UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik L

Transkripcija

1 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO Peter Smerkol SEMINARSKA NALOGA Brownovo Gibanje MENTOR: dr. Tomaž Podobnik Ljubljana, Marec 2007 Povzetek Najpreprostejši model Brownovega gibanja je Wienerjev proces. Rešitve modela ustrezajo difuzijski enačbi, vendar so njegove predpostavke iz fizikalnega stališča sporne, saj zanemarjajo vztrajnost (oz. maso) gibajočih se delcev. Fizikalno korektnejši model izhaja iz Langévinove enačbe in ustreza Ornstein-Uhlenbeckovemu procesu za hitrost delcev pri Brownovem gibanju. Rešitev Langévinove enačbe - krajevna verjetnostna porazdelitev za delec v odvisnosti od časa - reši difuzijsko enačbo za čase, ki so mnogo daljši od karakterističnega časa procesa. Do rešitev obeh modelov najenostavneje pridemo z sekvenčnim pristopom.

2 Kazalo Uvod 2 Pojmi iz teorije verjetnosti 3 Wienerjev proces 2 4 Ornstein-Uhlenbeckov proces 5 5 Zaključek 0 A Izračuni A. Izračun f(x x 0 I 0 ) za Wienerjev proces A.2 Izračun f(x v 0 x 0 V t I 0 ) za Ornstein-Uhlenbeckov proces A.3 Izračun f(v v 0 x 0 V t I 0 ) za Ornstein-Uhlenbeckov proces

3 Uvod Brownovo gibanje je dobilo ime po botaniku Robertu Brownu, ki je leta 827 opazoval gibanje zrnc cvetnega prahu v vodi. Opazil je, da se zrnca neurejeno gibljejo v vseh smereh. Sam pojava ni znal pojasniti, sta pa ga pojasnila Smoluchowski leta 904 in Einstein leta 905, v okviru statistične mehanike (oz. natančneje, kinetične teorije plinov). Kvalitativno pojav razložimo na naslednji način: v delce cvetnega prahu vsak trenutek udarja veliko število molekul vode iz vseh smeri, rezultanta sile zaradi teh trkov pa kaže vsak trenutek v neko drugo, naključno smer. Kvantitativno pa sta Einstein in Smoluchowski napovedala zvezo med difuzijsko konstanto (D) in mobilnostjo delcev (µ) z posebno enačbo: D = µkt () Pot do zveze () vodi preko statističnega opisa in sklicevanja na verjetnostno gostoto, ki je rešitev difuzijske enačbe. Statistični opis temelji na predpostavki, da je snov (voda, v kateri plavajo zrnca) sestavljena iz atomov oz. molekul. Zveza () torej govori v prid atomistične hipoteze, ki v tistem času še ni bila splošno sprejeta. Ko pa je leta 927 Jean Perrin to zvezo potrdil še z eksperimentom, je padel še zadnji dvom o atomski naravi snovi. V nadaljevanju bomo videli, da vse predpostavke Einsteina in Smoluchowskega niso fizikalno korektne, saj vključujejo zahtevo po zanemarljivi masi (vztrajnosti) delcev pri Brownovemu gibanju. Slednje v primeru Brownovega gibanja zagotovo ne drži. Korektnejši model, ki vključuje maso gibajočih se delcev, temelji na Langévinovi enačbi. V okviru takega modela je zveza () limitna rešitev za čase, mnogo večje od karakterističnega časa procesa. V seminarju si bomo natančno ogledali predpostavke dveh modelov za opis Brownovega gibanja: Wienerjevega procesa, ki vključuje predpostavko o zanemarljivi masi gibajočih se delcev, in model na osnovi Langévinove enačbe. Rešitve modelov bomo poiskali v okviru sekvenčnega pristopa z uporabo osnovnih pravil verjetnostnega računa. S takim računom se izognemo teoriji t.i stohastičnih integralov. 2 Pojmi iz teorije verjetnosti Pri izpeljavi rešitev modelov za opis Brownovega gibanja se bom pogosto skliceval na nekatere pojme in pravila verjetnostnega računa, zato jih bom tukaj na kratko naštel. Simbol P (x x 0 I), ki ga uporabljam, preberemo kot pogojno verjetnost, da ima slučajna spremenljivka x vrednost x, če vemo, da je prej imela vrednost x 0 in da imamo za znanje o verjetnosti izbran model I. Namesto verjetnosti lahko podamo tudi gostoto verjetnosti f, ki je definirana z: p(x x 0 I) f(x x 0 I)dx P (x (x, x + dx) x 0 I). (2) V seminarju bom uporabljal dve pravili. Vzamemo verjetnost za to da je x pri x in x 2, s tem da vemo da je prej bil pri x 0 in da je model za znanje o verjetnosti I. Potem velja: PRODUKTNO PRAVILO: P (x 2 x x 0 I) = P (x 2 x 0 I)P (x x 2 x 0 I) = P (x x 0 I)P (x 2 x x 0 I) (3)

