Naloge iz kolokvijev Analize (z rešitvami) E-UNI, GING, TK-UNI FERI dr. Iztok Peterin Maribor 2009 V tej datoteki so zbrane naloge iz kolokvijev za predmet Analiza na smereh E-UNI, GING in TK-UNI na Fakulteti za elektrotehniko, računalništvo in informatiko iz šolskih let 2007/08 in 2009/09. Prosim, da morebitne napake med rešitvami posredujete na iztok.peterin@uni-mb.si.
. test 2007/08 SKUPINA A. Določi definicijski območji D f in D g in oba kompozituma funkcij g(x) = x in f (x) = ln x 2x + 7 + x 2 4. [Rešitev: D f = (, 7 2 ) [2, ) in D g = [0, ); (f g)(x) = ln x 2 x+7 + x 4 in (g f)(x) = ln x 2x+7 + x 2 4.] 2. Grafično in računsko reši neenačbo 2x 4 x > x +. [Rešitev: x (, ) (, + 6).] 3. Poišči vsa kompleksna števila z, ki ustrezajo pogoju (a) z = 3 5i; [Rešitev: z = 2 5 2 3+ + i 3+ 34 34 2 = 34e i 2 (arctan 5 3 +π) in z 2 = 2 5 2 3+ i 3+ 34 34 2 = 34e i 2 (arctan 5 3 ).] (b) 2z < + z 2. [Rešitev: če preoblikujemo dobimo naslednji pogoj (x 2 + (y + ) 2 2)(x 2 +(y ) 2 2) > 0. Torej ali sta oba oklepaja pozitivna ali negativna. Ker oba predstavljata krožnici, imamo v prvem primeru preseg obeh krogov, v drugem primeru pa presek zunanjosti obeh krogov. S simboli: ( z i < 2 z + i < 2 ) ( z i > 2 z + i > 2 ). ]. test 2008/09 SKUPINA A. Preveri ali drži naslednja trditev za vsa naravna števila 2 + 5 + 8 +... + (3n ) = 3n2 + n. 2 [Rešitev: trditev dokažemo z matematično indukcijo.] 2
2. Računsko in grafično reši neenačbo [Rešitev: x (, 8) ( 2 3, ).] x + 2 < 2x + 3 3. 3. Poišči vsa kompleksna števila z, ki ustrezajo pogoju (a) z = 8 + 2i; [Rešitev: z = 4 64e i arctan(/4)/2 in z 2 = 4 64e i(π arctan(/4))/2.] (b) z 3 < 2 z. [Rešitev: zunanjost kroga s središčem S(, 0) in polmerom 2.] 2. test 2007/08. Izračunaj limiti x (a) lim 2 x 0 cos x ; [Rešitev: 2.] (b) lim x 2 2x 3 3x 3 +5x 2 42x. [Rešitev: 54 3.] 2. Izračunaj ničle, pole in asimptoto (če obstaja) in skiciraj funkcijo f(x) =. Preveri še ali je funkcija morda soda ali liha! x 4 5x 2 +4 x 3 3x [Rešitev: n = 2, n 2 =, n 3 = in n 4 = 2; p = 3, p 2 = 0 in p 3 = 3; poševna asimptota je y = x; funkcija je liha.] 3. S pomočjo prvih petih odvodov določi n-ti odvod funkcije f(x) = x 2 2x 8 (. [Rešitev: f(x) = 6 (x 4) (x + 2) ), kar ni težko odvajati in dobimo f (n) (x) = ( )n n! ( 6 (x 4) n (x + 2) n ).] 2. test 2008/09. Izračunaj (a) A = lim x 0 ( sin x cot x); f(x+h) f(x) (b) B = lim h 0 h za f(x) = 5x +. [Rešitev: A = 0 in B = f (x) = 5 2 5x+.] 3
2. Izračunaj ničle, pole in asimptoto (če obstaja) in skiciraj funkcijo f(x) =. Preveri še ali je funkcija morda soda ali liha! x 5 x 3 30x x 4 +5x 2 36 [Rešitev: ničle: n = 0, n 2 = 6 in n 3 = 6; poli: p = 2 in p 2 = 2; asimptota: y = x; f(x) je liha.] 3. Za funkciji f(x) = arcsin x in g(x) = x x+ določi f g in g f, D f g in D g f, ter izračunaj (f g) (x). [Rešitev: (f g)(x) = arcsin x x+ in (g f)(x) = arcsin x arcsin x+, D f g = [0, ) in D g f = [, ] \{ sin }, ter (f g) (x) = (x+) x.] 3. test 2007/08. Za funkcijo f(x) = x ln x 2 določi definicijsko območje, sodost-lihost, ničle, posebne točke, asimptote, ekstreme, prevoje, intervale naraščanja in padanja, intervale konveksnosti in konkavnosti in jo skiciraj. [Rešitev: D f = R {0}, je liha, ničli sta ±, lim x 0 f(x) = 0, asimptot ni, f narašča na (, e ) in (e, ) ter pada na ( e, 0) in (0, e ), zato je E (e, 2e ) minimum in E 2 ( e, 2e ) maksimum, nima prevojev, je konveksna na (0, ) in konkavna na (, 0). Sliko si lahko izrišete s programom DERIVE.] 2. Integral I c reši s priročnikom, I a in I b pa peš : (a) I a = x 3 x 2 dx; (b) I b = arcsin xdx; (c) I c = x 2 x+3 dx. [Rešitev: I a = 3 ( x2 ) 3/2 x 2 + C, I b = x arcsin x + x 2 + C in I c = (x 2)(x + 3) 5 ln( x 2 + x + 3) + C (#5 in #46 (kjer je napaka v starem priročniku).] 3. Izračunaj dolžino loka funkcije f(x) = 2 2 3 x x na intervalu (0, 4). [Rešitev: l = 4 0 + 2xdx = 26 3.] Dodatna literatura M. Dobovišek, M. Hladnik, M. Omladič, Rešene naloge iz Analize I, DMFA 987, Ljubljana. 4
B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize : z namigi, nasveti in rezultati, DMFA 2000, Ljubljana. P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja I. del, Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 200, Ljubljana. I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza/izpiti.pdf I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza/kolokviji.pdf I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza/analiza.pdf I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike, FERI, Maribor 2005, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/matrvs/izpiti.pdf I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike, FERI, Maribor 2009, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/matrvs/kolokviji.pdf I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike, FERI, Maribor 2005, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/matrvs/matrvs.pdf I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/izpiti.pdf I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/kolokviji.pdf I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 2, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/mat2izr.pdf 5