Numeri na analiza - podiplomski ²tudij FGG doma e naloge -. skupina V prvem delu morate re²iti toliko nalog, da bo njihova skupna vsota vsaj 0 to k in da bo vsaj ena izmed njih vredna vsaj 4 to ke. Za to, katere naloge boste re²evali, se lahko odlo ite sami. Ob koncu predavanj bo na razpolago ²e drugi sklop doma ih nalog iz katerega bo podobno potrebno nabrati vsaj 0 to k. Re²itve nalog skupaj z opisom re²evanja in morebitnimi ra unalni²kimi programi lahko oddate po elektronski po²ti ali pa oddate v moj predal na Jadranski 9. Fiksnega roka ni (recimo do naslednjega izvajanja tega predmeta), ko boste oddali naloge iz prvega in drugega sklopa (oboje lahko naredite skupaj), se lahko domenite za ustni zagovor re²itve, na katerem lahko dobite tudi kak²no vpra²anje iz snovi, ki se nana²a na nalogo. Kon na ocena bo odvisna od kvalitete narejenih doma ih nalog in ustnega zagovora. V nalogah, kjer je potrebno napisati ra unalni²ki program in ni to no navedeno, da mora biti v Matlabu, je le ta lahko napisan v Matlabu ali Mathematici, za ostalo pa je potreben predhoden dogovor. Za re²evanje nalog je dovoljeno uporabljati vse, kar vam pride pod roke, edini pogoj je, da jo re²ite sami. Iz vsake skupine nalog, ki je ozna ena z enako rko, lahko izberete le eno nalogo. Parameter w, ki nastopa v nalogah, je enak va²emu dnevu in mesecu rojstva v obliki dd.mm, npr. e ste rojeni 2. maja, potem je w = 2.05.. (A)(2 to ki) En na in risanja planarnih grafov je, da koordinate to k na zunanjem licu dolo imo kot ogli² a pravilnega ve kotnika, koordinate to k v notranjosti pa dolo imo tako, da vsako to ko postavimo v teºi² e svojih sosedov. To lahko naredimo tako, da re²imo ustrezni linearni sistem (v bistvu sta dva sistema, eden za x koordinate in eden za y koordinate, a matrika je enaka). Za graf na sliki zunanje to ke postavite v ogli² a pravilnega ²estkotnika, za koordinate notranjih to k pa nastavite linearni sistem in dolo ite koordinate. Koordinate zunanjih ²estih to k so: T (, 0), T 2 (/2, 3/2), T 3 ( /2, 3/2), T 4 (, 0), T 5 ( /2, 3/2), T 6 (/2, 3/2). Kot rezultat vrnite koordinate to k in sliko grafa.
2. (B)(3 to ke) Tabeliraj funkcijo dveh spremenljivk u(x, y) = n= kjer so a n zaporedni pozitivni koreni ena be in c n [ (2 bn )b x n + ( 2b n )b x n] sin[an ( y)], tan x = ax b n = e an, c n = 8 sin(a n/2) sin 2 (a n /4) a 2 n( + cos 2 a n )( b 2 n), kjer je a = + w/00, v to kah (x i, y j ) = (i/4, j/4), i =, 2, 3, j = 0,, 2, 3 na 6 decimalk natan no. 3. (C)(3 to ke) Izra unaj vse realne re²itve sistema ena b x + e x2 + e y2 = r 2 x 3 + ay 3 4a 2 xy = a 3, kjer je a = + w/00, za r = i/2, i = 3, 4, 5, 6, 7, 8 na 8 decimalk natan no. ƒe pri kateri vrednosti r na intervalu [.5, 4] pride do preskoka v ²tevilu re²itev, izra unaj to mejno vrednost in re²itve pri tej vrednosti. 4. (D)(3 to ke) V ravnini stojijo okrogla zrcala z radijem 0.4, ki imajo sredi² a v vseh to kah s celo²tevilskimi koordinatami. Foton pri ne svoje gibanje v to ki (0.5, 0. + w/000) v smeri (, 0), potem pa se odbija od zrcal. Poi² ite koordinate to ke, kjer se foton na svoji poti etrti odbije od enega izmed zrcal. Kot rezultat vrnite koordinate to ke (x, y) izra unane na vsaj 0 to nih decimalnih mest. 5. (E)(3 to ke) Eden izmed algoritmov za risanje kubi nih poliedrskih grafov (graf predstavlja ogli² a in stranice nekega poliedra, kjer se v vsakem ogli² u sre ajo tri stranice, je uporaba lastnih vektorjev in lastnih vrednosti. ƒe vzamemo matriko sosednosti (matrika n n, ki ima na (i, j)-tem mestu, e sta to ki i in j povezani, sicer pa 0), se hitro vidi, da je ena lastna vrednost (ki je ravno najve ja) ravno 3, lastni vektor pa je enak [ ] T. Sedaj vzamemo λ 2, λ 3 in λ 4 ter normirane lastne vektorje, ki naj bodo po vrsti x, y, z. 2
