UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Tomaž Bahč Maribor, 2012

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo Diplomsko delo Poti v topoloških prostorih Mentor: izr. prof. dr. Iztok Banič Kandidat: Tomaž Bahč Maribor, 2012

ZAHVALA Če hočeš postati moder, se nauči pametno spraševati, pazljivo poslušati, mirno odgovarjati in umolkniti, ko nimaš več kaj reči. Johann Lafater Zahvaljujem se vsem, ki ste mi pomagali na moji poti skozi študij. Še posebej hvala staršem in Mateji. Hvala tudi mentorju dr. Iztoku Baniču za pomoč pri nastajanju te diplomske naloge. Vsem iskreno hvala.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO IZJAVA Podpisani Tomaž Bahč, rojen 24. junija 1985, študent Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa matematika in računalništvo, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Poti v topoloških prostorih pri mentorju izr. prof. dr. Iztok Banič avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev. Maribor, 19. november 2012 Tomaž Bahč

Poti v topoloških prostorih program diplomskega dela Zvezni funkciji f iz zaprtega enotskega intervala [0, 1] v topološki prostor X pravimo pot od f(0) do f(1) v X. Topološki prostor X je povezan s potmi, če za poljubni točki x in y v X obstaja pot od x do y v X. Povezanost s potmi velja za pomembno topološko lastnost, saj je vsak s potmi povezan topološki prostor tudi povezan. Prav tako so s potmi povezani topološki prostori glavni predmet preučevanja v algebrski topologiji. V diplomskem delu naj bosta podrobno predstavljena pojma povezanosti in povezanosti s potmi. Prav tako natančno opišite rezultate o homotopijah poti, ki so opisani v [1]. Osnovni viri: 1. J. R. Munkres, T opology A First Course, Prentice Hall College Div, Englewood Cliffs, 1974. izr. prof. dr. Iztok Banič

BAHČ, T.: Poti v topoloških prostorih. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2012. IZVLEČEK V diplomskem delu obravnavamo poti v topoloških prostorih in njihovo uporabo pri povezanosti in homotopiji. V prvem delu so navedeni osnovni pojmi iz topologije, ki so potrebni za razumevanje naslednjih poglavji o povezanosti. Pri povezanosti se posebej osredotočimo na povezanost s potmi. V zadnjem delu je predstavljena homotopija in homotopija poti, kar vodi do izreka o fundamentalni grupi, ki se obravnava kot uvod v algebrsko topologijo. Ključne besede: topologija, povezanost, pot, povezanost s potmi, lokalna povezanost,homotopija Math. Subj. Class. (2010): 54D05, 54F50, 14F35, 14H30, 57M05.

BAHČ, T.: Paths in topology spaces. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2012. ABSTRACT In this work we present paths in topological spaces and their applications in connectedness and homotopy. The first section provides basic definitions of topology, which are very important for understanding the chapters that follow about connectedness. When studying connected topological spaces, we give special emphasis to path-conected spaces. The last part presents the homotopy and path homotopy, which leads to the concept of fundamental group, which is considered as an introduction to algebraic topology. Keywords: topology, connectedness, path connectedness, local connectedness, homotopy Math. Subj. Class. (2010): 54D05, 54F50, 14F35, 14H30, 57M05.

Kazalo Uvod 1 1 Osnovni pojmi 2 2 Povezanost in povezanost s potmi 8 2.1 Povezanost.................................... 8 2.1.1 Povezani prostori na realni osi..................... 13 2.2 Povezanost s potmi................................ 15 2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi............... 19 2.3.1 Lokalna povezanost............................ 22 3 Homotopija poti 25 Literatura 34 ix

Uvod Tema diplomske naloge je pojem, s katerim se srečujemo v veji matematike imenovani topologija, ki danes sodi med glavna področja sodobne matematike. Topologija se med drugim deli na splošno, algebrsko in geometrijsko. Tema diplomskega dela sodi v splošno topologijo, zadnje poglavje pa v algebrsko topologijo. Delo je organizirano v tri dele. V prvem delu opišemo osnovne pojme iz topologije, ki so potrebni za razumevanje nadaljnjih poglavij. V drugem delu se osredotočimo na povezanost kot topološki pojem in na povezanost s potmi. V tretjem poglavju je predstavljena še homotopija in homotopija poti. V celotnem delu so prikazane poti kot pomemben topološki pojem pri povezanosti topoloških prostorov. Pri homotopiji je pot predstavljena še kot transformacija, kar sama homotopija tudi je. 1

Poglavje 1 Osnovni pojmi Metrični prostor Zaradi lažjega razumevanja bomo pred definicijo topološkega prostora podali definicijo metričnih prostorov. Ti so namreč pomembni primeri topoloških prostorov, ki jih v praksi tudi največkrat srečujemo. Definicija 1.1 Naj bo X množica in d : X X R funkcija, za katero velja: i d(x, y) 0; za vsak x, y X, ii d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y, za vsak x, y X, iii d(x, y) = d(y, x); za vsak x, y X, iv d(x, z) d(x, y) + d(y, z); za vsak x, y, z X. neenakost. To lastnost imenujemo trikotniška Funkciji d pravimo metrika na X in množico X skupaj z metriko d imenujemo metrični prostor (X, d). Zgled. Naj bo X = R. Funkcija d : R R, definirana s predpisom d(x, y) = x y, je metrika na X. Preverimo vse štiri lastnosti iz definicije 1.1: i d(x, y) 0; za poljubna x, y R, saj po predpisu funkcije d, sledi, da je x y 0. ii d(x, y) = x y = 0 natanko tedaj, ko je x y = 0, kar je ekvivalentno temu, da je y = x. 2

3 iii d(x, y) = d(y, x); za vsak x, y R, saj je x y = 1(x y) = x + y = y x. iv d(x, z) d(x, y) + d(y, z); za poljubne x, y, z X, saj je x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z). Zgled. Naj bo X = R 2. Preslikava d : R 2 R 2, definirana s predpisom d 2 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, je metrika na X. Naj bodo T 1 = (x 1, y 1 ), T 2 = (x 2, y 2 ) in T 3 = (x 3, y 3 ). iz definicije 1.1: Preverimo, da je d 2 metrika na X, tako da preverimo vse štiri lastnosti i d 2 (T 1, T 2 ) 0, za vsak T 1, T 2 R 2, saj po predpisu za d 2 sledi, da je (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 0. ii d 2 (T 1, T 2 ) = 0 natanko tedaj, ko je (x 1 x 1 ) 2 + (y 1 y 1 ) 2 = 0, kar pa je ekvivalentno temu, da je x 1 = x 2 in y 1 = y 2. iii d 2 (T 1, T 2 ) = d 2 (T 2, T 1 ); za vsak T 1, T 2 R 2 d 2 (T 1, T 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = ( 1(x 2 x 1 )) 2 + ( 1(y 2 y 1 )) 2 = ( x2 + x 1 ) 2 + ( y 2 + y 1 ) 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = d 2 (T 2, T 1 ). iv d 2 (T 1, T 3 ) d 2 (T 1, T 2 ) + d 2 (T 2, T 3 ); za vsak T 1, T 2, T 3 R 2 d 2 (T 1, T 3 ) = (x 3 x 1 ) 2 + (y 3 y 1 ) 2 = (x 3 + x 2 x 2 x1) 2 + (y 3 + y 2 y 2 y 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (x 3 x 2 ) 2 + (y 3 y 2 ) 2 = d 2 (T 1, T 2 ) + d 2 (T 2, T 3 ). Podobno velja tudi za preslikavi d 1 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = y 2 x 2 + y 1 x 1 in d ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = max{ y 2 x 2, y 1 x 1 }. Naj bo (X, d) metrični prostor ter x 0 X in r neko pozitivno realno število. Odprto kroglo s središčem v x 0 in radijem r definiramo na naslednji način: K(x 0, r) = {x X; d(x, x 0 ) < r}. Zgled. Naj bo X = R 2 in d((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + y 1 y 2 metrika na X. Tedaj je krogla K((0, 0), 1) = {(x, y) X; d((x, y), (0, 0)) < 1} predstavljena na sliki 1.1.

