cos-sin.eps
|
|
- Miro Krajnc
- pred 4 leti
- Pregledov:
Transkripcija
1 JATA GALAKSIJ: VIRGO Dejan Arzenšek, Matjaž Ličar, Staš Jevševar 16. september 28 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Profesor: dr. Andrej Čadež PROJEKTNA NALOGA PRI PREDMETU ASTRONOMIJA
2 KAZALO 2 Kazalo 1 UVOD - JATA GALAKSIJ VIRGO 3 2 OPAZOVANJE 3 3 OBDELAVA PODATKOV 3.1 POZICIONIRANJE SLIK V CELOTO IN DOLOČITEV CENTRA JATE GOSTOTA GALAKSIJ PORAZDELITEV ELIPTIČNOSTI IN USMERJENOSTI STATISTIČNA OBDELAVA IN REZULTATI GRAVITACIJSKO LEČENJE 11 JATA GALAKSIJ: VIRGO 2
3 2 OPAZOVANJE 3 Povzetek Splošno navodilo projekta je bilo: Izberite si primerno veliko, bližnjo in bogato jato galaksij. Posnemite večje število galaksij (okrog 3), v irafu izmerite njihovo eliptičnost in pozicijski kot glavne osi s taskom psfmeasure. Izmerite porazdelitev eliptičnosti in smeri glavne osi za galaksije v jati. Poskušajte ugotoviti, če so smeri naključno porazdeljene. S teleskopom Vega na Golovcu smo tako posneli 18 slik jate galaksij Virgo. Ko smo poslikanim galaksijam v irafu izmerili eliptičnost in pozicijski kot, smo porazdelitev prikazali v obliki histograma in skušali ugotoviti vrsto porazdelitve. Preverjali smo tudi prisotnost gravitacijskega lečenja. 1 UVOD - JATA GALAKSIJ VIRGO Virgo, sestavljena iz približno 13 galaksij (lahko da tudi do 2), z oddaljenostjo približno 18 Mpc je nam najbližja jata galaksij [1] [2]. Njena ocenjena masa je približno mas sonca. Tvori osrednji del Virgo-Coma nadjate galaksij (Lokalna nadjata galaksij), med katerega spada tudi lokalna jata galaksij, katere element je tudi naša Mlečna cesta. Elementi jate galaksij Virgo so tako eni izmed najbolj oddaljenih objektov, s katerimi ima naša galaksija še gravitacijsko interakcijo. S središčem v ozvezdju Virgo, od koder dobi tudi svoje ime, pokriva na nebu radij 8. Njeno veliko maso potrjuje tudi dejstvo, da se mnoge galaksije z veliko hitrostjo gibljejo proti njenemu središču, nekatere tudi do 16 km/s. Slika 1: Sliki prikazujeta pozicije najbolj svetlih galaksij v jati ter pozicijo jate na nebu. [6] [7] Izmed bolj znanih galaksij v jati je gotovo galaksija M87 (NGC 4486) s svojo ogromno maso mas sonca. Kot največja eliptična galaksija blizu zemlje je zanimiva tako za amaterska, kot tudi profesionalna opazovanja, med drugim tudi zaradi svetlobnih let dolgega snopa snovi, ki se vije iz njenega aktivnega galaktičnega jedra. 2 OPAZOVANJE Iz Vizierjevega kataloga The Virgo Cluster Catalog (VCC) (Binggeli+, 198) [3] smo izbrali galaksije svetlejše od 17 magnitude. Katalog za opazovanje smo dobili v takšni obliki: JATA GALAKSIJ: VIRGO 3
4 2 OPAZOVANJE 4 Full RAJ2 DEJ2 MType "h:m:s" "d:m:s" S de2: BCD? ImIV de SBa SBc(s)I de de1,n... Najprej smo izrisali zadetke iz kataloga (slika: 2), na graf deklinacije v odvisnosti od rektascenzije, da smo dobili predstavo o položaju galaksij na nebu. Slika 2: Na sliki so prikazane pozicije galaksij v katalogu. Ker jata pokriva precej veliko področje na nebu, nismo mogli ubrati nobene sistematične metode (npr. da bi področje razdelili nan m polj v velikosti vidnega polja kamere in sistematično poslikali vse), zato smo slikali področja, pri katerih smo pričakovali, da bomo na sliko dobili kar največ galaksij. Skupno smo posneli 18 uporabnih slik velikosti Čas osvetlitve je bil 18s, slikali smo brez filtrov (slika: 3). Slika 3: Eden izmed posnetkov galaksij v jati. Za konec smo posneli še vse potrebne flate, darke in biase. JATA GALAKSIJ: VIRGO 4
5 3 OBDELAVA PODATKOV 3 OBDELAVA PODATKOV Najprej je bilo potrebno slike opremiti z ekvatorialnimi wcs koordinatami, da smo lahko na slikah označili naše galaksije. Vsaki sliki smo določili deklinacijo in rektascenzijo središča in velikost piksla v kotnih minutah. S programom IRAF smo potem pretvorili koordinate na sliki iz pikslov v deklinacijo in rektascenzijo (slika: 4): ecl> wcsctran *.fit world \ >>> logical units="h n" formats="%8.3f %8.3f" ecl> display vslika.fit ecl> tvmark 1 vslika.txt number=yes radii= 1 color = 24 mark="circle" Označene zadetke iz kataloga prikazuje naslednja slika: Slika 4: Označene koordinate iz kataloga v programu ds9. Sedaj, ko smo na slikah imeli označene naše galaksije, smo lahko izmerili njihovo eliptičnost e in usmerjenosti PA z ukazom psfmeasure. IRAF tako avtomatično pomeri vse označene galaksije: obsutil> psfmeasure V1.2.fts imagecu=v1.2.xy S tem ukazom smo zagnali avtomatsko izračunavanje eliptičnosti in pozicijskega kota najdenih galaksij iz kataloga. Najprej preidemo v interaktivno proceduro, ki jo prikazujeta naslednji sliki ( ): Slika : Na levi sliki je prikazano območje okrog galaksije s katerega potem izračunamo psf funkcijo preko katere potem izračunamo iskana parametra. Na desni pa kako potem IRAF prikaže izračunane zadetke (katere je našel). Kot rezultat dobimo datoteko v takšni obliki: JATA GALAKSIJ: VIRGO
