MEHANIKA I - sinopsis predavanj za študente matematike v letu 2017/ OSNOVE NEWTONOVE MEHANIKE Literatura Aganovič, Veselič, Uvod v anali

Transkripcija

1 MEHANIKA I - sinopsis predavanj za študente matematike v letu 017/ OSNOVE NEWTONOVE MEHANIKE Literatura Aganovič, Veselič, Uvod v analitičku mehaniku, Matematički odjel Prirodoslovnog-matematičkog fakulteta, Zagreb, Definicija Množica A je afini prostor nad vektorskim prostorom V, če obstaja operacija A V A, (A, a) A + a, tako da velja: a) (A + a) + b = A + ( a + b) b) za poljubni točki A, B A obstaja natanko določen a V, tako da velja B = A + a. Definicija Nad A A V je definirana operacija B A = a B = A + a. Trditev Velja a) A A = 0, b) (A B) + (B A) = 0, c) (A B) + (B C) + (C A) = 0, d) (A + a) B = (A B) + a. Zapis afine preslikave. Definicija Galilejeva struktura G je trojica (A, t, ρ), kjer je a) A štiri dimenzionalni afini prostor nad vektorskim prostorom V, b) t L(V, R), c) ρ evklidska razdalja na Ker t. Elementom prostora A pravimo dogodki. Če velja t(a B) = 0 pravimo, da sta dogodka A in B istočasna. Nad afinim prostorom istočasnih dogodkov je s c) definirana evklidska razdalja. Definicija Galilejevi strukturi G = (A, t, ρ) in G = (Ã, t, ρ) sta ekvivalentni, če obstaja bijekcija g : A Ã tako, da je g afina preslikava, ki ohranja časovnost dogodkov in razdaljo med istočasnimi dogodki. Preslikavi g pravimo Galilejeva transformacija. Naravna Galilejeva struktura na R E. Izrek Galilejeva transformacija (t, P ) (t, P ) med dvema naravnima Galilejevima strukturama na R E je oblike: t = t + t 0 P = ct + Q(P P 0 ) + P 0. Grupa Galilejevih transformacij. transformaciji. Vektor hitrosti, pospeška; transformacija vektorja hitrosti in pospeška pri Galilejevi transformaciji. Sistem materialnih točk. Princip determiniranosti Trajektorija P(t) sistema N materialnih točk je v danem koordinatnem sistemu natanko določena z začetnim položajem P 0 E N in začetno hitrostjo Ṗ0 R 3N. To pomeni, da obstaja funkcija interakcije f, tako da velja P = f(t, P, Ṗ). Princip relativnosti Obstaja tak Galilejev razred koordinatnih sistemov, da je funkcija interakcije invariantna za Galilejeve transformacije. Koordinatnim sistemom iz tega razreda pravimo inercialni koordinatni sistemi. 1

2 Literatura Aganovič, Veselič, Uvod v analitičku mehaniku, Matematički odjel Prirodoslovnog-matematičkog fakulteta, Zagreb, Posledice principa relativnosti f = f(p i P j, P k P l ), z besedami: a) homogenost časa; b) homogenost prostora; c) homogenost faznega prostora; d) izotropičnost. Primer N =. Primer N = 1; prvi Newtonov zakon: v razredu inercialnih koordinatnih sistemov se izolirana materialna točka giblje premočrtno s konstantno brzino. Princip sorazmernosti Naj bo P sistem materialnih točk P i. Za poljuben par točk P i, P j iz P, ki tvori zaprt sistem obstaja, ne glede na vrsto interakcije, pozitivna konstanta k ji tako, da velja P i = k ji Pj. Za števila k ij velja k ij k jk k ki = 1. Tretji Newtonov zakon. Lema Naj za števila k ij velja a) k ij > 0 b) k ji = 1/k ij c) k ij k jk k ki = 1. Potem obstajajo števila, m i > 0, tako da velja k ij = m i /m j. Pojem inercijske mase, pojem sile. Gravitacijski zakon, gravitacijska masa. Newtonov eksperiment, enakost inercijske in gravitacijske mase. Delo, kinetična energija. Izrek Delo, ki ga opravi sila na materialno točko pri gibanju vzdolž tira, je enako razliki kinetične energije Potencialna sila, konzervativna sila. Izrek(Izrek o energiji) Naj bo F konzervativna sila. Potem je vsota kinetične in potencialne energije konstanta gibanja. PREMOČRTNO GIBANJE Literatura Aganovič, Veselič, Uvod v analitičku mehaniku, Matematički odjel Prirodoslovnog-matematičkog fakulteta, Zagreb, Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 004, Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University Press, 1998, 6-9,18-. Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 5-9. Gibanje je premočrtno, če obstaja KS v katerem tir leži na premici. Neinvariantnost premočrtnega gibanja za Galilejeve transformacije. Trditev Gibanje je premočrtno obstaja pol O tako da je l(o, P ) = 0. Trditev Če je sila zvezna in odvisna samo od položaja, je konzervativna. Pišimo F = f i in naj bo f = f(x) zvezna funkcija. Potem je T + U = E integral gibanja in gibanje je integrabilno. Velja x t = t 0 + sgn ẋ x 0 dx. m (E U(x)) Kvalitativna analiza gibanja, točka obrata, periodično gibanje, neomejeno gibanje.

