oovtev prejšjega predavaja Možco vseh možh zdov posusa, ustreza celotemu vzorčemu prostoru meujemo populacja. Izbrao podmožco zdov z populacje meujemo vzorec: V,, K, ) ( V prmeru, o so posameze aljuče spremeljve, astopajo v vzorcu medsebojo eodvse majo sto porazdeltev f(x), predstavlja vzorec V (,, K, ) aljuč vzorec. Osova aloga statste je a osov zbraega aljučega vzorca V (,, K, slepat a statstče lastost obravavae populacje. Hstogram Vzorec s ) ( x, x,, ) K x tatstčo slepaje x x m opulacja tatste, se uporabljajo za oceo parametrov θ populacje a osov aljučega vzorca V meujemo cele. r tem je v splošem statsta Z opredeljea s poljubo merljvo fucjo aljučega vzorca V. Z Z V ) Z(,,..., ( ) Da eo statsto Z Θˆ uporabmo ot celo za parametra θ morajo vredost statste θˆ Θˆ (V) met lastost: [ ˆ θ θ < C] lm jer je C zbraa poztva ostata. ) Dosledost cele: [ ˆ θ < ε ] lm θ Vzorča relatva freveca dogoda A ) Neprstraost cele Θˆ [ Θˆ ] θ 3) Asmptotsa eprstraost cele lm [ Θˆ ] lm ( ˆ θ + O( ) ) θ ( A) p( A) je eprstrasa dosleda cela verjetost dogoda A. Vzorčo povprečje [ ] m m je eprstraa dosleda cela povpreče vredost populacje
Vzorča varaca s ( ) je asmptotso eprstrasa med tem o je popravljea vzorča varaca ( ) eprstrasa dosleda cela varace populacje V splošem je statsta Z opredeljea s poljubo merljva fucja Z aljučega vzorca V. Z Z V ) Z(,,..., ( tatsta Z je aljuča spremeljva. Kar pome, da ma Z zalogo vredost eo porazdeltev verjetost F Z (z). ) 9.3. orazdeltev statste vzorčega povprečja Vzorčo povprečje aljučega vzorca smo opredell z: Z r tem so statstčo eodvse majo eao gostoto porazdeltve: f ( x) f ( x) j Cetral lmt teorem: Če vzorčmo z populacje z ezao porazdeltvjo verjetost bo porazdeltev vzorčega povprečja prblžo ormala z sredjo vredostjo varaco: [ ] m Var( ) Ozroma če je aljuč vzorec velost zbra z poljube populacje z: če je statste: V,,..., ) [ ] m ( Var( ) vzorčo povprečje potem porazdeltev Z / m z lmtra stadard ormal porazdeltv. 9.3. H-vadrat porazdeltev Imamo populacjo z ormalo porazdeltvjo, ma: [ ] m 0 Var( ) Zama as gostota porazdeltve aljuče spremeljve ozroma statste Z opredeljea z: Z
pozavajem gostote verjetost f Z (z) uporabe ovolucje laho določmo gostoto verjetost vsote dveh vadratov Z f f Z Z ( z) fz ( z) fz ( z x) d x π z x / ( zx) / e e / 0 x z x ( ) ( z) 0, / 0 z e Γ( / ), z / z > 0 z 0 d x pomočjo popole matematče ducje laho poažemo da velja: ( ) z / z e, z > 0 / Γ( / ) fz ( z) 0, z 0 Dobljea gostota verjetost za se meuje h-vadrat z prostostm stopjam. Naljuča spremeljva opredeljea z vsoto vadratov stadardzrah ormalh spremeljv ma h-vadrat porazdeltev gostote verjetost. rmer grafov h vadrat porazdeltve v odvsost od : Adtva lastost porazdeltve h-vadrat 5 0 [ Z ] Var ( Z ) x max, Naj bodo Y, Y,..., Y, h-vadrat eodvse aljuče spremeljve s prostostm stopjam,,...,. Y Y + Y + L+ Y Vredost ostalh začlh parametrov porazdeltve : r [ Z ] m ( + ) L( + r ) g / g / r je h-vadrat aljuča spremeljva z prostosto stopjo: rmer spremeljv z porazdeltvjo. oljub ormal porazdelje spremeljv z: [ ] m Var( ) laho prredmo stadard odm od sredje vredost Z : m Z z: [ Z] m 0 Z Var( Z) Z Vzorč drug momet spremeljve Z opredelje z: m, Z m ma porazdeltev z prostostm stopjam. 3