6 3 OBDELAVA PODATKOV 6 Column Line Mag FWHM e PA IRAF izračuna eliptičnost (e) in usmerjenost (PA) po naslednjih formulah [4]: (M xx +M yy ) 2 + (2M xy ) 2 e =, PA = 1 M xx +M yy 2 arcsin 2M xy, M xx M yy kjer je: M xx = xxi yyi xyi, M yy =, M xy =. I I I Tukaj sta x in y koordinati glede na center meritve merjeni v pikslih, I je pa intenziteta na izbranem pikslu. Meritve konkretne galaksije na izbranih (danih) koordinatah so potekale, da se je računalnik najprej postavil na izbrano koordinato. Za začetek je bilo merilno območje (središče in radij galaksije) krog z radijem 7 pikslov in središčem v danih koordinatah. Središče kroga, od koder sledijo nadaljnji izračuni, se je z dvema iteracijama popravil tako, da je čimbolj sovpadal s središčem galaksije, pri tem se je popravil tudi radij galaksije (definiran z 2 FWHM;FWHM je polovična vrednost maksimalne intenzitete galaksije) na najboljši možen radij. MomentiM xx in M yy niso nič drugega, kakorσ 2 v smerixiny,m xy pa je mešani moment, ki nam skupaj zm xx in M M yy podaja korelacijski koeficientr= xy in s tem smer daljše polosi (koeficient premice). MxxM yy I nam podaja krivuljo vsaj kvadratične oblike, ki se najbolj prilega izmerjenim vrednostim v računani vrstici pikslov. Z avtomatsko metodo smo imeli nekaj težav, saj so bili markerji, ki so označevali galaksije, nekoliko zamaknjeni, nekateri so pa tudi ležali izven slik. Zato smo meritve izvedli tudi ročno in sicer tako, da smo z ukazom imexamine na slikah ročno označevali posamezne galaksije. Z avtomatsko metodo smo dobili 13 zadetkov, z ročno pa 723. Pri statistični obdelavi smo tako upoštevali ročne meritve, saj je bilo avtomatskih premalo za kakšne boljše rezultate. 3.1 POZICIONIRANJE SLIK V CELOTO IN DOLOČITEV CENTRA JATE Najprej smo izrisali porazdelitev galaksij po površini v odvisnosti koordinat x in y v pikslih, da smo lahko določili središče jate. Izrisal sem poleg koordinat iz kataloga, še izris koordinat zadetkov z ukazom psfmeasure (slika 6) 4 The Virgo Cluster Catalog(VCC)(Binggeli+,198) ZADETKI PSFMEASURE IZ POSNETIH SLIK Y [piksel] X [piksel] Slika 6: Na temu grafu lahko dobimo občutek kje se nahaja območje, ki smo ga poslikali. JATA GALAKSIJ: VIRGO 6
7 3 OBDELAVA PODATKOV 7 Nato smo za pomoč pri določitvi središča narisali dvodimenzionalna histograma po x in y koordinatah za oba primera. To je za koordinate iz kataloga in koordinate iz metode psfmeasure. Pri vsaki pa še barvni contour graf, na katerem se zelo lepo vidi, kje je središče jate (slike 7, 8). PORAZDELITEV GALAKSIJ PO POVRSINI The Virgo Cluster Catalog(VCC)(Binggeli+,198) y koordinata [piksel] x koordinata [piksel] y koordinata [piksel] PORAZDELITEV GALAKSIJ PO POVRSINI (CONTOUR PLOT) x koordinata [piksel] Slika 7: Na levem histogramu je dvodimenzionalna porazdelitev koordinat iz kataloga, na desni pa contour graf. Na obeh se vidi kje je največje število galaksij. To nam je bilo v pomoč pri določitvi centra. PORAZDELITEV GALAKSIJ PO POVRSINI ZADETKI PSFMEASURE IZ POSNETIH SLIK 1 PORAZDELITEV GALAKSIJ PO POVRSINI (CONTOUR PLOT) x koordinata [piksel] y koordinata [piksel] y koordinata [piksel] x koordinata [piksel] Slika 8: Na levem histogramu je dvodimenzionalna porazdelitev koordinat iz metode psfmeasure, na desni pa contour graf. Tudi pri teh dveh grafih se kljub manjšemu številu zadetkov opazi večje število galaksij. Koordinatno izhodišče smo tako postavili v to točko, tako da je razdalja od središča jate za izbrano galaksijo kar R = x 2 +y 2, kjer staxinykoordinati galaksije v pikslih GOSTOTA GALAKSIJ Iz poznavanja koordinat središča jate, smo lahko določili gostoto galaksij na enoto površine. To smo naredili tako, da smo za vsako galaksijo izračunali njeno oddaljenost od središča, območje JATA GALAKSIJ: VIRGO 7
8 3 OBDELAVA PODATKOV 8 razdelili na koncentrične kolobarje iz središča jate, prešteli, koliko galaksij pade v en kolobar, ter rezultat delili s površino kolobarja. Ta izračun smo naredili po enačbi: ρ(r) = št. galaksij v kolobarju št.gal izven R1 - št.gal izven R2 = površina kolobarja π(r2 2 R1 2 ) Izrisali smo dva grafa gostote galaksij v odvisnosti od razdalje od izhodišča, enega neposredno s podatki iz kataloga, drugega pa z galaksijami, ki smo jih zaznali s psfmeasure metodo (slika 9). Iz obeh grafov se vidi, da gostota z razdaljo od središča enakomerno pada, tako da je središče jate očitno res ustrezno izbrano..14 GOSTOTA GALAKSIJ V ODVISNOSTI OD RADIJA The Virgo Cluster Catalog(VCC)(Binggeli+,198) logaritem od stevila galaksij na povrsino kolobarja R (radij) [piksli].1 PRIMERJAVA GOSTOT The Virgo Cluster Catalog(VCC)(Binggeli+,198) ZADETKI PSFMEASURE IZ POSNETIH SLIK logaritem od stevila galaksij na povrsino kolobarja R (radij) [piksli] Slika 9: Na zgornjem grafu je odvisnost gostote od radija za koordinate iz kataloga. Ordinatna os je prikazana v logariemski skali. Spodnji graf pa prikazuje primerjavo z metodo psfmeasure. Prikazali smo, da se v obeh primerih opazi podobno obnašanje krivulj, le da je pri metodi psfmeasure manjše število galaksij. Iz obeh grafov se vidi, da gostota z razdaljo od središča enakomerno pada, tako da je središče jate očitno res ustrezno izbrano. 3.2 PORAZDELITEV ELIPTIČNOSTI IN USMERJENOSTI Nato smo izrisali histograme eliptičnosti e in kota usmerjenosti PA. To smo naredili tako za zadetke, ki smo jih dobili z ukazom psfmeasure, kot tiste, ki smo jih ročno določili z ukazom imexamine (slika 1). JATA GALAKSIJ: VIRGO 8
