Magistrsko delo - Dalibor Igrec - FINAL.doc

Transkripcija

1 UNIVERZA V MARIBORU Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Dalibor Igrec NAČRTOVANJE ROBUSTNEGA REGULATORJA Z METODO QFT Magistrsko delo Maribor, januar 2010

2 Avtor: Naslov: Naslov v angleščini: Ključne besede: Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el. Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT Robust control design with QFT UDK: (043.3) Število strani: 121 Obdelava besedila: Razmnoževanje: Število izvodov: 8 metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta, robustna stabilnost Dalibor Igrec, univ. dipl. inž. el. Laboratorij za sisteme in vodenje, UM FERI Maribor Kraj in datum: Maribor, januar 2010

3

4 My learning of QFT began in 1990 and I was captivated by its simplicity and brilliance. I jumped in at once, and since then have been learning, teaching, and applying this wonderfully practical tool at IIT Bombay. I have just this much to say to the memory of Professor Horowitz ( ): Thank you, sir for this wonderful invention. Professor P. S. V. Nataraj of IIT, Bombay, India Zahvala Za pomoč in koristne nasvete pri magistrskem delu se iskreno zahvaljujem komentorju dr. Amorju Chowdhuryu. Povrhu tega se zahvaljujem tudi mentorju izr. prof. dr. Rajku Svečku ter družini, ki mi je ves čas stala ob strani.

5 Načrtovanje robustnega regulatorja z metodo QFT UDK: (043.3) Ključne besede: metoda QFT, Nicholsov diagram, negotovost parametrov, vzorec objekta, robustna stabilnost Povzetek: Načrtovanje regulatorja v frekvenčni domeni po Horowitzovi [2] metodi, oziroma metodi QFT, se je izkazala za učinkovito pri razvoju robustnih regulatorjev za doseganje standardnih zahtev frekvenčne domene tako pri sistemih z enim vhodom in enim izhodom (SISO) kot pri sistemih z več vhodi in več izhodi (MIMO). Razlog za učinkovitost metode QFT je neposredno upoštevan problem zmanjšanja negotovosti objekta. Namen naloge je predstaviti načrtovanje regulatorja s metodo QFT, ki je verjetno edina znana tehnika načrtovanja vodenja, kjer je zajeto hkratno upoštevanje faze in negotovosti objekta. Prednost metode je možnost doseganja robustne stabilnosti ter robustnega učinka z minimalnim učinkom povratne vezave [7]. Metoda QFT je grafično-analitični postopek načrtovanja vodenja, ki zahteva precej predpriprav pri oblikovanju vzorcev objekta ter empiričnih izkušenj, obenem pa daje načrtovalcu precej manevrskega prostora in direktnega vpogleda v spremembe regulatorja pri načrtovanju. Temeljna ovira metode je določanje mej objekta v Nicholsovem diagramu, saj izračun mej metode QFT eksponentno narašča z natančnostjo vzorca objekta. Za nazornejšo predstavitev metode je predstavljen eksperiment na realnem objektu, kjer je izvedeno vodenje sistema z regulatorjem načrtovanim s metodo QFT. Dobljeni rezultati so primerjani z rezultati vodenja sistema z regulatorjem načrtovanim po metodi H.

6 Robust control design with QFT UDK: (043.3) Keywords: QFT design, Nichols chart, parameter uncertainty, plant template, robust stability Abstract: The frequency domain controller design methodology by Horowitz [2], namely quantitative feedback theory (QFT), has proved to be very effective in terms of designing robust controllers to meet standard frequency domain specifications for both single input single-output (SISO) and multiple-input multiple-output (MIMO) systems. The reason for this is that QFT directly addresses the plant uncertainty reduction issue, the primary reason for feedback; hence allowing for the minimum energy to be demanded from a plant to meet certain performance specifications. The aim of the present work is to present the usage of the QFT method for the controller design. It is a graphic technique for designing feedback controllers which is probably the only known technique that simultaneously considers large parametric uncertainty and phase information. The ability to satisfy robust stability and different performance constraints with the minimum possible cost of feedback [7] is the biggest advantage of the method. The downside is that the method, though systematic and powerful in hands of an experienced control engineer, has only recently lent itself to a formal mathematical form as is the case with the more recent paradigms such as H control and µ-synthesis. A major advantage of QFT is that the design is performed in the frequency domain. This enables a good insight into the plant operation and difficulties that may arise during the controller design. Uncertainties can be caused either by changing the plant characteristics or ambient conditions or by unknown external disturbances. QFT starts by defining the plant and then specifying its uncertainties. The defined uncertainties are then used to determine the differential gain and phase from the nominal ones, over the range of frequencies through which the plant operates. At each distinct frequency, differential gains and phases are used to generate the Plant template. The given example illustrates the steps taken in the QFT controller design. To allow for a more illustrative presentation we made an experiment with a real object with the controller designed according to the QFT method. In the work we show the complete procedure of the QFT design from the model analysis to the controller design. At the end we also compared the system performances of the QFT and H controller design.

7 Kazalo POVZETEK...5 ABSTRACT...6 KAZALO...7 KAZALO SLIK UVOD Vsebina naloge po poglavjih TEORIJA VODENJA SISTEMOV Postopek načrtovanja vodenja sistemov Regulacijski problem Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike Vodljivost in spoznavnost sistemov Vodljivost sistemov Spoznavnost sistemov Modeliranje in simulacija Analiza sistemov v frekvenčni domeni Polarni diagram Nicholsov diagram Stabilnost regulacijskih sistemov Nyquistov stabilnostni kriterij Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema Odstopanja Strukturna odstopanja Parametrična odstopanja Analiza stabilnosti Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom Analiza stabilnosti z mejnim teoremom TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV Uvod Osnovne lastnosti frekvenčne domene Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina Pogojno stabilni sistemi Visoko frekvenčno ojačanje Lastnosti zaprte zanke Časovna domena...39

8 3.3.2 Frekvenčna domena Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP) Stabilni objekti Nestabilni objekti OPIS METODE QFT Uvod Različni pristopi pri oblikovanju vzorca Ekstrakcija mejne linije Oblikovanje mejne linije Povzetek Oblikovanje vzorcev Izračun meje vzorca Dokaz Opombe Princip načrtovanja Potek načrtovanja Mejni krivulji Izbrane frekvence Vzorci objekta Nominalni model Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka Spreminjanje oblike Načrtovanje predfiltra EKSPERIMENT Modeliranje objekta Načrtovanje regulatorja Lineariziran model objekta Zahteve vodenja Mejni krivulji Nominalni model Izbrane frekvence Vzorci objekta Meje robustne stabilnosti Meje robustnega učinka Spreminjanje oblike Načrtovanje predfiltra Rezultati PRIMERJAVA METOD QFT IN H Metoda H Metoda QFT Primerjava metod Primerjava delovanja regulatorjev

9 6.5 Sklep ZAKLJUČEK LITERATURA ŽIVLJENJEPIS

10 Kazalo slik Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo...22 Slika 2.2: Polarni diagram...25 Slika 2.3: Regulacijski sistem...28 Slika 2.4: Kompleksna preslikava...29 Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema...29 Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama...34 Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri...35 Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah...37 Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev...38 Slika 3.5: Shema reguliranega sistema...38 Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni...42 Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja šibkejši pogoj...43 Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in ω a...46 Slika 3.9: Zančno ojačanje od L( s) kjer je ω blizu maksimuma L( jω ) φ φ 1+ > 3.5dB...47 Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer L1 ( s ) vsebuje ničlo pri 3, 2 ( ) L ( s ) pa zakasnitev 23 d L s ničlo pri 6, T =...49 Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2α = 1, L = 1 s...50 M Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (M L, M H ), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( ω ) in frekvence amplitudne rezerve ( ω )...51 φ Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve ω φ in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi (spodaj) proti ω pri ξ = n Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri ξ = 0.5 in različnih vrednostih ω n...54 Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri ξ = 1 in različnih vrednostih ω n...55 Slika 3.16: Nicholsov diagram L1 ( s ) in 2 ( ) L s...56 Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke...71 Slika 4.2: Zaprta zanka sistema...71 Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja...73 Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni...74 Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta...75 Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci...75 Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov diagram...77 Slika 4.8: U krivulja...78 Slika 4.9: Določitev mejne linije pri izbrani frekvenci...79 M 10

11 Slika 4.10: Mejni liniji za fazo 0º do -360º...80 Slika 4.11: Nicholsov diagram za kompleksni pol na levi in kompleksno ničlo na desni strani...82 Slika 4.12: Nicholsov diagram za lead in lag element...83 Slika 4.13: Nicholsov diagram za Notch filter za različne ξ faktorje...83 Slika 5.1: Model objekta...85 Slika 5.2: Spreminjanje induktivnosti objekta v odvisnosti od položaja krogle...88 Slika 5.3: Izmerjena statična karakteristika Fm (, ix)...89 Slika 5.4: Aproksimirana statična karakteristika Fm (, ix)...89 Slika 5.5: Razlika med izmerjeno in aproksimirano statično karakteristiko Fm (, ix)...90 Slika 5.6: Parameter k ( 1 x )...91 Slika 5.7: Parameter k ( 2 x )...91 Slika 5.8: Parameter k ( 3 x )...92 Slika 5.9: Parameter k ( 4 x )...92 Slika 5.10: Parameter k ( 5 x )...93 Slika 5.11: Stopnični odziv zgornje in spodnje mejne prenosne funkcije...95 Slika 5.12: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] dovoljena sprememba ojačanja zaprte P s izbran pri delovni točki x = 15 mm...95 zanke v Bodejevem diagramu in ( ) 0 Slika 5.13: Različne vrednosti ( j ) δ ω pri izbranih frekvencah...96 R i Slika 5.14: Odprto-zančni odziv v Nicholsovem diagramu z vzorci pri izbranih frekvencah objekta...97 Slika 5.15: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] proces načrtovanja...98 Slika 5.16: Meja stabilnosti pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] končni rezultat...98 Slika 5.17: Mejna linija pri izbrani frekvenci 10 [rad/s] dejanska sprememba ojačanja zaprte zanke v Nicholsovem diagramu...99 Slika 5.18: L( s ) pri Cs () = Slika 5.19: Povečano ojačanje na Slika 5.20: Dodan integrator s Slika 5.21: Dodana realna ničla ( s + 1) Slika 5.22: Dodana realna ničla ( s + 10) Slika 5.23: Dodana realna ničla ( s + 30) Slika 5.24: Dodan kompleksni pol 10 ( s + 10 s+ 10 ) Slika 5.25: L( s ) s končnim regulatorjem Slika 5.26: Spreminjanje oblike v Nicholsovem diagramu (vsi koraki v enem diagramu) Slika 5.27: Rezultat spreminjanja oblike v Nicholsovem diagramu Slika 5.28: Izbira predfiltra v Bodejevem diagramu Slika 5.29: Občutljivosti sistema za tri različne odmike krogle Slika 5.30: Stopnični odziv zaprte zanke sistema Slika 5.31: Primerjava odzivov v delovnem območju

12 Seznam kratic GM PM QFT SISO MIMO TF LTI LTV RHP MP LHP NMP DOF 2DOF 1DOF db UHFB Gain margin Phase margin Quantitative feedback theory Single-input single-output Multi-input multi-output Transfer function Linear time-invariant Linear time-varying Right half plane Minimum-phase Left half plane Nonminimum-phase Degree-of-freedom Two-degree-of-freedom One-degree-of-freedom Decibels Universal high frequency bound 12

13 1 UVOD Robustno vodenje je veja teorije vodenja sistemov, ki se ukvarja z analizo in sintezo sistemov z zajetimi negotovostmi modela. Omenjeni problem rešuje z ustreznim načrtovanjem regulatorja in povratne vezave. V zadnjih desetletjih so bile razvite številne metode sinteze v robustnem vodenju, kot so H metode, strukturirana singularna vrednost (»structured singular value«) in teorija kvantitativne povratne zanke imenovana metoda QFT [2]. Načrtovanje vodenja sistemov je pogosto povezano z negotovostjo sistemov in s tem povezanimi težavami pri uporabi ustreznih regulatorjev, vzdrževanju stabilnosti sistema in preprečevanju neželenih učinkov kot npr. zunanjih motenj in perturbacij sistema. Za odpravljanje učinka negotovosti se uporabljajo adaptivni regulatorji, kjer se parametri objekta (proge) sproti identificirajo, kar ustrezno vpliva na dinamično sintezo regulatorja in robustni regulatorji, ki upoštevajo najslabše možne pogoje celotne družine modelov objekta s stališča negotovosti ob nespremenjenem regulatorju. Delovanja sistemov v realnosti nikoli ne poznamo v celoti, saj se njihovo delovanje spreminja s časom zaradi staranja komponent, spreminjanja parametrov ali spremembe delovnih pogojev (obremenitve, motnje). Cilj načrtovanja je izdelati takšen regulator, ki bo zagotavljal stabilno in zadovoljivo performančno delovanje vodenega sistema. Vodenje sistemov predstavlja področje, ki je v povezavi s teorijo sistemov, teorijo simulacij, računalništvom, robotiko, številnimi drugimi področji in s sodobno tehnologijo odločilno krojilo razvoj številnih teoretičnih in praktičnih znanj, katerih rezultati so omogočili povsem drugačen način življenja. Regulacija pa predstavlja pomemben in teoretično najzahtevnejši pojem področja vodenja sistemov, ki je bolj kot očitno prisoten v vsakdanjem življenju. Človeški organizem vsebuje ogromno zelo kompliciranih regulacijskih zank. V tehniških regulacijskih sistemih pa so regulacijski algoritmi lahko zelo enostavni ali pa tudi silno komplicirani, tako da postopki načrtovanja zahtevajo dobro poznavanje številnih zahtevnih metod ob ustreznem predznanju matematike, fizike in teorije sistemov. Avtomatsko vodenje je vedno igralo pomembno vlogo pri razvoju znanosti in inženirske prakse. Razen izjemne vloge pri vodenju vesoljskih ladij, izstrelkov v vojni industriji, izvedbi avtopilotskih sistemov v letalski industriji in vodenju robotskih sistemov, je vodenje oz. 13

