VEKTORSKE FUNKCIJE Vektorske funkcije so funkcije, katerih rezultat preslikave je vektor v prostoru. Preslikave so: preslikava rezultat 3 f(t) = ( x(t

Transkripcija

1 VETORSE FUNCIJE Vektorske funkcije so funkcije, katerih rezultat preslikave je vektor v prostoru. reslikave so: preslikava rezultat 3 f(t) = ( x(t),y(t),z(t) ) 3 f(u,v) = ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) ). 3 3 f(x,y,z) = ( f 1(x,y,z),f (x,y,z),f 3(x,y,z) ) ravila za zveznost vektorskih funkcij so enaka, kot pri navadnih funkcijah: t 0 f 0. Odvod vektorskih funkcij Odvod vektorske funkcije je enak limiti diferenčnega količnika, kar zapišemo kot: f(t + h) f(t) x(t + h) x(t) y(t + h) y(t) z(t + h) z(t) f'(t) = lim = lim,,. Lahko pa h 0 h h 0 h h h f(t) = f '(t) = x(t),y(t),z(t), če so komponente odvedljive. odvod zapišemo še kot: ( ) ravila, ki veljajo so podobna kot za ostale funkcije: a) Vsota in razlika: ( α f(t) ±β g(t) )' =α f '(t) ±βg'(t) b) Skalarni produkt: ( f(t) g(t) )' = f '(t)g(t) + f(t)g'(t) f(t) g(t) ' = f '(t) g(t) + f(t) g'(t) c) Vektorski produkt: ( ) in druga. odobne odvode lahko zapišemo tudi za funkcije večih spremenljivk. Na primer za funkcijo dveh spremenljivk z obliko: f(u,v) = ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) ). arcialni odvod na u je: f x y z (u,v),, =. Za fukcijo treh spremenljivk pa je enak: u u u u f(x,y,z) = ( f 1(x,y,z),f (x,y,z),f 3(x,y,z) ) f f 1(x,y,z) f (x,y,z) f 3(x,y,z). (x,y,z) =,, r (x y z ) (x y z ) (x y z ) f(x,y,z) r e = = x e,y e,z e, kjer je r = (x,y,z); r = x + y + z f Odvod na x je enak (x, y,z) e = r ( 1 + x,xy,xz ).

2 rivulje v prostoru rivulje v prostoru lahko podajamo na tri načine: a) eksplicitno y= y(x),z= z(x) b) implicitno F(x, y,z) = 0, G(x, y,z) = 0 r = r(t) = x(t),y(t),z(t) točko na krivulji. c) parametrično podamo zvezo ( ), kjer je r(t) krajevni vektor do 1. Enačba premice: r = (1, 1) + t(1,1,3) = (1+ t,+ t, 1+ 3t). Imamo enačbo x + y = 4 y= 4 t x+ y+ z= 1 z = 1 t 4 t parametriziramo : x = t r(t) = (t, 4 t,1 t 4 t ) ker imamo dve veji, je bolje, da zapišemo oz. uporabimo drugo spremenljivko: x = sint y= cost z = 1 sint cost r(t) = ( sin t,cost,1 sin t cos t) 3. Enačba vijačnice: r(t) = (acost,asint,bt); a,b > 0 x = acost y= asint z = bt olžina krivulje olžino nekega dela krivulje med dvema točkama lahko izračunamo po enačbi za vektorsko dolžino: TkTk+ 1= r(t k+ 1) r(t k) = [ x(t k+ 1) x(t k) ] + [ y(t k+ 1) y(t k) ] + [ z(t k+ 1) z(t k) ] z upoštevanjem zveze [ x(t k+ 1) x(t k) ] x ( t k) tk x(t k), y(t k), z(t k) tk Če seštejemo te prispevke in jih limitiramo, dobimo dolžino loka krivulje od točke, kjer je t =α do točke, kjer je t =β: n lim x(t k), y(t k), z(t k) tk n i = 1 β β l = x(t k), y(t k), z(t k) dt = r(t) r(t)dt α α

