KLASIFIKACIJA INVERZNIH LIMIT S POŠEVNIMI ŠOTORSKIMI VEZNIMI FUNKCIJAMI

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO DOKTORSKA DISERTACIJA KLASIFIKACIJA INVERZNIH LIMIT S POŠEVNIMI ŠOTORSKIMI VEZNIMI FUNKCIJAMI Junij, 203 Matevž Črepnjak Mentor: izr. prof. dr. Iztok Banič Somentor: red. prof. dr. Uroš Milutinović

KAZALO Povzetek v Abstract vii Zahvala ix Osnovni pojmi. Uvod....................................... Nekatere lastnosti kontinuumov................. 5..2 Vgnezdeni preseki......................... 7.2 Hiperprostori................................ 9.3 Inverzne limite................................3. Inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami.........3.2 Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami........ 6.4 Ingramova domneva............................ 22 2 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum 25 2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit.................. 25 2.2 Primeri inverznih limit s poševnimi šotorskimi funkcijami, ki so homeomorfne Brouwer- Janiszewski-Knasterjevemu kontinuumu................ 37 iii

3 Inverzne limite s poševnimi šotorskimi funkcijami 39 3. Inverzne limite z enoličnimi poševnimi šotorskimi funkcijami.... 39 3.2 Inverzne limite s poševnimi šotorskimi funkcijami, ki niso enolične. 57 3.2. K (0,)................................. 60 3.3 Homeomorfnost inverznih limit s poševnimi šotorskimi funkcijami. 65 4 Poti in loki skozi inverzne limite v 2 [0,] 67 4. Povezanost hiperprostora 2 [0,] s potmi................. 67 4.2 Konstrukcije poti in lokov v hiperprostoru 2 [0,] skozi inverzne limite............................ 68 5 Odprti problemi 73 5. Odprta vprašanja.............................. 73 5.2 Potencialni pristopi............................. 74 5.2. Markovske preslikave....................... 74 5.2.2 Vgnetena zaporedja........................ 76 Literatura 93 Kazalo slik 99 Stvarno kazalo 0

POVZETEK V doktorski disertaciji bomo preučevali homeomorfnost inverznih limit inverznih zaporedij enotskih intervalov[0, ] s poševnimi šotorskimi veznimi funkcijami glede na lego vrhov poševnih šotorskih funkcij. Za poljubna a,b [0,] je poševna šotorska funkcija f (a,b) : [0,] [0,] definirana kot večlična funkcija, katere graf Γ(f (a,b) ) je unija daljic od(0,0) do(a,b) in od(a,b) do(,0). Točko(a,b) imenujemo vrh poštevne šotorske funkcijef (a,b). V prvem poglavju bomo predstavili inverzne limite inverznih zaporedij kompaktnih metričnih prostorov tako z enoličnimi kot večličnimi veznimi preslikavami. Predstavili bomo tudi Ingramovo domnevo, ki je glavna motivacija za preučevanje inverznih limit s poševnimi šotorskimi veznimi funkcijami. V drugem poglavju doktorske disertacije bomo govorili o inverznih limitah, ki so homeomorfne Brouwer-Janiszewski-Knasterjevemu kontinuumu. Natančneje, spoznali bomo nekatere primere inverznih limit inverznih zaporedij zaprtih enotskih intervalov [0,] s poševnimi šotorskimi veznimi preslikavami z vrhom v produktu [0,] [0,], ki so homeomorfne Brouwer-Janiszewski-Knasterjevemu kontinuumu. V tretjem poglavju bomo govorili o klasifikaciji inverznih limit inverznih zaporedij zaprtih enotskih intervalov[0, ] s poševnimi šotorskimi veznimi funkcijami z vrhom v produktu[0, ] [0, ]. Izpeljali bomo pogoje za homeomorfnost posebnih primerov inverznih limit s poševnimi šotorskimi funkcijami. Posledično bomo videli, kdaj te inverzne limite niso homeomorfne. Tako bomo v produktu zaprtih intervalov [0, ] [0, ] predstavili takšne podmnožice, za katere bo veljalo naslednje: v

če vrhova poševnih šotorskih funkcij pripadata isti podmnožici, tedaj sta pripadajoči inverzni limiti homeomorfni, in če vrhova poševnih šotorskih funkcij pripadata različnim podmnožicam, tedaj pripadajoči inverzni limiti nista homeomorfni. Omenimo, da razdelitev [0,] [0,] na omenjene podmnožice ne bo popolna, saj se je problem klasifikacije takih inverznih izkazal kot zahteven in je postal zanimiv izziv mnogim raziskovalcem na tem področju. V četrtem poglavju bomo opisali še nekaj izvirnih rezultatov o hiperprostoru2 [0,], opremljenim s Hausdorffovo metriko. Osredotočili se bomo na poti in loke, ki potekajo natanko skozi inverzne limite inverznih zaporedij enotskih zaprtih intervalov[0, ] s poševnimi šotorskimi veznimi funkcijami z vrhom v produktu zaprtih enotskih intervalov[0, ] [0, ]. V zadnjem poglavju se bomo posvetili še odprtim problemom, ki se tičejo klasifikacije inverznih limit inverznih zaporedij zaprtih enotskih intervalov [0, ] s poševnimi šotorskimi veznimi funkcijami z vrhovi v produktu [0, ] [0, ]. Opisali bomo tudi zanimive probleme, ki so nastali ob razvijanju disertacije in še niso rešeni. Prikazali bomo ideje in potencialne pristope za njihovo reševanje. Math. Subj. Class. (200): 37B0, 37B45, 37E05, 54B05, 54B0, 54B20, 54C60, 54D05, 54D30, 54E35, 54E45, 54F05, 54F5. KLJUČNE BESEDE: kontinuum, Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum, inverzna limita, inverzno zaporedje, navzvgor polzvezna funkcija, večlična funkcija, vezna funkcija, šotorska funkcija, Ingramova domneva, s potmi povezan prostor, hiperprostor. UDK: 55.26(043.3)

ABSTRACT CLASSIFICATION OF GENERALIZED TENT MAPS INVERSE LIMITS In this dissertation we will study when the inverse limits of inverse sequences of unit intervals[0, ] with generalized tent bonding function respecting on a position of top vertex of generalized tent functions are homeomorphic. For any a,b [0,], the generalized tent function f (a,b) : [0,] [0,] is defined as the set-valued function with the graph Γ(f (a,b) ) being the union of the segment from (0,0) to (a,b) and the segment from (a,b) to (,0). The point (a,b) is called the top point of the generalized tent functionf (a,b). In the first chapter we will introduce the inverse limits of inverse sequences of compact metric spaces with both single and set-valued bonding functions. We present the Ingram conjecture, which is the main motivation for considering inverse limits with generalized tent bonding functions. In the second chapter of the dissertation we are dealing with inverse limits, homeomorphic to the Brouwer-Janiszewski-Knaster continuum. More precisely, we will give examples of the inverse limits of inverse sequences of unit intervals[0, ] with generalized tent bonding functions with the top vertex in the product [0,] [0,] which are homeomorphic to the Brouwer-Janiszewski-Knaster continuum. In the third chapter we will deal with the classification of inverse limits of inverse sequences of unit intervals [0, ] with generalized tent bonding functions with the top vertex in the product [0,] [0,]. In special cases we will prove the conditions when inverse limits with generalized tent functions are homeomorphic. Consequently we will see when these inverse limits are not homeomorphic. In the product of unit intervals [0,] [0,] we will describe such subsets, for which the vii

following holds true: if a top vertices of generalized tent maps are in the same subset, then the corresponding inverse limits are homeomorphic, and if a top vertices of generalized tent maps are not in the same subset, then the corresponding inverse limits are not homeomorphic. Let us also mention that the dividing of [0,] [0,] of the above subsets will not be complete, since the problem of classifying such inverse limits is very complicated, becoming an interesting challenge to many researchers in the field. In the fourth chapter we will describe the original results about hyperspace 2 [0,] equipped with the Hausdorff metric. We will concentrate on the paths and arcs that go only through inverse limits of inverse sequences of unit intervals[0, ] with generalized tent bonding functions with top vertices in the product[0,] [0,] In the last chapter of dissertation we will focus on the open problems of classifications of inverse limits of inverse sequences of unit intervals [0,] with generalized tent bonding functions with top vertices in product [0,] [0,]. We will describe the interesting problems which occurred during the development of the thesis and which are not solved yet. Also we will show the ideas and potential approaches for their solving. Math. Subj. Class. (200): 37B0, 37B45, 37E05, 54B05, 54B0, 54B20, 54C60, 54D05, 54D30, 54E35, 54E45, 54F05, 54F5. KEY WORDS: continuum, Brouwer-Janiszewski-Knaster continuum, inverse limit, inverse sequence, upper semi-continuous function, set-valued function, bonding function, tent map, Ingram conjecture, path-connected space, hyperspace.