14 avtomatska regulacija kot nekoliko ožje področje vodenja sistemov postala ključni in integralni del sodobnih industrijskih procesov. To velja predvsem v procesni industriji za regulacijo tlaka, temperature, vlažnosti, viskoznosti, pretoka, itd. Uporabnost se je razširila tudi na druga področja kot npr. ekonomijo, biologijo, biomedicinske sisteme, urbanizacijo in ekologijo. Avtomatizacija tehnološko vse bolj zahtevnih in zapletenih proizvodnih procesov omogoča večjo produktivnost, boljšo kvaliteto izdelkov, večjo ponovljivost proizvodnje, manjšo porabo energije ter nenazadnje tudi sociološke in ekološke izboljšave proizvodnih procesov. Ker sta regulacija in avtomatsko vodenje osnovna gradnika avtomatizacije le-teh, je uporaba klasičnih in sodobnih metod vodenja dinamičnih sistemov nepogrešljiva v skoraj vseh proizvodnih procesih in predstavlja eno izmed osnov uspešne proizvodnje. Teorija kvantitativne povratne zanke (QFT), ki jo je razvil Horowitz [1], [2], [6], [21], [22], [23] predstavlja serijo robustnih sinteznih tehnik s povratno vezavo. Metoda QFT načrtovanja robustnih regulatorjev [2] se je razvila v zadnjih 25 letih sistematičnega ukvarjanja z negotovostjo modelov. Začetki reševanja problematike segajo v leto 1980, ko sta Gera in Horowitz objavila članek o uporabi Bodejevega ojačitveno-faznega integrala za ugotavljanje karakteristike nominalne zanke z iteracijskim postopkom [2]. Postopek ni bil vedno konvergenčen, prav tako je bila za rešitev potrebna aproksimacija. Postopek je bil avtomatiziran z uporabo orodja QFT Toolbox [1], ki je poenostavil postopek iteriranja in uporabo aproksimacij višjega reda. Thompson in Nwokah [24] sta za izračunavanje uporabila nelinearne tehnike programiranja, kjer sta meje QFT funkcij določila s pretvorbo QFT funkcij v H funkcije. Bryant in Halikias [25] sta uporabila linearne tehnike programiranja, vendar so bili njuni rezultati močno poenostavljeni in zaradi neupoštevanja polov in ničel funkcij nesposobni zagotavljanja stabilnosti sistemov. Zhao in Jayasuriya [26] sta uporabila Youlovo parametrizacijo za transformiranje QFT funkcije v eno-dimenzionalen problem, vendar se s tem lahko avtomatično spreminja le en parameter regulatorja. Metoda QFT poudarja, da je povratna vezava potrebna samo zaradi negotovosti in zato mora biti količina povratne informacije neposredno povezana z velikostjo negotovosti in zunanjimi motnjami [14]. Metoda QFT je primerna za objekte s negotovimi parametri tako strukturiranimi kot nestrukturiranimi. Da bi metodo razlikovali od klasičnih in modernih teorij vodenja, kjer so dolgo zanemarjali negotovost objekta, so kasneje dodali in poudarili besedo kvantitativna. Metoda QFT uporablja predstavitev v obliki vhodno-izhodnega opisa, za razliko od moderne regulacijske teorije, ki uporablja prostor stanj v časovni domeni. Houpis [27] je povzel naslednje prednosti metode QFT: rezultat metode QFT je robustna konstrukcija, ki ni občutljiva na spremembe objekta, 14

15 preverjanje objektov znotraj vzorca ni potrebno, morebitne omejitve v metodi so takoj vidne, dosegljive zahteve vodenja je mogoče določiti zgodaj v procesu, metodo je mogoče hitro prilagoditi novim zahtevam vodenja, struktura regulatorja je vnaprej določljiva. Pri načrtovanju vodenja po metodi QFT kvantitativno opredelimo specifikacije negotovosti in dovoljena odstopanja izhodnega signala v frekvenčnem delovnem področju. Cilj metode je zagotoviti, da bo pri vsaki frekvenci izhodni signal objekta v razredu dovoljenih. V primerjavi z ostalimi optimizacijskimi metodami načrtovanja robustnega vodenja ima metoda QFT nekaj prednosti, kot na primer možnost upoštevanja faznih zamikov v procesu načrtovanja ali možnost izbire med zahtevnostjo načrtovanja procesa in kompleksnostjo regulatorja. Omenjena prednost je še posebej pomembna, saj omogoča izdelavo preprostih regulatorjev, ki jih je v praksi mogoče enostavno implementirati. Čeprav so številne raziskave [28], [29], [30], [31], [32] pokazale, da je pristop metode QFT bolj splošen, pa metoda QFT ne more zagotoviti zanesljivosti in točnosti nastalih vzorcev objektov in meja regulatorja. Zato pogosto manjka ocena napake. Težave pri metodi QFT se pojavljajo pri izbiri končnih izbranih frekvenc, končnih približkih v oblikovanju vzorca in v končni izbiri faz mejne linije, kot je pokazano v [33] in [34]. Težave se pojavljajo zaradi tega, ker je metoda zasnovana na uporabi točkovnih metod, iz česar sledi: točkovne metode in izračuni z realnimi števili (plavajočo vejico) ne morejo neposredno opisati sklopov, ki vsebujejo neskončno mnogo ali nepreštevno število točk [35, 5. del], pri uporabi točkovnih metod ni nobene indikacije, še manj pa zagotovila, da so rezultati pravilni ali celoviti [36]. 1.1 Vsebina naloge po poglavjih V uvodnem delu je v splošnem predstavljeno področje načrtovanja robustnih sistemov s pregledom stanja in razvoja ter osnovnih prednosti metode QFT. Drugo poglavje obravnava teorijo vodenja sistemov. Sem spadajo vodljivost in spoznavnost sistemov ter modeliranje in simulacija. Predstavljena je analiza sistemov v frekvenčnem področju s pomočjo polarnega in Nicholsonovega diagrama. Opisani so še analiza 15

16 stabilnosti s Khartionovim in z mejnim teoremom, strukturna in parametrična odstopanja ter občutljivost in komplementarna občutljivost sistema. Tretje poglavje opisuje osnovne lastnosti frekvenčne domene, v katero spadajo relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve in pasovna širina. Predstavljene so lastnosti zaprte zanke v časovnem in frekvenčnem področju. Opisani so še nestabilni in stabilni objekti. Četrto poglavje opisuje metodo QFT. Podrobno je razložen postopek za oblikovanje vzorcev s matematičnim izračunom, izrekom in dokazom. Opisan je še princip načrtovanja regulatorja s pomočjo QFT metode. Peto poglavje opisuje eksperiment, ki zajema modeliranje realnega objekta in potek načrtovanja regulatorja po QFT metodi na tem objektu. Nato so predstavljeni rezultati, ki zajemajo voden sistem z QFT regulatorjem in z reduciranim sub-optimalnim H regulatorjem na celotnem delovnem področju. Šesto poglavje opisuje primerjavo metod in delovanja regulatorjev načrtovanih s metodo QFT in H. V zaključku so predstavljena sklepna razmišljanja ter smernice nadaljnjih raziskav. 16

17 2 TEORIJA VODENJA SISTEMOV 2.1 Postopek načrtovanja vodenja sistemov Pri vodenju sistemov skušamo z ustreznim spreminjanjem vhodnih veličin procesa doseči primerne odzive procesa. Pri načrtovanju mora načrtovalec zadostiti številnim ciljem, ki jih običajno obravnavamo postopoma, v več korakih načrtovanja, [15]: 1. proučevanje sistema in pridobivanje izhodiščnih informacij o zahtevah načrtovanja, 2. modeliranje in prilagajanje modela (poenostavljanje, dopolnjevanje do primerne kompleksnosti), 3. izbira oz. določitev vhodnih in izhodnih veličin, 4. skaliranje (normiranje) spremenljivk in analiza načrtovanega modela, 5. načrtovanje izvajanja meritev, izbira primernih senzorjev in aktuatorjev ter njihova namestitev, 6. izbira konfiguracije sistema vodenja, 7. izbira strukture regulatorja, 8. določitev zahtev načrtovanja, ki vključujejo tudi vse predvidene omejitve, 9. načrtovanje regulatorja, 10. analiza delovanja načrtovanega zaprtozančnega sistema in preverjanje ali le-ta zadošča vsem zastavljenim zahtevam; če temu ni tako, je potrebno ustrezno modificirati regulator ali/in zahteve načrtovanja, 11. simulacija sistema vodenja s pomočjo računalnika ali/in s testno napravo, 12. če je potrebno, ponovimo nekatere korake načrtovanja, 13. izberemo primerno strojno in programsko opremo za končno izvedbo vodenja, 14. testiranje in vrednotenje delovanja vodenega sistema in v kolikor je potrebno, dodatno sprotno uglaševanje. 17

18 V teoriji načrtovanja vodenja se običajno osredotočimo na koraka 9 in 10, to je na metode načrtovanja regulatorjev in analizo zaprtozančnih sistemov. Zanimivo pa je, da je mnogo realnih sistemov realiziranih brez upoštevanja teh dveh korakov. Celo pri kompleksnih sistemih z več vhodi in izhodi je mogoče na takšen način načrtovati delujoči zaprtozančni sistem. Pri tem je pogosto v rabi hierarhično in kaskadno načrtovanje regulacijskih zank ob uporabi zgolj pristopov sprotnega uglaševanja (uporaba korakov 1, 3, 5, 6, 7, 13 in 14). Vsekakor pa drži, da je celo v takšnih primerih včasih težko vnaprej določiti primerno regulacijsko strukturo. Pri tem se seveda pojavi potreba po bolj sistematičnem pristopu in orodjih za načrtovanje. Čeprav drži, da brez načrtovanja ni pričakovati rešitve problemov vodenja, nikoli ne smemo zanemariti dejstva, da je analiza sistema osrednjega pomena za uspešnost reševanja. Ne samo, da razkriva lastnosti obravnavanega procesa in s tem tudi potencialne probleme, ki jih moremo pri delu pričakovati. Odpira tudi možnosti argumentirane izbire med številnimi metodami načrtovanja in argumentirano izbiranje med rezultati načrtovanja, kar pa je običajno pri obravnavi sistemov vodenja nakazano le površno. Ena od lastnosti sistemov vodenja je vodljivost, ki pogojuje doseganje primernih lastnosti zaprtozančnega sistema. Odvisna je od lokacije senzorjev in aktuatorjev. Zato bi v nekaterih primerih pri načrtovanju morali dodati tudi korak 0, ki bi zagotavljal primerno načrtovanje same procesne opreme. Ideja pravzaprav ni nova, saj sta nanjo že leta 1943 opozorila Ziegler in Nichols [16] nekako takole:»pri izvedbi zaprtozančnih sistemov se moramo zavedati, da regulator in proces tvorita celoto; uspešnost vodenja je tako odvisna od obeh. Tudi relativno slabo načrtovan regulator lahko deluje sprejemljivo z lahko vodljivim sistemom, medtem ko je najkompleksnejši regulator lahko neuspešen pri slabo načrtovanem sistemu.«res je sicer, da tudi v takšnih primerih dajejo v splošnem napredno načrtovani regulatorji boljše rezultate, vendar pa obstaja določena meja, ki jo omogoča izbrana instrumentacijska oprema in ki je zato ni mogoče preseči Regulacijski problem Cilj obnašanja reguliranega sistema je, da s spreminjanjem regulirnega signala u( t ) dosežemo želeni potek izhodnega signala y( t ). Pri tem večkrat ločimo med regulacijskim (regulacijski problem - regulator problem) in sledilnim (servo problem) načinom delovanja. V obeh primerih želimo vzdrževati signal pogreška čim manjši. Le-ta je lahko definiran kot: 18

19 1 ( ) ( ) ( ) e t = r t y t (2.1) ali kot: 2 ( ) ( ) ( ) e t = y t r t (2.2) Algoritem ustreznega prilagajanja signala u( t ) temelji na načrtovanem regulatorju C(s). Za ustrezno načrtovanje regulatorja C(s) potrebujemo vnaprej znano informacijo o pričakovanih motnjah in referenčnih signalih, v splošnem pa moramo poznati tudi model sistema P(s) ter model, preko katerega delujejo motnje na izhod P d (s), kar lahko zapišemo kot: ( ) ( ) ( ) ( ) y s = P s + P s d s (2.3) u kjer smo z d(s) označili motilni signal. d Glavni razlog težav izvira iz dejstva, da modela P(s) in P d (s) nista povsem zanesljiva, oziroma se lahko s časom tudi spreminjata. Ko se želimo spoprijeti s tovrstnimi problemi, se izkaže priročna vpeljava koncepta nezanesljivosti modela. Namesto, da bi obravnavali en sam model sistema P(s), lahko opazujemo obnašanje razreda modelov P ( s) P( s) E( s) p = +, kjer je nezanesljivost ali perturbacija modela E(s) omejena, sicer pa nepoznana. V mnogih primerih uporabljamo za izražanje E(s) utežne funkcije w( s ) : E( s) = w( s) ( s) (2.4) kjer je ( s) normalizirana preturbacija, kar pomeni, da je amplituda (norma) ( s) enaka 1. manjša ali Definirajmo nekaj pojmov, ki so pogosto v rabi pri obravnavi tovrstnih problemov: Nominalna stabilnost (»nominal stability«) Sistem je stabilen za nominalen model Ł brez upoštevanja nezanesljivosti. Nominalno obnašanje (»nominal performance«) Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja pri nominalnem modelu Ł pri modelu brez upoštevanja nezanesljivosti. Robustna stabilnost (»robust stability«) Sistem je stabilen za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti. Robustno obnašanje (»robust performance«) 19

20 Sistem zadošča zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti Prenosne funkcije in frekvenčne karakteristike Za predstavitev sistemov z diferencialnimi enačbami (vključno s prostorom stanj) uporabljamo prenosne funkcije P( s ) in frekvenčne karakteristike P( jω ) iz naslednjih razlogov: zelo informativen vpogled v postopek načrtovanja je mogoče dobiti z opazovanjem preprostih, frekvenčno-odvisnih grafov, na takšen način je mogoče definirati pomembne lastnosti sistema, kot sta pasovna širina in resonančni vrh, serijsko povezavo sistemov lahko v frekvenčni domeni določimo z enostavnim množenjem posameznih blokov, za kar je v časovni domeni potrebno uporabiti konvolucijski integral, poli in ničle so pri univariabilnih sistemih eksplicitno razvidni v faktorizirani predstavitvi, nezanesljivosti laže obravnavamo v frekvenčni domeni, kar je povezano z dejstvom, da je dva sistema mogoče obravnavati kot podobna, če imata frekvenčni karakteristiki, ki ležita blizu skupaj. Pri predstavitvi sistema v prostoru stanj lahko že majhna sprememba katerega od parametrov povzroči velike spremembe v odzivu sistema. Prenosno funkcijo linearnega, časovno nespremenljivega sistema lahko predstavimo kot: ( ) P s bs + b s + b s bs = m m 1 m 2 0 m m 1 m 2 0 n n 1 n 2 s + an 1s + an 2s a0 (2.5) V primeru multivariabilnih sistemov je P( s ) matrika prenosnih funkcij. V enačbi (2.5) predstavlja n red sistema. Razliko n - m, ki kaže na to, za koliko je število polov večje od števila ničel, imenujemo relativni red sistema. 2.2 Vodljivost in spoznavnost sistemov Vodljivost sistema zagotavlja, da regulirna veličina lahko deluje na vsa stanja sistema, ki ga regulira. Ker le teh včasih ni možno meriti ali pa so meritve zelo drage, s pomočjo 20

21 opazovalnikov iz merjenih izhodov določimo spremenljivke stanja, kar je možno le v primeru, če je sistem spoznaven. Večina fizikalnih sistemov je vodljivih in spoznavnih, lahko pa se zgodi, da to ne velja za njihove modele, ki jih uporabljamo pri načrtovanju regulacijskih sistemov Vodljivost sistemov Sistem je vodljiv v smislu spremenljivk stanj, če je možno z omejenim vhodnim signalom začetno stanje xt ( 0 ) pripeljati v končno stanje ( 1) Vodljive sisteme je možno zapisati v vodljivostni kanonični obliki. xt v končnem časovnem intervalu t0 t t1. Pogoj za vodljivost izpeljemo iz časovnega odziva sistema zapisanega v prostoru stanj, pri čemer predpostavimo končno stanje xt ( 1) = 0. Ker so pri modalni obliki stanja odvisna le od vhodnega signala, ne pa od povezav med stanji, je zato to zelo primerna oblika za proučevanje vodljivosti Spoznavnost sistemov Sistem je spoznaven, če lahko stanje xt ( 0 ) določimo s pomočjo opazovanega vhodnega in izhodnega signala ( ) y t v končnem časovnem intervalu t0 t t1. Sistem je spoznaven, če vsaka spremenljivka stanja deluje na izhod. Spoznavnost sistema je pomembna takrat, kadar želimo iz merjenega izhoda določiti spremenljivke stanja (vse ali samo nekatere). 2.3 Modeliranje in simulacija Modeliranje in simulacija sta dva neločljiva postopka, katera vsebujeta kompleksne aktivnosti v zvezi s konstrukcijo modelov, ki predstavljajo realne objekte, in eksperimentiranje z modeli v smislu pridobivanja podatkov o obnašanju modeliranega procesa. Pri tem je modeliranje vezano predvsem na relacije med realnim procesom in njegovimi modeli. Simulacija pa se ukvarja s povezavo med matematičnim in simulacijskim modelom. Slednji tvori kot svoj izhod časovne odzive, ki jih vrednotimo glede na obravnavani proces, kar nekako zaključi celotni krog (slika 2.1). 21

