MergedFile

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE DEJAN KREJIĆ HAMILTONSKOST VOZLIŠČNO TRANZITIVNIH GRAFOV MAGISTRSKO DELO Ljubljana, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE DEJAN KREJIĆ HAMILTONSKOST VOZLIŠČNO TRANZITIVNIH GRAFOV MAGISTRSKO DELO Mentor: doc. dr. PRIMOŽ ŠPARL Ljubljana, 2018

Mentorju, doc. dr. Primožu Šparlu Zahvaljujem se vam za kvalitetno mentorstvo, koristne nasvete in ves trud, ki ste ga prispevali pri nastanku mojega magistrskega dela. Z vami je bilo raziskovanje matematike še bolj zanimivo. Ostali Hvala tudi vam, ki ste mi vedno stali ob strani, verjeli vame in moje sanje, čeprav so bile te včasih tudi nerealne. Posebej pa bi se rad zahvalil moji družini, za vso njihovo podporo tekom študija.

Povzetek Tema magistrskega dela sodi na področje algebraične teorije grafov, kjer se med drugim ukvarjamo s proučevanjem simetrij grafov in raziskovanjem možnosti njihove uporabe pri reševanju problemov, ki so povezani z grafi. Prav simetrija (ali avtomorfizem) grafa je pojem, preko katerega so definirane nekatere grafovske lastnosti, kot je na primer vozliščna tranzitivnost. V takšnih grafih zahtevamo, da za poljuben par vozlišč obstaja avtomorfizem, ki prvo vozlišče preslika v drugo. Dotična družina grafov je zanimiva tudi zato, ker zanjo ostaja odprtih več vprašanj, ki vzbujajo zanimanje številnih raziskovalcev. Eno izmed njih je zagotovo vprašanje o obstoju hamiltonskih ciklov in poti v vozliščno tranzitivnih grafih, ki ima že precej dolgo zgodovino in predstavlja glavno temo tega magistrskega dela. Cikel danega grafa Γ imenujemo hamiltonski cikel, če vsebuje vsa vozlišča grafa Γ (hamiltonsko pot definiramo podobno). Še vedno ne poznamo niti enega primera končnega povezanega vozliščno tranzitivnega grafa brez hamiltonske poti, poznamo pa natanko pet tovrstnih grafov, ki nimajo hamiltonskega cikla (Petersenov graf, Coxeterjev graf, njuna prisekana grafa in pot na dveh vozliščih). Osrednji namen magistrskega dela je prikazati širši vpogled v problem obstoja hamiltonskih ciklov in poti v vozliščno tranzitivnih grafih. Osredotočamo se predvsem na obravnavo različnih pristopov k reševanju danega problema, predstavimo pa tudi zanimivo lastno idejo, ki bi lahko imela uporabno vrednost na tem področju. V prvem delu magistrskega dela podrobno predstavimo družino vozliščno tranzitivnih grafov. Sledi poglavje, v katerem raziščemo možnosti uporabe koncepta blokov neprimitivnosti pri problemu obstoja hamiltonskih ciklov in poti v vozliščno tranzitivnih grafih. Tukaj naredimo analizo obstoja sistemov blokov neprimitivnosti v majhnih kubičnih vozliščno tranzitivnih grafih, proučimo strukturne lastnosti podgrafov, ki so inducirani na posamezne bloke neprimitivnosti in razmislimo o načinih dviga hamiltonskih ciklov in poti iz pripadajočih kvocientnih grafov glede na ustrezen sistem blokov neprimitivnosti. V nadaljevanju magistrskega dela se ukvarjamo z vlogo semiregularnih avtomorfizmov pri obravnavi problema obstoja hamiltonskih ciklov in poti v grafih. Zanima nas, kako je z obstojem semiregularnih avtomorfizmov v vozliščno tranzitivnih grafih, kakšne so njihove lastnosti, največ pozornosti pa posvetimo obravnavi dviga hamiltonskih ciklov iz kvocientnih grafov glede na množico orbit semiregularne grupe avtomorfizmov. Zadnji del magistrskega dela namenimo proučevanju pomembnega Babajevega rezultata o dolžini najdaljših ciklov v vozliščno tranzitivnih grafih. Predstavimo tudi zanimivo idejo, ki na področju problema hamiltonskosti vozliščno traznitivnih grafov do sedaj po našem vedenju še ni bila raziskana. Ključne besede: hamiltonski cikel, hamiltonska pot, vozliščno tranzitiven graf, sistem blokov neprimitivnosti, semiregularnost, Babajev izrek Klasifikacija MSC (2010): 20B25, 05C25, 05C38

Abstract The topic of the master s thesis comes from algebraic graph theory, where, among other things, we study graph symmetries and explore the possibilities to use them for solving problems related to graphs. Symmetry (or graph automorphism) is a concept we use to define some graph properties, for example vertex-transitivity. In such graphs we require that for every pair of vertices there is automorphism, which maps the first vertex into the second one. One of the reasons why this family of graphs is so interesting is because we can find various open questions about these graphs that attracts interest of numerous researchers. One of these questions is definitely the question of the existence of Hamiltonian cycles and paths in vertex-transitive graphs which has a long history and represents the main topic of this master s thesis. The cycle of a given graph Γ is called a Hamiltonian cycle if it includes all vertices of the graph Γ (the Hamiltonian path is defined analogously). We still do not know of a single example of a finite connected vertex-transitive graph without a Hamiltonian path and we know of exactly five such graphs that do not have a Hamiltonian cycle (the Petersen graph, the Coxeter graph, their truncated graphs, and the path on two vertices). The main purpose of this master s thesis is to give a broader insight into the problem of existence of Hamiltonian cycles and paths in vertex-transitive graphs. We primarily focus on different approaches to solving the given problem, and we also present an interesting idea of our own, which could prove useful in this field. In the first part of the master s thesis we present the family of vertex-transitive graphs in more detail. We then explore the possibilities of applying the concept of blocks of imprimitivity to the problem of existence of Hamiltonian cycles and paths in vertex-transitive graphs. Here we make an analysis of the existence of systems of blocks of imprimitivity for small cubic vertex-transitive graphs and then examine structural properties of subgraphs, induced on individual blocks of imprimitivity. We also consider the possibilities of lifting Hamiltonian cycles and paths from the quotient graphs corresponding to a suitable system of blocks of imprimitivity. In the next part of the master s thesis we investigate the role of semiregular automorphisms in the problem of existence of Hamiltonian cycles and paths in graphs. We are interested in the existence of semiregular automorphisms in vertex-transitive graphs and their properties, but we mainly focus on lifting Hamiltonian cycles from quotient graphs with respect to the set of orbits of the semiregular automorphism group. The last part of the master s thesis is dedicated to the study of Lazslo Babai s important result about the length of the longest cycles in vertex-transitive graphs. We also present an interesting idea, which has not yet been explored in the context of the hamiltonicity problem for vertex-transitive graphs. Keywords: hamiltonian cycle, hamiltonian path, vertex-transitive graph, system of blocks of imprimitivity, semiregularity, Babai s theorem MSC(2010) classification: 20B25, 05C25, 05C38

