UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2013

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA LUŽNIK PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FIZIKA IN MATEMATIKA POLONA LUŽNIK Mentor: dr. MARKO RAZPET, izr. prof. PETKOTNIŠKA ŠTEVILA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 013

Povzetek V diplomskem delu je podrobneje obravnavana tema petkotniških števil. Najprej je nekaj besed namenjenih figurativnim številom in matematikom, ki so o njih pisali prvi. Delo obsega splošne lastnosti petkotniških števil, načine, kako lahko petkotniška števila dobimo s pomočjo računanja in štetja pik pri grafični ponazoritvi ter kako lahko preverimo, ali je neko dano naravno število petkotniško ali ni. Ključne besede: figurativna števila, petkotniška števila, grafična ponazoritev petkotniških števil, lastnosti petkotniških števil. Abstract My graduate thesis contains a detailed examination of pentagonal nubers. In the beginning, I concentrate on figurate numbers and the mathematicians, who were the first to describe them. The work includes the basic characteristis of pentagonal numbers, how we can obtain them through calculating and counting of dots in graphic illustrtions and how we are able to check if a certain prime number is a pentagonal number or not. Keywords: figurate numbers, pentagonal numbers, graphical illustration of pentagonal numbers, characteristics of pentagonal numbers

Zahvala Za strokovno pomoč, usmerjanje in nasvete pri izdelavi diplomskega dela se iskreno zahvaljujem mentorju dr. Marku Razpetu. Posebno zahvalo izrekam vsem domačim, še posebej staršem, ki so mi omogočili študij, me pri njem spodbujali in razumeli. Prav tako se zahvaljujem Matjažu za vse spodbudne besede in razumevanje skozi vsa leta študija.

Kazalo 1 Uvod 1 Figurativna števila 3 Kratka zgodovina figurativnih števil 3 3.1 Matematiki, pri katerih je med prvimi moč najti pojem figurativnih števil........................... 4 4 Petkotniška števila 9 4.1 Grafična ponazoritev petkotniškega števila........... 9 4. Kako do petkotniškega števila.................. 1 4..1 Štetje pik......................... 1 4.. Računanje......................... 13 4.3 Lastnosti petkotniških števil................... 13 4.4 Kako preveriti, ali je dano število petkotniško......... 15 5 Aritmetično zaporedje in figurativna števila 16 5.1 Izbrane povezave med figurativnimi števili........... 19 5.1.1 Zgleda........................... 19 5.1. Povezave.......................... 0 6 Zaključek 4

Slike 1 Ponazoritev prvih treh kvadratnih števil: 1, 4, 9........ 3 Število deset, ponazorjeno s trikotnikom............ 3 3 Število dvanajst, ponazorjeno petkotniško........... 4 4 Ponazoritev prvih treh trikotniških števil: 1, 3, 6........ 5 5 Ponazoritev gnomonov pri kvadratnih številih......... 5 6 Ponazoritev petkotniškega števila 1 in gnomonov....... 6 7 Diofant............................... 7 8 Pierre de Fermat......................... 8 9 Ponazoritev prvega petkotniškega števila: P 1 = 1....... 9 10 Ponazoritev drugega petkotniškega števila: P = 5....... 10 11 Ponazoritev tretjega petkotniškega števila: P 3 = 1...... 10 1 Ponazoritev četrtega petkotniškega števila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika............. 11 13 Ponazoritev osnovnega k-kotniškega figurativnega števila... 11 14 Ponazoritev petkotniškega števila, do katerega lahko pridemo s štetjem pik............................ 13 15 Vzorca pik............................. 4

1 Uvod Danes o figurativnih številih ne slišimo skoraj ničesar, kot da bi nanje pozabili. V preteklosti pa so se ljudje, predvsem matematiki, kar dosti ukvarjali z njimi, največ pa s trikotniškimi števili. Figurativna števila so odkrili že antični Grki, potem pa so se matematiki ukvarjali z njimi ter iskali razne zakonitosti in povezave med njimi. Sama o figurativnih številih med svojim izobraževanjem nisem slišala prav dosti. Moram priznati, da niti nisem vedela, kaj figurativna ali mnogokotniška števila sploh so, dokler si nisem ravno te teme izbrala za diplomsko delo. V osnovnošolskem in srednješolskem programu se figurativna števila sploh ne omenjajo, saj jih niti ni v učnem načrtu in tako se ni čuditi, da marsikdo niti ne ve, da tako poimenovana števila obstajajo. Ker pa so me števila vedno zanimala in zelo rada iščem povezave med njimi, sem se tudi odločila za takšno temo diplomskega dela, ki je najbližje številom. Menim, da je tema zelo zanimiva za tiste, ki se radi ukvarjajo s števili na kakršenkoli način, zato bo branje tega diplomskega dela zanje zanimivo. 1

