Norma Mankoč Borštnik 1.PREDMET : TEORIJA GRUP (SIMETRIJE V FIZIKI) Ljubljana, februar 2007 (2/1) (Povzetek tistega, kar je bilo realizirano.) 8. junij 2007 2.NAMEN. Predmet seznani študente s pomenom simetrij na vseh področjih fizike: fizike osnovnih delcev in polj, jedrske, atomske in molekularne fizike, fizike trdne snovi in tekočin ter gravitacije in kozmologije. Nauči jih koncepta simetrije klasičnih in kvantnih, relativističnih in nerelativističnih enačb gibanja za točkaste in razsežne delce ter za polja. Razčleni pojem notranjih prostostnih stopenj elementarnih fermionskih in bozonskih polj, pa tudi sestavljenih (gruč) delcev. Uvede matematični koncept teorije grup ter jih poveže s simetrijami v fiziki. Predstavi zvezne in diskretne grupe in študente nauči kako najti upodobitve teh grup ter na konkretnih primerih kako jih uporabiti. Predstavi tudi kvantne grupe in jih poveže s fizikalnimi aplikacijami. Vse trditve se ilustrirajo na primerih in dokažejo. 3.VSEBINA :. Koncept simetrije v fiziki Štiri in več razsežen prostor-čas. Evklidska, Minkowskega metrika ali katerakoli druga metrika. Interni prostor spinov in nabojev. Lorentzove in Poincaréjeve transformacije koordinat. Pomen grup SU(2), SO(1, 3), SU(3) in diskretnih simetrij v fiziki. Primeri. (Standardni model. Diracova in Weylova enačba.) Vaje. (Ponovitev grupe SU(2).) Pomen diskretnih simetrij v fiziki. Primeri. Vaje. (Schroedingerjeva enačba. Diracova enačba.) Splošne koordinantne transformacije. Kovariantnost in simetrija. Vaje. (Ponovitev Kv. II. ) Primeri. Domače naloge in seminarji. (Topologija in diferencialna geometrija v kozmoloških modelih. Standardni kozmološki model in simetrije). (13. februar 2007) Lokalne in globalne simetrije. Pomen teh simetrij v ravnem prostoru, v ukrivljenem prostoru. Lastnosti metričnega tenzorja pri transformacijah. Poincaréjeve transformacije. Translacije in Lorentzove transformacije. Vaje. (Ponovitev Lorentzovih transformacij iz Kv. II., Spinorske upodobitve in grupa SO(1,3). Ponovitev dokaza, da ima lahko katerakoli gruča delcev, ki je izolirana od okolice, spin 0, 1/2, 1, 3/2,...Primer, proton.). Dilatacija in posebne konformne transformacije koordinat. d=2 in Wittova ter Virasorova algebra. Primeri. Vaje, domače naloge. (Ponovitev lastnosti Cliffordovih objektov. Upodobitve grup SU(2), SO(1, 3)). Seminarji. (Pauli-Ljubanski vektor in upodobitve. Konformne simetrije in preslikave v dvorazsežnem prostoru. Uporaba konformne preslikave v letalstvu. Konformne simetrije v d=2 in Virasorova algebra). (20. in 28. februar 2007) 1
Ponovitev Kv. II. Ohranitveni zakoni v relativistični in nerelativistični klasični mehaniki. Ohranitev energije in gibalne količine. Ohranitev parnosti. Časovna in prostorska refleksija. Običajne (zunanje) in notranje prostostne stopnje. Simetrije v kvantni mehaniki. Lorentzove in Poincaréjeve transformacije v kvantni mehaniki. Primeri. Vaje. ((Spinorske upodobitve. Cliffordovi objekti, Diracova algebra.) Seminarske naloge. (Tehnika s produktom Cliffordovih objektov.) Enaki delci in permutacijska