9 3 OBDELAVA PODATKOV 9 3 PORAZDELITEV ELIPTICNOSTI psfmeasure metoda imexamine metoda 2 STEVILO GALAKSIJ ELIPTICNOST 3 3 USMERJENOST GALAKSIJ psfmeasure metoda imexamine metoda 2 STEVILO GALAKSIJ PA (POSITION ANGLE) [stopinje] Slika 1: Na zgornjem grafu sta histograma eliptičnosti za obe metodi, na spodnjem pa histograma usmerjenosti za obe metodi. Kot že omenjeno, je po metodi psfmeasure, kot se vidi iz histograma, mnogo premalo podatkov, zato smo za nadaljno obdelavo upoštevali le zadetke imexamine. Izločili smo tudi vse zadetke z eliptičnostjo, saj iraf točkastim, ali takšnim objektom, katerim ni mogel določiti elpitičnosti, prepiše vrednost. Ker to privede do statistične napake, smo zabeležili, koliko takšnih galaksij smo izločili iz naših meritev STATISTIČNA OBDELAVA IN REZULTATI Histogram se naredi tako, da preštejem koliko zadetkov je pri nekem predalčku izmerkov. To mi ne izmerimo, mi izmerimo pri vsakem zadetku eliptičnost in preštejemo koliko takih izmerkov pade v nek interval. Histogram narejen z štetjem dogodkov si lahko predstavljamo kot meritev verjetnostne porazdelitve. Z upoštevanjem statistične napake, višina vsakega predalčka JATA GALAKSIJ: VIRGO 9
10 3 OBDELAVA PODATKOV 1 predstavlja verjetnost za dogodek, kjer vrednost x pade v interval tega predalčka. Verjetnostno porazdelitvena funkcija ima enodimenzionalno obliko p(x)dx, kjer je: n i p(x) = N w i V tej enačbi jen i število dogodkov v predalčku, ki vsebujex,w i je širina predalčka inn je totalno število dogodkov. Porazdelitev dogodkov med vsemi predalčki je predpostavljena kot enakomerna. Verjetnostna porazdelitev eliptičnosti ali usmerjenosti pa podaja verjetnost, s katero se na izbranem področju pojavljajo določene eliptičnosti oziroma usmerjenosti. Na rezultate z imexamine metodo smo najprej poskušali prilagoditi Gaussovko in ugotovili, da se dobro ujema z našimi rezultati. Izris prilagajanja prikazujeta spodnja grafa (slika 11): 2 GAUSSOV FIT K PORAZDELITVI ELIPTICNOSTI ZADETKI METODA IMEXALINE GAUSSOV FIT 3 GAUSSOV FIT K PORAZDELITVI K USMERJENOSTI GALAKSIJ ZADETKI METODA IMEXALINE GAUSSOV FIT 2 2 a = / (1.7%) STEVILO GALAKSIJ 1 1 σ = /-.296 (3.64%) STEVILO GALAKSIJ a = /-.366 (2.467%) σ = /-.369 (3.372%) 2σ a ELIPTICNOST PA (POSITION ANGLE) [stopinje] Slika 11: Na zgornjem grafu sta histograma s prilagojeno Gaussovko. Zraven sta še pripisana parametra (standardni odmik ter pozicija vrha krivulje), dobljena s prilagajnjem. Da bi preverili, če sta parametra pravilna (ju statistično potrdimo ali zavržemo), smo naredili T statistki. Ta se izračuna po formulit = m a σ N, kjer jempovprečna vrednost eliptičnosti ali usmerjenosti, a parameter pozicije vrha Gaussove krivulje dobljen s prilagajanjem, σ statistični odmik ter N število seštevka galaksij v vseh intervalčkih. Za eliptičnost dobim vrednost T = 2.11, za usmerjenost pa T = Za to vrednost smo pogledali v statistične tabele pri raličnih stopnjah tveganja [8]. Če je bila dobljena vrednost manjša od tiste v tabeli smo hipotezo lahko potrdili drugače smo jo zavrgli. Parametre pri 3 prostostnih stopnjah prikazuje tabela 1: st.tveganja [% ] T Tabela 1: Tabela parametrov. Tako lahko vidimo, da lahko pri vseh stopnjah tveganja potrdimo oba parametra. Potem se lotimo statističnega testa na sami porazdelitvi eliptičnosti ali usmerjenosti. Na obeh izvedemo Pearsonovχ 2 test. Radi bi potrdili ali zavrgli hipotezo o naključnosti obeh statističnih spremenljivk. Ti porazdelitvi za velike n (prostostne stopnje) postane podoben porazdelitviχ 2 (n 1), ki je za velikenkar Gaussova. Ta statistični test se izračuna po formuli: JATA GALAKSIJ: VIRGO 1
11 4 GRAVITACIJSKO LEČENJE 11 χ 2 = ρ (N k Np k ) 2 k=1 Np k, kjer jeρštevilo intervalov,n k število galaksij v posameznem intervalu, N število vseh galaksij,p k pa teoretična verjetnost v intervalu. Za velike vrednosti prostostnih stopenj lahko rečemo zaσkar koren od povprečja števil galaksij v intervalih. ŠtevilkaNp k pa postane zaradi enako velikih razredov kar povprečje. Razredi so intervali, ki nimajo neničelnih vrednosti. Torej smo si izbrali enako velike razrede kot so intervali. Test je potekal tako, da smo za vsak interval izračunali odmik od povprečne vrednosti prek vseh intervalov (N k N) ter ga delimo z napako σ. V našem primeru je napaka edino statistična, torej koren povprečne vrednosti σ = N. Potem dobljeno kvadriramo in seštejemo po vseh intervalih ter vsoto imenujemoχ 2. Če jeχ 2 reda velikosti števila intervalov, je porazdelitev Poissonova, sicer ni. Podobno smo preverili še test v tabelah [8]. st.tveganja [% ] χ Tabela 2: Tabela parametrovχ 2. Za podatke po psfmeasure metodi dobimo vrednostiχ 2 =7.3 za eliptičnosti in 3.4 za usmerjenosti, kar potrjuje hipotezo o naključnosti. Z imexamine metodo smo pa hipotezo morali zavreči, saj dobimo vrednostiχ 2 = za eliptičnosti in za usmerjenosti. To potrjujeta tudi rezultata z delitvijo teh statistik z številom intervalov. Kot že omenjeno, gre rezultatom z imexamine metodo bolj zaupati zaradi večjega števila podatkov. 4 GRAVITACIJSKO LEČENJE Gravitacijska sila ukrivlja pot delcem, ki se gibljejo mimo telesa z maso (slika 12): Slika 12: Slika prikazuje prehod delca mimo telesa z maso. Pri prehodu mimo takšnega telesa tako delec občuti sunek sile p y = F y dt = GMma (vx 2 +a 2 ) 2/3dt = 2GMm v x a Ker je imel delec pred odklonom le gibalno količino v smerix, lahko kot odklonaαizračunamo iz razmerja medp y inp x. Pri tem jep x =mv x. Ker je odklon majhen, velja:tgα α= py p x = 2GM v 2 a. JATA GALAKSIJ: VIRGO 11