Nekje v nekem kotičku svojih src smo še vedno vsi učenci. (Tagore) Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Iztoku Baniču in somentorju red. prof. dr. Urošu Milutinoviću za pomoč pri doktorski disertaciji. Hkrati se zahvaljujem vsem, ki so mi v času priprave le-te stali ob strani.

OSNOVNI POJMI. Uvod Za predstavitev rezultatov o inverznih limitah bomo v uvodnem poglavju vpeljali osnovne pojme, ki jih potrebujemo za njihovo razumevanje. Definicija. Topološki prostor X je nepovezan, če obstajata takšni neprazni, disjunktni, odprti podmnožici U in V v X, za kateri velja U V = X. Prostor je povezan, če ni nepovezan. Opomba.2 Če obstajata takšni neprazni, disjunktni, odprti podmnožici U in V v X, potem pravimo, da U in V tvorita separacijo odx. Definicija.3 Topološki prostor X je popolnoma nepovezan, če so edini njegovi povezani podprostori tisti, ki vsebujejo le eno točko. Definicija.4 Naj bosta x in y točki iz prostora X. Pot od x do y je zvezna preslikava f : [a,b] X, kjer jef(a) = x inf(b) = y. Pravimo, da jex s potmi povezan prostor, če za vsak par točk iz X obstaja pot v X od ene do druge točke. Kompaktnost je zelo pomembna topološka lastnost. Zgodovinski pregled vpeljave kompaktnosti, kot jo poznamo danes (leta 923 sta jo vpeljala P. Aleksandrov in P. Urison), si lahko preberemo v [40].

2 Osnovni pojmi Definicija.5 Topološki prostor X je kompakten, če za vsako odprto pokritje U prostora X obstaja končno podpokritje. Definicija.6 Topološki prostor je degeneriran, če ima le eno točko in je nedegeneriran, če vsebuje več kot eno točko. V nadaljevanju bomo uporabljali znane rezultate za kompaktne metrične prostore. Zaradi boljše preglednosti jih strnimo v naslednji izrek: Izrek.7 (i) Zvezna slika povezanega prostora je povezan prostor. (ii) Zvezna slika kompaktnega prostora je kompakten prostor. (iii) Zaprta podmnožica kompaktnega prostora je kompakten prostor. (iv) Kompaktna podmnožica metričnega prostora je zaprta. (v) Produkt poljubne družine povezanih topoloških prostorov je povezan topološki prostor. (vi) Produkt poljubne družine kompaktnih topoloških prostorov je kompakten topološki prostor. (vii) Števni produkt metrizabilnih prostorov je metrizabilen. (viii) Zvezna bijektivna preslikava iz kompaktnega prostora v Haussdorfov prostor je homeomorfizem. Dokaz. Dokaze za (i), (ii), (iii), (iv), (vii) in (viii) najdemo v [58, str. 46-88], dokaza za (v) in (vi) pa v [53, str. 7, 37]. Naslednja definicija je ključna, saj se bomo v nadaljevanju večinoma ukvarjali kontinuumi. Natančneje, vpeljali bomo pojem kontinuuma v razredu metričnih prostorov. Ker se bomo ukvarjali le s kontinuumi v razredu metričnih prostorov, jih bomo na kratko imenovali kontinuumi.

. Uvod 3 Definicija.8 Kontinuum je neprazen kompakten povezan metrični prostor. Podkontinuum je kontinuum, ki je podprostor nekega kontinuuma. Izrek.9 Metrični prostor, ki je homeomorfen kakemu kontinuumu, je tudi sam kontinuum. Dokaz. Naj bo X metrični prostor, K kontinuum in f : K X homeomorfizem. Ker je f zvezna bijektivna preslikava in K neprazen, povezan in kompakten metrični prostor, je po točkah (i), (ii) izreka.7 tak tudi X. Za boljše razumevanja pojma kontinuum si poglejmo nekaj primerov kontinuumov. Najenostavnejši primer je primer degeneriranega kontinuuma. Zgled.0 Za poljuben x R je {x} kontinuum. V nadaljevanju se bomo ukvarjali predvsem z nedegeneriranimi kontinuumi in zato si oglejmo nekaj osnovnih primerov le-teh. Definicija. Lok je topološki prostor, ki je homeomorfen zaprtemu intervalu I = [0, ]. a b 0 Slika.: Lok je kontinuum Izrek.2 Lok je kontinuum. Dokaz. Ker je [0,] kontinuum, zato je po izreku.9 tudi lok kontinuum.

4 Osnovni pojmi Definicija.3 n-sfera je topološki prostor, ki je homeomofren S n = {x R n+ x = }. Izrek.4 n-sfera je kontinuum. Dokaz. Ker je za vsak n N S n kontinuum, zato je po izreku.9 tudi za vsak n N n-sfera kontinuum. Zgled.5 -sfera je homeomorfna enotski krožnici vr 2 in jo imenujemo enostavna sklenjena krivulja (glej sliko.2). Slika.2: -sfrera oziroma enostavna sklenjena krivulja, ki opisana v zgledu.5 Definicija.6 Hilbertova kocka je topološki prostor, ki je homeomofen števnemu produktu n N[0,], opremljenim s produktno topologijo. Izrek.7 Hilbertova kocka je kontinuum. Dokaz. Po (v), (vi) in (vii) izreka.7 je n N[0,] povezan, kompakten in metrizabilen prostor. Po aksiomu izbire je števni produkt nepraznih prostorov neprazen topološki prostor. Definicija.8 Funkcijo f : X Y imenujemo topološka vložitev, če je f : X f(x) homeomorfizem.

. Uvod 5 Naslednji izrek je zelo pomemben, saj nam zagotavlja, da lahko vsak kontinuum topološko vložimo v Hilbertovo kocko. Izrek.9 Vsak kontinuum lahko topološko vložimo v Hilbertovo kocko. Dokaz. Glej [52, str. 24]. Zgled.20 Naj bo W = { (x,sin } x ) R2 0 < x. Prostor Cl(W) se imenuje sin -kontinuum ali Varšavski lok. x Slika.3: sin x - kontinuum sin x - kontinuum je povezan kompakten podprostor ravnine R2 [58, str. 57, 58] in je zato kontinuum... Nekatere lastnosti kontinuumov V tem razdelku si bomo pogledali nekatere lastnosti kontinuumov, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. Definicija.2 KontinuumX je unikoherenten, če se za vsak par njegovih pravih podkontinuumovk in H velja, če je K H = X, potem je K H povezan. Definicija.22 Kontinuum je dedno unikoherenten, če je vsak njegov podkontinuum unikoherenten.

