SEMINAR FEROMAGNETNA RESONANCA Avtor: Luka Debenjak Mentor: dr. Denis Arµcon Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in ziko Povzetek

SEMINAR FEROMAGNETNA RESONANCA Avtor: Luka Debenjak Mentor: dr. Denis Arµcon Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in ziko 2.11.2005. Povzetek Zaradi spontane magnetizacije je lahko resonanµcna krivulja feromagnetov precej zanimiva, saj ne velja veµc linearna zveza med zunanjim magnetnim poljem in resonanµcno frekvenco, kot pri paramagnetih. Namen seminarja je prikazati, kako je resonanµcna krivulja odvisna od lastnosti feromagneta. V uvodu bom opisal feromagnete in njihove znaµcilnosti, sledi razlaga principa delovanja feromagnetne resonance, v glavnem delu pa je predstavljena teorija, ki je potrebna za razumevanje oblike resonanµce frevence. 1

Kazalo 1 UVOD 3 1.1 KAJ SO FEROMAGNETI?............................. 3 1.2 IZMENJALNA INTERAKCIJA........................... 4 2 MAGNETNA RESONANCA 5 3 FEROMAGNETNA RESONANCA 7 3.1 ODVISNOST RESONAN µcne FREKVENCE OD MAKROSKOPSKIH LAST- NOSTI FEROMAGNETA............................... 8 3.2 ZGLED......................................... 10 3.3 MERITVE....................................... 12 3.4 DUŠENJE V ENA µcbi GIBANJA ZA MAGNETIZACIJO FEROMAGNETA.. 13 3.5 ŠIRINA RESONANµCNE KRIVULJE........................ 14 4 ZAKLJU µcek 20. 2

1 UVOD 1.1 KAJ SO FEROMAGNETI? Poglejmo, kako se razliµcne snovi vedejo v magnetnem polju. µce imamo vzorec v nekem zunanjem magnetnem polju, potem velja za gostoto magnetnega polja v vzorcu enaµcba: B = 0 (H + M): (1) Kadar sta vektorja H in M sorazmerna, potem lahko magnetizacijo zapišemo s pomoµcjo magnetne susceptibilnosti M = H, od koder sledi: B = 0 (1 + )H = 0 H: (2) Fizikalno nam pomeni oslabitev ali ojaµcitev magnetnega polja v snovi. Snovi, ki imajo permeabilnost manjšo kot 1, so diamagnetne, tiste ki pa imajo permeabilnost veµcje kot ena pa so paramagnetne. V nekaterih snoveh pa pod doloµceno temperaturo opazimo, da B ni veµc enostavno sorazmeren H (slika 1). Take snovi so feromagnetne. To so µzelezo, kobalt, nikelj in nekatere spojine ter zlitine - permaloj (78,5 % nikelj, 21,5% µzelezo), mumetal (75% nikelj, 2% krom, 5% baker, 18% µzelezo)... Slika 1: Magnetilni krivulji za jeklo in za mehko µzelezo. Za feromagnete je znaµcilno, da obstaja neka magnetizacija M 6= 0; tudi kadar ni zunanjega magnetnega polja, H = 0: To pomeni, da se magnetizacija pod doloµceno temperaturo ustvari sama od sebe. Ta spontana magnetizacija je posledica ureditve magnetnih dipolnih momentov vzdolµz doloµcene kristalne smeri. Medtem ko pri paramagnetih, kjer ni spontane magnetizacije, so vsi dipolni magnetni momenti orientirani poljubo, zato je M = 0. Na sliki 2 je prikazana ureditev magnetnih momentov v paramagnetu in feromagnetu. Slika 2: Usmeritev magnetih momentov v paramagnetu a) in feromagnetu b). 3

S faznim prehodom preidemo iz feromagnetne faze v paramagnetno, in obratno. Z višanjem temperature feromagnet zvezno preide v paramagnet. Pri tem se urejenost magnetnih momentov, ki se kaµze v spontani magnetizaciji, postopoma podira in pri t.i. Curiejevi temperaturi dokonµcno izgine (slika 3). Pri nizkih temperaturah (T << T c ) velja Blochov zakon: M(T ) = M 0 (1 (T=T 0 ) 3 2 ): Zmanjšanje magnetnega momanta je posledica nizkoenergijskih eksitacij, ki se v magnetih imenujejo magnoni. Pri temperaturi blizu kritiµcne temperature (T T c ) pa velja: M(T ) = M 0 (1 T=T 0 ) ; kjer je kritiµcni eksponent. Slika 3: Temperaturna odvistnost magnetizacije. 1.2 IZMENJALNA INTERAKCIJA Vprašajmo se zakaj se magnetni dipolni momenti v feromagnetu sploh uredijo? Za zaµcetek si oglejmo enostaven primer dveh sosednjih atomov. Imamo torej dve jedri (na vsako je npr. vezan po en elektron) na ksni razdalji. Hamiltonian se za tak sistem elektronov zapiše: H = p2 1 + p2 2 2m + e2 4" 0 1 r + 1 r 12 1 r a1 1 r a2 1 r b1 1 r b2 ; (3) kjer sta p 1; p 2 operatorja gibalne koliµcine elektronov, m in e sta masa in naboj elektrona in r razdalja med delcema in (1; 2 se nanaša na elektrone, a; b pa na jedra ter r = r ab ). Valovna funkcija za tak sistem elektronov se lahko zapiše kot produkt prostorske '(r 1 ; r 2 ) in spinske valovne funkcije ( 1 ; 2 ): (r 1 ; 1 ; r 2; 2 ) = '(r 1 ; r 2 )( 1 ; 2 ): (4) Tu sta 1 in 2 projekciji spina elektrona v smeri dane osi. Po naµcelu Paulijevega principa, mora biti funkcija antisimetriµcna ob hkratni zamenjavi koordinat in spina elektrona. To pomeni, da imamo lahko antisimetriµcno prostorsko funkcijo in simetriµcno spinsko funkcijo, ali simetriµcno prostorsko in antisimetriµcno spinsko funkcijo. Funkcija bo simetriµcna, µce je vsota spinov obeh elektronov enaka 1 (S = 1) in antisimetriµcna, µce je S = 0. Zaradi manj pisanja bom od zdaj naprej uporabljal ' a in ' s. Ob predpostavki da sta oba atoma v osnovnem stanju, lahko zapišemo obe funkciji ' s (r 1 ; r 2 ) in ' a (r 1 ; r 2 ) za elektrona v Coulombskem potencialu obeh jeder: ' s (r 1 ; r 2 ) = 1 p 2 ('(r a1 )'(r b2 ) + '(r a2 )'(r b1 )); (5) ' a (r 1 ; r 2 ) = 1 p 2 ('(r a1 )'(r b2 ) '(r a2 )'(r b1 )); kjer je '(r i ) normalizirana valovna funkcija za vodikov atom sestavljen iz i-tega (i = 1; 2) elektrona in jedra ( = a; b). 4