Figurativna števila Figurativno ali mnogokotniško število je v matematiki število, ki ga lahko predstavimo s številom točk, razporejenih v dogovorjeno mnogokotniško geometrijsko strukturo. Podobno kot poznamo več vrst mnogokotnikov oziroma večkotnikov (trikotniki, štirikotniki, petkotniki,..., k-kotniki), poznamo več vrst mnogokotniških števil. Med mnogokotniška ali figurativna števila štejemo trikotniška, kvadratna, petkotniška, šestkotniška,..., k-kotniška figurativna števila. Lahko bi rekli, da figurativna števila predstavljajo usklajenost med števili in geometrijsko obliko. Splošno k-kotniško število označimo z M n (k) in ga imenujemo tudi n-to figurativno število reda k. Pri tem vzamemo, da sta k in n celi števili, pri čemer je k 3 ter n 0. Za posamezna k-kotniška števila vpeljemo posebne oznake, kjer izpuščamo k, saj nam že sama oznaka pove, za katera figurativna števila gre. V spodnji tabeli so zapisane oznake prvih štirih k-kotniških števil. k M n (k) figurativno število oznaka 3 M n (3) trikotniško T n 4 M n (4) kvadratno Q n 5 M n (5) petkotniško P n 6 M n (6) šestkotniško H n Oznaka T izhaja iz prve črke grške besede za trikotnik. Oznaka Q izhaja iz prve črke latinske besede za kvadrat. Oznaka P izhaja iz prve črke besede za petkotnik. Oznaka H izhaja iz prvega izgovorjenega glasu grške besede za šestkotnik. Do osnovnih k-kotniških figurativnih števil M (k) pridemo tako, da preštejemo oglišča (pravilnega) k-kotnika. Figurativna števila, ki niso osnovna, torej n-ta figurativna števila, kjer je n vsaj tri, lahko dobimo na več načinov. Podrobneje bom te načine opisala na primeru petkotniških števil v poglavju o petkotniških številih. Zaradi udobne obravnave vzamemo M (k) 0 = 0 in M (k) 1 = 1. Na sliki 1 je na sredini grafično ponazorjeno osnovno kvadratno število, pred njim prvo kvadratno število in za njim tretje kvadratno število.

Slika 1: Ponazoritev prvih treh kvadratnih števil: 1, 4, 9 Poraja se nam vprašanje, koliko pik potrebujemo, da lahko ponazorimo n- to k-kotniško figurativno število. Na to vprašanje bom odgovorila v poglavju o grafični ponazoritvi petkotniških števil. 3 Kratka zgodovina figurativnih števil Že antični matematiki so ugotovili, da lahko število enakih reči (kamenčki, semena,... ) razvrstimo na posebne načine. Tako so ugotovili, da lahko 10 reči razvrstimo v trikotnik, kot je razvidno iz slike. Slika : Število deset, ponazorjeno s trikotnikom Števila dvanajst pa ne moremo predstaviti trikotniško, lahko pa ga predstavimo petkotniško, kot je prikazano na sliki 3. Največja zasluga pri odkrivanju figurativnih števil gre prav gotovo grškim matematikom, saj so se poleg teorije razmerij, mehanike in astronomije veliko ukvarjali z geometrijo in lastnostmi števil. Ravno tu pa so prvi zametki figurativnih števil. Precej pomembna značilnost pitagorejske šole je bila prikazovanje stvarnosti s števili. Svet so poimenovali oz. opisali s stavkom Število je vse. Trdili so, da se vsaka stvar da izmeriti ali prešteti in menili, da bi naj bilo 3

Slika 3: Število dvanajst, ponazorjeno petkotniško število osnova za fizični obstoj stvari. Stvarnost in števila so povezali na več načinov, med drugim so vpeljali figurativna števila (trikotniška, kvadratna, petkotniška... ). Ker pa figurativna števila predstavljajo vez med aritmetiko in geometrijo, so bili pitagorejci nad njimi še posebej navdušeni. Seveda pa so liki obstajali veliko prej kot figurativna ali mnogokotniška števila, saj se nekateri pojavljajo že na neolitskih lončarskih izdelkih. Pitagorejci so že poznali nekaj lastnosti pravilnih mnogokotnikov. [9, 11] 3.1 Matematiki, pri katerih je med prvimi moč najti pojem figurativnih števil V tem poglavju bom na kratko omenila matematike, pri katerih se je med prvimi pojavljal pojem figurativnih števil in vse ostalo, kar je z njimi povezano. Pitagora Veljal naj bi za enega prvih, ki se je ukvarjal s trikotniškimi števili. Prvi je odkril, da je vsota n zaporednih naravnih števil enaka n-temu trikotniškemu številu T n. Matematično zapisano je torej T n = 1 + + 3 +... + n = 1 n(n + 1). Teon iz Smirne Uporabljal je termin gnomon v tesni povezanosti s figurativnimi števili. Gnomon je del, ki ga moramo dodati figurativnemu številu, da ga pretvorimo 4

