SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l? F (y) P( Y y) P( l y) P F ( ) Y p ( y) F ( y) F p Y Y x a Posebej, če je porazdeljena po N( a, ), je p ( x) p a y a l Y ( y) je porazdeljen standardizirano normalno. Kao je porazdeljen Y=? F (y) P Y y P y P y y y y Y l je normalno porazdeljena po N( a l, ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( py y y y ( y) e y ) y y y y porazdelitev, hi-vadrat MATEMATIKA
disretna, vrednosti x, gostota p(x ) zvezna, gostota p(x) E() x p( x ) povprečna vrednost spremenljive E x p x dx Na ruleti so števile od do 6 ter še in. Kdor vloži EUR na sode, dobi ali zgubi EUR glede na to ali roglica pade na sodo oziroma liho število. Dobiče : + z verjetnostjo 8/8 - z verjetnostjo /8. Povprečni dobiče: E() 8 8 8 9 Kdor vloži EUR na izbrano število (npr. 5) dobi 6 EUR, če roglica pade na 5, v nasprotnem pa zgubi EUR. Povprečni dobiče: E() 7 6 8 8 8 Življenjsa doba žarnice je porazdeljena esponentno. Kolišna je, v povprečju, njena življenjsa doba? p(x) x -.x. e -.x E(). x e dx. -.x -.x - x e e dx.. - e. -.x. ur x MATEMATIKA
V nei tovarni je približno en izdele od desetih povarjen. Vsa dan izdele pregledujejo enega po enega doler ne najdejo povarjenega. Kolio izdelov morajo v povprečju pregledati? je geometrično porazdeljena s p=.: E() p ( - p) - tri: - x x -x -x - ( - p) - ( - p) p p Povprečno morajo dnevno pregledati po izdelov. Igralec na ruleti igra po naslednjem sistemu. Vsaič igra igro z verjetnostjo.5 (npr. stavi na rdeče, izidov in ne štejemo). Najprej vloži EUR; če izgubi, podvoji vlože in to ponavlja, doler ne zmaga; ob vsai zmagi je na dobiču EUR (zaporedja vložov so -, --4, --4-8, --4-8-6 itn.). Po zmagi spet začne z EUR... Ali je to zanesljiva pot do zasluža? Naj bo oličina denarja vložena pri zadnji igri (tisti, v ateri igralec zmaga). Zaloga vrednosti je {,,4,8,...}, tj. { ; =,,,,...}; porazdelitev je P(= )= -(+). E() Povprečna vrednost slučajne spremenljive ni definirana! Sistem zahteva nesončno zalogo denarja (in možnost za neomejene stave). MATEMATIKA
V vodiču smo prebrali, da je junija povprečna masimalna dnevna temperatura v Rimu 77 o F. Kolišno je povprečje v o C? 5 5 T (T ) ( 77 ) 5 Domneva: povprečje je 5 o C. o C F 9 9 Stroj izdeluje svinčene roglice, aterih premer je v povprečju cm. Kolišna je povprečna masa teh roglic ( =. g/cm )? Težava: iz E() ne moremo izračunati E( ). Y=f(); E(Y)=? E( Y ) y P( Y y ) y P x f ( x ) P x f ( x ) P x i i i i i f x y i f x y i i E f f x p x E f f x p x dx oziroma MATEMATIKA 4
E(a b) (ax b) p (x) dx a x p (x) dx b p (x) dx ae() b E a b ae b (zato smemo preračunati povprečje iz o F v o C) Hitrost moleule plina je slučajna spremenljiva in je porazdeljena po Maxwellovem porazdelitvenem zaonu z gostoto p (x) x e D π x - D (x, D je odvisen od temperature) Kolišna je povprečna inetična energija moleule? m m x D E x x e dx D x D u, dx du D u m D md u u 4D u e du u e du D u 4 md MATEMATIKA 5
RAZPRŠENOST RAZPRŠENOST Razpršenost je povprečje odlonov spremenljive od njene povprečne vrednosti: D() E E razpršenost (varianca, disperzija) m=e() D() (x m) p(x ) D() (x m) p(x) dx D() (x - m) p(x) dx (x - mx m ) p(x) dx x p(x) dx - m x p(x) dx m p(x) dx E( ) - m m E( ) - m pratična formula: D() E( ) E( ) MATEMATIKA 6
RAZPRŠENOST Kao je razpršeno število pi pri metu oce? E( ) 4 5 6.5 6 6 6 6 6 6 6 9 E( ) 4 9 6 5 6 6 6 6 6 6 6 6 D ( ) 9 5 6 6. 9 σ() D() standardni odlon slučajne spremenljive Standardni odlon pri metu oce je.9.7 D a b E a b E a b E a ab b ae b a E E D a b a D σ a b a σ MATEMATIKA 7