3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo. Na ta način se geometrijski problemi dajo obravnavati na algebrajičen način. 3.. Koordinatni sistem. Točka. Naj bo O dana točka v ravnini skozi katero postavimo dve medsebojno pravokotni premici, ki ju imenujemo in os. Obe premici obravamo kot usmerjeni številski premici, ki nimata nujno isto enoto. Poljubno točko T ravnine lahko sedaj popišemo z parom števil ( T, T), ki ga dobimo tako, da točko skozi T postavimo premici, ki sta vzporedni koordinatnim osema (Slika ) ordinatna os N T (, ) T T T B( -,3) 3 A( 4,) T - O - 3 4 D(.5, - ) O M abcisna os C( -, - ) SLIKA SLIKA Vsaki točki T v ravnini ustrezata v izbranem koordinatnem sistemu natančno določen,, ustreza natančno določena par števil ( ) in obratno, vsakemu paru števil ( ) točka T ravnine. Par (, ) imenujemo koordinate točke T v izbranem koordinatnem sistemu. Točka O ima koordinati (, ) se imenuje koordinatno izhodišče.
PRIMER V koordinatnem sistemu nariši točke A ( 4, ), B(, 3), C = (, ) in (.5, ) Rešitev. Glej sliko. D =. 3.. Transformacija koordinat V ravnini lahko izberemo nešteto koordinatnih sistemov. Naj bo, 'star' koordinatni sistem in ξη, 'nov' koordinatni sistem. Kakšna je povezava med njima? η T η T T b O ξ T ξ O a T SLIKA 3 Translacija. Koordinatno izhodišče 'novega' koordinatnega sistema postavimo v točko,, koordinatne osi ξη, pa vzporedno s koordinatnima osema, 'starega' ( ) sistema. Iz slike 3 razberemo zvezo = + ξ, = + η (3.) Če pa so dane 'stare' koordinate in iščemo 'nove' je zveza ξ =, η = (3.) PRIMER Izračunaj koordinate točk A (, 4), B( 3,5) in (, ) translatorno prestavljen v točko O '(, ). v koordinatnem sistemu, ki je
Rešitev. V nalogi so dane 'stare' koordinate, išemo torej 'nove'. Iz podatkov razberemo koordinate izhodišča 'novega' sistema = in =. Po (3.) je sedaj ( ) ( ) ( ) ξa = =, ηa = 4 = 4 + = 5 ξb = 3 = 5, ηb = 3 = 3 + = ξ = = 4, η = = + = C C V 'novem' koordinatnem sistemu so torej koordinate točk naslednje: A (,5), B( 5, ) in C ( 4, ). Rotacija. Drug način transformacije koordinat je rotacija za kot α okoli koordinatnega izhodišča. S pomočjo slike 4 razberemo zvezo med 'starim' in 'novim' koordinatnim sistemom: = ξcosα ηsinα = ξsinα + ηcosα (3.3) T η ξ T α η T ηt cos α ξ T ηt sin α ξt sin α O α T ξt cos α SLIKA 4 Če so dane 'stare' koordinate pa dobimo 'nove' z razrešitvijo (3.3). Koordinato ξ dobimo tako, da prvo enačbo pomnožimo s cosα drugo s sinα ter ju seštejemo: cosα + sinα = ξ α = ξ α η α α cos cos sin cos α = ξ α + η α α sin sin sin cos 3
Na podoben način dobimo koordinato η. Prvo enačbo pomnožimo s cosα in ju seštejemo sinα drugo s sin = sin cos + sin α ξ α α η α cos sin cos sin sinα + cosα = η α = ξ α α + η α Pri rotaciji je torej zveza 'starih' koordinat z 'novimi' naslednja: ξ = cosα + sinα η = sinα + cosα (3.4) Translacija in rotacija. V splošnem je transformacija koordinat sestavljena iz paralelnega prenosa in rotacije. S kombinacijo in (3.3) dobimo = + ξcosα ηsinα = + ξsinα + ηcosα (3.5) Če hočemo izračunati obratno transformacijo razrešimo (3.5) po novih koordinatah. Tako dobimo ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ξ = α + sinα η = α + cosα (3.6) 3.3. Osnovne naloge Razdalja med točkama. Naj ima točka (, ) T koordinati (, ). Po Pitagorovem izreku je razdalja d enaka (slika 3) ( ) ( ), točka T pa koordinati d = + (3.7) 4