3 Če je krivulja dana eksplicitno, njeno dolžino lahko izračunamo po enačbi: b l= 1+ [ y'(x) ] + [ z'(x) ], kjer upoštevamo, da je r = (x, y'(x), z'(x)), x pa predstavlja a parameter. Začetna točka je a, končna pa b. olžina enega zavoja vijačnice: r = (acost,asin t,bt) r = ( asin t,acost,b) r r = a sin t+ a cos t+ b = a + b π π l= r rdt = a + b dt = π a + b 0 0 Naravni parameter rivuljo izrazimo z naravnim parametrom s, če izrazimo (obrnemo) t kot funkcijo s: t = g(s) in to vstavimo v enačbo krivulje. ri tem dobimo funkcijo r(s), ki nam pove, da se pri določenem s nahajamo na v točki na krivulji, ki je za s oddaljena od začtka. Enačba je potem t enaka: s(t) = r(t) r(t)dt. Zveza med diferencialom parametra t in diferencialom α parametra s je: ds = r r dt. Odvod funkcije po parametru n je enak 1 in potrdi definicijo odvoda, da je smerni vektor tangente krivulje v prostoru: dr dr dt 1 r(t) r'(s) = = = r(t) = ds dt ds r r r(t) r'(s) = 1. ds = r '(s) dt

4 Enačba tangente in normalne ravnine Smerni vektor tangente predstavlja odvod r(t), ki ga označimo z a. Enotski vektor potem r a lahko zapišemo kot: t = r(s) r = a = ; enačbo tangente pa kot: R = r(t) +λ r(t). Enačba R r(t) r(t) = 0, normalna ravnina je ravnina, ki preseka premico normalne ravnine pa je: ( ) pod pravim kotom, to je pravokotna ravnina. bπ r(t) = ( acost,asin t,bt) točka 0,a,. oloči enačbo tangente in normalne ravnine! π t = π r = ( a,0,b) r = ( asint,acost,b) π R = 0,a, b +λ ( a,0,b) normalna ravnina: π π R 0,a, b a,0,b = 0 ax+ bz= b ( ) rivulja je dana z funkcijama F(x, y, z) = 0 in G(x,y,z) = 0. Če bi bila krivulja parametrizirana r = r(t) = ( x(t),y(t),z(t) ), potem bi imeli Fx(t),y(t),z(t) ( ) = 0 in F F F G( x(t),y(t),z(t) ) = 0. Če odvajamo funkciji na t, dobimo: x(t) + y(t) + z(t) = 0 y z G G G in x(t) + y(t) + z(t) = 0. Uvedemo količnik (vektor) gradient, ki je enak: y z F F F gradf =,, y z in G G G gradg =,, y z. Enačbi sedaj lahko zapišemo kot: gradf r(t) = 0 in gradg r(t) = 0. Iz tega sledi, da je r(t) =λ ( gradf gradg). V tem primeru je vektor v smeri tangente vektorski produkt r(t) =λ gradf gradg, če je le različen od nič. gradientov: ( ) rivulja je dana s presekom ploskev: x + y + z = a in x + y = ax. oloči enačbo a a a tangente, kjer je x =, y =,z =. gradf = (x,y,z) = (a,a,a ) T gradg = (x 0, y,0) = (0,a,0) T

5 i, j, k ( ) ( ) gradf gradg = a, a, a = a,0,a = a,0,1 0, a, 0 a a a enačba tangente: R =,, +λ,0,1 A(a,0,0) ( ) gradf = (a,0,0) vektorja sta vzporedna, ker je vektorski produkt enak nič, gradg = (a,0,0) zato izračunamo z metodo: a a x = cost a y= sint a a t ( 1 cost) + sint + z = a z=± asin a a t r(t) = ( 1 cost ), sint, ± asin ne dobimo ustrezne tangente, ker je oblika krivulje špičasta