12 4 GRAVITACIJSKO LEČENJE 12 Ker imajo po teoriji relativnosti fotoni tudi gibalno količino, lahko zapišemo enačbo tudi za fotone. Kot pod katerim se foton ukrivi ob prisotnosti mase je takoα= 4GM c 2 a Svetlobo, ki potuje mimo objekta z veliko maso lahko tako obravnavamo na podoben način, kot obravnavamo sistem izvor leče in slike v optiki. Glavne lastnosti gravitacijske leče so, da vedno vidimo vsaj dve sliki, da je kot odklona obratno sorazmeren z oddaljenostjo od leče (ravno obratno kot pri klasični leči), ter da kot odklona ni odvisen od valovne dolžine svetlobe. Preverjali smo, če so galaksije v središču jate gravitacijsko ukrivljene. Če teza drži, potem mora imeti kotφ, tj. kot med usmerjenostjo galaksije p in vektorjem radija r (glej sliko 13) karakteristiko okoli 9. Slika 13: Kot med vektorjem radija in usmerjenosti. Tako lahko izračunamo kotφsformulo za skalarni produkt: cosφ = r = (x,y), p = (cos(pa),sin(pa)), r =R, p = 1. Zato zapišemo: r p r, kjer velja p x cos(pa) +ysin(pa) φ =arccos R Najprej smo narisali graf v kotov v odvisnosti od radija (slika 14): KOT MED RADIJEM IN PA [stopinja] KOT V ODVISNOSTI OD RADIJA RADIJ [piksel] Slika 14: Odvisnost kotov od radija. Iz slike vidimo, da so galaksije usmerjene dokaj naključno. Tako lahko sklepamo, da v središču jate ne zaznamo gravitacijskega lečenja, kar je morda zaradi ogromne mase jate nekoliko presenetljivo, ali pa je število opazovanih galaksij premalo, da bi lahko to zagotovo trdili. Da potrdimo naše sklepanje, smo opravili šeχ 2 test. Najprej smo opravili grobo delitev in razdelili kote v 29 razredov (slika 1). Povprečna vrednost galaksij na interval nam je prišla 3.9±1.9,χ 2 /št.intervalov(29) =.9116, se pravi približno toliko kot je število intervalov, torej so odstopanja majhna in lečenja ni opaziti. Samo vrednost testa paχ 2 = JATA GALAKSIJ: VIRGO 12
13 4 GRAVITACIJSKO LEČENJE 13 9 PORAZDELITEV KOTOV PRI 29 INTERVALIH 8 7 STEVILO GALAKSIJ KOT MED RADIJEM IN PA [stopinja] Slika 1: Histogram porazdelitve kotov pri manjšem številu intervalov. Če pogledamo vrednosti zaχ 2 v tabelah opazimo, da lahko za delitev intervalov pri 28 prostostnih stopnjah potrdimo hipotezo: Podobno smo preverili še test v tabelah [8]. st.tveganja [% ] χ Tabela 3: Tabela parametrovχ 2. Ker smo pri takšni delitvi pri statističnih testih dobili, da je naključna porazdelitev, vendar vidimo po obliki porazdelitve na histogramu, da levi del odstopa od desnega, smo razdelili intervale še bolj na grobo, tako da smo pogledali porazdelitev pri treh intervalih (slika 16). Tokrat smo dobili v povprečju 36.66±17. galaksij na interval,χ 2 /št.intervalov(3) =.26, se pravi približno petkrat več kot je intervalov. PORAZDELITEV KOTOV PRI 3 INTERVALIH 4 STEVILO GALAKSIJ KOT MED RADIJEM IN PA Slika 16: Histogram porazdelitve kotov pri treh intervalih. JATA GALAKSIJ: VIRGO 13
14 4 GRAVITACIJSKO LEČENJE 14 Pri tako grobi delitvi smo dobili vrednost testaχ 2 = Če to vrednost primerjamo z vrednostmi v spodnji tabeli: st.tveganja [% ] χ Tabela 4: Tabela parametrovχ 2. Pri tej vrednosti lahko glede na vrednosti v tabeli in glede na razmerje s številom intervalov, zavržemo hipotezo o Poissonovi porazdelitvi kotov. Izračunamo lahko absolutne vrednostir =e cos(r,pa) int=e sin(r,pa) kar ustreza radialni in tangencialni smeri posamezne galaksije, geometrija je razvidna iz slike 17. Slika 17: Skica izračunanih komponent. Narišemo porazdelitev obeh komponent (slika 18) Če naredim zopet statistični test na obeh porazdelitvah, mi ta v obeh primerih potrdi tezo o naključnosti obeh komponent, saj dobim za radialno komponentoχ 2 = 19.3 ter za tangencialno χ 2 = 28.. To je v obeh primerih občutno manj kot pa so tabelirane vrednosti. JATA GALAKSIJ: VIRGO 14
15 LITERATURA 1 E*cos(R,PA) E*cos(R,PA) PORAZDELITEV RADIALNIH IN TANGENCIALNIH KOMPONENT 4 STEVILO GALAKSIJ X Y KOMPONENTA Slika 18: Porazdelitev radialnih in tangencialnih komponent galaksij. Literatura [1] [2] WIKIPEDIA: [3] [4] [] [6] [7] [8] Osnove fizikalnih merjenj in merilnih sistemov (DMFA), Andrej Likar, 21. [9] A practical guide to Basic Statistical Techniques for Data Analysis in Cosmology, Licia Verde [1] Seminar: Gravitacijske leče, Gregor Vek JATA GALAKSIJ: VIRGO 1
Microsoft Word - Astronomija-Projekt19fin
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Jure Hribar, Rok Capuder Radialna odvisnost površinske svetlosti za eliptične galaksije Projektna naloga pri predmetu astronomija Ljubljana, april
Prikaži večUniverza v Mariboru Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Enopredmetna matematika IZPIT IZ VERJETNOSTI IN STA
Enopredmetna matematika IN STATISTIKE Maribor, 31. 01. 2012 1. Na voljo imamo kovanca tipa K 1 in K 2, katerih verjetnost, da pade grb, je p 1 in p 2. (a) Istočasno vržemo oba kovanca. Verjetnost, da je
Prikaži več7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE
7. VAJA A. ENAČBA ZBIRALNE LEČE 1. UVOD Enačbo leče dobimo navadno s pomočjo geometrijskih konstrukcij. V našem primeru bomo do te enačbe prišli eksperimentalno, z merjenjem razdalj a in b. 2. NALOGA Izračunaj
Prikaži večANALITIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
3. Analitična geometrija v ravnini Osnovna ideja analitične geometrije je v tem, da vaskemu geometrijskemu objektu (točki, premici,...) pridružimo števila oz koordinate, ki ta objekt popolnoma popisujejo.