(, ) T d - T (, ) - O SLIKA 3 PRIMER Izračunaj razdaljo med točkama ( 6, ) in (, ) Rešitev. Razdalja je po (3.7) enaka. ( 6 ) (( ) ( ) ) 4 ( 9) + = + = = 6 + 8 = 97 9.85 Opomba. Če imamo točki, ki ležita na osi, ( ) in ( ) medsebojna oddaljenost, ( ) ( ) ( ) d = + = = Razdalja v ravnini torej vključuje razdaljo na premici kot poseben primer., potem je njuna Delitev daljice v danem razmerju. Med točki T(, ) in T(, ) želimo postaviti točko T(,, ) ki deli daljico TT v danm razmerju λ. Iz podobnih trikotnikov dobimo razmerji in = λ = λ Iz teh razmerij sledijo koordinate iskane točke + λ, + λ = = + λ + λ (3.8) 5
Za posebne primer λ = to je primer ko je daljica razpolovljena dobimo + + =, = (3.9) 3.4. Krivulja enačbe. Enačba krivulje. PRIMER F, =. Če ta izraz vzamemo kot enačbo potem ima neskončno mnogo rešitev. Za vsak podan lahko iz enačbe izračunamo pripadajočo vrednost. Množico točk, ki pri tem nastane imenujemo slika enačbe (?). Naj bo podana izraz oblike ( ) Po drugi strani pa imamo lahko dano geometrijsko definicijo krivulje iz katere izpeljemo pripadajočo enačbo. Osnovna ideja je torej v povezavi krivulje z enačbo. Enačba, ki popisuje nespremenljive povezave med koordinatami vsake točke krivulje se imenuje enačba krivulje; krivulja katere vse koordinate točk ustrezajo dani enačbi je (geometrijsko) mesto točk. Vsako izraz, ki povezuje spremenljivki in lahko jemljemo kot analitični opis krivulje F, =, je opis krivulje posreden (impliciten), če pa v ravnini. Če je izraz oblike ( ) je = f ( ) potem je opis neposreden (ekspliciten). Krivulja je torej množica točk v ravnini, katerih koordinate (, ) ustrezajo dani enačbi. Izraz A + B + C = je posredni opis premice, izraz = k+ n je neposreden opis premice. 3.5. Premica Za Evklidovo geometrijo je premica osnovni pojem. Skozi različni točki ravnine gre le ena premica. 6
(, ) T (, ) T T (, ) n T α (, ) k = tana O O SLIKA SLIKA Dani točki ravnine označimo z T in T. V izbranem koordinatnem sistemu naj bosta,,, poljubna točka T, ki leži na premici pa točki podani s koordinatama ( ) in ( ) s koordinatama (., ) Iz podobnih trikotnikov je ali = (3.) = + ( ) (3.) To je enačba premice skozi dve dani točki pri pogoju, da premica ni vertikala. To enačbo lahko zapišemo tudi v obliki = k+ n (3.) kjer sta k naklonski koeficient premice in n odsek premice na osi. k=, n= k Če se vrnemo, k enačbi (3.) in jo zapišemo v obliki ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = ali urejeno a+ b+ c= (3.3) 7