22 Slika 2.1: Odnos med sistemom, modeliranjem in simulacijo Namen proučevanja sistemov s pomočjo modeliranja in simulacije je doseganje različnih ciljev ne da bi morali eksperimentirati na realnem objektu, pri čemer gre tako za opis kot tudi za razlago njegovega obnašanja. Pristop je uporaben celo v primeru, ko obravnavani sistem še ne obstaja. Cilji so: izboljšati poznavanje in razumevanje nekaterih mehanizmov delovanja obravnavanega sistema, napovedovati obnašanje sistema v različnih situacijah, kjer kakršnikoli nivo predikcije predstavlja koristno informacijo, omogočiti načrtovanje sistemov vodenja in njih vrednotenje, oceniti parametre procesa, ki niso direktno merljivi, preizkušati občutljivost sistemskih parametrov, optimizirati obnašanje sistema, omogočiti učinkovito odkrivanje napak v sistemu, omogočiti raziskavo primerov, ki bi bili v realnem svetu dragi, tvegani ali problematični, kar je pomembno tudi pri simulatorjih za učenje operaterjev. Čeprav obstaja mnogo tehnik modeliranja in je na voljo precej različnih simulacijskih orodij, pa se moramo zavedati, da niti model niti računalnik ne moreta popolnoma nadomestiti človeških odločitev, presoje, intuicije in izkušenj, ki še vedno igrajo odločilno vlogo pri določanju vrednosti in uporabnosti modelov v praktičnih aplikacijah. Pri tem je modeliranje bolj problemsko orientirano, medtem ko je simulacija relativno neodvisna od obravnavanega primera. 22

23 Čeprav je človek zaradi svojih sposobnosti spomina, asociacij, intuicije, razpoznavanja vzorcev, računanja itd. izredno primeren za pristop k gradnji modela, saj je to v bistvu formalizacija in abstrakcija realnega procesa, pa se je tudi tu kmalu srečal z nekaterimi omejitvami. S slednjimi se je seveda najprej soočil na področju čutil, saj je jasno, da so šele senzorski sistemi ustrezno razširili območje človekovih čutil. Kot v omenjenem primeru, se je tudi pri modeliranju pojavilo vprašanje, kako razširiti človeške sposobnosti. To vprašanje je bilo rešeno s prihodom računalnikov. Sledijo definicije modela, ki prikazujejo njegove osnovne značilnosti: model je objekt ali koncept, ki predstavlja nekaj drugega, se pravi, da je realnost prenesena v neko uporabno in razumljivo obliko, model je poenostavljena predstavitev realnega sistema, ki naj omogoči razumevanje, razlago, spremembe ali ohranitve lastnosti, napovedovanja in morda tudi vodenje obravnavanega sistema, model je nadomestek nekega konkretnega sistema ali opreme. Model naj obravnava le bistvene aspekte realnega sistema, model poudarja tiste učinke gradnikov sistema, ki so pomembni s stališča namena modeliranja, model mora predstaviti naše znanje o sistemu v primerni obliki tudi na nekaterih drugih medijih (papir, računalniški spomin). model mora biti kar najbolj enostaven, saj je razvoj univerzalnega modela nemogoč, razvoj prekompleksnega modela pa je nepraktičen in neekonomičen. Podobno kot za model je v nadaljevanju naštetih nekaj definicij simulacije, ki prikažejo prepletenost modeliranja in simulacije in se tičejo predvsem največ uporabljane računalniške simulacije: simulacija je metoda, ki omogoča študij obnašanja sistema s pomočjo eksperimentiranja na ustreznem modelu, simulacija omogoča eksperimentiranje z modelom v realnem, skrajšanem ali podaljšanem času, simulacija omogoča zamenjavo realnega procesa in kompleksnih meritev z enostavnim in cenenim računalnikom, ki dovoljuje eksperimentiranje brez tveganja in daje ilustrativne rezultate, 23

24 računalniška simulacija pomeni tek specialnega programa, katerega rezultat je časovni odziv modela, ki opisuje obnašanje modeliranega procesa, simulacija pomeni postopek za reševanje diferencialnih enačb z zaporednim integriranjem (diferencialno enačbo integriramo tolikokrat, kolikor je njen red). 2.4 Analiza sistemov v frekvenčni domeni Linearne sisteme obravnavamo v frekvenčni domeni s pomočjo frekvenčnih karakteristik. Frekvenčna karakteristika je lastnost sistema, ki pove, kako se sistem v ustaljenem stanju odziva na sinusni vhodni signal. Posnamemo jo tako, da preko določenega področja spreminjamo frekvenco sinusnega signala na vhodu in merimo ustrezen izhodni signal v ustaljenem stanju. Zaradi številnih dobro izdelanih metod se frekvenčni pristop pogosto uporablja tako pri analizi kakor tudi pri načrtovanju regulacijskih sistemov. Predvsem ga učinkovito uporabljamo pri analizi absolutne in relativne stabilnosti. Pri tem je potrebno poznati le frekvenčno karakteristiko odprto-zančnega sistema (prenosne funkcije), iz katere sklepamo na stabilnost zaprto-zančnega sistema. Druga prednost je v dejstvu, da je možno enostavno eksperimentalno določiti frekvenčno karakteristiko, saj potrebujemo le sinusni signalni generator in ustrezno merilno opremo za merjenje (snemanje) izhodnega signala Polarni diagram Polarni diagram predstavlja frekvenčno karakteristiko P( jω ) v kompleksni ravnini. Vsaka točka je podana s polarnim zapisom kompleksorja ( ω) ( ω) j P( jω) = pri P j P j e določeni frekvenci. V intervalu od 0 do kompleksor zariše polarni diagram. Pozitivni fazni kot je definiran od pozitivne realne osi proti določenemu kompleksorju v obratni smeri urinega kazalca. Primer polarnega diagrama prikazuje slika

25 Slika 2.2: Polarni diagram Določitev polarnega diagrama je nekoliko zahtevnejši postopek kot npr. računanje Bodejevega diagrama, saj absolutne vrednosti v tem primeru ne moremo dobiti s seštevanjem prispevkov posameznih gradnikov. Zato se včasih posredno uporablja Bode-jev diagram tudi za določitev polarnega diagrama. Običajno pa za izris polarnega diagrama kot tudi za druge oblike frekvenčne karakteristike z ustreznimi računalniškimi programi Nicholsov diagram Nicholsov diagram predstavlja združitev obeh Bodejevih diagramov v en diagram. Frekvenčno karakteristiko predstavimo v diagramu, v katerem na abscisno os nanašamo ( ) fazni kot, na ordinatno os pa logaritem absolutne vrednosti 20log P( jω ). Glede na ostale frekvenčne diagrame nudi Nicholsov diagram nekatere prednosti v načrtovalnih postopkih (npr. določitev relativne stabilnosti, metoda QFT,...). Sprememba ojačanja v frekvenčni karakteristiki P( jω ) vpliva v Nicholsovem diagramu tako, da se krivulja premika navzgor oz. navzdol, njena oblika pa se ne menja. Nicholsov diagram frekvenčne karakteristike prenosne funkcije P( jω ), ker velja 1 P( jω ) je simetričen glede na koordinatno izhodišče 20log 1 P j ( ω ) ( ω) = 20log P j (2.6) 25

26 1 = P( jω) P( jω ) (2.7) Primer Nicholsovega diagrama je prikazan na sliki 5.14 (poglavje 5.2.6). 2.5 Stabilnost regulacijskih sistemov Stabilnost predstavlja pomembno kvalitativno lastnost sistema avtomatskega vodenja. Pri načrtovanju vodenja je zagotovljena stabilnost primarna zahteva, šele ko je stabilnost zagotovljena je mogoče zadostiti druge kvalitativne lastnosti. S teorijo stabilnosti so se znanstveniki ukvarjali vse od začetka teorije diferencialnih enačb. Osnovna naloga teorije je podati zaključke o obnašanju stanj (trajektorije stanja) sistema brez reševanja diferencialnih enačb sistema. Teorija stabilnosti obravnava obnašanje sistema v daljšem časovnem obdobju, oziroma kako se obnaša stanje sistema ko gre t. Eden izmed prvih, ki so se ukvarjali s stabilnostjo mehaničnih sistemov v "sodobnem" pomenu, je bil Joseph Louis Lagrange, ki je trdil, da je ravnovesno stanje ne-vzbujenega sistema stabilno, če je na minimumu potencialne energije [76]. Prvo diskusijo o nestabilnosti sistema vodenja je opravil Fuller, predlagal je, naj teleskop rotira nasprotno od rotacije Zemlje, da bi lahko dlje časa opazoval zvezde [77]. V ta namen so potrebovali kvalitetni sistem za regulacijo hitrosti vrtenja teleskopa. Kot regulator so v tistem času uporabljali centrifugalno nihalo. Airy (1840) je opazil, da pri regulaciji hitrosti teleskopa lahko regulator hitrosti privede sistem v nestabilno področje ter s tem povzroči "divje" obnašanje teleskopa. Po Fullerju je Airy prvi analiziral dinamiko sistema vodenja s pomočjo diferencialne enačbe. Pomemben napredek pri obravnavi stabilnosti je prispeval ruski matematik Alexander Mihajlovič Ljapunov (1892), ko je definiral splošno zasnovane stabilnosti, ki so veljale za linearne in nelinearne sisteme. Poleg Ljapunova so se v tem času s stabilnostjo linearnih sistemov ukvarjali še: James Clerk Maxwell, Edward John Routh, I.A. Višnegradski (1876), A. Stodola (1893) in A. Hurwitz (1895). Vsi so se ukvarjali z iskanjem pogojev, ki jih morajo zadovoljiti koeficienti linearne diferencialne enačbe, da bo sistem stabilen. Za razliko od Maxwella (1868) in Višnegradskega (1876), ki sta trdila, da je edino za sistem tretjega reda mogoče postaviti takšne pogoje, je Routh (1877) v nagrajenem delu (Adam Prize Essay) prišel do splošnih pogojev stabilnosti linearnega sistema za sistem, ki ga opisuje linearna diferencialna enačba poljubnega reda [78]. Podrobnejši opis danes zelo pomembnega področja raziskovanja teorije stabilnosti dinamičnih sistemov, 1ahko najdemo v literaturi [79]. Stabilnost lahko obravnavamo iz vhodno-izhodnega opisa, kjer analiziramo, ali se odziv sistema obnaša»ustrezno«v določenem pomenu, ko na sistem deluje določeno znano vzbujanje. Poleg vhodno-izhodnega opisa lahko stabilnost sistema obravnavamo s spremljanjem 26

27 asimptotičnega obnašanja stanj sistema v okolici ravnovesja periodičnih nihanj sistema. Tedaj govorimo o notranji stabilnosti v smislu stabilnosti po Ljapunovu [80]. Pojem»stabilnost«običajno uporabljamo za sistem, vendar to ni popolnoma korektna raba tega pojma. Stabilno je vse, kar se lahko obdrži v daljšem časovnem obdobju. V dinamični teoriji in teoriji vodenja je o stabilnosti pravilno govoriti ne samo za sistem, temveč tudi za njegova stanja - ravnovesja ali gibanja. Edino, če sistem vsebuje samo eno ravnovesno stanje, je razumna raba pojma»stabilnost sistema«. Če pa obstaja več ravnovesnih stanj, tedaj je pravilno uporabljati pojem»stabilnost ravnovesnih stanj«. Ker imajo linearni sistemi samo eno ravnovesno stanje, se je v teoriji linearnih sistemov udomačil pojem stabilnosti sistema, za razliko od nelinearnih sistemov, pri katerih lahko obstaja več kot eno ravnovesno stanje. Splošno uporabljena načina za določitev absolutne stabilnosti regulacijskih sistemov: iskanje korenov karakteristične enačbe P( s) C( s) 1+ = 0 (slika 2.3), uporaba Routhovega stabilnostnega kriterija. Vendar pa informacija o tem, ali je sistem stabilen ali ne (absolutna stabilnost) ni najbolj uporabna v raznih postopkih načrtovanja vodenja. Zato potrebujemo metode, ki razen informacije o absolutni stabilnosti pokažejo tudi, koliko je sistem»oddaljen«od meje stabilnosti oz. na kakšen način lahko sistemu to»oddaljenost«spremenimo, kar določa t.i. relativna stabilnost. Ena od možnosti za določitev absolutne in relativne stabilnosti je Nyquistov stabilnostni kriterij [14] Nyquistov stabilnostni kriterij Nyquistov stabilnostni kriterij ima naslednje značilnosti, ki omogočajo uspešno uporabo pri analizi in načrtovanju regulacijskih sistemov: daje enako informacijo o stabilnosti lineranih sistemov kot Routhov kriterij, razen absolutne stabilnosti daje informacijo o»oddaljenosti«sistema od meje stabilnosti in omogoča izboljšati stabilnostne lastnosti, kot izhodišče uporablja frekvenčno karakteristiko odprtozančne prenosne funkcije in omogoča določitev zaprtozančne stabilnosti, učinkovito se lahko uporablja za sisteme z mrtvim časom, metodo se lahko modificira za nelinearne sisteme. Izhodišče za obravnavo predstavlja regulacijski sistem na sliki 2.3: 27

28 Karakteristična enačba ima obliko Slika 2.3: Regulacijski sistem ( ) 1 P( sc ) ( s) F s = + = ( + 1)( + 2) K( + m) ( + )( + ) K( + ) K s z s z s z j s s p1 s p2 s pn (2.8) Značilnosti sistema, ki je podan na sliki 2.3 oz. z enačbo (2.8) v zvezi s poli in ničlami: 1. Vrste polov in ničel ničle odprto-zančne prenosne funkcije P( s) C( s ), poli odprto-zančne prenosne funkcije P( s) C( s ), zaprto-zančni poli so poli prenosne funkcije ( ) ( ) Y s R s oz. ničle karakterističnega izraza ( ) = 1+ P( s) C( s) oz. koreni karakteristične enačbe F( s) P( s) C( s) F s 2. Poli karakterističnega izraza F( s) 1 P( s) C( s) funkcije P( s) C( s ). = 1+ = 0. = + so enaki polom odprto-zančne prenosne 3. Za zaprto-zančno stabilnost ni nobenih omejitev glede lege polov in ničel odprto-zančne prenosne funkcije P( s) C( s ). Važno je le, da so poli zaprto-zančne prenosne funkcije oz. koreni karakteristične enačbe v levem delu ravnine s. Za določitev stabilnosti je potrebno preslikati določene točke iz ravnine s s pomočjo kompleksne funkcije (preslikave) F( s ) (ali P( s) C( s )) v ravnino F( s ) (ali P( s) C( s )). Preslikavo točke s 0 iz ravnine s v ravnino F( s ) prikazuje slika 2.4: 28

