UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Optimalna strategija pri ruleti (Optimal st

Transkripcija

1 UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Optimalna strategija pri ruleti (Optimal strategy at the roulette) Ime in priimek: Elinda Elshani Študijski program: Matematika v ekonomiji in financah Mentor: izr. prof. dr. Mihael Perman Koper, junij 2019

2 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 II Ključna dokumentacijska informacija Ime in PRIIMEK: Elinda ELSHANI Naslov zaključne naloge: Optimalna strategija pri ruleti Kraj: Koper Leto: 2019 Število listov: 40 Število slik: 24 Število tabel: 1 Število prilog: 1 Število strani prilog: 4 Število referenc: 34 Mentor: izr. prof. dr. Mihael Perman Ključne besede: Ruleta, klotzova strategija, pristanskost, pričakovano log-izplačilo. Izvleček: Ruletni cilinder je generator slučajnih števil in posledično generator dobitkov na ameriški in francoski ruleti. Veliko je vprašanj o tem ali obstaja strategija, ki bi omogočila igralcem dosleden dobiček toda matematična teorija nam zagotavlja, da nobena še tako izdelana strategija ne more zagotoviti igralcem doslednega dobička, če je le porazdelitev verjetnosti po posameznih izidih dovolj blizu idealni. Kakšna pa je situacija pri cilindrih, kjer porazdelitev verjetnosti ni enakomerna? Katera strategija bi v tem primeru bila optimalna? V zaključni nalogi odgovorim na zastavljeni vprašanji, v kateri pišem o optimalni strategiji pri ruleti z neuravnoteženim ruletnim cilindrom. V uvodnem delu na kratko predstavim zgodovino rulete, njeno zgradbo ter možne stave. Sledi dokaz neobstoja strategije s pozitivnim pričakovanim izplačilom. V osrednjem delu opišem Klotzovo strategijo ter predstavim optimalno strategijo za primer pokvarjenega cilindra nato zaključim nalogo z empiričnim delom, kjer obravnavam obnašanje optimalne strategije na simuliranih in dejanskih podatkih ter si pri tem pomagam z računalniškim programom za matematične numerične izračune GNU Octave-om.

3 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 III Key words documentation Name and SURNAME: Elinda ELSHANI Title of final project paper: Optimal strategy at the roulette Place: Koper Year: 2019 Number of pages: 40 Number of figures: 24 Number of tables: 1 Number of appendices: 1 Number of appendix pages: 4 Number of references: 34 Mentor: Assoc. Prof. Mihael Perman, PhD Keywords: Roulette, Klotz strategy, bias, expected log-return. Abstract: The roulette cylinder is the generator of random numbers and consequently a generator of payouts at the american and french roulette. There are a lot of questions on whether there is a strategy that would allow the players a consistent profit but the mathematical theory assures us that no strategy can provide the players a consistent profit if the distribution of probabilities for individual outcomes is close enough to the ideal one. But what is the situation with the cylinders where there is unevenly distribution of probabilities? Which strategy would be optimal in this case? In the final project paper I answer those two questions in which I write about the optimal strategy at the roulette with a biased roulette cylinder. In the introductory part of the final project paper I briefly introduce the history of roulette, its construction and possible bets. Then it follows the proof of the absence of a strategy with a positive expected payout. In the central part I describe the Klotz strategy and introduce an optimal strategy for the case of a defective cylinder. Then I finish it with an empirical part, where I discuss the behaviour of the optimal strategy on simulated and actual data with a help of a programming language for numerical computations, called GNU Octave.

4 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 IV Zahvala Zahvaljujem se mentorju, izr. prof. dr. Mihaelu Permanu za vso strokovno pomoč, koristne nasvete, čas ter trud, ki ga je vložil. Posebno se zahvaljujem moji družini za spodbudo in neizmerno podporo v teku mojega študija.

5 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 V Kazalo vsebine 1 Uvod 1 2 Opis rulete in stav Sestava rulete Stave Notranje stave pri ruleti Zunanje stave pri ruleti Posebna pravila Sistemi stav Dokaz neobstoja strategije s pozitivnim pričakovanim izplačilom Pristanskost rulete Klotzova strategija Opis Klotzove strategije Optimalna strategija za znane verjetnosti (p 1, p 2,..., p k ) Pričakovano izplačilo EC n in Varianca Primer Bayesovo ocenjevanje verjetnosti Primer neznanega (p 1, p 2,..., p k ) Dokaz Optimalnosti Empirični del Obnašanje strategije na simuliranih podatkih Obnašanje strategije na dejanskih podatkih Zaključek 37 6 Literatura 38

6 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 VI Kazalo tabel 1 Izračun γ

7 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 VII Kazalo slik 1 Evropska in ameriška ruleta Konstrukcija rulete Prečke in žepi Prerez konstrukcije rulete Velikost kroglic Ruletna miza Posebna pravila Idealen cilinder Idealen cilinder Cilinder št Cilinder št Cilinder št Cilinder št Cilinder št Cilinder št Cilinder št Cilinder št Tabela verjetnosti izidov na različnih cilindrih Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št Potek kapitala optimalnega igralca na cilindru št

8 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 VIII Kazalo prilog A Program

9 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, 2019 IX Seznam kratic tj. to je npr. na primer oz. oziroma str. stran št. število kkt Karush-Kuhn-Tucker

10 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Uvod Začetki rulete segajo v pozno 18. stoletje. Iznašel jo je francoski matematik Blaise Pascal, ko je sestavil napravo, opremljeno s krožečim valjem in števili, da bi ugotovil ali držijo nekatere njegove ugotovitve na področju verjetnosti. Ruleto kot igro je nato uvedel monaški princ Charles III. Zamisel je dobil pri soočanju z večjimi finančnimi težavami. Da bi jih rešil, je odprl nekaj igralniških hiš v Monaku, kjer je zaradi večjih aristokratskih krogov ruleta postala zelo popularna in razširjena igra [9]. Izvorna igra francoske rulete je imela dva predalčka, enega z eno ničlo in drugega z dvema. Tako so si lastniki igralnic hoteli zagotoviti, da bo verjetnost za zmago na njihovi strani. Do spremembe je prišlo leta 1843, ko sta brata François in Louis Blanc po prisilnem zaprtju njunih pariških igralnic poskušala prodreti na nemški trg. Da bi privabila goste, sta nato predalček z dvema ničlama odstranila s kolesa rulete in tako je igra postala privlačnejša. Ker so bili lastniki ameriških igralnic nepopustljivi poslovneži, se niso hoteli odpovedati dobičkom, ki jih je prinašala ruleta z dvema ničlama, zato danes poznamo dve različni ruleti. Evropsko oziroma francosko ruleto z eno samo ničlo ter ameriško z dvema ničlama [9]. Največji razmah je igra doživela v drugi polovici 20. stoletja, ko se je razširila tudi v manjša mesta. Tehnološki dosežki so pripeljali do avtomatizacije kolesa rulete tako, da človeška interakcija ni bila več potrebna, zato danes poznamo tudi elektronsko in spletno oz. virtualno ruleto. Zaradi razširnjenosti rulete kot igre na srečo, so se med igralci začela pojavljati tudi vprašanja o tem ali je možna strategija, ki bi omogočala igralcem dobiček. Vedno znova se pojavljajo ljudje, ki razglašajo po svetu novo strategijo, tako, ki bo z gotovostjo prinašala dobiček željnim igralcem, a je razpravam o strategijah zadal konec ameriški matematik Richard A. Epstein, ki je v svoji knjigi [24] dokazal, da za idealen cilinder zmagovita strategija ne more obstajati [20]. Pri cilindrih, kjer porazdelitev verjetnosti ni enakomerna, je pa nekoliko drugače. Razlogi za to so lahko mehanske narave, kot so slabo izdelan ali slabo montiran cilinder, lahko gre za nevešče croupiere ali pa za namerno manipulacijo. Veliko igralcev skuša take cilindre najti in jih tudi izkoristiti [20].