6 loskve v prostoru odajamo jih z naslednjimi oblikami enačb: eksplicitno: z = z(x,y) implicitno: F(x, y, z) = 0 parametrično: r = r(u,v). 1. Imamo kruvuljo oblike: x+ y 3z = 1 implicitno: x + y 3z 1 = 0 eksplicitno: z = 1 3 ( x + y 1) parametrično: r(u, v) = r = ( 0,0, 3) + u( 1,0, 3) + v( 0,1, 3). Enačbo krogle x + y + z a = 0 parametriziramo s sfernimi koordinatami: x = rcosϕcosϑ y= rcosϕsinϑ z = rsinϕ r = a r = r( ϕ, ϑ) r = r( ϕ, ϑ ) = (a cosϕcos ϑ,a cosϕsin ϑ,a sin ϕ) če enega od parametrov fiksiramo, dobimo koordinate krivulje, in sicer dobimo dve družini krivulj 3. Enačba paraboloida r = (u cos v,usin v,u ) Normala na ploskev Če imamo neko ploskev v prostoru, podano parametrično, pogledamo dve koordinatni krivulji, kje se sekata. Tedaj je normalni vektor normalne ravnine enak vektorskem produktu smernih koeficientov krivulj v presečišču: r r r v = ; r u = N = r u r v. Enotski vektor, to v u r je vektor z dolžino 1, v smeri normale pa je enak: u r ν= v. ru rv Če je ploskev podana eksplicitno, potem lahko prevedemo na zgornji primer: r = (x,y,z(x,y)) r z i, j, k rx = = 1,0, z z z rx ry = 1, 0, =,,1 ( p, q,1) r z x = x y ry = = 0,1, y y z 0, 1, y

7 z z jer označimo s p = ; q =. Vektor v smeri normale je potem enak: N ( p, q,1) y =, ( p, q,1) z z enotski vektor pa zapišemo kot: ν= ; kjer je p = ; q =. 1+ p + q y Če pa imamo ploskev podano implicitno, kot F(x, y, z) = 0, pa postopamo po naslednjem postopku: najprej odvajamo enačbo na x in nato še na y: F F F z z + = 0 p= = z F z F F F z z y + = 0 q = = y z y y F z F F y 1 F F F Vektor v smeri normale je potem enak: x,,1 =,, F F F. Normalo pa lahko y z z z z = gradf gradf sedaj zapišemo kot: N = gradf, enotski vektor pa je enak: ν=. gradf 1. Imamo enačbo: z = x + y ; T(1,1,) normala : p= x q = y N = ( p, q,1) = ( x, y,1) = (,,1) T. loskev je podana z enačbo: r = r(u, v) = ( u + v,3u 3v, uv ); T(6,3, 4); u =, v = 1 r r v = = (, 3, u) = (,3, ) v T r r u = = (,3,v) = (, 3,4) u T i, j, k N = ru rv =, 3, = ( 18, 4, 1) = (9,, 6), 3, 4 enačba normalne premice: r = (6,3, 4) +λ (9,, 6) enačba pritisnjene (tangencialne) ravnine: ( r r0 ) N = 0 9x y 6z = 4

8 3. Enačba ploskve: x y z + + 1= 0; T(,1, ) x y z N = gradf =,, =,, = ( 1,, ) 8 T 4 4 enačba normalne premice: r = (,1, ) +λ 1,, ( ) Vektorska analiza Ločimo dve vrsti polj: skalarno polje: u(f) = u(x,y,z) primeri iz narave: temperatura, gostota plinov tekočin f (r) = f (x, y,z) = f 1(x, y,z), f (x, y,z), f 3(x, y,z) primeri iz narave: gravitacija, magnetno polje, električno polje. vektorsko polje: ( ) Odvod skalarnega polja v dani smeri Če gledamo med dvema točkama T 1, T skalarnega polja, je kvocient funkcijskih vrednosti in u dveh neodvisnih spremenljivk enak, kar pomeni hitrost spreminjanja polja. Ta kvocient TT 1 u(t lahko zapišemo še drugače: ) u(t 1). Z upoštevanjem krajevnih vektorjev točk, TT 1 vektorja e, ki pomeni smer od T 1 do T z velikostjo ena, λ > 0, če gremo v smeri danega vektorja e in Taylorjeve formule dobimo: ut ( ) ut ( 1) ur ( ) ur ( 1) ur ( 1+λe) ur ( 1) = = = TT 1 r r1 λe r = ( x, y, z); r1 = ( x1, y1, z1); e = ( e1, e, e3) ux ( 1+λ e1, y1+λ e, z1+λe3) ux ( 1, y1, z1) = = λ u u u = ux ( 1, y1, z1) + λ e1+ λ e + λ e3+ λ +... u( x1, y1, z1) = y z u u u = e1+ e + e3 + λ+ Lλ +... y z Če izračunamo limito, gredo ostali členi z λ proti nič, ostane pa nam: u u u u u = lim = e1+ e + e3. Če upoštevamo še definicijo gradienta, dobimo: e T T1 TT 1 y z u = grad u e. Zadnja enačba je odvod skalarnega polja v smeri vektorja e z normo 1. e Gradient lahko zapišemo z»nabla«operatorjem kot: u u u grad u =,, =,, u = u, kjer je»nabla«operator =,,. y z y z y z