4 MARGINALIZACIJA: P (x 2 x 0 I) = P (x 2 x x 0 I)dx, P (x x 0 I) = P (x 2 x x 0 I)dx 2 (4) Enaka pravila veljajo tudi za verjetnostne gostote. Stanje znanja I, od katerega je odvisna verjetnostna porazdelitev f(x I), se da dostikrat zapisati kot I = θi 0, kjer je I 0 družina vzorčnih verjetnostnih porazdelitev, parameter θ pa enolično določa posamezno vzorčno verjetnostno porazdelitev znotraj družine. Najpomembnejša družina vzorčnih verjetnostnih porazdelitev je Gaussova oz. normalna porazdelitev, določena z dvema parametroma µ in σ. Enolično določena vzorčna verjetnostna gostota, določena s tema parametroma, se zapiše kot: 3 Wienerjev proces f(x µσi 0 ) = exp [ (x µ)2 ] 2πσ 2σ 2 Z x bomo sedaj označevali spremenljivko, ki nam pove oddaljenost delca od neke (začetne) točke. Označimo še: x 0 x(t = t 0 = 0) in x x(t = t = t), itd. Za razumevanje Wienerjevega procesa je potrebno razložiti nekaj pojmov, ki se tičejo stohastičnih procesov: (5) a) Def: x je stohastična spremenljivka, kar pomeni, da lahko za vrednost x ob času t povemo le verjetnost P (x x 0 I) = f(x x 0 I)dx, da bo x na intervalu (x, x + dx). Proces, ki ga stohastične spremenljivke opisujejo, pa je stohastični proces. Nasprotje stohastičnega procesa je deterministični proces, kjer lahko iz znane vrednosti x 0 natančno napovemo vrednost x. S pomocjo produktnega pravila (3) to zlahka posplošimo in zapišemo verjetnost, da bo ob času t x na intervalu (x, x + dx) in ob času 2 t na intervalu (x 2, x 2 + dx), i.t.d., tako da v splošnem (za k korakov po t) dobimo za verjetnostno gostoto: f(x x 2...x k x 0 Ĩ) = f(x x 0 I )f(x 2 x x 0 I 2 )...f(x k x k x k 2...x 0 I k ) (6) b) Def: Stohastični proces je Markovski, če je vrednost x j odvisna le od vrednosti x j, ne pa tudi od predhodnih vrednosti x j 2,..., x 0. To pomeni, da se za Markovski proces verjetnostna gostota lahko zapiše: f(x j x j...x 0 I j ) = f(x j x j I j ) (7) c) Def: Stohastični proces je stacionaren, če je I = I 2 =... = I k = I, (8) torej, če se oblika modela ohranja v vseh korakih. d) Def: Stohastični proces je Gaussov, če je I = µv t I 0 in I 0 označuje Gaussovo (normalno) družino verjetnostnih porazdelitev, tako da je verjetnostna gostota: f(x j x j µv t I 0 ) = exp [ (x j x j µ) 2 ] 2πV t 2V t (9) 2