11 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Opis rulete in stav Ime ruleta pri nas običajno označuje francosko oz. evropsko ruleto, ki jo sestavlja 37 števil, razvrščenih od 0 do 36. Števila so rdeče ali črne barve, pri čemer je ničla (0, zero) zelene barve. Verjetnost dobitka pri stavi na posamezno število znaša 1:37, prednost igralnice pa 2,7%. To število označuje delež celotnega dobička, ki igralnici dolgoročno ostane od vseh stav. To pomeni, da bo igralnici ostalo 2,7% celotnega dobička. V realnosti odstotki kar presegajo to število, saj ljudje načeloma izstopijo, ko so zelo nizko (zaradi straha pred nadaljno izgubo ali ker nimajo dovolj denarja, da bi nadaljevali z igranjem) in si tako ne utegnejo povrniti delež izgubljenega denarja [31]. Poleg francoske poznamo tudi ameriško ruleto, ki jo sestavlja 38 števil, razvrščenih od 0 do 36, z dodatno dvojno ničlo (00, double zero). Za boljšo predstavo je podana slika 1 [27]. Števila so prav tako rdeča in črna le, da sta ničla (0) in dvojna ničla (00) zelene barve. Verjetnost dobitka pri stavi na posamezno število znaša: 1:38. Pri tem pa znaša prednost igralnice kar 5,26%, torej dolgoročen dobiček igralnice od vseh stav znaša 5,26% [31]. Slika 1: Evropska in ameriška ruleta

12 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Sestava rulete Podrobna sestava rulete je prikazana na sliki 2 [29]. Vsaka ruleta je v osnovi sestavljena iz dveh glavnih elementov, to je iz zunanjega dela, ki se imenuje stator ter iz središčnega vrtljivega kolesa oziroma številčnice [17]. Slika 2: Konstrukcija rulete Številčnica je v celoti izdelana iz masivnega lesa ali lesnih plošč in je nameščena v sredino statorja ter je v notranjosti opremljena s spodnjim in zgornjim krogličnim ležajem. Na zunanjem robu številčnice so števila od 1 do 36 (ter enojna in dvojna ničla), ki so na številčnici razporejena v izmeničnem zaporedju med majhnimi in velikimi ter med črnimi in rdečimi števili. Znotraj kroga števil pa so razporejeni žepi, med seboj ločeni s prečkami, kjer se kroglica ustavi. Slednje lahko vidimo na sliki 3 [4, 17].

13 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Slika 3: Prečke in žepi Center rulete je poznan kot stožec, saj ima nagib navzgor proti središču rulete. Najpomembnejša funkcija stožca pa je pomagati premikajoči se kroglici, da se ustavi v enem izmed žepov. Stožec je tako kot stator narejen iz lesa, na vrh le tega pa je pritrjena kupola oziroma balerina [17]. Slika 4: Prerez konstrukcije rulete Na sliki 4 iz vira [7] vidimo, da je na tem mestu nosilca je tudi mehanizem za prilagajanje višine številčnice glede na stator, ki je ključnega pomena, saj se lahko zgodi, da se tu kroglica ustavi kar na tem robu, če je zunanji rob številčnice višji glede na notranji oz. spodnji rob nagiba statorja [17]. Po večini predpisov za ruleto naj bi se uporabljalo kroglice s premerom med 18 in 21 mm (slika 5 [29]), kar tudi velja za najbolj primerno, saj te dimenzije zagotavljajo optimalno hitrost vrtenja in pristanek v žepe številčnice [18].

14 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Slika 5: Velikost kroglic Pri potovanju kroglice je prav tako pomembna konstrukcija oboda statorja, po katerem kroglica kroži, saj definira, kako se bo kroglica obnašala, ko bo počasi izgubljala svojo hitrost. Lahko samo naravnost zdrsne proti žepom ali pa ob ustavljanju naredi še kakšen obod in pri tem morda zadene še deflektor, kar naredi igro manj predvidljivo [18]. Naslednja slika [29] prikazuje ruletno mizo, ki je sestavljena iz notranjega (inside field) in zunanjega (outside field) polja. Slika 6: Ruletna miza Notranje (glavno) polje prikazuje posamezna števila, ki so razvrščena od najnižjega do najvišjega. Prva vrsta prikazuje števila 1-2-3, druga in tako naprej vse do 36, skupaj je 12 vrst. Nad prvo vrsto je zelen predel za stave na ničlo. Zunanje polje se nahaja zunaj glavnega številčnega polja in je sestavljeno iz: treh dvanajsteric; 1st 12, 2nd 12 in 3rd 12 polja, polja s števili od 1 do 18,

15 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, polja s sodimi števili (even), rdečega/črnega polja (black/red), polja z lihimi števili (odd), polja s števili od 19 do 36. Glede na polje, v katerem se nahaja stava ločimo notranje in zunanje stave, opisane v naslednjem razdelku. 2.2 Stave Ker je miza rulete sestavljena iz dveh delov, notranjega in zunanjega polja, se tudi stave delijo na notranje ter zunanje stave. Notranje stave (inside bets) vključujejo vse stave na določeno število od 0 do 36. V splošnem velja, da te stave omogočajo višje dobitke, vendar je tudi možnost izgube večja. Pri zunanjih stavah (outside bets) je značilno nižje razmerje izplačila, vendar je možnost izgube manjša kot pri notranjih stavah. Igralec stavi tako, da položi žetone na zunanji del igralne mize, gre pa predvsem za stave na kombinacije. Razmerje izplačila, ki ga določena stava omogoča, si lahko vsak posameznik izračuna po naslednjem algoritmu. 1. Razmisli koliko števil pokriva tvoja stava. 2. Deli 36 s tem številom. 3. Odštej Konec. Verjetnost za zmago, pa se izračuna tako, da količino števil, ki jih pokriva stava delimo s 37, rezultat nato pomnožimo s 100, da dobimo odstotek [18] Notranje stave pri ruleti 1. Številčna stava(staight up number bet) Pri tem gre za stavo na posamezno število. Razmerje izplačila je = 35, torej 35:1. Kar pomeni, da stava v 1 vrednosti 1e prinese izplačilo 36e, od tega je čisti dobiček 35e. Verjetnost za zmago je = 2, 70%. 37

16 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Deljena stava(split bet) Pri tem gre za stavo na dve sosednji števili. Igralec stavi tako, da položi žetone na črto, ki ločuje izbrani števili. Razmerje izplačila je = 34 2 = 17, torej 17 : 1 (stava v vrednosti 1e 1 prinese izplačilo 18e). Verjetnost za zmago je = 5, 41% Ulična stava(street/row bet) Pri tem gre za stavo na tri števila v eni vrsti. Igralec stavi tako, da položi žetone na rob ali na konec igralne mize (kjer je polje z ničlo). Razmerje izplačila: 11:1 ( = 33 3 = 11 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 12e. 3 Verjetnost za zmago: 100 = 8, 11% Stava na štiri števila v kvadratu ali vogalna stava (square/corner bet) Pri tem gre za stavo na štiri sosednja števila. Igralec stavi tako, da položi žetone na stičišče štirih števil ali na rob igralne mize v bližino polja z ničlo (kar pomeni stavo na števila 0, 1, 2, 3). Razmerje izplačila: 8:1 ( = 32 4 = 8 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 9e. Verjetnost za zmago: = 10, 81% Vrstična stava na šest števil ali stava v dveh vrsticah (sixline/double row bet) Pri tem gre za stavo na dve trojici števil, pri čemer igralec položi žetone na rob igralne mize, in sicer na črto, ki ločuje zunanji števili trojic. Razmerje izplačila: 5:1 ( = 30 6 = 5 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 6e. 6 Verjetnost za zmago: 100 = 16, 22%. 37 V tem poglavju se sklicujem na vir [3, 18, 26].