Slika 4: Valovna funkcija ko sta vodikova atoma na veliki razdalji v primerjavi z Bohrovim radijem. Energije takih molekul, ki ustrezajo stanjem S = 1 in S = 0 so povezane s funkcijami ' s in ' a : Z E S=1 (r) = ' a (r 1 ; r 2 )H' a (r 1 ; r 2 )dr 1 dr 2 ; (6) Z E S=0 (r) = ' s (r 1 ; r 2 )H' s (r 1 ; r 2 )dr 1 dr 2 ; kjer smo prevzeli, da sta ' s in ' a realni funkciji. µce vstavimo ti dve funkciji v zgornji enaµcbi dobimo: ee S=1 (r) = A(r) B(r); (7) ee S=0 (r) = A(r) + B(r); kjer je A(r) = B(r) = Z Z U' 2 (r a1 )' 2 (r b2 )dr 1 dr 2 ; (8) U'(r a1 )'(r b1 )'(r a2 )'(r b2 )dr 1 dr 2 ; U = e 2 4" 0 ( 1 r + 1 r 12 1 r a2 1 r b1 ): V izrazih za E e S=1 (r) in E e S=0 (r) smo izpustili µclene, ki niso odvisni od r (ti µcleni predstavljajo energijo dveh atomov vodika na velikih medsebojnih razdaljah). A(r) predstavlja elektrostatsko interakcijsko energijo obeh atomov, µce sta elektrona tesno vezana na svoji matiµcni jedri (elektron 1 je vezan na jedro a in elektron 2 na jedro b). B(r) pa predstavlja prekrivanje orbital oz. njuno izmenjalno energijo. Ta izmenjalna energija ima lastnost, da pada eksponentno, ko veµcamo razdaljo med jedroma, medtem ko Coulombska interakcija pada dosti poµcasneje. Zaradi te lastnosti reµcemo, da ima izmenjalna interakcija kratek doseg. Vodikova molekula ima izmenjalno energijo negativno (B(r) < 0), zato ima stanje z S = 0 niµzjo energijo od stanja S = 1. Pri feromagnetih pa je ravno obratno. Stanje z veµcjim spinom ima niµzjo energijo, tako da so spini vseh atomov feromagneta v osnovnem stanju vzporedni. Pri feromagnetih tudi ni nujno, da imajo vsi atomi spin s = 1 2 : 2 MAGNETNA RESONANCA Magnetna resonanca je v bistvu resonanµcna absorpcija zunanjega radio-frekvenµcnega elektromagnetnega polja v neki snovi. Omogoµca nam preuµcevati lastnosti in strukture kompleksnih sistemov, kot so kristali. 5

