Računalniške tehnologije - skripta predavanj Poletni semester 03/04 Rok Žitko Institut Jožef Stefan, Jamova 39, SI-000 Ljubljana, Slovenija Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, Jadranska 9, SI-000 Ljubljana, Slovenija rok.zitko@ijs.si 9. maj 04 Namen predmeta je študentom računalništva in informatike predstaviti fizikalne in tehnološke temelje delovanja in izdelave računalnikov, osnove fizike trdne snovi in kvantne mehanike. Nivo obravnave osnovnih pojavov in zakonitosti je sicer visok in dokaj podroben, vendar brez strogih dokazov in dolgih izpeljav. Vseeno brez določenih novih matematičnih pojmov ne gre, predvsem pri obravnavi kvantne teorije. Želja je kljub temu, da ostane poudarek na fizikalnih pojavih in njihovi interpretaciji, manj pa na formalizmu. Seveda pa je matematika jezik fizike in v obliki formul lahko nekatere ideje najbolj jedrnato izrazimo. Študijskega materiala v skripti je veliko. Namen ni toliko, da bi si študentje in študentke zapomnili vsako podrobnost, temveč da bi dobili občutek, katera fizikalna pravila igrajo pomembno vlogo in na čem temelji sodobna računalniška tehnologija. Najpomembnejše ideje bodo zato označene s klicajem v robu strani, kot tukaj desno, in se bodo ponovile na več mestih. Pomembni pojmi so zapisani v nagnjeni! pisavi, ko se pojavijo prvič. Razdelki, ki so matematično in konceptualno bolj zahtevni, so označeni z zvezdico v naslovu. Tako so označeni razdelki, kjer so razne podrobne izpeljave, ki so sicer koristne zaradi razumevanja, pomemben pa je predvsem končni rezultat. Kazalo Nihanje in valovanje 6. Nihanje............................................ 6.. Eulerjeva enačba in polarni zapis.......................... 8.. O merjenju in merilnikih............................... 9. Sklopljeni nihali in problem lastnih vrednosti....................... 9.3 Valovanje............................................4 Izpeljava valovne enačbe...................................5 Ravni val........................................... 3.6 Struna............................................. 4.7 Načelo superpozicije in interferenca............................. 5.8 Utripanje in valovni paket................................... 7.9 Youngov poskus........................................ 7.0 Koherenca.......................................... 9 Delci, svetloba, sevanje in interakcije 0. Snov in sevanje: zgodovinski pregled............................ 0. Polje..............................................
.3 Dualnost.............................................4 Standardni model in osnovni delci...............................4. Fermioni....................................... 3.4. Bozoni........................................ 3.4.3 Spin.......................................... 3.4.4 Temna snov...................................... 4.5 Svetloba............................................ 4.5. Sevanje črnega telesa................................. 4.5. Foton......................................... 5.5.3 Comptonovo sipanje................................. 8 3 Osnovni pojmi kvantne mehanike 9 3. Sodobne fizikalne teorije................................... 9 3. Opis sistemov v klasični in v kvantni mehaniki....................... 9 3.3 Hilbertov prostor....................................... 30 3.4 Bra-ket (Diracov) zapis.................................... 3 3.5 Dvonivojski sistemi...................................... 3 3.6 Spin.............................................. 3 3.7 Stern-Gerlachov eksperiment................................ 33 3.8 Verjetnostna interpretacija.................................. 34 3.9 Meritve, operatorji, lastna stanja............................... 35 3.9. Meritve v klasični in v kvantni mehaniki....................... 35 3.9. Opazljivke in operatorji............................... 35 3.9.3 Paulijeve matrike................................... 36 3.9.4 Hermitska konjugacija................................ 36 3.9.5 Lastna stanja, lastne vrednosti............................ 37 3.0 Bornovo pravilo........................................ 37 3. Kubit............................................. 39 3. Kolaps valovne funkcije................................... 40 3.3 Izrek o prepovedi kloniranja................................. 4 3.4 Lastnosti kvantne informacije................................. 4 4 Kvantno računanje 4 4. Klasični računalniki...................................... 4 4. Kvantni računalniki...................................... 4 4.3 Tenzorski produkt...................................... 4 4.4 Sistem več kubitov...................................... 44 4.4. Meritve v večkubitnih sistemih........................... 44 4.5 Bellova stanja in kvantna prepletenost............................ 45 4.6 Unitarnost in časovni potek.................................. 46 4.7 Kvantna vrata......................................... 47 4.7. Enobitna kvantna vrata................................ 47 4.7. Kvantna vezja..................................... 48 4.7.3 Večkubitna kvantna vrata............................... 49 4.7.4 Kopiranje....................................... 49 4.7.5 Swap......................................... 50 4.8 Supergosto kodiranje.................................... 50 4.9 Kvantna teleportacija..................................... 5
