Popravki nalog: Numerična analiza - podiplomski študij FGG 9.8.24: popravljena naloga 4 3..25: popravljena naloga 4 domače naloge - 2. skupina V drugem delu morate rešiti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj točk in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 točke. Za to, katere naloge boste reševali, se lahko odločite sami. Rešitve nalog skupaj z opisom reševanja in morebitnimi računalniškimi programi lahko oddate po elektronski pošti ali pa oddate v moj predal na Jadranski 9. Fiksnega roka ni (recimo do naslednjega izvajanja tega predmeta), ko boste oddali naloge iz prvega in drugega sklopa (oboje lahko naredite skupaj), se lahko domenite za ustni zagovor rešitve, na katerem lahko dobite tudi kakšno vprašanje iz snovi, ki se nanaša na nalogo. Končna ocena bo odvisna od kvalitete narejenih domačih nalog in ustnega zagovora. V nalogah, kjer je potrebno napisati računalniški program in ni točno navedeno, da mora biti v Matlabu, je le ta lahko napisan v Matlabu ali Mathematici, za ostalo pa je potreben predhoden dogovor. Za reševanje nalog je dovoljeno uporabljati vse, kar vam pride pod roke, edini pogoj je, da jo rešite sami. Iz vsake skupine nalog, ki je označena z enako črko, lahko izberete le eno nalogo. Parameter w, ki nastopa v nalogah, je enak vašemu dnevu in mesecu rojstva v obliki dd.mm, npr. če ste rojeni 2. maja, potem je w = 2.5.. (A)(2 točki) Izlimitirani integral 2h f(x) x dx izračunaj na dva načina: a) s substitucijo x = t 2 odstrani singularnost in uporabi Simpsonovo pravilo (nesestavljeno), b) izpelji kvadraturno formulo 2h f(x) x dx = a f() + a f(h) + a 2 f(2h) + Rf (3) (ξ), ki bo točna za polinome čim višje stopnje (izpelji le koeficiente a, a, a 2 ). Metodi primerjaj na integralu 2+w/ rezultata in točno vrednost. e x x dx = π erf( 2 + w/). Zapiši dobljena 2. (B)(2 točki) Pri računanju integrala I = x ln xdx s sestavljenim trapeznim pravilom velja I = T (h) + Ah 2 ln h + Bh 2 + Ch 4 + Dh 6 +. Kako bi tu lahko posplošil Rombergovo ekstrapolacijo za izračun integrala I? Vzemi h =.5 in izračunaj T (h), T (h/2), T (h/4) in T (h/8). Iz njih ekstrapoliraj točnejšo vrednost integrala. Rezultate primerjaj z vrednostmi, ki jih dobiš, če uporabiš standardno Rombergovo ekstrapolacijo. 3. (B)(2 točki) Pri računanju integrala I = x( x)dx s sestavljenim trapeznim pravilom velja I = T (h) + Ah 3/2 + Bh 5/2 + Ch 7/2 + Dh 9/2 +.
Kako bi tu lahko posplošil Rombergovo ekstrapolacijo za izračun integrala I? Vzemi h =.5 in izračunaj T (h), T (h/2), T (h/4) in T (h/8). Iz njih ekstrapoliraj točnejšo vrednost integrala. Rezultate primerjaj z vrednostmi, ki jih dobiš, če uporabiš standardno Rombergovo ekstrapolacijo. 4. (B)(2 točki) (popravek 9.8.24) Pri računanju integrala I = sredinskim pravilom velja dx I = U(h) + Ah /2 + Bh 2 + Ch 4 + Dh 6 +. x = 2 s sestavljenim Kako bi tu lahko posplošil Rombergovo ekstrapolacijo za izračun integrala I? Vzemi h =.25 in izračunaj U(h), U(h/2), U(h/4) in U(h/8). Iz njih ekstrapoliraj točnejšo vrednost integrala. Rezultate primerjaj z vrednostmi, ki jih dobiš, če uporabiš standardno Rombergovo ekstrapolacijo (to pomeni, da iste koeficiente, kot so za sestavljeno trapezno pravilo, uporabite tudi za sestavljeno sredinsko pravilo). 5. (C)(6 točk) Za brezdimenzijski geometrijski faktor F za pokončno prizmo, katere presek je območje Ω R 2 z robom Ω, velja, da je F = 4π S 2 ψds, kjer je ψ torzijska funkcija preseka, kar pomeni, da je ψ rešitev paricalne diferencialne enačbe ψ = 2 prirobnem pogoju Ω ψ Ω =. Na vsaj 6 decimalk točno izračunaj F za prizmo s presekom, ki je enak 3/4 kvadrata (manjka ena četrtina). Za izračun ψ uporabi pettočkovno shemo, za integriranje pa uporabi sestavljeno trapezno formulo v točkah iz mreže. Pri samem izračunu ψ predstavi matriko v obliki razpršene matrike ali pa uporabi kakšno iterativno metodo. 6. (C)(6 točk) Za brezdimenzijski geometrijski faktor F za pokončno prizmo, katere presek je območje Ω R 2 z robom Ω, velja, da je F = 4π S 2 ψds, 2 Ω