4 Slika 1.1: K((0, 0), 1) = {x X; d((x, y), (0, 0)) < 1} Definicija 1.2 Naj bo (X, d) metrični prostor in U X. Tedaj je U odprta v X, če jo lahko zapišemo kot unijo odprtih krogel. Definicija 1.3 Naj bo (X, d) metrični prostor in F X. Tedaj pravimo, da je F zaprta v X, če je X\F odprta v X. Zgled. Naj bo (X, d) metrični prostor, x 0 X in r > 0. Tedaj je K(x 0, r) odprta v X, saj je K(x 0, r) = K(x 0, r) K(x 0, r). Topološki prostor je posplošitev metričnega prostora, a ker v topološkem prostoru nimamo pojma razdalje (metrike), niti pojma krogle, za dano množico povemo, katere podmnožice so v njej odprte. Bolj natančno to pove naslednja definicija. Definicija 1.4 Naj bo X poljubna množica. Družina T P(X) je topologija na X, če velja: 1., X T, 2. za vsak λ Λ iz U λ T sledi λ Λ U λ T, 3. za poljubni U, V T velja U V T. Množici X skupaj s topologijo T,(X, T ), rečemo topološki prostor, ki ga bomo v nadaljevanju označevali kar z X. Elemente topologije T na X imenujemo odprte množice v topološkem prostoru X. Elemente topološkega prostora X imenujemo točke.

5 Zgled. Naj bo A poljubna množica. Topologiji, ki jo sestavljata in A, rečemo trivialna ali indiskretna topologija. To je topologija z najmanjšim možnim številom odprtih množic v A. Zgled. Naj bo A poljubna množica. Topologiji T = P(A) rečemo diskretna topologija. To je topologija z največjim možnim številom odprtih množic v A. Zgled. Ravnina R 2 z evklidsko metriko d 2 ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2, je tudi topološki prostor z evklidsko topologijo. Le to sestavljajo vse odprte množice v (R 2, d 2 ). Zgled. Topologija končnih komplementov na množici X je topologija, ki je definirana takole: {U P(X); X U končna} { }. Če je X končna množica, je topologija končnih komplementov na X enaka diskretni topologiji na X. Definicija 1.5 Naj bo (X, T ) topološki prostor in F X. Tedaj pravimo, da je F zaprta v X, če je X\F odprta v X. Definicija 1.6 Naj bo X topološki prostor in A X. Tedaj je zaprtje množice A v X definirano takole: Cl X (A) = B. B zap X;A B To je najmanjša zaprta množica v X, ki vsebuje množico A. Zgled. Za poljubno točko T R n in vsak ɛ (0, ) velja, da je Cl R n(k(t, ɛ)) enako zaprti krogli K(T, ɛ). Definicija 1.7 Naj bo X topološki prostor in A X. Tedaj je notranjost množice A v X definirana takole: Int X (A) = V. V odp X;V A To je največja odprta množica v X, ki je vsebovana v A.

6 Zgled. Naj bo X = R opremljena z evklidsko topologijo, ter naj bo množica A enaka odprtem intervalu (0, 1). Tedaj je Int X (A) = A. Zgled. Naj bo X = R opremljena z diskretno topologijo, ter naj bo množica A enaka odprtem intervalu (0, 1). Tedaj je Int X (A) = A. Zgled. Naj bo X = R opremljena z indiskretno topologijo, ter naj bo množica A enaka odprtem intervalu (0, 1). Tedaj je Int X (A) =. Definicija 1.8 Naj bo X topološki prostor in A X. Tedaj definiramo rob množice A kot: Bd X (A) = Cl X (A)\Int X (A). Zgled. Naj bo X topološki prostor, tedaj je Bd X ( ) = in Bd X (X) = : Bd X ( ) = Cl X ( )\Int X ( ) = \ =, Bd X (X) = Cl X (X)\Int X (X) = X\X =. Zgled. Vzemimo množico racionalnih števil Q v evklidskem prostoru R. Tedaj je Zaprtje: Cl R (Q) = R, Notranjost: Int R (Q) =, Rob: Bd R (Q) = R. Definicija 1.9 Naj bosta (X, T ) in (Y, ρ) topološka prostora. Za funkcijo f : (X, T ) (Y, ρ) rečemo, da je zvezna funkcija ali preslikava, če je za vsak U ρ praslika f 1 (U) v T. Definicija 1.10 Funkciji f : (X, T ) (Y, ρ) rečemo homeomorfizem, če je funkcija f zvezna, bijektivna in je njen inverz f 1 zvezna funkcija. Zgled. Identiteta id : X X homemorfizem, če sta domena in kodomena opremljeni z isto topologijo. Zgled. Funkcija f : ( π 2, π 2 ) R, f(x) = tan(x), je homemorfizem.

7 1. funkcija tan je zvezna na intervalu ( π 2, π 2 ), 2. funkcija tan je bijektivna, 3. zato obstaja inverzna funkcija arctan, ki slika iz R v ( π 2, π 2 ) in je tudi zvezna na celem R. Zgled. f : ( 1, 1) R, f(x) = x 1 x 2 funkcija in ima zvezen inverz g : R ( 1, 1), le to je g(x) =, je homemorfizem, saj je to zvezna, bijektivna x 1+x 2. Definicija 1.11 Naj bo A množica v topološkem prostoru (X, T ). Topologijo T A na množici A, ki jo sestavljajo množice U A, U T, imenujemo relativna topologija ali tudi topologija podprostora, za topološki prostor (A, T A ) pa rečemo, da je podprostor topološkega prostora (X, T ). Izrek 1.12 Naj bo (X, T ) topološki prostor in (Y, T Y ) njegov podprostor. Naj bo še A Y. Tedaj velja: Cl Y (A) = Cl X (A) Y. Dokaz. Iz A Cl X (A) sledi, da je A Y Cl X (A) Y. Sledi tudi, da je A Cl X (A) Y, ki je zaprta v Y. Ker je Cl Y (A) najmanjša taka zaprta množica v Y, ki vsebuje A, sledi, da je Cl Y (A) Cl X (A) Y. Cl Y (A) zaprta v Y. Torej obstaja taka zaprta množica F v X, da je Cl Y (A) = F Y, in sledi, da je A F. Ker je F ena izmed zaprtih množic v X, ki vsebujejo A, hkrati pa vemo, da je Cl X (A) najmanjša takšna, ki vsebuje A, sledi, da je Cl X (A) F. Če sedaj pri Cl X (A) F z obeh stani naredimo presek z Y, dobimo Cl X (A) Y F Y, kar je enako Cl Y (A).