5 Dinamika kvantnih delcev 53 5. Schrödingerjeva enačba in stacionarna stanja......................... 53 5. Dinamika dvonivojskega sistema: spin v magnetnem polju................. 54 5.. Larmorjeva precesija................................ 55 5.3 De Brogliejeva zveza..................................... 56 5.4 Valovna funkcija....................................... 57 5.4. Hilbertov prostor valovnih funkcij.......................... 58 5.4. Operatorji za valovne funkcije............................ 58 5.5 Prosti delec in ravni val.................................... 59 5.5. Operator gibalne količine............................... 60 5.5. Tok delcev...................................... 60 5.6 Delec v potencialu...................................... 6 5.7 Ohranitev naboja....................................... 6 5.8 Kvadratna potencialna jama.................................. 6 5.8. Neskončno globoka kvadratna potencialna jama................... 6 5.8. Končna kvadratna potencialna jama......................... 64 5.9 Parabolična potencialna jama (kvantni harmonični oscilator)................ 66 5.0 Vezana stanja......................................... 67 5. Gibanje elektronov skozi prepreke v eni dimenziji...................... 68 5.. Potencialni skok................................... 68 5.. Tunelski pojav.................................... 70 6 Kvantna nedoločenost 7 6. Meritve in napake....................................... 7 6. Interferenca in uklon pri valovnih pojavih.......................... 73 6.3 Verjetnostna gostota elektronov in kvantna nedoločenost.................. 73 6.4 Heisenbergova neenačba................................... 74 6.5 Računanje nedoločenosti................................... 75 6.6 Hkrati dobro določene količine, združljivost, komplementarnost.............. 77 6.7 Bellova neenačba in njena kršitev v kvantni mehaniki.................... 78 7 Elektronska mikroskopija 8 7. Vrstični elektronski mikroskop (SEM)............................ 8 7.. Tvorba slike pri SEM................................. 8 7. Transmisijski elektronski mikroskop (TEM)......................... 8 7.3 Vrstični tunelski mikroskop (STM).............................. 83 7.4 Mikroskop na atomsko silo (AFM).............................. 84 8 Elektroni v snovi 85 8. Bohrov model atoma..................................... 85 8. Atomske orbitale v atomu vodika.............................. 87 8.3 Atomi in periodni sistem................................... 89 8.4 Kemijske vezi......................................... 9 8.4. Ionska vez...................................... 9 8.4. Kovalentna vez.................................... 9 8.4.3 Teorija gostotnih funkcionalov............................ 94 8.5 Kristali............................................ 94 8.5. Matematični opis kristala: Bravaisova mreža, baza, recipročna mreža, Brillouinova cona....................................... 94 8.5. Sipanje rentgenske svetlobe na kristalih....................... 96 8.5.3 Gojenje kristalov................................... 97 8.6 Teorija elektronskih pasov.................................. 97 8.6. Preiskovanje energijskih pasov............................ 98 3
9 Kovine, polprevodniki in izolatorji 99 9. Model prostih elektronov................................... 99 9.. Fermijeva krogla, Fermijeva energija........................ 99 9.. Gostota stanj.................................... 00 9..3 Fermi-Diracova porazdelitev............................ 0 9. Gibanje elektrona v polju................................... 0 9.3 Transportni pojavi, susceptibilnost.............................. 03 9.3. Prevajanje električnega toka: Ohmov zakon, Drudejeva teorija, difuzijski transport 04 9.3. Balistični transport.................................. 05 9.4 Polprevodniki......................................... 06 9.5 Intrinzični polprevodniki................................... 07 9.5. Vrzeli......................................... 08 9.5. Temperaturna odvisnost gostote nosilcev naboja.................. 08 9.5.3 Gibljivost in prevodnost............................... 09 9.6 Dopirani polprevodniki.................................... 0 9.6. Polprevodnik n... 0 9.6. Polprevodnik p... 9.6.3 Magnetni polprevodniki............................... 9.7 Izolatorji............................................ 9.7. Topološki izolatorji.................................. 3 0 Lastnosti in uporaba polprevodnikov 5 0. Hallov pojav.......................................... 5 0. Fotoprevodnost........................................ 6 0.3 Dioda in usmerniški elementi................................. 6 0.4 Fotodioda........................................... 9 0.5 Tranzistor na poljski pojav (FET)............................... 0 0.6 Tehnologija CMOS...................................... Heterostrukture, optični elementi in nanonaprave 3. Heterostrukture........................................ 3. Heterospoj p-n........................................ 4.3 Kvantna jama in dvodimenzionalni elektronski plin..................... 5.3. Gostota stanj v dvodimenzionalnih sistemih.................... 6.3. Kvantni Hallov pojav................................. 6.4 Grafen............................................. 7.5 Kvantna žica......................................... 8.5. Gostota stanj v enodimenzionalnih sistemih.................... 8.6 Ogljikove nanocevke..................................... 9.7 Kvantna pika......................................... 30.8 LED dioda........................................... 30.9 Polprevodniški laser...................................... 30 Nanoelektronika 33. Tuneliranje elektronov, Landauerjeva enačba......................... 33.. Izpeljava Landauerje enačbe............................ 33. Kvantni točkovni stik..................................... 35.3 Kvantna pika kot enoelektronski tranzistor.......................... 36.3. Resonančno tuneliranje in Coulombska blokada.................. 37.3. Sklopljene kvantne pike............................... 38.4 Molekularna elektronika................................... 39 4