17 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Zunanje stave pri ruleti 1. Stava na črno ali rdečo barvo (black/red bet) Igralec stavi tako, da položi žetone na tisto barvo, na katero želi staviti. Razmerje izplačila: 1:1 ( = = 1 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 2e. Verjetnost za zmago: = 48, 65% Stava na liha/soda števila (odd/even money bet) Pri tej stavi igralec položi žetone na polje sodih ali lihih števil. Razmerje izplačila: 1:1 ( = = 1 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 2e. Verjetnost za zmago: = 48, 65% Stava na nizka (low bet) ali visoka (high bet) števila Igralec položi žetone na skupino števil 1 18 ali Razmerje izplačila: 1:1 ( = = 1 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 2e. Verjetnost za zmago: = 48, 65% Stava na ducat (group/dozen bet) Ruleta ima 36 števil, različnih od nič. Tukaj igralec stavi na prvi (števila 1 12), drugi (števila 13 24) ali tretji (števila 25 36) ducat števil. Razmerje izplačila: 2:1 ( = = 2 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 3e. Verjetnost za zmago: = 32, 43% Stolpična stava (column bet) Tako kot pri stavi na ducat stavi igralec na skupino 12-ih števil. Pri tem je treba žetone položiti na števila enega od treh stolpcev na igralni mizi, tako da števila niso zaporedna. Razmerje izplačila: 2:1 ( = = 1 ), stava v vrednosti 1e prinese 1 izplačilo 3e. Verjetnost za zmago: = 32, 43%. 37 Poglavje povzeto po viru [3, 18, 26].

18 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Posebna pravila Obstajajo pa še posebna pravila, ki jih prikazuje slika 7 [33]. Nanašajo se na ruletno kolo, ne dovoljujejo jih vse igralnice in veljajo samo za evropsko oz. francosko ruleto. 1. Orphans pravilo To je pravilo, kjer igralec stavi na tri specifična števila, ki ležijo na kolesu rulete ena zraven druge, na mizi pa so oddaljene med seboj. Primer stave na tri števila po pravilu Orphans: 6, 34, 17 [31]. 2. En Prison pravilo (Surrender rule) To je pravilo, kjer se igralec pri igranju zunanjih stav (stave na soda, liha, rdeča, črna števila,... ), v primeru, da se je kroglica ustavila na ničli, odloči ali bo izgubil polovico svoje začetne stave ali pa bo stavo obdržal in prenesel v naslednjo igro. Če se odloči, da bo stavo obdržal, se prednost igralnice pri naslednji stavi znatno zniža [31]. 3. La Partage pravilo To pravilo je podobno pravilu En Prison. Razlika je v tem, da igralcu tukaj ni na voljo odločitev kako nadaljevati z zunanjo stavo, če se kroglica ustavi na ničli ampak mora obdržati stavo in jo prenesti v naslednjo igro. V najslabšen primeru igralec izgubi polovico svoje začetne stave in ne celotne [31]. 4. Third Cylinder pravilo To je pravilo, pri katerem igralci stavijo na vsa števila, ki ležijo nasproti ničle. To so števila od 27 do 33 [31]. Slika 7: Posebna pravila

19 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Sistemi stav Sistem stav je strukturiran pristop do iger na srečo, pri čemer je končni cilj proizvesti dobiček. Je katerikoli sistem, ki skuša povišati igralčevo premoženje zgolj z manipulacijo višine stav pri različnih poskusih. Nekateri sistemi stav določajo višanje naslednje stave po izgubi, drugi pa višanje naslednje stave po zmagi. Bolj zapleteni sistemi sledijo več zaporednim zmagam ali izgubam ter nato določijo stavo [18]. Da bi igralec z raznimi sistemi stav bil uspešen, bi moral spremeniti prednost igralnice v svojo, to je odstotek, ki določa koliko dobička ima igralnica v povprečju od vseh stav. Večja kot je prednost igralnice, nižja je verjetnost zmage za igralca. Evropska ruleta ima prednost igralnice 2, 70% ( 1 100) medtem, ko ima ameriška ruleta prednost 37 igralnice 5, 26% ( 2 100), zaradi dveh ničel. Kar pomeni, da od vseh stav igralnici 38 zagotovo ostane 2, 70% vsega dobička pri evropski ruleti ter 5, 26% pri ameriški ruleti. V resnici njihov dobiček kar presega omenjene odstotke, saj igralci načeloma izstopijo, ko so zelo nizko. Obstaja veliko sistemov stav, ki jih igralci uporabljajo. Na kratko bom opisala le tiste bolj priljubljene. 1. Sistem Martingala Ta sistem stav je najbolj razvpit sistem. O njegovem izvoru je veliko različnih trditev. Ena od teh je, da beseda izhaja iz francoskega izraza porter les chausses a la Martingale, kar pomeni nositi hlače kot prebivalci Mantigua, vasi v Provinci, kjer se hlače zapenjajo na zadnji strani. Izraz naj bi impliciral, da je način oblačenja enako smešen kot sistem stave [18]. Je sistem, pri katerem se stavi na barvo, rdečo/črno, na soda/liha števila ali na visoka/nizka števila, kjer so možnosti zmage 1:1. Poteka pa tako, da igralec stavi eno enoto. Če zmaga, stavi ponovno eno enoto, če pa izgubi, stavi dve enoti. Če zmaga, spet stavi eno enoto, če izgubi pa spet stavi dve enoti in tako nadaljuje z zaporedjem. Ta sistem zagotavlja zmago ene enote na zaporedje. V večini primerov tudi deluje. Tako lahko igralec več večerov zapored zmaguje, ko pa začne izgubljati (dolgoročno bo vsekakor), bo njegova izguba precejšnja. Znašala bo več kot vse njegove zmage prejšnjih večerov skupaj. Težava je v tem, da bo slej kot prej prišlo do zaporedja izgub. Če igralec igra pri mizi, kjer je najmanjša stava 1 enoto in največja 1000 enot, bo po 10-ih izgubah moral staviti 1024 enot. Igralnica pa ne bo dovolila stavo 1024-ih enot, ker je največja možna stava 1000 enot. Tako znaša izguba igralca 1023 ( ) enot [18].