Prikaži večMatematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 23. april 2014 Soda in liha Fourierjeva vrsta Opomba Pri razvoju sode periodične funkcije f v Fourierjevo vrsto v razvoju nastopajo
Prikaži več(Microsoft Word - 3. Pogre\232ki in negotovost-c.doc)
3.4 Merilna negotovost Merilna negotovost je parameter, ki pripada merilnem rezltat. Označje razpršenost vrednosti, ki jih je mogoče z določeno verjetnostjo pripisati merjeni veličini. Navaja kakovost
Prikaži večDN080038_plonk plus fizika SS.indd
razlage I formule I rešeni primeri I namigi I opozorila I tabele Srednješolski Plonk+ Fizika razlage formule rešeni primeri namigi opozorila tabele Avtor: Vasja Kožuh Strokovni pregled: dr. Gorazd Planinšič
Prikaži večglava.dvi
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 2. Za dogodke A, B in C velja: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Kako lahko to pravilo posplošimo
Prikaži večPoročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranj
Poročilo o opravljenem delu pri praktičnem pouku fizike: MERJENJE S KLJUNASTIM MERILOM Ime in priimek: Mitja Kočevar Razred: 1. f Učitelj: Otmar Uranjek, prof. fizike Datum izvedbe vaje: 11. 11. 2005 Uvod
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja5.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 5 Naloge 1. del: t test za
Prikaži večPoskusi s kondenzatorji
Poskusi s kondenzatorji Samo Lasič, Fakulteta za Matematiko in Fiziko, Oddelek za fiziko, Ljubljana Povzetek Opisani so nekateri poskusi s kondenzatorji, ki smo jih izvedli z merilnim vmesnikom LabPro.
Prikaži več7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor o
7. tekmovanje v znanju astronomije 8. razred OŠ Državno tekmovanje, 9. januar 2016 REŠITVE NALOG IN TOČKOVNIK SKLOP A V sklopu A je pravilen odgovor ovrednoten z 2 točkama; če ni obkrožen noben odgovor
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5. februar 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost Pisni izpit 5 februar 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Nalog je
Prikaži večIme in priimek
Polje v osi tokovne zanke Seminar pri predmetu Osnove Elektrotehnike II, VSŠ (Uporaba programskih orodij v elektrotehniki) Ime Priimek, vpisna številka, skupina Ljubljana,.. Kratka navodila: Seminar mora
Prikaži večOsnove statistike v fizični geografiji 2
Osnove statistike v geografiji - Metodologija geografskega raziskovanja - dr. Gregor Kovačič, doc. Bivariantna analiza Lastnosti so med sabo odvisne (vzročnoposledično povezane), kadar ena lastnost (spremenljivka
Prikaži več3. Preizkušanje domnev
3. Preizkušanje domnev doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 3.1 Izračunavanje intervala zaupanja za vrednosti regresijskih koeficientov Motivacija
Prikaži večVerjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC
Verjetnost in vzorčenje: teoretske porazdelitve standardne napake ocenjevanje parametrov as. dr. Nino RODE prof. dr. Blaž MESEC VERJETNOST osnovni pojmi Poskus: dejanje pri katerem je izid negotov met
Prikaži večMERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE
MERJENJE GORIŠČNE RAZDALJE LEČE 1. UVOD: V tej vaji je bilo potrebno narediti pet nalog, povezanih z lečami. 2. NALOGA: -Na priloženih listih POTREBŠČINE: -Na priloženih listih A. Enačba zbiralne leče
Prikaži večLABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE
UVOD LABORATORIJSKE VAJE IZ FIZIKE V tem šolskem letu ste se odločili za fiziko kot izbirni predmet. Laboratorijske vaje boste opravljali med poukom od začetka oktobra do konca aprila. Zunanji kandidati
Prikaži večM
Š i f r a k a n d i d a t a : Državni izpitni center *M16140111* Osnovna raven MATEMATIKA Izpitna pola 1 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK Sobota, 4. junij 016 / 10 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat
Prikaži večOsnove matematicne analize 2018/19
Osnove matematične analize 2018/19 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko
Prikaži večSlide 1
Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je v smerni vektor premice in a poljubno število. r a v Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta v, v vektorja na
Prikaži večMicrosoft Word - CelotniPraktikum_2011_verZaTisk.doc
Elektrotehniški praktikum Sila v elektrostatičnem polju Namen vaje Našli bomo podobnost med poljem mirujočih nabojev in poljem mas, ter kakšen vpliv ima relativna vlažnost zraka na hitrost razelektritve
Prikaži večUniverza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE Gravitacija - ohranitveni zakoni
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za aplikativno naravoslovje Fizika (I. stopnja) Mehanika 2014/2015 VAJE 12. 11. 2014 Gravitacija - ohranitveni zakoni 1. Telo z maso M je sestavljeno iz dveh delov z masama
Prikaži večFGG13
10.8 Metoda zveznega nadaljevanja To je metoda za reševanje nelinearne enačbe f(x) = 0. Če je težko poiskati začetni približek (še posebno pri nelinearnih sistemih), si lahko pomagamo z uvedbo dodatnega
Prikaži večBrownova kovariancna razdalja
Brownova kovariančna razdalja Nace Čebulj Fakulteta za matematiko in fiziko 8. januar 2015 Nova mera odvisnosti Motivacija in definicija S primerno izbiro funkcije uteži w(t, s) lahko definiramo mero odvisnosti
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6. julij 2018 Navodila Pazljivo preberite be
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULEA ZA MAEMAIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 6 julij 2018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven rezultat
Prikaži večStatistika, Prakticna matematika, , izrocki
Srednje vrednosti Srednja vrednost...... številske spremenljivke X je tako število, s katerim skušamo kar najbolje naenkrat povzeti vrednosti na posameznih enotah: Polovica zaposlenih oseb ima bruto osebni
Prikaži večVrste
Matematika 1 17. - 24. november 2009 Funkcija, ki ni algebraična, se imenuje transcendentna funkcija. Podrobneje si bomo ogledali naslednje transcendentne funkcije: eksponentno, logaritemsko, kotne, ciklometrične,