3 Magnetizem 40 3. Magnetno polje, magnetizacija................................ 40 3. Feromagnetizem....................................... 40 3.3 Magnetna anizotropija.................................... 4 3.4 Spintronika.......................................... 4 3.5 Magnetoupornost....................................... 4 3.6 Spinski ventil in tunelska magnetoupornost......................... 43 3.7 Spinski tranzistor....................................... 43 4 Hranjenje podatkov 45 4. Magnetni pomnilniki: trdi diski in magnetni trakovi..................... 45 4.. Superparamagnetna meja............................... 45 4.. Magnetne plošče................................... 45 4..3 Bralno/pisalna glava................................. 46 4..4 Trajnost zapisa na trdih diskih............................ 47 4..5 Magnetni trakovi................................... 47 4. Flash pomnilniki....................................... 47 4.3 Optični pomnilniki...................................... 48 4.4 MRAM............................................ 49 4.5 Prihajajoče tehnologije.................................... 50 5 Implementacije kvantnih računalnikov 5 5. Dekoherenca......................................... 5 5. Kvantna korekcija napak................................... 5 5.3 Ujeti ioni........................................... 53 5.3. Elektromagnetna past................................. 53 5.3. Lasersko hlajenje................................... 54 5.3.3 Kvantna stanja ionov in kubiti............................ 54 5.3.4 Kvantne operacije.................................. 55 5.3.5 Odčitavanje...................................... 55 5.4 Magnetna resonanca..................................... 55 5.5 SQUID............................................ 56 5.5. Superprevodnost................................... 57 5.5. Josephsonov pojav.................................. 57 5.5.3 SQUID in kubit na osnovi fluksa........................... 58 5.6 Kvantne pike......................................... 59 5.7 Drugi predlogi......................................... 59 5
Nihanje in valovanje. Nihanje Ponavljajoče se (periodične) pojave imenujemo tudi nihanje ali osciliranje. Mehanska nihala so, denimo, matematično nihalo (točkasta masa na lahki vrvici), fizično nihalo (togo telo, prosto gibljivo okoli osi skozi telo) in vzmetno nihalo (masa na vijačni vzmeti), glej sliko. Tudi kroženje je periodičen pojav. Preprost oscilator v elektroniki je vezje LC, torej električni tokokrog, sestavljen iz tuljave in kondenzatorja. φ φ m matematično fizično vzmetno nihajni krog Slika : Nihala v klasični mehaniki Obravnavani sistem v fiziki opišemo tako, da podamo njegovo stanje (položaji in hitrosti delcev, električna napetost in tok v vezju, pritisk plina, ipd.). Stanje je popolen opis sistema, torej vsebuje zadosti! podatkov, da lahko vsaj načeloma izračunamo obnašanje sistema v prihodnosti. Gibanje vzmetnega nihala lahko opišemo z odmikom mase od ravnovesne lege, x(t). Popolen opis trenutnega stanja ob času t =0je položaj x(0) in hitrost v(0), pri čemer je hitrost odvod položaja po času, v =dx/dt. S pomočjo Newtonovega zakona gibanja, F = ma = m dv dt = md x dt, () lahko iz poznane sile F tedaj izračunamo časovni potek x(t), saj je Newtonov zakon diferencialna enačba drugega reda, za katero potrebujemo ravno dva začetna pogaja, položaj in hitrost. Če je nihanje periodično, velja x(t) =x(t + T ), glej sliko, saj se po času T gibanje identično ponovi. Čas T imenujemo perioda ali nihajni čas, merimo ga v enotah s (sekunda). Frekvenco (število ponovitev na enoto časa) = () T merimo v enotah Hz (hertz). Nihalo, ki je prepuščeno samo sebi (torej ga ne vzbujamo od zunaj), niha z lastno nihajno frekvenco. Če pa nihalo vzbujamo, bo nihalo s frekvenco vzbujanja..5 perioda, T.0 0.5 4 6 8 0 0.5.0.5 Slika : Časovni potek periodičnega nihanja 6
Zelo pomembna so harmonična nihala, ki nihajo kot x(t) =x 0 sin(!t + ). (3) x 0 je amplituda nihanja, izraz!t +, ki nastopa kot argument funkcije sinus, imenujemo faza, pri čemer je fazni zamik,! pa je krožna frekvenca. Velja!T =, ker je funkcija sinus periodična s periodo, torej T = /! =/ in od tod sledi! =. (4) V fiziki se bolj pogosto računa s krožno frekvenco!, v tehniki pa z običajno frekvenco, zato je potrebno nekaj previdnosti. Ime krožna frekvenca izvira iz dejstva, da je argument trigonometrijskih funkcij kot, izražen v enotah radian; faktor je ravno polni kot (360 kotnih stopinj), saj ena perioda ustreza enemu vrtljaju. Bistvena lastnost harmoničnega nihanja je, da se amplituda in frekvenca s časom ne spreminjata, torej da je nihanje sinusno, kot smo že zapisali. Nihanje lahko seveda zapišemo tudi s funkcijo kosinus. Spomnimo se, da velja cos(x /) = sin(x), torej gre le za drugačen dogovor o faznem zamiku. Pravo periodično gibanje, za katerega