ƒe sedaj za koordinate i-te to ke vzamemo kar T i = (x i, y i, z i ), dobimo lepo tridimenzionalno sliko grafa. Na ta na in poi² ite koordinate grafa, ki vam ga vrne podprogram A=kubicnigraf, ki je na voljo na spletni strani NA FGG. i-ta vrstica matrike A ima obliko i a i a i2 a i3, kjer je i indeks to ke, a i, a i2, a i3 pa so indeksi njenih treh sosedov. Iz teh podatkov sestavite matriko sosednosti, izra unajte lastne vektorje, dolo ite koordinate in nari²ite graf. 6. (F)(4 to ke) V ravnini znotraj pravilnega ²esterokotnika leºi 5 to k, za katere poznamo le izmerjene podatke o medsebojnih razdaljah in oddaljenosti od to k zunanjega ²esterokotnika. Koordinate notranjih to k izra unajte tako, da bo odstopanje dejanskih razdalj in izmerjenih razdalj minimalno po metodi najmanj²ih kvadratov. To ke z indeksi od do 6 so ksna ogli² a zunanjega ²esterokotnika, to ke z indeksi od 7 do pa so tiste, za katere ra unamo koordinate. Koordinate zunanjih ²estih to k so: T (, 0), T 2 (/2, 3/2), T 3 ( /2, 3/2), T 4 (, 0), T 5 ( /2, 3/2), T 6 (/2, 3/2). ƒe trenutne koordinate to ke i ozna imo z (x i, y i ), nove poloºaje pa z (x i + δx i, y i + δy i ), potem za vsako podano razdaljo d ij dobimo ena bo d 2 ij = ((x i + δx i ) (x j + δx j )) 2 + ((y i + δy i ) (y j + δy j )) 2. ƒe zanemarimo vse kvadratne δ lene, dobimo linearno ena bo d 2 ij d 2 ij = 2(x i x j )(δx i δx j ) + 2(y i y j )(δy i δy j ), kjer je d 2 ij = (x j x i ) 2 + (y j y i ) 2 trenutna razdalja med to kama i in j. Ko zapi²emo ena be za vse izmerjene razdalje, dobimo predolo eni sistem. Ko ga re²imo, popravke δx i in δy i pri²tejemo trenutnim koordinatam. Postopek ponavljamo, saj smo zanemarili kvadratne lene in tako ²e nismo dobili to ne re²itve. Za etni podatek je matrika razdalj D, ki ima v vsaki vrstici tri elemente: i j d ij i in j sta indeksa, d ij pa izmerjena razdalja med tema dvema to kama. Matriko D z za etnimi podatki dobite s podprogramom D=podatki_sesterokotnik(w), kjer kot argument 3
podate va²o ²tevilko w. Podprogram je na voljo na spletni strani NA FGG. Za etne koordinate notranjih to k lahko izberete poljubno, e pa uporabite kak²ne dobre pribliºke, lahko s tem zmanj²ate ²tevilo potrebnih iteracij. Kot rezultat vrnite koordinate notranjih to k (to ne na vsaj 8 decimalnih mest). 7. (G)(4 to ke) Vzemite enajst to k x i = i/0, i = 0,..., 0 in tabeliraj y i = erf(x i ). (a) Za podatke poi² ite polinom p(x) = a 0 +a x+ +a n x n stopnje n, kjer gre n od do 0, ki po metodi najmanj²ih kvadratov najbolje aproksimira dane to ke. Primerjajte razliko med dobljenim polinomom in funkcijo erf(x) na celotnem intevralu [0, ] glede na stopnjo polinoma. (b) Ker je erf liha funkcija, jo je smiselno aproksimirati z lihim polinomom p(x) = a x + a 2 x 3 + + a 2k+ x 2k+. Za k =,..., 4 poi² ite ustrezne polinome po metodi najmanj²ih kvadratov. Primerjajte razliko med dobljenim polinomom in funkcijo erf(x) na celotnem intervalu [0, ] glede na stopnjo polinoma. Primerjajte rezultate z rezultati iz to ke a). (c) Polinomi niso dobra aproksimacija za erf(x), saj je limita erf(x), ko gre x proti neskon nosti, enaka, vsi polinomi pa so neomejeni. Zato uporabimo model c + e t2 (c 2 + c 3 z + c 4 z 2 + c 5 z 3 ) kjer je z = /( + t). Primerjajte napako te aproksimacije na [0, ] z napako v to kah a) in b). 