Slika 4: Ponazoritev prvih treh trikotniških števil: 1, 3, 6 v naslednje, večje figurativno število. Povedano drugače, število, ki ga dodamo nekemu k-kotniškemu številu, da dobimo naslednje k-kotniško število, je Teon poimenoval gnomon. Za lažje razumevanje si poglejmo naslednja primera. Kvadratna števila in gnomoni: Za pretvorbo iz kvadrata velikosti n v kvadrat velikosti n + 1 dodamo prvemu zgoraj in desno še toliko pik (gnomon), da dobimo nov kvadrat. Prvo kvadratno število je število 1. Ponazorimo ga s piko in mu dodamo 3 pike (gnomon), da dobimo naslednje kvadratno število, ki je število 4. Temu zopet dodamo gnomon, število 5, da dobimo tretje kvadratno število, število 9. In tako nadaljujemo (glej sliko 5). Dobimo zaporedje lihih števil, ki smo jih po vrsti dodajali kvadratnim številom. To zaporedje števil je 3, 5, 7,..., (n+1). Slika 5: Ponazoritev gnomonov pri kvadratnih številih [14] Gnomoni petkotniških števil: Število 1 je prvo petkotniško število. Temu številu moramo dodati 4, da dobimo število 5, ki je naslednje, osnovno petkotniško število. Če postopek nadaljujemo, moramo temu številu dodati 7, da dobimo naslednje, tretje 5

petkotniško število, število 1. Tako dobimo zaporedje gnomonskih števil: 4, 7, 10,... Slika 6 prikazuje petkotniško število P 3 gnomonski števili, število 4 in število 7. = 1, kjer sta razvidni obe Slika 6: Ponazoritev petkotniškega števila 1 in gnomonov Nikomah Obravnaval je mnogokotniška in piramidna števila. To je vplivalo na srednjeveško matematiko, še posebej z izročilom Boetija, ki je njegovo delo, imenovano Aritmetika, prevedel v latinščino. Nikomah je prvi pisal o nezadostnih in obilnih številih ter navedel do takrat štiri znana popolna števila. V zapisih je moč najti, da je že poznal trikotniška, kvadratna, petkotniška in druga figurativna števila. Hipsiklej Starogrški matematik in astronom, ki je proučeval čase vzhoda in zahoda ozvezdij živalskega kroga. Ker ni imel orodij sferne geometrije, je te probleme reševal s približki ter pri tem uporabljal figurativna števila. Njegovo definicijo figurativnih števil je potem navedel Diofant v delu Aritmetika. Definicijo danes zapišemo takole: M (k) n = n((k )(n 1) + ). 6

Diofant Slika 7: Diofant [1] Grški matematik. Med drugim je napisal razpravo O mnogokotniških številih, kjer je pisal o mnogokotniških številih. Nam so najbolj poznane diofantske enačbe, do katerih nas pripelje raziskovanje figurativnih števil. Jakob Bernoulli Bil je švicarski matematik in fizik, ki je sešteval tako imenovane figurativne vrste: a A + b B +... Pri tem so A, B, C,... členi geometrijskega zaporedja, a, b, c,... pa so figurativna števila. Fermat Francoski pravnik, matematik in fizik. Spodaj je zapisana njegova znana trditev o figurativnih številih. Trditev: Za izrazitev naravnega števila z vsoto k-kotniških števil potrebujemo kvečjemu k teh števil. 7

Slika 8: Pierre de Fermat [13] Zgled: števil. Število 013 je mogoče zapisati kot vsoto petih ali manj petkotniških Kot vsoto petih petkotniških števil se da število 013 zapisati na naslednji način: 013 = 1001 + 1001 + 5 + 5 + 1. Izrazitev pa ni zmeraj enolična, tako včasih zadostuje že manj kot pet sumandov. Tako lahko kot vsoto štirih petkotniških števil zapišemo število 013 na naslednji način: 013 = 196 + 70 + 1 + 5. Da ta trditev velja za trikotniška števila, je leta 1796 dokazal Gauss. Pozneje pa sta dokazala Jacobi in Lagrange, da trditev velja tudi za kvadratna števila. Da pa trditev velja v celoti, je leta 1813 dokazal Cauchy. (Fermatovega dokaza te trditve namreč niso nikoli našli.) Fermatovo trditev je dopolnil Legendre: Trditev: Naj bosta m in N naravni števili ter m = k 3 in N 8m 3. Tedaj velja: Če je m liho število, je N vsota štirih k-kotniških števil. Če je m sodo število, je N vsota največ petih k-kotniških števil. Če je m liho število in N 8m 3, lahko N zmeraj izrazimo z vsoto štirih k-kotniških števil. Seveda pa je mogoče N izraziti kot vsoto, ki vsebuje manj kot štiri k-kotniška števila. [, 1, 3, 8, 7] 8

