno os pa v točki (0, 1)) b) nariši graf
Prikaži večIzpit iz GEOMETRIJE 17. junij 2004 Vpisna ²tevilka: Vrsta: Ime in priimek: Sedeº: 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, prem
17. junij 2004 1. Poi² i vse stoºnice v P(R 3 ), ki se dotikajo premice x = 0, premice z = 0 v to ki (1, 1, 0) in premice y = 0 v to ki (1, 0, 1). 2. V projektivni ravnini so dane premice p 1 : 4x 3y z
Prikaži več