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - cigre_c2_15.ppt [Compatibility Mode]
Univerza v Mariboru Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Boštjan Polajžer, Drago Dolinar, Jožef Ritonja (FERI) bostjan.polajzer@um.si Andrej Semprimožnik (ELES) KAZALNIKI KAKOVOSTI
Prikaži večUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v fina
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Katja Ciglar Analiza občutljivosti v Excel-u Seminarska naloga pri predmetu Optimizacija v financah Ljubljana, 2010 1. Klasični pristop k analizi
Prikaži večNAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo to
NAVADNA (BIVARIATNA) LINEARNA REGRESIJA O regresijski analizi govorimo, kadar želimo opisati povezanost dveh numeričnih spremenljivk. Opravka imamo torej s pari podatkov (x i,y i ), kjer so x i vrednosti
Prikaži večMladi za napredek Maribora srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 2015
Mladi za napredek Maribora 015 3. srečanje DOLŽINA»SPIRALE«Matematika Raziskovalna naloga Februar 015 Kazalo 1. Povzetek...3. Uvod...4 3. Spirala 1...5 4. Spirala...6 5. Spirala 3...8 6. Pitagorejsko drevo...10
Prikaži več11. Navadne diferencialne enačbe Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogo
11. Navadne diferencialne enačbe 11.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Prikaži večMatematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y
Matematika Diferencialne enačbe prvega reda (1) Reši diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami: (a) y = 2xy, (b) y tg x = y, (c) y = 2x(1 + y 2 ). Rešitev: Diferencialna enačba ima ločljive spremenljivke,
Prikaži več1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y x x x x x
1 Diskretni naklju ni vektorji 1 1 Diskretni naklju ni vektorji 1. Dopolni tabelo tako, da bosta X in Y neodvisni. X Y 0 1 2 1 1-1 x x 20 10 1 0 x x x 10 1 1 x x x 20 x x x 1 Dolo i ²e spremenljivko Z,
Prikaži večSTAVKI _5_
5. Stavki (Teoremi) Vsebina: Stavek superpozicije, stavek Thévenina in Nortona, maksimalna moč na bremenu (drugič), stavek Tellegena. 1. Stavek superpozicije Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno
Prikaži več2. Model multiple regresije
2. Model multiple regresije doc. dr. Miroslav Verbič miroslav.verbic@ef.uni-lj.si www.miroslav-verbic.si Ljubljana, februar 2014 2.1 Populacijski regresijski model in regresijski model vzorčnih podatkov
Prikaži več4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, Grafi II Jure Senčar
4. tema pri predmetu Računalniška orodja v fiziki Ljubljana, 6.4.29 Grafi II Jure Senčar Relativna sila krčenja - F/Fmax [%]. Naloga Nalogo sem delal v Excelu. Ta ima vgrajeno funkcijo, ki nam vrne logaritemsko
Prikaži večPoslovilno predavanje
Poslovilno predavanje Matematične teme z didaktiko Marko Razpet, Pedagoška fakulteta Ljubljana, 20. november 2014 1 / 32 Naše skupne ure Matematične tehnologije 2011/12 Funkcije več spremenljivk 2011/12
Prikaži večLaTeX slides
Statistični modeli - interakcija - Milena Kovač 23. november 2007 Biometrija 2007/08 1 Število živorojenih pujskov Biometrija 2007/08 2 Sestavimo model! Vplivi: leto, farma Odvisna spremenljivka: število
Prikaži večMicrosoft Word - SI_vaja1.doc
Univerza v Ljubljani, Zdravstvena fakulteta Sanitarno inženirstvo Statistika Inštitut za biostatistiko in medicinsko informatiko Š.l. 2011/2012, 3. letnik (1. stopnja), Vaja 1 Naloge 1. del: Opisna statistika
Prikaži večVektorji - naloge za test Naloga 1 Ali so točke A(1, 2, 3), B(0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) A(0, 3, 5), B(1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 Ali toč
Vektorji - naloge za test Naloga 1 li so točke (1, 2, 3), (0, 3, 7), C(3, 5, 11) b) (0, 3, 5), (1, 2, 2), C(3, 0, 4) kolinearne? Naloga 2 li točke a) (6, 0, 2), (2, 0, 4), C(6, 6, 1) in D(2, 6, 3), b)
Prikaži več1 Naloge iz Matematične fizike II /14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperat
1 Naloge iz Matematične fizike II - 2013/14 1. Enakomerno segreto kocko vržemo v hladnejšo vodo stalne temperature. Kako se spreminja s časom temperatura v kocki? Kakšna je časovna odvisnost toplotnega
Prikaži večVIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. U
VIDEOANALIZA GIBANJ Za kratke projektne naloge lahko dijaki z domačimi digitalnimi fotoaparati posnamejo nekaj sekundne videofilme poljubnih gibanj. Uporabni so skoraj vsi domači digitalni fotoaparati.
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika Pisni izpit. junij 22 Ime in priimek Vpisna st Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer so
Prikaži večMicrosoft Word - ELEKTROTEHNIKA2_ junij 2013_pola1 in 2
Šifra kandidata: Srednja elektro šola in tehniška gimnazija ELEKTROTEHNIKA PISNA IZPITNA POLA 1 12. junij 2013 Čas pisanja 40 minut Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero
Prikaži več2
Drsni ležaj Strojni elementi 1 Predloga za vaje Pripravila: doc. dr. Domen Šruga as. dr. Ivan Okorn Ljubljana, 2016 STROJNI ELEMENTI.1. 1 Kazalo 1. Definicija naloge... 3 1.1 Eksperimentalni del vaje...
Prikaži večAlbert Einstein in teorija relativnosti
Albert Einstein in teorija relativnosti Rojen 14. marca 1879 v judovski družini v Ulmu, odraščal pa je v Münchnu Obiskoval je katoliško osnovno šolo, na materino željo se je učil igrati violino Pri 15
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - ID02_ANALIZA REZULTATOV JAMOMERSKIH MERITEV ZA IZGRADNJO JAŠKA NOP II - predstavitev skok čez kožo.pptx
43. SKOK ČEZ KOŽO Analiza rezultatov jamomerskih meritev za izgradnjo jaška NOP II Matjaž Koželj 1, Jure Slatinšek 2, Tomaž Ambrožič 3 1 Premogovnik Velenje d.d., Velenje 2 PV Invest, d.o.o., Velenje 3
Prikaži večSlide 1
SLUČAJNE SPREMENLJIVKE Povezave med verjetnostjo P, porazdelitveno funcijo F in gostoto porazdelitve p. P F (x) =P( x) P(a b)=f (b)-f (a) F p Slučajna spremenljiva ima gostoto p. Kašno gostoto ima Y=+l?