29 Slika 2.4: Kompleksna preslikava 2.6 Občutljivost in komplementarna občutljivost sistema Naloga vodenja je zagotavljanje čim manjšega pogreška sledenja et ( ) = r( t) y( t) med referenčnim signalom r( t ) in izhodnim signalom y( t ), kadar je y( t ) moten z motilnim signalom d( t ), oziroma se spreminja referenčni signal r( t ). Slika 2.5: Struktura zaprtozančnega sistema Mero za velikost tega pogreška imenujemo mera učinka in je v frekvenčni domeni definirana z funkcijama občutljivosti S( jω ) in komplementarne občutljivosti sistema T( jω ). Izhod y sistema (slika 2.5) zapišemo kot: y = d + PCe y = (1 + d + PC ( r y) PC ) y = d r + (1 + PC ) r (2.9) Prenosna funkcija občutljivosti sistema za vhod w= d r je tako definirana: 29

30 ( I + PC)( y r) = d{ r 123 S = e w e = ( I + { PC) L 1 w = ( I + L) 1 (2.10) Komplementarna občutljivost je definirana kot: 1 1 T = PC( I + PC) = L( I + L) (2.11) izrazom: Zveza med občutljivostjo in komplementarno občutljivostjo je definirana z naslednjim S + T = I (2.12) od tod izvira tudi ime za T( s ) komplementarna občutljivost na enoto I. 2.7 Odstopanja Odstopanje je splošna oznaka za razhajanje obnašanja modela procesa in obnašanja dejanskega procesa. Takšno splošno formulacijo pa lahko podrobneje opredelimo in sicer tako, da odstopanja razdelimo na podvrste: parametrična in strukturna odstopanja. Zaradi dveh razlogov se vodeni proces ne more obnašati kot model zaprtozančnega sistema: motenj iz okolice sistema (veličine na katere ne moremo vplivati preko regulirnih veličin in so običajno neodvisne od parametrov procesa), odstopanja matematičnega modela, ki ga uporabljamo pri postopku načrtovanja vodenja glede na dejanski proces. Ta odstopanja predstavljajo razliko med modelom in procesom. Njihovi učinki so odvisni od vodenja. Odstopanja modela od procesa predstavimo kot dodaten model z neznano dinamiko Strukturna odstopanja Frekvenčna analiza robustnosti vodenja je možna le, kadar poznamo odstopanja (perturbacije), saj vrednotenje robustnosti temelji na vrednotenju vpliva odstopanj. Zaradi vseh vzrokov odstopanj modela od dejanskega procesa privzamemo, da je dinamično obnašanje procesa predstavljeno ne le z enim linearnim časovno nespremenljivim modelom, ampak z množico modelov. To množico obravnavamo kot en linearno časovno nespremenljivi model z ustreznimi odstopanji - perturbacijami. Odstopanje - perturbacija pomeni razlike med posameznimi elementi omenjene množice. 30

31 Takšen časovno nespremenljivi linearni model procesa z ustreznimi odstopanji lahko predstavimo na več različnih načinov [10]: aditivni model, multiplikativni izhodni model, multiplikativni vhodni model. Strukturna odstopanja so običajno posledica nepopolnega ali neustreznega opisa strukture procesa, do česar lahko pride zaradi linearizacije nelinearnih podsistemov, zaradi zanemarjanja dinamike. Glede na dostopno informacijo o odstopanjih delimo odstopanja na nestrukturirana in strukturirana [10]. Nestrukturirana odstopanja so tista, pri katerih je znan le vpliv celotnih odstopanj na obnašanje procesa, ne pa tudi mesto v procesu, kjer se pojavljajo. Takšna odstopanja so relativno groba predstavitev odstopanj v frekvenčni domeni in opisujejo meje velikosti celotnih odstopanj od nominalnega modela procesa. Strukturirana odstopanja poleg vrednosti podajajo tudi informacijo o položaju elementa, kjer to odstopanje nastopa. Sprememba obnašanja procesa je tako opisana s toleranco odstopanja elementa ali več elementov tega sistema. Velikost odstopanj tako, strukturiranih kot nestrukturiranih, vrednotimo z normo Parametrična odstopanja Parametrična odstopanja predstavljajo razhajanja vrednosti parametrov procesa od njihovih nominalnih vrednosti. Prenosna funkcija je linearni model. m as m + a s + L+ as+ a Ps () = ; m n n bs + b s + + bs+ b n m 1 m n 1 n 1 L 1 0 a a a, i = 01K,, m (2.13) i i i b b b, j = 01K,, n j j j Za koeficiente b i, a j prenosne funkcije P( s) običajno predpostavimo, da so konstantni, kar pa ne drži, ko so a i in b j funkcije fizikalnih parametrov npr. (kapacitivnost, induktivnost, 31

32 upornost) in so bolj ali manj nepoznani. Posledica je neustreznost polov in ničel prenosne funkcije P( s). Ker se fizikalni parametri spreminjajo le v omejenem območju, so tudi spremembe koeficientov a i in b j omejene. Če bi želeli proučiti stabilnost vodenega sistema z negotovimi koeficienti, bi lahko analizirali stabilnost pri vseh možnih kombinacijah koeficientov, vendar se analiza poenostavi z uporabo Khartionovega teorema. 2.8 Analiza stabilnosti Analiza stabilnosti s Khartionovim teoremom Za polinom n-tega reda: n n 1 As ()= as + a s + L + as+ a (2.14) n n 1 katerega koeficienti so v mejah 1 0 a a a, i = 01K,, n (2.15) i i i velja, da za vsako tako neskončno družino polinomov obstajajo štirje kritični polinomi: k () s = a + as+ as + as + as + as + as+ L k() s = a + as+ as + as + as + as + as+ L k () s = a + as+ as + as + as + as + as+ L (2.16) k() s = a + as+ as + as + as + as + as+ L Zato je dovolj, da opravimo analizo stabilnosti polinomov (2.16). Če so vsi štirje stabilni, bo polinom 6 A( s) stabilen ob vseh možnih kombinacijah vrednosti koeficientov a i ( a a a, i=01k,, n) [11]. i i i Analiza stabilnosti z mejnim teoremom Nekoliko drugačen pristop omogoča mejni teorem, kjer obravnavamo koeficiente karakterističnega polinoma kot linearne funkcije vektorja parametrov p. Zapis polinoma (2.14) preoblikujemo: n n 1 As () = a( ps ) + a ( ps ) + L + a( ps ) + a( p) (2.17) n n

33 b pri čemer je p vektor z elementi p k = 12, K, k N g. Tako ima na primer člen a n(p)s n obliko: n n an( ps ) = ( p1+ p pn) s (2.18) Izraz (2.14) zapišemo v obliki: As () = Φ() s+ pφ() s 0 N k= 1 k k (2.19) b g imajo konstantne koeficiente s parametri Polinomi Φ k () s k = 12K,, N pk bk = 12, K, Ng, ki so omejeni na področju p p p. Družina polinomov podana z izrazom (2.19), tvori polinomski politop. Celotna izpeljava je opisana v [10]. k k k 33

34 3 TEORIJA REGULIRANIH SISO SISTEMOV 3.1 Uvod V poglavju so predstavljene osnovne lastnosti sistemov z enim vhodom in enim izhodom (SISO) brez upoštevanja robustnosti. Najprej so definirani in obravnavani pojmi: amplitudna rezerva, fazna rezerva, pasovna širina in frekvenca fazne rezerve. Nato je razloženo, zakaj je tako pomembno zmanjšati pasovno širino regulatorja, v kontekstu katerega je definirano visokofrekvenčno ojačanje. Regulator je uspešno načrtovan takrat, ko ustreza zahtevam za vodenje zaprte zanke. Uporabljata se časovna in frekvenčna domena. Čeprav ni direktnega prenosa opisov časovne domene v frekvenčno domeno, sta podana dva algoritma, ki skušata to vrzel premostiti. 3.2 Osnovne lastnosti frekvenčne domene Slika 3.1 prikazuje zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama. Slika 3.1: Zaprto-zančni sistem z dvema prostostnima stopnjama 34

35 3.2.1 Relativna stabilnost, frekvenca fazne rezerve, pasovna širina Primer Nicholsovega diagrama sistema z odprto zanko je prikazan na sliki 3.2. Vključuje 5 parametrov, ki označujejo sistem odprte zanke in imajo močan vpliv na obnašanje sistema zaprte zanke: 1. Frekvenca fazne rezerve (»Crossover frequency«) ω φ : predstavlja frekvenco, kjer je odprta zanka 0 db, L( j ) 0 ω = db, φ 2. Fazna rezerva (»Phase margin«) φ : predstavlja fazo odprte zanke pri frekvenci fazne rezerve nad 180, φ L( jωφ) = arg + 180, 3. Frekvenca amplitudne rezerve (»Gain margin frequency«) ω M kjer je L( jω M ) = 180, : predstavlja frekvenco, 4. Amplitudna rezerva (»Gain margin«) M: predstavlja razdaljo L( jω M ) v db od točke -1 v Nyquistovem diagramu (0, 180 db v Nicholsovem diagramu), M 20log L( jω ) =, 5. Pasovna širina (»Bandwidth«) ω b : predstavlja frekvenco, kjer je amplituda zaprte zanke M enaka 3dB, ( jωb ) ( ) PC 3dB 1+ L jω =. b Slika 3.2: Nicholsov diagram sistema z odprto zanko s prikazanimi parametri 35

36 V splošnem amplitudna in fazna rezerva relativne stabilnosti predstavljata dobro stran dveh pomembnih pojavov zaprto-zančnih sistemov: koliko negotovosti lahko objekt še dopušča, da bo zaprta zanka ostala stabilna (npr. če je amplitudna rezerva 10 db, lahko sistem dopušča povečanje ojačanja za 10 db brez izgube zaprto-zančne stabilnosti), uporaba zgornje meje kot amplitude prenosne funkcije zaprte zanke (od senzorja šuma do izhoda objekta), spodnje meje pa kot občutljivosti. Pri velikih amplitudnih in faznih rezervah je dušenje resonance zaprte zanke vključeno v frekvence okoli pasovne širine senzorja na vhodu objekta [14]. ω b, vendar pa resna izguba izvira iz povečanja odziva šuma Pogojno stabilni sistemi Prenosne funkcije odprtih zank sistemov v praksi imajo lahko pozitivne in negativne amplitudne rezerve. Če ima odprto-zančni sistem pozitivne amplitudne rezerve pomeni, da ko je zanka zaprta, sistem postane nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč poveča. Nasprotno je v obratnem primeru, če ima odprto-zančni sistem negativne amplitudne rezerve. Takrat postane zaprto-zančni sistem nestabilen, če se ojačanje odprte zanke preveč zmanjša. Takšne sisteme imenujemo pogojni stabilni sistemi Visoko frekvenčno ojačanje Eden od faktorjev, ki omejuje pasovno širino sistema, je šum senzorja na vhodu objekta. Poglejmo primer za tri različne regulatorje objekta 2 1 s, od katerih imajo vsi skoraj enako nizko frekvenčno obnašanje odprte zanke in enako frekvenco fazne rezerve, imajo pa različne odzive pri visokih frekvencah (njihove odprte zanke so prikazane na sliki 3.3). 36

37 Slika 3.3: Različne odprte zanke sistemov s različnimi odzivi pri visokih frekvencah ( ) Graf prenosne funkcije šuma senzorja na vhodu objekta C( jω) 1 L( jω) + je prikazan na sliki 3.4. Če je razpon šuma senzorja skoncentriran nad 80 rad/sek, je regulator C ( jω ) prevladujoč nad regulatorji C1 ( jω ) in C2 ( jω ), C2 ( jω ) pa prevladujoč nad C1 ( jω ) ( C1 ( jω ) ojača visoko frekvenčni šum za 7 db bolj kot C2 ( jω ) in za 20 db bolj kot 3 ( ) 3 C jω ). Pomemben element primerjave med obema regulatorjema je: koliko je šum senzorja ojačan v visoko-frekvenčnem pasu (glede na medsebojno primerjavo). Iz tega sklepamo, da je visokofrekvenčno ojačanje enega sistema večje od drugega za x db-ov, če je visoko-frekvenčno ojačanje šuma senzorja večje od drugega za x db-ov. To temo sta podrobno obdelala Helton in Merino [83] z upoštevanjem kompromisa med pasovno širino in učinkovitostjo regulatorja. 37

38 Slika 3.4: Graf prenosne funkcije šuma senzorja za različne tipe regulatorjev 3.3 Lastnosti zaprte zanke Slika 3.5 predstavlja shemo reguliranega sistema. Prenosni funkciji P( s ) pripada množica negotovih objektov { P }. Prenosni funkciji C( s ) in F( s ) predstavljata regulator in predfilter, ki sta načrtovana z namenom doseganja robustne stabilnosti sistema in lastnosti zaprte zanke. Slika 3.5: Shema reguliranega sistema 38

39 Lastnosti zaprte zanke opisujemo v časovni in/ali frekvenčni domeni Časovna domena Lastnostni zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med vhodnimi in izhodnimi signali objekta. Ti signali morajo biti omejeni tako, da sistem deluje v svojem delovnem območju z zahtevanimi časovnimi odzivi Frekvenčna domena Lastnosti zaprte zanke sistema na sliki 3.5 so običajno predstavljene kot razmerje med vhodnimi in izhodnimi sistemskimi prenosnimi funkcijami objekta. Te so (pri zapisu ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) L j = P j C j H j ): 1. Zmanjševanje motnje na izhodu objekta - občutljivost: za vsak P { P} prenosna funkcija med motnjo na izhodu objekta in izhodom objekta omejena z: velja, da je y d 1 = < δ 1+ L j ( ω) s ( ω) (3.3) 2. Zmanjševanje motnje na vhodu objekta: za vsak P { P} med motnjo na vhodu objekta in izhodom objekta omejena z: velja, da je prenosna funkcija y u d ( ω) L( jω) P j = < δ 1+ p ( ω) (3.4) 3. Ujemanje modela: za vsak P { P} od dane optimalne prenosne funkcije Fm ( jω ) omejena z: velja, da je oddaljenost prenosne funkcije med r in y ( ω) ( ω) ( ω) 1+ L( jω) y P j C j F j Fm( jω) = Fm jω < δm ω r ( ) ( ) (3.5) 4. Sledenje: za vsak P { P} velja, da je amplituda prenosne funkcije med r in y omejena z: ( ) α ω ( ω) ( ω) ( ω) 1+ L( jω) P j C j F j ( ) β ω (3.6) 5. Zmanjševanje šuma: za vsak P { P} in izhodom objekta omejena z: velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja 39

40 y n ( ω) ( ω) 1+ L( jω ) P j C j = < δ n ( ω) (3.7) 6. Učinek regulacije: za vsak P { P} vhodom objekta omejena z: velja, da je prenosna funkcija med izhodom senzorja in u n ( jω) L( jω ) C = < δ 1+ c ( ω) (3.8) Če poenostavimo in postavimo H = 1, potem za točke 1 do 4 velja: 1 lim = 0 ( ω) 1+ L( jω) C j ( ω) ( ω) L( jω) P j lim = ( ) 0 C jω 1+ ( ω) ( ω) 1+ L( jω) L j F j lim F = 0 C j max ( ω) P j ( ω) ( jω) ( ω) ( ω) 1+ L( jω) ( ω) ( ω) 1+ L( jω) lim ( ) = 1 C jω L j F j min P j m L j F j ( ω) ( ω) F j Fm j (3.9) Preslikava lastnosti sistema iz časovne v frekvenčno domeno Enostavne direktne preslikave iz časovne v frekvenčno domeno ni. V praksi obstajajo postopki, ki dajejo zelo dobre rezultate. V primeru, kadar načrtovalec ni zadovoljen z rezultati, postopek ponavlja z dodajanjem ojačanja pri nizkih frekvencah (z ustreznimi spremembami pri visokih frekvencah, da še zadostijo zahtevam vodenja), dokler niso doseženi želeni rezultati. Priporočljivo je znižati zahteve vodenja v frekvenčni domeni nad določeno frekvenco ter zadostiti le zahtevam ojačanja in fazne rezerve do te frekvence. To je uporabno predvsem zaradi zmanjševanja učinka regulatorja z zanemarljivim vplivom na lastnosti zaprte zanke. Do frekvence ω h pridemo s iteracijskim postopkom. Ta je enostaven za izvedbo, prav tako je ω h enostavno oceniti kompromis med domeni [14]. ω h, učinkom regulatorja in lastnostmi sistema v časovni 40