kjer je ψ torzijska funkcija preseka, kar pomeni, da je ψ rešitev paricalne diferencialne enačbe ψ = 2 prirobnem pogoju ψ Ω =. Na vsaj 6 decimalk točno izračunaj F za prizmo s presekom, ki ga dobiš, če enotski kvadrat razdeliš na 3 3 enake dele in odstraniš vse vogalne dele. Uporabi pettočkovno shemo. Za integriranje uporabi sestavljeno trapezno formulo v točkah iz mreže. 7. (D)(2 točki) Denimo, da z visokega mostu skačete z elastiko. Dolžina elastike je l, koeficient elastičnosti k in vaša masa m. Ko padate relativno glede na višino mostu, velja { mx mg k(x(t) l) α x (t) = (t) x (t), x(t) l mg α x (t) x (t), x(t) < l Tu je α koeficient zračnega upora, za katerega vzemite α =.8, koeficient elastičnosti vrvi naj bo k = 5, dolžina vrvi pa m. Izračunajte dolžino vrvi v trenutku, ko je najbolj raztegnjena. Kolikšna je maksimalna hitrost pri skoku? 8. (D)(4 točke) Denimo, da z visokega mostu skačete z elastiko. Dolžina elastike je l, koeficient elastičnosti k in vaša masa m. Ko padate relativno glede na višino mostu, velja { mx mg k(x(t) l) α x (t) = (t) x (t), x(t) l mg α x (t) x (t), x(t) < l Tu je α koeficient zračnega upora, za katerega vzemite α =.8, koeficient elastičnosti vrvi naj bo k = 5. Izračunajte, kako dolga mora biti vrv, da se boste v najnižjem položaju z rokami dotaknili reke pod mostom. Ker ste privezani za noge, ne pozabite prišteti vaše višine. Kolikšna je maksimalna hitrost med skokom? 9. (D)(5 točk) Denimo, da z visokega mostu skačete z elastiko. Dolžina elastike je l, koeficient elastičnosti k in vaša masa m. Ko padate relativno glede na višino mostu, velja { mx mg k(x(t) l) α x (t) = (t) x (t), x(t) l mg α x (t) x (t), x(t) < l Tu je α koeficient zračnega upora, za katerega vzemite α =.8, koeficient elastičnosti vrvi naj bo k = 5. Sestavite program v Matlabu, ki za poljubno izbiro višine mostu h in za podane podatke o masi osebe m izračuna kako dolga mora biti vrv, da se bo skakalec 3
v najnižjem položaju z rokami dotaknili reke pod mostom. Ker je privezan za noge, ne pozabite prišteti njegove višine. Program naj tudi vrne maksimalno hitrost, ki jo doseže med skokom.. (D)(5 točk) Na vsaj 8 točnih decimalnih mest izračunajte integral /x sin(2x ln(x))dx. Najprej poišči točke, kjer je funkcija, ki jo integrirate, enaka in interval razdelite na dele, kjer je funkcija pozitivna in negativna. Tako bo integral enak vsoti alternirajoče vrste. To vrsto izračunate tako, da na zaporedju delnih vsot uporabite eno izmed metod za pospešitev konvergence.. (E)(3 točke) Dve populaciji izrabljata isti vir hrane. Število živali v času t naj bo x (t) oziroma x 2 (t). Predpostavka je, da je število rojstev v vsaki populaciji proporcionalno število živih osebkov v tej populaciji, število smrti pa je odvisno od obeh populacij. Za populaciji velja naslednji sistem diferencialnih enačb: dx (t) dt dx 2 (t) dt = x (t)(4.3x (t).4x 2 (t)) = x 2 (t)(2.2x (t).x 2 (t)) Denimo, da je populacija vsake vrste na začetku. Kaj se dogaja s populacijskim modelom? Ali za to ali kakšno drugo začetno razporeditev pridemo do stabilne rešitve, ko števili postaneta konstantni? 2. (F)(5 točk) Okroglo topovsko kroglo izstrelimo z začetno hitrostjo v v zrak pod kotom θ. Med letom na kroglo delujeta težnost in zračni upor, ki je odvisen od relativne hitrosti krogle glede na veter, ki piha vodoravno. Enačbe, ki opisujejo gibanje krogle so: kjer je koeficient zračnega upora ẋ = v cos θ ẏ = v sin θ θ = g v cos θ v = D g sin θ, m D(t) = cρs 2 ((ẋ w(t))2 + ẏ 2 ), w(t) pa je hitrost vetra, ki vedno piha v vodravni smeri. Začetni pogoji so x() =, y() =, θ() = θ in v() = v. Začetni podatki so g = 9.8m/s 2, m = (5+w/)kg, v = 5m/s, c =.2, ρ =.29kg/m, s =.25m 2. Določi kot θ, pod katerim je potrebno izstreliti kroglo, da bo letela najdalj. To izračunaj za različne vetrovne pogoje: (a) w(t) = (brez vetra), 4