Poglavje 2 Povezanost in povezanost s potmi 2.1 Povezanost Definicija povezanosti topološkega prostora pravi, da prostor ni povezan, če je zgrajen iz večih disjunktnih odprtih kosov. V nasprotnem primeru je prostor povezan. Definicija 2.1 Naj bo X topološki prostor, separacija prostora X sta množici A, B, ki sta disjunkni neprazni odprti podmnožici X, katerih unija je X. Pravimo, da je prostor X povezan, če ne obstaja separacija prostora X, sicer je nepovezan. Povezanost pa lahko definiramo še na naslednji način: Izrek 2.2 Prostor X je povezan, če sta in X edini podmnožici v X, ki sta hkrati odprti in zaprti v X. Dokaz. Naj bo U neprazna prava podmnožica X, ki je odprta in zaprta v X. Potem A = U in B = X U predstavljata separacijo prostora X, ker sta odprti disjunktni neprazni in je njuna unija enaka prostoru X. Velja tudi obrat tega izreka: Če A in B tvorita separacijo prostora X, potem je A neprazna, različna od X ter je odprta in hkrati zaprta v prostoru X. Lema 2.3 Če je Y podprostor prostora X, je separacija Y par disjunktnih nepraznih množic U in V, katerih unija je Y, tako da nobena od njiju ne vsebuje stekališč druge. 8

2.1 Povezanost 9 Dokaz. Predpostavimo, da U in V tvorita separacijo prostora Y in je U odprta in hkrati zaprta v Y. Zaprtje U v Y je U = Cl X (U) Y in Cl X (U) V =. Ker je Cl X U unija U in njenih stekališč, V ne vsebuje stekališč množice U, enako velja tudi, da V ne vsebuje stekališč točk U. Če sta U in V disjunktni neprazni množici katerih unija je Y, in nobena ne vsebuje stekališč druge, sledi Cl X (U) V = in U Cl X (V ) =, iz tod sklepamo, da je Cl X (U) Y = U in Cl X (V ) Y = V. Tako sta U in V zaprti v Y, ker je U = Y V in V = Y U sta tudi odprti v Y. Zgled. Naj bo X dvotočkovni prostor, opremljen z indiskretno topologijo. Očitno je, da ne obstaja separacija za X, zato je X povezan. Zgled. Naj bo Y = [ 1, 0) (0, 1] podprostor v R opremljen z evklidsko topologijo. Prostor Y ni povezan, saj obstaja separacija zanj: A = [ 1, 0) in B = (0, 1]. Zgled. Racionalna števila Q niso povezana. Še več, edini povezani podprostori za Q so množice, ki vsebujejo eno samo točko. Naj bo Y podprostor prostora Q, ki vsebuje dve različni točki p in q. Zato lahko izberemo iracionalno število a, ki leži med p in q. Prostor Y lahko zapišemo kot unijo odprtih množic: Y = (Y (, a)) (Y (a, + )). To pomeni, da Q ni povezan prostor. Zgled. Poglejmo si naslednjo podmnožico v R 2 : X = {(x, y); y = 0} {(x, y); x > 0, y = 1 x }. Prostor X ni povezan, ker separacijo tvorita podmnožici iz definicije prostora X. Glej sliko 2.1. Podali smo tri primere nepovezanega topološkega prostora. Sedaj se nam postavi vprašanje. Kako konstruirati povezan topološki prostor? Dokazali bomo nekaj izrekov, ki povedo, kako konstruirati nov povezan topološki prostor iz že danih topoloških prostorov. Lema 2.4 Naj množici A in B tvorita separacijo za prostor X in naj bo Y povezan podprostor v X. Sledi, da Y v celoti leži ali v A ali v B. Glej sliko 2.2.

2.1 Povezanost 10 Slika 2.1: X = {(x, y); y = 0} {(x, y); x > 0, y = 1 x } Slika 2.2: Dokaz. Ker sta množici A in B odprti v prostoru X in sta množici A Y in B Y odprti v Y, sta ti dve množici disjunktni in njuna unija je prostor Y. Če sta obe neprazni, potem tvorita separacijo prostora Y. Ker je Y povezan, je ena od njiju prazna. Sledi, da mora Y v celoti ležati v A ali v B. Izrek 2.5 Unija družine povezanih množic topološkega prostora X, ki imajo skupno točko, je povezana. Dokaz. Naj bo {A α } družina povezanih podmnožic v topološkem prostoru X in naj bo točka p A α. Dokazujemo, da je podprostor Y = A α povezan. Recimo, da ni povezan. Torej obstaja separacija Y = C D. Točka p je element ene izmed množic C ali D. Brez izgube za splošnost, naj bo p C. Ker je A α povezan, mora v celoti ležati v C ali v D in, ker je p C, mora v celoti ležati v C. Sledi, da je celotna unija A α C, kar pa je v nasprotju s tem, da je množica D neprazna. Izrek 2.6 Naj bo A povezana podmnožica v topološkem prostoru X. Cl X (A), je množica B povezana. Če je A B Dokaz. Naj bo A povezana in naj bo A B Cl X (A). Predpostavimo, da obstaja separacija množice B = C D. Po lemi 2.4 mora A v celoti ležati v C ali v D. Brez izgube

2.1 Povezanost 11 za splošnost naj bo A C, sledi Cl X (A) Cl X (C). Ker pa sta Cl X (C) in D disjunktni in ker je B Cl X (A) in Cl X (A) Cl X (C), sledi, da B ne more sekati množice D. To pa je v nasprotju s predpostavko, da je množica D neprazna. Izrek 2.7 Slika povezanega prostora z zvezno funkcijo je povezan prostor. Dokaz. Naj bo preslikava f : X Y zvezna in naj bo X povezan topološki prostor. Recimo, da prostor f(x) ni povezan. To pomeni, da obstaja separacija za f(x) = A B. Ker je preslikava f zvezna, sta tudi množici f 1 (A), f 1 (B) odprti v X. f 1 (A) in f 1 (B) sta neprazni, njun presek je prazen in njuna unija je X, kar pomeni, da tvorita separacijo za X. To pa je v nasprotju s predpostavko, da je X povezan. Izrek 2.8 Kartezični produkt povezanih prostorov je tudi povezan. Dokaz. Najprej dokažimo izrek za kartezični produkt dveh topoloških prostorov X in Y. Izberimo bazno točko (a, b) iz produkta X Y. Opazimo da je vodoravna rezina X {b} povezana, saj je homemorfna X. Enako velja za navpično rezino {x} Y. Kot rezultat dobimo prostor T x = (X {b}) ({x} Y ), ki je povezan, po izreku 2.5. Sedaj tvorimo unijo x X T x. Tudi ta unija je povezana po izreku 2.5 in je pravzaprav enaka X Y. Slika 2.3: Kartezični produkt dveh prostorov X in Y Ker je X 1... X n homeomorfno (X 1... X n 1 ) X n, lahko s pomočjo indukcije dokažemo, da je produkt končno mnogo povezanih topoloških prostorov X 1... X n povezan.