5 e) Def: Če je v Gaussovem procesu µ = 0, je stohastični proces homogen. f) Def: Stohastični proces je Wienerjev, če zanj veljajo definicije a), b), c), d) in e). Če upoštevamo vse te definicije vidimo, da za Wienerjev proces velja: f(x...x k x 0 Ĩ) = (2πV t ) exp [ k/2 2V t k (x j x j ) 2] (0) Vzemimo gibanje v eni dimenziji. Po enačbi (0) začnemo pot do Wienerjevega procesa tako, da najprej vzamemo delec, ki se premika tako, da se ob vsakem časovnem koraku t premakne za korak dolžine, ki je normalno porazdeljena: j= Slika : Prvih 25 korakov treh Wienerjevih procesov Sedaj nas zanima s kakšno verjetnostjo se delec po k časovnih korakih t pojavi v intervalu (x k, x k +dx k ), če vemo, da je bil ob času t = 0 pri x 0, torej, zanima nas P (x k x 0 I 0 ) = f(x k x 0 I 0 )dx. Ko bomo dobili ta izraz, bi radi na njem naredili še zvezno limito t 0, k, in sicer tako, da ostane t k = k t t končen. S tem dobimo pravi Wienerjev proces. Do izraza za f(x k x 0 I 0 ) pridemo tako, da uporabimo marginalizacijo (4), kjer integriramo po vseh spremenljivkah, razen po x k. Ko naredimo ta izračun, nam preostane le, da dobljeni izraz limitiramo tako, kot je povedano zgoraj. S tema dvema postopkoma smo v resnici sešteli prispevke vseh možnih poti delca, izračunali smo torej krivuljni integral. Ker tega izračuna ni v literaturi, podajam natančen izračun v dodatku, rezultat pa se glasi: f(x x 0 I 0 ) = 2πσ2 t exp [ (x x 0) 2 ], σ 2 2σ 2 V t 0 () Taka rešitev zadošča difuzijski enačbi f/ t = (σ 2 /2)( 2 f/ x 2 ). dobimo torej navadno difuzijo z difuzijskim koeficientom D = σ2 2. Pri modelu z Wienerjevim procesom 3

6 Slika 2: Trije Wienerjevi procesi Wienerjev proces ima zanimivo lastnost, in sicer je skalirno invarianten, kar pomeni, da je kvalitativno enak, ne glede na časovno skalo, na kateri ga gledamo. Poglejmo to na slikah: Slika 3: Tri časovne skale za en Wienerjev proces Vsaka naslednja slika je 0x povečana Vidimo, da čeprav smo zvečali skalo za stokrat, se kvalitativne lastnosti Wienerjevega procesa niso spremenile. Z drugimi besedami, Wienerjev proces na večji časovni skali je še vedno isti Wienerjev proces kot tisti na manjši. Wienerjev model pa iz fizikalnega stališča ni sprejemljiv, saj ne upošteva, da ima delec vztrajnost oz. maso, kar se najlepše vidi, če pogledamo sliko, kjer so v točkah premikanja in ustavljanja delca odvodi dx dt iz leve enaki 0, iz desne pa neskončni (delec se premakne in ustavi v trenutku, kar bi bilo možno samo, če ne bi imel mase). 4

7 4 Ornstein-Uhlenbeckov proces Fizikalno korektnejši (bolj upravičen) model stohastičnih procesov dobimo tako, da vzamemo Newtonov zakon deterministične mehanike m a = F, (2) ki mu dodamo dva člena, η v in F S, ter tako dobimo Langévinovo enačbo: m a = F η v + F S (3) oziroma Členi v enačbi pomenijo naslednje: v = a 0 β v + a S, F a 0 m, β η m, a F S S m F je vsota vseh zunanjih determinističnih sil, ki delujejo na delec v stohastičnem procesu (npr. gravitacija ali električna sila na nabit delec v zunanjem električnem polju). Pri navadnem Brownovem gibanju predpostavimo, da je vrednost F enaka 0. η v je linearna sila upora pri gibanju delca v tekočini (npr. gibanja zrnc cvetnega prahu v vodi). V makroskopski sliki si predstavljamo, da se delcu pri trkih z molekulami tekočine spreminja hitrost - njena absolutna vrednost v se tako lahko zviša ali zniža. Ker pa je povprečna hitrost molekul tekočine enaka 0 (ker tekočina miruje), je bolj verjetno, da se absolutna vrednost hitrosti pri trku zniža, kar opišem z determinističnim členom linearnega upora. F S je t.i.stohastična sila in a S t.i.stohastični pospešek, s katerima opišemo naključno spreminjanje hitrosti pri trkih delca z molekulami tekočine. Predpostavimo, da je čas med dvema zaporednima trkoma vedno t, da v času med dvema trkoma ni stohastičnih sil in da je sprememba hitrosti pri trku.) stohastična(naključna), 2.) markovska (odvisna samo od trenutne vrednosti hitrosti), 3.) stacionarna, 4.) Gaussova in 5.) homogena, torej da velja za spremembo hitrosti pri trku Wienerjev proces. Kadar so izpolnjeni vsi našteti pogoji za F S ( a S ) in je a 0 = 0, nam enačba (3) v = β v + a S (4) opisuje t.i. Ornstein-Uhlenbeckov stohastični proces za hitrost v. Enačbo (4) bomo rešili v eni dimenziji, saj je posplošitev tako dobljene rešitve za tridimenzionalno gibanje trivialna. Denimo, da sta ob času t + j = j t + 0 (tik po j-tem trku) položaj in hitrost delca x j in v j. Do naslednjega trka je gibanje deterministično (a S = 0) in ga opisuje linearna diferencialna enačba z konstantnimi koeficienti - v = βv. Rešitev enačbe ob času t j+ = (j + ) t 0 (tik pred (j+)-tim trkom) in iz te rešitve dobljena vrednost za položaj delca ob istem času sta: v j+ = v j e β t, x j+ = x j + v j β ( e β t ) (5) 5