velja x(t) = x(t + T ), je seveda zgolj matematična idealizacija pravega gibanja. Kadar je prisotno dušenje (zaradi trenja, zračnega upora, električnega upora, ipd.), pogosto velja x(t) =x 0 e t/ sin(!t + ). (5) Gre torej za sinusno nihanje z eksponentno upadajočo amplitudo nihanja. je relaksacijski čas. Ko mine čas 5, amplituda nihanja pade pod procent začetne. Rečemo tudi, da se nihanje izniha. Obravnava majhnih odmikov od ravnovesja nam razkrije, zakaj so nihanja zelo pogosto harmonična.! Sistem v ravnovesju je v točki minimalne energije. Naj bo to pri x =0. V bližini minimuma je potencialna energija U približno parabolična (kvadratična) funkcija, lahko pa ima popravke višjega reda v x, glej sliko 3. Naredimo lahko Taylorjev razvoj U(x) (k/)x +(k /3)x 3 +(k 3 /4)x 4 +... (6) Sila po definiciji znaša F = (du/dx) in sledi F (x) kx k x k 3 x 3 +... (7) Če je x zelo majhen, bo pomemben le prvi člen in dobimo Hookov zakon F (x) = kx, kjer je k konstanta vzmeti. Naredili smo linearizacijo: pri majhnih premikih so nelinearni popravki zanemarljivi (manjši je x, bolje to velja) in sile so linearno odvisne od odmikov. Ko je obnašanje sistema linearno, velja zelo pomembno načelo superpozicije, ki ga bomo podrobno obravnavali v nadaljevanju.! parabolični približek.0.5 U(x).0 0.5 0 x Slika 3: Potencialna energija U(x) z minimumom pri x =0in parabolični (kvadratični) približek, ki se dobro prilega potencialu v bližini minimuma. Primer: vzmetno nihalo 7
Newtonova enačba za nihalo se po linearizaciji zapiše: mẍ = kx, (8) kjer s piko nad simbolom označujemo odvod po času, f =df/dt, dvojna pika pa je drugi odvod, f = d f/dt. Enačbo nihala lahko zapišemo tudi kot ẍ +! 0x =0, (9) kjer je! 0 = r k m lastna (krožna) frekvenca nihala. Rešitev je seveda harmonsko nihanje: (0) x(t) =x 0 sin(! 0 t + ). () Primer: matematično nihalo Če moramo v izrazu za silo upoštevati tudi člene višjega reda, bomo imeli opravka z nelinearnimi pojavi. Primer je matematično nihalo z enačbo gibanja + g sin =0. () l Funkcijo sinus dobimo, ker je potrebno silo težnosti projecirati na tangentno smer nihala. Taylorjev razvoj funkcije sinus je 3 sin 3! + 5..., (3) 5! torej je sila oblike F k k 3 3. Pri majhnih obdržimo le prvi člen in dobimo rešitev s krožno frekvenco r g! 0 = l, (4) pri kateri približno velja izokronizem (frekvenca neodvisna od amplitude), pri večjih amplitudah pa opazimo, da se perioda nekoliko podaljša... Eulerjeva enačba in polarni zapis sin θ θ cos θ Slika 4: K izpeljavi Eulerjeve enačbe: koordinati točke z = e i v kompleksni ravnini sta Rez = cos in Imz =sin. 8
Linearne diferencialne enačbe lahko rešujemo z uporabo naslednjega trika. Eulerjeva enačba se glasi (glej tudi sliko 4) e i = cos + i sin. (5) Realno spremenljivko x izrazimo kot realni del kompleksne, x =Rez, in enačbo harmonskega nihala zapišemo kot z +! 0z =0. (6) Rešujemo z nastavkom z = Ae ict, kjer je A poljubna kompleksna konstanta, c pa bomo doložili v nadaljevanju. Odvajanje eksponentnih funkcij je zelo preprosto: ż = icae ict in z = c Ae ict. Vstavimo v enačbo in določimo neznanko c =! 0. A imenujemo kompleksna amplituda, ki se v t.i. polarnem zapisu glasi: A = Ae i. (7) A je realna amplituda, pa fazni zamik. Kompleksna amplituda A povsem opredeljuje gibanje harmonskega oscilatorja z dano frekvenco. Realna rešitev je tedaj.. O merjenju in merilnikih x(t) =Rez(t) =Re Ae i e i!ot = A cos(! 0 t + ). (8) Pri počasnih nihanjih lahko gibanje sistema spremljamo iz trenutka v trenutek. To velja splošno: če je odzivni čas merilnika krajši, kot je tipični čas gibanja (perioda), potem lahko časovni potek neposredno opazujemo. V takšnem primeru lahko iz meritve takoj izluščimo amplitudo A. Pogosto pa imamo opravka z zelo hitrimi pojavi, ki jim merilnik ne more točno slediti. V takšnih primerih merilniki merijo intenziteto oziroma jakost, to je kvadrat amplitude, A.! Lep primer poznamo iz elektronike. Pri razmeroma nizkih frekvencah lahko obliko signala opazujemo, denimo, na osciloskopu, kjer amplitudo nihanja takoj razberemo iz slike. Pri frekvencah, ki presegajo pasovno širino osciloskopa, pa lahko o amplitudi toka sklepamo posredno preko ohmskih izgub na uporu, ki so sorazmerne z RI, kjer je R upornost, I pa amplituda izmeničnega toka. Če nadaljujemo razpravo o kompleksni amplitudi iz prejšnjega razdelka, je uporabna ugotovitev, da lahko kvadrat amplitude zapišemo tudi kot A = A A = A, (9) pri čemer z zvezdico desno zgoraj ob simbolu označujemo kompleksno konjugiranje (z = a ib, če z = a + ib), z navpičnimi črtami pa absolutno vrednost (rečemo tudi modul ali dolžina, z = p a + b, če z = a + ib). To je pomembno, ker pri valovanjih detektorji običajno merijo intenziteto, torej kvadrat amplitude valovanja.. Sklopljeni nihali in problem lastnih vrednosti Rešimo sedaj z uporabo zgoraj opisanega trika problem dveh sklopljenih nihal, shematsko prikazan na sliki 5. Pri tem se bomo seznanili z učinkom sklopitve med nihali, ki vodi k razcepu lastnih frekvenc, ter z nekaj matematičnimi pojmi iz linearne algebre, ki bodo zelo koristni v nadaljevanju. To je tudi podlaga za izpeljavo valovne enačbe v razdelku.4. k x x K k m m Slika 5: Vzmetni nihali, sklopljeni z dodatno vzmetjo 9