4 Petkotniška števila Petkotniško število (peterokotniško ali pentagonalno število) je figurativno število. Poljubno petkotniško število za dani nenegativni celi indeks n dobimo s formulo: P n = n(3n 1). (1) Vsako petkotniško število določa število točk, ki so po nekem pravilu razporejene v obliki petkotnika. Petkotniška števila lahko zapišemo tudi kot zaporedje naravnih števil: [6] P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,...). 4.1 Grafična ponazoritev petkotniškega števila Petkotniška števila grafično prikažemo kot točke v mreži, potrebni za oglišča petkotnika ustreznega nivoja. Dogovor je, da petkotnik prvega nivoja definiramo kot eno točko. Število P 0 = 0 ustreza prazni množici. Prvo petkotniško število je, kot že vemo, ena. Grafično ga ponazorimo s piko: Slika 9: Ponazoritev prvega petkotniškega števila: P 1 = 1 Do drugega petkotniškega števila pridemo tako, da narišemo štiri poltrake iz prve točke, ki predstavlja prvo petkotniško število. Dobljeno število bo število na drugem nivoju. Pri tem pazimo, da se krajna dva poltraka sekata pod kotom, ki je manjši od 180. (Za ponazoritev števil M n (k) rišemo k 1 poltrakov.) Na vsakem poltraku narišemo po eno točko, ki je na poljubni razdalji od prve točke. Na naslednji sliki so dodatne pike, pike drugega nivoja (gnomona), prikazane z modro barvo: 9

Slika 10: Ponazoritev drugega petkotniškega števila: P = 5 Da dobimo tretje petkotniško število, na vsakem poltraku narišemo po eno piko, pri čemer je druga pika ravno na polovici med prvo in tretjo piko. Dodamo še po eno piko na razpolovišču daljice med dvema sosednjima, zadnjima točkama na sosednjih poltrakih. Spet so dodatne pike, pike tretjega nivoja, na sliki 11 prikazane z modro barvo: Slika 11: Ponazoritev tretjega petkotniškega števila: P 3 = 1 Tako nadaljujemo z dodajanjem pik in pridemo do n-tega petkotniškega števila, ki ga želimo grafično ponazoriti. Če poltrake in pike lepo razporedimo, dobimo pravilni petkotnik, kot je razvidno na sliki 1. Če pri grafičnem ponazarjanju petkotniških števil sproti zapisujemo števila, ki jih dobimo, pridemo do zaporedja petkotniških števil, ki smo ga že zapisali: P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,...). Sedaj pa odgovorimo še na vprašanje, koliko naravnih števil potrebujemo, da lahko sestavimo n-to k-kotniško figurativno število. Kot lahko vidimo na sliki 13, v osnovnem (drugem) trikotniškem številu nastopata števili prvega in drugega nivoja. Torej število ena in število dva, vsota je število tri, ki je tretje naravno število. 10

Slika 1: Ponazoritev četrtega petkotniškega števila, kjer so pike razporejene v obliki pravilnega petkotnika Slika 13: Ponazoritev osnovnega k-kotniškega figurativnega števila V osnovnem (drugem) kvadratnem številu nastopata prav tako števili prvega in drugega nivoja, katerih vsota je ravno število štiri, ki je četrto naravno število. V osnovnem (drugem) petkotniškem številu pa, kot smo že videli, nastopata števili ena in štiri, katerih vsota je število pet, ki je peto naravno število. Zato lahko sklepamo, da v osnovnem (drugem) k-kotniškem številu nastopa ravno k-to naravno število (vsota števil na prvem in drugem nivoju). V figurativnih številih od vključno osnovnega naprej nastopajo torej vsa naravna števila, ki jih ima že njihov predhodnik, in vsa števila, ki jih dobimo z novimi točkami pri povečevanju nivojev. V n-tem figurativnem številu nastopajo naravna števila, ki jih ima že predhodnik n 1, in še vsa števila, ki jih pridobimo z novimi točkami, ki smo jih dodali na račun povečanja nivoja. Novih točk, ki jih dodamo n-temu k-kotniškemu številu, je (k )n + 1. Torej ima k-kotniško število v svoji strukturi vseh naravnih števil skupaj 11

