Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () = e f () = f () = F ( ) = sin F ( ) = cos F( ) = e F ( ) = F( ) =
Za dano funkcijo obstaja več primitivnih funkcij: ( sin ) = cos ( + sin ) = + ( sin ) = 0 + cos = cos primitivni funkciji za cos sta tako sin, kot +sin. Če poznamo eno primitivno funkcijo za f, dobimo vse druge tako, da tej prištejmo vse možne konstante. Množico vseh primitivnih funkcij za f() označimo z F()+c, kjer je F() neka primitivna funkcija za f(), c pa je poljubno realno število.
Postopek določanja primitivne funkcije imenujemo integriranje. Pišemo: F ( ) = f ( ) d pove po kateri spremenljivki integriramo in nastopa pri formulah za računanje integralov integrand integral Pri računanju integralov uporabljamo pravila za integriranje in integrale osnovnih funkcij.
Integrali osnovnih funkcij r + r d = r + d = ln e d = e ( r ) cos d = sin cos d = tg sin d = cos d = arcsin + d = arctg
Pravila integriranja ( f ( ) ± g( ) ) d = f ( ) d ± g( ) d k f ( ) d = k f ( ) d Primeri ( + ) 4 d = + 4 d = d = = t t dt = t + dt = t t t t vsota produkt s konstanto
Če je f ( ) d =, jef ( ) f ( g( )) g ( ) d = F ( g( )) uvedba nove spremenljivke du = u ( ) d pravilo: funkcija u() Novo spremenljivko u vpeljemo tako, da povsod, kjer v integralu nastopa spremenljivka, jo zamenjamo z ustreznim izrazom v spremenljivki u. Primer: 4 ( + ) d = u = + du = d d = du 5 5 u ( + ) = u 4 du = = 5 0
sin( 4 ) d = sin u 4 du = 4 cos u = 4 cos( 4 ) u = 4 e du = 4 d u u d = e du = e = e u = du = d sin tg d = cos d = u du = ln u = ln(cos ) u = cos du = sin d
u ( ) v ' ( ) d = u ( ) v ( ) u ( ) v ( ) d integracija po delih ( Za integriranje produktov določene oblike.) krajše: u dv = u v v du Primeri: e d = e e d = e e u = du = d dv = e d v =e ln d = ln u = ln dv = d d v = du = d = ln
Uporaba integrala Ploščine likov Dolžine krivulj Hitrost ohlajanja nekega telesa je sorazmerna razliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice: T =k(t T0) Kako hitro se bo vrela juha v prostoru, kjer je 0oC ohladila do užitnih 50oC? Diferencialne enačbe Povprečja Kolikšna je verjetnost, da bo žlica, ki pade na tla obležala na eni sami ploščici? Verjetnost
Integracijske tehnike r + d = r + r ( r ) d = ln e d = e sin d = cos cos d = sin cos d = tg d = arcsin + d = arctg ( f ( ) ± g( ) ) d = f ( ) d ± g( ) d k f ( ) d = k f ( ) d u dv = u v v du f ( g( )) g ( ) d = f ( u ) du u = g( )
Racionalne funkcije osnovna formula: Primer: + d = ln( a + b ) a + b a d =?.korak: če je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, zdelimo + ( + ) : ( ) =, ost. ( ) = ( )( + ).korak: preostali ulomek razcepimo na delne ulomke A B = + ( )( + ) + A+B= A =,B = A B = = A ( + ) + B ( ) = ( A + B ) + ( A B ) + = +.korak: sumande v razcepu integriramo po formuli + d = ln( ) ln( + ) d = +
+ ( ) Če ima imenovalec dvojno ničlo vpeljemo novo spremenljivko: d =? u =, du = d u + + + du u + d = = du = ln u = ln( ) ( ) u 4u 4 4u 4 8 4 + + + + + Če imenovalec nima realnih ničel, prevedemo na logaritem in arkus tangens: d =? d = + d + + d = du = ln u = ln( + ) u d = u = +, du = d + d = + d = u =, u = = du = arctg u = arctg + u, d = du
Kotne funkcije u5 cos 5 = u du = = sin cos d = 5 5 u = cos, du = sin d 4 4 cos sin sin d = d = 4 formule za kvadrate: sin = cos + cos cos, cos =, tg = + cos
Računanje ploščin Želimo določiti ploščino pod grafom funkcije y=f() P() je ploščina pod grafom na intervalu od a do. h min f ( ) < P ( + h ) P ( ) < h ma f () [, + h ] [, + h ] ma f() P( + h ) P( ) min f ( ) < < ma f () [, + h ] [, + h ] h P( + h ) P( ) = f () h 0 h lim min f() P() je primitivna funkcija za f()! P() a +h
Če je F() neka primitivna funkcija za f(), potem je F() P()=c. Kako bi izračunali c? Vstavimo =a: F(a) P(a)=c c=f(a) P()=F() F(a). P=F(b) F(a) a b Če je F() poljubna primitivna funkcija za f(), je ploščina pod grafom y=f() na intervalu [a,b] enaka P=F(b) F(a).