(b) w(t) = m/s (veter piha v nasprotni smeri leta), (c) w(t) = m/s (veter piha v smeri leta). 3. (G)(4 točke) Kadar rešujemo parcialno diferencialno enačbo u = f na območju, ki se ga da parametrizirati s polarnimi koordinatami, uporabimo mrežo v polarnih koordinatah in zapišemo enačbo v polarnih koordinatah kot u rr + r u r + r 2 u φφ = f(r, φ). Mrežo sedaj sestavimo v polarnih koordinatah in tako kot v kartezičnih koordinatah za aproksimacijo odvodov uporabimo simetrične diference. j- dr df j j+ Za območje Ω = {(x, y) R 2 ; x = r cos φ, y = r sin φ, < r <, i- i i+ π 2 < φ < 2π}, diferencialno enačbo u = 2 in robni pogoj u Ω = sestavi sistem, ga reši in nariši rešitev. Pri tem interval za r razdeli na delov, interval za φ pa na 3 delov. 4. (H)(4 točke) Gibanje kapsule Apollo okrog Zemlje in Lune opisuje naslednja slika, y A r r 2 Z d (,) D L x kjer je D razdalja med Zemljo in Luno, d je razdalja med središčem Zemlje in skupnim masnim središčem Zemlje in Lune, r je oddaljenost kapsule od Zemlje, r 2 pa oddaljenosti kapsule od Lune. Masa vesoljskega plovila je zanemarljiva glede na masi Zemlje in Lune. 5
Diferencialna enačba, ki opisuje tir kapsule (glede na gravitacijske sile, centrifugalno silo in Coriolisov pospešek) je ( ) x = G M(x + µd)/r 3 + m(x µ D)/r2 3 + Ω 2 x + 2Ωy ( ) y = G My/r 3 + my/r2 3 + Ω 2 y 2Ωx, kjer je G gravitacijska konstanta, M je masa Zemlje, m je masa Lune, µ in µ sta razmerji mase Zemlje in Lune glede na skupno maso, Ω pa je kotna hitrost rotacije Lune okrog Zemlje. Numerične vrednosti so Začetni pogoji so G = 6.67259 m 3 /(kgs 2 ) M = 5.974 24 kg m = 7.348 22 kg µ = m/(m + M) µ = M/(m + M) D = 3.844 8 m d = 4.669 6 m r = (x + d) 2 + y 2 r 2 = (D d x) 2 + y 2 Ω = 2.66 6 x() = 4.63 8 x () = y() = y () = 74. Nariši tir gibanja kapsule x(t), y(t) in na grafu označi začetni položaj, položaja Zemlje in Lune. Izračunaj tir za vsaj en obhod (ki se zgodi pri približno t = 2.4 6 s). Z različnimi metodami in natančnostmi poskusi ugotoviti ali gre za zaprto krivuljo. Kako blizu Zemlje pride med obhodom kapsula (tu upoštevaj, da je radij Zemlje r = 6.378 6 m)? 5. (I)(4 točke) Pri naravnem zvezno odvedljivem kubičnem zlepku manjkajoči enačbi dobimo tako, da zahtevamo, da je drugi odvod v začetni in končni točki enak oziroma p (x ) = p n(x n+ ) =. Sestavi program v Matlabu y=interpr(x,y,xi), ki deluje podobno kot interp, le da izračuna naravni zlepek. Pri reševanju linearnega sistema upoštevajte njegovo strukturo in ga rešite ekonomično. Poiščite primer, kjer se naravni kubični zlepki (interpr), zlepek, ki ohranja obliko (interp cubic) in dvakrat zvezno odvedjiv zlepek (interp spline) občutno razlikujejo. 6
6. (J)(4 točke) Dana je matrika A velikosti 2 2, kjer so vsi elementi enaki nič, razen na glavni diagonali, kjer so praštevila 2, 3,..., 224737 in pa enice na diagonalah, kjer je i j =, 2, 4, 8,..., 6384. Čim bolj natančno izračunajte element (, ) inverzne matrike matrike A. Pomagajte si z ugotovitvijo, da je (, ) ti element inverzne matrike matrike A prvi element vektorja x, ki je rešitev sistema Ax = e, kjer je e prvi enotski vektor. Ker je matrika A razpršena in velika, za reševanje uporabite kakšno iterativno metodo. Pri generiranju matrike A si pomagajte s funkcijo primes, ki vrne seznam praštevil, ki so pod izbrano mejo. Za kontrolo, točen rezultat, ki se mu poskusite čim bolj približati, je.7257834626846746868779256968869... 7