pri čemer je Če premica ne gre skozi koordinatno izhodišče je c. V tem primeru lahko enačbo delimo s c in dobimo odsekovno obliko enačbe premice + = (3.4) a b Za = dobimo = a, za = pa = b. Parameter a je torej odsek premice na osi, parameter b pa odsek premice na osi. b 3.6. Krožnica Definicija. Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od neke podane točke (središča krožnice). Oddaljenost točk na krožnici od središča imenujemo polmer krožnice. r T (, ) Enačba krožnice. Naj bo r polmer T, njeno krožnice, točka ( ) središče in T(, ) poljubna točka na njenem obodu (slika ). (, ) T SLIKA ( ) ( ) + = r (3.5) Če izvedemo računske operacije, ki so nakazane v gornjem izrazu dobimo D E F + + + + = pri čemer so D=, E =, F = + r PRIMER 8
Zapiši enačbo krožnice, ki ima središče v točki (, ) in polmer 3. Rešitev. V danem primeru je =, = in r = 3. Enačba krožnice je zato PRIMER ( ) ( ) + = 3 + + = 9 ( ) ( ) Določi središče krožnice in njen polmer, če je + 4 + 6 = Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnih kvadratov po in + + + 3 + 3 3 = = = + + 3 = + 4 + 9 = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 = 5 Primerjava dobljenega izraza z (3.5) nam pove, da je =, = 3 in r = 5 torej popisuje krožnico polmera 5, ki ima središče v točki (, 3).. Enačba Opomba. Videli smo, da se da vsaka enačba krožnice zapisati v obliki D E F + + + + = Vprašanje pa je, ali vsaka taka enačba opisuje koržnico. Da odgovorimo na to vprašanje jo preoblikujmo v obliko D D D E E E + + + + + + F = 4 4 4 4 = = D E D + E 4F + + + = 4 Glede na vrednost izraza na desni strani dobljene enačbe imamo tri možnosti: o D E F + 4 > - enačba popisuje krožnico polmera središče v točki ( D, E ) ; D + E F, ki ima 4 9
o o D + E 4F = - enačba ustreza ena sama točka ( D, E ) (radij kroga je ) D + E 4F < - množica točk, ki ustreza taki enačbi je prazna (zakaj?). 3.7. Elipsa Definicija. Elipsa je množica točk v ravnini, za katere je vsota oddaljenosti od dveh podanih točk (gorišč) stalna. r + r = a T (, ) r r (- e ) F, ( e ) F, Enačba elipse. Gorišča elipse postavimo v točki F ( e,) in (,) (, ) F e na osi. Naj bo T poljubna točka na elipsi, ki je od prvga gorišča oddaljena za r = FT od druge pa za r = FT. Po definiciji elipse mora veljati r+ r = a pri čemer je a neka konstanta, za katero velja ocena a > e (zakaj?). S pomočjo slike ugotovimo, da sta Enačba elipse je torej SLIKA ( ) in ( ) = + + = + r e r e ( ) ( ) + e + + e + = a
Da se znebimo korenov prenesemo drugi člen na levi strani enačbe na desno stran, enačbo kvadriramo in uredimo: ( ) ( ) + e + = a e + (kvadriramo) ( + e) + 4 4 ( ) ( ) = a a e + + e + + e + e = 4a 4a ( e) + + ( ) a e + = a e Dobljeni izraz ponovno kvadriramo in uredimo Na ta način dobimo a ( ) e + e a e + = a 4 ea + e 4 a e + ae + a = a ae+ e ( a e ) + a = a ( a e ) a (uredimo...) (uredimo in delimo s 4) b a e SLIKA Če označimo potem dobimo t.i. kanonično enačbo elipse b = a e (3.6) a + = (3.7) b