3 Perioda periodičnega gibanja T = b dx m. a E U(x) Ravnovesna lega, stabilna, nestabilna ravnovesna lega. Primer: izračun periode za U(x) = αx + βx, α > 0, β > 0; izračun integrala b Izokronično gibanje, harmonični oscilator. a du (b u)(u a) = π Literatura 15-. Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 004, Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University Press, 1998, 18-. Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 5-9. Harmonična aproksimacija T π m/u (x 0 ). Libracijsko gibanje, uvedba nove spremenljivke x = 1 (b + a) + 1 (b a) cos θ, pisava m (E U(x)) = (b x)(x a)ψ(x) θ = ψ(θ). Približen izračun periode ( m T π ) ψ(a) ψ(b) Fazna ravnina, fazni portret. Lema Za omejeno premočrtno gibanje velja da de = 1 mt. Tu je A ploščina pripadajočega lika v fazni ravnini, T pa perioda gibanja. Primer: harmonično gibanje. Premočrtno gibanje pod vplivom nekonzervativne sile. Primer: dušeno nihanje; disipacija mehanske energije. GIBANJE PO KRIVULJI Ločna dolžina, ukrivljenost. Tangencialni pospešek, normalni pospešek; a = s e t + κṡ e n. Newtonova enačba m a = F + S, sila vezi S. Gibanje po negladki krivulji. Gibanje po gladki krivulji Sila vezi, delo sile vezi, idealna vez( S e t = 0); redukcija na premočrtno gibanje. Primer: matematično nihalo Ocena nihajnega časa matematičnega nihala: l π g T 1 l π cos θ0 g. oziroma l θ0 T π. g sin θ 0 3