Prikaži večDN5(Kor).dvi
Koreni Število x, ki reši enačbo x n = a, imenujemo n-ti koren števila a in to označimo z n a. Pri tem je n naravno število, a pa poljubno realno število. x = n a x n = a. ( n a ) n = a. ( n a ) m = n
Prikaži večPREDMETNI KURIKULUM ZA RAZVOJ METEMATIČNIH KOMPETENC
MATEMATIKA 1.razred OSNOVE PREDMETA POKAZATELJI ZNANJA SPRETNOSTI KOMPETENCE Naravna števila -pozna štiri osnovne računske operacije in njihove lastnosti, -izračuna številske izraze z uporabo štirih računskih
Prikaži večMicrosoft Word - A-3-Dezelak-SLO.doc
20. posvetovanje "KOMUNALNA ENERGETIKA / POWER ENGINEERING", Maribor, 2011 1 ANALIZA OBRATOVANJA HIDROELEKTRARNE S ŠKOLJČNIM DIAGRAMOM Klemen DEŽELAK POVZETEK V prispevku je predstavljena možnost izvedbe
Prikaži večIme in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31. avgust 2018 Navodila Pazljivo preberite
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Statistika Pisni izpit 31 avgust 018 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Za pozitiven
Prikaži večMicrosoft Word - RAZISKAVA_II._del.doc
DEJAVNIKI VARNOSTI CESTNEGA PROMETA V SLOVENIJI Raziskava II. del Inštitut za kriminologijo pri Pravni fakulteti v Ljubljani Ljubljana, avgusta 2010 Vodja raziskave: dr. Dragan Petrovec Izvajalci in avtorji:
Prikaži večKhamikaze - Astro - Vogel 2011.indd
VESOLJE, KI ME PREVZEMA SREČANJE PRIJATELJEV RADIA OGNJIŠČE VOGEL 2011 utrinki Kje smo? Živimo v prostoru in času. Smo del narave (Stvarstva) in zato razmišljajmo o njej. Doma smo v galaksiji Rimska cesta
Prikaži večC:/Users/Matevž Èrepnjak/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-avgust-17.dvi
Vpisna številka Priimek, ime Smer: K KT WA Izpit pri predmetu MATEMATIKA I Računski del Ugasni in odstrani mobilni telefon. Uporaba knjig in zapiskov ni dovoljena. Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik,
Prikaži večMrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič 22. maj 2013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posamezni segmenti p
Mrežni modeli polimernih verig Boštjan Jenčič. maj 013 Eden preprostejših opisov polimerne verige je mrežni model, kjer lahko posameni segmenti polimera asedejo golj ogljišča v kvadratni (ali kubični v
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2. kolokvij 4. januar 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večRAM stroj Nataša Naglič 4. junij RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni
RAM stroj Nataša Naglič 4. junij 2009 1 RAM RAM - random access machine Bralno pisalni, eno akumulatorski računalnik. Sestavljajo ga bralni in pisalni trak, pomnilnik ter program. Bralni trak- zaporedje
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNISTVO Matematika 2. kolokvij. december 2 Ime in priimek: Vpisna st: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite resevanja. Veljale bodo samo resitve na papirju, kjer
Prikaži večBiometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s š
Biometrija 1 Poglavje 1 PORAZDELITVE NAKLJUČNIH SPREMENLJIVK Porazdelitve nam predstavljajo pogostnost posameznih vrednosti. Predstavimo jih lahko s številom posameznih vrednosti (dogodkov) ali z deleži
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - p_TK_inzeniring_1_dan_v5_shortTS.ppt [Compatibility Mode]
Telekomunikacijski inženiring dr. Iztok Humar Vsebina Značilnosti TK prometa, preprosti modeli, uporaba Uvod Značilnosti telekomunikacijskega prometa Modeliranje vodovno komutiranih zvez Erlang B Erlang
Prikaži večGeometrija v nacionalnih preverjanjih znanja
Geometrija v nacionalnih preverjanjih znanja Aleš Kotnik, OŠ Rada Robiča Limbuš Boštjan Repovž, OŠ Krmelj Struktura NPZ za 6. razred Struktura NPZ za 9. razred Taksonomska stopnja (raven) po Gagneju I
Prikaži večNAVODILA AVTORJEM PRISPEVKOV
Predmetna komisija za nižji izobrazbeni standard matematika Opisi dosežkov učencev 6. razreda na nacionalnem preverjanju znanja Slika: Porazdelitev točk pri matematiki (NIS), 6. razred 1 ZELENO OBMOČJE
Prikaži več1. izbirni test za MMO 2018 Ljubljana, 16. december Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n 2 okraskov n različnih barv in ni nujno, da imam
1. izbirni test za MMO 018 Ljubljana, 16. december 017 1. Naj bo n naravno število. Na mizi imamo n okraskov n različnih barv in ni nujno, da imamo enako število okraskov vsake barve. Dokaži, da se okraske
Prikaži večUporaba preglednic za obdelavo podatkov B. Golli, PeF 15. november 2010 Kazalo 1 Uvod 1 2 Zgled iz kinematike Izračun hitrosti
Uporaba preglednic za obdelavo podatkov B. Golli, PeF 15. november 2010 Kazalo 1 Uvod 1 2 Zgled iz kinematike 1 2.1 Izračun hitrosti................................... 2 2.2 Izračun povprečja in napake............................
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - Java_spremenljivke
Java Spremenljivke, prireditveni stavek Spremenljivke Prostor, kjer hranimo vrednosti Ime Znak, števka, _ Presledkov v imenu ne sme biti! Tip spremenljivke int (cela števila) Vse spremenljivke napovemo
Prikaži večVaje: Matrike 1. Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N 0 1 n ; n N Pokaži, da je množica x 0 y 0 x
Vaje: Matrike 1 Ugani rezultat, nato pa dokaži z indukcijo: (a) (b) [ ] n 1 1 ; n N n 1 1 0 1 ; n N 0 2 Pokaži, da je množica x 0 y 0 x y x + z ; x, y, z R y x z x vektorski podprostor v prostoru matrik
Prikaži večMicrosoft Word - Analiza rezultatov NPZ matematika 2018.docx
Analiza dosežkov pri predmetu matematika za NPZ 28 6. razred NPZ matematika 28 Dosežek šole Povprečno število točk v % Državno povprečje Povprečno število točk v % Odstopanje v % 49,55 52,52 2,97 Povprečni
Prikaži večN
Državni izpitni center *N19141132* 9. razred FIZIKA Ponedeljek, 13. maj 2019 NAVODILA ZA VREDNOTENJE NACIONALNO PREVERJANJE ZNANJA v 9. razredu Državni izpitni center Vse pravice pridržane. 2 N191-411-3-2
Prikaži večFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 2 Pisni izpit 9. junij 2005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite bese
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika Pisni izpit 9. junij 005 Ime in priimek: Vpisna št: Zaporedna številka izpita: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo
Prikaži večRAČUNALNIŠKA ORODJA V MATEMATIKI
DEFINICIJA V PARAVOKOTNEM TRIKOTNIKU DEFINICIJA NA ENOTSKI KROŢNICI GRAFI IN LASTNOSTI SINUSA IN KOSINUSA POMEMBNEJŠE FORMULE Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z
Prikaži večPoročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefo
Poročilo za 1. del seminarske naloge- igrica Kača Opis igrice Kača (Snake) je klasična igrica, pogosto prednaložena na malce starejših mobilnih telefonih. Obstaja precej različic, sam pa sem sestavil meni
