Četrta vaja iz matematike Adrej Pere Ljubljaa, 2006/07 zaporedja Zaporedje je predpis, ki vsakemu N priredi R. Mootoost zaporedij: Zaporedje { } je araščajoče, če je za vsak. Zaporedje { } je strogo araščajoče, če je > za vsak. Zaporedje { } je padajoče, če je za vsak. Zaporedje { } je strogo padajoče, če je < za vsak. Kriterija za mootoost: i 0 zaporedje je araščajoče ii zaporedje je araščajoče Omejeost zaporedij: Zgorja meja zaporedja { } je vsako število M, da velja M za vsak. Spodja meja zaporedja { } je vsako število m, da velja m za vsak. Supremum ali atača zgorja meja je ajmajša izmed vseh zgorjih mej. Ifimum ali atača spodja meja je ajvečja izmed vseh spodjih mej. Supremum i ifimum vedo obstajata. Zaporedje { } je avzgor omejeo, če ima kočo zgorjo mejo. Zaporedje { } je avzdol omejeo, če ima kočo spodjo mejo. Zaporedje { } je omejeo, če je avzgor i avzdol omejeo. Maksimum je ajvečji čle zaporedja { }, miimum pajmajši čle zaporedja { }. Maksimum i miimum e obstajata vedo. Če maksimum oz. miimum obstaja, potem je eak supremumu oz. ifimumu. Supremum i ifimum istujo člea zaporedja, maksimum i miimum pa sta.
Stekališča i ite: Število a je stekališče zaporedja { }, če je v vsaki ε-okolici števila eskočo čleov tega zaporedja. Število a je ita zaporedja { }, če je v vsaki ε-okolici števila eskočo čleov tega zaporedja, izve te okolice pa le kočo mogo. Limito ozačimo z a. Zaporedje, ki ima ito se imeuje kovergeto, sicer pa divergeto. Vsaka ita je stekališče, obrato pi ujo res. Stekališče je ita, ko je edio stekališče. Vsako stekališče je itekega podzaporedja. Vsako omejeo zaporedje ima stekališče. Omejeo zaporedje z eim samim stekališčem je kovergeto. Zaporedje je kovergeto, če je araščajoče i avzgor omejeo. Zaporedje je kovergeto, če je padajoče i avzdol omejeo.. Določi mootoost zaporedij! a + Uporabimo drugi kriterij za mootoost: Zaporedje je strogo padajoče. b 2 c 3! +2 + + + 2 <. Uporabimo prvi kriterij za mootoost: + ) 2 2 2 + 2 + 2 2 + > 0. Zaporedje je strogo araščajoče. Uporabimo drugi kriterij za mootoost: 3 + +)! 3! 3 3! + )! 3 3 +, 2. Zaporedje je padajoče z 2. Opomba:! 2 i velja + )! + )!. d si π) Zaporedje je kostato eako 0. 2
2. Določi ajvečji i ajmajši čle zaporedja če obstaja) ter supremum i ifimum! a + Najprej preverimo mootoost: + )2 + 2) 2 + 2 + 2 + 2 >. Ker je to strogo araščajoče zaporedje, je prvi čle miimale: mi a 2 if. Ifimum je seveda eak miimumu. Maksimale čle e obstaja. Supremum pa je eak sup, saj so vsi člei zaporedja strogo majši od, vedar se poljubo približajo. b 2! Najprej preverimo mootoost: 2+! + )! 2 2 +. Ker je to padajoče zaporedje, je prvi čle maksimale: max a 2 sup. Supremum je seveda eak maksimumu. Miimale čle e obstaja. Ifimum pa je eak if 0, saj ekspoeta fukcija arašča počaseje kot fakulteta. c ) ) To je primer alterirajočega zaporedja. Prvih ekaj čleov se glasi: 0,, 2, 3, 4, 5,.... 2 3 4 5 6 V tem primeru zaporedje razdeo a dve podzaporedji: v prvem podzaporedju so člei z lihim ideksom, v drugem pa člei s sodim ideksom. Opazimo, da je prvo podzaporedje padajoče i pada od 0 proti a 2k ), drugo podzaporedje pa je araščajoče i arašča od proti a 2 2k ). i ista člea zaporedja, zato maksimum i miimum e obstajata, sta pa ti dve števili supremum i ifimum: sup, if. 3