. Za poljubo ormalo spremeljv z: je z [ ] m Var( ) poda odm od vzor. povprečja 3. Z uporabo spremeljve laho zrazmo vzorč varac: ( ) s Na osov odma vpeljemo spremeljvo: ( ) ( ) ma porazdeltve z - prostostm stopjam. mata porazdeltve z - prostostm stopjam. Vredost porazdeltvea fucja so podae tabelarčo. Tabela podaja verjetost:, ( ) f ( z) z, Z d, Kjer je ozačuje vredost h-vadrat spremeljve z prostostm stopjam, pr ater je: 9.3.3 tudetova porazdeltev t Vzorčmo z ormale populacje z: [ ] m Var( ) ( ), (z) f Z, z Vzorčo povprečje porazdeltev z: populacje ma ormalo [ ] m Var( ) Na osov cetralega lmtega teorema ma statsta ozroma aljuča spremeljva: Z ( m ) / stadardo ormalo porazdeltev. redpostavmo, da varace populacje e pozamo. Kaj se zgod z porazdeltvjo spremeljve Z če v jej adomestmo z vzorčo varaco : T ( m ) / V splošem laho poažemo, da: Če je Z ormala spremeljva V h-vadrat spremeljva z prostostm stopjam če sta Z V statstčo eodvs, potem ma spremeljva: gostoto verjetost: f T [( + ) / ] Z V / Γ t) t + π Γ( / ) T ( [( ) ] ( ) < <, / t / + se meuje tudetova al t porazdeltev z prostostm stopjam. 4
rmer grafov tudetove gostote verjetost: f T () t 0 t Vredost ostalh začlh parametrov: r 3L [ ] ( r ) T m r 0 [ N(0,) ] g 0 g 3 3, 4 > ( )( 4) L( r) 4 [ T ] 0 Var( ) /( ) T t max 0 r V ašem prmeru mamo spremeljvo: Kjer je m ormala h-vadrat spremeljva z - prostostm stopjam, sta statstčo eod- vs. Zato ma gorja statsta T tudetovo ozroma t porazdeltev z - prostostm stopjam: f T Γ t) π ( m ) ( m ) / / [( ) / ] Γ( ( ) / ) t /( ) T ( [( ) + ] ( )/ tudetova porazdeltev je podaa v tabel, podaja:, T t, ( t ) f ( t)d z T t t,, oglavje 0 Osove teorje cel 0. Točovo ocejevaje parametrov a od poglavth alog statste je določtev porazdeltve verjetost opazovae aljuče spremeljve. r tem prvzamemo, da je opazova pojav možo opsat z eo od pozah teoretčh porazdeltve. Izbraa porazdeltev je opsaa z eo fucjo F (x,, je v splošem odvsa še od abora začlh parametrov q. Naša aloga je določt abor parametrov q a osov vzorca V, predstavlja podmožco populacje. Hstogram s Vzorec V tatstčo slepaje x x m r tem parameter q ocemo s pomočjo ustreze statste Z ozroma cele. opulacja 5
0.. Metode za določaje cel Metoda mometov orazdeltvea fucja F (x, aljuče spremeljve je v splošem odvsa od parametrov q. Od parametrov q so odvs tud momet m aljuče spremeljve : [ ] x d F ( x, x f ( x, ) d x m ( q Na osov daega vzorca v ( x, x, K, x) vredost mometov m, ocemo z vzorčm povprečj: m, m, so doslede eprstrase cele mometov m ( Z zeačejem: m m (,,,K x, dobmo sstem eačb, z aterega določmo q : q q ( m,, m,, K) q ( V ) rmer : Naljuča spremeljva je eaomero porazdeljea a tervalu z ezama rajščema a b. a b želmo ocet z vzorca. Gostota porazdeltve spremeljve je podaa z: /( b a), f ( x; a, b) 0, za drugod a x b Z uporabo mometov: b b a m x d x a b b a a b a + b 3 3 b a a m x d x a b 3 ( b a) a m zapšemo sstem dveh eačb: x f ( x) d x + ab + b 3 Z vpeljavo zraza za cetral mometa v sstem eačb: Var( ) μ m m ( b a) Laho reštve sstema zapšemo v obl: a m 3μ b m + 3μ Cel za a b dobmo z zamejav mometov m μ z ustrezma vzorčma mometoma: aˆ s 3 b ˆ + s 3 Metoda ajvečje zaesljvost e zaže za zaesljvejšo pr majhh vzorch V. Imamo aljučo spremeljvo, j prpada gostota porazdeltve f (x,, je odvsa od parametrov q. Imamo aljuč vzorec V (,,..., ) aterega ompoete so statstčo eodvse majo eao gostoto verjetost f (x,. 6