grupa (S n ). Youngovi diagrami. Upodobitve. Vaje. (Permutacijska grupa in Youngovi diagrami. Grupi S 3 in S 4 in upodobitve.). (7. marec 2007). Grupe in njihove lastnosti. Definicija grupe. Končne in zvezne grupe. Podgrupe. Primeri. (Rotacije okoli izbrane osi za kot α za poljubno razsežen prostor. Diskretne rotacije kot podgrupe zvezne rotacijske grupe. C 3, D 3. Permutacijska grupa S n ). Morfizmi. Homomorfizmi. Izomorfizmi. Konjugirani razredi in elementi. Primeri. (D 3, S 3 ). Direkten produkt grup. Ekvivalenčni razredi produkta grup. Levi in desni odseki. Primeri. (D 3, S 3. Normalne podgrupe. Primeri. (D 3, S 3 ) Kvocientna grupa. (D 3, S 3 ). Preprosta grupa. Teorem o reorganizaciji grupe. Lagrangeov teorem. Primeri. (D 3 ) Vaje. (Simetrične grupe, točkaste simetrične grupe. Primeri. Rotacije v dvorazsežnem prostoru in grupi SO(2), SO(1,1). Upodobitve. Translacije v enorazsežnem prostoru. Vrtilna količina in grupi SO(3) in SU(2). Upodobitve grupe. Vrtilna količina dveh delcev. Upodobitve. Clebsch-Gordanovi koeficienti.) ( 14., 21. marec 2007). Linearna algebra in vektorski prostori. Linearni vektorski prostori. (Ponovitev Kv. II.) Skalarni produkt. Hilbertov prostor. Primeri. Linearni operatorji. Antilinearni operatorji. Adjungirani in sebi adjungirani operatorji. Primeri. Unitarni operatorji. (28. marec 2007). Upodobitve grupe. Matrične upodobitve. Invariantni podprostori. Modul grupe. Razscepnost upodobitev. Razscepnost unitarnih upodobitev. Primeri. (Upodobitev grupe D 3 na treh ortogonalnih vektorjih e i.) Ekvivalentne upodobitve grupe. Fundamentalne in adjungirane upodobitve grupe. Primeri. (Grupa SO(3), SU(3)). Vaje. Vse invariantne podgrupe D 4. Matrične upodobitve. (28. marec, 4., 11. april 2007). Karakterji in ortogonalnostne relacije upodobitev grupe. Karakterji upodobitev. Shurovi lemi. Primeri. (Nerazscepne upodobitve grupe D 3 na treh ortogonalnih vektorjih.) Domača naloga. (Nerazscepne upodobitve grupe S 3 na šestih bazivčnih vektorjih. Nerazscepne upodobitve grupe D 3 na polinomih.) Ortogonalnostne relacije upodobitev in karakterjev diskretnih grup. Primeri. (D 3 ). Dekompozicija upodobitev. Kriteriji 2
za razscepnost. Direkten produkt upodobitev. Dekompozicija direktnega produkta upodobitev. Relacija med številom ekvivalenčnih razredov in med številom nerazscepnih upodobitev. Regularna (adjungirana) upodobitev. Povztek vseh ortogonalnostnih relacij. Konstrukcija tabele karakterjev. Primeri. (D 3 ) Vaje. Domača naloga. (Direkten produkt grup C 2xC 2. Kvocientna grupi S 3 /C 3, D 4 /C 2. Permutacijska grupa S 3 in matrične upodobitve.)(18., 25. april, 9. maj.). Projektorji. Definicija projektorjev. Definicija operatorjev prehoda. Primeri. (Upodobitev grupe D 3 na polinomih.) Vaje. Zožitev nerazcepne upodobitve na podgrupo. Inducirane upodobitve. (Drugi primeri iz atomske in molekularne fizike.) Seminarji. (Primeri iz molekularne, atomske fizike in kristalov, demonstracija uporabe katerikoli t točkaste grupe.) (9. maj. 2007.). Zvezne grupe. Liejeve grupe in Liejeva algebra, upodobitve. Rang Liejeve