6 Osnovni pojmi Zgled.23 Lok je dedno unikoherenten kontinuum. Zgled.24 Enostavna sklenjena krivulja ni unikoherenten kontinuum, vendar vsak njen pravi podkontinuum je unikoherenten. Definicija.25 Dendroid je dedno unikoherenten z loki povezan kontinuum. Točko p dendroida X imenujemo razvejišče, če je p skupno krajišče treh ali več lokov v X, katerih edina skupna točka je p. Definicija.26 Dendroid, ki vsebuje natanko eno razvejišče, se imenuje pahljača. Razvejišču pahljače pravimo vrh pahljače. ( Zgled.27 Naj bo G = K n ) K, kjer je za vsak n, K n daljica v evklidski ravnini n= od(0,0) do(, ) ink daljica v evklidski ravnini od(0,0) do(,0). ProstorGje pahljača n in se imenuje harmonična pahljača. 0 Slika.4: Harmonična pahljača, ki je opisana v zgledu.27 Definicija.28 Kontinuum X je ireducibilen, če obstajata točki x,y X, tako da za vsak pravi podkontinuum Y od X velja, da {x,y} ni podmnožica od Y. V tem primeru pravimo, da je X ireducibilen medxiny ter ga označimo z I(x,y). Zgled.29 Kontinuum[x, y] je ireducibilen za vsak x, y R, x < y.

. Uvod 7 Definicija.30 Kontinuum X je razcepen, če se ga da zapisati kot unijo dveh pravih podkontinuumov. Kontinuum, ki ni razcepen, je nerazcepen. Prvi, ki je opisal primer nerazcepnega kontinuuma,je bil leta 90 L. E. J. Brouwer [9]. Ker je bil opis Brouwerjevega kontinuuma zelo zapleten, je Z. Janiszewski leta 9 na podlagi teh rezultatov podal enostavnejši opis kontinuuma, ki je nerazcepen med dvema točkama in ne separira ravnine [42]. Nekaj let kasneje je B. Knaster s pomočjo Cantorjeve množice podal geometrijski opis nerazcepnega kontinuuma v ravnini. Opisani kontinuum je leta 922 preučeval tudi K. Kuratowski [5], ki ga je poimenoval Knasterjev kontinuum, toda danes je bolj znan kot Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum. Več o tem kontinuumu bomo govorili v poglavju 2. Konstrukcije Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma kažejo, da je iskanje primerov kontinuumov z želenimi lastnostmi zelo zahtevno. Kot rešitev za lažje konstrukcije novih kontinuumov z vnaprej podanimi lastnostmi so se pojavile različne tehnike. V nadaljevanju si bomo pogledali dve zelo pomembni tehniki. Natančneje, tehniko vgnezdenih presekov in tehniko inverznih limit...2 Vgnezdeni preseki Definicija.3 Naj bo za vsako naravno število i, X i kontinuum. {X i } i N je padajoče zaporedje kontinuumov, če velja X X 2 X i. Takemu zaporedju rečemo tudi vgnezdeno zaporedje kontinuumov. Izrek.32 Naj bo {X i } i N padajoče zaporedje kontinuumov. Tedaj je tudi X = n NX n kontinuum. Dokaz. Glej [59, str. 6].

8 Osnovni pojmi Definicija.33 Naj bo {X n } n N padajoče zaporedje kontinuumov. Kontinuum X = X n imenujemo vgnezdeni presek kontinuumov. n N V naslednjem zgledu bomo podali primer uporabe tehnike vgnezdenih presekov. Zgled.34 Naj bo S = [0, ] [0, ]. Razdelimo X na naslednjih devet kongruentnih kvadratovs = [0, ] [0, ],S 3 3 2 = [0, 3 ] [, 2],S 3 3 3 = [0, 3 ] [2,],S 3 4 = [, 2] [0, ], 3 3 3 S 5 = [, 2] 3 3 [, 2], S 3 3 6 = [, 2] 3 3 [2,], S 3 7 = [ 2,] [0, ], S 3 3 8 = [ 2,] 3 [, 2] in 3 3 S 8 = [ 2 3,] [2,]. 3 Naj bo X = S in X 2 = X \Int(S 5 ). Z drugimi besedami, to pomeni, da X 2 dobimo tako, da odstranimo osrednji kvadrat in tako nam preostane osem kvadratov. Sedaj vsakega izmed teh osmih kvadratov ponovno razdelimo na devet enakih delov in odstanimo osrednji kvadat. Na tak način dobimo X 3. S tem postopkom nadaljujemo in dobimo padajoče zaporedje kontinuumov X X 2 X i. Po izreku.32 je X = n NX n kontinuum, ki se imenuje univezalna krivulja Sierpińskega (glej sliko.5). Slika.5: Univezalna krivulja Sierpińskega

.2 Hiperprostori 9.2 Hiperprostori Mnoge lastnosti kontinuumov lahko najhitreje preučimo s pomočjo pojma zaporedij kompaktnih množic in njihove konvergence v ustreznih hiperprostorih [34, 59]. Ker bomo v disertaciji predstavili tudi izvirne rezultate o hiperprostorih, bomo v tem razdelku vpeljali vse potrebne pojme za vpeljavo pojma hiperprostor. Definicija.35 Naj bo(x,d) kompakten metrični prostor. Tedaj je - 2 X množica vseh nepraznih zaprtih podmnožic odx, - za vsak ε > 0 in vsak A 2 X N d (ε,a) = {x X d(x,a) < ε za neka A}. Definicija.36 Za poljubnih,k 2 X naj bo H d (H,K) = inf{ε > 0 H N d (ε,k),k N d (ε,h)}. PreslikavoH d : 2 X 2 X R imenujemo Hausdorffova metrika. Izrek.37 Hausdorffova metrika H d je metrika na2 X. Dokaz. Glej [59, str. 53]. Definicija.38 Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor. Metrični prostor (2 X,H d ) imenujemo hiperprostor za prostor(x,d). Več o hiperprostorih najdemo v [34, 59].

0 Osnovni pojmi Definicija.39 Naj bo (X,T ) topološki prostor in naj bo {A n } n= zaporedje podmnožic vx. Tedaj je liminfa n ={x X za vsako odprto okolico U odxje U A n za vse, razen končno mnogo n} limsupa n ={x X za vsako odprto okolico U odxje U A n za neskončno mnogo n} Opomba.40 Iz definicije.39 očitno sledi, da je liminfa n limsupa n. Definicija.4 Naj bo (X,T ) topološki prostor, {A n } n= zaporedje podmnožic v X in A X. Tedaj je A = lima n, če je liminfa n = A = limsupa n. V nadaljevanju bomo s področja hiperprostorov potrebovali naslednje rezultate, ki jih bomo strnili v naslednjo trditev. Izrek.42 Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor in (2 X,H d ) njegov hiperprostor. Nadalje, naj bo {A n } n= zaporedje nepraznih, zaprtih podmnožic odx. Tedaj velja. (2 X,H d ) je kompakten. 2. Če je X kontinuum, potem je tudi (2 X,H d ) kontinuum. 3. A = lima n natanko tedaj, koa n konvergira kaglede na Hausdorffovo metriko. Dokaz. Glej [59, str. 57, 58]. Kadar bomo v nadaljevanju govorili o konvergenci zaporedij množic, bo to pomenilo konvergenco glede na Hausdorffovo metriko.