Kazalo 1 Uvod 1 2 Teoretična izhodišča 4 2.1 Teorija grup.................................. 4 2.1.1 Osnovni pojmi............................. 5 2.1.2 Delovanje grup............................. 6 2.1.3 Bloki neprimitivnosti......................... 8 2.1.4 Primitivnost.............................. 10 2.2 Teorija grafov................................. 10 2.2.1 Prehodnost v grafih.......................... 10 2.2.2 Podgrafi in kvocientni grafi...................... 12 2.2.3 Osnovne družine grafov........................ 12 2.2.4 Operacije z grafi............................ 13 2.2.5 Izomorfnost in simetrije grafov.................... 14 2.3 Rezultati na temo Lovászevega vprašanja................. 15 3 Vozliščno tranzitivni grafi 16 3.1 Znane poddružine.............................. 20 3.1.1 Cayleyevi grafi............................. 20 3.1.2 Posplošeni Petersenovi grafi GP (n, k), kjer je k 2 ±1 (mod n).. 23 3.1.3 Razdaljno tranzitivni grafi...................... 24 3.2 Konstrukcija vozliščno tranzitivnih grafov................. 27 4 Aplikacija koncepta blokov neprimitivnosti 30 4.1 Obstoj sistemov neprimitivnosti v grafih.................. 31 4.2 Uporaba blokov neprimitivnosti pri problemu hamiltonskosti....... 33 4.2.1 Lastnosti podgrafov, induciranih na blokih neprimitivnost..... 33 4.2.2 Dvig hamiltonskih ciklov in poti iz kvocientnih grafov glede na sistem neprimitivnosti.......................... 35 5 Vloga semiregularnega avtomorfizma 42 5.1 Obstoj semiregularnega avtomorfizma................... 43 5.2 Uporaba semiregularnega avtomorfizma pri problemu hamiltonskosti.. 45 5.2.1 Lastnosti podgrafov, induciranih na orbitah semiregularnega avtomorfizma................................ 45 5.2.2 Dvig hamiltonskih ciklov iz kvocientnih grafov glede na množico orbit semiregularne grupe....................... 46

6 Posledica Babajevega izreka 52 6.1 Vozliščna povezanost............................. 52 6.2 Mengerjev izrek................................ 54 6.3 Fragmenti................................... 57 6.4 Preseki najdaljših ciklov v 3-povezanih grafih............... 63 6.5 Babajev izrek................................. 66 6.6 Zanimiva ideja................................ 68 7 Zaključek 71 Literatura 73

Poglavje 1 Uvod Magistrsko delo sodi na področje teorije grafov, ki v prvi vrsti predstavlja matematično, deloma pa tudi računalniško disciplino. Ukvarja se z raziskovanjem matematičnih objektov, ki jih imenujemo grafi. Graf bi lahko najbolj preprosto predstavili kot množico reči, ki jim pravimo vozlišča (ali točke), le-ta pa so med seboj lahko povezana s povezavami. Začetke teorije grafov povezujemo z letom 1736, ko je znani matematik švicarskega rodu, Leonhard Euler objavil članek Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, bolj znan kot rešitev problema Königsberških mostov [6]. V 18. stoletju je bilo v Königsbergu (današnji Kaliningrad), mestu tedajšnje Vzhodne Prusije, sedem mostov, ki so povezovali štiri dele tega mesta. V omenjenem članku Euler razreši dilemo prebivalcev mesta Königsberg glede vprašanja Ali obstaja obhod mesta, ki bi prečkal vsakega od sedmih mostov natanko enkrat in se nato vrnil v izhodišče? [6]. Kljub temu odmevnemu članku pa teorija grafov v tistem obdobju ni bila deležna večje pozornosti, oziroma je praktično sploh nemogoče govoriti o neki splošni teoriji. Šele leta 1936 izide prva knjiga na temo teorije grafov, z naslovom Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, katere avtor je Denes König, madžarski matematik židovskega rodu. Nekaj desetletij kasneje, leta 1969, potem izide ena izmed pomembnejših knjig z naslovom Graph Theory, katere avtor je bil Frank Harary [6]. Ta knjiga povzroči konkreten razmah teorije grafov in spodbudi številne matematike k resnejšemu raziskovanju tega področja. Zaradi bliskovitega razvoja in obsega znanja, ki je nastalo v tem času, se grafovska teorija danes deli na več manjših področij, kjer proučujemo grafe iz različnih vidikov [6]. Na primer, pri algebraični teoriji grafov se ukvarjamo s simetrijami grafov, lastnimi vrednostmi raznih matrik, invariantami grafov, ipd. Skratka, gre predvsem za aplikacijo algebrskih konceptov na grafih. Pri topološki teoriji grafov nas v glavnem zanimajo vložitve grafov na ploskve in njihova obravnava v okviru topoloških prostorov. Ukvarja se tudi s tako imenovano imerzijo grafov. Omenimo še algoritmično teorijo grafov. Kot nakazuje že samo ime, so bistvo tega področja algoritmi za delo z grafi. Lahko nas na primer zanima kakšna je najkrajša/najdaljša/najcenejša/najdražja pot med dvema vozliščema v grafu, iskanje najcenejših vpetih dreves v grafu, maksimalni in minimalni pretoki, ipd [19]. Ta veja tako posega že na področje kombinatorične optimizacije in je v kombinaciji z računalništvom zelo uporabna, saj se nemalokrat izkaže, da z njo rešimo različne optimizacijske pro- 1

bleme, ki se pojavljajo v vsakdanjem svetu (ekonomija, promet, električna omrežja). Strukture, ki jih lahko predstavimo v obliki grafa, se seveda pojavljajo tudi na številnih drugih področjih, kot so na primer biologija, kemija, fizika, družboslovje, elektrotehnika, ipd [19]. Skozi razvoj teorije grafov so se raziskovalci na tem področju srečevali s številnimi zanimivimi problemi in idejami. Eden najbolj znanih problemov s področja teorije grafov je zagotovo Problem štirih barv. Domneva, ki se ukvarja z barvanji grafov, se prvič pojavi leta 1852, njen snovalec pa je tedaj mladi južnoafriški matematik Francis Guthrie. V njej se je Francis spraševal, ali je mogoče poljuben zemljevid držav pobarvati tako, da pri tem uporabimo največ štiri barve, pri tem pa nobeni dve sosednji državi nista pobarvani z isto barvo [6]. Kljub navidezni preprostosti problema, je le-ta ostal dolgo časa nerešen. Šele leta 1976 sta Appel in Haken podala dokaz da je to res mogoče, v katerem pa sta si pomagala z računalnikom, zato ga nekateri matematiki še vedno ne priznavajo. Velja omeniti, da je bilo v fazi reševanja tega problema pridobljenih precej novih znanj in idej na področju teorije grafov. Ob tem so se pojavljale tudi neresnične domneve, kot je na primer Taitova iz leta 1886 o obstoju hamiltonskih ciklov v ravninskih 3-povezanih kubičnih grafih, ki jo je leta 1946 s protiprimerom ovrgel, angleško-kanadski matematik William Thomas Tutte [6]. Na področju teorije grafov vsekakor ostaja odprtih še cela vrsta zanimivih vprašanj, kar matematike dodatno motivira za raziskovanje tega področja. Eno izmed vprašanj, ki predstavlja osrednjo temo tega magistrskega dela, že dlje časa vzbuja zanimanje pri številnih raziskovalcih. Leta 1969 je znani madžarski matematik László Lovász postavil vprašanje Ali vsak končen povezan vozliščno tranzitiven graf vsebuje hamiltonsko pot (to je pot, ki poteka skozi vsa vozlišča grafa)?. Velja omeniti, da ima ta problem v resnici daljšo zgodovino, saj se povezuje z zvonenjem zvonov, Grayevimi kodami in sprehodi kralja po šahovnici [12]. Lovászev problem nekateri danes nekoliko zavajajoče imenujejo kot Lovászeva domneva, verjetno zaradi dejstva, da po vseh teh letih še nikomur ni uspelo najti končnega povezanega vozliščno tranzitivnega grafa, ki ne premore hamiltonske poti. Poleg tega je do sedaj znanih le pet primerov povezanih vozliščno tranzitivnih grafov, ki ne premorejo hamiltonskega cikla (vsebujejo pa hamiltonsko pot) in sicer: trivialni primer poti na dveh vozliščih P 2, Petersenov graf, Coxeterjev graf in grafa, ki ju iz njiju pridobimo tako, da vsako vozlišče grafa nadomestimo s trikotnikom [12]. Prav Lovászev problem, pri čemer dodatno obravnavamo tudi hamiltonske cikle, je osrednja tema tega magistrskega dela, v katerem proučimo in izpostavimo pomembnejše metode za reševanje problema hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih, hkrati pa raziščemo ključne rezultate na tem področju in predstavimo novo možnost reševanja omenjenega problema. V teoretičnih izhodiščih magistrskega dela se najprej posvetimo obravnavi fundamentalnih znanj s področja teorije grup in teorije grafov, ki so potrebna za razumevanje snovi v nadaljevanju. Pri tem predpostavimo, da ima bralec, vsaj do neke mere, že osvojena nekatera osnovna temeljna znanja, zato povsem trivialne pojme na tem mestu izpustimo. Manjši del tega poglavja namenimo še predstavitvi nekaterih znanih rezultatov na področju raziskovanja Lovászevega vprašanja, s čimer bralcu prikažemo širšo sliko obravnavane teme. V naslednjem poglavju se ukvarjamo z obrav- 2