grupe. Podgrupe. Invariantne podgrupe. Invarjantni operatorji. Cartanova podalgebra. Korenski vektorji. Primeri. (Grupa SU(2), SO(1,3).) Iskanje korenskih vektorjev. Utežni vektorji in baza vektorskega prostora, na katerem so upodobitve grupe definirane. Lastnosti korenskih vektorjev. Verige korenskih vektorjev. Primeri. (Grupa SU(3).) Pozitivni korenski vektorji. Preprosti korenski vektorji. Lastnosti. Utežni vektorji. Lastnosti. Primeri. (Grupa SU(3).) Iskanje korenskih vektorjev in utežnih vektorjev na grupah z rangom 2. Primeri. (Grupe SO(4), SO(5), G 2.) (16., 22., 29. maj 2007.) Vaje. (Clebsch-Gordanovi koeficienti.). Dynkinovi diagrami. Grafične upodobitve korenskih vektorjev za grupe z rangom večjim kot dva. Seminarji. (Grupe SU(5)-uporaba, SO(10)-uporaba, SU(4)-uporaba, SU(6)-uporaba. SO(4)-uporaba.) (29. maj 2007). Seminarji. Poleg že zgoraj ob poglavjih zapisanih seminarjev predlagam tudi: Zvezne grupe in spini in naboji v Standardnem modelu. Grupa SU(3) in podgrupe. Mezonski in barionski multipleti, masne formule za sisteme kvarkov in nukleonov. Magnetni momenti. (Te seminarje predlagam predvsem tisti(m), ki ni(so) poslusal(i)a Kvantne mehanike II.). Permutacijska simetrija in Clebsch-Gordanovi koeficienti. Katere koli točkaste grupe v trdni snovi, kristalih, molekularni in atomski fiyiki, ali na kateremkoli področju, na katerem študent dela svoje raziskovalno delo. Uporaba izrekov in relacij.. Opombi. 3
Za dokaze nekaj trditev iz poglavja zveznih grup je zmanjkalo časa. Datumi so približni. 4.ŠTUDIJSKA LITERATURA M. Hamermesh, Group theory and its applicatio to physical problems, Dover Publication, Inc., New York 89. H. Georgi, Lie algebras in particle physics, Benjamin/Cummings, Massachussets 82. J.P. Elliott and P.G. Dawber, Symmetry in physics, Macmillan, Houndmills 79. L. Fonda and G.C. Ghirardi, Symmetry principles in quantum physics. M. Greiner and B. Müller, Quantum mechanics, Symmetries, Springer-Verlag, Berlin 89. Wu-Ki Tung, Goup theory in physics, World scientific, Singapore 85. Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Gauge theory of elementary particles, Clarendon, London 84. J.L. Anderson, Principles of relativity physics,academic, London 67. M. Carmeli, Group theory and general relativity, representations of the Lorentz group and their applications to the General relativity, Mc-Graw-Hill, New York 77. F.J. Dyson, Symmetry groups in nuclear and Paricle physics, Benjamin, Amsterdam 66. Mil. F. Križanič, Linearna analiza na grupah, DZS, Ljubljana 60. O.V. Kovalev, Irreducible representations of the space group, Gordon and Breach, 1965. M. Loebl, The application of group theoyr in physics, Pergamon Press, Oxford 1960. J. Cornwell, Group theory and electronic bands in solids, J. Wiley, New York 1969. M. Tinkham, Group theory and quantum mechanics, McGraw Hill, New York 1964. 5. OBVEZNOSTI ŠTUDENT(A)KE Aktivno sodelovanje pri vajah, domače naloge, seminarska naloga. Študent se lahko namesto izpita odloči za več seminarskih nalog, ki pokrijejo večji del snovi. 4
Ljubljana, 8.junij 2007 5