2.1 Povezanost 12 Sedaj dokažimo trditev še za kartezični produkt poljubno mnogo povezanih topoloških prostorov. Naj bo {X α } α J indeksirana družina povezanih prostorov in naj bo X = α j X α. Izberimo bazno točko b = (b α ) α J iz X. Za dano končno množico {α 1,..., α n } indeksov v J definirajmo podprostor X(α 1,..., α n ). Ta je sestavljen iz vseh takih točk (x α ) α J, kjer je x α = b α, če α α 1,..., α n. Ker je X(α 1,..., α n ) homeomorfen prostoru X α1... X αn, je zato tudi povezan. Zaradi bijekcije med prostoroma X in Y = X(α 1,..., α n ), obstaja preslikava (x α1,..., x αn ) (y α ) α J, kjer je y α = x α tak, da za vsak α = α 1,..., α n velja, da je y α = b α za vse druge vrednosti α. Iz tega sledi, da je vsak podprostor Y prostora X, ki je unija teh prostorov Y = X(α 1,..., α n ), povezan po izreku 2.5, ker je skupna točka b = (b α ). Vendar s tem izrek še ni dokazan. Vzemimo poljubno točko (x α ) iz prostora X in poljubni bazni element U = U α glede na prostor X. Sedaj dokažimo, da U seka Y. Vsaka množica U α je odprta v X α in U α = X α za vse, razen za končno mnogo indeksov α = α 1,..., α n. Konstruirajmo sedaj točko (y α ) iz X: y α = { xα ; α = α 1,..., α n b α ; za vse ostale vrednosti α Sledi, da je (y α ) element prostora Y, ker je element prostora X(α 1,..., α n ). Točka (y α ) je tudi element množice U, ker je y α = x α U α za α = α 1,..., α n ter y α = b α X α za vse ostale vrednosti α. Zato U seka Y. Zgled. R 2 je povezan prostor, saj je R 2 = R R produkt dveh povezanih prostorov. Prav tako je tudi R n povezan prostor, za poljubno naravno število n.

2.1 Povezanost 13 2.1.1 Povezani prostori na realni osi Izreki iz prejšnjega podpoglavja nam pokažejo, kako iz že podanih povezanih prostorov konstruiramo nove povezane prostore. Nove povezane prostore najlažje konstruiramo na realni osi. Dokazali bomo, da je vsak interval in vsak poltrak na realni osi povezan. Definicija 2.9 Enostavno urejena množica L, ki vsebuje več kot en element, se imenuje linearni kontinuum, če velja naslednje: (1) Vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica v L ima supremum. (2) Če je x < y, potem obstaja z, da je x < z < y. Izrek 2.10 Če je L linearni kontinuum opremljen s topologijo, ki jo poraja linearna urejenost, je povezan in prav tako so povezani vsi omejeni intervali in poltraki na njem. Dokaz. Naj bo Y podmnožica množice L, ki je bodisi enaka L, bodisi je omejen interval ali poltrak na L. Tedaj je množica Y konveksna. Naj bosta A in B disjunktni neprazni odprti podmnožici Y. Dokažimo, da Y A B. Izberimo a A in b B. Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo še, da je a < b. Ker je Y konveksna množica, vemo, da je [a, b] Y. Dokažimo, da obstaja x [a, b], tako da x / A B. Vpeljimo množici A 0 = A [a, b] in B 0 = B [a, b], ki sta odprti v intervalu [a, b]. Naj bo c supremum A 0 (da obstaja supremum vemo iz definicije 2.9). Dokazujemo, da c / A 0 in c / B 0. Ločimo naslednja primera: 1. Recimo, da je c B 0. Torej c a in iz tega sledi, da je c = b ali a < c < b. Ker vemo, da je B 0 odprta v [a, b], sledi, da obstaja odprt interval (d, c) B 0. Če je c = b, sledi, da je d manjša zgornja meja za A 0, kar pa nas privede do protislovja, saj je po predpostavki c najmanjša zgornja meja. Če je a < c < b, sledi, da je (c, b] A 0 =. Zato sledi, da je (d, b] = (d, c] (c, b]. Iz tod sledi, da je (d, b] A 0 =. Zato je d manjši supremum za A 0, kar pa je v protislovju s predpostavko. Glej sliko 2.4.

2.1 Povezanost 14 Slika 2.4: 2. Recimo, da je c A 0. Torej c b in iz tega sledi, da je c = a ali a < c < b. Ker vemo, da je A 0 odprta v [a, b], sledi, da obstaja odprt interval (e, c) A 0. Če je c = a, po (2) iz definicije 2.9 sledi, da obstaja z L da je c < z < e. Sledi, da je z A 0, kar pa nas privede do protislovja, saj je po predpostavki c najmanjša zgornja meja. Za a < c < b pokažemo podobno kot pri drugi alineji 1. točke. Slika 2.5: Izrek 2.11 R je povezana in prav tako so povezani vsi omejeni intervali in poltraki na njej. Dokaz je posledica dejstva, da je R linearni kontinuum. Sedaj še dokažimo posplošeni izrek o srednji vrednosti. Izrek 2.12 Naj bo f : X R zvezna preslikava, kjer je X povezan prostor. Naj bosta a, b X in r R, tako da f(a) < r < f(b). Potem obstaja c X tako, da je f(c) = r. Dokaz. Naj bosta a, b X in r R, tako da f(a) < r < f(b). Imejmo množici A = f(x) (, r)

2.2 Povezanost s potmi 15 in B = f(x) (r, ). To sta neprazni, disjunktni in odprti množici v f(x). A vsebuje f(a) in B vsebuje f(b). Recimo, da ne obstaja c X, za katerega velja, da je f(c) = r. Če je to res, potem množici A in B tvorita separacijo za f(x), kar pa je v nasprotju z izrekom 2.7. 2.2 Povezanost s potmi Poglejmo si še en pojem, to je povezanost s potmi. Najprej pa definirajmo kaj so poti v topoloških prostorih. Definicija 2.13 Pot v prostoru X je zvezna preslikava f : [0, 1] X. Točki f(0) rečemo začetna točka poti f, točki f(1) pa končna točka poti f. Glej sliko 2.6. Slika 2.6: Sedaj definirajmo še, kdaj je topološki prostor s potmi povezan prostor. Definicija 2.14 Prostor X je s potmi povezan, če za poljubni točki x 0, x 1 X obstaja taka pot f v prostoru X, da je f(0) = x 0 in f(1) = x 1. Izrek 2.15 Vsak s potmi povezan prostor je tudi povezan. Dokaz. Naj bo X s potmi povezan prostor in denimo, da ni povezan prostor. Tedaj obstaja neka separacija A B = X. Za poljubni točki a A in b B obstaja taka pot f : I X, kjer je I enotski interval [0, 1], da je f(0) = a in f(1) = b. Tedaj tvorita množici A f(i)