20 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, D Alembertov sistem Ta sistem za igranje rulete je zasnoval francoski matematik in fizik Jean-Baptiste le Rond d Alembert, po katerem se tudi imenuje. D Alembertov sistem temelji na stavah na dogodke z razmerjem izplačila 1 :1. Velja načelo stave na izbrano barvo (ali na sodo/liho število, visoko/nizko število). Igralec začne igrati tako, da stavi eno enoto. Če izgubi, naslednjo stavo zviša za eno enoto, če pa zmaga, jo zmanjša za enoto. Ta strategija omogoča, da je pri zmagi dobitek večji kot izgubljeni znesek v primeru izgube [5, 14]. Primer: Igralec izbere črno barvo in stavi. Stavi 1 enoto na črno barvo. Izgubi. Stavi 2 enoti na črno barvo in spet izgubi. Zdaj izguba znaša 3 enote. V naslednjem krogu igre stavi 3 enote in znova izgubi. Zdaj je za 6 enot v minusu. Stavi 4 enote in končno zmaga. Še zmeraj je v minusu, vendar zgolj za 2 enoti. Stavi 3 enote in zmaga. Zdaj je za 1 enoto v plusu. Stavi 2 enoti in zmaga. Na koncu ima 3 enote več kot na začetku, število zmag in izgub pa je enako [5,14]. 3. Sistem po Fibonacciju Kot pove že ime, je pri tem stavnem sistemu potrebno upoštevati Fibonaccijevo zaporedje števil. To zaporedje je sestavljeno iz števil, pri katerih se vsako naslednje število izračuna kot vsota prejšnjih dveh števil. Torej: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Tudi pri tem sistemu igralec stavi na možnost v razmerju za zmago 1:1. Ker je nekaj matematike pri tem sistemu, si igralci načeloma zapisujejo števila. Igralec izbere na primer barvo, nato pa vedno znova stavi nanjo. Prva stava naj znaša npr. 1 enoto, ki je tudi prvo število Fibonaccijevega zaporedja. Če zmaga, začne znova (lahko tudi zamenja barvo). Če igralec izgubi, na konec vrstice ponovno zapiše številko 1. V naslednjem krogu igre poviša stavo na 1 + 1, tj. 2 enoti. Če ponovno izgubi, na konec vrstice zapiše število 2, naslednja stava pa bo znašala 1 + 2, tj. 3 enote. Ko zmaga, prečrta zadnji dve števili in stavi seštevek zadnjih dveh zapisanih števil. Zaradi omejitve zneskov stav na določeni igralni mizi bo moral igralec, če denimo izgubi več kot 10-krat, tudi če to ni zaporedoma, polagati visoke stave. To pa je dovoljeno le v redkih primerih [5, 14].

21 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Sistem Paroli Pri tem sistemu lahko igralec stavi na kar želi, pomembno je le, da so možnosti za zmago v razmerju 1 : 1, torej na rdečo/črno, sodo/liho ali visoko/nizko število. V primerjavi z drugimi strategijami si lahko igralec glede tega, na kaj želi staviti, premisli med igralnim nizom. Če torej v prvem krogu igre stavi na črno barvo, lahko v drugem stavi na sodo število. Na začetku igralec stavi določen znesek, npr. 1 enoto in vsakič, ko zmaga, stavo podvoji. Če izgubi, znova vplača stavo v višini 1 enote. V celotnem nizu tako tvega zgolj znesek začetne stave iz prvega kroga igre [5]. 5. Kraljevski sistem Pri tem sistemu je potrebno staviti na ducate števil. Natančneje, na dva od treh ducatov števil na kolesu rulete. Igralec naj bi najprej opazoval nekaj zaporednih vrtljajev rulete, nato pa se odločil, kdaj se bo vključil v igro. Za začetek položi dve stavi, predvsem na tista ducata, ki se pri zadnjem vrtljaju nista pojavila. Če se na primer pri zadnjem vrtljaju kroglica ustavi na 21 (število v drugem ducatu), je potrebno pri naslednjih vrtljajih staviti na prvi in tretji ducat števil. Če igralec izgubi tj., če je tudi pri naslednjem vrtljaju zmagovalno število iz drugega ducata, potem stavo zviša za 1 enoto. Če igralec zmaga, zneska stave ne spreminja. Pomembno pa je, da igralec ponovno stavi na tista ducata števil, ki pri predhodni stavi nista bila zmagovalna. Na izbrana ducata števil igralec vedno stavi enake zneske, saj prav na tem temelji celotna strategija [5, 14]. Primer: Igralec počaka na primeren vrtljaj, pri katerem je zmagovalno število 7. Gre za število iz prvega ducata. Potemtakem bo stavil 1 enoto na drugi in tretji ducat števil. Pri naslednjem vrtljaju zmaga število 10, tako da igralec izgubi. Stavo zato zviša za 1 enoto pri vsakem ducatu. Se pravi, da zdaj stavi 4 enote. Pri naslednjem vrtljaju zmaga število 22, ki je v enem od igralčevih izbranih ducatov. Ker je bilo to število iz drugega ducata, igralec pri naslednji igri stavi na prvi in tretji ducat ter tako nadaljuje igro [5, 14]. 6. Labouchèrov sistem Poleg sistema Martingale je Labouchèrov sistem najbolj znan sistem za igranje rulete. Gre za strategijo, ki temelji na črtanju števil v določenem številčnem zaporedju. Najprej je treba izbrati poljubno številčno zaporedje, pri katerem je vsako naslednje število za 1 večje od prejšnjega. Po Labouchèrovem sistemu se nato pri posamezni stavi sešteje prvo in zadnje število zaporedja. Seštevek teh dveh števil določa višino naslednje stave. Če igralec izgubi, zapiše ta seštevek na konec zaporedja in, če zmaga prečrta prvo in zadnje število zaporedja [18].

22 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Primer: Igralec izbere poljubno dolgo zaporedje števil, npr.: 1, 2, 3, 4, 5. Znesek stave je seštevek prvega in zadnjega števila, torej 6 enot (1 + 5 = 6). Na izbrano barvo (ali na liho/sodo število, visoko/nizko število) igralec stavi 6 enot. Zmaga, potrebno je izključiti dve števili (prvo in zadnje). V tem primeru sta to 1 in 5. Zdaj je zaporedje sledeče: 2, 3, 4. Torej naslednja stava znaša 6 (2 + 4) enot. Izgubi, na konec zaporedja doda izgubljeni znesek (tj. 6), tako da je novo zaporedje: 2, 3, 4, 6. Naslednja stava sedaj znaša 8 (2 + 6) enot. Sistem se uporablja, dokler niso izključena vsa števila. Torej če igralec izgubi, doda samo eno število, če zmaga pa izključi dve števili [5, 14]. Kar imajo skupnega vsi sistemi stav je, da načeloma ne delujejo. Leta 1976 je igralec imenovan Norman Leigh napisal knjigo Thirteen Against the Bank, kjer opisuje sistem imenovan The Reverse Labouchère. Torej obraten sistem Labouchèrja. Leigh je vedel, da je tradicionalni Labouchère sistem izgube. Pravzaprav se je odločil ravno zaradi tega, ker je od vseh njemu poznanih sistemov, prav ta zadal igralcem največ izgube. Odločil se je, da bo povečal stavo po vsaki zmagi (namesto po vsaki izgubi). Najel naj bi celo 12 profesionalnih igralcev v Casino Municipale v Nici in premagal igralnico. Iz drugih virov je znano, da je bil je slepar. Torej, če je zares premagal igralnico, je bila to le sreča [18]. Če bi obstajala katerakoli zmagovita strategija ali sistem stav, bi obstoj igralnic bil povsem nesmiselen, zato noben sistem stav pri igri z nedovisnimi, slučajnimi poskusi ne deluje dolgoročno. Zmagovati je mogoče le določeno obdobje Dokaz neobstoja strategije s pozitivnim pričakovanim izplačilom V knjigi [24] na str je Richard Epstein objavil matematičen dokaz, ki prikazuje, da so vsi sistemi stav dolgoročno nagnjeni k negativno pričakovanemu izplačilu, torej izgubi. Epstein ni posebaj dokazal, da Martingali ali Reverse Laubochèrji oziroma katerikoli drugi sistemi stav ne delujejo, temveč, da so dolgoročno vsi nagnjeni k izgubi [18]. Izrek 2.1. Če je končna količina kapitala zastavljena na veliko število iger, v igri s konstantno verjetnostjo zmage, izgube, izenačenja, potem vsak in vsi sistemi stav vodijo v enako pričakovano vrednost zmage, glede na količino stavljenega denarja [24]. Izrek 2.2 (Izrek o opcijskem ustavljanju). Naj bo Y 0, Y 1,... nenegativni super-martingal glede na X 0, X 1,... in naj bo T čas ustavljanja z P (T < ) = 1. Potem je E(Y T ) E(Y 0 ).