8 Ob trku se hitrost delca naključno spremeni, V skladu z zgornjimi predpostavkami spremembi hitrosti ustreza verjetnostna gostota oblike: f(v j+ v j x j V t I 0 ) = exp [ (v j+ v j+ )2 ] = exp [ (v j+ v j e β t ) 2 ] 2πV t 2V t 2πV t 2V t (6) Položaj delca se pri trku ne spremeni, kar opišemo z neskončno ozko porazdelitvijo - Diracovo δ-funkcijo: f(x j+ v j+ v j x j V t I 0 ) = δ(x j+ x j+ ) = δ(x j+ x j v j β ( e β t )) (7) Slika 4: Prvih 25 korakov za tri Ornstein-Uhlenbeckove procese z istimi parametri Sočasna verjetnostna gostota f(v j+ x j+ v j x j V t I 0 ) za v j+ in x j+ je v skladu s produktnim pravilom (3) tako produkt zgornjih dveh izrazov. Če postopek posplošimo na k časovnih korakov, in si pomagamo z produktnim pravilom (3), dobimo verjetnostno gostoto f(x x 2...x k v v 2...v k v 0 x 0 V t I 0 ), ki ustreza posamezni sledi iz točke (x 0, v 0 ) do točke (x k, v k ), in se zapiše kot (k-)-kratni produkt funkcij (6) in (k-)-kratni produkt funkcij (7). Verjetnostno gostoto f(x k v 0 x 0 V t I 0 ) dobimo podobno kot v prejšnjem poglavju, z seštevanjem prispevkov vseh možnih poti - s krivuljnim integralom. Najprej bomo uporabili marginalizacijo (4), nato pa bomo naredili limito k, t 0, tako da bo produkt k t t ostal končen. Tudi tega računa ni v literaturi, zato je podan v dodatku, rezultat pa je: [ f(x x 0 v 0 V t I 0 ) = 2πVx (t) exp (x x 0 v0 β ( e βt )) 2 ] 2V x (t) (8) kjer je: V V x (t) = 0 2β 3 ( 3 + 4e βt e 2βt V ) + 0 β 2 t (9) Če primerjamo rešitvi () in (8),(9), vidimo, da za čase, dolge v primerjavi z karakterističnim časom sistema, rešitev Ornstein-Uhlenbeckovega procesa prav tako ustreza difuzijiski enačbi z difuzijskim koeficientom V D = 0 2β. Narišimo povprečno vrednost odmika: 2 6

9 Slika 5: Povprečni odmik delca pri O-U procesu Povprečni odmik se ustali pri neki konstantni vrednosti. Narišimo še odmik na različnih časovnih skalah: Slika 6: Tri časovne skale za odmik pri enem O-U procesu Vsaka naslednja slika je 0x povečana Za odmik ugotovimo, da je skalirno invarianten, če zanemarimo dogajanje na začetku procesa, ko je čas še primerljiv z karakterističnim časom. Naredimo še primerjavo variance odmika pri Wienerjevem in pri Ornstein-Uhlenbeckovem procesu. Na eni sliki so parametri izbrani tako, da se za oba procesa ujemajo, na drugi pa je β za Ornstein-Uhlenbeckov proces drugačna: Slika 7: Varianci odmika za Wienerjev in O-U proces 7