2.2 Povezanost s potmi 16 in B f(i) separacijo za povezano množico f(i). To je protislovje z dejstvom, da je f(i) povezan. Obrat izreka ne velja, ker obstajajo prostori, ki so povezani in niso povezani s potmi. Zgled. Vsak interval I v R je s potmi povezan, saj za poljubni točki a, b I obstaja pot f od a do b, ki je podana s predpisom f(t) = (1 t)a + tb. Po zgornjem izreku je vsak interval v R povezan. Zgled. Definirajmo enotsko kroglo K n = {x R n ; x 1}, kjer je x = x 2 1 +... + x2 n. Enotska krogla je povezana s potmi. Za poljubni dve točki x, y K n namreč obstaja pot, f : [0, 1] R n, definirana z f(t) = (1 t)x + ty in leži v K n, saj je K n konveksna: ker sta x, y K n in t [0, 1] je f(t) (1 t) x + y 1. Od tod sledi, da je vsaka odprta krogla v K d (x, ɛ) in zaprta krogla K d (x, ɛ) v R n s potmi povezana. Zgled. Definirajmo punktiran evklidski prostor R n {0}, kjer je 0 izhodišče R n. Če je n > 1, je ta prostor s potmi povezan. Poljubni točki x, y 0, lahko povežemo z daljico, če le-ta ne poteka skozi 0. V nasprotnem primeru (če poteka skozi 0) pa lahko izberemo poljubno točko z, za katero velja z 0 in z ne leži na poti med x in y ter povežemo daljici med točkama x, z in z, y. Zgled. Definirajmo enotsko sfero S n 1 R n takole S n 1 = {x; x = 1}. Če je n > 1 je sfera povezana s potmi. Funkcija g : R n {0} S n 1, definirana z g(x) = x x, je zvezna in surjektivna. Z lahkoto dokažemo, da je zvezna funkcija s potmi povezanega prostora s potmi povezan prostor (2.16).

2.2 Povezanost s potmi 17 Izrek 2.16 Zvezna slika s potmi povezanega prostora je povezan prostor. Dokaz. Dokažimo, da je Y povezan s potmi, če je Y = g(x), kjer je X povezan s potmi. Naj bosta a in b poljubni točki v Y. Iščemo pot v Y od a do b. Ker je g surjektivna, obstajata točki x, y X in je g(x) = a in g(y) = b. Ker je X povezan s potmi, obstaja f : [0, 1] X in je f(0) = x ter f(1) = y. Zato je kompozitum f g pot v Y od a do b. Glej sliko 2.7. Slika 2.7: Zgled. Naj bo I = [0, 1] in naj bo prostor I I opremljen s topologijo, ki jo poraja leksikografska ureditev. Ta prostor je povezan, vendar ni povezan s potmi. Naj bosta p = (0, 0) in q = (1, 1). Predpostavimo, da obstaja pot f : [0, 1] I I med p in q. Množica f([0, 1]) mora vsebovati vsako točko (x, y) iz I I, to sledi iz izreka 2.12. Zato je za vsak x I množica U x = f 1 ({x} (0, 1)) neprazna množica iz [0, 1]. Zaradi zveznosti je U x odprta v intervalu [0, 1]. Glej sliko 2.8. Za vsak x I obstaja racionalno število q x, ki pripada U x. Ker so vse množice U x paroma disjunktne, je preslikava x q x injektivna preslikava I v Q. To je v nasprotju s tem, da je interval I nešteven. Zgled. Podajmo še en primer, ko za prostor velja, da je povezan, a ni povezan s potmi. Naj bo K = { 1 n ; n N} množica in definirajmo prostor C = ([0, 1] {0}) (K [0, 1]) ({0} [0, 1]).

2.2 Povezanost s potmi 18 Slika 2.8: Tako definiran prostor se imenuje glavnik. Glej sliko 2.9. Slika 2.9: Glavnik Prostor D je dobljen tako, da odstranimo navpični interval {0} [0, 1), in se imenuje zlomljeni glavnik. Glej sliko 2.10. Slika 2.10: Zlomljeni glavnik Prostor C je povezan s potmi. Prostor D je povezan, ker je unija množic A = ([0, 1] 0) (K [0, 1])),

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 19 ki je povezana s potmi, in točke p Cl(A). Množica D je povezana, ker je A D Cl(A) = C. Dokažimo, da prostor D ni povezan s potmi (2.15). Predpostavimo, da obstaja pot f : [0, 1] D v D z začetkom v točki p. Pokažimo, da je f 1 ({p}) odprta in zaprta v [0, 1]. f 1 ({p}) je zaprta, ker je {p} zaprta. Dokažimo še odprtost. Naj bo x 0 f 1 ({p}). Slika 2.11: Iščemo odprto množico U v I, da je x 0 U f 1 ({p}). Naj bo V odprta krogla s središčem v p in r < 1. Ker je f zvezna v x 0, obstaja interval U, ki je odprta množica v [0, 1], tako da je f(u) V. Ker je U interval in zato povezan, je tudi f(u) povezan. Sledi, da je p f(u) in f(u) = {p}, zato D ni povezan s potmi. Zgled. Naj S označuje naslednjo podmnožico v ravnini: S = {(x, sin 1 ); 0 < x 1}. x Ker je S slika povezane množice (0, 1], glede na zvezno preslikavo, je S povezan. Zato je zaprtje Cl R 2(S) tudi povezano. To zaprtje imenujemo Varšavski lok (glej sliko 2.12), ki je povezan, ni pa povezan s potmi. 2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi Za poljuben prostor X obstaja naraven način, da ga razdelimo na manjše kose, ki so povezani (povezani s potmi). Definicija 2.17 Naj bo X poljuben topološki prostor. Na njem definirajmo ekvivalenčno relacijo : x y, če obstaja povezana podmnožica X, ki vsebuje x in y. Ekvivalenčne razrede relacije imenujemo komponente oziroma komponente povezanosti prostora X.