Poglejmo kaj se dogaja z vrtilno koliµcino nekega delca v zunanjem magnetnem polju. To je lahko vrtilna koliµcina, ki izhaja iz jeder atomov ali elektronov, tako da govorimo o jedrski magnetni resonanci ali elektronski magnetni resonanci, odvisno kaj opazujemo. Delec ima zaradi vrtilne koliµcine (spin) tudi magnetni moment : V magnetnem polju B 0, ki naj kaµze vzdolµz osi z, deluje na vrtilno koliµcino magnetni navor, N = B 0 = B 0: (9) Sprememba vrtilne koliµcine je sorazmerna sunku navora, kar da enaµcbo: d dt = N = B 0: (10) Vidimo, da je sprememba vrtilne koliµcine vedno pravokotna na le to. Poleg tega je pravokotna tudi na magnetno polje iz µcesar sledi, da vrtilna koliµcina (magnetni moment) precedira okrog smeri magnetnega polja. Kroµzna frekvenca precesije je neodvisna od kota med magnetnim poljem in magnetnim momentom in jo imenujemo Larmorjeva frekvenca! L = B 0; (11) kjer je B 0 velikost magnetnega polja. µce za kratek µcas T vkljuµcimo dodatno magnetno polje B 1, ki oscilira z Larmorjevo frekvenco! L = B in kaµze v smeri x (pravokotno na smer statiµcnega magnetnega polja), se kot med magnetnim momentom in statiµcnim magnetnim poljem B 0 poveµca. Velikost kota je doloµcen z amplitudo in dolµzino vklopa dodatnega magnetnega polja. Da si olajšamo raµcun, se iz laboratorijskega sistema raje preselimo v vrteµci se sistem, ki se vrti okoli smeri magnetnega polja z Larmorjevo frekvenco. V laboratorijskem sistemu lahko linearno polarizirano magnetno polje zapišemo kot vsoto dveh cirkularno polariziranih komponent: B 1 = B 10 (cos! L t; 0; 0) = B 10 2 (cos! Lt; sin! L t; 0) + B 10 2 (cos! Lt; sin! L t; 0): (12) Prva komponenta polja se vrti skupaj z vrteµcim se sistemom, zato jo vidimo v njem kot statiµcno magnetno polje vzdolµz osi x0, druga komponenta pa se vrti z dvakratno Larmorjevo frekvenco okoli osi z. Zaradi hitrega vrtenja druga komponenta magnetnaga polja ne vpliva znatno na smer magnetnega momenta. Ostane samo prva komponenta, ki povzroµci precesijo okoli osi y0: Vidimo, da je zelo pomembno, da ima motnja Larmorjevo frekvenco, saj se zato enaµcbe gibanja v vrteµcem se sistemu precej poenostavijo. V novem sistemu torej ne precedira veµc okrog osi z0, ampak se kveµcjemu odkloni za kot glede na os z0 pod vplivom oscilirajoµcega magnetnega polja. Enak rezultat za resonanµcno frekvenco dobimo iz kvantne mahenike. Kot vemo, pride do absorpcije elektromagnetnega polja, µce njegova frekvenca ustreza energijski razliki med dvema energijskima stanjema: h ik = ~! ik = E i E k = E ik ; (13) kjer je h = 2~ Planckova konstanta. Magnetna energija elektrona v vodikovem atomu v šibkem polju je: E j = g lj B m j B (14) in energijska razlika: E ik = g lj B m ik B; (15) kjer je g lj Landejev faktor ( g lj = 3 l(l+1) 3=4 2 2j(j+1) ; µce upoštevamo da je za elektron s = 1 2 ), m ik je razlika med magnetnimi kvantnimi števili in B = e~ 2m je Bohrov magneton (tukaj je m masa, e 6

naboj elektrona in c svetlobna hitrost.) ter B zunaje magnetno polje. Razcep stanj vodikovega atoma v zunanjem mag. polju se imenuje Zeemanova razcep (enako se imenuje tudi pri ostalih atomih). Ta energijska razlika je posledica sklopitve spin-obhod. Zdaj nam pridejo enaµcbe prav pri atomih z veµc elektroni, kjer le kvantna števila elektrona l; j in m j nadomestino s kvantnimi števili atoma L; J in M: Enaµcbo (15) za razliko magnetnih energij atoma torej zapišemo: E j = g LSJ B M J B; (16) kjer je g LSJ Landejev faktor za atom ( g LSJ = 3 2 L(L+1) S(S+1) 2J(J+1) ): Energijska razlika pa je: E ik = g LSJ B M ik B (17) Iz zgornjih dveh formul je razvidno, da mora biti ustrezna resonanµcna frekvenca za šibko polje:! ik = g B ~ M ik B 0 : Izbirna pravila nam dovoljujejo prehode med stanji, za katere velja M ik = 1: Iz teh enaµcb lahko sedaj zapišemo povezavo med resonanµcno frekvenco in zunanjim magnetnim poljem na krajši naµcin:! res = g B ~ B 0 = g e 2m B 0 = B 0; (18) 3 FEROMAGNETNA RESONANCA Magnetna resonanca v feromagnetih se razlikuje od resonanµcne absorpcije v izoliranih atomih oz. paramagnetih. Pri feromagnetih nimamo opravka s posameznimi atomi (spini in vrtilnimi koliµcinami) ali s spini, ki šibko interagirajo, ampak s kompleksnim sistemom elektronov, ki moµcno interagirajo med sabo. Zaradi te interakcije so vsi spini orientirani paralelno (pri 0K), kar je bilo pokazano v uvodu. Posledica izmenjalne interakcije je magnetizacija materiala in moµcno notranje magnetno polje. Sprememba velikosti in orientacije feromagnetne magnetizacije lahko zelo vpliva na resonanµcne pogoje. Zaradi izmenjalne interakcije vstavimo efektivno magnetno polje B eff v formulo (18) za resonanµcno frekvenco namesto zunanjega polja B 0. Tako da velja! res = B eff: (19) V tem primeru faktor ne moremo veµc dobiti preprosto iz formule (19) µce poznamo samo zunanje magnetno polje in resonanµcno frekvenco, saj ne poznamo efektivnega magnetnega polja. Efektivno polje je odvisno od simetrije kristala, oblike materiala, magnetizacije in njene smeri, smeri zunanjega magnetnega polja glede na kristalografske osi in kaj meji površino feromagneta. Pomembna je tudi homogenost notranjega polja, ki pa je odvisna od oblike in dimenzije vzorca. Kot vidimo je zelo pomembno, da poznamo notranje magnetno polje B(r), da doloµcimo magnetne resonanµcne pogoje v feromagnetih, saj notranje polje skupaj z zunanjim doloµca efektivno poje. Ob upoštevanju gibalne enaµcbe za posamezni magnetni moment (10) in de nicije magnetizacije s seštevanjem po vseh atomih dobimo gibalno enaµcbo za magnetizacijo: dm dt = (M B eff ): (20) Tudi magnetizacija precesira okrog smeri magnetnega polja z Larmorjevo frekvenco, kadar ni vzporedna z njim. Pri feromagnetni resonanci opazujemo torej precediranje celotne magnetizacije okrog efektivnega magnetnega polja, in ne posameznih magnetnih momentov, kot recimo pri jedrski magnetni resonanci ali elektronski paramagnetni resonanci. 7

