RAK: P-II//9 NUMERIČNI MODE esatno reševanje: reševanje dierencialni enačb aprosimativno reševanje: metoda ončni razli (MKR) inite dierence metod (FDM) metoda ončni elementov (MKE) inite element metod (FEM) metoda robni elementov (MRE) boundary element metod (BEM) metoda ončni volumnov (MKV) inite volume metod (FVM)
RAK: P-II//9 Numerični model primer esatnega reševanja: Analizirajmo obojestranso vpet osnoobremenjen onstrucijsi element dolžine = in neonstantnega prečnega prereza ( A, A ) +. Obremenitev le-tega izaja iz stacionarne temperature onstrucije T, i je višja od temperature montaže T m. E A T T T m E A,
RAK: P-II/3/9 E A T T T m E A,. podinterval [, ] : du d. Podinterval [, + ] : du d esatna uncijsa rešitev: u ( ) C C () () u ( ) u ( ) ( ) () () () () Za izračun tre neznani onstant ( C, C, ) potrebujemo tri enačbe, i ji dobimo z upoštevanjem robni pogojev in pogojev onsistentnosti preoda, medtem o sta vodilni enačbi problema z izbrano polinomso uncijso odvisnostjo že esatno izpolnjeni.
RAK: P-II/4/9 E A T T T m E A,. podinterval [, : ] u ( ) C C () (). robni pogoj: u () () C. enačba
RAK: P-II/5/9 E A T T T m E A,. Podinterval [ :, + ] u ( ) u ( ) ( ) (). robni pogoj: N ( + ) u ( + ) du E A T u( + ) d + C (E A ( + )) (E A ) = E A T () (). enačba
RAK: P-II/6/9 E A T T T m E A, [, + ] [, ]. podinterval :. Podinterval : u ( ) C C () () u ( ) u ( ) ( ) (). pogoj onsistentnosti preoda je že izpolnjen z izbrano aprosimacijso uncijo: u ( ) u ( )
RAK: P-II/7/9 E A T T T m E A,. podinterval :. Podinterval : () u ( ) C C u ( ) u ( ) ( ) () () N [, ] ( ) N ( ) du du E A E A E AT E A T d d [, + ] C (A A ) A A T A T () () 3. enačba
RAK: P-II/8/9 Upoštevajoč robne pogoje in pogoje onsistentnosti preoda dobimo sistem dve linearni enačb:. enačba: 3. enačba: C (E A ( + )) (E A ) = () () C (A A ) A A T A T () () i ga je smiselno zaradi nadaljnjega numeričnega reševanja zapisati v matrični oblii: () (E A ( + )) (E A ) C () (A A ) A A T A T
RAK: P-II/9/9 Graični priaz esatne rešitve za obravnavani primer, upoštevajoč številčne vrednosti :.3m.6m A A 8mm 3 C 3mm E e5 MPa =e-6 m/(m K) N/mm T E A T T T m E A,
RAK: P-II//9 Graični priaz esatne rešitve: Premi v smeri osi Notranja osna sila du N E A T d
RAK: P-II//9 Graični priaz esatne rešitve: Konstantna napetost po prerezu du E T d Konstantna deormacija po prerezu du d
RAK: P-II//9 aprosimativno reševanje: o esatno rešitev dierencialne enačbe ni mogoče določiti aprosimativno reševanje prevede reševanje dierencialne enačbe v reševanje sistema linearni enačb pri izbiri aprosimativne metode upoštevamo značilnosti izialnega modela pri izbiri aprosimativne metode upoštevamo prednosti in slabosti posamezne numerične metode
RAK: P-II/3/9 Numerični model aprosimativno reševanje: metoda ončni razli (MKR): osnovna ideja te metode je v tem, da aprosimiramo odvode uncijsi vrednosti, i nastopajo v dierencialni enačbi in robni pogoji aprosimacija odvodov je zasnovana na razvoju uncije v Taylorjevo vrsto značilnosti aprosimativnega reševanja z MKR: prednosti: - enostavna uporaba slabosti: - zatevna priprava mreže toč, še posebno v 3D prostoru
RAK: P-II/4/9 primer aprosimativnega izračuna prvega in drugega odvoda uncije razvoj uncije v nesončno Taylorjevo vrsto: 3 3 d ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( )... 3! d! d 3! d ()
RAK: P-II/5/9 aprosimacija vrednosti uncije: d ( ) d ( )! d! d ( ) ( ) ()
RAK: P-II/6/9 aprosimacija prvega in drugega odvoda uncije: ()
Numerični model primer aprosimativnega reševanja z MKR E A T T T m E A, V obravnavanem primeru območje obsega dva podintervala. Pri aprosimativnem reševanju problemov z MKR najprej disretiziramo posamezni podinterval na določeno število odseov, ateri dolžine naj bodo za posamezni podinterval enae: 3 4 5 6 7 3 4 RAK: P-II/7/9