Enačbi nihal sta kx K(x x )=mẍ, kx K(x x )=mẍ, (0) saj na vsako maso m delujeta dve vzmeti s konstantnama vzmeti k in K. Enačbi lahko zapišemo v matrični obliki kot apple apple apple k K K x = m! x. () K k K x x Po analogiji z rešitvijo za eno samo nihalo poskusimo nastavek apple apple x A e = i!t x A e i!t. () Poudariti je treba, da iščemo rešitev, kjer obe nihali nihata z isto frekvenco, ki pa jo moramo še določiti kot del rešitve. Matematično takšni vrsti naloge rečemo problem lastni vrednosti. Neznanke so frekvenca! in amplitudi A in A. Uvedemo! 0 = k/m in = K/m, upoštevamo zgordnji nastavek, ter preuredimo: apple!! 0!! 0 apple A A =0. (3) Spomnimo se, da ima homogen sistem enačb Mx =0netrivialno rešitev, če je determinanta matrike koeficientov M =detm enaka nič. Determinanta matrike a b = ad bc. Zapišemo torej c d (!! 0 ) 4 =0. (4) Rešitvi sta! =! 0 in! = q! 0 +. (5) Če rešitev vstavimo v matriko in določimo koeficiente, ugotovimo da prvi rešitvi ustreza vektor amplitud A = A, torej masi se premikata v isto smer z isto amplitudo, drugi pa A = A, ko se masi premikata v nasprotnih si smereh. Pri prvem lastnem nihajnem načinu se vzmet, ki masi povezuje, ne razteguje, zato frekvenca ostane enaka kot pri nesklopljenih nihalih, v drugem načinu pa raztegujemo tudi to dodatno vzmet in frekvenca se zato poveča, glej sliko 6. Slika 6: Lastna nihajna načina sklopljenih nihal Omenimo še, da imajo dvojna nihala v primeru nelinearnosti kaotične rešitve, ki so zelo občutljive na začetne pogoje. Tovrstnimi pojavi so v domeni teorije dinamičnih sistemov in teorije kaosa. Trivialna rešitev je seveda x = x =0. 0
.3 Valovanje Valovanje imenujemo nihajoče motnje, ki se širijo po prostoru. Mehanska valovanja opazimo, denimo, na vodni gladini, v vrveh in strunah. Zvok je valovanje, ki se širi po zraku. Omenimo še propagiranje zvoka v trdni snovi in v tleh (to so potresi). Med elektromagnetna valovanja prištevamo svetlobo in radijske valove. V nadaljevanju se bomo srečali s kvantnomehanskim valovanjem. Obstajali naj bi še gravitacijski valovi, ki pa jih še nismo zaznali. Motnje nosijo energijo in gibalno količino. Prvo je še posebej zaznavno pri svetlobi (segrevanje), drugo pa pri potresih (sunek sile). Valovanja se pogosto širijo v mediju, torej v nekem sredstvu ali snovi (zvok, na primer, po zraku, glej sliko 7). Pri valovanju se medij celokupno ne premakne, saj se posamezni delčki medija vrnejo v ravnovesno lego. Lep primer je zvočno valovanje, kjer se gmota zraka neto ne premakne ob prehodu zgoščin. Zvočnik ni ventilator! Slika 7: Shematski prikaz širjenja zvoka po zraku v obliki zgoščin plina. Posamezne točke predstavljajo molekule. Nekaj časa je veljalo, da naj bi se tudi elektromagnetno valovanje širilo v nekakšnem etru. Michelson in Morley sta v znamenitem eksperimentu poskusila določiti hitrost našega planeta glede na ta eter, vendar je nista zaznala. Danes vemo, da se lahko valovanje širi skozi prazen prostor, kar opišemo s sodobnim konceptom elektromagnetnega polja. O tem več v nadaljevanju.! Valovanje opišemo z valovno funkcijo, ki opisuje odmik od neke ravnovesne lege v odvisnosti od kraja in časa. Označimo jo kot (x, t), če se omejimo na eno prostorsko dimenzijo. Če z opisujemo, denimo, struno, potem (x, t) pomeni odmik strune na mestu x ob času t. V tem se opis valovanja razlikuje od nihanja, kjer smo imeli opravka z eno samo spremenljivko, časom. Fiksirajmo čas, t = t. Tedaj je (x, t = t ) funkcija zgolj spremenljivke x, grafu pa rečemo trenutna slika. To je slika, ki bi jo dobili, če bi posneli fotografijo sistema ob izbranem času t. Zapišemo lahko (x, t = t )=f(x), kjer funkcija f opisuje obliko motnje. Če motnja potuje s hitrostjo c, potem se v času t t premakne za c(t t ), zato je trenutna slika ob kasnejšem času t = t enaka (x, t = t )= f[x c(t t )]. V splošnem je torej za potovanje valovanja v desno (slika 8), in podobno (x, t) =f(x ct) (6) (x, t) =f(x + ct) (7) za potujoči val v levo. Če fiksiramo x = x 0 in spreminjamo t, pa se ustrezni graf (x = x 0,t)=g(t) imenuje časovni potek..4 Izpeljava valovne enačbe V tem razdelku bomo izpeljali enačbo, ki opisuje širjenje valovanja po nekem mediju. Dobili bomo parcialno diferencialno enačbo, v kateri se pojavljajo tako odvodi po kraju kot odvodi po času. Izpeljava kar znatno presega zahtevnost tega predmeta, pomembno pa je poznati vsaj končni rezultat.
.0.5.0 0.5 f x f x ct ct 0.0 0.5 0.0 0.5.0.5.0 x Slika 8: Dve trenutni sliki vala, ki potuje v desno (ob času 0 in ob času t) Obravnavajmo dolgo verigo sklopljenih nihal, sklopljenih z enakimi vzmetmi, kot je prikazano na sliki 9. Mislimo si lahko, da so to atomi, ki tvorijo kos snovi. Odmik n-tega nihala iz ravnovesne lege opišemo s funkcijo n (t). Za vsako nihalo velja enačba gibanja Uvedemo! 0 = K/m in zapišemo kot K( n n ) K( n n+ )=m n. (8)! 0( n+ n + n )= n. (9) k m k m k m k n- n n+ Slika 9: K izpeljavi valovne enačbe za dolgo verigo vzmetnih nihal Obravnavajmo sedaj limito majhnih razdalj a med nihali. V ravnovesju je n-to nihalo na mestu x = na, zato lahko zapišemo tudi n (t) = (x = na, t). Odvod funkcije po spremenljivki x lahko zapišemo po definiciji kot g 0 (x) = dg dx =lim g(x + /) g(x /), (30)!0 drugi odvod pa kot g 00 (x) = d g dx =lim [g(x + ) g(x)]/ [g(x) g(x )]/ g(x + ) g(x)+g(x ) =lim!0.!0 (3) Od tod sledi, da približno velja n+(t) n (t)+ n (t) 00 (x, t)a, (3) saj lahko a smatramo kot majhno količino. Uvedemo c =! 0 a, ki ima dimenzije hitrosti, in valovno enačbo zapišemo kot c 00 (x, t) = (x, t), (33) ali c @ @x = @ @t (34) S črtico desno zgoraj ob simbolu označujemo odvod po kraju, s piko nad simbolom pa odvod po času, kot prej.