3.1 ODVISNOST RESONANµCNE FREKVENCE OD MAKROSKOPSKIH LAST- NOSTI FEROMAGNETA Ko postavimo vzorec v magnetno polje, priµcakujemo linerano odvisnost resonanµcne frekvence, kar vidimo iz formule (18). Takšno odvisnost dobimo pri paramagnetih. Med zunanjim magnetnim poljem in frekvenco velja preprosta linearna zveza. Kako pa je, µce vstavimo feromagnet v takšno polje? Poskusi pokaµzejo, da ne velja veµc enaµcba (18). Kadar merimo absorbcijo visoko frekvenµcnega polja v feromagnetu, lahko opazimo celo dva ali veµc resonanµcni vrhov. Da bi to bolje razumeli, je potrebno poznati naravo feromagnetov. Zaradi razlike med efektivnim in zunanjim magnetnim poljem se resonanµcna frekvenca nekoliko razlikuje od Larmorjeve frekvence. Enaµcba gibanja je take oblike M = (M B eff ): (21) Sedaj pa zapišimo vektor magnetizacije s krogelnimi koordinatami (slika 5): M x = M sin # cos '; M y = M sin # sin '; M z = M cos #: Radialna, polarna in azimutalna komponenta efektivnega polja so v takšnem sistemu povezne s karteziµcnimi koordinatami na ta naµcin: B M = B x sin # cos ' + B y sin # sin ' + B z cos #; B # = B x cos # cos ' + B y cos # sin ' B z sin #; B ' = B x sin ' + B y cos ': Slika 5: Komponente notranjega magnetnega polja B # ; B ' ; B M v sferiµcnem koordinatnem sistemu. µce to vstavimo v enaµcbo gibanja, dobimo: # = B ' ; (22) ' sin # = B # : 8

Gledano s stališµca termodinamike, je ravnovesje doseµzeno, kadar prosta energija doseµze minimum. Torej ravnovesno orientacijo vektorja M dobimo iz minimuma proste energije. Gostota proste energije se za magnetni sistem zapiše kot: f=f(t; M; B = 0) + f 0 + f dem + f a + :::: (23) Kot bomo videli kasneje je treba poznati toµcen izraz za prosto energijo kristala, µce hoµcemo najti! res : Prosta energija sistema se v splošnem lahko zapiše kot vsota posameznih prispevkov. Najpomembnejši so: energija interakcije z zunanjim poljem f 0 = M B; ki je odvisna od kota med magnetizacijo in poljem; energija demagnetizacijskega polja f dem ; ki je odvisna od oblike vzorca in magnetizacije M in energija magnetne kristalografske anizotropije f a, ki je odvisna od kota med magnetizacijo in kristalnimi glavnimi osmi. Energija demagnetizacijskega polja je posledica dipolarnih polj domen, ki so prisotna v feromagnetu. Ta polja morajo biti zakljuµcena in za to je potrebna energija. Ta energija je odvisna od števila domen in oblike ter velikosti kristala. Energija anizotropije pa je posledica sklopitve spin-obhod. V anizotropnih kristalih ima magnetizacija, kljub odsotnosti zunanjega magnetnega polja, neko ravnovesno lego. V tej legi je energija anizotropije minimalna, µce pa magnetizacijo usmerimo drugam (z zunanim magnetnim poljem) pa se energija anizotropije poveµca. Na izraz, ki vsebuje energijo izmenjalne interakcije (f(t; M; B = 0)) in ki je odgovoren za spontano magnetizacijo, lahko pozabimo, saj ni odvisen od smeri spontane magnetizacije. Kasneje bomo videli, da velikost magnetizacije ni pomembna za naše izraµcune. Tako nam ostane: f = f 0 + f dem + f a (24) Lahko bi dodali še µclene, kot so magneto-elastiµcna energija f m:e: ; izmenjalna energija f exch ; ki je povezana z nehomogenostjo magnetizacije in energija mejnih površin domen f d. V ravnovesnem stanju je smer feromagnetne magnetizacije M vzporedna vektorju efektivnega magnetnega polja B eff = (B M ; 0; 0); µcigar velikost je doloµcena s prosto energijo f na enoto volumna vzorca: B M = @f @M : (25) Tukaj sta komponenti B # in B' enaki niµc. Ravnovesno orientacijo vektorja M, ki je doloµcena s kotoma # 0 in ' 0 ; dobimo iz enaµcb: f # @f = 0; (26) @# f ' @f @' = 0: S takim nastavkom išµcemo minimum proste energije. Iskanje ravnovesnega stanja magnetizacije s poljubno orientiranim zunanjim poljem B 0 je matematiµcno precej zapleteno. Analitiµcne rešitve lahko dobimo samo v doloµcenih primerih. Poglejmo, kako je z neravnovesnimi stanji, kadar je magnetizacija le malo odmaknjena od ravnovesne lege. V takem primeru zgornje enaµcbe ne veljajo veµc in orientacja vektorja M se bo spremenila zaradi komponent polja, ki so razliµcne od niµc: B # = f # M ; (27) f ' B ' = M sin # : µce so odstopanja od ravnovesne lege majhna v primerjavi z ravnovesnimi vrednostmi # 0 in ' 0 ; potem se lahko omejimo na linearne µclene ko razvijemo f # in f ' : f # = f ## # + f #' ' (28) f ' = f '# # + f '' '; 9