.3 Inverzne limite.3 Inverzne limite Inverzne limite predstavljajo pomembno vlogo v različnih vejah topologije, kot pomemben aparat jih srečamo tudi v drugih matematičnih področjih. V teoriji kontinuumov, ki predstavlja široko vejo topologije, pogosto naletimo na primere inverznih limit inverznih zaporedij zaprtih enotskih intervalov in zveznih veznih preslikav. Eden od razlogov za pogostost inverznih limit je tudi ta, da so se inverzne limite izkazala kot rešitev za lažje konstrukcije kontinuumov z vnaprej podanimi lastnostmi kot tudi za lažje preučevanje lastnosti kontinuumov. Že v primerih, ko so prostori v inverznem zaporedju paroma enaki in so vse preslikave inverznega zaporedja tudi paroma enake, dobimo komplicirane inverzne limite (npr. Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum, psevdolok, p-adične solenoide in druge). Še posebno zanimivi primeri inverznih zaporedij so inverzna zaporedja, kjer so vsi prostori enaki zaprtemu enotskemu intervalu [0, ] in vse vezne preslikave enake. Na ta način lahko zelo zapletene primere kontinuumov zapišemo s pomočjo preprostejših prostorov, enotskih intervalov [0, ], ki jih povezujejo preproste vezne funkcije. V zadnjem času prihaja v ospredje tudi njihova posplošitev, t. i. posplošene inverzne limite, ki sta jih 2006 vpeljala W. T. Ingram in W. S. Mahavier [39]. Ob njihovi vpeljavi sta podala pogoje, pri katerih je taka inverzna limita kontinuum, in predstavila zanimive primere takih inverznih limit. Ker bomo v naslednjih poglavjih večinoma govorili o inverznih limitah, si bomo v tem razdelku nekoliko obširneje pogledali ta aparat. Najprej bomo spoznali inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami, nato pa bomo celotno stvar posplošili na inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami..3. Inverzne limite z enoličnimi veznimi funkcijami Definicija.43 Inverzno zaporedje je zaporedje {X i,f i } i=, kjer so X i kompaktni metrični prostori inf i : X i+ X i zvezne funkcije, ki jih imenujemo vezne preslikave. Inverzno zaporedje {X i,f i } i= lahko predstavimo tudi tako: f f 2 f 3 X X2 X3

2 Osnovni pojmi Definicija.44 Inverzna limita inverznega zaporedja {X i,f i } i= je definirana kot podprostor prostora i= X i, v katerem so vse točke x = (x,x 2,x 3,...) i= X i, za katere velja x i = f i (x i+ ) za vsako naravno število i. Inverzno limito označujemo z lim {X n,f n } n=. Spodnji zapis je strjena zgornja definicija: lim {X i,f i } i= = { x = (x,x 2,x 3,...) } X i x i = f i (x i+ ), i N. i= Izrek.45 Naj bo {X i,f i } i= inverzno zaporedje. Za vsakk N naj bo Q k (X i,f i ) = { (x,x 2,x 3,...) } X i x i = f i (x i+ ), i k. i= Tedaj veljajo naslednje trditve:. Q k (X i,f i ) Q k+ (X i,f i ) za vse i N. 2. Q k (X i,f i ) je homeomorfen produktu i=k+ X i za vse k N. 3. lim {X i,f i } i= = Q k (X i,f i ). k= Dokaz. () in (3) sledita direktno iz definicije Q k (X i,f i ) in iz definicije.44. Za dokaz (2) definirajmoh : Q k (X i,f i ) i=k+ X i koth(x,x 2,...) = (x k+,x k+,...) za vse (x,x 2,...) Q k (X i,f i ). Brez težav vidimo, da je to homeomorfizem. Izrek.45 kaže, da so inverzne limite poseben primer vgnezdenih presekov. Sedaj si bomo pogledali še nekaj lastnosti inverznih limit, ki jih bomo srečali v naslednjih poglavjih. Posebno pomemben je naslednji izrek, ki ga bomo v nadaljevanju pogosto uporabljali. Izrek.46 Inverzna limita kontinuumov je kontinuum. Inverzna limita nepraznih kompaktov je neprazen kompakt.

.3 Inverzne limite 3 Dokaz. Glej [59, str. 9, izrek 2.4] Na nekaj enostavnih primerih si poglejmo, kako deluje tehnika inverznih limit. Zgled.47 Za p {2,3,4,...} naj bo vezna preslikava f p : S S podana s prepisom f p (z) = z p za vsakz S = {z C z = }. Tedaj kontinuum imenujemo p-adični solenoid. lim {S,f p } i= Zgled.48 Za vsak n N naj bo X n = [0,] in f n : X n+ X n, f n (t) = t 2 za vsak t [0,]. 0 Slika.6: Graf funkcijef(t) = t 2 v zgledu.48 V inverzni limiti imamo samo točke oblike (t, t, t,...), t [0,]. Ni težko preveriti, da je invezna limita lok. Opomba.49 V primeru, ko je X n = X in f n = f za vsakn N, pišemo lim {X n,f n } n= = lim{x,f}. Zgled.50 Za vsak n N naj bo X n = [0,] in f n : X n+ X n, f n (t) = c za vsak t [0,], kjer je c [0,] konstanta. Po definiciji inverzne limite je očitno, da je v inverzni limiti samo točka(c,c,...).

4 Osnovni pojmi c 0 Slika.7: Graf funkcijef(t) = c v zgledu.50 S pomočjo inverznih limit lahko dobimo tudi zelo zapletene kontinuume. Že v primerih, ko imamo enostavne prostore in preproste vezne preslikave, dobimo komplicirane kontinuume, ki imajo najrazličnejše lastnosti. Za primer navedimo, da lahko psevdolok zapišemo s pomočjo inverzne limite tako, da so vsi prostori enotski intervali, vse vezne funkcije pa so med seboj enake [32]. V zgledu.5 bomo predstavili Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum kot inverzno limito zaprtih enotskih intevalov in t.i. šotorske funkcije. Dokaz, da je to res Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum, bomo predstavili v poglavju 2. Zgled.5 Za vsakn N naj box n = [0,] inf n : X n+ X n, definirana s predpisom 2t ; 0 t 2 f n (t) = 2 2t ; t. 2 Tedaj je inverzna limita lim {X i,f i } i= homeomofna Brouwer-Janiszewski-Knasterjevem kontinuumu (natančen dokaz bomo spoznali v poglavju 2). Opomba.52 Funkcijo f n iz primera.5 imenujemo standardna šotorska funkcija. Več o šotorskih funkcijah in poševnih šotorskih funkcijah bomo spoznali v podrazdelku.3.2.

.3 Inverzne limite 5 2, 0 Slika.8: Graf standardne šotorske funkcije Izrek.53 Naj bosta X = lim{x i,f i } i= in Y = lim{y i,g i } i= inverzni limiti in za vsak i N naj bo h i : X i Y i taka funkcija, da velja h i f i = g i h i+. Za vsak (x,x 2,x 3...) X definirajmo naslednji predpis h (x,x 2,x 3...) = (h (x ),h 2 (x 2 ),h 3 (x 3 )...). Tedaj veljajo naslednje trditve:. h je funkcija iz X vy. 2. Če so vse h i zvezne, potem je tudih zvezna. 3. Če so vse h i injektivne, potem je tudih injektivna. 4. Če so vse h i zvezne in surjektivne ter so vsi X i kompaktni metrični prostori, potem je tudih surjektivna. Dokaz. Glej [59, str. 26, 27]. Za boljše razumevanje situacijo izreka.53 predstavimo z naslednjim diagramom: X X 2 X 3... X f f 2 f 3 h h 2 h 3 h Y Y 2 Y 3... Y g g 2 g 3