Z @ označujemo parcialne odvode. Denimo, @ (x, t)/@x pomeni, da fiksiramo spremenljivko t in odvajamo funkcijo po spremenljivki x. Enačba je linearna: če sta funkciji in rešitvi, potem je rešitev tudi funkcija +. Splošna rešitev valovne enačbe je = (x ct)+ (x + ct), (35) kjer sta in poljubni funkciji ene spremenljivke, kar zlahka preverimo. Ugotovimo torej, da je količina c =! 0 a v valovni enačbi hitrost valovanja..5 Ravni val Obravnavajmo sedaj nabolj pomembno rešitev valovne enačbe, ki opisuje ravni val. To je neskončno dolg val, ki igra podobno vlogo kot harmonsko nihanje pri oscilatorjih, saj je (lastna) rešitev linearne valovne enačbe. Ψ x,t 0.0 λ vrh oz. hrbet 0.5 vozel x 3 4 5 6 0.5.0 dolina Slika 0: Trenutna slika ravnega vala Če iščemo rešitev, ki je periodična po času, uporabimo nastavek (x, t) = (x)e i!t, (36) kjer smo ponovno uporabili trik s kompleksnimi števili. Dobimo c 00 (x) =! (x). (37) Faktor e i!t na obeh straneh enačbe smo že krajšali. Ker je tudi enačba (37) za enačba, lahko znova uporabimo eksponentni nastavek: (x) linearna diferencialna (x) =Ae ikx (38) in sledi c k =!. Dobimo torej! = ck. (39) Rezultat je torej = Ae i(kx!t), če obdržimo le realni del, pa dobimo = A cos(kx!t). (40) Takšna rešitev se imenuje ravni val. Trenutna slika je funkcija kosinus, slika 0. Razdaljo med dvema! valovnima hrbtoma v trenutni sliki imenujemo valovna dolžina. Ker je perioda funkcija, mora veljati k =. Količino k = (4) 3
imenujemo valovno število, enota [m ]. To vstavimo v izraz (39) in dobimo pomembno zvezo med frekvenco, valovno dolžino in hitrostjo valovanja: Preverimo lahko še, da velja cos(kx h!t) = cos k x c =. (4)! i k t = cos [k (x ct)], (43) kar pomeni, da je ravni val res funkcija spremenljivke x ct, kot mora veljati za poljubno rešitev, ki opisuje valovanje, ki potuje v desno s hitrostjo c. Ravni val je seveda idealizacija, saj neskončno dolgih valov v resnici ni. Je pa zelo dober približek, denimo, za laserski žarek. Primer: Pri svetlobi, ki je elektromagnetno valovanje (o tem več kasneje), ne moremo meriti amplitud električnega in magnetnega polja, lahko pa merimo energijsko gostoto w = 0E, oziroma energijski tok j = cw, in sicer preko absorbirane moči P = js, kjer je S površina detektorja. Naprava, ki deluje po tem načelu, se imenuje bolometer..6 Struna Imejmo struno vpeto med dve nepremični točki. S T označimo mehansko napetost strune. Pokazati se da, da za hitrost zvoka na struni velja c = p T/µ, (44) kjer je µ linearna gostota mase strune, µ = m/l; l je dolžina strune. Pri strunah na kitari lahko napetost T spreminjamo z vijaki na glavi instrumenta, µ pa je odvisna od debeline in vrste strune. Omenimo še, da za hitrost zvoka na splošno velja naslednja forma! c = s vračanje k ravnovesju. (45) inercija Tudi za struno velja valovna enačba. Novost v primerjavi z zgornjo obravnavo ravnega vala je končna velikost (dolžina) strune. Zato je pomembno upoštevati, kako se obravnavani sistem obnaša na svojih robovih. Robni pogoji na struni so (x =0,t)=0in (x = l, t) =0, če je struna vpeta v točkah x =0in x = l in se tam ne premika. Iščemo časovno periodično rešitev z nastavkom (x, t) = (x)e i!t. Dobimo enačbo 00 (x)+k (x) =0, (46) kjer smo upoštevali! /c = k. Za krajevni del sedaj ne uporabimo eksponentnega nastaveka, temveč sinusnega: (x) =A sin(kx). (47) S tem je že samodejno upoštevan robni pogoj pri x =0. Zaradi robnega pogoja na drugem krajišču pa mora veljati še sin(kl) =0ali kl = n, n =,,... Sledi torej k = l Od tod sledi! = ck = c n/l ali = cn/l. Frekvenco n ali = l n. (48) = c l (49) imenujemo osnovna frekvenca, tiste z n> pa višje harmonične frekvence. Opazimo, da so frekvence pri fiksni dolžini strune odvisne le od hitrosti zvoka c. 4