9 (x + y + 4z ) 1 u(r) = 10 e ; T 1 ( 1,1, ) v smeri e = (1,1,1) 3 (x + y + 4z ) (x + y + 4z ) (x + y + 4z ) grad u = 10 xe, 4ye, 8ze 4 4 grad u = 10(, 4, 4)e = 0(1,, )e T 4 u 1 4 e ( 0) 5 = e grad u = (1,1,1) ( 0 )(1,, )e = e 3 3 u daj je e u največje? = e gradu cos ϕ e Če izberemo vektor e v smeri grad u, je odvod po absolutni vrednosti največji. Točke v prostoru, kjer je u(r) = c, imenujemo nivojake ploskve. Vektorsko polje in količne v njem Vektorsko polje zapišemo kot: f(r) = ( f 1(r),f (r),f 3(r) ) = ( f 1(x,y,z),f (x,y,z),f 3(x,y,z) ). V prostoru dobimo silnice, ki v vsaki točki podajo smer vektorskega polja. otencialno polje je polje, če je vektorsko polje gradient skalarnega polja. ivergenca omembna količina pri vektorskem polju je divergenca. Računamo jo po formuli: f1 f f divf 3 = + + = f. Ta operacija priredi vektorskemu polju ustrezno skalarno y z polje. 3 f1 f f 3 f (r) = ( xy,zxy,x yz ) divf (r) = = y + xyz + x yz y z Rotor Rotor je operacija, ki vektorskemu polju priredi vektorsko polje in nam pove rotacijo. i, j, k f efiniran je kot: 3 f f f1 f3 f rot f f,,,, 1 = = =. y z y z z y f1, f, f3 ( f(r) = xyz,x y,xy z ) i, j, k rot f (r) =,, = xyz 0, y z xy,xy xz = xyz,xy y z,xy xz y z xyz, x y, xy z ( ( ) ) ( )

10 Vse operacije so linearne, zato velja: a) grad( α u +β v) =α grad u +β grad v b) div( α f +β g) =α div f +β divg rot α f +β g =α rot f +β rot g c) ( ) Več operacij lahko opravimo tudi zaporedoma: u u u a) div grad u = u = + + = u (... La lace-ov operator) y z b) rot grad u = u = 0 Če je vektorska funkcija f oblike f = grad u, potem je rotor enak nič, saj je polje f potencialno. c) grad divf = ( f ) d) div rot f = ( f ) = 0 rot rot f = f e) ( ) ovzetek: grad S preslika v V div V preslika v S rot V preslika v V S... skalarna funkcija V... vektorska funckija

11 rivuljni integral V prostoru imamo podano krivuljo. Skalarno polje je definirano vzdolž in v okolici krivulje. rivuljni integral prve vrste (v skalarnem polju) je definiran kot limita neskončne vsote: n lim u(t k) sk = u(r)ds. n k = 1 rimeri uporabe: 1. masa zvite vrvi: m = ρ(r)ds 1. težišče: xt = x ρ(r)ds m rivuljni integral računamo po naslednjem postopku: ds = r(t) dt β s u(r)ds = u(r(t)) r(t) dt = u(r(s))ds α 1. Imamo skalarno polje: u(r) = u(x, y, z) = xy :x + y = 4;xy> 0 s 1 če je v naravnem parametru π π π cos t u(r)ds = cos t sin t dt = 4sin ( t) dt = 4 = = [ ( 1) ( 1) ] = 4. Izračunaj krivuljni integral: :r r(t) = (4cost,4sin t,3t) u(r) = u(x,y,z) = x + y + z r(t) = ( 4sint,4cost,3) r(t) = 5 π 5 u(r)ds = 4cos t 4sin t + 9t 5dt = 7 π 16 π 3 0 ( ) ( ) [ ]