4 GIBANJE V POLJU CENTRALNE SILE Literatura Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 76-8, Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 004, Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University Press, 1998, Definicija Sila F je centralna, če obstaja točka O (center sile) tako, da velja F = F ( P O )(P O)/ P O. Izrek Konzervativna sila je centralna obstaja točka O tako, da je l(o, P ) je konstanten. Izrek Gibanje v polju centralnih sil je ravninsko. Tir leži v ravnini, ki gre skozi O in ima normalo v smeri l(o, P ). Kinematika gibanja v polarnem koordinatnem sistemu. Ploščinska hitrost, zveza l = l = mc 0, kjer je C 0 dvojna ploščinska hitrost. Izrek Gibanje v polju centralne sile ima dve konstanti gibanja, energijo in ploščinsko hitrost. Keplerjevi zakoni; zgodovinski oris, Tycho Brahe ( ), Johannes Kepler ( ), Isaac Newton ( ); Trditev Če je ploščinska hitrost konstantna, je obodni pospešek enak nič. Binetova formula ( d a r = C0u ) u dθ + u. Trdtev Če je tir elipsa, je radialni pospešek obratno sorazmeren kvadratu oddaljenosti do centra sil. Trditev Kvocient C0/p je konstanten za vse planete v osončju, Modificirana Newtonova dinamika F = mµ(a/a 0 ) a, µ(x) = 1zax >> 1, µ(x) = xzax << 1. Redukcija na premočrtno gibanje koordinate r, efektivni potencial U(r) = l mr + V (r). Določitev trajektorije s kvadraturami. Določitev tira θ = θ(r) l r dr θ = θ 0 + sgn ṙ m r E 0 U(r). Primer: gibanje v polju gravitacijske sile V (r) = γ r. Graf efektivnega potenciala. Tir gibanja v polju gravitacijske sile. r = r 0 p 1 + ɛ cos(θ θ 0 + π/), p = l mγ, ɛ = 1 + El mγ, kjer je θ 0 polarni kot do lokalnega minimuma efektivnega potenciala. Kvalitativna analiza gibanja v polju centralne sile, apsidni radij, pericenter, apocenter, apsidni kot θ. Trditev Tir je simetričen glede na apsidni radij. Trditev Tir se dotika apsidnih krožnic. Pogoj zaprtosti tira W = θ/π Q. Velja: če omejeni tir ni zaprt je gosta množica v kolobarju med apsidnima radijema. Bertrandov izrek: edina potenciala za katera je vsak omejen tir v okolici krožnega tira zaprt sta gravitacijski in Hookov. 4

5 RELATIVNO GIBANJE Literatura Aganovič, Veselič, Uvod v analitičku mehaniku, Matematički odjel Prirodoslovnog-matematičkog fakulteta, Zagreb, Definicija Soredje ϕ(t, P ) se giblje glede na soredje ϕ (t, P ), če obstaja trojica (P 0, P 0, Q), P 0 E, P 0 : R E, Q : R SO(3), tako da velja t = t in P = P 0(t) + Q(t)(P P 0 ). Pojma AKS(t, P ), RKS(t, P ). Translacijsko gibanje, rotacijsko gibanje. Trditev Rotacijski del gibanja je neodvisen od centra gibanja. Translatorna hitrost, rotacijska hitrost, relativna hitrost Absolutni, relativni koordinatni sistem; korespondenca med vektorji RKS in AKS. Trditev Q T Q je poševno simetrični tenzor. Trditev Naj bo W poševno simetrični tenzor iz R 3 v R 3. Potem obstaja vektor ω tako, da je W a = ω a za vsak a. Vektorju ω pravimo osni vektor tenzorja W. Trditev naj bo W poševno simetričen tenzor in ω pripadajoči osni vektor. Potem W ij = e ijk ω k. Trditev Naj bodo a, b, c tri med seboj linearno neodvisni vektorji in A Lin(R 3 ). Potem det A = (A a, A b, A c) ( a,. b, c) Trditev Naj bo A Lin(R 3 ) neizrojena. Potem (A a) (A b) = (det A) A T ( a b) = A ( a b). Posledica Naj bo Q SO(3). Potem Q( a b) = (Q a) (Q b). Definicija Osnemu vektorju ω tenzorja Q T Q pravimo rotacijski vektor. Vektor kotne hitrosti rotacije Q je ω = Q ω. Trditev Vektor kotne hitrosti rotacije Q = R( e, ϕ) za kot ϕ = ϕ(t) okrog stalne osi e je ω = ϕ e. Trditev Osni vektor poševno simetričnega tenzorja QQ T je vektor kotne hitrosti rotacije Q. Trditev Naj bo W 0 konstanten poševno simetričen tenzor in ϕ = ϕ(t). Rešitev diferencialne enačbe d dt A = ϕaw 0 v Lin(E 3, E 3 ), je rotacija A = e ϕw0. Posledica R( e, ϕ) = e ϕw0, kjer je W 0 poševno simetričen tenzor z osnim vektorjem e. Trditev Naj bo R( e, ϕ) rotacija okoli smeri e za kot ϕ; e = 1. Potem R( e, ϕ) r = cos ϕ r + e( e r)(1 cos ϕ) + ( e r) sin ϕ. Trditev cos ϕ = 1 (Sl Q 1). 5