23 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Dokaz. Izrek o opcijskem ustavljanju pravi, da je E(Y T N ) E(Y 0 ) = Y 0. Predpostavimo P (T < ) = 1, potem Y T N Y T, ko gre n. Po Fatoujevi lemi je E(Y T ) = E(lim inf n lim inf n Y T N) E(Y T N) lim inf n Y 0 = Y 0. Kar pomeni, da je pričakovani končni kapital E(Y T ) vedno nižji od začetnega Y 0 [24]. Torej ne obstaja strategija s pozitivnim pričakovanim izplačilom. Razlog tiči v tem, da ruletna žogica nima spomina, zato je vsak naslednji met neodvisen od prejšnjih. To imenujemo The Law of independent trials ali zakon neodvisnih poskusov [18]. Lahko zaključimo, da katerikoli sistem stav, pri katerem bo naslednja stava odvisna od prejšnjih, ne bo deloval. Omeniti je potrebno, da dokazano velja za nepristranski ruletni cilinder, kjer je porazdelitev verjetnosti enakomerna. Pri pristranskem ruletnem cilindru oz. pristranski ruleti je nekoliko drugače. 2.4 Pristanskost rulete Za ruleto pravimo, da je pristranska, kadar porazdelitev verjetnosti ni enakomerna, zato se kroglica pri določenih številih ustavi pogosteje kot pri drugih. Takim številom pravimo pristrana števila. Razlog tiči v okvarjenem oz. tako imenovanem pristranskem cilindru, do katerega lahko pride že zaradi napak pri proizvodnji ali pa se napaka pojavi v času delovanja rulete. Ena od možnih napak je lahko pomanjkljivost žepov, kjer se žogica ustavi, pri čemer so nekateri žepi morda večji od ostalih ali imajo različno obliko. Možna napaka so lahko tudi močno obrabljeni robovi med žepi. Razlog pristranskosti rulete je lahko tudi slabo namontiran ali slabo izdelan ruletni cilinder. Vse to bi lahko povročilo pojavitev vzorca v izidih določene rulete [2, 18, 28]. V zgodovini igralništva je več takih primerov, kjer so igralci zaslužili premoženje zaradi pristranskih ruletnih cilindrov. Veliko takih primerov je opisanih v knjigah [18] in [9]. Prvi igralec, ki se je zavedal pristranskosti ruletnega cilindra in tak cilinder tudi znal izkoristiti je bil Joseph Jagger. Za več informacij glej [13, 18]. Najti tako ruleto so sanje vsakega hazarderja, saj bi mu pristranska ruleta omogočala zmagovito strategijo in dosleden dobiček, zato veliko igralcev po svetu skuša najti pristranske cilindre, kjer porazdelitev verjetnosti ni enakomerna, in jih izkoristiti. Po-

24 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, skusimo se postaviti v vlogo igralca, ki sumi, da je ruleta pristranska, torej, da je porazdelitev verjetnosti na cilindru taka, da mu v povprečju omogoča dosleden dobiček. Tak igralec bo opazoval izide nato bo stavil na števila, ki se pojavijo večkrat. Da bi se zaščitil pred prenagljenimi sklepi, bo stavil tudi na druga. Več informacij kot bo imel, bo igralec povečeval stave, pri tem bo tudi bolj ali manj previden, zato bo strategija optimalnega igralca vsebovala parameter previdnosti. Tako strategijo opisuje Jerome P. Klotz, v članku [8] in jo imenujemo Klotzova strategija [8, 20].

25 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Klotzova strategija Privzemimo problem neznane ugodne stave na posamezno igro pri ruleti z neuravnoteženim ruletnim cilindrom. Wilson v [1] predstavi problem na podlagi lastnih izkušenj, Barnhart v [30] poda zanimive zgodbe o velikih zaslužkih v igralnicah in Ethier v [32] privzame problem testiranja hipotez na ugodnih številih. Toda kar igralce najbolj zanima je problem določanja optimalne strategije, da bi maksimizirali svoj dobiček, o čemer piše Klotz v članku A winning strategy for roulette, na katerega se v tem poglavju v celoti navezujem [8]. 3.1 Opis Klotzove strategije Kot statistični model izidov rulete, naj bo zaporedje neodvisnih vektorjev X 1, X 2,..., X n imelo multinomsko porazdelitev M(1,p), kjer je X i = (X i1, X i2,..., X ik ) T, X ik = 0 ali 1, K k=1 X ik = 1, p = (p 1, p 2,..., p K ) T, K k=1 p k = 1. Torej z verjetnostjo p k, X ik =1, če žogica pade v žepek s številom k, v i-ti igri in X ik =0 z verjetnostjo 1-p k, če ne pade. M k je izplačilo i-te igre za žepek k s stavo v vrednosti 1e za zmago (X ik =1) in -1e za izgubo (X ik =0). Pri ameriški ruleti je K = 38, z izplačilom M k = 35e za vse številčne stave. Naj bo začetni kapital igralca C 0, C n pa končni kapital po n stavah ter naj bo strategija stolpični vektor γ n =(γ n0, γ n1,..., γ nk ) T, kjer je γ n0 delež C n 1, ki ni stava ter γ nk za k=1,2,...,k delež stave na žepku k za n-to kockanje z K k=0 γ nk = 1. Kapital na koncu n iger za to strategijo bo K C n = C n 1 (γ n0 + γ nk (M k + 1)X nk ) = C 0 n (γ i0 + k=1 i=1 k=1 K γ ik (M k + 1)X ik ). (3.1) Zapišimo X[n] = (X 1, X 2,..., X n ) in privzemimo, da je γ i = (γ i0, γ i1,..., γ ik ) T odvisen samo od (X 1, X 2,..., X i 1 )(F (X[i 1])merljiva). Po članku [8] bom najprej obravnavala rešitev problema optimalne strategije γ n za znan p, pri čemer maksimiziramo pričakovan log-kapital. Potem pa bom obravnavala statistični problem iskanja strategije za neznan p in raziskala lastnosti Bayesove strategije. Logaritemska funkcija, ki jo bom v tem poglavju uporabljala, je povzeta iz ekonomije. Ekonomisti jo pogosto izberejo kot funkcijo koristnosti. Klotz pa jo je izbral, ker ima

26 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, pol pri ničli, kar v tem primeru pomeni da, če je igralec zelo blizu ničle oziroma, če pade na nič s svojimi stavami, potem ga to kaznuje z. Ta strategija ga v resnici odvrača od tega, da bi preveč stavil, posebej če je blizu ničle Optimalna strategija za znane verjetnosti (p 1, p 2,..., p k ) Za znan p je optimalna strategija γ n = γ(p) neodvisna od n. Sedaj enakomerno maksimiziramo pričakovano log-izplačilo za posamezno igro φ(γ) = K p k log(γ 0 + (M k + 1)γ k ) k=1 glede na sledeče omejitve: γ k 0 za k = 0, 1,..., K in K k=0 γ k = 1 [15, 16]. Najprej napišimo izrek, ki ga bomo potrebovali pri reševanju Lagrangeve funkcije. Izrek 3.1 (Karush-Kuhn-Tuckerjev izrek [19]). Privzemimo problem minimiziranja funkcije f(x) za x R, pri čemer je g i (x) 0 za i = 1,..., p in h j (x) = 0 za j = 1,..., q. Naj bodo f, g i, h j zvezno odvedljive funkcije ter naj bo Lagrangeva funkcija L(x, λ, µ) = f(x) + p q λ i g i (x) + µ j h j (x), i=1 j=1 potem za minimum veljajo naslednji pogoji: L(x, λ, µ) = 0 za k = 1,..., n X k λ i 0 za i = 1,..., p λ i g i (x) = 0 za i = 1,..., p g i (x) za i = 1,..., p h j (x) = 0 za j = 1,..., q Tem pogojem pravimo Karush-Kuhn-Tuckerjevi ali KKT pogoji. Z uporabo Karush-Kuhn-Tuckerjevega izreka (za več informacij viri [12, 22, 23]), Jerome P. Klotz minimizira Lagrangeovo funkcijo L(λ, γ) = K p k log(γ 0 + γ k (M k + 1)) k=1 K K λ k γ k + λ + ( γ k 1), kjer je λ = (λ 0, λ 1,..., λ K, λ + ) T vektor Lagrangevih multiplikatorjev. k=0 k=1