Ψ x,t 0 6 5 tretji harmonik n=3 4 3 osnovni nihajni način drugi harmonik 0. 0.4 0.6 0.8.0 x n= n= Slika : Stoječa valovanja na struni; trenutna slika ob času t =0.0 0.5-0.5 0. 0.4 0.6 0.8.0.0 0.5-0.5 0. 0.4 0.6 0.8.0 -.0 -.0 Slika : Zaporedne trenutne slika nihanja strune. Levo: ena sama lastna frekvenca (tretji harmonik). Desno: kombinacija dveh lastnih frekvence (drugi in tretji harmonik). Ko vzamemo realni del, dobimo za končno rešitev (x, t) =A sin(kx) cos(!t). (50) Dobljeni nabor rešitev imenujemo stoječa valovanja, slika. To so lastne rešitve enačbe, kar pomeni, da! sistem, če ga ne vzbujamo od zunaj, niha kot kombinacija takšnih rešitev. Opazimo, da pri vsaki posamezni lastni rešitvi vozli mirujejo (pri linearni kombinaciji pa to ne velja, slika ). Nihanje strune lahko opazujemo s stroboskopom. Če je frekvenca bliskanja točno enaka frekvenci nihanja strune, bo struna izgledala nepremična. Pri manjši razliki pa bo izgledalo, kot da se premika počasi v eno ali v drugo smer. Zaključimo, da je razlika med ravnim valom in stoječim valovanjem v robnih pogojih. Pri ravnem valu lahko rečemo, da imamo izvor v, val pa gre v +. Pri stoječem valovanju pa imamo zapovedane robne pogoje v točkah, kjer je struna vpeta. Pri ravnem valu je dovoljeno poljubno valovno število, pri stoječem valovanju pa samo nekatere točno določene vrednosti. S podobnim pojavom se bomo srečali pri! kvantni mehaniki..7 Načelo superpozicije in interferenca V linearnih sistemih velja načelo superpozicije. Če sta in rešitvi valovne enačbe, potem je možna! rešitev tudi linearna kombinacija s konstantnima koeficientoma a in b: (x, t) =a (x, t)+b (x, t). (5) To velja povsem splošno za vse linearne sisteme, ki jih opisujejo diferencialne enačbe, kjer nastopa zgolj kot prva potenca, stopnje časovnih in krajevnih odvodov pa so lahko poljubne. Primeri:, 0,, 00,, 0, etc. so dovoljeni, izrazi in 0, 0 pa niso. Za nelinearne sisteme načelo superpozicije v splošnem ne velja in njihova obravnava je veliko bolj zapletena, ker lahko pride do novih pojavov. Vseeno pa načelo 5
superpozicije velja kot zelo dober približek za valovanja z majhno amplitudo, ko smemo diferencialne enačbe linearizirati. Maxwellove enačbe v praznem prostoru so čisto linearne, pri elektromagnetnem valovanju v snovi pa so možni nelinearni efekti, ki jih lahko najlaže zaznamo z močnim laserskim žarkom (podvojevanje frekvenc in podobni pojavi). Interferenca je pojav, tesno povezan z načelom superpozicije. Pri seštevanju valovanj z isto frekvenco! gre pri pojavu interference za ugotovitev, da je vsota trigonometrijskih funkcij prav tako trigonometrijska funkcija, katere končna amplituda je lahko večja ali manjša od začetnih, glej sliko 3. Če sta valovanji v fazi in z enako amplitudo, je = A sin(kx!t)+a sin(kx!t) =A sin(kx!t). To je konstruktivna interferenca. Če sta valovanji v nasprotni fazi, pa je = A sin(kx!t) A sin(kx!t) =0. To je destruktivna interferenca. V splošnem pa za valovanji z enako amplitudo uporabimo zvezo Primer: sin a +sinb =sin a + b cos a b. (5) sin(kx!t)+sin(kx!t + )=sin kx!t + cos. (53) Faktor cos ima vrednost med 0 in, odvisno od faznega zamika med valovanjema. =0pomeni povsem konstruktivno, = pa povsem destruktivno interferencno, kar pa sta le dva skrajna primera. ψ ψ ψ + ψ 3 4 3 4 3 4 konstruktivna interferenca 3 4 3 4 3 4 destruktivna interferenca 3 4 3 4 3 4 Slika 3: Superpozicija ravnih valov lahko vodi h konstruktivni ali k destruktivni interferenci, v splošnem pa dobimo novo trigonometrijsko funkcijo z drugačno amplitudo in s premikom faze. Izraz A cos(kx!t+ ) lahko zapišemo tudi kompleksno Ae i(kx!t+ ), torej je kompleksna amplituda A exp(i ). Kompleksna amplituda je torej neka točka v kompleksni ravnini. Valovanja lahko sestavljamo s t.i. kazalčnimi diagrami, pri čemer dobimo končno amplitudo kot vektorsko vsoto vseh kompleksnih! amplitud v kompleksni ravnini. Ta geometrijski pristop je posebno pripraven za seštevanje valovanj z različnimi amplitudami, ko postane algebrajski pristop s trigonometrijskimi funkcijami preveč zapleten. Oglejmo si linearno kombinacijo dveh potujočih valovanj, ki se širita v nasprotnih si smereh. Dobimo sin(kx!t)+sin(kx +!t) =sin(kx) cos(!t). (54) To pa je ravno rešitev za struno! Val potuje v eno smer, se odbije v točki vpetja, nato potuje v nasprotno smer, etc. Stoječe valovanje je torej interferenca dveh potujočih valovanj,pom. 6