10 V obeh primerih gre po dolgem času varianca za Ornstein-Uhlenbeckov proces linearno s t, tako kot pri Wienerjevem procesu, le da je koeficient za Ornstein-Uhlenbeckov proces lahko drugačen. Za majhne čase pa se pojavi že omenjena in izračunana razlika. Razliko med Wienerjevim in Ornstein-Uhlenbeckovim procesom vidimo najlepše, če narišemo verjetnostni gostoti za odmik za oba procesa za različne čase na isti sliki. Začetno hitrost pri O.-U. procesu sem postavil na 0, zato da se vrhova ujemata: Slika 8: Verjetnostni gostoti za odmik za Wienerjev in O-U proces Po času dolgem v primerjavi z karakterističnim, se verjetnostni gostoti ujemata. Z sekvenčnim modelom lahko izračunamo še porazdelitev po hitrosti. To naredimo na enak način kot prej - izračunamo krivuljni integral prispevkov vseh poti. Najprej naredimo marginalizacijo, nato pa limitiramo, enako kot zgoraj. Tudi ta izračun sem podal v dodatku, ker ga ni v literaturi, rezultat pa se glasi: f(v v 0 V t I 0 ) = exp [ (v e βt v 0 ) 2 ] V 2π 0 2β ( e 2βt V ) 2 0 2β ( e 2βt ) (20) Slika 9: Povprečna hitrost delca pri O-U procesu Vidimo, da gre povprečna hitrost od začetne vrednosti proti 0. Ker je Ornstein-Uhlenbeckov proces stohastičen, hitrost ne pade točno na 0, ampak je po dolgem času Gaussovo porazdeljena okoli ničle. Da pade povprečna hitrost na 0 pomeni, da je Ornstein-Uhlenbeckov proces stabilen. To vidimo tudi, če si narišemo varianco hitrosti v odvisnosti od časa: 8

11 Slika 0: Varianca hitrosti delca pri O-U procesu Varianca se po času, dolgem v primerjavi z karakterističnim časom procesa, ustali pri vrednosti smo prej pokazali tudi z enačbo. V 0 2β. To Na naslednji sliki sem narisal 3 Ornstein - Uhlenbeckove procese z različnimi vrednostmi začetne hitrosti in pa poleg njih še časovni potek povprečne hitrosti: Slika : Hitrosti delca za 3 različne O-U procese Vidimo, da se hitrost ne glede na njeno začetno vrednost približuje ničli, in sicer tako, da je vedno naključno porazdeljena okoli teoretične povprečne vrednosti, tako da se na koncu giblje naključno Gaussovo okoli ničle. Poglejmo še, kako je z skalirnimi lastnostmi za hitrost pri Ornstein-Uhlenbeckovem procesu: 9

12 Slika 2: Tri časovne skale za hitrost pri enem O-U procesu Vsaka naslednja slika je 0x povečana Če zanemarimo dogajanje na začetku procesa, ko je čas še primerljiv z karakterističnim časom, vidimo, da je hitrost Wienerjev proces z srednjo vrednostjo okrog ničle, in je tako skalirno invariantna. Za kratke čase pa vidimo, da ima hitrost značilno obliko. 5 Zaključek V seminarju smo si natančno ogledali dva modela za opis Brownovega gibanja. Ugotovili smo, da je Wienerjev proces preveč poenostavljen model, da bi nam to gibanje zadovoljivo opisal, saj ne upošteva dejstva, da ima delec maso in s tem vztrajnost. Posledica poenostavitve je, da dobimo rešitev, ki je prava le za čase, ki so dolgi v primerjavi z karakterističnim časom procesa. Če maso upoštevamo, dobimo model, ki v zgornji limiti da enako rešitev, vendar je uporaben tudi za čase, primerljive s karakterističnim časom procesa. S tem, ko smo rešitev poiskali v okviru sekvenčnega pristopa, smo se izognili teoriji stohastičnih integralov, kjer se do rešitve pride s nekterimi predpostavkami iz kinetične teorije plinov, ki so fizikalno sicer smiselne, vendar pa za sam opis procesa niso nujno potrebne (najbolj očitna predpostavka je, da se verjetnostna porazdelitev za hitrost v limiti zelo dolgih časov v primerjavi z karakterističnim časom procesa približuje Maxwellovi porazdelitvi, glej literaturo [3] in [4]). Pri sekvenčnem pristopu nismo naredili nobenih takih predpostavk, kar se vidi po tem, da v rešitvah nismo dobili nobene termodinamske količine, vendar so vse specifične informacije o sistemu skrite v konstantah V 0 in β. Omeniti je potrebno še da se pri pojavu, kakršnega je opazoval Robert Brown, numerično ne da ločiti med rezultati ki jih napove teorija z Wienerjevim procesom in rezultati z uporabo Ornstein-Uhlenbeckovega procesa, saj je pri delcih cvetnega prahu v vodi značilni čas /β enak 0 8 sekunde in je limita t /β dosežena veliko preden lahko eksperimentalno izmerimo prvi premik delca [5]. Da pa se razliko izmeriti v primeru Brownovega delca v harmoničnem potencialu [6]. Brownov delec je v tem primeru zelo majhno zrcalo, ki je obešeno na kvarčno vlakno. Molekule, ki zadevajo ob zrcalo, povzročijo Brownovo gibanje letega. Če posvetimo na zrcalo z svetlobo in gledamo odboj svetlobe na oddaljenem zaslonu, lahko izmerimo kot, za katerega se zrcalo odkloni pri gibanju. 0