Ker je F ( ) = f ( ) d običajno meje intervala vključimo v oznake in pišemo: b b P = f ( ) d = F ( ) a = F ( b ) F ( a ) a določeni integral funkcije f() na intervalu [a,b].
Primer Določi ploščino lika, ki ga omejujeta abscisa in parabola y=. P = ( ) d = 4 = ( ) ( ) =
Primer Določi ploščino lika med =y in y=. y= y = P = ( ) d = 0 = 0 6
Dolžine krivulj Želimo določiti dolžino krivulje, podane z y=f(). l() je dolžina grafa na intervalu od a do. f ( + h) f ( ) l( + h ) l( ) ( + h ) + ( f ( + h ) f ( )) = h + h l( + h ) l( ) = + ( f ( )) h 0 h lim y=f() l() je primitivna funkcija + ( f ( )) za a +h
Dolžina krivulje, podane z y=f() na intervalu [a,b] je b l = + ( f ( )) d a Primer Izračunaj dolžino loka parabole y= na intervalu [,]. f ( ) = l= + 4 d = = + 4 + ln( + + 4 ) = 4 = + 5+ ln.95 4 5
Vrtenine Vrtenina je telo, ki ga dobimo, ko dani lik zavrtimo okoli osi. Izračunati želimo prostornino vrtenine.
Zavrtimo lik pod grafom krivulje y=f(): y=f() V() je prostornina na intervalu od a do. V ( + h) V ( ) ( f ( )) π h V ( + h) V ( ) = ( f ( )) π h 0 h lim V() je primitivna funkcija ( f ( )) π za a +h
b Prostornina vrtenine pod y=f() na intervalu [a,b]: V = π ( f ( ) ) d a Primer Prostornina krogle: kroglo dobimo, če zavrtimo krožnico okoli abscisne osi. y = r V =π r r r r r r d r = π ( r ) d = π r = r r r r 4 = π r r + = r π
Približni izračun integrala b računamo numerično, če je določanje primitivne funkcije prezahtevno ali če je f ( ) d a integrand znan le v posameznih točkah. Integrand f() nadomestimo s približkom g(), ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). b b a a f ( ) d = g( ) d + R napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala
Metoda trapezov integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo. [a,b] razdelimo na n enakih delov: b a n yk = f (k ) k = a + k g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (k,yk), k=0,,...,n k + g( ) d = k b g( ) d = a b a f ( ) d = b a y k + y k + n b a ( ( y 0 + y ) + ( y + y ) +... + ( y n + y n ) ) n ) ( b a y 0 + y + y +... + y n + y n + R n n trapezna formula napaka trapezne metode (b a ) Rn ma f ( ) n [ a, b ]
Primer d z napako < 0.0 + 0 Izračunaj (ln( + ) ) =, + ( 0) n 6n + d = ln ln = ln 0.69 0 ma ma = = [ 0,] + n [ 0,] ( + ) 6n < 0.0 n 5 (.0000 + 0.8 + 0.74 + 0.650 + 0.5555 + 0.5000) = 0.6956 d + 0 0 dejanska napaka 0.005
Primer Oceni ploščino kosa pločevine: P 00 ( 6 + 5 + 55 + 50 + ) = 485 cm 8
Diferencialne enačbe Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopa odvod neznane funkcije. Primeri y = y diferencialna enačba za y kot funkcijo y + y = 0 y = y y y = + y diferencialna enačba. reda (Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa.) y + y e y = y + z y = z diferencialna enačba. reda parcialna diferencialna enačba (. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, kadar nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa parcialne diferencialne enačbe.