6 Literatura Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 003, Trditev (Q u). = Q u + ω u. Absolutni, relativni koordinatni sistem; pisava ζ = P P 0, ζ = Q ζ, P = P 0 + Q ζ = P 0 + ζ. Korespondenca med RKS in AKS. Relativna hitrost v rel = ζ, v rel = Q v rel = ( ζ), povezava med absolutno in relativno hitrostjo v = v 0 + Q( ω ζ + v rel ) = v 0 + ω ζ + v rel. Relativni pospešek a rel = ζ = ζi e i, a rel = ζ i e i, povezava med absolutnim in relativnim pospeškom a = a 0 + Q( ω ( ω ζ) + ω ζ + ω v rel + a rel ) = a 0 + ω ( ω ζ ) + ω ζ + ω v rel + a rel. Sistemski, Coriolisov, centrifugalni pospešek. Newtonova enačba v absolutnem koordinatnem sistemu m a = F, v relativnem koordinatnem sistemu m a rel = F m a 0 m ω ( ω ζ) m ω ζ m ω v rel, kjer je F = Q T F in a 0 = Q T a 0. Inercijska sila, centrifugalna sila, inercijska sila rotacije, Coriolisova sila. Trditev Če je F potencialna sila, je tudi F potencialna. Primer: Foucaultovo nihalo Literatura Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 003, Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, SISTEM MATERIALNIH TOČK Masno središče P = O + 1 N m i=1 m i(p i O). Trditev Masno središče je neodvisno od izbire koordinatnega izhodišča O. Notranje sile, zunanje sile. Enačba gibanja masnega središča m P = F. Vrtilna količina L = L(O) = N i=1 l(o, P i ). Navor zunanjih sil N = N(O) = N i=1 (P i O) F i. Centralnost notranjih sil: F ji = F ji (P i, P j ) = F ji ( P i P j ) P i P j P i P j. Izrek o vrtilni količini: Če so notranje sile centralne, je odvod vrtilne količine okoli fiksnega pola enak navoru zunanjih sil okoli tega pola. Odvisnost vrtilne količine od pola : L(P 0 ) = L(O) + (O P 0 ) mp. Pisava: P i = P 0 + ζ i Vrtilna količina relativnega gibanja okoli P 0 : L = L(P0 ) = i ζ i m i ζi. Trditev d dtl(p 0 ) = N(P 0 ) mp 0 P. Trditev d dtl = N(P 0 ) (P P 0 ) m P 0. Posebna primera : P 0 = P, P0 = 0 d dtl = N(P 0 ). Odvisnost kinetične energije od izbire centra gibanja. 6

7 Koenigov izrek T = T rel + 1 m P. Potencial notrajnih sil Pi P j U ji (P i, P j ) = F ji (r) dr, U = U ji. r 0 i<j Energijski princip d dt (T + U) = N i=1 F i P i. Zaprti sistem. Zakon o ohranitvi gibalne količine, vrtilne količine. Primer: problem dveh teles Literatura Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 003, 73-79, TOGO TELO Definicija Gibanje t P (t) točk sistema {P} je togo, če za poljubni točki P 1, P {P} velja P 1 (t) P (t) = konst. Opis togega gibanja: rotacija + translacija. Izrek Izometrija je afina preslikava. Opis togega gibanja kot relativno gibanje: telesni KS = položaj v t = 0, prostorski položaj = trenutni položaj. Prostorski KS(PKS), telesni KS(TKS). Pisava P = P (t), P = P (t = 0). Posplošitev sistema materialnih točk na kontinuum mnogo točk, pojem togega telesa, masa. Izrek Za masno središče telesa B velja dp dt = P in d P dt = P. Aksiomi gibanja togega telesa: dinamične enačbe togega telesa so: i) enačba gibanja masnega središča: m P = F ; ii) izrek o vrtilni količini: d L (O) dt = N (O); iii) N (O ) = N (P 0) + (P 0 O ) F. Vrtilna količina relativnega gibanja v absolutnem koordinatnem sistemu L. Prostorski vztrajnostni tenzor J. Tenzorski produkt: tenzorski produkt dveh vektorjev a in b je linearna preslikava a b definirana z r ( a b) r = ( b r) a. Trditev Velja a) (A) a b = (A a) b; b) ( a b)a = a (A T b); c) ( a b) T = b a. Trditev Naj bo { e i, i = 1,..., n} ortonomirana baza vektorskega prostora V. Potem je { e i e j, i, j = 1,..., n} baza L(V, V). Telesni vztrajnostni tenzor, zveza J = QJQ T. Velja L = J ω. Vztrajnostni moment J e = e J e okoli osi e, deviacijski momenti D. Trditev Tenzor J je nenegativen. Če telo ni tanka palica, je pozitivno definiten. Izrek (Steiner) J(P 0 ) = J(P ) + m P 0 P I m(p 0 P ) (P 0 P ). Primer: ravninsko gibanje. 7