.8 Utripanje in valovni paket Imejmo dve nihali z rahlo različnima frekvencama! in!. Velja sin(! t)+sin(! t)=sin(!t) cos(!t), (55) kjer je! = (! +! ) povprečna frekvenca in! = (!! ) njuna razlika (oz. polovica razlike). Če velja!! dobimo nihanje, pri katerem je amplituda nihanja s povprečno frekvenco modulirana z razliko frekvenc. Takšno rešitev imenujemo utripanje; prikazano je na sliki 4. x t π/δω π/ω 5 0 5 0 5 30 t Slika 4: Utripanje nihala Takšno rešitev dobimo, če šibko sklopimo dve nihali. Prvo izmed nihal izmaknemo in spustimo. Najprej niha le prvo nihalo, počasi pa se vzbudi tudi nihanje v drugem. Amplituda prvega nihala pada, amplituda drugega pa raste. Čez čas niha le drugo nihalo. To dogajanje se potem ponovi v drugo smer, etc. Pri takšnem utripanju se pretaka energija iz enega nihala v drugo. Zanimivo je tudi utripanje pri potujočih valovanjih. Imejmo dve valovanji z enako amplitudo, vendar različnima frekvencama (in torej valovnima dolžinama). Dobimo = A sin(k x! t)+a sin(k x! t)=a sin( kx!t) cos( kx!t). (56) Dobimo valovanje, katerega trenutna slika je modulirano potujoče valovanje. Ovojnica se giblje s hitrostjo ki se imenuje grupna hitrost in se lahko močno razlikuje od t.i. fazne hitrosti c g =! k, (57) c f =! k, (58) s katero se gibljejo posamezne valovne poteze, glej sliko 5. Iz večjega števila valovanj z malo različnimi lahko sestavimo valovni paket, slika 6, katerega hitrost je c g = d! dk. (59) Pokazati se da, da tudi energija in informacija potujeta z grupno hitrostjo. Fazna hitrost valovnega paketa elektromagnetnega polja je lahko večja od svetlobne, grupna hitrost pa je vedno nižja..9 Youngov poskus Obravnavajmo interferenco dveh ravnih valovanj. Takšen poskus je okoli leta 800 opravil s svetlobo Young, kar je bil eden izmed prvih prepričljivih dokazov, da je svetloba valovni pojav, zato ima ta eksperiment zelo pomembno vlogo v zgodovini fizike. 7
Ψ x,t 0 c f 4 6 8 0 4 x c g Slika 5: Potovanje linearne kombinacije dveh valovanj z razlo različnima valovnima dolžinama. Ovojnica se premika z grupno hitrostjo c g, posamezni valovni vrhovi pa s fazno hitrostjo c f. Ψ x,t 0.0 0.5 4 6 8 0 4 x 0.5 c g.0 Slika 6: Valovni paket se giblje z grupno hitrostjo c g =d!/dk. φ A L B Lsin φ vpadna svetloba zaslon z dvema režama Slika 7: Razlika poti med valovanjema skozi odprtini na zelo (neskončno) oddaljenem zaslonu je l = L sin, če je L razdalja med režama, kot pa je kot opazovanja. 8
Imejmo zaslov z dvema zelo ozkima režama, skozi kateri predira valovanje. Rezultat opazujemo na zelo oddaljenem zaslonu. Naj bo l razlika poti od vsake izmed rež do točke merjenja na zaslonu (glej skico 7). Seštejmo dve valovanji = A sin(kx!t) in = A sin[k(x + l)!t]. Spomnimo se, da velja sin(a + ) =sin(a) in sin(a + ) = sin(a). Če je kl = N oz. l = N, (60) dobimo konstruktivno interferenco (svetlo progo), če pa je kl =(N ) oz. l = N, (6) pa dobimo destruktivno interferenco (temno progo). Uklonska mrežica je steklena ploščica z izbrušenimi režami. Razmiki morajo biti istega velikostnega reda kot valovna dolžina. Uklonske mrežice se uporabljajo za natančno merjenje valovne dolžine. Če je kot med smerjo vpadnega valovanja in nekim mestom na zelo oddaljenem zaslonu, lahko pogoj za konstruktivno interferenco zapišemo tudi kot l = L sin = N, (6) kjer je L razdalja med režami na mrežici, slika 7. Valovno dolžino svetlobe lahko določimo tudi s prizmo. Youngov poskus je uspel tudi z elektroni (Claus Jönsson, 96) in celo z večjimi molekulami (Arndt, 00)..0 Koherenca Kot omenjeno v razdelku.5, merilniki svetlobe merijo njeno intenziteto, sorazmerno s kvadratom polja E. Pri interferenčnih poskusih na merilnik padata dve valovanji, katerih električno polje se sešteva (sicer vektorsko, vendar bomo obravnavo malo poenostavili). Merimo torej količino, sorazmerno z E + E =(E + E )(E + E )= E + E + E E cos( ), (63) če velja E = E e i in E = E e i. Če se in hitro naključno spreminjata, bo časovno povprečje kosinusnega člena enako nič. Tedaj je izmerjena intenziteta kar enaka vsoti intenzitet posameznih valovanj: I = I + I. (64) Takšna valovanja imenujemo nekoherentna, interference ni. Če pa je fazna razlika konstantna v! času (v trajanju meritve oz. v času, ki ustreza odzivnemu času instrumenta), potem velja I = I + I + p I I cos( ). (65) Takšna valovanja imenujemo koherentna: seštevajo se amplitude in interferenca je možna. Koherentnost! je ključnega pomena v kvantni mehaniki. Eksperimentalno določamo, v kolikšni meri sta neki valovanji koherentni, ravno preko tega, v kolikšni meri je viden interferenčni člen p I I cos( ), saj lahko I in I izmerimo neodvisno, potem pa preverimo t.i. vidnost interferenčnega člena. Svetloba iz običajne žarnice z žarilno nitko iz volframa (termična sijalka) je zelo nekoherentna. Svetloba iz laserjev pa je izjemno koherentna in je zelo primerna za interferenčne meritve. 9