kjer so drugi odvodi proste energije izraµcunani v ravnovesnem stanju. Iz enaµcb (22), (27) in (28) dobimo sistem linearnih enaµcb, ki opisujejo majhne oscilacije vektorja magnetizacije okrog ravnovesnega stanja: 1 M sin # 0 # = f '# # + f '' '; (29) 1 M sin # 0 ' = f ## # + f #' ': Sistem homogenih enaµcb ima periodiµcno rešitev #; ' exp(i!t) s frekvenco! µce je determinanta sistema enaka niµc, od kod dobimo resonanµcno frekvenco teh oscilacij:! res = B eff = M sin # 0 (f ## f '' f 2 #' ) 1 2 : (30) Oblika vzorca, kristalna anizotropija, nehomogenosti magnetizacije in struktura domen, zato znatno vplivajo na resonanµcno krivuljo. µce je zunanje polje dovolj moµcno, da ima magnetizacija po vsem vzorcu enako smer, potem lahko pozabimo na µclen, ki opisuje energijo meja med posameznimi domenami. V šibkem polju pa imamo polno takšnih domen, ki so odvisne od oblike kristala in precej obµcutljive na neµcistoµce in druge nepravilnosti v kristalni mreµzi. V tem primeru se raµcuni za resonanµcno frekvenco zelo zapletejo. 3.2 ZGLED Vzemimo nek elipsoiden anizotropen kristal s kubiµcno simetrijo. µce hoµcemo izraµcunati resonanµcno frekvenco, moramo poznati izraz za energijo anizotropije. Tak zgled je še posebej zanimiv, saj ima veµcina feromagnetov prav takšno simetrijo. Naj glavne osi vzorca sovpadajo z osmi koordinatnega sistema, potem se prosta energija na enoto volumna zapiše: f = (MB 0 )+ 1 2 (N xm 2 x +N y M 2 y +N z M 2 z )+K 0 +K 1 ( 2 1 2 2+ 2 2 2 3+ 2 3 2 1)+K 2 2 1 2 2 2 3+:::; (31) kjer je M vektor magnetizacije, N x ; N y in N z demagnetizacijski faktorji, ki so med seboj povezani: N x + N y + N z = 4: (32) Zgoraj navedeni faktorji so povezani z glavnimi osmi elipsoida. Energijo anizotropije smo zapisali v obliki vrste kosinusov kota med vektorjem magnetizacije in kristalnimi glavnimi osmi. Zgornji zapis velja samo za kristale s kubiµcno simetrijo, kjer so 1 ; 2 ; 3 kosinusi kota med M in robovi kocke. K 1 in K 2 sta prva in druga konstanta anizotropije. Te konstante anizotropije se pojavijo pri kristalih z doloµceno simetrijo. Posledica anizotropije je, da je v takih kristalih energija odvisna od smeri magnetizacije glede na kristalne osi. Kadar ni zunanjega magnetnega polja je magnetizacija usmerjena v smeri, ki jo imenujemo enostavna magnetizacija. V tej smeri je energija najmanjša. Kadar pa je magnetizacija usmerjena v smeri teµzke magnetizacije, je energija najveµcja. µce hoµcemo da je vzorec magnetiziran v tej smeri, potrebujemo zato najveµcje zunanje magnetno polje. Konstante anizotropije so odvisne od temperature in zelo hitro rastejo, ko temperatura pada. V veµcini primerov je prva konstanta anizotropije veµcja od druge in vseh ostalih. Konstanta K 0 je energija kristala, ki je magnetiziran v smeri enostavne magnetizacije (to je smer kamor kaµze magnetizacija v odsotnosti magnetnega polja). Predpostavimo lahko, da se velikost magnetizacije ne spreminja M 2 = Mx 2 + My 2 + Mz 2 = konst: Omejimo se še na primer vzorca v obliki krogle, kjer velja N x = N y = N z = 4=3: Vzemimo [010], [001] in [100] kot osi x; y; z koordinatnega sistema. Polarni kot merimo od osi [100] in azimutalnega od [010]. Potem dobimo za prosto energijo sferiµcnega vzorca: f = K 1 g(#; ') MB 0 (sin sin # cos( ') + cos cos #); (33) 10