navo družine vozliščno tranzitivnih grafov. Najprej razmislimo, kaj sploh so vozliščno tranzitivni grafi in kako se v praksi navadno prepričamo, da nek graf je ali ni vozliščno tranzitiven. Proučimo nekatere njihove lastnosti, spoznamo nekaj pomembnih poddružin in razdelamo konstrukcijo vozliščno tranzitivnih grafov z uporabo grup. S tem želimo bralcu približati družino vozliščno tranzitivnih grafov, saj se le-ta vseskozi omenja v magistrskem delu. Nato sledi poglavje, ki diplomsko delo [11] nadgradi v smeri teorije grafov. Tukaj nas predvsem zanima, kako si lahko pri problemu hamiltonskosti vozliščno tranzitivnih grafov pomagamo s konceptom blokov neprimitivnosti. Osnovna ideja temelji na tem, da neprimitivnostni bloki v grafu omogočijo raziskovanje manjših kosov grafa, iz katerih lahko razberemo različne informacije, ki nam v našem primeru lahko pomagajo pri dokazovanju obstoja hamiltonskih poti/ciklov v grafu. V prvem delu poglavja se ukvarjamo predvsem z obstojem neprimitivnostnih sistemov v vozliščno tranzitivnih grafih in obravnavo lastnosti, ki jih implicira obstoj blokov neprimitivnosti v domeni grafov. Drugi del tega poglavja namenimo obravnavi konstrukcije hamiltonskih ciklov/poti na podlagi neprimitivnostnih sistemov, tvorjenih z orbitami netranzitivnih edink pri delovanju grupe avtomorfizmov na množici vozlišč grafa. Potem sledi poglavje, kjer so osrednja tema semiregularni avtomorfizmi vozliščno tranzitivnih grafov. V magistrskem delu nas zanima, kako si lahko z njimi pomagamo pri konstrukciji hamiltonskih ciklov/poti, saj se izkaže, da predstavljajo pomemben koncept na tem področju. Enako, kot pri predhodnem poglavju, nas v prvem delu poglavja zanima predvsem, kako je z obstojem semiregularnih avtomorfizmov v vozliščno tranzitivnih grafih ter kakšne so njihove lastnosti, v drugem delu pa se osredotočimo bolj na raziskovanje njihove vloge v povezavi s problemom hamiltonskosti. Sledi eno izmed ključnih poglavij tega magistrskega dela. Tukaj sistematično proučimo Babajev rezultat o najdaljših ciklih v vozliščno tranzitivnih grafih. V skladu s tem predhodno predstavimo fragmente, vozliščno povezanost, Mengerjev izrek in razmislimo o minimalnem preseku poljubnih dveh najdaljših ciklov v 3-povezanem grafu. Babajev rezultat je v resnici eden najsplošnejših doprinosov na tem področju. Preostane nam še krajši razdelek, v katerem pokažemo zanimivo povezavo med presekom vozlič vseh najdaljših poti in problemom hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih. 3

Poglavje 2 Teoretična izhodišča Za lažje branje tega magistrskega dela je vsekakor priporočljivo, da si za začetek ogledamo teoretična izhodišča obravnavane teme. Tukaj v prvi vrsti izvemo, kaj so temeljna znanja, ki jih potrebujemo za razumevanje snovi v nadaljevanju, poleg tega pa se seznanimo s pomembnejšimi rezultati in raziskavami na temo hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih. V uvodnem poglavju je bralec že lahko spoznal, da Lovászev problem sodi na področje teorije grafov oziroma bolj natančno v algebraično teorijo grafov. Pogosto se namreč raziskovanja vozliščno tranzitivnih grafov lotimo tako, da proučujemo njihove grupe avtomorfizmov in na podlagi dobljenih rezultatov odkrivamo strukturne lastnosti grafov. Viri, kot so na primer [1,2,12,13] nakazujejo, da je omenjen pristop pogosta praksa tudi pri raziskovanju problema hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih, kar bo sicer razvidno tudi v nadaljevanju tega magistrskega dela. Zato je prvi del pričujočega poglavja namenjen obravnavi fundamentalnih znanj s področja teorije grup, pri čemer se osredotočamo zgolj na nekatera, za nas pomembnejša, znanja. Med drugimi sem uvrščamo tudi temo avtorjevega diplomskega dela [11], to je bloke neprimitivnosti, ki predstavljajo ključno predznanje v četrtem poglavju. Tam raziščemo, kako si lahko z njimi pomagamo pri dokazovanju obstoja hamiltonskih ciklov/poti v vozliščno tranzitivnih grafih. Naslednji razdelek tega poglavja posvetimo tudi teoriji grafov, kjer razdelamo temeljna znanja na tem področju, spet samo tista, ki so za nas pomembna. Tako kot pri obravnavi teorije grup, nekatere osnovne pojme tukaj izpustimo. V zadnjem delu, kot smo že prej navedli, pa predstavimo pomembnejše rezultate in domneve v zvezi z osrednjim problemom tega magistrskega dela. Na ta način bralcu omogočimo boljši vpogled v obravnavano temo in ga motiviramo za nadaljnje branje pričujočega dela. 2.1 Teorija grup Gre za matematično področje, ki se začne razvijati v 19. stoletju, ukvarja pa se s proučevanjem abstraktnih algebrskih struktur z imenom grupe. Na tem mestu lahko bralec spozna oziroma ponovi pomembnejše definicije, trditve in izreke s področja teorije grup, ki jih potrebujemo pri obravnavi hamiltonskosti vozliščno tranzitivnih grafov. Razdelek sestavlja pet vsebinsko ločenih segmentov, ki so večinoma povzeti iz diplomskega dela [11], razen prvega podrazdelka, kjer izhajamo predvsem iz [4] in [9]. 4