27 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Rešitev bo ustrezala enačbam za k = 0, 1,..., K, z λ k 0 za k = 0, 1,..., K ter L(λ, γ) γ k = 0 (3.2) K λ k γ k = 0 (3.3) k=0 K γ k = 1 (3.4) k=0 za γ k = 0. Z rešitvijo enačbe (3.2) k = 1, 2,..., K za γ k za pogoje γ 0 in λ dobimo γ k = Če je γ k > 0, potem λ k = 0 zaradi enačbe (3.3) in potem p k γ 0 λ + λ k (M k + 1). (3.5) γ k = p k γ 0 λ + (M k + 1). Če definiramo G + = {k : 1 k K, γ k > 0} in delimo te γ k vrednosti v enačbi (3.4), dobimo γ 0 = Za γ 0 > 0 enačba (3.3) da λ 0 = 0. 1 p k k G + λ + 1. (3.6) k G + (M k + 1) 1 Če uporabimo enačbo (2.2) za k = 0, po deljenju zgornje vrednosti z γ 0 dobimo λ + = 1. Ko je γ k = 0, nam enačba (3.5) z λ + = 1, da enačbo λ k = 1 p k(m k + 1) γ 0 0 (3.7) torej γ k = 0 implicira γ 0 p k (M k + 1). Potem je za to rešitev kjer je p 0 = 1 k G + p k. φ(γ) = k G + p k log(p k (M k + 1)) + p 0 log(γ 0 ), Da bi določili množico G + = {k : 1 k K, γ k > 0}, moramo najprej urediti vrednosti tako, da bo p 1 (M 1 + 1) p 2 (M 2 + 1)... p K (M K + 1). Potem imamo dva primera. Če je 1 p 1 (M 1 + 1) potem p k 1 (M k +1) za vse k = 1, 2,..., K. Za λ + = 1 sledi iz enačbe (3.6), da γ 0 1 p k (M k + 1) za vse k = 1, 2,..., K in φ(γ) bo maksimiziran za prazno G + torej γ k = 0 za k = 1, 2,..., K in γ 0 = 1. Torej v tem primeru ne stavimo nič.

28 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Če pa je 1 p 1 (M 1 + 1) dokažemo, da če je k G + potem je j G + za 1 j k. Predpostavimo nasprotno, da j / G + za j < k G +. Potem je γ j = 0 in γ 0 p j (M j + 1) po enačbi (3.7). Ampak p j (M j + 1) p k (M k + 1), tako da γ 0 p k (M k + 1) γ 0 in 0 < γ k = p k 0, kar je protislovje. (M k + 1) Torej je G + = {1, 2,..., r}, kjer je r 1 največje celo število z 1 r k=1 (M k+1) 1 > 0 in kjer je γ 0 [k] = p r (M r + 1) > γ 0 [r], (3.8) 1 k j=1 p j 1 k t=1 (M t + 1) 1. Potem če γ 0 = γ 0 [r] velja γ k = p k γ 0 (M k + 1) (3.9) za k = 1, 2,..., r in γ k = 0 za k = r + 1,..., K. Imamo maksimum φ(γ) = r p k log(p k (M k + 1)) + p 0 log(γ 0 ), (3.10) k=1 kjer je p 0 = K k=r+1 p k. Označimo ta maksimum z φ (p). 3.2 Pričakovano izplačilo EC n in Varianca Za znan p je optimalna strategija konstanta tako, da imamo za posamezno igro (n = 1) K K E(C 1 /C 0 ) = E(γ 0 + γ k (M k + 1)X 1k ) = γ 0 + p k γ k (M k + 1). k=1 k=1 Z uporabo neodvisnosti je za splošen n n K E(C n /C 0 ) = E[ (γ 0 + γ k (M k + 1)X ik )] = [E(C 1 /C 0 )] n. (3.11) i=1 k=1 Podobno in K E[(C 1 /C 0 ) 2 ] = p k (γ 0 + γ k (M k + 1)) 2 k=1 E[(C n /C 0 ) 2 ] = {E[(C 1 /C 0 ) 2 ]} n. Iz tega sledi, da V ar(c n /C 0 ) = {E[(C 1 /C 0 ) 2 ]} n {[E(C 1 /C 0 )] 2 } n = {E(C 1 /C 0 )} 2n [( ) n 1], (3.12)

29 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, kjer je 1 = σ(c 1/C 0 ) E(C 1 /C 0 ) = [ K k=1 p kγk 2(M k + 1) 2 ( K k=1 p kγ k (M k + 1)) 2 ] 1/2 [γ 0 + K k=1 p kγ k (M k + 1)] koeficient variacije za posamezno igro. Standardni odklon je lahko malo večji glede na pričakovano vrednost, tako da se zelo velika ali zelo majhna izplačila zgodijo po določenem obdobju igre. Nekateri vpogledi v variacijo so lahko pridobljeni iz centralnega limitnega izreka za neodvisne, enakomerno porazdeljene slučajne spremenljivke. optimalno strategijo γ n = γ, lahko zapišemo C n = C 0 e nφ (p)+ nσz n Če logaritmiramo enačbo (3.1) za velik vzorec log-normalnega prikaza, kjer Z n N(0, 1), ko gre n. Od tod σ 2 = K K p k log 2 (γ 0 + γ k (M k + 1)) [ p k log(γ 0 + γ k (M k + 1))] 2. k=1 k= Primer Da bi prikazali izračun strategije in pričakovano izplačilo za znan pristranski model z majhnim številom žepkov (K=4), privzamimo stave na zeleno barvo (0,00), na prvo, drugo in tretjo dvanajsterico števil (glej [10] na str. 365). Združimo zelene izide {0, 00} v žepek z indeksom k = 1, izide {1, 2,..., 12} v žepek z indeksom k = 2, izide {13, 14,..., 24} v žepek z indeksom k = 3 in izide {25, 26,..., 36} v žepek z indeksom k = 4. Izplačilo za stavo v vrednosti 1e je M 1 = 17,00e za zeleno, M 2 = M 3 = M 4 = 2e za vsako dvanajsterico števil. Naj bodo prave verjetnosti p = (3/38, 14/38, 12/38, 9/38) T v primerjavi z verjetnostmi za popolnoma uravnoteženo kolo (2/38, 12/38, 12/38, 12/38) T. Tabela 1 nam poda izračun optimalne strategije za ta primer. Izračun γ. k p k M k p k (M k + 1) γ 0 [k] γ k 1 3/ /38. = /323. = / / /38. = /209. = / / /38. = /95. = /95 4 9/ /38. = : k j=1 (1 (M j + 1) 1 ) < 0, γ 0 = γ 0 [3] = 81/95 Tabela 1: Izračun γ