6 Osnovni pojmi Posledica.54 Inverzni limiti lim{x i,f i } i= in lim{y i,g i } i= sta homeomorfni, če obstaja takšno zaporedje homeomorfizmov h i : X i Y i, da velja h i (f i (x)) = g i (h i+ (x)) za vsak i N in za vsakx X i+. Dokaz. Sledi direktno iz izreka.53..3.2 Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami Inverzne limite z večličnimi veznimi funkcijami sta leta 2006 vpeljala Ingram in Mahavier [39]. Ta vpeljava velja za posplošitev standardnega koncepta inverznih limit z enoličnimi veznimi funkcijami. Ob sami vpeljavi sta dokazala nekatere pomembne lastnosti, ki jih bomo tudi mi uporabljali v nadaljevanju. Pri inverznih limitah z večličnimi veznimi funkcijami imamo opravka s funkcijami f : X 2 Y, kjer sta X in Y kompaktna metrična prostora. Funkcijo f : X 2 Y imenujemo tudi večlična funkcija f : X Y. Definicija.55 Večlična funkcija f : X Y je navzgor polzvezna v x 0 X, če za vsako odprto množico V v Y, ki vsebuje f(x 0 ), obstaja odprta množica U v X, ki vsebuje x 0, za katero velja, da za vsak y U je f(y) V. Funkcija f je navzgor polzvezna, če je navzgor polzvezna v vsaki točki. funkcije, ki ga označimo zγ(f), je množica vseh urejenih parov(x,y), kjer y f(x). Graf take Podobno kot v podrazdelku.3. lahko tudi v tem primeru definiramo inverzno zaporedje{x i,f i } i=, kjer sox i kompaktni metrični prostori,f i pa so v tem primeru navzgor polzvezne funkcije iz X i+ v 2 X i. Na podlagi tega posplošenega inverznega zaporedja definiramo invezno limito z večličnimi veznimi preslikavami. Definicija.56 Invezna limita inverznega zaporedja{x i,f i } i= navzgor polzveznih funkcij f i : X i+ 2 X i je definirana kot podprostor prostora i= X n, v katerem so vse točke x = (x,x 2,x 3,...) i= X i, za katere velja x i f i (x i+ ) za vsako naravno število i. Inverzno limito označujemo zlim {X i,f i } i=. lim {X i,f i } i= = { x = (x,x 2,x 3,...) } X i x i f i (x i+ ), i N. i=

.3 Inverzne limite 7 Zelo pomemben izrek, ki sta ga dokazala Ingram in Mahavier v [39], je izrek, ki karakterizira navzgor polzvezne funkcije s pomočjo njihovih grafov. Izrek.57 Naj bosta X in Y neprazna kompaktna metrična prostora in M podprostor prostora X Y, tako da za vsak x X obstaja y Y, da je (x,y) M. Tedaj je M zaprt v X Y natanko tedaj, ko obstaja navzgor polzvezna funkcija f : X 2 Y, tako da je M = Γ(f). Dokaz. Glej [39, izrek ]. Z naslednjimi izreki si bomo zagotovili, da je inverzna limita kompaktnih metričnih prostorov z navzgor polzveznimi veznimi preslikavami tudi sama kompakten metrični prostor. Izrek.58 Naj bo{x n,f n } n= inverzno zaporedje nepraznih kompaktnih metričnih prostorov in navzgor polzveznih veznih funkcij. Naj bo še za vsak k N, G k = {(x,x 2,x 3,...) X i x i f i (x i+ ) za vse i k}. i= Tedaj je G k neprazen in kompakten za vsak k N. Dokaz. Glej [39, izrek 2]. Izrek.59 Naj bo{x n,f n } n= inverzno zaporedje nepraznih kompaktnih metričnih prostorov in navzgor polzveznih veznih funkcij. Tedaj je inverzna limita neprazen in kompakten metrični prostor. lim {X i,f i } i= Dokaz. Glej [39, izrek 3]. Z izreki.57,.58 in.59 tudi vidimo, da je posplošitev običajne definicije inverznih limit z enoličnimi funkcijami zapisane v definiciji.56 dobra.

8 Osnovni pojmi Poglejmo si nekaj enostavnih zgledov inverznih limit, ki imajo za vezne funkcije večlične funkcije, ki niso enolične funkcije. V vseh zgledih bodo vsi prostori enaki enotskem intervalu I = [0, ], vezne funkcije pa bodo navzgor polzvezne funkcije izi v 2 I in te bomo predstavili samo s pripadajočim grafomγ(f). Zgled.60 Naj bo grafγ(f) unija množic {(x,x) x I} ini {c}, kjer je c I. c 0 Slika.9: GrafΓ(f) v zgledu.60 Vse točke v inverzni limiti so oblike (c,c,...,c,t,t,...), kjer je t I in k 0. Za }{{} k vsak k 0 definirajmo X k = {(c,c,...,c,t,t,...) t I} in očitno je za vsak k, X }{{} k k lok. Med drugim opazimo, da za poljubna k k 2 velja, da je X k X k2 = {(c,c,...)} in posledično je invezna limita lim {I,f} homeomorfna pahljači z vrhom v (c,c,...), ki je opisana na sliki.0. Taki pahljači rečemo tudi zvezda (natančno definicijo zvezde najdemo v [59, str. 8]). V naslednjem primeru je inverzna limita harmonična pahljača. Zgled.6 Naj bo grafγ(f) unija množic {(x,x) x I} in{} I. Vse točke v inverzni limiti so oblike (t,t,...,t,,,...), kjer je t I in k 0. Za vsak }{{} k k definirajmo X k = {(t,t,...,t,,,...) t I} in očitno je za vsak k, X }{{} k lok. Tudi k v tem primeru za poljubna k k 2 velja, da je X k X k2 = {(,,...)}. Posledično je invezna limita lim {I,f} homeomorfna harmonični pahljači z vrhom v(,,...).

.3 Inverzne limite 9 Slika.0: Zvezda, 0 Slika.: GrafΓ(f) v zgledu.6 V posebnem primeru, ko lahko večlične preslikave interpretiramo kot zvezne enolične funkcije, velja, če so vsi prostori inverznega zaporedja kontinuumi, tedaj je tudi inverzna limita kontinuum (izrek.46). Zgled.64 opisuje, da posplošitev izreka.46 na navzgor polzvezne funkcije ne velja. Pred tem si poglejmo še definicijo Cantorjeve množice, saj se le-ta pojavi kot inverzna limita v omenjenem zgledu. Zgled.62 Cantorjeva množica je določena z neprestranim odstranjevanjem sredinske tretjine daljice. Začnemo z X = [0,], odstranimo srednjo tretjino (, 2 ) in dobimo 3 3 X 2 = [0, ] 3 [2,]. Na vsakem naslednjem koraku ostranimo vse srednje tretjine pre- 3

20 Osnovni pojmi ostalih intervalov. Tako dobimo padajoče zaporedje nepraznih nepraznih kompaktov X X 2 X 3 X n in po izreku.46 je X = n NX n neprazen kompakten metrični prostor, ki ga imenujemo Cantorjeva množica. Znana je naslednja karakterizacija za Cantorjevo množico. Izrek.63 Prostor X je homeomorfen Cantorjevi množici natanko tedaj, ko je popolnoma nepovezan kompakten metrični prostor, ki nima izoliranih točk. Dokaz. Glej [59, str. 07, izrek 7.4]. Zgled.64 Naj bo f : I 2 I navzgor polzvezna funkcija, katere graf je I {0,}. Preprosto vidimo, da je lim {I,f} = {0,} N, neprazen, kompakten, popolnoma nepovezan metrični prostor brez izoliranih točk. Po [72, str. 27] je homeomorfen Cantorjevi množici, ki ni povezan topološki prostor. 0 Slika.2: GrafΓ(f) v zgledu.64 Z naslednjimi izreki bomo opisali družine inverznih limit z navzgor polzveznimi večličnimi preslikavami, ki so kontinuumi.