Gostota verjetost aljučega vzorca V je opredeljea z fucjo: L( V, f (, f (, L f (, jo meujemo fucja zaesljvost vzorca ozačuje verjetost, da pr vzorčeju dobmo vzorec V. r vzorčeju zberemo vzorec v(x,x,...,x ). r predpostav, da smo vzorec v(x,x,...,x ) zbral er je bl ajbolj verjete določmo parametre q, am pr daem vzorcu masmrajo fucjo zaesljvost vzorca. tem prevedemo ocejevaje ezah parametrov q a problem saja masmuma fucje: L( v, f ( x, f ( x, L f ( x, v odvsost od q. r tem je L pr zbraem vzorcu v odvsa samo še od q. rmer : Vzorčeje treh zdelov s teočega trau poaže dva dobra eega slabega Določmo celo ozroma oceo verjetost za pojav dobrega zdela. Opravt mamo z Berouljevo spremeljvo. orazdeltev verjetost je podaa z: f p, za ( dober) ( x, p) p, za 0 ( slab) Vzorec s aterm razpolagamo je: v (x, x, x 3 )(,, 0) prpadajoča fucja zaesljvost: L(v,p)f(,p) f(,p) f(0,p)p (-p) Masmum zaesljvost L dobmo v toč jer je zpolje pogoj: Reštve eačbe : ( p ( p) ) p 3 0 L d p d p d x d sta pr : p/3 p0. p 3p 0 L ma masmum pr p/3 ar je reštev. rmer : premeljva ma ormalo porazdeltev s parametroma m. osusom smo dobl vzorec v(x,x,...,x ). Ocemo parametra m, da bo verjetost vzorca v masmala. Fucja zaesljvost je podaa z: L( v, f ( x, f ( x, L f ( x, ma pr ormal porazdeltv oblo: L ( x ) m ( v; m, ) exp / ( π ) Z logartmrajem fucje zaesljvost dobmo: l L( v; m, ) l π l Iz pogoja za estrem dobmo eačb: L m L + ( x m) 0 ( x m) 0 3 ( x m) 7
Reštev dobljeega sstema eačb je poda z: m x ( x m) ( x ) s Ocea za je prstrasa. Do sth cel prdemo tud z metodo mometov. V splošem dobmo z obema metodama razlče rezultate. Ozroma potrebe lastost cel (dosledost, eprstraost) za oce parametra q v splošem laho zpoljuje več razlčh statst Z. rmer: Za ocea sredje vredost pr ormal porazdeltv laho uporabmo vzorčo povprečje, medao,.. Za prmerjavo cel vpeljemo povprečo vadratčo apao : M( Z) [( Z ] Var( Z) O jer smo upošteval, da za eprstraso celo velja: ter da velja eaost: [ Z ] q + O [ Z ] Var( Z) + [ Z ] pomočjo M vpeljemo relatvo učovtost dveh cel parametra q, Z Z ot vocet: Če je u < je: M( Z) u M( Z ) M( Z ) < M( Z) laho zaljučmo, da je Z v smslu povpreče vadratče apae boljša cela parametra q. Ko sta Z Z eprstras cel parametra q velja: [ Z ] [ Z ] q M( Z ) Var( Z) M( Z ) Var( Z) orazdeltev Z orazdeltev Z rmer o je Z prstrasa Z eprstrasa cela parametra [ Z ] q + O [ Z ] q orazdeltev Z orazdeltev Z Za Var( Z ) < Var( Z) je u < po eeačb Čebševa: Var ( Z q ε ) ε ( Z ) ( Z q ε ) > ( Z q ε ) q M( Z + O ) Var( Z) M( Z ) Var( Z) Var( Z ) << Var( Z) u q [ Z ] M( Z ) M( Z ) < 8