3. Zapiši sploši čle zaporedja! a 2, 3, 4, 5, 6,... + b, 4, 9, 6, 25,... ) + 2 Opomba: Potec + je zato, ker se alterirajoče zaporedje zače s pozitivim čleom. 4. Določi stekališča zaporedja! Ali je zaporedje kovergeto? a Zaporedje ima eo samo stekališče:, saj se vsi člei približujejo k, i je torej kovergeto. b si π 3 ) Prvih ekaj čleov zaporedja se glasi: 0, 3, 3, 0, 3, 3,.... 2 2 2 2 Člei se poavljajo, ker je fukcija si periodiča. Stekališča so torej: 0, 3 i 3, zaporedje pi kovergeto je divergeto). 2 2 c,,, 3,, 7,... 2 2 4 4 8 8 Zaporedje razdeo a dve podzaporedji: člei z lihimi ideksi se približujejo 0, člei s sodimi ideksi pa k, stekališči sta dve: 0 i, zato zaporedje i kovergeto. 5. Izračuaj asledje ite! a b 8 2 + 9 6 2 3 + 3 + 8 + 9 2 6 3 2 + 3 2 + 3 0 Opomba: Take ite rešujemo tako, da deo števec i imeovalec z ajvišjo poteco, torej v ašem primeru z 3. Velja: 0, ko gre za vsak r. r 7 2 + 2 3 2 + 2 7 3 Opomba: Če sta stopji poliomov v števcu i imeovalcu eaki, je ita eaka kvocietu vodilih koeficietov. 4
c d e f 2 + 2 + + 2 2 + 2 + + ) + + ) ) + + ) + + + ) + + ) 0 Opomba: Take ite rešujemo tako, da izraz v števcu i imeovalcu pomožimo s podobim izrazom, le da je amesto miusa plus. + ) 2 + + 3 + 2 + 3 + + + ) + + 2 2 ) + 3 + 2 ) 3 3 + 3 3 Opomba: 0, ko gre za a <. V ašem primeru je a 2 3 <. 6. S pomočjo ite + ) e izračuaj asledje ite! a ) + 5 + 2 + 3 m + 3 + m ) ) 2m 3 + ) m m m }{{} e e 2 5 2 ) 3 + m m }{{}
b V drugi vrstici smo apravili substitucijo 2 +3 oz. m, m +3 2 torej 2m 3. Ko gre, gre tudi m. Dodato smo v tretji vrstici upoštevali, da je kvadrata fukcija zveza i zato lahko zamejamo vrsti red itiraja i kvadriraja. + 3)l + ) l ) l l l e + + ) +3 ) +3 V prvi vrstici smo upoštevali lastosti logaritemske fukcije: l a+ l b l ab, l a l b l a i r l a l b ar. Poleg tega smo v drugi vrstici upoštevali še, da lahko zamejamo vrsti red itiraja i logaritmiraja, ker je l zveza fukcija. 7. Ugotovi od katerega člea dalje se vsi člei zaporedja razlikujejo od ite za maj kot ε! a 2 + 2 +, ε 0 Rešiti je potrebo eeačbo a < ε, kjer je a. Limita je očito eaka a. 2 + 2 + < 0 2 + 2 2 + < 0 2 + < 0 2 + > 0 0 2 0 + > 0 Eačb 2 0 + 0 ima dve rešitvi,2 0± 00 44 2 5 ± 4, kjer je 5 + 4. 8.74 i 2 5 4..25. Gorjeeakost velja za vse > i < 2, torej so od devetega člea dalje vsi člei zaporedja v tej okolici. b 5 5, ε 25 25 6
Rešiti je potrebo eeačbo a < ε, kjer je a. Limita je očito eaka a. 5 5 < 25 25 5 5 < 5 50 5 < 5 5 50 5 > 5 50 > 50 Torej so od eaipetdesetega člea dalje vsi člei zaporedja v tej okolici. 8. Dokaži, da je rekurzivo podao zaporedje kovergeto i izračuaj ito! a a 0, a 3 2 Zapišimo ekaj čleov zaporedja: 0, 2, 8 3,.... Prvi člei padajo, zato je za dokaz kovergece dovolj dokazati, da je zaporedje padajoče i avzdol omejeo. i Pokažimo ajprej omejeost avzdol. Z idukcijo bomo pokazali, da je > 3 za vsak N. Za je a 0 > 3, torej baza idukcije drži. Za dokaz idukcijskega koraka vzamemo za idukcijsko predpostavko, da je > 3 i dokazujemo, da je potem tudi > 3. Torej: 3 2 > 3 3 2 3. ii Sedaj pokažimo še padaje: 3 2 2 3) 2 < 2 2 0. 3 3 Ker je zaporedje padajoče i avzdol omejeo, je kovergeto. Izračuajmo še ito. V tame ozačimo: a. 3 2 a a ) + 3 2 a a 3 2 a 3 7
Opomba:, ker se zaporedji i razlikujeta samo v prvem čleu, kar pe vpliva ito. b a, a 2 + Zapišimo ekaj čleov zaporedja:, 3 2, 7 4,.... Prvi člei araščajo, zato je za dokaz kovergece dovolj dokazati, da je zaporedje araščajoče i avzgor omejeo. i Pokažimo ajprej omejeost avzgor. Z idukcijo bomo pokazali, da je < 2 za vsak N. Za je a < 2, torej baza idukcije drži. Za dokaz idukcijskega koraka vzamemo za idukcijsko predpostavko, da je < 2 i dokazujemo, da je potem tudi < 2. Torej: ii Sedaj pokažimo še araščaje: 2 + < 2 2 + 2. 2 + 2 + > 2 2 + 0. Ker je zaporedje araščajoče i avzgor omejeo, je kovergeto. Izračuajmo še ito. V tame ozačimo: a. 2 + a a ) + 2 + a a 2 + a 2 8