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 20 Slika 2.12: Varšavski lok Izrek 2.18 je ekvivalenčna relacija. Dokaz. refleksivnost: Za vsak x X: x x. Naj bo A = {x}, potem je očitno, da je to res, saj je A podmnožica, ki vsebuje x in x. simetričnost: Za vsak x, y X: x y sledi, da je y x. Naj bo A povezana podmnožica X, tako da x, y A. Tedaj je tudi y, x A in je y x. tranzitivnost: če je A povezana množica, ki vsebuje x in y (x y) in je B povezana množica, ki vsebuje y in z (y z), sledi, da je A B, ki vsebuje x in z (x z), povezana množica, saj imata A in B skupno točko y. Trditev 2.19 Komponente prostora X so povezane, paroma disjunktne podmnožice prostora X, katerih unija je X. Vsaka povezana podmnožica X seka samo eno izmed njih. Dokaz. Komponente X so paroma disjunktne, ker so tudi ekvivalenčni razredi paroma disjunktni. Vsaka povezana množica A X seka samo eno izmed njih. Če A seka komponenti C 1, C 2 X, v točkah x 1 in x 2, potem je x 1 x 2. Po definiciji se to ne more zgoditi, razen v primeru, ko je C 1 = C 2. Za vsak x 0, x C vemo, da je x 0 x in obstaja povezana množica A x, ki ju vsebuje. Sledi, da je A x C za vsak x in je C = A x. x C

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 21 Ker so A x povezani in imajo skupno točko x 0, je njihova unija C povezana. Definicija 2.20 Definirajmo ekvivalenčno relacijo na poljubnem topološkem prostoru X tako, da je x y, če obstaja pot v X od x do y. Ekvivalenčne razrede relacije imenujemo komponente povezanosti s potmi prostora X. Izrek 2.21 je ekvivalenčna relacija. Dokaz. refleksivnost: za vsak x X: x x. To velja zaradi poti f : [0, 1] X, ki je definirana s predpisom f(t) = x, za vsak t. simetričnost: za vsak x, y X: x y sledi, da je y x. Če obstaja pot f : [0, 1] X od x do y, potem obstaja obratna pot g : [0, 1] X od y do x. Funkcija g je definirana s predpisom g(t) = f(1 t). tranzitivnost: naj bo f : [0, 1] X pot od x do y in naj bo g : [1, 2] X pot od y do z, potem lahko zlepimo f in g in dobimo novo pot h : [0, 2] X, ki je nova pot od x do z in je zvezna. Definirana je z { f(t); t [0, 1] h(t) = g(t); t [1, 2] Trditev 2.22 Komponente povezanosti s potmi so take s potmi povezane paroma disjunktne podmnožice prostora X (katerih unija je X), da vsaka s potmi povezana podmnožica prostora X seka le eno od njih. Dokaz. Komponente povezanosti s potmi prostora X so paroma disjunktne, ker so tudi ekvivalenčni razredi paroma disjunktni. Vsaka s potmi povezana podmnožica A prostora X seka samo eno izmed njih. Če bi A sekala komponenti B 1 in B 2 v točkah x 1 in x 2, potem bi obstajala pot od x 1 do x 2 in bi tako x 1, x 2 B 1. Zato je B 1 = B 2. Naj bo x 0 X in B komponenta povezanosti s potmi, ki vsebuje x 0. Za vsak par točk x 1 in x 2 iz B vemo, da obstajata poti f 1 : [0, 1] X od x 1 do x 0 in f 2 : [0, 1] X od x 0 do x 2. Zato obstaja tudi pot od x 1 do x 2 v X. Zato je B povezana s potmi.

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 22 Zgled. Naj bo F = [ 1, 0) (0, 1] R. komponente povezanosti: [ 1, 0) in (0, 1], komponente povezanosti s potmi: [ 1, 0) in (0, 1]. Zgled. Naj bo D zlomljeni glavnik. komponente povezanosti: D, komponente povezanosti s potmi: D {p} in {p}. 2.3.1 Lokalna povezanost Povezanost je uporabna lastnost topoloških prostorov, ampak za nekatere namene je pomembneje, da ti prostori zadoščajo pogoju lokalne povezanosti. Lokalna povezanost pomeni, da ima vsaka točka poljubno majhno odprto okolico, ki je povezana, kar pa natančneje opiše naslednja definicija. Definicija 2.23 Prostor X je lokalno povezan v točki x, če za vsako odprto okolico U od X, obstaja odprta povezana okolica V od X, tako, da x V U. Če je X lokalno povezan v vsaki točki, potem rečemo, da je lokalno povezan. Definicija 2.24 Prostor X je lokalno povezan s potmi v točki x, če za vsako odprto okolico U od X, obstaja odprta s potmi povezana okolica V od X tako, da x V U. Če je X lokalno povezan s potmi v vsaki točki, potem rečemo, da je lokalno povezan s potmi. Zgled. 1. Vsak interval in vsak poltrak je povezan in lokalno povezan. 2. Podprostor X = [ 1, 0) (0, 1] prostora R ni povezan ker manjka točka 0, je pa lokalno povezan, ker za vsako točko x X obstaja še tako majhna odprta povezana okolica U okoli njega (2.23). 3. Zlomljeni glavnik je povezan in ni lokalno povezan. 4. Racionalna števila Q niso povezana in niso lokalno povezana (to smo dokazali v prejšnjem podpoglavju). 5. R n je lokalno povezan s potmi, saj je vsak bazni element (a 1, b 1 )... (a n, b n ) s potmi povezan.

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 23 Izrek 2.25 Prostor X je lokalno povezan natanko takrat, kadar za vsako odprto množico U v X velja, da je vsaka komponenta od U odprta v X. Dokaz. ( ) Predpostavimo, da je X lokalno povezan in naj bo U odprta množica v X. C naj bo komponenta od U. Če je x točka v C, potem lahko izberemo povezano okolico V od X, za katero velja: V U. Ker je V povezan, mora v celoti ležati v komponenti od U. Zato je C odprta v X. ( ) Predpostavimo, da so komponente odprte množice v X odprte. Dana je točka x v X in odprta okolica U od X. Naj bo C komponenta od U, ki vsebuje x. Zdaj je C povezana in po predpostavki odprta v X. Podobno lahko dokažemo naslednji izrek. Izrek 2.26 Prostor X je lokalno povezan s potmi natanko takrat, kadar za vsako odprto množico U v X velja, da je vsaka komponenta povezanosti s potmi od U odprta v X. Dokaz. Predpostavimo, da je X lokalno povezan s potmi in U odprta podmnožica od X. Naj bo še B komponenta povezanosti s potmi od U in naj bo x B. Po definiciji lokalne povezanosti s potmi obstaja odprta množica V, ki je povezana s potmi, tako da x V. Ker je V povezana s potmi, je V B. Zato je B odprta v X. Naj bo U odprta množica v X in x U poljubna točka. Naj bo V komponenta povezanosti s potmi od U, ki vsebuje x. Ker je V komponenta povezanosti s potmi je odprta v X. Zato je X lokalno povezan s potmi. Povezavo med komponentami povezanosti s potmi in komponentami podaja naslednji izrek. Izrek 2.27 Če je X topološki prostor, potem vsaka komponenta povezanosti s potmi od X leži v kaki komponenti povezanosti v X: če je X lokalno povezan s potmi, potem komponente in komponente povezanosti s potmi sovpadajo. Dokaz. Naj bo C komponenta od X in naj bo x točka v C. Naj bo P komponenta povezanosti s potmi od X, ki vsebuje x. Ker je P povezan, je P C. Predpostavimo, da P ni enak C. Naj bo Q unija vseh komponent povezanosti s potmi od X, ki so različne od P in sekajo C. Tedaj je Q = P, kjer je P P in je P C. Vsak P nujno leži v C tako, da je C = P Q.