Geometrijski pomen parametrov a in b dobimo na naslednji način. V dobljeno enačbo elipse vstavimo = pa dobimo = ± a, če vstavimo = pa = ± b. Parametra a in b sta polosi elipse. Celotna elipsa leži znotraj pravokotnika, ki ga omejujeta a in b. Opomba. Če je v enačbi (3.7) a > b je a velika, b pa mala polos elipse. V primeru a< b popisuje enačba (3.7) elipso, ki je zasukana za kot 9 (dokaži!). Opomba. V primeru, ko je središče elipse premaknjeno v točko (, ) enačbi (3.7) zamenjati z in z. Na ta način dobimo Opomba 3. Brezdimenzijsko razmerje ( ) ( ) a moramo v + = (3.8) b se imenuje ekscentričnost elipse. Ker je e e a b ε = = (3.9) a a < a velja ocena ε < Ekscentričnost elipse določa njeno obliko ne pa njene velikosti (zakaj?). Če je ε = je elipsa krožnica. PRIMER Zapiši enačbo elipse za katero je a+ b= 8 in e = 4. Rešitev. Če hočemo zapisati enačbo elipse v obliki (3.7) rabimo a in b. Po definiciji (3.6) je e 4 6 ( )( ) e = a b = a + b a b a b = a+ b = 8 = 8 = Za določitev a in b imao sedaj na razpolago dve enačbi z dvema neznankama a+ b= 8 a b= Če enačbi seštejemo dobimo vrednost velike polosi a= a= 5
če odštejemo drugo od prve pa vrednost male polosi b= 6 b= 3 Če dobljene vrednosti vstavimo v (3.7) dobimo iskano enačba elipse + = 5 3 + = 5 9 PRIMER Določi polosi, središče, gorišča za elipso ( ) ( + 3) + = 5 6 Rešitev. Če dano enačbo primerjamo z enačbo (3.8) vidimo, da je =, = 3, a = 5 in b = 6. Polosi podane elipse sta torej 5 točki (, 3). Iz enačbe (3.6) izračunamo e a = in b = 3, njeno središče pa je v Ekscentričnost elipse je po (3.9) e a b = = = = ε = e 3.6 a = 5 = 5 6 9 3 Ker elipsa ni podana v središčni legi... ( + 3, 3) = ( 5, 3) in ( 3, 3) (, 3) =. 3.8. Hiperbola Definicija. Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere oddaljenosti od dveh danih točk (gorišč) stalna. 3
r - r = - a r - r = a r T (, ) r (- e ) F, ( e ) F, Enačba hiperbole. Naj bo sta gorišči hiperbole dani v točkah ( e,) in ( e,) in naj bo (, ) poljubna točka na hiperboli, ki je od prve točke oddaljena za r od druge pa za r. Za vsako točko na hiperboli velja r r =± a kjer je a neka pozitivna konstanta za katero velja a ( ) ( ) < e. Iz skice je + e + e + =± a Če nad dobljenim izrazom izvedemo enake računske operacije kot v primeru elipse dobimo Ker je a pa dobimo ali urejeno < e označimo ( a e ) + a = a ( a e ) b = e a b + a = ab 4
= a b (3.) Za = dobimo = ± a, za = pa = b. asimptota e b a SLIKA Asimptote. Iz slike se vidi da se veje hiperbole približujejo premicama. Kaj se dogaja s hiperbolo, ko se veča? Iz enačbe (3.) lahko v primeru, ko je > a izrazimo na naslednji način b b a a a Če izpostavimo lahko to zapišemo tudi kot = =± b =± a b a =± a Ko gre gre t.j. drugi člen pod korenom postaja vse manjši ko se veča 5
b ± a Hiperbola se torej v neskončnosti približuje premicama b = ±. a PRIMER Določi polosi, središče, gorišča in asimptote naslednje hiperbole 8 3 39 = Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnega kvadrata po spremenljivkah in 6 6 + 8 3 + 39 = = 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 = 6 = 8 6 6 8+ = 39 + 8 8 4 8 56 8 + 4 = = 8 8 8 + 4 = 6 8 = 8 = 4 8 Iz dobljene enačbe preberemo velikosti polosi hiperbole a = 8 in b =. Središče hiperbole pa je v točki (, 4 ). Asimptoti hiperbole imata naklon b 8 k =± =± =± =± a 8 8 4 in greta skozi točko središča hiperbole (, 4 ). Iščem torej enačbi premic oblike = k+ n pri čemer moramo n določiti tako, da gre premica skozi središčno točko. Za k = 4dobimo za k = 4pa ( ) = 4 4 ( ) = 4 4 + n n= + = 3 + n n= = 6