.3 Inverzne limite 2 Izrek.65 Naj bo za vsak i N prostor X i kontinuum in f i : X i+ 2 X i navzgor polzvezna preslikava. Če je za vsaki N in za vsakx X i+ prostorf i (x) povezan, tedaj je inverzna limita lim {X i,f i } i= kontinuum. Dokaz. Glej [39, izrek 0]. Podajmo še en izrek o preslikavah med inverznimi limitami. Izrek.66 Naj bosta lim{x i,f i } i= inlim{y i,g i } i= inverzni limiti kompaktnih metričnih prostorov z navzgor polzveznimi veznimi preslikavami in za vsak i N naj bo h i : X i Y i taka funkcija, da velja h i f i = g i h i+. Za vsak (x,x 2,x 3...) lim {X i,f i } i= definirajmo naslednji predpis h (x,x 2,x 3...) = (h (x ),h 2 (x 2 ),h 3 (x 3 )...). Tedaj veljajo naslednje trditve:. h je funkcija iz X vy. 2. Če so vse h i zvezne, potem je tudih zvezna. 3. Če so vse h i injektivne, potem je tudih injektivna. 4. Če so vse h i zvezne in surjektivne ter so vsi X i kompaktni metrični prostori, potem je tudih surjektivna. Dokaz. Glej [39, izrek 3]. Vpeljimo še en zelo pomemben pojem, ki nam zagotavlja homeomorfnost inverznih limit. Definicija.67 Preslikavi f : X X in g : X X sta topološko konjugirani, če obstaja homeomorfizemh : X X, za katerega velja f h = h g. Da je pristop s topološkimi konjugirankami v teoriji inverznih limitah zelo uporaben, nam zagotavlja naslednji izrek.

22 Osnovni pojmi Izrek.68 Če sta preslikavi f : X X in g : X X topološko konjugirani, tedaj sta inverzni limiti lim {X,f} in lim {X,g} homeomorfni. Dokaz. Glej [36, str. 0, ]..4 Ingramova domneva W. T. Ingram je eden od vodilnih raziskovalcev na področju inverznih limit. Poleg vpeljave inverznih limit z večličnimi funkcijami je na področju inverznih limit in teorije kontinuumov prispeval veliko zelo pomembnih rezultatov, med drugim [38, 37, 39]. Izdal je tudi dve znanstveni monografiji [36, 35] s področja inverznih limit. Med drugim je leta 99 postavil znamenito domnevo na področju inverznih limit, ki jo danes poznamo kot Ingramovo domnevo. Domneva.69 Naj bosta b in b 2 realni števili iz intervala (,]. Tedaj velja: inverzni 2 limiti lim{i,f ( 2,b ) } inlim {I,f ( 2,b 2) } sta homeomorfni natanko tedaj, ko je b = b 2. Opomba.70 Definicijo funkcij f ( 2,b ) in f ( 2,b 2) najdemo v.72 in zato ne bomo eksplicitno zapisali predpisov le-teh. Ta domneva je vzpodbudila intenzivno raziskovanje tega problema, kar dokazujejo številni znanstveni članki v povezavi z domnevo, kot so na primer Barge, Brucks, Diamond [8], Barge, Diamond [0, ], Barge, Jacklitch, Vago [2], Barge, Martin [3, 4, 5], Block, Jakimovik, Kailhofer, Keesling [6], Block, Keesling, Raines, Štimac [7], Brucks, Bruin [20], Brucks, Diamond [2], Bruin [22, 23, 24], Collet, Eckmann [26], Good, Knight, Raines [30], Good, Raines [3], Kailhofer [43, 44], Raines [63], Raines, Štimac [64, 65], Štimac [66, 67, 68, 69], Swanson, Volkmer [70]. Leto 2009 je bilo prelomno za postavljeno domnevo, saj so jo M. Barge, H. Bruin in S. Štimac dokazali [9]. Tako lahko Ingramovo domnevo sedaj zapišemo kot izrek. Izrek.7 Naj bosta b in b 2 realni števili iz intervala [,]. Tedaj sta inverzni limiti 2 lim {I,f ( 2,b )} in lim{i,f ( 2,b 2)} homeomorfni natanko tedaj, ko je b = b 2.

.4 Ingramova domneva 23 Dokaz. Glej [9, izrek.]. Funkcije, ki nastopajo v izreku, se zaradi same oblike funkcij imenujejo šotorske funkcije. Te funkcije bomo posplošili na naslednji način: Definicija.72 Za poljubna a,b [0,] je poševna šotorska funkcija f (a,b) : [0,] [0,] definirana kot večlična funkcija, katere graf Γ(f (a,b) ) je unija daljic od (0,0) do (a,b) in od (a,b) do (,0). Točko (a,b) imenujemo vrh poševne šotorske funkcije f (a,b) (v nadaljevanju samo vrh). Inverzno limito dobljeno z inverznim zaporedjem zaprtih enotskih intervalov[0,] in veznih funkcijf (a,b) bomo označevali s K (a,b) = lim {[0,],f (a,b) }. a,b 0 Slika.3: Primer grafa poševne šotorske funkcije Najbolj znan primer poševne šotorske funkcije je standardna šotorska funkcija, katere vrh je točka(,) (glej primer.5 in sliko.8). 2 Vidimo, da smo s to definicijo posplošili šotorske funkcije na poševne šotorske funkcije. Opazimo, da je vsaka poševna šotorska funkcija določena že s svojim vrhom in zato se bomo v nadaljevanju osredotočili predvsem na vrhove šotorskih funkcij in kje le-ti ležijo. Tako bomo na podlagi lege vrhov poševnih šotorskih funkcij vi I preučevali inverzne limite. Med drugim se bomo vprašali, ali obstajajo takšna območja vrhov poševnih šotorskih funkcij, za katere bo veljalo, če sta

24 Osnovni pojmi vrhova v istem območju, tedaj so so pripadajoče inverzni limiti so homeomorfni. Natančneje, zanima nas naslednje vprašanje: Vprašanje.73 Naj bo (a,b) I I.. Kateremu kontinuumu je homeomorfna inverzna limita lim {I,f (a,b) }? 2. Ali obstaja takšen (c,d) I I, (a,b) (c,d), da je lim {I,f (a,b) } homeomorfna lim {I,f (c,d)}? Na to vprašanje bomo skušali odgovoriti v poglavjih 2 in 3. Vidimo, da lahko v večini primerov poševne šotorske funkcije interpretiramo kot enolične funkcije. Natančneje, ko je za vsak t [0,], f (a,b) (t) =, tedaj lahko rečemo, da je f (a,b) enolična funkcija. Velja tudi naslednje: Opomba.74 f (a,b) je enolična funkcija natanko tedaj, ko je a / {0,} ali (a,b) {(0,0),(,0)}.

2 BROUWER-JANISZEWSKI-KNASTERJEV KONTINUUM Zgodovino Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma smo že opisali na 7, sedaj pa bomo podrobneje prikazali sam Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum. Tako bomo v prvem razdelku poglavja Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum natančno opisali s pomočjo inverzne limite s poševno šotorsko funkcijo. V drugem razdelku poglavja bomo opisali inverzne limite s poševnimi šotorskimi funkcijami, ki so homeomorfne Brouwer-Janiszewski-Knasterjevemu kontinuumu. 2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit V tem razdelku bomo dokazali, da je Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum K homeomorfen lim {I,f}, kjer je f standardna šotorska funkcija. Pri tem si bomo pomagali z naslednjimi rezultati. Definicija 2. Naj bo {X n,f n } n= inverzno zaporedje. Tedaj s f i,j označimo preslikavo f i,j = f i f i+... f j, f i,j : X j X i, kjer je j > i. V primeru, ko je j = i+, tedaj je f i,j = f i. 25