RAK: P-II/8/9 Neznan tao disretiziranega problema je 8 uncijsi vrednosti osnovne spremenljive u i(i,,..,7) v 8 toča intervala [, + ]. Sistem linearni enačb, iz aterega lao izračunamo neznane, mora obsegati enačbe, i se nanašajo na robne pogoje. Ker imamo v obravnavanem primeru območje razdeljeno na dva podintervala, moramo upoštevati tudi enačbe, i popisujejo pogoje onsistentnosti preoda na preodu med podintervaloma. Manjajoče enačbe dobimo na osnovi izpolnitve vodilne območne enačbe problema. ENAČBE na osnovi robni pogojev: 3 4 5 6 7. robni pogoj: u() u. enačba 3 4. robni pogoj: N ( + ) u ( + ) du E A T u d 7 E A ( D u T) u 7 7
RAK: P-II/9/9 V robnem pogoju števila ) se naaja dierenčni operator D, i za zapis s centralnimi razliami v toči 7 potrebuje še dodatno točo A : D u u u A 6 7 3 4 5 6 7 3 4 A Z dodatno točo A se je povečalo število neznani vrednosti za ena in posledično potrebno število enačb. Robni pogoj števila ) lao sedaj zapišemo v disretni oblii ot: u ua u 6 ua u6 u7 E A T u 7 + T E A. enačba
RAK: P-II//9 ENAČBE na osnovi pogojev preoda med podintervaloma:. pogoj onsistentnosti preoda: u ( ) u ( ) 3 4 5 6 7 3 4 A je že izpolnjen s tem, da je na meji med podintervaloma ena sama neznana disretna vrednost, v obravnavanem primeru. u 3. pogoj onsistentnosti preoda: N ( ) N ( ) du du E A E A E A T E A T d d
RAK: P-II//9 V disretni oblii zapisan. pogoj: du3 du3 A A T ( A A ) d d u ( ) u ( ) A D u A D u T ( A A ) 3 u ( ) 3 u ( ) pri čemer je potrebno upoštevati, da lao v disretnem zapisu dierenčnega operatorja D upoštevamo samo disretne vrednosti v posameznem podintervalu, ar pa pri uporabi centralne dierenčne seme brez dodatni toč B in C ni možno: 3 4 5 6 7 A 3 3 B C 3 4 5 6 7 A 4
RAK: P-II//9 Dierenčni operator D v toči 3 tao zapišemo v disretni oblii za vsa podinterval posebej na sledeči način: D u u u B 3 u ( ) D u u u 4 C 3 u ( ) ter tao dobimo disretni zapis. pogoja onsistentnosti preoda: u u u u A A T ( A A ) B 4 C 3. enačba 3 4 5 6 7 A 3 3 B C 3 4 5 6 7 A 4
RAK: P-II/3/9 Upoštevajoč 3 dodatne toče, ter neznane disretne vrednosti v nji u i(i A,B,C), imamo tao sedaj neznani disretni vrednosti, ter 3 enačbe, i izajajo iz robni pogojev in pogojev onsistentnosti preoda. Preostali 8 enačb dobimo na osnovi izpolnitve vodilne dierencialne enačbe problema v toča podintervala, v ateri niso potrebne dodatne toče pri disretnem zapisu dierenčnega operatorja D. d u d 4.-. enačba D u u + u u 3 4 5 6 7 A 3 3 B C 3 4 5 6 7 A 4
RAK: P-II/4/9 u u u u3 ub uc u4 u5 u6 u7 ua. r.p.. r.p.. p..p. d.e. T d.e. T d.e. T3 d.e. T3 d.e. T4 d.e. T5 d.e. T6 d.e. T7 - E A A A A A - - - - - - - - - - u u T u T (A-A ) u3 u B uc u 4 u5 u6 u 7 ua 3 B 3 4 5 6 7 A C
RAK: P-II/5/9 Graični priaz primerjave rezultatov, dobljeni po MKR, z esatnimi upoštevajoč številčne vrednosti:.3m.6m A A 8mm 3 C 3mm E e5 MPa =e-6 m/(m K) N/mm T E A T T T m E A,
RAK: P-II/6/9 Graični primerjava izračunani disretni vrednosti in esatne rešitve: Premi v smeri osi Iz primerjave rezultatov lao ugotovimo, da disretne vrednosti primarne spremenljive sovpadajo z esatno rešitvijo. Uporabljena aprosimacija dierenčni operatorjev D in D omogoča izračun esatni vrednosti za primere, o je uncijsa odvisnost primarne spremenljive polinom največ. stopnje. V obravnavanem primeru je esatna uncijsa odvisnost primarne spremenljive polinom. stopnje.
RAK: P-II/7/9 Iz poznani disretni vrednosti primarne spremenljive lao izračunamo disretne vrednosti notranje osne sile v isti toča obravnavanega območja. V enačbi za izračun notranje osne sile nastopa dierenčni operator D, i ga bomo izračunali upoštevajoč centralne razlie: du u+ u N E A T EA T d Upoštevajoč centralne razlie lao izračunamo notranjo osno silo v vse toča obravnavanega območja, razen v toči. Za to točo dodamo dodatno točo D, vrednost v njej pa izračunamo iz vodilne dierencialne enačbe problema, zapisane za točo : d u d D u uu u D u D u D 3 B 3 4 5 6 7 A C
RAK: P-II/8/9 u,u,u,u,u,u,u,u,u,u,u D 3 B 4 5 6 7 A.4,.,.4,.48,.7,.96,.66,.78,.84,.9,.96,. mm aprosimativna rešitev: u u D N E A T.9 N esatna rešitev: N().9 N
RAK: P-II/9/9. predavanje: TEORETIČNA VPRAŠANJA 4. Značilnosti numeričnega modela. 5. Kdaj je rešitev numeričnega modela esatna? 6. Opiši izodišča MKR. 7. Prednosti in slabosti MKR.