6.6 Simetriči problem lastih vredosti Če je A = A T, potem so laste vredosti reale, matrika pa se da diagoalizirati. Schurova forma za simetričo matriko je diagoala matrika. Laste vredosti ozačimo tako, da velja λ 1 λ 2 λ. Laste vektorje x 1,..., x lahko izberemo tako, da tvorijo ortoormirao bazo.
Rayleighov kvociet Za x 0 i A = A T defiiramo Rayleighov kvociet Lastosti Rayleighovega kvocieta: ρ(a, x) = xt Ax x T x. a) Za α 0 je ρ(a, x) = ρ(a, αx). b) ρ(x i, A) = λ i. c) Za vsak x 0 velja λ 1 ρ(a, x) λ. d) Če si mislimo, da je x približek za lasti vektor, je ρ(a, x) ajboljša aproksimacija za lasto vredost v smislu, da je mi σ Ax σx 2 doseže pri σ = ρ(a, x).
Pomembi izreki za simetriči problem lastih vredosti Izrek 1. [Courat-Fischerjev miimaks izrek] λ i = mi S R dim(s)= i+1 max x S x 0 ρ(a, x) = max R R dim(r)=i mi x R x 0 ρ(a, x). Izrek 2. [Weylov izrek] Če sta A, E simetriči matriki i so λ 1 λ laste vredosti A, λ 1 λ pa laste vredosti A + E, potem za i = 1,..., velja λ i λ i E 2. Izrek 3. [Cauchyjev izrek o prepletaju] r r podmatrika matrike A, potem velja Če je A simetriča matrika i je A r vodila λ r+1 (A r+1 ) λ r (A r ) λ r (A r+1 ) λ 2 (A r+1 ) λ 1 (A r ) λ 1 (A r+1 ). Izrek 4. Če je A simetriča matrika, x 2 = 1 i β približek za lasto vredost, potem ima matrika A vsaj e lasti par (α, q), ki zadošča β α Ax βx 2.
6.7 QR metoda V primeru simetriče matrike je zgorja Hessebergova matrika tridiagoala. Za redukcijo a tridiagoalo obliko še vedo porabimo O( 3 ), potem pa e korak QR iteracije lahko izvedemo v O() amesto v O( 2 ) pri esimetričem problemu. Pri QR iteraciji torej ajprej poiščemo ortogoalo matriko Q, da je T = Q T AQ tridiagoala, potem pa delamo QR z eojim premikom. Naj bo 1 1 1 2 2 T k =.......... Kako izberemo premik: 2 σ k = : V tem primeru imamo za skoraj vse matrike zagotovljeo kubičo kovergeco, a vseeo obstajajo primeri, ko metoda e kovergira. Wilkisoov premik: Za σ k vzamemo tisto lasto vredost matrike [ a (k) ki je bližja. Sedaj imamo za vse matrike dokazao vsaj liearo kovergeco, v praksi pa imamo za skoraj vse matrike kubičo kovergeco (a brez dokaza). ],
Obdiagoale elemete postavimo a 0, kadar velja j ɛ( j + j+1 ). Ostale metode Za simetriče tridiagoale matrike imamo poleg QR še ekaj posebih metod: Uporaba iercije i Sylvestrovega izreka. Deli i vladaj. RRR (relative robust represetatio).
6.8 Jacobijeva metoda Ta metoda je uporaba le za simetriče matrike. Matriko A z možeji z Givesovimi rotacijami z leve i dese poskusimo spraviti čim bližje diagoali matriki. Tvorimo zaporedje ortogoalo podobih matrik A = A 0, A 1, A 2,..., kjer je A k+1 = R T pq A kr pq, Givesovo (Jacobijevo) rotacijo R pq določimo tako, da uičimo elemet a pq. Iz zveze [ ] [ ] [ ] [ ] c s app a pq c s âpp 0 = s c a pq a qq s c 0 â qq dobimo, da je c = cos(θ), s = si(θ), kjer je ctg(2θ) = a(k) pp a(k) qq 2 pq Pri vsakem možeju se spremeita p-ta i q-ta vrstica ter stolpec matrike,.
Kovergeca Jacobijeve metode Defiicija 1. off(a) 2 = a jk 2. j,k=1 j k Lema 1. Če A = R T pq AR pq dobimo iz A z Jacobijevo rotacijo R pq, potem je off(a ) 2 = off(a) 2 2a 2 pq. Z vsako Jacobijevo rotacijo se tako zmajša off(a). Kako uičujemo elemete: klasiča variata: vedo ajvečjega, ajhitrejša kovergeca, a veliko primerjaja; cikliča variata: v vedo eakem vrstem redu, lahko slabo; pragova variata: v daem vrstem redu, a uičimo le tiste elemete, ki so po absoluti vredosti čez eko mejo, ki jo zmajšamo v vsakem sprehodu. Iteriramo, dokler i off(a (k) ) pod eko mejo.