13 A Izračuni A. Izračun f(x x 0 I 0 ) za Wienerjev proces Računamo integral (4), funkcije (0), kjer integriramo po spremenljivkah x,..., x k, torej: f(x k x 0 I 0 ) = dx...dx k f(x...x k x 0 I 0 ) (2) Integral integriramo najprej po spremenljivki x k, nato po x k, i.t.n., do x. Zapisati se da splošen izraz, ki ga dobimo, ko integriramo po x i, tako da lahko iz tega izluščimo iterativno formulo, iz katere hitro dobimo končni izraz, ki se glasi: f(x k x 0 I 0 ) = 2πV t k exp [ (x k x 0 ) 2 ] 2V t k Sedaj naredimo limito. V rešitvi (22) upoštevamo, da gre k t t, in označimo količino V lim t t 0 t = V 0, v kateri prepoznamo varianco na enoto časa, z σ 2, pa dobimo v zvezni limiti rešitev (). A.2 Izračun f(x v 0 x 0 V t I 0 ) za Ornstein-Uhlenbeckov proces Računamo integral (4) (k )-kratnega produkta funkcij (6) in (7), kjer integriramo po spremenljivkah x,..., x k, v,..., v k, torej: f(x k v 0 x 0 V t I 0 ) = f(x x 2...x k v v 2...v k v 0 x 0 V t I 0 )dv k...dv dx k...dx (23) (22) Najprej integriramo po x, nato po x 2, i.t.n. do x k. Imamo same integrale δ-funkcij, tako da nam na koncu po (k )-kratni integraciji ostane le ena δ-funkcija: δ(x k x 0 B β (v v k )) Te ne pointegriramo, ker po x k ne integriramo. Vemo pa, da se da δ-funkcijo zapisati tudi kot: δ(x) = 2π + e isx ds Zato to zadnjo δ-funkcijo pretvorimo na ta način. Za preglednejši račun uvedemo oznake: A = e β t, B = A = e β t, r = sbv t β (24) Celotni integral, ki nam je preostal, zapišemo sedaj tako: f (x k x 0 v 0 V t I 0 ) = [ = 2π( exp ( )] (v 2πV t ) k k Av k ) (v Av 0 ) 2 + 2ir(v k v 0 ) 2V t [ ] exp is(x k x 0 ) dv...dv k ds (25) Vsi integrali tečejo od do. Sedaj integriramo še po spremenljivkah v i, začnemo pri spremenljivki v k, nato integriramo po v k, i.t.n., do v.