8 Literatura Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 003, 0-6. Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 003, Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University Press, 1998, Komponentni zapis vztrajnostnega tenzorja. Diagonalizacija vztrajnostnega tenzorja, glavne osi, glavni momenti. Trditev Prehod na novo bazo; e i = α ij e j = J ij = α ikα jl J kl. Primer: vztrajnostni tenzor valja. Trditev Normala na ravnino zrcalne simetrije skozi P 0 je glavna smer vztrajnostnega tenzorja J(P 0 ). Trditev Če ima telo dve ravnini zrcalne simetrije skozi P 0, je presek ravnin simetrij glavna smer vztrajnostnega tenzorja J(P 0 ). Kinetična energija togega telesa T = 1 m v + 1 ω J(P ) ω. Sistem sil; točkovne sile, volumenske sile. Ekvipolentnost sistema sil. Trditev Homogena sila je ekvipolentna svoji rezultanti s prijemališčem v masnem središču. Primer: sila teže. Eulerjeva dinamična enačba J ω + ω J ω = N. dt Izrek o delu: dt = v F + ω N (P ). Trditev (Izrek o energiji) Če je sistem sil na togo telo konzervativen, je vsota kinetične in potencialne energije konstanta gibanja. Komponentni zapis Eulerjeve dinamične enačbe. a) v lastnem koordinatnem sistemu vztrajnostnega tenzorja; b) v koordinatnem sistemu s koordinatno osjo v smeri stalne osi rotacije. N 1 = J 13 ϕ J 3 ϕ N = J 3 ϕ + J 13 ϕ N 3 = J 33 ϕ Literatura Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, Definicija Telo B 1 se kotali po telesu B, če se njuni hitrosti sovpadata v dotikališču. Primer: a) kotaljenje valja po strmini; b) kotaljenje z drsenjem. Prosta vrtavka Posebni primer: enakomerna rotacija okrog glavnih osi. Binetov elipsoid, presek Binetovega elipsoida s sfero; gibanje vektorja vrtilne količine po Binietovem elipsoidu. Stabilnost enakomerne rotacije. Osnosimetrična prosta vrtavka: analitična obravnava; precesija vektorja kotne hitrosti okoli osi simetrije. Eulerjevi koti ϕ - precesija, θ - nutacija, ψ - kot lastne rotacije. Eulerjeva rotacija R = R( k, i, k, ψ, θ, ϕ) := R( k, ψ)r( i 1, θ)r( k, ϕ); i 1 = R( k, ϕ) i, k = R( i 1, θ) k. Lema R(R( e, ϕ) f, θ)r( e, ϕ) = R( e, ϕ)r( f, θ). 8