ravno ali [1] k + ((k ) + 1) + ((k )3 + 1) + + ((k )n + 1) ( ) n(n + 1) k + (k ) 1 + (n 1). 4. Kako do petkotniškega števila Do poljubnega petkotniškega števila lahko pridemo na več načinov. Ker lahko petkotniško število grafično ponazorimo, lahko torej preštejemo pike in pridemo do petkotniškega števila, ki je grafično ponazorjeno. Za petkotniška števila velja tudi formula (1), ki smo jo zapisali pri opredelitvi petkotniških števil. Torej lahko pridemo do petkotniškega števila tudi z računanjem. Seveda pa je dobro izbrati najprimernejšo pot. Štetje pik je lahko zelo zamudno, še posebej, če imamo opravka z n-tim figurativnim številom, kjer je n veliko naravno število in je tudi red k veliko naravno število. 4..1 Štetje pik Na sliki 14 je ponazorjeno petkotniško število, do katerega bomo prišli s štetjem pik. Ker je na sliki oblika petkotnika 1, že takoj vidimo, da je grafično ponazorjeno petkotniško število. Katero petkotniško število je ponazorjeno, pa ugotovimo tako, da preštejemo pike na eni od stranic petkotnika. Na eni stranici petkotnika, ki je na sliki 14, so štiri pike (n = 4), kar pomeni, da nam ta figura oziroma ta petkotnik ponazarja četrto petkotniško število. Da pa pridemo do četrtega petkotniškega števila, preštejemo vse pike na sliki 14. Hitro ugotovimo, da je pik, torej je četrto petkotniško število enako, torej P 4 =. 1 Lahko si pomagamo tudi s številom poltrakov (jih dorišemo), saj smo rekli, da jih v splošnem rišemo k 1, ali pa preštejemo oglišča lika, da dobimo število k. 1

Slika 14: Ponazoritev petkotniškega števila, do katerega lahko pridemo s štetjem pik 4.. Računanje Kako priti do n-tega petkotniškega števila z računanjem, nam pove formula (1). Če nas zanima, katero je petinštirideseto petkotniško število, vstavimo n = 45 v formulo n(3n 1) P n = in dobimo iskano petkotniško število 45(3 45 1) P 45 = = 3015. Torej je petinštirideseto petkotniško število enako 3015. Seveda je to število veliko in če bi tudi imeli grafično upodobitev tega števila, bi bilo nekoliko nerodno in nesmiselno šteti pike. Na zgoraj opisana načina lahko pridemo do kateregakoli petkotniškega števila in v splošnem do kateregakoli k-kotniškega števila. Seveda pa je od števil n in k odvisno, katero pot bomo izbrali, saj je za posamezno število, ki ga iščemo, dobro izbrati najkrajšo oz. najlažjo pot. 4.3 Lastnosti petkotniških števil 1. Trditev: Za petkotniška števila P n veljata rekurzivna zveza in splošna formula P n = P n 1 + 3n, n 1, () 13

P n = n(3n 1), n 0. (3) Dokaz: S pomočjo matematične indukcije pokažemo, da formula (3) res velja za vsako naravno število n. Najprej dokažemo za n = 0. Vstavimo n = 0 v enačbo (3): torej P 1 = 1, kar tudi že vemo. P 0 = 0, Sedaj izvedemo indukcijski korak. Prevzamemo veljavnost enačbe (3) in upoštevamo rekurzivno formulo: n n + 1: P n+1 = P n+1 1 +3(n+1) = P n +3n+1 = n(3n 1) +3n+1 = = n(3n 1) + (3n + 1) = 3n + 5n +. Dobimo ravno formulo za petkotniško število nivoja n + 1: P n+1 = (n+1)(3(n+1) 1) = 3n +5n+.. Vsako petkotniško število je tretjina nekega trikotniškega števila, natančneje: P n = 1 3 T 3n 1. Da bi dokazali zgornjo enakost, je dovolj dokazati, da velja enakost 3P n = T 3n 1. Formulo za petkotniška števila poznamo, trikotniška števila pa dobimo s pomočjo formule T m = m(m+1). Zato je T 3n 1 = (3n 1)(3n 1 + 1) n(3n 1) = 3 = 3P n. 14