Enačbi asimptot sta torej = + 3, = 4 4 3.9. Parabola Definicija. Parabola je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od stalne točke (gorišča) in premice (vodnice). r T (, ) e e r r = r F ( e,) Enačba parabole. Naj bo G( e,) gorišče, premica = e vodnica in (, ) T poljubna točka na paraboli. Naj bo r oddaljenost točke T od vodnice in r oddaljenost T od gorišča. Po definiciji parabole je r = r. Ker pa je r = + e in po Pitagorovem izreku ( ) r = e + dobimo ( ) e + = + e Če dobljeni izraz kvadriramo in uredimo dobimo enačbo parabole v obliki = 4e (3.) 7
Točka presečišča parabole z osjo se imenuje teme parabole. V primer, ko je parabola podana z (3.) je njeno teme kar koordinatno izhodišče. Če hočemo dobiti parabolo, ki ima teme v poljubni točki (, ) moramo v enačbi (3.) zamenjati z in z. Na ta način dobimo Če koordinatne osi zasukamo za ( ) = 4e( ) 9 potem imamo = = 4e 4e Če teme parabole prestavimo v točko (, ) Če izvedemo nakazane operacije dobimo pri čemer so dobimo = ( ) + (3.) 4e = a + b+ c (3.3) PRIMER, in a= b= c= + 4e e 4e Vsaka krivulja drugega reda oblike (3.3) ponazarja parabolo. Zapiši enačbo parabole, ki ima teme v točki T (, ) in gre skozi točko ( 4,3) Rešitev. Iskana enačba parabole ima obliko ( ) 4e( ) je = in = torej ( + ) = 4e( ) Da določimo parameter e vstavimo v enačbo koordinate točke A ( ) ( ) Iskana enačba parabole je torej 3+ = 4e 4 8e= 6 e= A. =. Pri danih podatkih 8
( + ) = 8( ) PRIMER Določi parameter in koordinate temena za parabolo = + 8 5. Rešitev. Dano enačbo dopolnimo do popolnega kvadrata 4 4 = + 8 + 5= ( ) ( ) ( ) 4 = 4 = 4 = + + 5 = + 3= = + 3 = = = = Dobljeni izraz primerjamo s (3.) pa dobimo koordinate temena =, = 3 in 4e= e= = 4 8 3.. Polarne koordinate Med krožnico, elipso, hiperbolo in parabola obstaja tesna povezava. 9
NALOGE TOČKA, TRANSFORMACIJE KOORDINAT. Določi razdaljo med pari točk. Skiciraj. a) (,7),(,-4 ) b) (-,),( 3, 4) c) ( 5,- ),( 4,3) d) (, 5 ), ( 6, ). Določi koordinate oglišč pravilnega šeskotnika, ki ima stranico dolžine, če je njegovo središče v koordinatnem izhodišču in je ena izmed diagonal na osi. 3. Določi koordinate točk A (, ), B(, ) in ( 3, 4) je nastal s translacijo starega koordinatnega sistema v točko T (, 3). 4. Določi koordinate točk A(, 3), B( 4, ) in (, ) premaknjen v točko T in zasukan za kot α. PREMICA C v koordinatnem sistemu, ki C v koordinatnem sistemu, ki a) T (, ), α = 45 b) T (-,), α = 3 c) T ( 5,- ), α = 9 d) T (, ), α = 8. Določi naklon premic, ki potekajo skozi točki: a) (-,), (-,-4 ) b) ( 5, ),( 3, 4) c) ( 3,4 ),( 4, 3) d) ( 3, 5 ), (, ). V naslednjih nalogah skiciraj in določi enačbo premice (splošno, odsekovno in normalno), ki gre skozi točki. a) (5,7),(-,4) b) (, ),( 3, ) c) (-,4),( 3, 4 ) d) (, ), (, 3) 3. Določi naklon in presek z osjo (začetno vrednost) naslednjih premic. a) = 5+ 9 b) + 5 = c) 5 9 7 d) = 4 + + = ( ) 4. Katera od točk A(, ), B (,) in ( 3, 4) C leži na premici 3 + =?