9 Definicija Za dane osi f k in kote ϕ k, k = 1,,..., n pišemo f (0) k = f k in f (l) k k = l + 1,..., n. Definiramo kompozitum rotacij okrog zarotiranih osi R( f n,..., f 1, ϕ n,..., ϕ 1 ) = R( f (n 1) n, ϕ n )... R( f (1), ϕ )R( f 1, ϕ 1 ). = R( f (l 1) l, ϕ l ) f (l 1) k za Izrek R( f n,..., f 1, ϕ n,..., ϕ 1 ) = R( f 1, ϕ 1 )... R( f n 1, ϕ n 1 )R( f n, ϕ n ). Primer: Eulerjeva rotacija R( k, i, k, ψ, θ, ϕ) = R( k, ψ)r( i 1, θ)r( k, ϕ) = R( k, ϕ)r( i, θ)r( k, ψ). Izrek Vsako rotacijo Q, z izjemo rotacije okrog osi k, moremo enolično zapisati kot Eulerjevo rotacijo R( k, i, k; ψ, θ, ϕ), ϕ [0, π), θ (0, π), ψ [0, π) Literatura Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, Izrek Vektor kotne hitrosti rotacije R( f n,..., f 1, ϕ n,..., ϕ 1 ) je ω = k ϕ kf (k 1) k. Z besedami, vektor kotne hitrosti sestavljene rotacije je vsota kotnih hitrosti okoli zarotiranih osi rotacij. Primer: vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije v prostorskih baznih vektorjih ( i, j, k) je ω = ( ψ sin θ sin ϕ + θ cos ϕ) i + ( θ sin ϕ ψ sin θ cos ϕ) j + ( ψ cos θ + ϕ) k. Osni vektor rotacije Q je nasprotno enak vektorju kotne hitrost rotacije Q T, Izrek R( k, i, k; ψ, θ, ϕ) T = R( k, i, k; ϕ, θ, ψ). Trditev Osni vektor Eulerjeve rotacije zapisan v bazi ( ɛ 1, ɛ, ɛ 3 ) = ( i, j, k) je ω = ( ϕ sin θ sin ψ + θ cos ψ) ɛ 1 + ( ϕ sin θ cos ψ θ sin ψ) ɛ + ( ϕ cos θ + ψ) ɛ 3. Posledica Vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije zapisan v bazi ( ɛ 1, ɛ, ɛ 3) je ω = ( ϕ sin θ sin ψ + θ cos ψ) ɛ 1 + ( ϕ sin θ cos ψ θ sin ψ) ɛ + ( ϕ cos θ + ψ) ɛ 3. Trditev Ne obstaja parameterizacija y SO(3) tako, da je ω = ẏ. Simetrična(Lagrangeeva) vrtavka Integrali gibanja : komponenta vrtilne količine okoli navpičnice, komponenta vrtilne količine v telesnem koordinatnem sistemu okoli osi simetrije in vsota kinetične in potencialne energije. Analitični zapis konstant gibanja 1 J 1 J 3 ( ϕ cos θ + ψ ) = J 1 a, ϕ ( J 1 sin θ + J 3 cos θ ) + J 3 ψ cos θ = J 1 b, ( θ + ϕ sin θ) + 1 J 3(ω 3 ) + mgl cos θ = E. Redukcija gibanja na premočrtno gibanje kota nutacije. u = (1 u )(α βu) (b au), α = E J 1, β = mgl J 1. Kvalitativni opis gibanja v odvisnosti od konstant gibanja. 9

10 Literatura Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 19-5 Goldstein, H., Classical Mechanics, nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980 Klasična naloga vrtavke; ϕ(t = 0) = 0, θ(t = 0) = 0, u 0 = b a, α = βu 0. Hitra vrtavka a β = J 1 3 J 3ω3 >> 1. J 1 mgl Razpon nutacije je β sin θ 0 a. Frekvenca nutacije je a. Kotna hitrost precesije, psevdo regularna precesija. Regularna precesija, obstoj dveh režimov, hitri, počasni. Kratek uvod v Lagrangeevo mehaniko. Lagrangeeva funkcija L = L(t, q, q) = T V. Lagrangeeve enačbe d L dt q L q = 0. Primer: prosta materialna točka. Pojem ciklične spremenljivke, kanonično konjungiranega momenta p = L/ q. Izrek Kanonično konjungiran moment ciklične spremenljivke je konstanta gibanja. Jacobijeva energijska funkcija J = p q L. Primer: simetrična vrtavka po Lagrangeeu. Hamiltonova funkcija, kanonski sistem q = H p ṗ = H q. 10