3. Vsota n-tega kvadratnega števila in (n 1)-ega trikotniškega števila je n-to petkotniško število: P n = Q n + T n 1, n 1. Dokaz: Ker poznamo formuli za (n 1)-vo trikotniško in n-to kvadratno število, velja: Q n + T n 1 = n + 1 (n 1)n = = n + n n = 3n n n(3n 1) = = P n. Zgled: P 5 = Q 5 + T 4 = 5 + 10 = 35. = 4. Vsota recipročnih vrednosti petkotniških števil je konvergentna, in sicer velja 1 1 + 1 5 + 1 1 + 1 + 1 35 +... = 3 ln 3 π 3. Dokaz te lastnosti izpuščam. [10] 4.4 Kako preveriti, ali je dano število petkotniško Vemo, da je petkotniško število podano s formulo (1). V večini primerov za neko pozitivno naravno število N ne moremo kar na pamet reči, ali je petkotniško ali ne. Najlažja pot za ugotovitev, ali je neko dano naravno število N petkotniško ali ne, je ta, da rešimo preprosto kvadratno enačbo, ki jo dobimo, ko preoblikujemo enačbo N = n(3n 1). To je preprosto narediti za naravna števila N, ki so majhna. Za lažje odkrivanje, ali je neko število petkotniško, pa si pomagamo, kot je opisano spodaj. To lastnost navajam zgolj kot zanimivost. Izpeljava te enakosti zahteva poznavanje potenčnih vrst in operacij z njimi. 15

Formulo za petkotniška števila preoblikujemo in tako dobimo kvadratno enačbo 3n n N = 0. Ta kvadratna enačba nam da rešitvi: n 1, = 1 ± 1 + 4N. 6 Rešitev, v kateri je pred znakom korena minus, ne pride v poštev, ker nam da negativen rezultat. Da bo N petkotniško število, mora biti število 1+4N popolni kvadrat, denimo M, in število M + 1 deljivo s 6. 5 Aritmetično zaporedje in figurativna števila Raziskovanje figurativnih številih nas pripelje tudi do aritmetičnega zaporedja. Najprej bomo to pojasnili na trikotniških, nato pa na kvadratnih in na koncu še na petkotniških številih. S pomočjo ugotovljenih lastnosti bomo povedali še, kako je v splošnem. Aritmetično zaporedje zapišemo kot zaporedje A(a 0, d) = (a 0, a 0 + d, a 0 + d, a 0 + 3d,... ). Pri tem je a 0 začetni člen, d pa diferenca (razlika) danega aritmetičnega zaporedja. 1. Trikotniška števila dobimo za dano naravno število n s pomočjo formule: n(n + 1) T n =. Podobno kot za petkotniška števila (pri poglavju o petkotniških številih) zapišemo zaporedje trikotniških števil, vključno s številom nivoja nič (0-tim trikotniškim številom): T = (T n ) n=0 = (0, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 8, 36, 45, 55, 66, 78,... ). 16

Dobimo ari- Sedaj pa gledamo razlike sosednjih členov zaporedja. tmetično zaporedje z razliko 1: A(1, 1) = (1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,... ). Če sedaj zapišemo razlike zaporedja A(1, 1), spet dobimo aritmetično zaporedje A(1, 0) = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... ), kjer je razlika 0. Zaporedje, kjer so členi med seboj enaki, imenujemo konstantno zaporedje.. Kvadratno figurativno število za dano naravno število n dobimo s pomočjo formule: K n = n. Če zapišemo kvadratna števila v zaporedje, dodamo: Q = (Q n ) n=0 = (0, 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, 100,... ). Podobno kot pri zgornjem zaporedju T zapišemo razliko sosednjih členov zaporedja. Tako dobimo aritmetično zaporedje z razliko : A(1, ) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... ). Če sedaj pogledamo razliko med sosednjimi členi zaporedja B, dobimo spet konstantno zaporedje: A(, 0) = (,,,,,,...). 3. Podobno kot za trikotniška in kvadratna števila zapišemo še zaporedje petkotniških števil: P = (P n ) n=0 = (0, 1, 5, 1,, 35, 51, 70, 9, 117, 145, 176,... ). Če pogledamo razliko sosednjih členov v zaporedju, dobimo ravno aritmetično zaporedje z razliko 3: A(1, 3) = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,, 5, 8, 31,... ). 17

Če nadalje gledamo spet razliko med sosednjimi členi tega zaporedja, dobimo: A(3, 0) = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,... ). Če povzamemo, je pri trikotniških številih razlika prvega aritmetičnega zaporedja, ki ga dobimo, 1, pri kvadratnih in pri petkotniških 3. Razlika je torej ravno k, prvi člen zaporedja A(1, k ) pa je 1. V splošnem torej lahko figurativna števila predstavimo z aritmetičnim zaporedjem, kjer je prvi člen enak 1 in razlika k, pri tem pa mora biti k naravno število in k : 1 + (1 + (k )) +... + (1 + (n 1)(k )). Vsoto prvih n členov tega zaporedja označimo z M (k) n : M (k) n = 1 + (1 + (k )) +... + (1 + (n 1)(k )). (4) M (k) n imenujemo n-to mnogokotniško število reda k (k-kotniško število). Splošna formula za vsoto s n aritmetičnega zaporedja s splošno formulo a n = a 1 + (n 1)d (od vključno prvega do n-tega) je s n = n(a 1 + a n ). (5) Tako s pomočjo formule (5) dobimo n-ti člen zaporedja k-kotniških števil: M (k) n = = n(1 + 1 + (n 1)(k )) n( + (n 1)(k ) = = 18