2.1.1 Osnovni pojmi Skozi celotno magistrsko delo se pogosto omenjajo elementarni pojmi teorije grup, kot so na primer grupa, podgrupa, red grupe, red elementa, generatorji grupe, izomorfnost grup, cikličnost in komutativnost grupe, ipd. Ker gre za povsem osnovne pojme, privzemimo, da jih bralec že pozna, sicer pa ga vabimo k branju virov [9,14], v katerih si jih lahko ogleda bolj natančno. Dokaze trditev in izrekov tukaj navedemo le v posebnih, manj znanih, primerih. Kljub temu, da se želimo obravnavi povsem osnovnih pojmov izogniti, pa za začetek vendarle omenimo pojem odseka in z njimi povezane lastnosti, saj le-te za nas v tretjem poglavju predstavljajo pomembno predznanje. Definicija. Naj bo G grupa in H G njena podgrupa. Tedaj za poljuben g G množico gh = {gh : h H} imenujemo levi odsek grupe G po podgrupi H. Na podoben način definiramo tudi desni odsek. Množico vseh levih (desnih) odsekov označimo z G/H in jo imenujemo kvocientna množica. Kardinalnost kvocientne množice označimo z [G : H], pravimo ji tudi indeks podgrupe H v grupi G. Trditev 2.1 Naj bo G grupa in H njena podgrupa. Tedaj sta za poljubna g 1, g 2 G odseka g 1 H in g 2 H bodisi enaka ali pa disjunktna. Izrek 2.2 (Lagrangeev izrek) Naj bo G končna grupa in H G njena podgrupa. Potem je moč (kardinalnost) grupe G deljiva z močjo podgrupe H in velja naslednja enakost: [G : H] = G H. Izrek 2.3 (Cauchyjev izrek) Naj bo G končna grupa in p poljubno praštevilo, ki deli njen red. Tedaj v grupi G obstaja element reda p, posledično pa tudi podgrupa H G reda p. Definicija. Naj bo G grupa in H njena podgrupa. Tedaj rečemo, da je podgrupa H edinka v grupi G (oznaka H G), če velja eden izmed naslednjih (ekvivalentnih) pogojev: 1. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak pripadajočemu desnemu odseku grupe G po podgrupi H, to je: g G : gh = Hg. 2. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak nekemu desnemu odseku grupe G po podgrupi H, to je: g 1 G g 2 G : g 1 H = Hg 2. 3. Za vsak g G velja ghg 1 = {ghg 1 : h H} = H (H je enaka vsaki svoji konjugiranki). Definicija. Grupa G je enostavna, če nima pravih netrivialnih podgrup edink. Opomba. Bralca spomnimo, da v primeru, ko je grupa G komutativna, za vsako njeno podgrupo H G vemo, da je edinka. 5

Trditev 2.4 Naj bo G grupa in H G njena podgrupa edinka. Potem je kvocientna množica G/H, skupaj z inducirano operacijo (g 1 H)(g 2 H)=g 1 g 2 H, grupa. Bralec za vajo lahko premisli kaj velja za kvocientno grupo G/H v primeru, ko je G abelska ali pa ciklična grupa. Sedaj pa se posvetimo uvedbi tako imenovanih dvojnih odsekov, ki so za razliko od običajnih, prej omenjenih odsekov, nekoliko manj znani. Definicija. Naj bosta H, K G podgrupi (ne nujno različni) grupe G in naj bo g G njen poljuben element. Tedaj množici HgK = {hgk : h H, k K} pravimo dvojni odsek podgrup H in K v grupi G. Trditev 2.5 Naj bosta H, K G podgrupi (ne nujno različni) grupe G in g 1, g 2 G njena poljubna elementa. Tedaj sta dvojna odseka Hg 1 K in Hg 2 K bodisi enaka ali pa disjunktna, množica vseh dvojnih odsekov podgrup H in K v grupi G pa tvori particijo grupe G. Dokaz. Najprej se prepričajmo, da je poljuben g G zagotovo vsebovan v nekem dvojnem odseku podgrup H in K v grupi G. Izberimo kar dvojni odsek HgK. Ker velja H, K G, sledi e H, K, zato je element g = ege zagotovo vsebovan v HgK. Predpostavimo, da za g 1, g 2 G dvojna odseka Hg 1 K in Hg 2 K nista disjunktna. Potem za neke h 1, h 2 H ter k 1, k 2 K velja h 1 g 1 k 1 = h 2 g 2 k 2. Potemtakem dobimo g 1 = h 1 1 h 2 g 2 k 2 k1 1, ker sta H ter K prav tako grupi, pa je zato g 1 Hg 2 K. Sledi Hg 1 K H(Hg 2 K)K in nato Hg 1 K (HH)g 2 (KK), kar pomeni Hg 1 K Hg 2 K. Na podoben način se prepričamo, da je Hg 2 K Hg 1 K, posledično pa potem velja Hg 1 K = Hg 2 K. Torej, ko je presek dveh dvojnih odsekov Hg 1 K in Hg 2 K neprazen, je Hg 1 K = Hg 2 K. S tem smo hkrati tudi dokazali, da množica dvojnih odsekov podgrup H in K v grupi G res tvori particijo grupe G. V resnici imajo dvojni odseki še nekaj drugih lepih lastnosti, ki so značilne tudi za navadne odseke. Zainteresirani bralec si lahko nekaj več o njih prebere v viru [9]. 2.1.2 Delovanje grup S tako imenovanim delovanjem grup se bomo, z vidika algebraične teorije grafov, v tem magistrskem delu srečevali zelo pogosto, zato se zdi smiselno, da ga obravnavamo v svojem podrazdelku. Tukaj se osredotočamo zgolj na pomembnejše rezultate tega področja, zainteresirani bralec pa si lahko nekaj več prebere v virih [4,9,11]. Definicija. Naj bo G grupa in X neprazna množica. Tedaj preslikavo : G X X imenujemo (levo) delovanje grupe G na množici X, če zadošča pogojema: 6

1. (e, x) = x za x X. 2. (g 1 g 2, x) = (g 1, (g 2, x)) za x X in za g 1, g 2 G. V tem primeru množico X imenujemo G-množica. Dogovor. Zaradi večje preglednosti se dogovorimo, da bomo v nadaljevanju, kjer ne bo nevarnosti za zmedo, znak izpuščali in delovanje (g, x) pisali kot gx. Če delovanje grupe G na množici X opišemo bolj neformalno, si mislimo, da vsak element g G pri svojem delovanju na nek način premeša elemente množice X. V zvezi z delovanji velja omeniti še naslednje standardne pojme. Definicija. Naj grupa G deluje na neprazni množici X. Potem je delovanje: 1. tranzitivno, če za x 1, x 2 X obstaja g G, da je gx 1 = x 2. 2. zvesto, če za poljubna g 1, g 2 G obstaja x X, da velja g 1 x g 2 x. 3. semiregularno ali prosto, če za poljubna g 1, g 2 G in x X velja g 1 x g 2 x. 4. regularno, če je delovanje hkrati tranzitivno in semiregularno ali ekvivalentno, če za poljubna x 1, x 2 X obstaja natanko eden g G, da je gx 1 = x 2. 5. n-tranzitivno, kjer je n neko naravno število, če za poljubne paroma različne x 1,..., x n in y 1,..., y n obstaja g G, da je gx k = y k, za vsak 1 k n. Če je tak g vedno samo eden, potem gre za strogo n-tranzitivno delovanje. V pričujočem delu se bomo večinoma ukvarjali s tranzitivnimi delovanji, pomembno vlogo pa bo imelo tudi semiregularno delovanje. Definicija. Naj grupa G deluje na neprazni množici X in naj bo x poljuben element množice X. Tedaj množici G x = {g G : gx = x}, elementov iz G, ki pri delovanju x fiksirajo, pravimo stabilizator točke x v grupi G. Množico slik O G (x) = {gx : g G}, pa imenujemo orbita elementa x pri delovanju grupe G na množici X. Stabilizator elementa x lahko preprosto opišemo kot skupino elementov grupe G, za katere velja, da pri svojem delovanju na množici X, elementa x ne premikajo. Na drugi strani si lahko orbito elementa x predstavljamo kot skupino elementov v množici X, kamor se x lahko premakne pri delovanju grupe G na množici X. Opomba. Bralca spomnimo, da je pri delovanju grupe G na neprazni množici X za poljuben element x X njegov pripadajoči stabilizator G x kar podgrupa grupe G. 7