41 Postopek metode Postopek temelji na predvidenih strukturah modela objekta in regulatorja (znano je število polov in ničel objekta in regulatorja). Tako se za podan vhod izračuna struktura glede na podane zahteve vodenja. Ideja je v iskanju parametrov predvidenega objekta in modelov regulatorjev z uporabo maksimuma ali minimuma amplitude rezultirajoče prenosne funkcije na jω osi ter zahtev podanih v frekvenčni domeni. Primer: Predpostavimo da objekt predstavlja preprost integrator 1 s, vključen v reguliran sistem, ki mora zadostiti sledečim zahtevam zaprte zanke v časovni domeni: stopnični odziv objekta na motnjo mora biti omejen z dvema krivuljama prikazanima na sliki 3.6a. Če je struktura regulatorja preprost pol, potem je C( s) = k ( s+ a). Prvi korak predstavlja izračun strukture modela izhoda objekta: ( ) y s s+ a = = = 1+ ( ) ( ) k s s 2 P sc s s s s as k ( + a) (3.10) Drugi korak je iskanje a in k da zadostijo zahtevam v časovni domeni. To množico izhodov v frekvenčni domeni označimo s { y( s )}. Tretji korak je izračun v frekvenčni domeni: 1 s + L s = max { } ( ) ( ω) 1 y y j s= jω ( ω) y j (3.11) Rezultati izračuna a [ 1,8] in [ 2,12] k so prikazani na sliki 3.6b. 41

42 Slika 3.6: (a) Stopnični odziv mora biti med obema krivuljama, (b) prenosna funkcija občutljivosti glede na krivulje iz (a) v frekvenčni domeni Krishnanova in Cruickshanksova tehnika Predpostavimo da so lastnosti v časovni domeni predstavljene v obliki 2 2 () () () y t mt v t (3.12) kjer je y() t signal zaprte zanke in mt (), vt () določeni časovni funkciji. To pomeni, da y() t naj ne odstopa od mt () za več kot vt (). Šibkejši pogoj kot ta je naslednji 2 t 2 () () () t y t mt v t, t 0 0 (3.13) 0 kar pomeni, da se namesto zgornje meje y() t mt () uporabi vt (). Energija signala na intervalu [ 0,t ] je omejena z energijo signala vt () v istem intervalu (za vsak t). Krishnan in Cruickshanks predlagata uporabo tega šibkejšega pogoja za katerega je zadosten pogoj v frekvenčni domeni ustrezanje spodnji neenakosti [86] ( ω) ( ω) ( ω) y j m j v j (3.14) Glavna pomanjkljivost te metode je uporaba šibkejšega pogoja, vendar v splošnem predstavlja razumno alternativo prvotni metodi. Primer: Za splošno predstavljen sistem na sliki 3.1 zapišemo at () y() t bt () (3.15) 42

43 kjer sta at ( ) in bt ( ) predstavljena na sliki 3.7a. To razširimo v a+ b b a y() t mt () vt (); mt () =, vt () = (3.16) 2 2 prikazani ravno tako na sliki 3.7a. Zapis v frekvenčni domeni je sledeč ( ω) ( ω) r ( ω) 1+ P( jω) C( jω) P j C j F j m j ( ω) v( jω) (3.17) ki z izbranim predfiltrom F ( s) m( s) r = predstavlja občutljivost sistema 1+ ( ω) L( j ) m j ( ω), ( ω) ( ω) ( ω) v j L j P j C j ω = (3.18) Amplitudi m( jωω ) in v( jω) ω sta prikazani na sliki 3.7b na mestu m( jω ) in v( jω ) zaradi priročnosti pri risanju grafa. Metoda temelji na uporabi šibkejšega pogoja pri visokih frekvencah s katerim ohranimo pasovno širino. Črtkana krivulja na sliki 3.7b predstavlja šibkejši pogoj v( jω) ω, ki je uporabljen pri načrtovanju. Slika 3.7: (a) Izhod objekta mora biti med krivuljama a(t) in b(t), (b) črtkana krivulja predstavlja šibkejši pogoj 43

44 3.4 Omejitve učinkovitosti objektov z neminimalno fazo (NMP) Objekti NMP so tisti, katerih modeli vsebujejo eno ali več ničel, ki ležijo izključno v desni polravnini (RHP ničle). Vzorčenje po naravi vsebuje zakasnitev, zato regulirani sistemi, ki vsebujejo vzorčenje, avtomatsko spadajo v skupino objektov NMP. Dobro znan primer predstavlja inverzno nihalo na vozičku (Kailath 1980), na katerem je pojav NMP enostavno razložljiv: če želimo, da se konica nihala premakne v desno, se mora voziček najprej premakniti v levo, nato konica pade na desno in voziček se premakne v desno. Konica se rahlo premakne v levo in nato v desno. Potrebno je več časa, da se konica premakne na želeno mesto na desni strani v primerjavi z objektom, ki se najprej premakne v levo. Frekvenca fazne rezerve odprte zanke ω φ objekta NMP ima zgornjo mejo, kar pomeni, da je omejena tudi amplituda zančnega ojačanja pri frekvencah nižjih od frekvence fazne rezerve. Razlog je v odvisnosti med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu. V objektih z minimalno fazo se odprta zanka oblikuje s lead-lag, lag-lead, itd. elementi, s čimer se doseže katerakoli zahtevana frekvenca fazne rezerve. Toda pri objektih NMP sta frekvenca fazne rezerve zančnega ojačanja in zančno ojačanje pri nizkih frekvencah omejena Stabilni objekti Vsako stabilno prenosno funkcijo odprte zanke lahko razstavimo v L( s) L ( s) A( s) =, kjer LM ( s ) predstavlja minimalno fazo (stabilno, brez ničel v desni polravnini) in As ( ), ki predstavlja visokoprepustno prenosno funkcijo (stabilno, za katero velja A( jω ) = 1 za vse ω ). M Primer: ( ) L s ( ) ( ) LM s As } s 1 s+ 1 1 s = = s+ 2 s+ 3 s+ 2 s+ 3 s+ 1 ( )( ) ( )( ) (3.19) Na osnovi povezave med amplitudo in fazo v Bodejevem diagramu za prenosne funkcije z minimalno fazo sklepamo: če je faza stabilne prenosne funkcije z minimalno fazo na velikem frekvenčnem področju fiksirana (npr. na φ stopinj), lahko v tem frekvenčnem področju uporabimo približek s prenosno funkcijo k s φ 90 [14]. Približek je enakovreden zahtevi kjer mora amplituda v Bodejevem diagramu imeti nespremenljiv naklon na velikem frekvenčnem področju. S dodajanjem tega približka, ki omeji pasovno širino regulatorja, dodatno 44

45 pripomoremo k predpostavki, saj ta v veliki meri zadovolji večino realnih sistemov v praksi. Numerična preverjanja sledijo v nadaljevanju. Predpostavka P3.1 Približek med frekvenco fazne rezerve funkcije minimalne faze L ( ) L M ( s) 2 M s zapišemo kot ω φ in frekvenco amplitudne rezerve ω M prenosne k (3.20) s α Pod predpostavko, da L( s ) vsebuje enostavno ničlo v desni polravnini pri a, takrat zapišemo ( ) = ( ) a s L s LM s a + s in tako dobimo zapišemo 1 ( ) ( ) argl jω = απ 2tan ω a ; ωφ ω ωm (3.21) Donos fazne rezerve φ, frekvence fazne rezerve ω ω aφ am ( 1 ) ω φ in frekvence amplitudne rezerve def = ωφ α π φ = tan a 2 (3.22) ( 1 ) def = ω α π M = tan a 2 (3.23) Iz zgornjih enačb (3.22), (3.23) in predpostavke P3.1 zapišemo amplitudno rezervo ω M M 2α απ + φ ω tan am 2 = = ω απ aφ tan 2 2α (3.24) Iz vseh treh enačb (3.22), (3.23) in (3.24) je možno izračunati povezave med amplitudno rezervo, fazno rezervo, frekvenco fazne rezerve in α. Te so prikazane na sliki

46 Slika 3.8: Fazna rezerva proti amplitudni rezervi pri različnih vrednostih α in ω φ a Primer: Objekt z enostavno ničlo v desni polravnini pri a = 3 se glasi ( ) P s 1 3 s = s 8 + s (3.25) pri fazni rezervi 40º in amplitudni rezervi M = 10dB (slika 3.8) so α = 0.61, ω = 0.275, ω = a ω = = (3.26) aφ φ aφ Tako s pomočjo enačbe (3.24) dobimo log 10 M ωm = ω φ = = 2.8 (3.27) 2α S spreminjanjem oblike povečujemo ω po pravilu L( jω ) φ 1+ > 3.5dB, ki ohranja enako ojačanje in fazno rezervo: 2 2.8s + 7.8s+ 5.5 ( ) = P( s) L s s s (3.28) Ta prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.9. Njena frekvenca fazne rezerve je 0.93 rad/s, ki je višja od ocenjene vrednosti, temelječa na predpostavki P3.1, za 12%. Potrebno je 46

47 upoštevati, da je cena tega majhnega povečanja 150% povečanje ω M in zato zelo veliko povečanje ojačanja šuma na vhodu objekta ter minimalnega časa vzorčenja v digitalnih sistemih Razširitev na več ničel v desni polravnini z ali brez zakasnitve Objekti NMP z enostavno realno ničlo v desni polravnini Dobro oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne rezerve dosežemo z zamenjavo ničel v desni polravnini z enakovredno enostavno ničlo katere faza je približek prvega reda prvotnih ničel. Preprosta formula: ničle v desni polravnini, ki se nahajajo na z, 1 L ki daje, zn, zamenja z, ki ga dobimo iz spodnjega približka prvega reda pri nizki frekvenci 1 sz1 1 szn 1 sz arg L arg (3.29) 1+ sz 1+ sz 1+ sz z z1 z n 1 n L + (3.30) Slika 3.9: Zančno ojačanje od L( s) kjer je ω blizu maksimuma L( jω ) φ 1+ > 3.5dB 47

48 Približek je veljaven v frekvenčnem področju kjer so vsi vključeni parametri ω nadomestljivi z linearnim razmerjem tan z prenosnimi funkcijami odprte zanke, ki sledijo predpostavki P3.1 i ω. Rezultate je mogoče pojasniti s naslednjimi z i L L ( s) 1 2α ( s) k 3 s = s s α ( 6 s)( 6 s) ( + 6)( + 6) k = s s s k st Ld ( s) = e, T = 23 2α s (3.31) Enakovredna ničla 0 prenosne funkcije L ( ) d z ničel v desni polravnini od L ( ) 2 s in Pade-jev približek zakasnitve s je pri vrednosti 3. Prenosna funkcija je prikazana na sliki 3.10 z amplitudno rezervo okoli 10dB in fazno rezervo približno 40º. Vse tri prenosne funkcije so skoraj enake vse do nižja od L ( ) d ω, amplitudna rezerva L ( s ) je le za 1dB nižja od L ( ) M 2 1 s in za 1.5dB s. Da bi dobili enako amplitudno rezervo za vse tri prenosne funkcije, mora biti frekvenca fazne rezerve L2 ( s ) in d ( ) 12% glede na L1 ( s ). L s približno 0.7 rad / s, kar predstavlja odmik manjši od 48

49 Slika 3.10: Primerjava treh prenosnih funkcij kjer L1 ( s ) vsebuje ničlo pri 3, 2 ( ) L ( s ) pa zakasnitev T = 23 d L s ničlo pri 6, Objekti NMP z enostavno dušeno ničlo v desni polravnini Po predpostavki P3.1 L( s ) preprosto zapišemo kot ( ) L s k s 2ξωs+ ω = s s + 2ξωs+ ω 2 2 2α 2 2 (3.32) Faktor dušenja se nagiba proti 0, njegov Nicholsov diagram konvergira proti trem ravnim črtam na sliki Od tod je razmerje med amplitudno rezervo M, fazno rezervo φ, ω M in frekvenco fazne rezerve konvergira ξ 0 M ωφ log ω ( 1 ) φ = π α ω = ω M 20 = 2α ω φ za dušeno kompleksno ničlo v desni polravnini pri ω kjer (3.33) 49

50 Slika 3.11: Nicholsov diagram prenosne funkcije z enostavno kompleksno ničlo pri različnih faktorjih dušenja 2α = 1, L = 1 s M Nestabilni objekti Obstoj nestabilnih polov postavlja spodnjo mejo na dosegljivo pasovno širino. Nestabilna odprta zanka s poli v desni polravnini mora v Nicholsovem diagramu sekati linijo [ 1, ) pomeni, da mora imeti končno spodnjo amplitudno rezervo. To M L, vendar zgornja amplitudna rezerva ne sme obstajati. Za zmanjšanje ojačanja šuma senzorja je potrebno zmanjšati visoke frekvence. Zato mora imeti regulator več polov kot ničel, faza odprte zanke pri visokih frekvencah pa se mora približati 270, kar predstavlja obstoj ω M. Sledi obravnava: kako najti minimalni ω φ pri podani spodnji amplitudni rezervi M L, zgornji amplitudni rezervi M H, fazni rezervi φ in polih sistema v desni polravnini. Grafično predstavitev vseh vključenih parametrov predstavlja slika

51 Slika 3.12: Definicija zgornje in spodnje amplitudne rezerve (M L, M H ), fazne rezerve (φ ), frekvence fazne rezerve ( ω ) in frekvence amplitudne rezerve ( ω ) φ M Nestabilni objekti z enostavnim polom v desni polravnini Za razpravo uporabimo nestabilno prenosno funkcijo z enostavnim polom v desni polravnini in končno amplitudno rezervo ( ) L s k ω = sa 1 s + 2 s+ 2 n 2 2 ξωn ωn (3.34) V splošnem pol normaliziramo s postavitvijo a = 1. Kadar pa je a 1, ω M zamenja aω M in ω φ zamenja aω φ, so enačbe in rezultati sledeči ω n zamenja aω n, ( ω) L j = M L ω 2 n ( n) ( n ) ω ω ω + 2ξω ω (3.35) 1 1 2ξωnω argl( jω) = π + tan ω tan 2 2 ωn ω (3.36) Za frekvenco fazne rezerve ω pri ( ω ) 1 φ L j φ = se enačba (3.35) glasi 2 2 ( ) ( ) M L 1 ωφ ωφ ωn 2ξωnωφ ωn = + + (3.38) 51