12 rivuljni integral druge vrste (v vektorskem polju) je definiran za vektorsko polje f(r) dano krivuljo kot: f(r) tds = f(r) dr = f 1()dx+ f ()dy+ f 3()dz t = f(r(t)) r(t)dt t1 rds če upoštevamo: dr = tds; t = ; ds = r dt. r f(r) = (y,x,z) r(t) = (4cost,4sint,3t); 0< t < π in π f (r) dr = ydx + zdy + xdz = 4sin t( sin t)4 + 3t4cos t + 4cos t 3 dt = 16π [ ] 0 otencialno polje je tako vektorsko polje f, ko je krivuljni integral druge vrste neodvisen od poti. Odvisen je le od začetne in končne točke. okaz: f(r) = gradu B u u u f (r) dr = dx + dy + dz = du = u(b) u(a) y z A f(r) dr f (r) = ( y + xy, x + xy,0 ) u = x y+ xy upoštevanje izreka fdr = u(b) u(a) = 0 = direktno računanje: :y= x r(t) = (t,t,0) r(t) = (1,1,0) 1 I = (t + t,t + t,0) (1,1,0)dt = 0

13 Če je krivuljni integral f(r)dr neodvisen od poti, je polje potencialno, to pomeni, da je f = gradu. okaz: Če gremo od točke A(x 0, y 0,z 0) do točke B(x, y, z) po različnih poteh in definiramo funkcijo u(x,y,z), lahko zapišemo integral po krivulji od A do B kot: u(x, y,z) = f (r)dr = f1dx + fdy + f3dz. Če se premaknemo vzdolž osi x do točke B(x 1 + h,y,z), lahko integral zapišemo kot: u(x + h,y,z) = f(r)dr = u(x + h,y,z) u(x,y,z) = 1 B(x 1 + h,y,z) = f1dx + f dy + f 3 dz = f 1(x,y,z)dx f 1(x, y,z) h [ B,B1 ] = 0 = 0 B(x,y,z) Če enačbo deliko z h dobimo diferenčni količnik, ki je po definiciji enak parcialnemu odvodu funkcije u na x, kar je pravzaprav komponenta f 1 funkcije u: u(x+ h,y,z) u(x,y,z) f(,y,z) 1 ξ h u = f1 u u odobno lahko storimo tudi za komponenti y in z: y = ;z=. Iz tega torej sledi, da je y z u u u naša vektorska funkcija enaka: f =,, = gradu. y z Tako dobimo tri pogoje za določitev potencialnega polja: a) vektorsko polje je gradient skalarnega polja: f = grad u b) integral po krivulji f(r)dr je neodvisen od poti c) rot f = 0 Imaš funkcijo f (x, y,z) ( x yz, y xz, xy) =. reveri, če je polje potencialno in določi potencial. i, j, k rot f (r) =,, = x ( x), y ( y) z ( z) = 0, 0, 0 y z x y, y xz, xy ( ) ( )

14 3 u x = x yz u = xyz +ϕ (y,z) 3 3 u ϕ y = y xz= xz + ϕ (y,z) = +ψ(z) y y 3 u = xy = xy +ψ '(z) ψ (z) = c z 3 3 x y u = xyz+ + c 3 3 loskovni integral Imamo neko ploskev in skalarno funkcijo u( r). Tedaj lahko ploskovni integral prve vrste n izračunamo kot limito nekončne vsote: lim u(t k) k = u(r)d, če ta limita obstaja. n k = 1 Računamo ga po enačbi: u(r)d = u(x, y, z(x, y)) 1+ p + q ds, kjer je = dxdy pravokotna projekcija ploskve na ravnino xy. Izpeljava: Stranski pogled: projekcija ploskve v območje na xy ravnini k ν γ γ S Odvisnost od kota med ploskvijo in pravokotno projekcijo: S= cosγ, kar lahko zapišemo z vektorji kot: ν k = ν k cosγ. Torej lahko izračunamo kot: S = = cos γ S ν k. Če je dana funkcija kot z = z(x,y), je N = ( p, q,1), kjer je enotski vektor enak: ν= ( p, q,1), 1+ p + q z z p = ;q=. Tedaj je y cos γ= p + q