= Rezultat preoblikujemo v obliko: n + n(n 1)(k ). M (k) n = n + n(n 1)(k ). (6) 5.1 Izbrane povezave med figurativnimi števili Za vse spodaj naštete povezave predpostavimo, da so m, n in k naravna števila ter k 3. 5.1.1 Zgleda 1. Pri fiksnem k 3 veljajo enakosti: M (k) 1 = 1, M (k) = k, M (k) 3 = 3k 3, M (k) 4 = 6k 8,... (7) Po (6) so to vrednosti spodnjega polinoma za n = 1,, 3, 4,... n = k n k 4 n. M (k). Pri fiksnem n pa velja: * M (3) n = T n = n(n+1) Ta formula predstavlja ravno vsoto prvih n naravnih števil: 1 + + 3 +... + n = n(n+1). * M (4) n = Q n = n Formula za kvadratna števila predstavlja vsoto prvih n členov zaporedja lihih števil: 1 + 3 + 5 +... + (n 1) = n. 19

* M n (5) = P n = 3n n Formula za petkotniška števila predstavlja vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja A(1, 3): 1+4+7+ +(3n ) = 3n n. * M (6) n = H n = n n Formula za šestkotniška števila predstavlja vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja A(1, 4): 1+5+9+ +(4n 3) = n n. 5.1. Povezave 1. M (k) m+n = M m (k) + M n (k) + mn(k ) Dokaz: S pomočjo formule za vsoto členov zaporedja mnogokotniških števil izračunamo levo in desno stran povezave: L: M (k) (m + n)(m + n 1)(k ) m+n = m + n + = (m(m + n 1) + n(m + n 1))(k ) = m + n + = = m + n + (m(m + n 1 + n) + (n n))(k ) = (m(m 1 + n) + n(n 1))(k ) = m + n +. D: M (k) m + M (k) n + mn(k ) = m(m 1)(k ) n(n 1)(k ) = m + + n + + mn(k ) = (m(m 1) + n(n 1) + mn)(k ) = m + n + = (m(m 1 + n) + n(n 1))(k ) = m + n +. 0

Vidimo torej, da velja enakost L = D.. M n (k) + M (3) n 1 = M n (k+1) Dokaz je analogen zgornjemu, zato ga izpuščamo. 3. M (k) n = M (3) n + (k 3)M (3) n 1 Dokaz je analogen zgornjemu, zato ga izpuščamo. 4. M n (k) +M (k) n +...+M mn (k) = M n (k) M m (3) +n (k )(M (3) 1 +M (3) +...+M m 1) (3) (8) Dokaz: Za dokaz te povezave moramo najprej dokazati enakost M (3) 1 + M (3) +... + M (3) m 1 = 1 (m 1)m(m + 1), (9) 6 ki jo upoštevamo pri nadaljnjem dokazovanju (8). To enakost dokažemo s pomočjo popolne matematične indukcije: m = 3: M (3) 1 + M (3) = 1 (3 1)3(3 + 1). 6 Iz enakosti, ki smo jih zapisali pod (7), razberemo vrednosti za M (3) 1 in M (3), tako pridemo do iskane enakosti. 1 + 3 = 1 6 3 4, 4 = 4. Torej ta enakost velja za m = 3. Sedaj naredimo še indukcijski korak: 1

m m + 1: M (3) 1 + M (3) + + M (3) (m+1) 1 = M (3) 1 + M (3) + + M (3) m 1 + M (3) m = = 1 6 (m 1)m(m + 1) + 1 m(m + 1) = 1 m(m + 1)(m + ). 6 S tem smo dokazali, da velja enakost (9) za vsako naravno število m. Sedaj pa se lotimo dokaza za 4. Posebej izračunamo oziroma poenostavimo levo stran enačbe in posebej desno stran enačbe ter rezultata primerjamo. L: M (k) n + M (k) n +... + M (k) mn = n(n 1)(k ) = n+ +n+ = n+n+ +mn+ n = n (1 + + + m) + }{{} 1++ +m= m(m+1) = n(1++ +m)+ = mn(m + 1) + n(n 1)(k ) mn(mn 1)(k ) + +mn+ ) ( (n 1)(k )+(n 1)(k )+ +m(mn 1)(k ) ( ) n(k ) (n 1)+(n 1)+ +m(mn 1) = ( n(k ) (1 + + + m) }{{} 1++ +m= m(m+1) ( n(k ) m(m + 1) + n (n + 1)(n + 1) 6 = = ) +n (1 + + + m ) }{{} 1 + + +m = m(m+1)(m+1) 6 ) = mn(m + 1) mn(k )(m + 1) = + n m(m + 1)(m + 1)(k ) = 4 1 ( mn(m + 1) = 1 k ) n(m + 1)(k ) +. 6 =