52 neenakost Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja M 1 ( M 0dB) (( ) 2 ( ) 2 n 2 n )( 1 ) φ φ φ φ L > > mora veljati sledeča ω ω + ξω ω + ω > ω (3.39) Fazni kot zgornje frekvence amplitudne rezerve ( ) arg L jω M = π sledeč L ω M iz enačbe (3.36) je ob upoštevanju 1 1 2ξωnωM π = π + tan ωm tan 2 2 ωn ωm (3.40) katerega rezultat je ω = ω 2ξω (3.41) 2 M n n Z namestitvijo enačbe (3.41) v enačbo (3.35) dobimo ( M podan v aritmetični enoti) H 1 M ωnm L = 2ξ 1 ω 2ξω 2 ( + ) H n n (3.42) neenakost Za zagotavljanje stabilnostnega pogoja M < 1 (v aritmetični enoti) mora veljati sledeča H ωnml 1 2ξ 1 ω 2ξω < 2 ( + n n) Enačbi (3.42) in (3.38) predstavljata tesno povezavo med amplitudnima rezervama (3.43) M L, M H in frekvenco fazne rezerve ω φ. Naslednje pomembno bistvo je fazna rezerva φ. Iz enačbe (3.36) ta izpolnjuje 2ξω ω 1 1 n φ π + φ = π + tan ωφ tan 2 2 ωn ωφ 2ξω ω ωφ tanφ = ω ω 1+ ω tanφ n φ 2 2 n φ φ (3.44) (3.45) Z uporabo enačb (3.38, 3.42 in 3.45) dobimo množico grafov v odvisnosti od fazne rezerve φ, amplitudnih rezerv M L, M H in frekvence fazne rezerve ω φ za različne ξ. Tako 52

53 najprej spremenimo obliko enačbe (3.36) z upoštevanjem ω in s ciljem doseči maksimum L( jω ) pri ω = ω. Rezultat je rešitev naslednje enačbe 4. reda φ ( ξωn) ωφ ( ωn ξωn ξωn ξωn) ωφ ( ωn ξωn) = 0 (3.46) Ob uporabi ω φ kot funkcije ω n dobimo fazno rezervo iz enačbe (3.44), M L iz enačbe (3.38), M H pa iz enačbe (3.42). Te povezave so predstavljene na sliki 3.13 pri ξ = 0.5, kjer je maksimum fazne rezerve pri dani normalizirani frekvenci ω n a in minimum pri ω a dosežen v vsakem primeru. φ Slika 3.13: Frekvenca fazne rezerve ω φ in fazna rezerva φ (zgoraj) ter amplitudni rezervi (spodaj) proti ω n pri ξ = 0.5 Slika 3.14 prikazuje odprto zanko v Nicholsovem diagramu za ω n a = 3.65, 5.3, 8.3, 14.5, 33 in 100 s fazno rezervo 30, 40, 50, 60, 70 in 80º. Slika 3.15 je enaka kot slika 3.14 le s ξ = 1.0. Očitno je, da je fazna rezerva nižja kot pri ξ = 0.5, vendar ima višjo amplitudno rezervo. 53

54 Slika 3.14: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri ξ = 0.5 in različnih vrednostih ω n Primeri in omejitve V mnogih reguliranih sistemih v praksi je glavni interes zmanjšanje ω n čim bolj je to mogoče. Z njim zmanjšamo ojačanje šuma senzorja na vhodu objekta. Rezultate iz slike 3.13 uporabimo pri iskanju omejitev odprte zanke polov v desni polravnini. Primer: Predvidevajmo, da potrebujemo fazno rezervo φ = 40. Iz slike 3.13c odčitamo ω a = 5.3, saj predstavlja najnižjo vrednost, ki jo lahko uporabimo. Iz istega grafa odčitamo n še ostale vrednosti ω a = 1.8, M = 5.8dB ter M = 7.2dB iz slike 3.13d. Ti rezultati se φ L ujemajo v Nicholsovem diagramu na naslednji sliki 3.14, ki prikazuje nekatere L( jω ) ustrezne enačbi (3.34). Prenosne funkcije odprte zanke v praksi so bolj zapletene kot tukaj prikazane, saj vsebujejo več polov in ničel kot enačba (3.34). Vendar pa osnovne značilnosti (v smislu najnižje pasovne širine) ne glede na poenostavljeno strukturo enačbe (3.34) ostajajo enake. H 54

55 Slika 3.15: Nicholsov diagram enačbe (3.34) pri ξ = 1 in različnih vrednostih ω n Razširitev na več polov v desni polravnini Objekti s enostavnim polom v desni polravnini Razumno oceno razmerja med amplitudno rezervo, fazno rezervo in frekvenco fazne rezerve dosežemo z zamenjavo polov v desni polravnini z enim enakovrednim polom, katerega faza je približek prvega reda glede na originalne pole pri visokih frekvencah. Razlog je prevlada območja pri visokih frekvencah nad pasovno širino enačbe. Preprosta formula: pole v desni polravnini postavljene na p,, 1 L pn zamenja pol p, ki je približek prvega reda ki daje velja 1+ p1 s 1+ pn s 1+ ps arg L arg (3.47) 1 p s 1 p s 1 ps 1 1 n n p p + L + p (3.48) Razlog za izbiro tega približka je v frekvenčnem področju v katerem za vse parametre ω = pi in približek tan ω z i ω. Približek je ponazorjen s naslednjo prenosno funkcijo z i 55

56 L L ( s) ( s) s+ 4 8 = s 4 ( s s )( s+ 4) ( s+ 1)( s+ 3) 8 ( s 1)( s 3) ( s s )( s+ 4) = (3.49) L1( s ) ima strukturo enačbe (3.34) z največjo fazno rezervo 40. L2( ) s ima enako strukturo, kjer je ( s+ 4) ( s 4) zamenjan s približkom ( s 1)( s 3) ( s 1)( s 3) + +. Obe prenosni funkciji sta prikazani na sliki Očitno je, da so fazna rezerva, zgornja amplitudna rezerva in frekvenca fazne rezerve L2( s ) zelo blizu L1( ) rezerve L2( s ) je za 1.5dB nižja od tiste v L1( ) amplitudnih rezerv MH + ML. s. Spodnja frekvenca amplitudne s, kar predstavlja približno 12% vsote Slika 3.16: Nicholsov diagram L1( s ) in L2( s ) Objekti z visoko pod-dušenimi poli v desni polravnini Po predpostavki P3.1 je L( s ) zapisan v obliki ( ) L s k s + 2ξω s+ ω = s s s 2 2 n n 2α 2 2 2ξωn + ωn (3.50) 56

57 Ko se faktor dušenja ξ približuje proti 0 njegov Nicholsov diagram konvergira k minimalni fazi pri frekvencah višjih od minimalno fazo v tem frekvenčnem področju. ω n. Takrat jo obravnavamo kot prenosno funkcijo z 57

58 4 OPIS METODE QFT 4.1 Uvod V nadaljevanju sledi kratek pregled obstoječih algoritmov in postopkov metode QFT, ki so potrebni pri oblikovanju vzorca ter pridobivanju in oblikovanju mejne linije Različni pristopi pri oblikovanju vzorca Vzorec objekta je množica točk, ki predstavlja frekvenčni odziv sistema pri izbrani frekvenci. V literaturi se vzorci pojavljajo tudi kot sklop vrednosti ali sklopi slik [2]. Problem načrtovanja vzorcev tako imenujemo tudi problem oblikovanja vzorca ali problem preračunavanja sklopa vrednosti. Obstajajo različni pristopi pri reševanju problema načrtovanja vzorca. Najenostavnejši način je mrežna metoda. Pri tej metodi je vsak parameter postavljen v mrežo, za katero se vrednosti prenosne funkcije izračunavajo za vsako možno kombinacijo mrež parametrov. Horowitz [21] je za načrtovanje vzorca predlagal mrežo iz minimalno treh točk za vsak negotov parameter posebej. Mrežna metoda je enostavna in uporabna brez znanih omejitev glede na vrsto parametričnih odvisnosti ali oblik prenosnih funkcij. Vendar ima nekaj pomanjkljivosti: zahteva veliko računanja (še posebej kadar imamo veliko število parametrov), nastanejo notranje točke vzorca zaradi katerih so v določenih primerih oblika in njegove meje nerazločne, izbira primernih mrež je zahtevna (zaradi slabe izbire je mogoče, da nekaj kritičnih točk izpustimo). Cohen [37] predstavi rekurzivno mrežno metodo za izračunavanje sklopov prenosnih funkcij s parametrično negotovostjo. Predlaga razširitev mrežne metode na način, da se mreža lokalno prilagodi in s tem doseže predpisana razdalja med sosednjima točkama v sklopu vrednosti. Prednost tega načina v primerjavi z enostavno mrežno metodo je, da je mogoče vnaprej določiti ločljivost sklopa vrednosti. S tem se zmanjša število potrebnih preračunavanj. 58

59 Da načrtovalec izbere pravilno kombinacijo parametrov, ki definirajo meje, mora imeti poglobljeno znanje o sistemu in z njim povezanimi negotovostmi. V istem delu avtorji predstavijo algoritem za izračun zunanjih mej tako nastalih vzorcev. East [38], [39] predlaga algoritem za oblikovanje krožnega vzorca objektov v Nyquistovi ravnini. Postopek načrtovanja upošteva ničle in pole prenosne funkcije z nekoreliranimi intervalnimi koeficienti. Prednosti metode so predvsem v tem, da je algoritem enostavno realizirati s računalnikom, ter da so zunanje meje vzorca enostavno določljive. Rezultati algoritma so izključno konveksne oblike vzorcev. Bailey [40] predlaga algoritem za oblikovanje vzorca na intervalu racionalne prenosne funkcije. Pri tej metodi upoštevamo preslikave, ki jih je mogoče ponazoriti kot razmerje med polinomom števca in polinomom imenovalca. Predpostavimo, da na jω -osi ni polov ali ničel. Kadar vsi polinomski koeficienti neodvisno nihajo, sta meji vzorcev imenovalca in števca pravokotnika v kompleksni ravnini, ki ju je mogoče izračunati. Dejansko mejo vzorca v amplitudno/fazni ravnini izračunamo z upoštevanjem različnih točk iz teh dveh vzorcev. Rezultat metode so dejanske meje vzorca. Kadar pa so posamezni koeficienti polinomov odvisni, ali kadar obstaja odvisnost med posameznimi polinomi, je končni rezultat le približek zunanjih mej vzorca. Barmish [41] predstavi koncept dekompozicije z drevesno strukturo (TSD), kjer je v kompleksni ravnini mogoče mejne sklope vrednosti zapletenih prenosnih funkcij izračunati z osnovnimi računskimi operacijami {+,-,*,/} (med mejnimi sklopi vrednosti elementarnih prenosnih funkcij). Gutman [42], [43] predlaga algoritem za izračun sklopov vrednosti negotove prenosne funkcije (definirane s koeficienti v realni obliki) z negotovim zamikom in nestrukturirano negotovostjo. Pri tem predpostavimo, da vsak negotov parameter pripada omejenemu in enostavno povezanemu intervalu. Predpostavimo še, da so vsi parametri neodvisni drug od drugega ter da so posamezni členi formule prav tako neodvisni. Tako najprej izračunamo robove vzorca osnovnih členov. Nato izvedemo dvodimenzionalni pregib in dobimo končne meje. Prednost te metode je, da je mreža definirana v Nicholsovem diagramu, kjer je prikazan končni sklop vrednosti. Metoda predstavlja primer TSD pristopa. Fialho [44] predlaga algoritem za direktni izračun mej vzorca v Nicholsovi ravnini za racionalne prenosne funkcije z negotovostjo neodvisnih parametrov. Metoda temelji na konceptu Kharitonovih polinomov [45]. Vzorec je pri katerikoli frekvenci mogoče oblikovati z upoštevanjem največ 32 Kharitonovih členov. 59

60 Ohta [46] uporabi aritmetiko nekonveksnih poligonskih intervalov (NPIA), da oceni sklope vrednosti prenosnih funkcij v sprejemljivem času. NPIA je izračun, definiran na sklopu vseh poligonov v kompleksni ravnini. Obravnava poseben razred prenosnih funkcij, katerih imenovalci in števci so linearne funkcije negotovih parametrov. Eszter in Pena [47] obravnavata sisteme, ki nastanejo neposredno iz aplikacijskih problemov, vključno s tistimi z večkrat povezanimi sklopi. Predstavita razširitev TSD koncepta. V prvem koraku povezane sisteme razdelimo na podsisteme. V drugem pa sklope vrednosti pridobimo s kombiniranjem vzorcev podsistemov z delovanjem znotraj mej njihovih sklopov vrednosti. Obravnava tudi delitveni algoritem za operacije med večkrat povezanimi sklopi. Teorem mapiranja (»mapping theorem«) [45] podaja način izračuna konveksnega ovoja sklopa vrednosti linearnih negotovih sistemov. Konveksni ovoj predstavlja enostaven poligon, katerega vrhove dobimo iz vrhov področja negotovih parametrov. Barmish in Tempo [48] ta teorem razširita na bolj splošni razred negotovih sistemov s pomočjo posplošenega teorema mapiranja. Chen in Ballance [50] predstavita algoritem za neposredno računanje mej vzorca negotovega sistema z linearnimi in nelinearnimi negotovostmi. Negotovi sistemi so omejeni na sisteme, ki nimajo izključno imaginarnih polov in tiste, pri katerih v desni polravnini ni kompenziranih (okrajšanih) ničel in polov. Postavita teorijo, da je mogoče pri takih prenosnih funkcijah meje izračunati samo z robovi negotovih področij ter kritičnimi notranjimi točkami. Kritične notranje točke je mogoče identificirati z rešitvijo sklopa enačb z uporabo programske opreme. Mejo izračunamo na robovih ter najdenih kritičnih notranjih točkah. V primerjavi z metodami po Kharitonovem teoremu so vzorci, ki jih dobimo po tej metodi, kompaktnejši. Nataraj in Sardar predlagata dva IATG algoritma v [51] in [52]. Splošna lastnost teh algoritmov je možnost apliciranja na katerokoli prenosno funkcijo ter da nastali vzorci zmeraj vsebujejo originalni vzorec. Algoritmu, predstavljenem v [51], ponavljajoče parametre razdelimo s pomočjo arbitrarnega razdelitvenega faktorja, katerih funkcije amplitudnih velikosti uporabimo na kombinacijah parametrov. Vzorec ocenimo z uporabo vzporedne ocene funkcij zaradi česar je algoritem zelo hiter. Pomanjkljivosti te metode sta manjkajoča navodila za izbiro razdelitvenih faktorjev ter nezmožnost ocenitve rezultatov metode. Algoritem predstavljen v [53] uporablja prilagodljivo razdelitev parametrov, s katerim nastanejo vzorci arbitrarne točnosti. Algoritem pri vsaki ponovitvi uporabi korak posplošenega Gauss-Seidelovega algoritma, ki pospeši proces konvergence. Algoritem je precej počasen, saj je vsak pododdelek ponovno razdeljen na zaporedni način. 60