15 S S = = = 1+ p + q S d= 1+ p + q ds. Iz tega pa dobimo cos γ 1 1+ p + q u(r)d = u(x, y,z(x, y)) 1+ p + q ds. = dxdy 1 ( x + y + z ) d;kjer je z= ( x + y );0 z 1 p= x 1 q= y 1+ p + q = 1+ x + y ( ) 1 u(r)d = x + y + x + y 1+ x + y dxdy = π = dϕ r r + r 1+ r dr = π t dt 1 t + ( 1 t ) = Velikokrat pa se zgodi, da je ploskev podana parametrično. Tedaj pa imamo tak nastavek: N= ru rv y z u u u y ( ru rv) k ( r,r,k u v ) y z u u cosγ=ν k= = ( r,r,k u v ) = = = J(u,v) ru rv ru rv v v v y v v = S cos γ S x y = = ru rv = ru rv u v cos γ J(u, v) dxdy = J(u, v) dudv g(r)d g x(u, v), y(u, v), z(u, v) r r dudv. Integral je enak: = [ ] u v Če uvedemo še: E = ru ru F= rv rv G = ru rv velja: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ru rv ru rv = ru ru rv rv ru rv = EG F.

16 Uporaba ploskovnega integrala prve vrste: 1. masa lupine z debelino 1: m= 1 ρ(x,y,z)d. ploščina ploskve: = d = 1+ p + q dxdy = ru rv dudv 1 3. težišče: xt = x ρ(r)d m z= 1 x + y ; z 0 oloči površino in težišče ploskve z enačbo ( ) p= x q= y 1+ p + q = 1+ 4x + 4y = d = 1+ 4x + 4y dxdy = π π t π = dϕ 1+ 4r dr = π t dt = = ( 5 5 1) = b T(0,0,z 0) ( ) z0 = zd = 1 x y 1+ 4x + 4y dxdy = π 1 5 t 1 = dϕ( 1 r ) 1+ 4r rdr = π dt 1 ( t 1) = π 5t t π = = ( 5( 5 5 1) 3( 5 5 1) ) = a a z0 = b

17 loskovni integral druge vrste Za dano vektorsko polje f (r) in dano ploskev je definiran kot: f(r) νd, kjer je ν normala z normo 1 in kaže iz tiste strani ploskve, po kateri želimo integrirati. omen tega integrala je pretok vektorskega polja skozi ploskev. oznamo tudi ploskve z le eno stranjo: trak papirja ga nekoliko zaviješ in zlepiš skupaj: Računamo po postopku: 1. če je funkcija podana eksplicitno: z= z(x,y) ( p, q,1) ν=± 1+ p + q ( p, q,1) f(r) ν d=± ( f 1,f,f3) 1+ p + q ( f,f,f ) ( ) =± 1 3 p, q,1 dxdy kjer je funkcija odvisna od x,y 1+ p + q dxdy = Če upoštevamo, da lahko komponente enotskega vektorja normale zapišemo še s koti med normalo in osemi x, y, z, potem dobimo: ν = (cos α,cos β,cos γ). ν γ k ν k = 1 1cosγ ν i = 1 1cosα ν j= 1 1cosβ to pomeni, da člen ν d v intregralu lahko zamenjamo s ν d = (cos α,cos β,cos γ)d, kar je enako ( ) dydz,dxdz,dxdy, če upoštevamo zveze: cos γ d = dxdy; cos α d = dydz; cosβ d = dxdz. loskovni integral je tedaj enak: f (r) ν d = f 1(...)dydz + f (...)dxdz + f 3(...)dxdy, kjer moramo upoštevati stran ploskve integracije. ri tem moramo namreč upoštevati predznak.. če je funkcija podana parametrično: r = r(u,v) ru rv f(r) ν d=± ( f 1,f,f3) ru rv dudv = r u r v =± ( f 1,f,f3) ru rvdudv =± ( f, r u, rv) dudv f, r u, rv... mešani produkt ( )