5. V naslednjih nalogah nariši točko, skiciraj premico in izračunaj njuno medsebojno oddaljenost = ( ) b) + =, (,) a) 3,, 3 5 d) + + =,, + = ( ) ( ) c),, 6. Skiciraj naslednje pare premic in določi njihovo presečišče. a) 4+ 3 = 7 3 4+ = b) = 4 4 = c) + + = + = d) + 3 = 4 ( + ) = 3( ) + 7. Določi kote med naslenjimi pari premic. a) + 3 8= 9 3+ = b) = 5 = + c) + + = 5 = d) = + 3= 8. V naslednjih nalogah določi enačbi premic, ki gresta skozi podano točko in sta podani premici vzporedni in pravokotni = ( ) b) + =, (,) a) 3,, 3 5 d) + + =,, + = ( ) ( ) c),, KROŽNICA. V naslednjih nalogah določi enačbo kroga, ki ima središče v podani točki T in ima polmer r. Skiciraj krog. a) T(, ), r = 3 T( ) c) T(, 4 ), r = T( ) b),, r = 5 d),, r =. V naslednjih nalogah določi enačbo kroga, ki ima središče v podani točki T in poteka skozi točko A. Skiciraj krog.
a) T(, ), A(,) b) T(, ), A(, 5) c) T( 3, ), A(,5) d) T( 6, 7 ), A(,) 3. V naslednjih nalogah določi središče in polmer vsakega od krogov. ( ) + ( + ) = ( ) a) 3 4 c) + + 3 4 = e) + 8 4 = b) + 3 = 9 d) + + 8+ 4+ 3 = f) 3 + 3 6+ 36 8 = 4. Katera od točk A(,), B(, ) in (, ) C leži na krogu + = 5? 5. Določi presečišče kroga in premice. a) + + 5 = + = b) ( ) + = 4 + = c) + + = + + = d) ( ) ( ) + + = 9 = 3 ELIPSA. Katera od točk A (, ), B ( 6,), C ( 5,) in (,5) 9 5 5 + =?. Zapiši enačbo elipse v središčni legi. D leži na elipsi a) c) e) a = 6 b = 3 a+ b= 8 e = 4 a = ε = 34 b) d) d) a = 5 e = 3 a b= ε = e = ε = 5 3. Določi polosi, središče, gorišča in ekscentričnost elipse. a) 4 + 9 = 36 4 b) + =
( ) ( + 3) c) + = 5 6 d) 3 + 5 8+ 88 = HIPERBOLA. Zapiši enačbo hiperbole v središčni legi. a) c) a = 5 b = b = 3 e = b) d) a = 3 e = 4 a b= e = 3. Določi polosi, središče, gorišča in asimptote hiperbole. a) 5 4 = ( ) ( + ) c) = 9 4 b) 6 = 4 d) 8 3 39 = 3. Izračunaj presečiščne točke med paroma krivulj. a) 3 = 3 = b) = 6 + = 34 PARABOLA 4. Najdi enačbo parabole, ki ima teme v točki F in gre skozi točko T. a) F(, ), T (,) b) F(, ), T (, ) c) F(, ), T (, ) d) F( 3, ), A (,3) 5. Skiciraj naslednje parabole. Določi gorišče. a) = 4+ 7 c) = + 8 5 b) = + 4 d) = 3 + 6+ 6. Izračunaj presečiščne točke med pari krivulj. a) = 4 + + 3= b) = = 5+ 3
c) = + 4 + 5 = d) ( ) + = = + 4