Lema 2.6 (O orbiti in stabilizatorju) Naj končna grupa G deluje na neprazni množici X. Potem za poljuben x X velja enakost 2.1.3 Bloki neprimitivnosti G = O G (x) G x. V diplomskem delu [11] smo se večinoma ukvarjali z obravnavo delovanja grup, pri čemer so nas zanimali predvsem tako imenovani bloki neprimitivnosti in njihove lastnosti. Gre za pomemben koncept v teoriji permutacijskih grup, ki ga bomo v nadaljevanju tega magistrskega dela, in sicer v 4. poglavju, obravnavali v povezavi z določeno metodo za iskanje hamiltonskih ciklov/poti v vozliščno tranzitivnih grafih. V ta namen bomo v tem podrazdelku povzeli večino teorije diplomskega dela [11], ki se nanaša na bloke neprimitivnosti in s tem pripravili ustrezne temelje za njihovo nadgradnjo na področje hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih. Dokaze navedenih trditev bomo izpustili, bralcu pa vseeno priporočamo, da si jih ogleda v [11]. Definicija. Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X. Tedaj neprazno množico X imenujemo blok za to delovanje, če za vsak g G velja g = ali (g ) =. V primeru, ko je 1 < < X, pravimo, da je blok netrivialen in tedaj mu rečemo blok neprimitivnosti za dano delovanje. Lahko bi torej rekli, da so bloki neprimitivnosti takšne podmnožice X, ki jih delovanje grupe G na množici X ne pretrga. Prvo vprašanje, ki si ga je tukaj smiselno zastaviti, se glasi: Ali je neprazen presek dveh blokov neprimitivnosti za dano delovanje tudi blok za to delovanje?. Kot odgovor na zastavljeno vprašanje sledi naslednja trditev. Trditev 2.7 Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X in naj bosta 1 ter 2 bloka neprimitivnosti za to delovanje z nepraznim presekom. Potem je tudi 1 2 blok delovanja G na množici X. V naslednji trditvi izvemo zanimive lastnosti glede orbit blokov neprimitivnosti. Trditev 2.8 Naj grupa G tranzitivno deluje na neprazni množici X, množica pa naj bo blok neprimitivnosti za to delovanje. Tedaj množica Σ = {g g G} tvori particijo množice X in vsak element Σ predstavlja blok neprimitivnosti delovanja grupe G. Bralcu se ne bo težko prepričati, da grupa G potem tranzitivno deluje tudi na množici Σ. Posledično lahko obravnavo začetnega delovanja grupe G na množici X skrčimo na delovanje grupe G na množici Σ, ki je manjše velikosti in zato tudi bolj obvladljivo. Definicija. Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X in naj bo blok neprimitivnosti tega delovanja. V tem primeru množica Σ = {g g G} tvori particijo množice X, ki ji rečemo sistem blokov neprimitivnosti, ki vsebuje blok. 8

Opomba. V literaturi obstaja več različnih poimenovanj sistema blokov neprimitivnosti. Pogosto mu pravimo tudi G-invariantna particija. Definicija. Naj grupa G deluje na množici X in naj bo X. Tedaj množico G ( ) = {g G g x = x ; za x } imenujemo točkovni stabilizator množice pri delovanju grupe G, množico G { } = {g G g = } pa stabilizator množice pri delovanju grupe G. Nazadnje definirana pojma sta pomembna pri raziskovanju blokov neprimitivnosti, saj si z njima pomagamo pri odkrivanju strukturnih lastnosti blokov. Oglejmo si še nekaj uporabnih trditev iz tega področja. Trditev 2.9 Naj grupa G deluje na množici X in naj bo X. Takrat sta G ( ) in G { } podgrupi grupe G, velja pa tudi, da je G ( ) G { }. Trditev 2.10 Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X in naj bo blok neprimitivnosti tega delovanja. Tedaj grupa G { } na množici deluje tranzitivno. Zadnja trditev je za nas precej pomembna, saj njena posledica pri raziskovanju hamiltonskosti vozliščno tranzitivnih grafov odkriva zanimive strukturne lastnosti podgrafov, ki so inducirani na posamezen blok neprimitivnosti. Trditev 2.11 Naj grupa G tranzitivno deluje na končni množici X in naj bo blok neprimitivnosti tega delovanja. Takrat za vsak g G velja g =, hkrati pa deli X in G. Iz tega razberemo, da so vsi elementi particije (t.j. bloki neprimitivnosti), ki jo tvori sistem blokov neprimitivnosti, enake velikosti. Drugi del zadnje trditve je uporaben predvsem takrat, ko razmišljamo o kardinalnosti blokov neprimitivnosti, včasih pa lahko celo sklepamo o njihovem obstoju. Na primer, ko je X = p, kjer je p poljubno praštevilo, takoj vemo, da ne obstaja noben sistem blokov neprimitivnosti. Za konec tega podrazdelka si oglejmo še naslednji rezultat, ki bo za nas zelo pomemben, zato bomo navedli tudi njegov dokaz. Trditev 2.12 Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X in naj bo H G njena edinka. Tedaj so orbite edinke H bloki za delovanje G na množici X. Dokaz. Naj bo x nek poljuben element množice X in naj bo g nek element grupe G. Tedaj H x = {h x : h H} predstavlja orbito delovanja grupe H na množici X, ki vsebuje x. Sprašujemo se, ali je pri delovanju nekega poljubnega elementa iz grupe G na orbito H x rezultat spet neka orbita grupe H. To je res, saj velja: g (H x) = (gh) x = (Hg) x = = H (g x). 9