Prikaži večMicrosoft PowerPoint _12_15-11_predavanje(1_00)-IR-pdf
uporaba for zanke i iz korak > 0 oblika zanke: for i iz : korak : ik NE i ik DA stavek1 stavek2 stavekn stavek1 stavek2 stavekn end i i + korak I&: P-XI/1/17 uporaba for zanke i iz korak < 0 oblika zanke:
Prikaži večMERE SREDNJE VREDNOSTI
OPIS PODATKOV ENE SPREMENLJIVKE frekvenčne porazdelitve in mere srednje vrednosti as. dr. Nino RODE Uni-Lj. Fakulteta za socialno delo O ČEM BOMO GOVORILI NAMEN OPISNE STATISTIKE Kako opisati podatke OPIS
Prikaži večPrevodnik_v_polju_14_
14. Prevodnik v električnem polju Vsebina poglavja: prevodnik v zunanjem električnem polju, površina prevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektrostatična indukcija (influenca), polje znotraj votline
Prikaži večFIZIKA IN ARHITEKTURA SKOZI NAŠA UŠESA
FIZIKA IN ARHITEKTURA SKOZI NAŠA UŠESA SE SPOMNITE SREDNJEŠOLSKE FIZIKE IN BIOLOGIJE? Saša Galonja univ. dipl. inž. arh. ZAPS marec, april 2012 Vsebina Kaj je zvok? Kako slišimo? Arhitekturna akustika
Prikaži večFunkcije in grafi
14 Funkcije in grafi Funkcije Zapisi funkcij Sorazmernost Obratna sorazmernost Potenčne funkcije Polinomske funkcije Druge funkcije Prileganje podatkom 14.1 Funkcije Spremenljivke Odvisnost spremenljivk
Prikaži večŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA
ŠTEVCI PROMETA IN NJIHOVA UPORABA ZA NAMENE STATISTIK ČRT GRAHONJA Navdih Poizvedovanje po BD podatkovnih virih, ki imajo časovno dimenzijo in so dostopni. Večji promet pomeni večje število dobrin in močnejšo
Prikaži večpredstavitev fakultete za matematiko 2017 A
ZAKAJ ŠTUDIJ MATEMATIKE? Ker vam je všeč in vam gre dobro od rok! lepa, eksaktna veda, ki ne zastara matematičnoanalitično sklepanje je uporabno povsod matematiki so zaposljivi ZAKAJ V LJUBLJANI? najdaljša
Prikaži večresitve.dvi
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 3. februar Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Prikaži večMere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) - Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike
Mere kompleksnih mrež (angl. Network Statistics) Seminarska naloga pri predmetu Izbrana poglavja iz diskretne matematike Ajda Pirnat, Julia Cafnik in Živa Mitar Fakulteta za matematiko in fiziko April
Prikaži večDomače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 2007/08 Kazalo 1 Vektorji 2 2 Analit
Domače vaje iz LINEARNE ALGEBRE Marjeta Kramar Fijavž Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Univerze v Ljubljani 007/08 Kazalo Vektorji Analitična geometrija 7 Linearni prostori 0 4 Evklidski prostori
Prikaži večPožarna odpornost konstrukcij
Požarna obtežba in razvoj požara v požarnem sektorju Tomaž Hozjan e-mail: tomaz.hozjan@fgg.uni-lj.si soba: 503 Postopek požarnega projektiranja konstrukcij (SIST EN 1992-1-2 Izbira za projektiranje merodajnih
Prikaži več1 Tekmovanje gradbenih tehnikov v izdelavi mostu iz špagetov 1.1 Ekipa Ekipa sestoji iz treh članov, ki jih mentor po predhodni izbiri prijavi na tekm
1 Tekmovanje gradbenih tehnikov v izdelavi mostu iz špagetov 1.1 Ekipa Ekipa sestoji iz treh članov, ki jih mentor po predhodni izbiri prijavi na tekmovanje. Končni izdelek mora biti produkt lastnega dela
Prikaži večDOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z in z Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a p
DOMACA NALOGA - LABORATORIJSKE VAJE NALOGA 1 Dani sta kompleksni stevili z 1 5 2 3 in z 2 3 8 5. Kompleksno stevilo je definirano kot : z = a + b, a predstavlja realno, b pa imaginarno komponento. z 1
Prikaži več1 EKSPERIMENTALNI DEL 1.1 Tkanina Pri pranju smo uporabili pet tkanin, od katerih je bila ena bela bombažna tkanina (B), preostale tkanine (E101, E111
1 EKSPERIMENTALNI DEL 1.1 Tkanina Pri pranju smo uporabili pet tkanin, od katerih je bila ena bela bombažna tkanina (B), preostale (E101, E111, E114 in E160) pa so bile zamazane z različnimi umazanijami
Prikaži večPRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEP
PRILOGA 2 Minimalni standardi kakovosti oskrbe za izbrane dimenzije kakovosti oskrbe in raven opazovanja posameznih parametrov kakovosti oskrbe 1. NEPREKINJENOST NAPAJANJA 1.1. Ciljna raven neprekinjenosti
Prikaži večPowerPoint Presentation
Recenzija: prof.dr. Rajko Bernik Prevod in priredba: Renata Fras Peterlin Picture source: Syngenta 1 začetek Preverjanje delovanja pršilnika Merjenje traktorske hitrosti Merjenje pretoka Pri umerjanju
Prikaži večPriloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / Uradni lis
Priloga 1: Pravila za oblikovanje in uporabo standardiziranih referenc pri opravljanju plačilnih storitev Stran 4012 / Št. 34 / 24. 5. 2019 Uradni list Republike Slovenije PRILOGA 1 PRAVILA ZA OBLIKOVANJE
Prikaži večCpE & ME 519
2D Transformacije Zakaj potrebujemo transformacije? Animacija Več instanc istega predmeta, variacije istega objekta na sceni Tvorba kompliciranih predmetov iz bolj preprostih Transformacije gledanja Kaj
Prikaži večM-Tel
Poročilo o meritvah / Test report Št. / No. 16-159-M-Tel Datum / Date 16.03.2016 Zadeva / Subject Pooblastilo / Authorization Meritve visokofrekvenčnih elektromagnetnih sevanj (EMS) Ministrstvo za okolje
Prikaži večPosebne funkcije
10 Posebne funkcije Posebne funkcije Geometrijska vrsta Binomska vrsta Eksponentna funkcija Logaritemska funkcija Kotne funkcije Kotne tabele Grafi kotnih funkcij Obratne kotne funkcije 10.1 Posebne funkcije
Prikaži več30 Vpihovalne šobe Vpihovalna šoba VŠ-4 Uporaba Vpihovalne šobe VŠ-4 se uporabljajo za oskrbovanje prostorov s hladnim ali toplim zrakom povsod tam, k
30 Vpihovalna šoba VŠ-4 Uporaba VŠ-4 se uporabljajo za oskrbovanje prostorov s hladnim ali toplim zrakom povsod tam, kjer se zahtevajo velike dometne razdalje in nizka stopnja šumnosti. S postavitvijo
Prikaži večC:/Users/Matevz/Dropbox/FKKT/TESTI-IZPITI-REZULTATI/ /Izpiti/FKKT-januar-februar-15.dvi
Kemijska tehnologija, Kemija Bolonjski univerzitetni program Smer: KT K WolframA: DA NE Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Prikaži večMicrosoft PowerPoint - OVT_4_IzolacijskiMat_v1.pptx
Osnove visokonapetostne tehnike Izolacijski materiali Boštjan Blažič bostjan.blazic@fe.uni lj.si leon.fe.uni lj.si 01 4768 414 013/14 Izolacijski materiali Delitev: plinasti, tekoči, trdni Plinasti dielektriki
Prikaži večPowerPointova predstavitev
Obravnava kotov za učence s posebnimi potrebami Reading of angles for pupils with special needs Petra Premrl OŠ Danila Lokarja Ajdovščina OSNOVNA ŠOLA ENAKOVREDNI IZOBRAZBENI STANDARD NIŽJI IZOBRAZBENI
Prikaži večPowerPoint Presentation
Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F ()=f() pravimo, da je F() primitivna funkcija za funkcijo f(). Primeri: f ( ) = cos f ( ) = sin f () =
Prikaži več