18 1. Izračunaj integral po zunanji strani plašča storžca z = x + y ;0 z 1 : f (r) ν d = (y z)dydz + (z x)dxdz + (x y)dxdy z= x + y x p = x + y y q = x + y ( p, q,1) 1 x y ν=± =±,,1 1+ p + q 1+ p + q x y x y + + določimo predznak tako, da si izberemo poljubno točko T(1,0,1), kjer je ν=±,,1 zato izberemo! 1+ p + q 1 1 upoštevamo z = x + y in : x + y = 1 x y 1+ p + q f (r) d ( y z, z x, x y ),,1 ν = x + y x + y 1+ p + q ( x y) x y xy + xz yz + xy + = x y dxdy x y + + = + dxdy = x y x y + + = y x dxdy = ( ) pol. koordinate: x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ π 1 = dϕ rsinϕ rcosϕ rdr = ( ) dxdy =. Izračunaj integral po zunanji strani ploskve f () = (y,, xz) r = r(u,v) = u,u,v ( ) 0 u območje 0 v 3 3 r u = (1,u,0); r v = (0,0,1); f,r u,rv = u ( ) y= x ;0 z 3;0 x fν d =+ ( u ) dudv = du ( u ) dv = 3(8 4) = 1 0 0

19 Gaussov izrek Imamo neko telo G, ki ga omejuje ploskev. Če ga integriramo po zunanji strani, dobimo Gaussov izrek, ki pravi, da je ploskovni integral po ploskvi enak trojnem integralu divergence po telesu G: f (r) ν d = div f (r)dv. ri tem mora biti f (r) odvedljiva G funkcija, ploskev odsekovno gladka in telo G brez lukenj. okaz: f f f y z G pogledamo dokaz le za zadnja člena, saj dobimo vsoto integralov, dobimo: f3 [ f 3() ν 3] d= dv z G Izrek lahko zapišemo kot: 1 3 [ f() 1 ν 1+ f () ν + f() 3 ν 3] d= + + dv. Če z (x,y) f3 f = 3 dv = dxdy dz = f3( x, y, z (x, y) ) f3( x, y,z 1(x, y) ) dxdy z z G z 1(x,y) [ 3 3] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] = f () ν d = f () cos γ d + f () cos γ d + f () cos γ d 1 3 = 0, ker je kot proti z osi 90, to pa pomeni, da je cos γ= 0 [ 3 1 ] [ 3 ] = f (x, y, z (x, y))cos γ d + f (x, y,z (x, y))cos γ d = predznak je zato, ker kaže normalni vektor navzdol: cos γ d = dxdy ri obeh dobimo enaka rezultata. odobno lahko storimo za prvi in drugi člen in dobimo podobna dokaza. Integral po zakljičeni ploskvi včasih označimo tudi s: fd. Če imamo neko telo, ki ima znotraj luknjo, je integral enak vsoti dveh, saj moramo telo razdeliti na dva dela, pri čemer se novo nastali ploskvi paroma odštejeta.

20 aj pomeni divergenca iz fizikalnega stališča? Osnovni izrek je takšen f (r) ν d = div f (r)dv. Če se omejimo na točko in majhen G volumen V okrog te točke, je telo G zelo majhno, zato lahko zapišemo: div f (r)dv div f ( ξηζ,, ) dv. Torej je divergenca enaka G G V 1 div f (x, y,z) = lim f (r) d V ν, če limitiramo telo G v točko. V primeru, ko je ploskovni integral večji od nič f(r) ν d> 0, potem se vektorsko polje f v telesu povečuje oziroma ima nove izvire. Torej nam integral pove razliko med prihajajočimi in odhajajočimi tokovi skozi telo. ivergenca pa pove hitrost izviranja polja, če je pozitiven integral, oziroma pojemanje, če je integral negativen. V primeru, ko pa je divergenca enaka nič div f = 0, potem pa je polje solenoidno, to pomeni, da je tam polje brez ponorov in izvirov. Takrat je tudi integral enak nič. Ena možna formula za volumen kot posledica Gaussovega izreka, če objema telo G, lahko 1 volumen zapišemo kot: V(G) = rν d; f = r 3.