2.1.4 Primitivnost Tudi v zadnjem podrazdelku s področja teorije grup izhajamo iz diplomskega dela [11]. Tukaj se posvetimo tako imenovani primitivnosti delovanja grup. Oglejmo si definicijo in nekaj rezultatov na to temo. Definicija. Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X. Če ima to delovanje le trivialne bloke, potem rečemo, da grupa G na množici X deluje primitivno. Tranzitivno delovanje grupe G na množici X, ki ni primitivno, imenujemo neprimitivno delovanje. Res se lahko zgodi, da dano delovanje ne premore nobenega bloka neprimitivnosti. Na primer, grupi S n in A n, kjer je n > 2, na množici X = {1,..., n} delujeta primitivno, saj lahko vsak par elementov iz X preslikamo v vsak drug par elementov iz X. Za konec tega razdelka spoznajmo še naslednji rezultat na temo obstoja blokov neprimitivnosti in njegovo posledico, ki sta pri raziskovanju zelo uporabna. Trditev 2.13 Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X in naj bo x X. Množica Σ naj predstavlja množico vseh blokov za G, ki vsebujejo element x, množica Π pa naj vsebuje vse podgrupe H G, pri čemer velja G x H. Tedaj obstaja bijektivna preslikava Ψ : Σ Π, podana s predpisom Ψ( ) = G { }, katere inverzna preslikava je podana s predpisom Θ(H) = H x = {h x : h H}. Preslikava Ψ ohranja urejenost v smislu, da za poljubna 1, 2 Σ velja 1 2 Ψ( 1 ) Ψ( 2 ). Posledica 2.14 Naj grupa G tranzitivno deluje na množici X, ki vsebuje vsaj dva elementa. Potem je to delovanje primitivno natanko tedaj, ko je za vsak x X točkovni stabilizator G x maksimalna podgrupa grupe G. 2.2 Teorija grafov V tem delu teoretičnih izhodišč bomo predstavili temeljna znanja s področja teorije grafov, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. Tudi tukaj bomo predpostavili, da bralec že pozna povsem osnovne pojme kot so na primer graf, vozlišče, povezava, stopnja vozlišča, red grafa, regularnost grafa ipd. Vsebina tega razdelka z vsemi svojimi podrazdelki je povzeta po virih [6,19]. Dogovor. Ker v splošnem poznamo različne vrste grafov (usmerjeni, neusmerjeni, multigrafi, ipd.), na tem mestu sklenimo dogovor, da bo beseda graf v nadaljevanju, če ne bo drugače definirano, vedno označevala enostaven neusmerjen graf. 2.2.1 Prehodnost v grafih Pri raziskovanju grafov se pogosto ukvarjamo s tako imenovano prehodnostjo v grafih. Ta pojem zajema poti, obhode, razdalje med vozlišči in podobno. Ravno s tem področjem pa se direktno povezuje tudi osrednja tema tega magistrskega dela, to je hamiltonskost vozliščno tranzitivnih grafov. 10

Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Tedaj zaporedju vozlišč (u 0,..., u n ) grafa Γ pravimo sprehod (od u 0 do u n ) v Γ, če za vsak 0 i < n velja u i u i+1, ali drugače, če sta poljubni dve zaporedni vozlišči tega zaporedja sosednji v grafu Γ. Takrat v tem sprehodu vozlišče u 0 predstavlja začetno, u n pa končno vozlišče. Pravimo, da je tedaj dolžina tega sprehoda enaka n. Če so vse pripadajoče povezave sprehoda paroma različne, govorimo o enostavnem sprehodu. V primeru, ko so hkrati tudi vozlišča paroma različna, takšnemu sprehodu rečemo pot. Označimo jo s P u,v, kjer sta u in v njeni krajišči (torej začetno in končno vozlišče te poti). Množico Γ(u) = {v V (Γ) : u v E(Γ)} imenujemo soseščina vozlišča u v grafu Γ. Pot P u,v je v grafu Γ maksimalna, če velja Γ(u), Γ(v) V (P u,v ), oziroma, ko je v grafu Γ ni mogoče podaljšati. Pot, ki vsebuje vsa vozlišča grafa Γ, imenujemo hamiltonska pot grafa Γ. Če velja, da sta začetno in končno vozlišče sprehoda enaki, potem takšen sprehod imenujemo obhod. Če pa gre za obhod, v katerem sta samo začetno in končno vozlišče enaki, ostala vozlišča tega obhoda pa so paroma različna, potem govorimo o ciklu. V primeru, ko graf Γ vsebuje kakšen cikel, potem dolžini najkrajšega cikla v grafu Γ pravimo ožina (ali notranji obseg) v Γ. Ciklu z dolžino n pravimo n-cikel. Če cikel vsebuje vsa vozlišča grafa Γ, potem mu rečemo hamiltonski cikel tega grafa. Slika 2.1: Hamiltonski cikel in hamiltonska pot. Opomba. Bralca na tem mestu opozorimo, da maksimalna pot ni nujno najdaljša pot v grafu. Drži pa seveda obratna implikacija, in sicer, da je najdaljša pot v grafu hkrati tudi maksimalna, saj bi jo v nasprotnem primeru lahko podaljšali. Omenimo tudi, da je lahko v splošnem med vozlišči u in v več poti, torej oznaka P u,v označuje le eno izmed njih. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Tedaj je Γ povezan, če za vsak par različnih vozlišč u, v V (Γ) v grafu Γ obstaja pot P u,v, ki ju povezuje. Nas bodo v pričujočem delu zanimali zgolj povezani grafi, saj v primeru, ko graf ni povezan, v njem zagotovo ne obstaja hamiltonska pot ali hamiltonski cikel. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in naj bosta u, v V (Γ) poljubni vozlišči, med katerima obstaja kakšna pot. Tedaj je razdalja med vozliščema u in v dolžina najkrajše poti med u in v. Označimo jo z d Γ (u, v) ali kar z d(u, v), če je jasno za kateri graf gre. Največji razdalji med kakšnima vozliščema v grafu Γ pravimo premer (ali diameter) grafa Γ, označimo pa ga z diam(γ). 11

Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf in u V (Γ) poljubno vozlišče. Komponenta povezanosti grafa Γ, ki vsebuje vozlišče u, je tedaj množica vseh tistih vozlišč v V (Γ), za katere velja, da v grafu Γ obstaja vsaj ena pot med u in v. Opomba. Graf Γ je torej povezan natanko tedaj, ko ima eno komponento povezanosti, saj le v tem primeru med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot, ki ju povezuje. 2.2.2 Podgrafi in kvocientni grafi V tem krajšem podrazdelku uvedimo nekaj osnovnih definicij v zvezi s podgrafi. Včasih si pri raziskovanju hamiltonskosti lahko pomagamo z obstojem ustreznih podgrafov, zato je vendarle smiselno, da jih posebej uvedemo. Definicija. Naj bosta Γ 1 = (V 1, E 1 ) in Γ 2 = (V 2, E 2 ) poljubna grafa. Takrat je Γ 2 podgraf grafa Γ 1, če velja V 2 V 1 in E 2 E 1. V primeru, ko dodatno velja še V 2 = V 1, je Γ 2 vpet podgraf grafa Γ 1. Če pa je E 2 = {uv E 1 : u, v V 2 }, tedaj graf Γ 2 predstavlja podgraf grafa Γ 1, ki je induciran na V 2. Definicija. Naj bosta Γ = (V, E) graf in Ω particija njegove množice vozlišč. Tedaj je kvocientni graf Γ Ω grafa Γ glede na množico Ω graf z množico vozlišč Ω, v katerem sta vozlišči P 1 in P 2 (t.j. elementa particije Ω) povezani natanko tedaj, ko obstajata u P 1 in v P 2, da velja u Γ v. Opomba. Vozlišča novonastalega kvocientnega grafa Γ Ω torej predstavljajo elementi particije Ω, povezave v grafu Γ Ω pa so naravno porojene s povezavami iz Γ. 2.2.3 Osnovne družine grafov Na tem mestu predstavimo še nekaj osnovnih družin grafov, ki so pri raziskovanju teorije grafov precej nepogrešljive. Nekatere izmed njih, kot so na primer pot, cikel in podobno, smo na nek način že omenili in jih zato tukaj ne bomo navajali. Definicija. Naj bo n > 0 poljubno naravno število. Tedaj je polni graf reda n, ki ga označimo s K n, graf z množico vozlišč V (K n ) = {u 0,..., u n 1 }, kjer so vsa vozlišča med seboj sosednja. Graf z enako množico vozlišč, ki ne premore nobene povezave pa imenujemo prazni graf na n vozliščih. Definicija. Naj bodo 1 n 1... n k poljubna naravna števila. Tedaj graf reda n 1 +... + n k, v katerem je n 1 vozlišč tipa 1, n 2 vozlišč tipa tipa 2, itd., vse do n k vozlišč tipa k, pri čemer za poljubno povezavo velja, da sta njeni vozlišči različnih tipov, imenujemo k-delni graf. V primeru, ko za vsak par vozlišč velja, da sta le-ti povezani natanko tedaj, ko nista istega tipa, pravimo, da gre za polni večdelni graf K n1,...,n k. Namesto 2-delni včasih rečemo kar dvodelni. Definicija. Naj bo Γ poljuben graf brez ciklov. Tedaj pravimo, da je Γ gozd. Če hkrati velja, da je graf Γ povezan, potem mu pravimo drevo. 12