0. Itervalo ocejevaje parametrov tatste, jh uporabljamo za oceo parametrov so aljuče spremeljve. Ocea parametra q s pomočjo statste Z se od ------ -----vzorca do vzorca razluje. o od merl atačost zaesljvost ocee je varaca cele. Bolj podrobo oceo podamo, če a osov statstčh lastost cele Z podamo terval (l z u) ool ocejee vredost z q z l u v aterem z določeo verjetostjo : ( l z u) prčaujemo, da lež prava vredost parametra q. Oceje terval (l z u) meujemo terval zaupaja - stopjo zaupaja tvegaje Obravavajmo ormalo populacjo z zao stadardo devacjo ezao sredjo vredostjo m. Zarad ormale porazdeltve ool m : Naj bo V(,,..., ) aljuč vzorec populacje. / / Vzorčo povprečje porazdeljeo z : m ormale populacje je ormalo velja: t / ( m ) e d t Φ( ) π m jer je ormalzra odlo Φ() Laplaceova fucja. Za vpeljavo razlago pojma terval zaupaja verjetost dogoda: zapšemo v obl: ( m ) Φ( ) ( ) m ( + ) Φ( ) V zrazu: ( ) m ( + ) Φ( ) je m dolčea determstča vredost zraz e podaja verjetost za astop m v tervalu ±. r zbraem vzorcu v je tud določea olča, je verjetost, da se m ahaja v tervalu ( ) m ( + )), za m ± 0, za m ± 9
V splošem je fucja aljučega vzorca V. ± m ± predstavlja tervalo oceo parametra m, določa da terval šre ± z verjetostjo Števla vzorca v (( ) m ( + )) Φ( ) določa verjetost, da aljuč terval porva (vsebuje) m. ± (( ) m ( + )) Φ( ) ozroma stopjo zaupaja porva (vsebuje) m. Če želmo določt velost terval zaupaja (l,u) (-, ) moramo ajprej zbrat stopjo zaupaja -. (( ) m ( + )) Φ( ) ovezava med stopjo zaupaja šro tervala je podaa tabelarčo: - 0.5 0.69 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.997 0.67.00.8.65.00.33.58 3.00 mej vredost tervala (l,u) (-, ) al mej zaupaja sta tem bolj araze čm majše je tvegaje. šrjejem tervala zaupaja arašča verjetost, da terval vsebuje ozroma porva pravo vredost parametra m. Na drug stra, šrš o je terval maj formacje ozroma maj atačo oceo mamo o prav vredost parametra m. V pras težmo, da stopj zaupaja pr čm majš šr tervala. Šra tervala je podaa z: x ± ± Na šro laho vplvamo z velostjo vzorca Itervala ocea sredjo vredost ormale populacje z ezao stadardo devacjo. V prejšjem prmeru smo uporabl ormalo statsto: Z ( m ) / V prmeru, o e pozamo stadarde devacje jo ocemo s popravljeo vzorčo varaco: I za tervalo oceo povprečja m populacje uporabmo statsto: T ( m ) / ma tudetovo t porazdeltev z - prostostm stopjam: f T ( t) ( x ) / t, / t, / / 0
Iz grafa porazdeltve po aalogj s prejšjm prmerom laho zapšemo: f T () t / / ačbo: m ( t ; / t ; / ) preuredmo v terval: / t, / t, / ( t ) ; / T t ; / t ; / m + t ; / al: m ( t ; / t ; / ) / podaja tervalo oceo povprečja m populacje z stopjo zaupaja - ostras terval zaupaja ogosto as pr oce tervala zama samo ea meja medtem, o je druga laho poljuba al podaa v aprej. Zato amesto dvostraega tervala zaupaja: t ; / m + t ; / Če as zama zgorja meja podamo eostrasega: m + t ; V prmeru spodje pa: t ; m rmer: tervala ocea zgorje meje je varace ormale spremeljve. Vzorčo varaco laho zrazmo z : ( ) Kjer ma spremeljva h-vadrat porazdeltev z - prostostm stopjam. Kot statsto za tervalo oceo varace uporabmo: Iz grafa porazdeltve ( /, / ( ) sled:, / / ; / ; / ) Z upoštevajem: dobmo : ( ( ) ( ) ; / ; / ) ar preuredmo v oceo tervala zaupaja za : ( ) ( ) ; / ; /
Iz tervale ocee: led, da je tervala ocea zgorje meje za podaa z: ( ) ( ) / ; / ; ( ) ;