61 4.1.2 Ekstrakcija mejne linije Lasky in Ravani [54] predstavita metodo za hitro oceno mejne linije v Nicholsovem diagramu, ki temelji na oceni konveksnega ovoja, katere rezultat je prekrivajoča mejna linija. Metoda je uporabna za sisteme z negotovimi členi z mrtvim časom. Agamennoni [55] predstavi algoritem za ekstrakcijo konveksnega ovoja meje vzorca iz danega vzorca v kompleksni ravnini. Algoritem vključuje premikanje vzdolž meje vzorca v korakih izbranega kota. Boje [56] predstavi algoritem za eliminacijo notranjih točk danega vzorca, s čimer zmanjša število točk vzorca v Nicholsovi ravnini Oblikovanje mejne linije Ključni korak metode QFT predstavlja preslikava lastnosti zaprte zanke v frekvenčni domeni v domene v Nicholsonovem diagramu z dodatki faznih in amplitudnih vrednosti regulatorja. Te domene imenujemo meje metode QFT. Rezultat je regulator nominalne prenosne funkcije zanke, ki je znotraj meja pri vsaki izbrani frekvenci. V posebnem razredu racionalnih funkcij Fialho [44] uvede metodo izračunavanja mej. Pokaže, da je za ta razred objektov mogoče natančno izračunati meje z uporabo največ 32 enoparametričnih družin racionalnih funkcij, s ti. Kharitonovimi členi. Za posebni razred splošnih objektov, kjer sta tako števec kot imenovalec polinoma, Zhao in Jayasuriya [57] predlagata računsko učinkovit algoritem za meje robustne stabilnosti in odpravo motenj. Meje izračunamo z reševanjem sklopa simultanih neenakosti pri vsaki frekvenci z uporabo Kharitonovih polinomskih rezultatov. Izpeljemo eksplicitne enačbe za določitev frekvenčno odvisnih prepovedanih regij, ki se jim L ( ) 0 s mora izogniti. Te enačbe neposredno uporabimo za oblikovanje mej, pri tem pa ni potrebe po običajnem enodimenzionalnem iskanju faze prenosne funkcije nominalne zanke. V nadaljevanju sledi pregled algoritmov za splošne strukture objektov in negotovosti. V prvotnem zapisu metode QFT [58] so bile meje dosežene s poskusi in napakami, z manipulacijami vzorca objektov v Bodejevem diagramu. Kasneje Horowitz in Sidi [59] predlagata enak proces v Nicholsovem diagramu. Longdon in East [60] predlagata enostavno geometrijsko tehniko za izračunavanje mej z določeno občutljivostjo z uporabo ravnila. Metoda je natančna v primeru, kadar je mogoče odstopanja parametrov objekta ponazoriti s konveksnim poligonom. Metoda je primerna za 61

62 ročno ali računalniško uporabo. Njena implementacija je enostavnejša kot algoritemsko iskanje s poskusom in napako. East [38] predlaga postopek razvit posebej za CAD sintezo prenosnih funkcij zanke neposredno iz podatkov variacij objekta. Ballance in Gawthrop [61] nato razvijeta QFT program za načrtovanje reguliranih sistemov, ki temeljijo na Eastovih zamislih. Vendar v Eastovem pristopu obstajajo določene napake [62]. Nekateri avtorji predlagajo algoritem za oblikovanje mej na podlagi iskanja (npr. v [63] in [64]). Vendar so ti algoritmi razmeroma počasni zaradi same narave iskalnega procesa. Kot posledica tega več avtorjev predlaga učinkovitejše algoritme za oblikovanje mej, ki temeljijo na pristopu kvadratnih neenakosti. Wang [65] predstavi neenakost za pridobivanje mej na nominalni prenosni funkciji L ( ) 0 s za doseganje robustnih sledilnih lastnosti. Neenakost izpeljemo glede na nominalni objekt L 0, negotov objekt in sledilne mejne lastnosti. Avtorji pokažejo, da je meja pri dani frekvenci mejna linija sklopa krožnic v kompleksni ravnini. Chait in Yaniv [66] predstavita lastnosti zaprtih zank in meje v obliki kvadratnih neenakosti. Obdelata širok spekter problemov robustnih učinkov: amplitudne in fazne meje, odpravljanje šuma, odpravljanje motenj izhoda in vhoda objekta, ujemanje modelov, sledljivost in učinek. Za vsakega od teh problemov podata enostaven algoritem oblikovanja mej, ki temelji na sklopu kvadratnih neenakosti. Pri objektu predvidevata le strukturirano negotovost. Chait in Yaniv [67] prav tako predstavita neposredno metodo QFT v z-domeni za diskretne negotove sisteme z vzorčenimi podatki. Meje z-domene izračunamo iz sklopa kvadratnih neenakosti, ki vzorčene podatke preslikajo v meje metode QFT (podobno kot pri zveznih časovnih sistemih). Oblikujejo se meje za robustno stabilnost, robustno ojačanje in fazni kot. Neposredna metoda z-domene zaradi uporabe bilinearne transformacije odpravi problem ovoja. Nordgren [3] predstavi objekte modelov z ničlami in poli v desni polravnini, časovnimi zamiki in določenimi visoko frekvenčnimi nestrukturiranimi negotovostmi. Robustno stabilnost, sledenje in odpravljanje motenj izpeljemo glede na funkcije občutljivosti in urejene negotovosti objekta. Thompson [68] opisuje strukturo mej pri nizkih frekvencah in poda izraz v obliki zaprtega gradienta. Chait [33] razširi pristop kvadratnih neenakosti na objekte z nestrukturiranimi negotovostmi. Rodrigues [34] predstavi izboljšan algoritem za izračun mej z uporabo kvadratnih neenakosti. Pri izračunu mej metode QFT se točnost meje povečuje z večanjem števila točk 62

63 vzorca, ki jih upoštevamo pri izračunu, vendar se pri tem povečuje tudi zahtevnost računanja. Uporaba verzije Edgevega teorema z realnim korenom predvideva, da je realni koren sklopa polinomov enak realnemu korenu sklopa robov. V [45] Rodrigues predstavi teoretične rezultate, iz katerih je razvidno, da je pri izračunu mej potrebno upoštevati samo vrhove konveksnega ovoja. Na ta način dobimo natančnejšo mejo z uporabo natančnejših konveksnih ovojev vzorca, ne da bi pri tem povečali zahtevnost računanja. Eitelberg [69] predstavi metodo, ki zagotavlja sledenje tolerance napake kljub negotovostim v povratni vezavi sistema. Postopek temelji na občutljivostni funkciji in ne vključuje dodatnega načrtovanja v primeru, kadar sledenje vsebuje nično nominalno napako (»zero nominal error«) Povzetek Obstoječi algoritmi za oblikovanje mej temeljijo na točkah in uporabljajo le končen sklop objektov iz vzorca objektov. Za oblikovanje mej uporabimo približek končnega vzorca, ki pa ne daje nikakršnih zagotovil, da so meje veljavne za celotno družino objektov. Meje v algoritmih izračunamo le na končnem številu faznih vrednosti regulatorja, ki jih izbere uporabnik (ponavadi v faznem razponu [ 2 π,0], vsakih pet stopinj). Mej pri ostalih faznih vrednostih ne izračunavamo, temveč jih linearno interpoliramo iz sosednjih (izbranih) faz. Tako ni zagotovil, da so meje veljavne v celotnem faznem razponu - v splošnem ni zagotovil, da so meje, izračunane s točkovnimi algoritmi, veljavne za celotno družino objektov in celotno fazno območje regulatorja. 4.2 Oblikovanje vzorcev Prvi in ključni korak metode QFT predstavlja oblikovanje vzorcev negotovih objektov. To pomeni ugotavljanje nujnih notranjih točk negotovih parametrov, ki ležijo na mejah vzorcev objekta. Meje vzorcev so podane z robovi negotovih parametrov in identificiranimi notranjimi točkami. Pri metodi QFT je ključno opisati objekt z negotovostmi, vključno s parametričnimi, nestrukturiranimi in mešanimi negotovostmi v frekvenčni domeni. Zato je nujno potrebno poznavanje analize frekvenčnih lastnosti in izračunavanja frekvenčnih odzivov takih objektov. Pri metodi QFT se vse negotovosti preoblikujejo v vzorce objektov v Nicholsovem ali Nyquistovem diagramu. Termin vzorec se nanaša na skupino frekvenčnih odzivov negotovih objektov. Za preprosto povezane vzorce je potrebno in hkrati tudi dovolj delati samo z mejami vzorcev po metodi QFT [2]. 63

64 Najbolj pogosta metoda oblikovanja vzorcev objektov je omejevanje nastavitev parametrov in izračun vrednosti prenosnih funkcij v diskretnih točkah parametrov. To je računalniški pristop, katerega rezultat je veliko število nepotrebnih notranjih točk v vzorcih. Pri vzorcu s q negotovimi parametri, kjer se za vsak parameter uporablja n mrežnih točk, bi se vrednost prenosne funkcije izračunala q n krat. Tako bi npr. pri vzorcu s petimi negotovimi parametri bilo potrebno preračunati prenosno funkcijo krat, če bi bil vsak parameter razdeljen 10-krat. Ker je to prvi korak v procesu oblikovanja povzroča veliko breme v sledečih izračunih mej robustne stabilnosti in mej robustnega obnašanja [1]. Zaradi tega je bilo v preteklosti predlaganih več pristopov poenostavitve procesa oblikovanja vzorcev za objekte s negotovimi strukturami [12]. Bailey in Hui [70] sta preučila problem tako, da so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni. Fu [71] in Barlett [72] trdita, da ko so negotovi parametri v števcu in imenovalcu neodvisni in sorodni, se meje vzorcev oblikujejo z robovi množice parametrov. S pomočjo sistema Kharitonovega polinoma in Kharitonovega segmenta so Tesi in Vicino [73] ter Keel in Bhattacharyya [74, 75] pokazali, da se frekvenčni odziv lahko doseže s Kharitonovim polinomom ali Kharitonovim segmentom. Pri oblikovanju strukture negotovih parametrov ni omejitev. V splošnem je razvit postopek za oblikovanje vzorca negotovih objektov, vključno z nelinearnimi in multilinearnimi perturbacijami. Ta temelji na Jacobian-ovi funkciji, ki namesto direktnega izračuna vzorca problem preoblikuje na testiranje ničle negotovega polinoma. Posledično je ugotovitev meje vzorca enaka testiranju mej ničle negotovega polinoma Izračun meje vzorca V negotovem objektu (, ) P sq (, ) (, ) m ( ) + ( ) i= i n ( ) + ( ) i N sq n0 q n q s 1 = = D sq i d q d q s 0 i= 1 i (4.1) predstavlja q vektor negotovih parametrov. Z zgornjo strukturo lahko opišemo skoraj vse fizične objekte s strukturiranimi negotovostmi vključno z multilinearnimi in nelinearnimi negotovostmi. Vsak od p negotovih parametrov q i se neodvisno nahaja znotraj intervala qi, q i. Vektor negotovih parametrov q pripada množici { : p, i i i, 1,, } Q= q q R q q q i = K p (4.2) 64

65 Pri fiksni frekvenci bo frekvenčni odziv objekta (4.1) z negotovimi parametri q Q predstavljal rezultat v kompleksni ravnini, ki se imenuje vzorec objekta, definiran z {, : } ( ω) ( ω ) P = P j q q Q (4.3) V metodi QFT se analiza in sinteza reguliranega sistema izvajata v Nicholsovem diagramu. V praksi je dokazano [30], da točke parametrov, ki prispevajo k mejam vzorcev v Nyquistovem diagramu, prispevajo tudi k tistim v Nicholsovem diagramu. Pri obravnavi primera predpostavimo: P4.1: objekt (4.1) nima izključno imaginarnih polov za vsak q Q, P4.2: objekt (4.1) nima kompenziranih ničel in polov v desni polravnini za vsak Naj bo q Q. ( ω,, ) ( ω, ) ( ω, ) F qy = N j q y D j q (4.4) kjer y predstavlja kompleksno spremenljivko, ϒ ( ω) pa množico y točk za katere velja F ( qy) ω,, = 0: { y: F, qy, 0, q Q} ( ω) ( ω ) ϒ = = (4.5) Množico ϒ ( ω) imenujemo ničelna množica od F(, qy, ) in P4.2 je enostavno pokazati da je samo če velja in samo če velja ( ) ω. Sledeč predpostavkam P4.1 P= P ω (4.6) ( ω) y ϒ (4.7) ( ) P= P ω (4.8) ( ω) y ϒ (4.9) kjer ϒ ( ω) označuje mejo množice ( ω) ϒ. 65

66 F Zaradi teh predpostavk je izračun vzorca enakovreden testiranju ničle polinoma (, qy, ) ω pod vplivom negotovega parametra q Q. Tako sta na osnovi predpostavk P4.1 in P4.2 P in ϒ enakovredna. Sedaj lahko funkciji P( j, q) ω in (4.1) zapišemo kot ( ω, q) P j Postavimo = r r ( ω, ) + i( ω, ) ( ω, ) + ( ω, ) N q jn q D q jd q i (4.10) y = σ + jθ (4.11) kjer sta σ in θ realni spremenljivki. Takrat enačba (4.4) postane ( ω,, ) =R ( ω,, ) + I ( ω,, ) F qy F qy j F qy ( ) = N σd + θd + j N θd σd y y i i y i (4.12) Definicije D4.1: notranje točke množice negotovih parametrov Q se dodelijo vsem točkam razen tistim na robovih množice parametrov Q, D4.2: leva stran (polravnine) množice negotovih parametrov Q se nanaša na podmnožico množice parametrov Q, kjer se levo ležeči (polravnine) parametri lahko premikajo v poljubnih smereh, vsi ostali pa so določeni v njihovih končnih točkah. Izrek Objekt (4.1) z negotovimi parametri P q Q R izpolnjuje predpostavki P4.1 in P4.2 edino takrat, kadar točke množice negotovih parametrov Q (2) prispevajo k meji vzorca (, q) P jω v kompleksni ravnini. Glede na definicije in enačbe sklepamo: I4.1: upoštevamo le točke na robu množice negotovih parametrov Q, I4.2: za vse levo ležeče parametre množice negotovih parametrov Q, sestavljene iz T { } l q ql, K, q, 1 l l1, l2,, l 1,2,, l K l K p in 2 l q velja, da točke zadostujejo pogojema 66

67 in l l ( F( ω, q, y) ) RF( ω, q, y) ( ) R L ql q 1 ll rank < 2 l l ( IF( ω, q, y) ) ( IF( ω, q, y) ) L ql q 1 ll ( l ) (4.13) F ω, q, y = 0 (4.14) Dokaz Za osnovo uporabimo objekt z dvema negotovima parametroma. Tega nato razširimo na objekt s p negotovimi parametri. Dokazati moramo, da točke iz množice Q, ki ne izpolnjujejo pogojev izreka, ne prispevajo k meji vzorca. Domnevamo, da obstaja točka y 0 na meji množice ničel ν od F(, q, y ) ω 0 0, tj. na meji vzorca, kjer pa točka 0 Q ne izpolnjuje pogojev izreka I4.1 in I4.2. To pomeni da ( ) 0 0 q iz množice negotovih parametrov F ω, q, y = 0 (4.15) Taylorjeva razširitev funkcije F( jω, qy, ) v točki (, ) q y prinaša 0 0 (,, ) = (, +, + ) (,, ) δf ω q y F ωδq q δy y F ω q y F F = δq+ q y q= q0 y= y0 δy (4.16) Postavimo y = σ + jθ. F( jω, q0, y0) predstavlja kompleksno funkcijo, q 0 pa negotov parameter, ki se ne pokorava pogoju izreka I4.1. To pomeni, da q 0 ne leži na robovih množice negotovih parametrov Q. Zato lahko zgornjo enačbo zapišemo kot ( F) ( ) ( ) ( q ) ( F) ( ) ( ) ( q ) R R RδF q1 q2 δq1 δσ M δf = F F + δ q 2 δθ I I I 1 2 q= q0 (4.17) Kjer R F in I F predstavljata realni in imaginarni del funkcije F. M predstavlja matriko, ki je rezultat F y pri y = y0. Ker q 0 ne izpolnjuje pogoja (4.13) pomeni, da ima matrika 67