Definicija. Graf Γ je ravninski (ali planarni), če lahko njegova vozlišča predstavimo v evklidski ravnini R 2 kot različne točke, vsako povezavo tega grafa pa kot krivuljo v tej ravnini, pri čemer ta krivulja povezuje točki, ki ustrezata krajiščema pripadajoče povezave, hkrati pa mora veljati, da se različne krivulje lahko sekajo le v skupnih krajiščnih točkah. Takšni predstavitvi grafa rečemo ravninska predstavitev grafa Γ. Navedene družine pogosto srečamo v obliki podgrafov kakšnega grafa. Nekatere izmed njih imajo v tem kontekstu celo svoja imena, recimo klike. Gre v bistvu za inducirani podgraf, ki sam za sebe predstavlja polni graf. Pri iskanju hamiltonskih poti/ciklov nam klike v grafu lahko precej pomagajo. Bralec se bo v to dejstvo lahko posredno prepričal v 4. poglavju. Zelo znane so tudi tako imenovane neodvisne množice. Tukaj gre za inducirane podgrafe, ki so sami zase prazni grafi. Obstaja sicer še vrsta zanimivih družin grafov, ki so vsekakor vredne omembe, vendar jih mi v pričujočem delu ne bomo potrebovali. Radovednega bralca vabimo, da si jih ogleda v virih [6,19]. 2.2.4 Operacije z grafi V tem podrazdelku si bomo ogledali nekaj standardnih operacij z grafi, ki se uporabljajo pri njihovem raziskovanju. Odstranjevanje vozlišč Naj bo Γ = (V, E) poljuben graf in u V (Γ) njegovo vozlišče. Tedaj z Γ u označimo graf, ki ga dobimo tako, da iz množice V (Γ) odstranimo vozlišče u, hkrati pa odstranimo še vse povezave iz množice E(Γ), ki so v grafu Γ incidenčne z vozliščem u. Gre torej za podgraf, induciran na V (Γ) \ {u}. Odstranjevanje povezav Naj bo Γ = (V, E) poljuben graf in e E(Γ) njegova povezava. Z Γ e označimo graf, ki ga dobimo tako, da iz množice E(Γ) odstranimo povezavo e. Graf povezav Naj bo Γ = (V, E) graf, ki vsebuje vsaj eno povezavo. Tedaj grafu Γ lahko priredimo tako imenovani graf povezav na naslednji način. Množica povezav E(Γ) naj v novem grafu L(Γ) predstavlja množico vozlišč, to je V (L(Γ)) = E(Γ), dve vozlišči tega grafa L(Γ) pa sta povezani natanko tedaj, ko imata njuni pripadajoči povezavi v grafu Γ skupno vozlišče. Komplement grafa Naj bo Γ = (V, E) poljuben graf. Tedaj je njegov komplement, ki ga označimo z Γ C, graf z množico vozlišč V (Γ), pri čemer sta dve različni vozlišči u, v V (Γ C ) sosednji natanko tedaj, ko v grafu Γ ti dve vozlišči nista sosednji, to je uv E(Γ C ) uv / E(Γ). 13

Zamenjava vozlišč s trikotniki Operacija z grafi, imenovana zamenjava vozlišč s trikotniki, bo za nas precej pomembna, saj na primer pri hamiltonskosti omogoči zanimive rezultate. Pomembno dejstvo pa je, da to operacijo uporabljamo zgolj pri kubičnih grafih (regularni grafi stopnje 3) kar pomeni, da je njena uporaba precej omejena. Naj bo Γ = (V, E) poljuben kubičen graf. Tedaj skonstruiramo nov graf Γ 1 tako, da vsako vozlišče u V (Γ) nadomestimo s trikotnikom na ta način, da vsako vozlišče pripadajočega trikotnika predstavlja krajišče natanko ene izmed povezav, ki so bile v Γ incidenčne z vozliščem u. 2.2.5 Izomorfnost in simetrije grafov Ko se ukvarjamo z raziskovanjem grafov, nas včasih zanima ali sta dva grafa po strukturi enaka. S primerjavo struktur grafov seveda nimamo v mislih oznak vozlišč, povezav, lokov, in podobno, ampak nas v glavnem zanima, na kakšen način so vozlišča grafa med seboj povezana. Definicija. Grafa Γ 1 in Γ 2 sta izomorfna, če obstaja bijektivna preslikava ϕ : V (Γ 1 ) V (Γ 2 ), za katero velja uv E(Γ 1 ) ϕ(u)ϕ(v) E(Γ 2 ). Izomorfnost grafov Γ 1 in Γ 2 označimo z Γ 1 = Γ2, preslikavi ϕ pa v tem primeru pravimo izomorfizem grafov Γ 1 in Γ 2. Velja omeniti, da problem izomorfnosti dveh grafov v splošnem ni enostaven. Trenutno še vedno ni jasno niti to, ali gre za tako imenovani NP-poln problem ali ne. Tudi simetrija je precej znan pojem na področju teorije grafov. Na splošno si simetrijo objekta predstavljamo kot neke vrste transformacijo, ki danega objekta ne spremeni. V domeni grafov bi jo lahko opisali kot permutacijo množice vozlišč grafa, ki ohranja sosednost. Tukaj ji drugače pravimo tudi avtomorfizem grafa, kar je nekoliko bolj uveljavljen naziv. Za nas bo v nadaljevanju avtomorfizem grafa zelo pomemben pojem, zato je smiselno, da ga bralcu še formalno predstavimo. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) poljuben graf. Vsako bijektivno preslikavo ϕ : V V, ki ohranja sosednost vozlišč, imenujemo avtomorfizem grafa Γ. Pri tem mora za vsak par vozlišč u, v V veljati naslednje: u v ϕ(u) ϕ(v). Bralcu se ne bo težko prepričati, da množica vseh avtomorfizmov grafa Γ (oznaka Aut(Γ)) za operacijo kompozitum tvori grupo. Raziskovanje vprašanj, kako grupa avtomorfizmov grafa deluje na množici vozlišč, povezav, lokov, in podobno, pa predstavlja enega izmed vidikov algebraičnega pristopa k raziskovanju grafov, ki ga bomo v sklopu tega magistrskega dela uporabili tudi mi. 14