30 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Zanimivo je, da γ 3 = 3/95 > 0, čeprav je p 3 (M 3 + 1) = 36/38 < 1. Da bi izračunali pričakovano izplačilo po n = 100 igrah, z začetnim kapitalom C 0 = 1000e, uporabimo enačbo (3.11). E(C 1 /C 0 ) = ( 3 38 )( 3 )18 + ( )( 8 )3 + ( )( 3 95 )3 =. 1, Z EC 100 = 1000 [EC 1 /C 0 ] 100. = 7.607, 50 [( 3 38 )( 3 95 ) ( )( 8 95 ) ( )( 3 95 )2 3 2 (( 3 38 )( 3 95 )18+(14 38 )( 8 95 )3+(12 38 )( 3 95 )3)]1/2 Imamo koeficient variacije = σ(c 1 /C 0 ). = 0, = σ(c 1 /C 0 )/E(C 1 /C 0 ). = 0, in standardni odklon iz enačbe (3.12), ki je σ(c 100 ) = (EC 100 ) < [(1+ 2 1) 100 1] 1/2. = , 21. Opazimo ekstremno variabilnost. 3.3 Bayesovo ocenjevanje verjetnosti Primer neznanega (p 1, p 2,..., p k ) Zdaj obravnavajmo statistični problem določanja strategije γ[n] = (γ 1, γ 2,..., γ n ) (K+1) n za n zaporednih kockanj, da bi maksimizirali pričakovano log-izplačilo za neznan fiksen p E X[n] p log(c n (γ[n], X[n])). Klotz tukaj vzame v poštev Bayesovo strategijo za apirorno Dirichletovo skupno gostoto f p (p) = Γ(α + ) Γ(α 1 )Γ(α 2 )...Γ(α K ) pα p α p α K 1 K, kjer je 0 < p k < 1, K j=1 p j = 1, α k > 0, α + = K j=1 α j [32]. To je naravno in matematično zadovoljiva apriorna porazdelitev za multinomski model. Posteriorna porazdelitev prav tako pripada temu razredu Dirichletovih porazdelitev [6].

31 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Bayesova rešitev bo minimizirala Bayesovo tveganje ali maksimizirala povprečno pričakovano log-izplačilo glede na Dirichletovo apriorno porazdelitev: E p E X[n] p log(c n (γ[n], X[n])). (3.13) Da bi našli Bayesovo strategijo, moramo preoblikovati enačbo (3.13). K E p E X[n 1] p E Xn X[n 1],p{log(C n 1 ) + log(γ n0 + γ nk (M k + 1)X nk )} k=1 kjer je = E X[n 1] E p X[n 1] {log(c n 1 ) + = E X[n 1] {log(c n 1 ) + K p k log(γ n0 + γ nk (M k + 1))} k=1 K ˆp nk log(γ n0 + γ nk (M k + 1))}, k=1 ˆp nk = E(P k X[n 1]) = α k + S k [n 1] α + + n 1 posteriorna pričakovana vrednost p k glede na n 1 opazovanj z S k [n 1] = n 1 i=1 X ik. Sledi, da je i-ti stolpec Bayesove strategije ˆγ[n] = (ˆγ 1, ˆγ 2,..., ˆγ n ) (K+1) n podan z enačbo (3.9) p k zamenjanimi z vrednostmi Bayesovih ocen ˆp ik za i = 1, 2,..., n, kjer je S k [0] = 0 za začetno strategijo (i = 1). 3.4 Dokaz Optimalnosti Za Bayesovo strategijo vzamimo v poštev limitirano povprečno pričakovano logizplačilo glede na n iger lim n E X[n] p 1 n log(c n(ˆγ[n], X[n])). V izreku 3.4 bomo prikazali izpeljavo pričakovanega log-izplačila φ (p) za optimalno strategijo, ko je p znan. Zapišimo E X[n] p 1 n log(c n(ˆγ[n], X[n])) = 1 n log(c 0) + 1 n in poglejmo n-ti člen vsote na desni n E X[n] p log(ˆγ i0 + i=1 K ˆγ ik (M k + 1)X ik ) k=1 (3.14)

32 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, K ψ n = E X[n] p log(ˆγ n0 + ˆγ nk (M k + 1)X nk ) k=1 = E X[n 1] p E Xn X[n 1],p log(ˆγ n0 + K ˆγ nk (M k + 1)X nk ) (3.15) k=1 K = E X[n 1] p p k log(ˆγ n0 + ˆγ nk (M k + 1)). k=1 Da bi najprej pokazali ψ n φ (p), ko n, moramo dokazati naslednji lemi. Lema 3.2. Za fiksen p, Bayesovo cenilko ˆp n in strategijo ˆγ[n] = (ˆγ 1, ˆγ 2,..., ˆγ n ) (K+1) n imamo K p k log(ˆp nk (M k + 1)) k=1 K p k log(ˆγ n0 + ˆγ nk (M k + 1)) k=1 K p k log(m k + 1). k=1 Dokaz. Desna neenakost velja zaradi (ˆγ n0 +ˆγ nk (M k +1)) (M k +1). Za levo neenakost pa velja K p k log(ˆγ n0 + ˆγ nk (M k + 1)) = k=1 r K p ji log(ˆp nk (M k + 1)) + p k log(ˆγ n0 ) i=1 K p k log(ˆp k (M k + 1)), k=1 k=r+1 ˆp nk. ker je ˆγ n0 ˆp nk (M k + 1) za k > r, kjer je r definiran v enačbi (3.8) z verjetnostmi To dokončuje dokaz. Lema 3.3. Za verjetnosti 0 < p k < 1, pri čemer k = 1, 2,..., K in za Bayesove ocene ˆp nk imamo K E X[n] p k=1 p k log(ˆp nk (M k + 1)) K p k log(p k (M k + 1)), k=1 ko n. Dokaz. Zaradi aditivnosti je dovolj dokazati, da E[log(ˆp nk )] log(p k ), ko gre n. Izberimo ε tak, da bo 0 < ε < p k in definirajmo množico A nk = {ω : S k [n 1] (n 1)(p k ε)}. Z uporabo definicije ˆp nk imamo 0 < α k α + + (n 1) α k + S k [n 1] α + + (n 1) = ˆp nk < 1

33 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, in ( log α k α + + (n 1) ) P (A nk ) E[log(ˆp nk )I Ank ] 0. (3.16) Za največje celo število S n = (n 1)(p k ε), ki ne presega (n 1)(p k ε), imamo ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 (n p Sn k S (1 p k) n 1 Sn P (A nk ) p Sn k n S (1 p Sn )p k) n 1 Sn k n np k S n z uporabo vira [34], str 140. Sledi, da ko gre n, velja ( log α k α + + (n 1) in E[log(ˆp nk )I Ank ] 0 z uporabo enačbe (3.16). ) P (A nk ) 0 V komplementarni množici A c nk imamo S k[n 1] > (n 1)(p k ε) tako, da 1 ˆp nk = S k[n 1] + α k n 1 + α + p k ε 1 + α + n 1 p k ε 2 > (n 1)(p k ε) + α k n 1 + α + za dovolj velik n. Torej je log(ˆp nk ) omejen na A c nk dominirani konvergenci, da bo in lahko uporabimo izrek o E[log(ˆp nk )I A c nk ] log(p k ), ker ˆp nk konvergira skoraj gotovo k p k zaradi krepkega zakona velikih števil in I A c nk 1 skoraj gotovo. Končno je E[log(ˆp nk )] = E[log(ˆp nk )I Ank ] + E[log(ˆp nk )I A c nk ] 0 + log(p k ). S tem je trditev dokazana. Sedaj z uporabo lem 3.2 in 3.3 dokažemo naslednji izrek. Izrek 3.4. Za fiksen p k, 0 < p k < 1 in Bayesovo strategijo ˆγ[n] imamo ψ n φ (p), ko gre n, kjer so ψ n in φ definirani v enačbah (3.15) in (3.10) ter lim n E X[n] p 1 n log(c n(ˆγ[n], X[n])) = φ (p).