68 ( F) ( q ) ( F) ( q ) R I ( F) ( q ) ( F) ( q ) R 1 2 I 1 2 q= q0 (4.18) popolni rank. To pomeni, da za katerikoli δ σ in δ θ obstajata δ q 1 in δ q 2 tako da velja Rδ F = 0 Iδ F (4.19) To izhaja iz ( ω,, ) ( ω,, ) δ ( ω,, ) F q+ q y+ y = F q y + F q y (4.20) katerega rezultat je ( ω ) ( ω ) F, q+ q, y+ y = F, q, y = 0 (4.21) To pomeni, da je F(, q q, y y ) ω + + prav tako v množici ν oziroma vzorcu objekta. Ker 0 0 za vsako dovolj majhno perturbacijo v katerokoli smer na σ 0 in θ 0 (na y 0 ) obstaja q Q tako, da velja y+ δy ν. Ta predstavlja točko y 0, ki ni element množice ν (ni na meji vzorca objekta). To pa je v nasprotju s predpostavko. Objekt s p dimenzionalnimi negotovimi parametri je sestavljen iz p-dimenzionalnega mnogokotnika in vsebuje stranice od p-te to 0-te razsežnosti. Zato moramo preveriti ali točke vsake l-stranice ( p l 2) prispevajo k meji vzorca. Preučimo l-stranico množice negotovih l parametrov Q sestavljeno iz q = q, q,, q, l, l,, l { 1,2,, n} K K K. To pomeni, da so l1 l2 ll 1 2 l ostali p l negotovi parametri določeni v njihovih končnih točkah. Glede na zgornjo razpravo enačba (4.17) postane ( F) ( F) R R L δql 1 RδF ( ql ) ( q ) 1 ll δσ M δf = M + ( F) ( F) δθ I I I δ q L ll ( ql ) ( q ) 1 l l l l q = q0 (4.22) Torej le točke na l-stranici izpolnjujejo pogoj (4.14) in so razporejene na vzorec objekta. Rezultat je dosežen. 68

69 4.2.3 Opombe O4.1: Množica P ni nujno enostavno povezana. O4.2: Pri 0 ω = funkcija F( 0,, ) qy postane funkcija realnih vrednosti in enačba (4.13) več ne drži. A to v tem primeru ni pomembno, saj za izračun vzorca potrebujemo le minimum in maksimum realnih vrednosti funkcije n0( q) d0( q ). O4.3: V enačbi (4.13) ni možno, da bi bila celotna vrstica matrike enaka 0, saj je funkcija F( ω, qy, ) ali prenosna funkcija P( j, q) parametra ω neodvisna od ustreznega q l i. Zato je testiranje enačbe (4.13) enako rešitvi spodnjih l 1 enačb l l ( ω,, ) R ( ω,, ) RF q y F q y q l i l j l l ( ω,, ) I ( ω,, ) l i q IF q y F q y q q l j = 0 (4.23) kjer je i določen v območju i = 1,2, K, l, j v območju j = 1,2, K, l in j i. S kombinacijo enačbe (4.23) in pogoja (4.14) dobimo množico l + 1 enačb in l + 2 spremenljivk q, q, K, q, σ in θ. Po zamenjavi spremenljivk l l1 l2 l krivuljo H ( σθ, ) = 0, ki opisujejo točke vzorca P( j, q) q, q, K, q dobimo l l1 l2 l ω v Nicholsovem diagramu. Te točke so razporejene na kritičnih notranjih linijah kjer izpolnjujejo pogoje (4.13) in (4.14). O4.4: Izračun frekvenčnega odziva negotovega objekta je potreben le v točkah na robovih ter v tistih, ki izpolnjujejo pogoja (4.13) in (4.14). Potrebno je preveriti ali obstajajo točke na l-stranici množice negotovih parametrov Q, ki izpolnjujejo pogoje (4.13) in (4.14). Prav tako je potrebno rešiti množico l + 1 enačb. Simbolično računanje ima pomembno vlogo v tem postopku. Ena od teh je izračun Jacobianove matrike. Ker notranje točke na l-stranici izpolnjujejo pogoje (4.13) in (4.14) sestavljajo krivuljo (če le-te obstajajo), kar pomeni, da obstaja neskončno numeričnih rešitev za množico enačb. V splošnem so to nelinearne enačbe. Vendar, kot je dobro znano, so koeficienti prenosne funkcije polinomske funkcije negotovih parametrov. Za večino realnih sistemov v praksi velja, da je eksponent polinomov negotovih parametrov ni ( q ) in di ( ) q v (1) nižji od 3. Te enačbe rešujemo z obstoječimi programskimi orodji za simbolično računanje (npr. Matlab). 69

70 Postopek za izračun vzorca objekta je sledeč: 1. Objektu (4.1) s negotovimi parametri določimo frekvenco ω in postavimo l = p, 2. Z reševanjem sklopa enačb (4.13) in (4.14) identificiramo točke na l-stranici, ki prispevajo k meji vzorca. 3. Postavimo l = l 1 in ponavljamo korak 2 dokler ne pridemo do l = Nazadnje izračunamo vrednosti P( jω ) na robovih in v točkah dobljenih v koraku 2 in Princip načrtovanja Cilj robustnega vodenja je zadovoljivo performančno obnašanje vodenega sistema kljub nepopolnemu poznavanju objekta. Zadovoljivo performančno obnašanje lahko opišemo kot ojačanje H( jω ) prenosne funkcije zaprte zanke, ki leži v dovoljenem območju Bodejevega diagrama na sliki 4.1 (osenčeno polje): ( ) ( ) ( ) 0 α jω H jω β jω (4.24) Amplituda želene prenosne funkcije zaprte zanke je do določene frekvence enaka 0dB, nato pa hitro pada. Ponavadi so meje α( ω ) in β( ω ) določene tako, da je sprememba ( ) α( ω) β ω dovolj majhna, da ne povzroča nestabilnosti in zadovolji performančne kriterije v frekvenčnem območju ω < ω. Pri izbiri mej ( ) h α ω in ( ) β ω je nerealno določiti ozko spremembo nad frekvenco ω h, saj je naraščanje občutljivosti sistema v visoko frekvenčnem območju neizogibno. Predvidevamo, da so vrednosti ( ) ( ) medtem ko so dejanske vrednosti α( ω ) in β ( ω ) majhne. β ω α ω pri ω? ωh zelo velike, 70

71 Slika 4.1: Meje tolerance za ojačanje zaprte zanke Za doseganje robustnosti je potrebno zadostiti vsem pogojem, prikazanim na sliki 4.1. Pri objektih z neminimalno fazo moramo za fazo prenosne funkcije zaprte zanke dodatno definirati tolerančne meje [6]. Elektromehanski objekti so lahko predstavljeni kot modeli, ki vsebujejo strukturirano in nestrukturirano odstopanje [11]. Nestrukturirana odstopanja so zajeta z QFT metodo preko omejitve amplitude zaprte zanke. Omejitev zagotavlja stabilnost za vse objekte iz družine objektov z nestrukturiranim odstopanjem. Slika 4.2: Zaprta zanka sistema 71

72 Cilj metode QFT za družino objektov z mešano negotovostjo je določitev točno določenih parov natančnih, racionalnih in stabilnih prenosnih funkcij C( s ) in F( s ) v sistemu z dvema prostostnima stopnjama (»2-DOF«) prikazanim na sliki 4.2, na način, da dosežemo: robustno stabilnost: zaprta zanka sistema je stabilna za vse objekte iz družine objektov z mešano negotovostjo oziroma sistem je stabilen za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti, robustni učinek: vsi objekti družine izpolnjujejo zadane karakteristike v časovni in frekvenčni domeni (čas vzpona, prenihaj, pogrešek,...) oziroma sistem zadošča zahtevam glede obnašanja za vse perturbirane modele v okolici nominalnega, vključno z najslabšo možnostjo nezanesljivosti. Med načrtovanjem mora biti ojačanje regulatorja C( s ) čim manjše. Med vsemi regulatorji, ki zadostujejo pogojem, imenujemo tistega z minimalnim visoko frekvenčnim ojačanjem optimalni regulator [7]. Vzemimo objekt, ki ga opisuje funkcija P( s, λ ), in sta λ { λ λ } =,, 1 K n realni vektor parametrov objekta ter s Laplaceova spremenljivka. Predpostavimo, da parameter objekta λ i neodvisno niha v določenih realnih intervalih o {,, 1 } 0 Λ i tako, da imamo sklop parametrov objekta 0 0 Λ = Λ K Λ n. Nominalni vektor parametrov objekta označimo z λ 0. Predpostavimo, da je ta družina objektov vstavljena v strukturo z dvema prostostnima stopinjama z regulatorjem C( s ) in predfiltrom F( s ) kot kaže slika 2. V tem primeru lahko na kratko podamo korake metode QFT [59]: 1. Oblikovanje vzorca: za vsako izbrano frekvenco ω predstavimo vzorec objekta { ( ) 0 } G: = P s, λ, λ Λ v Nicholsovem diagramu, 2. Oblikovanje mejne linije: za vsako izbrano frekvenco vzorec objekta G premikamo po zaprti zanki specifikacij robustne stabilnosti in robustnega učinka v zunanje meje regulatorja v Nicholsovem diagramu, 3. Oblikovanje zanke: določimo prenosno funkcijo regulatorja C( s ) tako, da so pri vsaki izbrani frekvenci zadovoljene meje, ki so bile ustvarjene v drugem koraku, 4. Oblikovanje predfiltra: določimo prenosno funkcijo predfiltra F( s ) tako, da zadovoljimo zahtevam robustne sledljivosti. 72

73 Postopek načrtovanja regulatorja po QFT metodi je sestavljen iz več korakov. Diagram poteka na sliki 4.3 predstavlja posamezne faze, ki so podrobneje predstavljene v nadaljevanju. Slika 4.3: Diagram poteka načrtovanja regulatorja 4.4 Potek načrtovanja Mejni krivulji Slika 4.4 levo prikazuje stopnična odziva zgornje in spodnje mejne krivulje glede na podane zahteve vodenja. Slika 4.4 desno prikazuje ti mejni krivulji v frekvenčni domeni. frekvenčni domeni se ujema z maksimalnim dovoljenim prenihajem M ( m p frekvenci M m v M p v časovni domeni M ). δ ( jω ) predstavlja razliko v db med mejnima krivuljama pri določeni izbrani ω i. R m i M in vrednosti ( j ) δ ω imajo ključno vlogo pri načrtovanju regulatorja. R i 73

74 Slika 4.4: Mejni krivulji v časovni in frekvenčni domeni Izbrane frekvence Množico frekvenc izberemo tako, da bodo meje vseh izbranih frekvenc zadostovale pogojem za vse frekvence v opazovanem območju [2]. Frekvence so empirično določljive po priporočilu v [14]. Pri grafičnem načrtovanju si pri izbiri frekvenc pomagamo s fizičnimi oblikami vzorcev objekta ali vrednostmi ( j ) δ ω. Med postopkom načrtovanja ne preverjamo R robustne stabilnosti ter robustnega učinka mej pri vseh frekvencah, temveč le pri tistih, katere fizične oblike vzorca objekta ali vrednosti ( j ) R i δ ω se razlikujejo od že prej izbranih (pri nižji frekvenci). Z višanjem števila izbranih frekvenc se viša zapletenost načrtovanja. i Vzorci objekta Vzorci objekta prikazujejo učinek negotovosti parametrov na ojačanje in fazo nominalne zanke pri izbrani frekvenci. Učinek negotovosti parametrov je sorazmerno enak pri vseh izbranih frekvencah. Primer objekta predstavljenega s prenosno funkcijo: ( ) P s K a =, Ka, 1,10 s s ( + a) { } (4.25) Območje negotovosti parametrov objekta je prikazano na sliki

75 Slika 4.5: Območje negotovosti parametrov objekta S preslikavo tega območja v Nicholsov diagram dobimo vzorec objekta pri določeni frekvenci. Matematično to predstavlja preračun vseh notranjih in mejnih točk območja v amplitude in faze objekta pri določeni frekvenci v Nicholsovem diagramu. Primer rezultata takšnega preračuna za eno frekvenco je prikazan na sliki 4.6. Slika 4.6: Vzorec objekta pri določeni frekvenci 75

76 4.4.4 Nominalni model Vzorec na sliki 4.6 lahko vsebuje neskončno število objektov (zaradi vseh možnih kombinacij sprememb negotovosti parametrov). Zato izberemo takšen nominalni model P0 ( s ), ki bo predstavljal vse ostale. Izberemo katerikoli objekt v vzorcu, pomembno je le, da tega istega uporabljamo ves čas načrtovanja. Dobimo ga tako, da v prenosno funkcijo lineariziranega modela objekta vstavimo izbrane koeficiente iz intervala negotovosti parametrov. Po nekaterih priporočilih [8] se izbere tisti nominalni model, katerega točka v Nicholsovem diagramu leži v spodnjem levem vogalu (za vse izbrane frekvence). V primeru enačbe (4.25) je to točka A na slikah 4.5 in 4.6. Nominalni model je pri določenih vrednostih parametrov k = a= 1 sledeč 0 ( ) P s 1 = s s ( + 1) (4.26) Meje robustne stabilnosti in robustnega učinka Robustna stabilnost (U krivulja) Meje robustne stabilnosti služijo kot vodilo pri načrtovanju regulatorja C( s ) za izbrane frekvence. Poznamo grafični in analitični način pridobivanja teh mej. Grafični način Mejo stabilnosti vseh izbranih frekvenc sestavljajo nominalne točke, čigar vzorec se dotika kroga območja stabilnosti v Nicholsovem diagramu (desna slika 4.7). Slika 4.7 prikazuje preslikavo največjega dovoljenega ojačanja M m iz Bodejevega diagrama v Nicholsov diagram. V nobenem primeru odprta zanka objekta ne sme prečkati tega območja (pri nobeni frekvenci). Iz tega sledi, da je maksimalna dovoljena amplituda odvisna od omejitvenega kriterija β( ω ), ki predstavlja supremum zgornje meje ( β ( ω) ). Tako dobimo mejo stabilnosti za nizke frekvence. Postavitev meje stabilnosti za visoke frekvence si zamislimo tako, da postavimo pisalo na nominalno točko vzorca za določeno izbrano frekvenco. Nato celotni vzorec premikamo okoli kroga območja stabilnosti, medtem ko še vedno držimo pisalo v nominalni točki vzorca. Slika 4.7 prikazuje, kako v korakih pri določeni izbrani frekvenci premikamo vzorec v smeri urinega kazalca okoli kroga območja stabilnosti. Obris, ki ga vidimo na sliki 4.7 (s pisalom narisan obris), je meja stabilnosti za pripadajočo izbrano frekvenco. Dobljen obris je na zgornji strani 76

77 fiksno določen z območjem stabilnosti (polna črta), na spodnji pa odvisen od same oblike vzorca (črtkana črta). Slika 4.7: Preslikava meje stabilnosti izbranih frekvenc iz Bodejevega diagrama v Nicholsov diagram Analitični način Pri visokih frekvencah lahko vsako racionalno funkcijo zapišemo kot ( ) J s m i= 1 ( s+ z ) i i= 1 C = C, ω n e s ( s+ p ) i kjer e predstavlja presežek ničel nad poli. Da vzorec objekta ne prečka frekvencah moramo spodnji del območja stabilnosti navzdol razširiti (4.27) M m pri visokih ( ( ω) ) lim ( max) ( min) ( max) ( min ) Lm J j = Lm J Lm J = Lm C Lm C = VdB (4.28) ω kjer Lm( x ) predstavlja ( ) 20log x. V primeru enačbe (4.25) je tako 10 V = Lm J j ( ( ω) ) (( ) ) ( ω ) (( ) ) ( ) 2 2 ( Lm Ka Lm j ) ( Lm( ( Ka) max min ) Lm( jω )) = lim ω max ( ) ( ) () = Lm Ka Lm Ka = Lm 100 Lm 1 = 40dB min (4.29) Slika 4.8 prikazuje razširjeno področje stabilnosti, ki ga imenujemo univerzalna visokofrekvenčna meja ali U krivulja. 77