26 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum R. D. Anderson in G. Choquet sta leta sta leta 959 v [] dokazala naslednji izrek: Izrek 2.2 Naj bo (X,d) kompakten metrični prostor. Naj bo {X n,f n } n= inverzno zaporedje, kjer je X n neprazna kompaktna podmnožica od X in f n : X n+ X n zvezna surjektivna funkcija za vsakn N. Naj velja še naslednje: (i) za vsak i N in za vsak δ > 0 obstaja takšen δ > 0, da če j > i, j N, x,y X j in d(f i,j (x),f i,j (y)) > δ, potem je d(x,y) > δ ; (ii) za vsak ε > 0 obstaja tak k N, da za vsak x X k velja diam ( j>k f k,j (x) ) < ε. Tedaj je lim {X n,f n } n= homeomorfna ( ( )) Cl X m. i= m>i Ta izrek sedaj imenujemo Anderson-Choquetov vložitveni izrek in s pomočjo tega izreka lahko ocenimo, katere inverzne limite lahko vložimo v ravnino (namreč, če so vsi kontunuumi X n iz izreka 2.2 ravninski, tedaj je tudi inverzna limita lim {X n,f n } n= ravninski kontinuum). Posledica 2.3 Če inverzno zaporedje {X n,f n } n= zadošča vsem pogojem izreka 2.2 in še velja tedaj je lim {X n,f n } n= homeomorfna X X 2 X n, ( ) Cl X i. i N V naslednjem izreku bomo Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum K (z uporabo izreka 2.2) opisali s pomočjo inverznih limit. Opisali bomo konstrukcijo Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma, ki jo je podal V. Brantuša v [8]. Ker

2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit 27 je Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum med pomembnejšimi v tej disertaciji, bomo Brantuševo konstrukcijo podali v celoti. Definicija 2.4 Naj bo Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum K podan geometrijsko v evklidski ravnini kot unija: - zgornjih polkrožnic s središčem v (,0), ki potekajo skozi vsako točko Cantorjeve 2 množice in imajo ordinato večjo ali enako nič, - spodnjih polkrožnic, ki imajo za poljuben n N središče v točki ( 5,0) in potekajo 2 3 n skozi vsako točko Cantorjeve množice na intervalu[ 2, ] ter imajo ordinato manjšo ali enako 3 n 3 n 0. Izrek 2.5 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum K je homeomorfen inverzni limiti lokov in surjektivnih veznih preslikav. Dokaz. Opomnimo, da imajo zgornje polkrožnice iz definicije 2.4 isto središče, zato tega v nadaljevanju ne bomo posebej poudarjali. Konstruirajmo inverzno zaporedje{y i,g i } i= začenši s prostoriy i v evklidski ravnini. Y naj bo unija dveh zgornjih polkrožnic s polmeromar = inr 2 2 = ter spodnje 6 polkrožnice s središčem S ( 5) in polmerom r 6 =. Vse nadaljne kontinuume Y 6 i za i 2 bomo konstruirali s pomočjo že obstoječih tako, da bo veljalo Y i Y i. Natančneje, Y i naj bo unija (i) Y i ; (ii) vseh zgornjih polkrožnic s polmerom R k = R k 2 i + ( ) p 3 i, kjer je k = 2 i +,2 i +2,...,2 i in je p =, če je k 2 i = ali je bil v R k 2 i p = 2, ter jep = 2, če jek 2 i = 2 ali je bil v R k 2 i p = ; (iii) vseh spodnjih polkrožnic s središčem v S n ( 5 2 3 n,0) in polmeri r k = r k 2 i + ( ) p 3 i, kjer je p =, če je k 2 i = ali je bil v r k 2 i p = 2, ter je p = 2, če je k 2 i = 2 ali je bil v r k 2 i p =, ter še predpostavimo, da je bil za r in za vsakr 2 i izbranp = 2; zak = (2 i +2 n ),...,(2 i +2 n ) večan s korakom 2 n, kjer jen =,2,...,i ;

28 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum (iv) spodnje polkrožnice s središčem S n ( 5 2 3 i,0) in polmeromr 2 i = 2 3 i. Poglejmo si zgornje vpeljane formule za polmere zai = 2 ini = 3.. Polmeri zgornjih polkrožnic: (i=2) v tem primeru gledamo radijar 3 inr 4 : R 3 = R +( ) p 3 2 = R 3 2 = 7 8 R 4 = R 2 +( ) p 3 2 = R 2 + 3 2 = 5 8 (i=3) v tem primeru gledamo radijar 5,R 6,R 7 inr 8 : R 5 = R +( ) p 3 3 = R 3 3 = 25 54 R 6 = R 2 +( ) p 3 3 = R 2 + 3 3 = 54 R 7 = R 3 +( ) p 3 3 = R 3 + 3 3 = 23 54 R 8 = R 4 +( ) p 3 3 = R 4 3 3 = 3 54. 2. Središča in polmeri spodnjih polkrožnic: (i=2) v tem primeru gledamo središčis ins 2 ter polmerar 2 inr 3 : S 2 ( 5 2 3,0), r 2 = 2 3 2 5 S ( 2 3 2,0), r 3 = r +( ) p 3 = r 2 3 = 2 8 (i=3) v tem primeru gledamo središčas,s 2 ins 3 ter polmere r 4,r 5,r 6 inr 7 : 5 S 3 ( 2 3 3,0), r 4 = 2 3 3 5 S 2 ( 2 3 2,0), r 6 = r 2 +( ) p 3 = r 3 2 3 = 3 54 S ( 5 2 3,0), r 5 = r +( ) p 3 = r 3 3 = 7 3 54 S ( 5 2 3,0), r 7 = r 3 +( ) p 3 = r 3 3 + 3 = 5 3 54.

2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit 29 Za boljšo prezentacijo Y,Y 2 iny 3 glej slike 2., 2.2 in 2.3. Slika 2.: KontinuumY Slika 2.2: KontinuumY 2 Slika 2.3: KontinuumY 3 Vidimo, da so vsi Y i kontinuumi, saj so homeomorfni loku. Opazimo tudi, da je vsak Y i sestavljen iz2 i zgornjih polkrožnic in2 i spodnjih polkrožnic. Za preglednejše nadaljevanja vpeljimo naslednje: - polkrožnico z radijemr i oziromar i označimo sp(r i ) oziromap(r i ). - polkrožnici v Y i sta sosednji, če sta koncentrični in se indeksa pripadajočih polmerov razlikujeta za 2 i (npr. polkrožnici P(R ) in P(R 3 ) sosednji, podobnop(r 2 ) inp(r 4 )).

30 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum Ker sta sosednji krožnici koncentrični, je razdalja med njima enaka razliki pripadajočih polmerov. Natančneje, vy i je razdalja med P(r k ) inp(r k 2 i ) enaka 3 i. Za lažje razumevanje vpeljimo še en nov pojem za koncentrične krožnice. Prva polovica polkrožnice naj bo del polkrožnice, ki ima absciso manjšo od prve koordinate središča krožnice, druga polovica polkrožnice pa naj bo del pokrožnice, ki ima absciso večjo od prve koordinate središča krožnice. Zaenkrat smo vpeljali prostorey i, sedaj pa je potrebno še vpeljati vezne preslikave g i : Y i+ Y i. Vpeljimo jih na naslednji način: (a) Koncentrična preslikava naj bo središčni razteg polkrožnice na sosednjo krožnico. V našem primeru je lahko razteg ali skrčitev (v odvisnosti ali je polmer sosednje polkrožnice večji ali manjši). Središčni razteg je zvezna bijektivna preslikava in zato je tudi koncentrična preslikava zvezna in bijektivna. Naj bo l krožni lok nad kotom α in radijem r ter l krožni lok nad kotom α in radijem r, kjer sta α,α [0,2π). Predpostavimo, da sta loka l in l v pravokotnem koordinarnem sistemu takšna, da imata središče v izhodišču koordinatnega sistema, eno krajišče na pozitivnem delu absisne osi in potekata v pozitivni smeri vrtenja. Parametrizirajmo l kot re iϕ, pri čemer je ϕ [0,α]. Za vsak ϕ definirajmo preslikavo f(re iϕ ) = r e ihϕ, pri čemer je h = α in to α preslikavo imenujemoh-preslikava iz l nal, ki je seveda homeomorfizem. (b) Vse polkrožnice razen polkrožnice P(r 2 i), ki jim pripadajo polmeri z indeksom manjšim ali enakim 2 i, naj se preslikajo v sebe. (c) Vse polkrožnice (razen prve polovice polkrožnice P(R 3 2 i +)), ki jim pripadajo polmeri z indeksi večjimi od2 i preslikajmo na sosednje polkrožnice s središčno preslikavo. (Opozorimo, da P(r 2 i) nima sosednje pokrožnice, zato bomo v (d) posebej definirali preslikavo.) (d) Preslikava v primeru polkrožnicep(r 2 i). Izberimo določene točke na polkrožnicahp(r 3 2 i +)v P(R 2 i +) inp(r 2 i). - Točko( 2 R 2 i +,0) označimo za(to je ravnop(r 2 i +) P(r 2 i)). - Naj bo S krožnica s središčem v točki A in polmerom r = R 2 i + R 3 2 i + = 3 i+. Tedaj naj bob = S P(R 2 i +).