kjer je g(#; ') = 1 4 (sin2 2# + sin 4 # sin 2 2'): (34) in sta polarni in azimutalni kot, ki de nirata smer magnetnega polja B 0 : Tukaj smo vzeli samo prvo konstanto anizotropije, ostale pa smo zanemarili. Izpustili smo tudi µclene, ki niso odvisni od smeri magnetizacije. Naj bo = 4, se pravi magnetno polje leµzi v (011) ravnini. Sedaj pa iz enaµcbe (26) in izraza (33) dobimo naslednji enaµcbi, ki opisujeta ravnovesno stanje vektorja magnetizacije: @g @# = sin cos # sin(' + ) cos sin #; (35) 4 @g @' = sin sin # sin(' 4 ); kjer je = K 1 =MB 0 : Sedaj pa uporabimo splošno formulo (30) za resonanµcno frekvenco in dobimo:! res! 0 = 1 sin # f[cos cos # + sin sin # sin(' + 4 ) + @2 g ' @# 2 [sin sin # sin + + (36) 4 + @2 g @' 2 ] [sin cos # sin(' 4 ) + @2 g @#@' ]2 g 1 2 : µce hoµcemo doloµciti toµcno odvisnost resonanµcne frekvence od kota (ki de nira orientacijo magnetizacije v (011) ravnini) moramo v enaµcbi (36) nadomestiti vrednosti @2 g @ 2 g @#@', ki ; @2 g ; @# 2 @' 2 jih dobimo iz enaµcbe (34), kjer je treba potem vstaviti # 0 in ' 0 : Ravnovesno stanje dobimo iz enaµcb (35). Pri poljubni smeri polja v tej ravnini, postanejo enaµcbe (35) transcedentne in se lahko rešijo samo numeriµcno. Iz slike 6 vidimo povezavo med resonanµcno frekvenco in jakostjo magnetnega polja. Za vsako krivuljo je smer magnetnega polja v (011) ravnini razliµcna. Iz teh krivulj je razvidno, kje je smer enostavne magnetizacije, oz. v kateri smeri sta vektorja M in B 0 vzporedna. V tej smeri je resonanµcna frekvenca linearna funkcija magnetnega polja. µce pa je magnetno polje v smeri teµzke magnetizacije, potem je M vzporeden B 0 pri B 0 > 4 3 (K 1=M s ) in vidimo da je to v [111] smeri. Resonanµcna frekvenca je takole odvisna od polja: za = 0 ([100] os) za = 54 44 ([111] os)! res! res V smeri srednje magnetizacije ( = =2) pa dobimo:! res = = B 0 + 2 jk 1j M ; (37) = B 0 4jK 1 j 3M : (38) B 0 + jk 1j B 0 M 1 2 jk 1j M 2 : (39) Zgornji rezultati veljajo samo za vzorce s pozitivno konstanto anizotropije K 1 > 0: Ta konstanta je lahko tudi negativna kar nam prinese nekoliko drugaµcne rezultate. Iz slike 6 opazimo, da µce je magnetno polje usmerjeno v smeri blizu teµzke magnetizacije ali srednje magnetizacije, potem se pojavita dva absorbcijska vrhova. Te vrhove je prvi opazil Suhl (1955) v niklju. 11

Slika 6: (! res =)=(jk 1 j=m) kot funkcija B 0 =(jk 1 j=m) za kristale s pozitivno konstanto anizotropije pri razliµcnih orientacijah magnetnega polja v (011) ravnini. Spodaj vidimo absorbcijski spekter pri dveh razliµcnih kotih. Prvi usterza kotu = 60, drugi pa = 20 : 3.3 MERITVE Pri feromagnetno resonanµcnih poskusih se feromagnet postavi v prazen resonator, kjer je šibko alternirajoµce magnetno polje s ksno frekvenco 0 : Moµcno konstantno homogeno magnetno polje B 0 pa je usmerjeno pravokotno glede na visokofrekvenµcno polje. µce je izpolnjen pogoj h 0 = g B B eff, potem pride do prehodov med sosednjimi energijskimi nivoji, ki so g B B eff narazen. Pri eksperimentu, kjer preiskujemo feromagnet s feromagnetno resonanco je laµzje (iz tehniµcnih razlogov), da ohranimo frekvenco konstantno in spreminjamo jakost zunanjega polja B 0, s tem spreminjamo efektivno polje B eff. Do absorpcije pride, kadar je izpolnjen resonanµcni pogoj, kar se da izmeriti eksperimentalno. Precej zmanjšamo vpliv šuma z modulacijo magnetnega polja B 0 ; amplituda le te je mnogo manjša od statiµcne komponente polja, obiµcajno še manjša od širine µcrte. Frekvenco primerno izberemo, 10 100 khz: Na ta naµcin se znebimo zunanjih akustiµcnih motenj. V tem primeru dobimo signal, katerega amplituda je proporcionalna odvodu absorbcijske krivulje v odvisnosti od statiµcne komponente polja (slika 7). Konkreten primer absorbcije lahko vidimo na sliki 8. 12

Slika 7: Absorbcija magnetnega polja v feromagnetu in njen odvod. 3.4 DUŠENJE V ENA µcbi GIBANJA ZA MAGNETIZACIJO FEROMAGNETA Eden najveµcjh problemov v makroskopski teoriji feromagnetne resonance je najti enaµcbo gibanja za magnetizacijo, ki bo pripeljala do pravilne oblike resonanµcne krivulje. Kot je bilo µze pokazano, nam enaµcba (21) opisuje nedušeno prosto precesijo magnetizacije sistema spinov v konstantnem magnetnem polju. Posledica dušenja je širina resonanµcne krivulje. µce dušenje ne bi bilo prisotno, bi bila resonanµcna krivulja preprosta delta funkcija z vrhom pri resonanµcnem polju. Prisotnost razliµcnih interakcij bi lahko vkljuµcili v to enaµcbo gibanja na desno stran, ki bi opisale dušenje: M = (M B) + R(M B): (40) Vektor R=( ) lahko razumemo kot vsota vseh sil trenja. Dodatni relaksacijski µclen znatno spremeni naravo enaµcbe gibanja, saj velikost vektorja M v smeri zunanjega polja ni veµc konstantna. Veliko raziskovalcev je hotelo doloµciti µclen relaksacije, ki bi najbolje opisoval opazovano obliko resonanµcne krivlje. Prva takšna enaµcba gibanja magnetizacije feromagneta je bila od L.D.Landau-a in E.M.Lifschitz-a (1935): M = (M B) (M (M B)); (41) M kjer je brezdimenzijski parameter dušenja. Relaksacijska µclena iz (40) in (41) povzroµcita, da se magnetizacija poµcasi vraµca v ravnovesno stanje, ki je v smeri zunanjega statiµcnega magnetnega polja. Pri veµcini poskusov na feromagnetni resonanci so ugotovili, da je < 0:1: Kadar imamo samo statiµcno zunanje magnetno polje dobimo iz (41): M x = M e t= cos! 0 t; (42) M y = M e t= sin! 0 t;! 1 2 2 M M z = M 1 e 2t= ; M pri µcemer je = M=B 0 relaksacijski µcas,! 0 = B 0 frekvenca precesije in M projekcije vektorja magnetizacije na x; y ravnino pri t = 0. V tem primeru se vektor magnetizacije zaradi 13