2.3 Rezultati na temo Lovászevega vprašanja V uvodu smo del pozornosti že namenili okvirni predstavitvi problema hamiltonskosti v vozliščno tranzitivnih grafih, vseeno pa želimo tukaj izpostavili še nekaj znanih rezultatov na tem področju. Na ta način želimo bralcu omogočiti boljši vpogled v obravnavano temo. Lovászev problem je glede na število znanstvenih objav na to temo pritegnil številne raziskovalce, ampak kljub tej njihovi angažiranosti zaenkrat še vedno ne poznamo odgovora na zastavljeno vprašanje, ki se glasi: Ali vsak končen povezan vozliščno tranzitiven graf vsebuje hamiltonsko pot?. Namreč, še vedno ni nikomur uspelo najti povezanega vozliščno tranzitivnega grafa, ki bi bil brez hamiltonske poti. V resnici poznamo le nekaj povezanih vozliščno tranzitivnih grafov, ki ne premorejo hamiltonskega cikla (vsebujejo pa hamiltonsko pot) in sicer: pot P 2, Petersenov graf, Coxeterjev graf in grafa, ki ju pridobimo iz njiju tako, da vsako vozlišče grafa nadomestimo s trikotnikom [12]. Vsi ti grafi (razen trivialnega primera P 2 ) so kubični in niso Caylejevi grafi, kar pomeni, da njihova grupa avtomorfizmov ne vsebuje regularne podgrupe. Dejstvo, da omenjeni grafi niso Caylejevi, je pripeljalo do domneve, ki pravi, da vsak povezan Caylejev graf (z izjemo P 2 ) premore hamiltonski cikel [12]. Ta domneva je pritegnila veliko zanimanja matematične skupnosti, prav tako pa je porodila nasprotujoča si mnenja znanih matematikov glede njene resničnosti. Thomassen tako domneva, da obstaja le končno število povezanih vozliščno tranzitivnih grafov, ki ne premorejo hamiltonskega cikla, medtem ko na drugi strani Babai domneva, da je tovrstnih grafov neskončno mnogo. Bolj natančno, obstajal naj bi ɛ > 0, tako da obstaja neskončno povezanih vozliščno tranzitivnih grafov z najdaljšim ciklom dolžine največ (1 ɛ) V (Γ) [12]. Danes je znano, da povezani vozliščno tranzitivni grafi redov kp, kjer je k 4 (razen Petersenovega in Coxeterjevega grafa), p j, kjer je j 4, in 2p 2 (p poljubno praštevilo), premorejo hamiltonski cikel [12]. Poleg tega vemo, da tovrstni grafi reda pq, kjer sta p in q praštevili in njihova grupa avtomorfizmov vsebuje neprimitivno podgrupo grupe avtomorfizmov, tudi premorejo hamiltonski cikel, za povezane vozliščno tranzitivne grafe reda 5p in 6p pa vemo, da premorejo vsaj hamiltonsko pot [12,13]. Najbolj splošen rezultat pri iskanju dolgih ciklov v vozliščno tranzitivnih grafih je prispeval Babai, ki je uspešno dokazal, da vsak končen povezan vozliščno tranzitiven graf na n vozliščih zagotovo premore cikel dolžine vsaj 3n [2]. Prav temu rezultatu bomo tudi mi v 6. poglavju posvetili precej pozornosti. 15

Poglavje 3 Vozliščno tranzitivni grafi Verjetno bi se večina ljudi strinjala, da pojem lepote v splošnem povezujemo s simetrijo, enakostjo, urejenostjo, redom in skladnostjo strukture opazovanega objekta z določenimi pravili. Zato se ne zdi nič čudno, da je imela simetrija skozi zgodovino človeštva pomembno vlogo (na primer v slikarstvu, gradbeništvu, kiparstvu, itd.). Tudi v matematiki je simetrija zanimiv in predvsem uporaben pojem, saj nam pogosto lahko olajša raziskovanje. Ko se na primer ukvarjamo z lastnostmi nekega grafa in nas pri tem na primer zanima kakšna je dolžina najdaljše poti v njem (lahko bi si izbrali tudi kakšno drugo lastnost), bomo v veliko primerih morali najprej poiskati vse dolge poti v obravnavanem grafu in na podlagi tega podati sklep o dolžini njegove najdaljše poti, kar je v večini primerov zelo nepraktično in zamudno. V primeru, da graf premore dovolj simetrij oziroma avtomorfizmov, lahko problem rešimo precej bolj enostavno. Iščemo lahko le določen nabor poti (recimo vse dolge poti z izbranim začetnim vozliščem). Velja tudi omeniti, da so grafi z visoko stopnjo simetrije zanimivi tudi zato, ker se nemalokrat zgodi, da se takšni grafi pojavijo kot rešitve raznih optimizacijskih problemov [19]. Skratka, na področju teorije grafov pojem simetrije ni zanimiv le iz estetskega vidika, ampak dejansko implicira tudi določene uporabne rezultate. Kljub temu velja omeniti, da je grafov, ki premorejo vsaj en netrivialen avtomorfizem, v primerjavi s tistimi, ki so popolnoma nesimetrični, zelo malo [19]. Mi se bomo na tem mestu, kot nakazuje že sam naslov poglavja, posvetili tako imenovanim vozliščno tranzitivnim grafom, ki so dovolj simetrični, da ima grupa avtomorfizmov pri svojem delovanju na množici vozlišč grafa le eno orbito. Gre za precej študirano družino grafov. Tovrstni grafi bodo predstavljali tudi osrednjo družino grafov tega magistrskega dela. Večina tega poglavja je povzeta po viru [19], razen na mestih, kjer je posebej drugače navedemo. Definicija. Naj bo Γ = (V, E) graf. Potem rečemo, da je graf Γ vozliščno tranzitiven, če za poljubni vozlišči u, v V (Γ) obstaja avtomorfizem ϕ Aut(Γ), da je ϕ(u) = v. Precej očitna opazka, ki pa vodi k boljšemu razumevanju vozliščno tranzitivnih grafov, je ta, da struktura tovrstnih grafov iz vsakega vozlišča izgleda enako. 16

To na primer pomeni, da se vsa vozlišča grafa nujno ujemajo po stopnji, številu ciklov, poti in podgrafov, na katerih je izbrano vozlišče vsebovano, razdaljni particiji glede na izbrano vozlišče, itd. Skratka, vozlišča tega grafa se morajo nujno ujemati glede na katerokoli grafovsko lastnost, ki nam pride na misel. Slika 3.1: Coxeterjev graf. Na sliki 3.1 lahko vidimo enega izmed najbolj znanih primerov vozliščno tranzitivnih grafov, ki je dobil ime po kanadskem matematiku z imenom Harold Scott MacDonald Coxeter. Gre za graf z 28 vozlišči in 42 povezavami, ki ima vrsto lepih lastnosti. Za nas je zanimiva predvsem ta, da ni hamiltonski (torej ne vsebuje hamiltonskega cikla), premore pa hamiltonsko pot, kot smo že predhodno izvedeli. Velja omeniti, da je ta graf hipohamiltonski, kar pomeni, da z odstranitvijo kateregakoli vozlišča postane hamiltonski. Nekateri grafi predstavljajo strukture znanih objektov iz narave, ki smo jih ljudje vajeni. Vzemimo na primer kocko. Če oglišča kocke predstavimo z vozlišči, njene robove pa s povezavami, dobimo graf. Za tak graf intuitivno takoj ugotovimo, da je vozliščno tranzitiven, saj predstavlja ogrodje nekega znanega konkretnega objekta, katerega simetrije opazimo brez težav. Bralec bi se verjetno strinjal, da enako velja tudi za osnovne družine grafov, kot so C n, K n, K n,n, itd. V splošnem pa grafi ponazarjajo zgolj neke abstraktne objekte, kjer simetrijo s prostim očesom težko zaznamo. Kot primer si oglejmo Coxeterjev graf (slika 3.1), ki je, kot smo že izvedeli, vozliščno tranzitiven, čeprav to dejstvo iz zgornje upodobitve (slika 3.1) ni tako opazno. Zato je na tem mestu vendarle smiselno, da za začetek pokažemo, kako v splošnem preverimo, če nek graf je/ni vozliščno tranzitiven. Zgled. Na bosta Γ 1 in Γ 2 grafa kot ju prikazujeta naslednji dve sliki (3.2, 3.3). Za vsakega izmed njiju preverimo ali je vozliščno tranzitiven. 17