2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit 3 - Točko( 2,R 2 i +) označimo sc. - Točko( 2 R 3 2 i +,0) označimo zb. - Točko( 2,R 3 2 i +) označimo sc. C B C B A Slika 2.4: Točke za preslikavo v primeru polkrožnice P(r 2 i) Polkrožnica P(r 2 i) je lok med A in B in zato jo označimo z l AB, polkrožnica P(R 3 2 i +) pa je lok med B in C in zato jo označimo z l B C. Prvo polovico polkrožnicep(r 2 i +) smo s A,B inc razdelili na lokal AB in lokal BC. Sedaj prvo polovico polkrožnicep(r 2 i +) razdelimo na dva loka. Del polkrožnice od A do B imenujmo lok l AB in del polkrožnice od B do C imenujmo lokl BC. Vidimo, da lokul AB ustreza kotπ, lokul B C kot π, lokul 2 AB ostri kotα AB = ( r 2 arcsin in lokul BC kotα BC = π α 2 AB. 2R 2 i + ) Sedaj preslikamo P(r 2 i) na del polkožnice P(R 2 i +) med točkama A in B s h -preslikavo z loka l AB na lok l AB, pri čemer je h = α AB π, in prvi del polkrožnice P(R 3 2 i +) med točkama B in C s h 2 -preslikavo loka l B C na lok l BC, pri čemer jeh 2 = α BC π. 2 Pri tem naj točka A ostane pri miru, točka B naj se preslika v točko B in C naj se preslika v točkoc. Seveda je h < in h 2 <, zato se razdalja med poljubnima dvema točkama pri tej preslikavi zmanjša. Preverimo, da za tako definirano preslikavo g i velja, da je razdalja med poljubno točko T in g i (T) manjša od 2 3 i+. Pri koncentrični preslikavi se poljubna točka T

32 Brouwer-Janiszewski-Knasterjev kontinuum preslikava sama vase ali pa na sosednjo polkrožnico, torej je razdalja manjša ali enaka 2 3 i+ (sosednji polkrožnici kontinuuma Y i+ sta narazen za natanko 3 i+ ). Pri preslikavai polkrožnicep(r 2 i) pa velja: - Poljubna točkat P(R 3 2 i +) je znotraj krožnice s središčemain polmerom r. Prav tako je znotraj te krožnice g i (T) in zato je razdalja med T in g i (T) manjša od 2 3 i+. - Za točke na prvem delu polkrožnice P(R 2 i +) (del polkrožnice med B in C ) velja, da se se najbljižje preslika točka C (g i (C ) = C) in najdalje točka B (g i (B ) = B; točki B in B ležita na krožnici s središčem v A ter polmerom r in tetiva BB ne gre skozi A, zato je razdalja med B in B manjša od 2 3 i+ ). Vse ostale točke imajo razdalje do slik med tema dvema razdaljama in ta je manjša od 2 3 i+. Preverimo, da je{y i,g i } i= res inverzno zaporedje. Opazimo, da je vsaka preslikava g i definirana tako, da del kontinuuma Y i+, ki je enak Y i, preslika samega vase, preostali del pa prav tako na del, ki je enak kontinuumu Y i. Posledično vidimo, da je poljubna preslikava g i zvezna, saj je vsaka preslikavag i zlepek samih zveznih preslikav in za vsako točko lepljenja (to so tiste točke na abscisni osi, kjer se stikata dve polkrožnici) velja, da jo obe preslikavi preslikata v isto točko. Torej je{y i,g i } i= res inverzno zaporedje. Sedaj še dokažimo, da inverzno zaporedje {Y i,g i } i= res ustreza pogojem izreka 2.2. Naprej preverimo pogoj (ii) iz omenjenega izreka, nato še pogoj (i). (ii) Za poljubno izbraniiin vsak j > i, ter poljubno točkox X i velja, da je d(x,g i,j (x)) < 2 3 i+ + 2 3 i+2 +...+ 2 3 j < 2 3 i+(+ 3 + 3 2 +...) = 3 i. Torej, če za poljubenε > 0 vzamemo takšenk N, da je 4 3 k < ε, tedaj velja d(g k,j (x),g k,j (x)) d(g k,j (x),x)+d(x,g k,j (x)) 3 k + 3 k = 2 3 k ε 2. Sledi, da je diam ( j>k g k,j (x) ) < ε in inverzno zaporedje {Y i,g i } i= zadošča pogoju(ii) iz izreka 2.2.

2. Opis Brouwer-Janiszewski-Knasterjevega kontinuuma s pomočjo inverznih limit 33 (i) Pogoj (i) iz izreka 2.2 je ekvivalenten pogoju za vsak i N in za vsak δ > 0, obstaja takšen δ > 0, da čej > i,j N in x,y Y j ter d(x,y) δ, je potem d(g i,j (x),g i,j (y)) δ. Dokazali bomo slednji pogoj. Za poljubno izbranaiinδ > 0 naj boδ = min{ 3 i+2, δ 9 }. Opazimo, da se poljubni dve točki, ki sta med seboj oddaljeni manj od 3 i+2, s preslikavog i,j preslikata na isto polkrožnico ody i, ker takšni dve točki ležita na polkrožnicah, ki so med dvema sosednjima polkrožnicama, kateri sta med seboj oddaljeni za manj od 3 i+i, to je med sosednjima polkrožnicama kontinuuma Y i+. Ker se sosednji polkrožnici pri preslikavi g i : Y i+ Y i preslikata ena na drugo, se bodo tudi vse polkrožnice med njima preslikale na eno izmed teh dveh polkrožnic. Iz same vpeljave polkrožnic vidimo, da sta polmera sosednjih polkrožnic največ v razmerju 3 :, kar pomeri, da se razdalja med poljubnima dvema točkama pri koncentrični preslikavi na polkrožnici poveča za največ 3 krat. Vpeljimo naslednji pojem: krožni izsek sosednjih polkrožnic od Y i s točkama P in Q je presek pasu med dvema sosednima pokrožnicama, ki vsebujeta točki P inqvključno s polkrožnicama in kotapvq, kjer jev središče dveh polkrožnic. Ker se sosednji polkrožnici kontinuuma Y i+ pri preslikavi g i preslikata ena na drugo, je slika krožnega izseka sosednjih polkrožnic kontinuuma Y i+ s točkamap inqpri preslikavig i eden izmed lokov tega krožnega izseka. Preslikavag i,j slika poljubni dve točkip inqna tri različne načine: (a) če obe ležita v isti polravnini glede na abscisno os in za nobenk,i < k < j, se njuni sliki vy k ne nahajta na polkrožnicahp(r 3 2 k 2 +) alip(r 2 k ), potem tudi njuni sliki v Y i ležita v isti polravnini; (b) če ležita na nasprotnih straneh abscisne osi in za noben k, i < k < j, se njuni sliki v Y k ne nahajta na polkrožnicah P(R 3 2 k 2 +) ali P(r 2 k ), potem tudi njuni sliki v Y i ležita na nasprotnih straneh abscisne osi;