21 Greenova formula Za dano ravninsko krivuljo, ki obkroži neko območje velja: g f ( f (x, y)dx + g(x, y)dy) = dxdy y, pri čemer potujemo po krivulji v taki smeri, da je območje na naši levi. To je Greenova formula oziroma Greenov izrek. y= y (x) y= y 1(x) a b okaz: b y (x) b f f Vzemimo najprej: dxdy = dx dy = f ( x, y (x) ) f ( x, y 1(x) ) dx y y a y 1(x) a strani pa vemo, da lahko to zapišemo kot: b a (f,0,0)dr = f(x,y)dx = f ( x,y 1(x) ) dx + f ( x,y (x) ) dx = a b b = f( x,y 1(x) ) f ( x,y (x) ) dx a f f (x, y)dx = dxdy y. o drugi Še enkrat naredimo tako primerjavo za drug člen: d x (y) d g g dxdy = dy dx = g( x (y), y) g ( x 1(y), y) dy c x 1(y) c lahko to zapišemo kot: d d (0,g,0)dr = g(x, y)dy = g ( x 1(y), y) dy + g ( x (y), y) dy = c c d = g( x 1(y),y) g( x (y),y) dy c g g(x, y)dy = dxdy.. o drugi strani pa vemo, da Če seštejemo oba dela označena s puščicama, dobimo Greenovo formulo: g f f (x, y)dx + g(x, y)dy = dxdy y.

22 Naj bosta funkciji f(x,y) 1 in f (x, y) na območju odvedljivi, so naslednji stavki ekvivalentni: a) rivuljni ntegral f 1(x,y)dx + f (x,y)dy je neodvisen od poti, pri čemer ni nujno, da je krivulja sklenjena. b) rivuljni integral f 1(x,y)dx + f (x,y)dy = 0, po poljubni sklenjeni poti. c) Za neko funkcijo u(x,y) je totalni diferencial: f 1 (x, y)dx + f (x, y)dy = du, če sta: u u f(x,y) 1 = in f (x,y) = x y d) Odvod druge funkcije na prvo spremenljivko je enak odvodu prve funkcije na drugo f spremenljivko: f = 1 y. Stokesova formula Za odvedljivo vektorsko funkcijo f(r) na ploskvi velja: f(r)dr= rotf(r) νd, kjer je rob ploskve in je krivulja orientirana tako, da z vrha normale ν gremo po krivulji v pozitivni smeri, to je v obratni smeri urinega kazalca. To je Stokesov izrek, ki povezuje krivuljni in ploskovni integral. okaz: Če upoštevamo f = (f 1,f,f 3)in ν= ( ν1, ν, ν3), lahko daljše zapišemo Stokesov izrek: f3 f f f1 f3 f1 f 1()dx + f ()dy + f 3()dz = ν 1+ ν + ν 3 d = y z z x x y f3 f f f1 f3 f ( p) ( q) 1 =± d y z z y vstavimo enačbo ploskve f1()dx + f ()dy + f 3()dz = z z = f1( x,y,z(x,y) ) dx+ f( x,y,z(x,y) ) dy+ f3( x,y,z(x,y) ) dx+ dy = ' y dz z z = f1( ) + f3( ) dx + f( ) dy f3 dy x + y = ' po Greenovi formuli z z = f( ) dy + f3 f1( ) + f3( ) y y dxdy = f3 f f f1 f3 f ( p) ( q) 1 =± d y z z x y

23 Naj bosta vektorska funkcija f odvedljiva, so naslednji stavki ekvivalentni: a) rivuljni ntegral fdr je neodvisen od poti. b) Zaključeni integral po zaključeni poti fdr = 0,. ' c) ogoj za potencialno polje: f (r) = grad u. d) ogoj za potencialno polje: rot f (r) = 0. Če so izpoljenjeni vsi ti pogoji, je vektorsko polje potencialno.

24

25 sdfsdfsf