D: M (k) n M (3) m + n (k )(M (3) 1 + M (3) +... + M (3) m 1) = = ( n+ )( n(n 1)(k ) m+ ) m(m 1) +n (k ) 1 (m 1)m(m + 1) = } 6 {{} (9) n( + (n 1)(k )) = m( + (m 1)) +n (k ) 1 6 (m 1)m(m+1) = = n m(m + 1) ( + (n 1)(k )) + n (k ) 1 (m 1)m(m + 1) = 6 ( ) mn(m + 1) + (n 1)(k ) n(k )(m 1) = + = 3 ( ) mn(m + 1) (n 1)(k ) n(k )(m 1) = 1 + + = 3 ( ( )) mn(m + 1) (k ) n 3 + nm = 1 + = 3 ( ( )) mn(m + 1) (k ) n(1 + m) = 1 + 1 + = 3 = mn(m + 1) ( (k ) 1 + n(m + 1)(k ) 6 ). Tako smo dokazali, da sta leva in desna stran enačbe enaki, torej povezava 4. velja. [] 3

6 Zaključek Med prebiranjem in študiranjem literature sem ugotovila, da se s figurativnimi števili vendarle srečamo že zgodaj. Figurativna števila in njihovo raziskovanje so uporabna tudi v mojem bodočem poklicu. Figurativna števila je moč najti v osnovnošolskem izobraževanju, vendar tam ne govorimo o figurativnih številih, ampak o vzorcih iz pik. Vzorci so v učnem načrtu vse od začetka osnovnošolskega programa, vendar je težavnost prilagojena določeni stopnji. Vzorce najdemo predvsem na področju razvedrilne matematike. Vzorci iz pik so primeri grafične ponazoritve figurativnih števil. Na sliki 15 vidimo vzorce iz pik, ki grafično ponazarjajo različna k-kotniška števila. V prvi vrsti so po vrsti iz leve proti desni grafično ponazorjena: prvo trikotniško število, drugo trikotniško število, tretje trikotniško število in četrto trikotniško število. V drugi vrsti število pik ponazarja kvadratna števila. Iz leve proti desni so grafično ponazorjena: prvo kvadratno število, tretje kvadratno število, peto kvadratno število in sedmo kvadratno število. [5] Slika 15: Vzorca pik 4

Literatura [1] D. Bezek, Figurativna števila, Presek, letnik 5, številka 3, stran 159 [] J. Grasselli, Enciklopedija števil, DMFA- založništvo, Ljubljana 008 [3] T. Heath, A history of Greek Mathematics vol. 1, Oxford 191 [4] T. Heath, A history of Greek Mathematics vol., Oxford 191 [5] A. Orton in ostali, Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics, London: Cassell 1999 [6] http://en.wikipedia.org/wiki/pentagonal_number (1. marca 013) [7] http://www.fmf.uni-lj.si/~hladnik/zgodmat/zgodmat.pdf (. maja 013) [8] http://sl.wikipedia.org/wiki/hipsiklej (1. marca 013) [9] http://sl.wikipedia.org/wiki/mnogokotni%c5%a1ko_%c5%a1tevilo (1. marca 013) [10] http://www.hadknow.com/academics/ pentagonal-numbers-calculator.html (1. marca 013) [11] http://ales.ledina.si/projekti/timkoii/matematika/ pitagora.htm (7. februarja 013) [1] https://www.google.si/search?hl=sl&site=imghp&tbm=isch&source =hp&biw=180&bih=675&q=diofant&oq=diofant&gs_l=img. 3..0i19l.1456.44.0.4398.7.6.0.1.1.0.134.643.1j5.6.0...0.0... 1ac.1.5.img.Df6cT_DT0c8#imgrc=IAWJkH05nARJqM%3A% 3BuOawEZMo9uNsPM%3Bhttp%53A%5F%5F www.mathos.unios.hr%5f~mpavlov1%5fslike%5fdiofant.jpg %3Bhttp%53A%5F%5Fwww.mathos.unios.hr%5F~mpavlov1%5F moj_jquery.html%3b319%3b368 (1. marca 013) [13] wiki:http://sl.wikipedia.org/wiki/pierre_de_fermat (1. marca 013) 5

[14] http://jwilson.coe.uga.edu/emat6680fa06/kitchings/ CK6690/Figurate%0Numbers.html (30. junija 013) 6