Slika 8: Znaµcilni odvod resonanµcne krivulje. V tem primeru gre za vzorec permaloja, debeline 100 nm, kjer je zunanje magnetno polje vzporedno ravnini vzorca. Meritev je potekala pri frekvenci 3:5GHz: zunanjega polja in sil trenja giblje po spirali in se poµcesi bliµza ravnovesnemu stanju (slika 9). Širina resonanµcne krivulje je posledica konµcnega relaksacijskega µcasa. V prvih zapisih o elektronski magnetni resonanci v paramagnetih, feromagnetih in antiferomagnetih, je bila uporabljena Blochova enaµcba (1946). Predlagal je spodnjo enaµcbo za opis relaksacije pri jedrski magnetni resonanci: M = (M B) M x T 2 i M y T 2 j M z M 0 T 1 k; (43) kjer so T 1 in T 2 longitudinalni in transverzalni relaksacijski µcasi in = (1 + 2 ): Ta enaµcba dovolj dobro opisuje gibanje magnetizacije, da se veµcinoma uporablja še danes. 3.5 ŠIRINA RESONAN µcne KRIVULJE Širina resonanµcne krivulje je mišljena razdalja B na skali magnetnega polja pri! = konst: ali razdalja! na frekvenµcni skali pri B 0 = konst: med toµckama resonanµcne krivulje, kjer je prevoj. Najoµzje do sedaj najdene krivulje so 53 T za feromagnetne polprevodnike in 2.8 mt za feromagnetne kovine. Nasploh najoµzje krivulje pa so bile opaµzene v vzorcih krogelne oblike 3Y 3 O 3 5Fe 2 0 3 in sicer reda velikosti 10 T: µce µzelimo razloµziti odvisnost širine resonanµcne krivulje od parametra ; ki karakterizira dušenje, moramo najprej napisati Landau-Lifshitzovo enaµcbo (41) v krogelnem koordinatnem sistemu. Uporabimo enaµcbe, ki smo jih µze uporabili pri enaµcbi (21) in dobimo iz (41) enaµcbi za polarni in azimutalni kot, ki opisujeta smer vektorja magnetizacije M : # = (B ' + B # ) (44) ' sin # = (B # B ' ): Sedaj pa z enakim postopkom kot pri poglavju splošna formula za resonanµcno frekvenco, dobimo 14

Slika 9: Dušena precesija vektorja magnetizacije v odsotnosti frekvenµcnega polja. Slika 10: Širina resonanµcne krivulje na skali magnetnega polja pri! = konst: sistem linearnih enaµcb: 1 M sin # 0 # = ff '# + f ## sin # 0 g# + ff '' + f #' sin # 0 g'; (45) 1 M sin # 0 ' = ff ## f #' sin 1 # 0 g# + ff #' f '' sin 1 # 0 g'; ki opisujejo dušeno oscilacijo vektorja magnetizacije okoli ravnovesnege lege, ki jo doloµca enaµcba (26). µce ni dušenja se enaµcbi (44) in (45) spremenita v enaµcbi (22) in (29). Sistem enaµcb (45) ima periodiµcno rešitev, µce frekvenca! zadostuje enaµcbi: kjer je! de niran kot:! 2 i!!! 2 = 0; (46) in! (širina resonanµcne krivulje):! = (1 + 2 ) 1 2 Beff = (1 + 2 ) 1 2 M sin # 0 ff ## f '' f 2 #' g 1 2 ; (47)! ( d! )B = db M ff ## + f '' (sin 2 # 0 ) 1 g: (48) 15