14 Vse integrale se da prevesti na obliko + x 2 e a2 dx = π a. Zopet lahko iz splošnega člena, ki nam ostane po integraciji po v, izluščimo iterativno formulo, s pomočjo katere dobimo izraz, ki ga mormao integrirati še po spremenljivki s: f(x k x 0 v 0 V t I 0 ) = 2π exp + [ r2 [ ] exp is(x k x 0 ) ] ( + ( + A) 2 + ( + A + A 2 ) ( + A + A A k 2 ) 2 ) 2V t [ exp ir ] (A + A A k )v 0 ds V t Označimo: a k a k ( t) = (A + A A k ) b k b k ( t) = ( + ( + A) 2 + ( + A + A 2 ) ( + A + A A k 2 ) 2 ) Vstavimo izraz za r in preuredimo člene. Tako dobimo integral 2π [ exp B2 V t 2β b ( k s 2 + is 2β B 2 V b k [ B β a kv 0 (x k x 0 )] )] ds, ki se da zopet prevesti na integral tipa + x 2 dx = π e a2 a. Ko integriramo, dobimo rezultat: Sedaj naredimo zvezno limito. f(x k v 0 x 0 V t I 0 ) = exp [ (x k x 0 Bv0 β a k) 2 ] 2π β B 2 V 2 t b k 2, (26) β B 2 V 2 t b k Limito se da narediti tako, da direktno izračunamo izraza za a k in b k s pomočjo geometrijskih vrst, nato pa limitiramo. Lahko pa si prihranimo nekaj računanja s tem, da vidimo, da ima funkcija (26) obliko Gaussove funkcije. Njena varianca je ravno iskana varianca x-a. Zapišemo varianci ob času t = lim k t 0 (k t) in ob času t + t: Sedaj pa tvorimo formalni odvod variance po x-u: V x (t) = β 2 B2 V t b k, V x (t + t) = β 2 B2 V t b k+ (27) V V x (t + t) V x (t) x (t) = lim t 0 t V = 0 β 2 lim t 0 B2 ( + A + A A k ) 2 S pomočjo pravil za seštevanje geometrijskih vrst in limitiranjem dobimo: V V x (t) = 0 β 2 ( 2e βt + e 2βt ) Sedaj odvod variance integriramo, da dobimo varianco, pri čemer integracijsko konstanto C dobimo iz pogoja, da je varianca x-a ob času t = 0 enaka 0. Konstanto C dobimo iz pogoja, da je varianca x-a ob času t = 0 enaka 0. Ko izračunamo, dobimo rezultat (9). Če hočemo dobiti še rezultat (8),moramo izračunati še limito izraza a k, ki znaša lim k, t 0 a k ( t) = B ( e βt ). Ko limito vstavimo, dobimo rezultat (8). 2

15 A.3 Izračun f(v v 0 x 0 V t I 0 ) za Ornstein-Uhlenbeckov proces Da bi dobili porazdelitev po hitrosti, moramo najprej izvesti marginalizacijo (4) na (k )-kratnem produktu funkcij (8) in (9), kjer integriramo po spremenljivkah x,..., x k, v,..., v k : f(v k v 0 x 0 V t I 0 ) = f(v k...v 0 x k...x 0 v 0 x 0 V t I 0 )dv k...dv dx k...dx, (28) Ko integriramo po spremenljivkah x i, vedno integriramo samo δ-funkcije, tako da bomo iz integracije po vseh x i dobili. Ostane nam integracija po v i, pri čemer najprej integriramo po v k, nato po v k 2, i.t.n., do v. Zopet lahko izluščimo iterativno formulo za integriranje po spremenljivki v i, in s pomočjo te formule lahko zapišemo končni rezultat: f(x k v 0 x 0 V t I 0 ) = exp [ (v k A k v 0 ) 2 ] 2π V t A ( A 2k ) 2 V t 2 A ( A 2k ) 2 Preostane nam le še limita. Ko jo naredimo, grejo členi A nk proti e nβt, člen te izraze vstavimo v (29), dobimo rešitev (20). V t A 2 pa proti V t 2β t = V 0 (29) 2β. Ko 3

16 Literatura I. Kuščer, A. Kodre - Matematika v fiziki in tehniki DMFA, Ljubljana (994) 2 A. Likar - Osnove fizikalnih merjenj in merilnih sistemov DMFA, Ljubljana (200) 3 S. Chandrasekhar - Stochastic problems in Physics and Astronomy, Rev.Mod.Phys., vol.5, -89 (943) 4 M. Wang, G. Uhlenbeck - On the Theory of the Brownian Motion II, Rev.Mod.Phys., vol.36, (945) 5 E.Nelson - Dynamical theories of Brownian motion, Princeton University Press (967) 6 E.Kappler - Versuche zur Messung der Avogadro-Loschmidtschen Zahl aus der Brownschen Bewegung einer Drehwaage, Annalen der Physik, (93) 4