2.3 Komponente in komponente povezanosti s potmi 24 Ker je X lokalno povezan s potmi, je vsaka komponenta povezanosti s potmi od X odprta v X (2.26). Zato sta P in Q odprti v X. P in Q tvorita separacijo od C, ta pa je v protislovju z dejstvom, da je C povezan. Zgled. Imejmo Varšavski lok V. Tedaj so: Komponente povezanosti: V, saj je prostor V povezan Komponente povezanosti s potmi: S in S V

Poglavje 3 Homotopija poti V tem poglavju si podrobneje poglejmo ekvivalenčno relacijo med potmi na prostoru X, imenovano homotopija poti. Definicija 3.1 Če sta f in g zvezni funkciji, ki slikata iz prostora X v prostor Y, pravimo, da je f homotopna g, če obstaja zvezna funkcija F : X I Y in velja: F (x, 0) = f(x) in F (x, 1) = g(x), za vsak x X, kjer je I = [0, 1]. Funkcijo F imenujemo homotopija iz f v g. OZNAKA: f g. Na homotopijo lahko gledamo tudi kot na enoparametrično družino preslikav iz prostora X v prostor Y. Če si predstavljamo, da parameter t predstavlja čas, potem homotopija F predstavlja zvezno deformacijo, ki se spremeni iz f v g, ko t preteče interval [0, 1]. Poglejmo si poseben primer, kjer je f pot v X. Spomnimo se, da če je f : [0, 1] X zvezna, tako da f(0) = x 0 in f(1) = x 1, rečemo, da je f pot od x 0 do x 1 ter, da je x 0 začetna točka in x 1 je končna točka. Če sta f in g dve poti v X, potem velja med njima močnejša relacija kot je sama homotopija. Definicija 3.2 Dve poti f in g sta p-homotopni (OZNAKA: f p g), če imata isto začetno točko x 0 in isto končno točko x 1 ter obstaja homotopija F : I I X iz f v g, tako da 1. F (0, t) = f(0), za vsak t [0, 1] 2. F (1, t) = f(1), za vsak t [0, 1]. 25

26 Slika 3.1: Slika dveh p-homotopnih poti f in g Lema 3.3 Relaciji in p sta ekvivalenčni relaciji. Dokaz. 1. Refleksivnost: Dokazujemo, da je f f. Naj bo F : X [0, 1] Y definirana z F (s, t) = f(s). F je iskana homotopija. Če je f pot, tedaj je F homotopija poti. 2. Simetričnost: Dokazujemo, da iz f g sledi g f. Naj bo F homotopija iz f v g. Potem je G(x, t) = F (x, 1 t) homotopija iz g v f. Če je F homotopija poti, sledi, da je tudi G homotopija poti. 3. Tranzitivnost: Dokazujemo, da iz f g, g h sledi f h. Iščemo homotopijo H : X [0, 1] Y, tako da bo H(s, 0) = f(s), H(s, 1) = h(s), za vsak s [0, 1]. Zato definiramo H na naslednji način: H(s, t) = { F (s, 2t); t 1 2 F (s, 2t 1); t 1 2. Ker je H zvezna na zaprtih množicah X [0, 1 2 ] in X [ 1 2, 1] prostora X [0, 1], je zato zvezna na celem tem prostoru, saj se predpisa na njunem preseku ujemata. Zato je H homotopija poti iz f v h. Če sta F in F homotopiji poti, tedaj je tudi H homotopija poti. Glej sliko 3.2. Zgled. Naj bosta f in g zvezni preslikavi iz prostora X v R 2. Vidimo, da sta homotopni, ker je preslikava F (x, t) = (1 t)f(x) + tg(x) homotopija med njima. Ta homotopija se imenuje premočrtna homotopija. Če sta f in g poti od x 0 do x 1, sledi, da je F homotopija poti, kot je prikazano na sliki 3.3.

27 Slika 3.2: Ponazoritev za tranzitivnost Slika 3.3: Homotopija poti med f in g Zgled. Naj bo A konveksen podprostor v R n. Zato za poljubni dve poti f in g v A, ki gresta od x 0 do x 1 v A, velja, da sta homotopni zaradi premočrtne homotopije F med njima. Zgled. Naj bo X punktirana ravnina R 2 {0}. Naslednji poti v X f(s) = (cos(πs), sin(πs)) in g(s) = (cos(πs), 2 sin(πs)) sta homotopni po premočrtni homotopiji med njima (glej sliko 3.4). Vendar pa ne obstaja premočrtna homotopija med f in h(s) = (cos(πs), sin(πs)), ker njena slika ne leži v prostoru X (glej sliko 3.4). To, da ne obstaja homotopija poti med h in f ni presenetljivo, saj ne moremo zvezno

28 Slika 3.4: Homotopija poti med f in g in pot h preslikati f v h, ker nimamo točke (0, 0). Ta primer pove, da moramo poznati območje prostora, preden lahko povemo kateri poti sta med seboj homotopni. Geometrijski pomen lahko predstavimo tudi na algebraični način in sicer tako, da definiramo operacijo na poteh. Glej definicijo 3.4. Definicija 3.4 Če je f pot v prostoru X od x 0 do x 1 in je g pot v prostoru X od x 1 do x 2, definiramo operacijo, f g, ki je nova pot h, h(s) = { f(2s); s [0, 1 2 ] g(2s 1); s [ 1 2, 1]. Funkcija h je dobro definirana, kar sledi iz leme o lepljenju in je hkrati pot v prostoru X od x 0 do x 2. Predstavljamo si, da je pot h v prvi polovici enaka poti f in v drugi polovici enaka poti g. Pokazali bomo, da je operacija združevanja poti dobro definirana operacija na ekvivalenčnih razredih homotopije poti: [f] [g] = [f g]. Še več, operacija na ekvivalenčnih razredih homotopije poti zadosti lastnostim, ki spominjajo na aksiome grup. Imenujejo se grupoidne lastnosti za operacijo. Edina razlika je, da [f] [g] ni definirana za vsak par ekvivalenčnih razredov, ampak samo za pare [f], [g] za katere je f(1) = g(0).

29 Ker bomo v naslednjem izreku uporabljali konstantno pot in inverzno pot ju najprej definirajmo. Definicija 3.5 Za vsak x X je pot e x t [0, 1]. Tej poti pravimo konstantna pot. : [0, 1] X definirana z e x (t) = x, za vsak Definicija 3.6 Naj bo f : [0, 1] X pot od x 0 do x 1. Pot f : [0, 1] X imenujemo inverzna pot od f, ki poteka od x 1 do x 0, če za vsak t [0, 1] velja f(t) = f(1 t). Izrek 3.7 Operacija je dobro definirana operacija in ima naslednje lastnosti: 1. (asociativnost) [f] ([g] [h]) = ([f] [g]) [h], 2. (leva in desna identiteta) [e x0 ] [f] = [f] in [f] [e x1 ] = [f], 3. (inverz) [f] [f] = [e x0 ] in [f] [f] = [e x1 ]. Dokaz. Da bi dokazali, da je operacija dobro definirana, privzamemo, da je F homotopija med f in f in G homotopija med g in g. Definirajmo H na naslednji način: H(s, t) = { F (2s, t); s [0, 1 2 ] G(2s 1, t); s [ 1 2, 1]. Ker je F (1, t) = x 1 = G(0, t) za vsak t, je H dobro definirana. H je potrebna homotopija med f g in f g : H(s, 0) = F (2s, 0), če s 1 2 in H(s, 0) = G(2s 1, 0), če s 1 2. To pomeni, da je H(s, 0) = (f g)(s). Podobno je H(s, 1) = (f g )(s). Glej sliko 3.5. Slika 3.5: 1. Da bi dokazali asociativnost, moramo dokazati, da je f (g h) p (f g) h. Najprej poglejmo, kako izgledajo poti f (g h) in (f g) h