Da! res predstavlja širino krivulje, se da pokazati iz analogije pri dušenemu nihanju. µce v diferencialno enaµcbo x :: 2 x+! : 2 0 x = 0 vsatavimo x = Aei!t dobimo enaµcbo za lastno frekvenco:! 2 + 2i! +! 2 0 = 0; kjer predstavlja dušenje. µce upoštevamo dušenje ( 6= 0) potem dobimo tudi premik v resonanµcni frevenci! res iz enaµcbe (30). Iz enaµcbe (48) se da izpeljati širino krivulje za izotropen elipsoid in za neskonµcen izotropen medij. Za elipsoid dobimo: B = 2B eff : (49) V primeru krogle (N x = N y = N z = 4=3) in za neskonµcen medij (N x = N y = N z = 0) pa imamo: B = 2B 0 : (50) Izkaµze se da je rahlo odvisen od zunanjega magnetnega polja. To lahko eksperimentalno preverimo iz izmerjenih B res in B: Iz Blochove enaµcbe (43) je Berk (1957) izpeljal odvisnost širine resonanµcne krivulje od oblike in orientacije vzorca: µce je plošµcat vzorec magnetiziran pod pravim kotom, je širina krivulje veµcja, kot pa µce je magnetiziran paralelno. Se pravi, da je faktor dušenja funkcija jakosti in smeri magnetizacije, zraven tega pa je odvisen še od temperature. Anizotropijo širine so raziskali eksperimentalno v (011) ravnini v Mn, MnZn, Mg MgMn in FeNi feritu ter v itriju. V tem primeru se funkcija širine resonanµcne krivulje v odvisnosti od kota obnaša ravno nasprotno od resonanµcnega polja. Najširša je v smereh enostavne magnetizacije in najoµzja v smeri teµzke magnetizacije. Slika (11) nam prikazuje širino resonanµcne krivulje in resonanµcno polje kot funkcijo kota zunanjega polja v (011) ravnini za kristal Y 3 Fe 2 (Fe 2 0 4 ) 3 : Slika 11: Kotna odvisnost resonanµcnega magnetnega polja (krivulja 1) in širina absorbcijske µcrte (krivulja 2) v (011) ravnini v Y 3 Fe 2 (Fe 2 0 4 ) 3 pri sobni temperaturi. Kot se bere od osi teµzke magnetizacije. µce je zunanje magnetno polje dovolj moµcno, potem ima magnetizacija enako smer. V tem primeru lahko uporabimo enaµcbi (48) in (33), da dobimo natanµcnejše izraze za širino resonanµcne krivulje: v smeri [100] osi B = 2B 01 (1 j 1 j); (51) v smeri [011] osi B = 2B 02 (1 1 2 j 2j) (52) 16

in v smeri [111] osi B = 2B 03 (1 3 4 j 3j): (53) Tukaj je j i j = jk 1 j=mh 0i in B 0i vrednost resonanµcnega polja v smeri ustrezne osi. Zgornji znak ustreza za K 1 < 0 in spodnji za K 1 > 0: Razlikujemo vsaj štiri tipe feromagnetov, ki se razlikujejo v odvisnosti B oz. od temperature. V prvo skupino spadajo µzelezo, nikelj, njune zlitine,... Za njih je znaµcilno, da pod sobno temperaturo faktor dušenja pada zelo poµcasi ali pa je celo konstanten. Nad sobno temperaturo pa vse do Curiejeve temperature pa se širina resonanµcne krivulje znatno poveµca (slika 12). Slika 12: Odvisnost relaksacijskega µcasa 1=T 2 ( H) od temperature. supermaloj. A- za nikelj; B- za V drugi skupini feromagnetov opazimo upadanje resonanµcne širine z veµcanjem temperature. Sem spadajo Nikljev ferit, mangan-cinkov ferit, manganov ferit... Primer vidimo na sliki??. Slika 13: Odvistnost relaksacijskega µcasa 1=T 2 od temperature za nikljev ferit (NiOFe 2 O 3 ). 17

Tretja skupina se razlikuje od prvih dveh po tem, da širina resonanµcne krivulje narašµca in pada s tem ko veµcamo temperaturo. Pri nekaterih feritih je nad doloµceno temperaturo širina krivulje B odvisna še od velikosti vzorca (slika 15). V µcetrto skupino pa spadajo feromagneti z najoµzjo resonanµcno krivuljo. Za njih je znaµcilno, da širina krivulje narašµca, ko temperatura pada, doseµze svoj maksimum in potem zaµcne spet padati (slika 14). Slika 14: Odvisnost širine resonanµcne krivulje od temperature za zlitino itija in µzeleza. Vzorec je okrogle oblike. 18

Slika 15: Odvisnost širine resonanµcne krivulje od temperature za (Ni0) 0:75 (FeO) 0:25 Fe 2 O 3 (pri višjih temperaturah je obnašanje krivulje odvisno od premera vzorca) in (Ni0) 0:95 (FeO) 0:05 Fe 2 O 3 : Magnetno polje je usmerjeno vzdolµz [111] osi kristala. Vsi vzorce so bili okrogle oblike.. 19

4 ZAKLJUµCEK S feromagnetno resonanco se da veliko ugotoviti o lastnostih kristala. Krivulja resonanµcne absorbcije, ki jo dobimo pri eksperimentih, je karakterizirana z njenim maksimumom oz. resonanµcno frekvenco! res in tudi obliko (še posebej širina!). Kadar µzelimo izraµcunati vrh in širino resonanµcne krivulje, moramo upoštevati vse interakcije med razliµcnimi magnetnimi momenti, termalne oscilacije, obliko vzorca... µce se rezultati meritev ujemajo s teoretiµcnimi napovedmi, potem smo prosto energijo zapisali pravilno. Na tak naµcin dobimo veliko podatkov o lastnosti vzorca, se pravi o strukturi in notranjih interakcijah. Lahko pa imamo primer, da znamo zapisati prosto energijo kristala. Takrat pa lahko s feromagnetno resonanco doloµcimo razne parametre vzorca, npr. kostante anizotropije, saj je prosta energija od njih odvisna in poslediµcno tudi resonanµcna frekvenca. 20

Literatura [1] Ferromagnetic resonance; S.V. Vonsovskii; Pergamon press; Oxford; 1966 [2] Solid State Magnetism; John Crangle; Edward Arnold; London; 1991 [3] Spin Wawes, A. I. Akhiezer, V.G. Bar yakhtar, S.V. Peletminskii; John Willey & sons; New York; 1968 [4] Colorado State University Magnetics Group: http://www.physics.colostate.edu/groups/maglab/index.html [5] Chrarles Kittel; Phisical review; Volume 73; January 15, 1948; page 155; On the theory of Ferromagnetic Resonance Absorption 21