34 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Dokaz. Ker ˆp nk konvergira skoraj gotovo k p k sledi, da Bayesova strategija ˆγ n = γ(ˆp n ), z uporabo enačb (3.9) in (3.10), konvergira skoraj gotovo k optimalni strategiji za znan p ko gre n, ker so enačbe zvezne v p. Od tod sledi h n = ˆγ n γ(p), K p k log(ˆγ n0 + ˆγ nk (M k + 1)) φ (p). k=1 Če označimo slučajno spremenljivko z g n = K k=1 p k log(ˆp nk (M k + 1)) in konstanto z G = K k=1 p k log(m k + 1) potem iz leme 3.2 sledi g n h n G. Ker g n g = K k=1 p k log(p k (M k + 1)) in zaradi leme 3.3, E(g n ) g, lahko uporabimo izrek iz [11], da bi zaključili ψ n = Eh n φ (p). Pri drugem delu izreka velja, da povprečno pričakovano log-izplačilo prav tako konvergira k φ (p) z uporabo konvergence n 1 ln(c 0 ) 0 in Toepliztove leme (glej [25], str. 270) uporabljene na enačbi (3.14).

35 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Empirični del Roulette is the most glamorous of all the casino games. An air of elegance surrounds the roulette table, and its spinning wheel seems to be a perfect agent by which the goddess of fortune may intervene in the affairs of mortal men. How much superior is this unapproachable mechanistic device to those games like dice and cards, where human hands may tamper with fate. But more than glamour, the game presents to me a certain irresistible challenge. The roulette is intended to be a symmetrical gambling device, the odds for which always favour the house. In the long run, it would appear that a player must inevitably lose. But due to a certain degree of asymmetry in the wheel s production, or due to its later wear, the odds may shift enough to favor a player on certain bets. The shrewd observer may spot such a case and actually be able to play a winning game. Herein lies the challenge. Allan N. Wilson, Tha Casino Gambler s Guide [21]. Postavimo se na stališče igralcev, ki poskušajo najti pristranske cilindre in jih izkoristiti. Recimo, da imamo igralca, ki sumi, da je porazdelitev verjetnosti na cilindru taka, da mu v načelu omogoča v povprečju dosleden dobiček, pri čemer ne ve kateri izidi so zanj ugodni ampak le sumi, da je dobivanje možno. Kaj bo tak igralec storil? Odgovor na to vprašanje nam je podal že omenjeni ameriški matematik Jerome P. Klotz v članku A winning strategy for roulette [20]. Igralec bo opazoval izide. Na začetku ne bo stavil nič, ko pa se bodo začele nabirati informacije o verjetnostih posameznih izidov, bo začel staviti majhne vsote na izbrana števila. Med izbranimi števili bo igralec dal prednost tistim, ki se večkrat pojavljajo, ne bo pa stavil samo na ta števila, temveč se bo nekako poskušal zaščititi pred prenagljenimi sklepi. Več kot bo informacij, bo optimalni igralec tudi povečeval stave. Igralec je lahko tudi manj ali bolj previden. Lahko dolgo opazuje cilinder, preden se odloči za stave ali pa postopa bolj lahkomiselno in hitro verjame, da je našel prava števila. Klotzova strategija vsebuje zato dodaten parameter, ki ga imenujemo previdnost [20]. Pogledali si bomo kaj se dogaja s Klotzovo strategijo na simuliranih in dejanskih izidih na cilindrih z različnima previdnostima. Previdnost 100 bomo pripisali igralcu, ki je zmerno previden, previdnost 200 pa bolj zadržanemu igralcu, ki bo dolgo opazoval cilinder, preden se bo odločil za kakšno stavo. Pomagamo si z uporabo računalniškega programa za numerične matematične izračune GNU Octave, v katerem uporabimo

36 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, priložen program (priloga A), ki nam simulira ruletni cilinder in prikaže Jerome Klotzovo strategijo z danim faktorjem. 4.1 Obnašanje strategije na simuliranih podatkih Poglejmo si kaj se zgodi s Klotzovo strategijo, če jo uporabimo na simuliranih izidih na različno pokvarjenih cilindrih. Pri vsakem cilindru bo najprej prikazana porazdelitev verjetnosti (vrednosti verjetnosti so prikazane na sliki 18, na koncu tega podpoglavja) nato potek igralčevega kapitala z različnima previdnostima. Začetni kapital vsakega igralca je 1 enoto. Najmanjša možna stava je 1 enoto, največja pa 100 enot. Slika 8: Idealen cilinder Slika 9: Idealen cilinder

37 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Slika 9 prikazuje potek igralčevega kapitala na cilindru, ki je za igralnico idealen. Prvi igralec igra s previdnostjo 100, drugi pa s previdnostjo 200. Vidimo, da je prvi igralec bolj lahkomiselen, zato začne staviti prej in tako tudi po pričakovanju izgubi več denarja kot drugi igralec, ki igra bolj zadržano in začne staviti kasneje. Po ih igrah ima v tem primeru drugi igralec malenkost več preostalega kapitala kot prvi igralec. Dolgoročno je igralec s previdnostjo 200 izgubil manj kot tisti s previdnostjo 100. Sedaj si poglejmo štiri različno pokvarjene cilindre. Slika 10: Cilinder št. 1 Slika 11: Cilinder št. 1

38 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Čeprav cilinder št. 1 ni idelaen, je še vedno dovolj blizu idealnemu, da po ih igrah optimalna strategija še ni uspela izkoristiti pristranske porazdelitve verjetnosti. Je pa zelo lepo vidna razlika med igralcema z različnima previdnostima. Igralcu s previdnostjo 200 po ih igrah ostane več kapitala kot igralcu s previdnostjo 100. Slika 12: Cilinder št. 2 Slika 13: Cilinder št. 2 Pri cilindru št. 2, ki je še malenkost bolj pokvarjen kot prejšnji se že lepše vidi razlika med igralcema in njihove strpnosti do igre. Po ih igrah je drugi igralec že znatno povečal svoj začetni kapital toda, po pričakovanju, dolgoročno izgubil.

39 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Na naslednjih dveh cilindrih pa imamo drugačno zgodbo, ker so cilindri že bolj pokvarjeni. Potrebno je poudariti, da domnevni igralec ne ve, katera so zanj ugodna števila, meni pa, da mu bo Klotzova strategija pomagala. Slika 14: Cilinder št. 3 Slika 15: Cilinder št. 3 Klotzova strategija bo sčasoma zaznala možnost dobička. Bolj previden igralec bo začel igrati kasneje in zanesljivo dobival, manj previden igralec pa bo zažel staviti že nekoliko prej. Svoj začetni kapital bosta pomnožila z občutnim faktorjem. Tak cilinder bi lahko bil za igralnico katastrofalen.

40 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Slika 16: Cilinder št. 4 Slika 17: Cilinder št. 4 Cilinder št. 4 je že tako zelo pokvarjen, da program ni uspel prikazati poteka kapitala za več kot 2000 iger, ker je le-ta tako zelo visoko porasel. Grafa na sliki 17 tako prikazujeta potek kapitala le za 2000 odigranih iger, zato na tej sliki ni lepo razvidna razlika med igralcema z različnima previdnostima.

41 Univerza na Primorskem, Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije, Slika 18: Tabela verjetnosti izidov na različnih cilindrih Ker pa so v igralnicah dejanski cilindri in ne njihove računalniške simulacije, si poglejmo v naslednjem razdelku še grafe poteka kapitala pri dejanskih cilindrih.