30 f (g h): slika točke sledi poti f, ko gre s od 0 do 1 2, slika točke sledi poti g ko gre s od 1 2 do 3 4 in slika točke sledi poti h ko gre s od 3 4 do 1. (f g) h: slika točke sledi poti f ko gre s od 0 do 1 4, slika točke sledi poti g ko gre s od 1 4 do 1 2 in slika točke sledi poti h ko gre s od 1 2 do 1. Definirajmo homotopijo F. Najprej preslikajmo kvadrat I 2 surjektivno na I, s pomočjo zvezne funkcije p, ki skrči tri štirikotnike A, B in C v bazo, kot je prikazano na sliki 3.6. Slika 3.6: Ko sledimo p po funkciji (f g) h, bo rezultat homotopija F : F (s, t) = f( 4s t+1 t+1 ); s [0, 4 ], g(4s t 1); s [ t+1 4, t+2 4 ], h( 4s t 2 2 t ); s [ t+2 4, 1]. Preverimo lahko, da 4s 4s t 2 t+1, 4s t 1 in 2 t ležijo v domeni [0, 1] funkcije f, g in h. Zato je F dobro definirana po lemi o lepljenju. Očitno je, da je F iskana homotopija. Na primer: (f (g h))(s) = { f(2s); s [0, 1 2 ], (g h)(2s 1); s [ 1 2, 1] ali 2s 1 [0, 1], sledi f(2s); s [0, 1 2 ], (f (g h))(s) = g(2(2s 1)); s [ 1 2, 3 4 ] ali 2s 1 [0, 1 2 ], h(2(2s 1) 1); s [ 3 4, 1] ali 2s 1 [ 1 2, 1] in to je F (s, 1), podobno preverimo za ((f g) h)(s) = F (s, 0).

31 2. Dokazali bomo, da je f p f e x1. Željeno homotopijo poti konstruiramo tako, da najprej s funkcijo p preslikamo I 2 na I. Funkcija p skrči štirikotnik A v bazo in trikotnik B v njegovo spodnje oglišče, kot je prikazano na sliki 3.7. Slika 3.7: Ko sledimo p po funkciji f, je rezultat želejna homotopija G 1 : G 1 (s, t) = { f( 2s 2 t 2 t ); s [0, 2 ], x 1 ; s [ 2 t 2, 1]. G 1 je dobro definirana in zvezna ter je željena homotopija poti. Trditev e x0 f p f dokažemo podobno. Homotopijo poti konstruiramo tako, da najprej s funkcijo p pretvorimo I 2 v I. Funkcija p skrči trikotnik A v njegovo spodnje oglišče in štirikotnik B v bazo, kot je prikazano na sliki 3.8. Slika 3.8:

32 Ko sledimo p po funkciji f, je rezultat želejna homotopija G 2 : G 2 (s, t) = G 2 je dobro definirana in zvezna. { x0 ; s [0, 2 t 2 ]. f( 2 2s t t ); s [ 2 t 2, 1]. 3. Pokazati moramo še, da je f f p e x0. Intuitivna ideja je zelo enostavna, pot f f gre iz x 0 v x 1 in po isti poti nazaj v x 0. Predpostavimo, da za parameter t privzamemo, da je α t pot, ki gre iz x 0 del poti vzdolž poti f do točke f(t). Potem je homotopija, ki jo želimo α t α t. To je sprejemljiva homotopija poti, ker pusti oba konca fiksna v x 0. Glej sliko 3.9. Sedaj definirajmo H: Slika 3.9: H(s, t) = { f(2ts); s [0, 1 2 ]. f(2t(1 s)); s [ 1 2, 1]. Zelo enostavno lahko preverimo, da je 2ts in 2t(1 s) v domeni poti f. Zato je homotopija H dobro definirana po lemi o lepljenju. Podobno bi lahko dokazali za f f p e x1. Naredimo sledeče: pokazali smo že, da za vsako pot g obstaja g, tako, da je g g p e x, kjer je x začetna točka poti g. Zato sledi f f p e x, kjer je f obratna funkcija od f. Obratna funkcija od f je f, zato je f f p e x1. Ekvivalenčni razredi operacije na prostoru X še ne tvorijo grupe ampak samo grupoid. Če pa vzamemo x 0 X za bazno točko in omejimo vse poti, da se začnejo in končajo v tej točki, tedaj takšni ekvivalenčni razredi skupaj z operacijo tvorijo grupo, ki jo bomo imenovali fundamnetalna grupa prostora X. Definicija 3.8 Naj bo X topološki prostor in x 0 X. Pot v X, ki se začne in konča v x 0 se imenuje zanka z bazno točko x 0. Množica ekvivalenčnih razredov z zanko v x 0 in

33 operacijo se imenuje fundamentalna grupa na prostoru X z bazno točko v x 0. Označimo jo z π(x, x 0 ). Izrek 3.9 Fundamnetalna grupa je grupa z operacijo. Dokaz. zaprtost za operacijo je očitna, nevtralni element e x0 obstaja, kar smo dokazali v prejšnjem dokazu, prav tako smo v prejšnjem dokazu dokazali, da obstaja inverzni element za operacijo. Zgled. Naj bo R n evklidski n-razsežen prostor. π 1 (R n, x 0 ) je trivialna grupa, ker je f zanka v R n z bazno točko v x 0. Premočrtna homotopija F (s, t) = tx 0 + (1 t)f(s), je homotopija poti med f in konstantno zanko e x0. Zgled. Naj bo X konveksen podprostor v R n, potem je π 1 (X, x 0 ) trivialna grupa. Konveksnost prostora X pomeni, da za poljubni dve točki x in y iz X obstaja premočrtni segment {tx + (1 t)y; 0 t 1}, ki leži med njima in leži v X. Pravzaprav ima enotska krogla K n v R n definirana z: K n = {x; x 2 1 +... + x 2 n 1} trivialno fundamentalno grupo.

Literatura [1] M. Cencelj, D. Repovš, Topologija, Pitagora, Ljubljana, 2011. [2] A. Hatcher Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [3] Homotopy (online). (citirano 10. 7. 2012). Dostopno na naslovu: http://en.wikipedia.org/wiki/homotopy. [4] J. Mrčun, Topologija, DFMA, Ljubljana, 2008. [5] J. R. Munkres, Topology A First Course, Prentice Hall College Div, Englewood Cliffs, 1974. [6] I. Vidav, Višja matematika I, DMFA - založništvo, Ljubljana, 2008. [7] J. Vrabec, Metrični prostori, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1993. 34