F (, y, y ) =0 splošna diferencialna enačba. reda Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(), pri kateri je F(, y(), y () ) =0 za vse. Primeri y=e je rešitev diferencialne enačbe y =y, saj je ( e ) = e y y y= ni rešitev diferencialne enačbe y =y, čeprav je = za nekatere vrednosti. Leva in desna stran morata biti enaki za vse vrednosti argumenta.
y = f () Najpreprostejši tip diferencialne enačbe: Rešitev je: y ( ) = f ( ) d Tudi druge diferencialne enačbe skušamo prevesti na računanje integralov. Primer y = y dy = d y dy d dy = y d. korak: enačbo preoblikujemo tako, da so vsi y na eni in vsi na drugi strani enačbe (kadar se to izide pravimo, da gre za enačbo z ločljivimi spremenljivkami) dy y = d. korak: integriramo obe strani enačbe ln y = Preskus: y =. korak: pišemo +c y = C e (C e ) = C e = (C e ) (C = e c )
Modeliranje z diferencialnimi enačbami V fizikalnih in kemijskih zakonih praviloma nastopajo količine, ki so odvodi (hitrost gibanja, pospešek, toplotni tok, električni tok, hitrost reakcije,...), zato študij fizikalnih in kemijskih procesov sloni na reševanju diferencialnih enačb. Audi TT pospeši do hitrosti 00 km/h v 6.4 sekundah. Koliko metrov pri tem prevozi? t... čas y(t)... prevožena pot Predpostavimo, da je pospešek konstanten: hitrost je v=y (t) pospešek je a= v (t)= y (t) 00 km/h = 7.77 m/s a = 7.77 / 6.4 m/s v = 4.4 dv = 4.4 dt = 4.4 m/s v = 4.4 dt = 4.4 t + c Ker je na začetku v(0)=0, je c=0. y = 4.4 t dy = 4.4 t dt t y = 4.4 t dt = 4.4 + c Ker je na začetku y(0)=0, je c=0. Hitrost 00 km/h doseže po y(6.4) 89m.
Radioaktivni razcep Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 4C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le g 4C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t y = k y dy = ky dt k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 4C je k =.8 0 s ) dy = k dt y dy y = k dt ln y = kt + c y = Ce kt y(0)=c, torej je C začetna količina opazovane snovi Za C: 4 = 5e kt t = ln 5 k = 0.508.8 0 = 68464 s 40 let Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kt=ln Razpolovna doba 4C je (0.69/.8) 0 s 570 let.
Datiranje s 4C kozmični žarki Rastline absorbirajo CO v biosfero. Razmerje med C in 4C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 4C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar kov dva neutrona nadomestita dva protona v 4N. Nastali 4C se veže s kisikom v 4CO. Razmerje med 4CO in CO v atmosferi je dokaj stabilno. stopnja radioaktivnosti 0 let 570 let 460 let starost 790 let Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med C in 4 C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.
% Mešanje tekočin V 50 litrsko posodo z % raztopino soli začne s hitrostjo l/min pritekati % raztopina, obenem pa dobro premešana mešanica odteka z isto hitrostjo. Čez koliko časa bo v posodi % raztopina? y=y(t) količina soli v posodi v trenutku t dy = 0.0 dt y dt 50 odteka y/50 od l na enoto časa priteka % od l na enoto časa sprememba količine soli v posodi dy = dt 0.06 0.04 y y ( 0) = 0.5 l ln( 0.06 0.04 y ) = t + c y = 5( 0.06 Ce 0.04t ) 0.04 C = 0.04 y ( t ) =.5 e 0.04t.5 e 0.04t = e 0.04t = 0.5 t = 5 ln(0.5) = 7. min = 7 min 0 s
Metabolizem tripsina Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y0... začetna koncentracija tripsina y(t)... koncentracija tripsina v času t y =ky... hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji To je ista diferencialna enačba, kot pri radioaktivnem razcepu. Rešitev je y=y0ekt. Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato sklenemo, da model ni ustrezen in ga skušamo popraviti.
Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo diferencialno enačbo: y =ky(c y) y(0) =y0 dy = k dt y (C y ) y (C y 0 ) y ln = kt C (C y ) y 0 y0 t dy = k dt y (C y ) 0 y (t ) = C + ( yc ) e Ckt 0 Dobljeni graf se imenuje logistična krivulja: popravljeni model napoveduje, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.