8. (G)(4 to ke) Podanih je 3 to k (x i, y i ), ki predstavljajo meritve. Po metodi najmanj²ih kvadratov poi² ite najbolj²e aproksimacije za podane modele in primerjajte napako. (a) p(x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3, (b) q(x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5, (c) r(x) = a 0 x + a + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3, (d) g(x) = ae bx + ce dx. Meritve dobite s podprogramom [x,y]=meritve30(w), kjer kot argument podate va²o ²tevilko w. Podprogram je na voljo na spletni strani NA FGG. 9. (J)(4 to ke) Poi² ite polinom stopnje 6, ki po metodi najmanj²ih kvadratov najbolje aproksimira dane podatke obenem pa zanj velja p() = 3, p () =, p () = 5. Problem prevedite na iskanje minimuma Ax b pri pogoju Cx = d, kjer je A matrika m n, C pa matrika p m, m > n in p < m. Pomagate si lahko z literaturo, ki jo dobite pri predavatelju. Podatke, ki jih je potrebno aproksimirati, dobite s podprogramom [x,y]=polinom6(w), kjer kot argument podate va²o ²tevilko w. Podprogram je na voljo na spletni strani NA FGG. 0. (D)(5 to k) Re²ite nalogo 4 tako, da napi²ete ra unalni²ki program, ki sam poi² e re²itev naloge za poljubno za etno to ko in za etno smer. Spodobi se, da gibanje fotona tudi nari²e. 4
. (F)(5 to k) V Matlabu sestavite podprogram [x,y]=resi_sesterokotnik(d), ki za nalogo 6 na ºe opisani na in iz podanih razdalj izra una koordinate notranjih 5 to k za poljubno podano matriko razdalj D. 2. (F)(5 to k) Znotraj enotske kocke v R 3 leºi 5 to k, za katere poznamo le izmerjene podatke o medsebojnih razdaljah in oddaljenosti od ogli² kocke. Koordinate notranjih to k izra unajte tako, da bo odstopanje dejanskih razdalj in izmerjenih razdalj minimalno po metodi najmanj²ih kvadratov. To ke z indeksi od do 8 so ksna ogli² a enotske kocke, to ke z indeksi od 9 do 3 pa so tiste, za katere ra unamo koordinate. Koordinate zunanjih osmih to k so: T (0, 0, 0), T 2 (, 0, 0), T 3 (,, 0), T 4 (0,, 0), T 5 (0, 0, ), T 6 (, 0, ), T 7 (,, ), T 8 (0,, ). Postopek je podoben kot pri nalogi 6, le da imajo sedaj to ke tri koordinate. Za etni podatek je matrika razdalj D, ki ima v vsaki vrstici tri elemente: i j d ij i in j sta indeksa, d ij pa izmerjena razdalja med tema dvema to kama. Matriko D z za etnimi podatki dobite s podprogramom D=podatki_kocka(w), kjer kot argument podate va²o ²tevilko w. Podprogram je na voljo na spletni strani NA FGG. Za etne koordinate notranjih to k lahko izberete poljubno, e pa uporabite kak²ne dobre pribliºke, lahko s tem zmanj²ate ²tevilo potrebnih iteracij. Kot rezultat vrnite koordinate notranjih to k (to ne na vsaj 8 decimalnih mest). 3. (H)(5 to k) Enakomerno razporedite 7 to k r i = (x i, y i, z i ) na enotsko sfero v R 3, tako da bo E := i<j r i r j 2 2 minimalna. Kot rezultat vrnite koordinate izra unanih to k in vrednost E. 4. (H)(5 to k) Enakomerno razporedite 9 to k r i = (x i, y i, z i ) na enotsko sfero v R 3, tako da bo E := i<j r i r j 2 2 minimalna. Kot rezultat vrnite koordinate izra unanih to k in vrednost E. 5. (I)(5 to k) V Matlabu napi²ite podprogram za re²evanje tridiagonalnega linearnega sistema Ax = b z LU razcepom z delnim pivotiranjem. ƒasovna in prostorska zahtevnost algoritma naj bo linearna. Ker je matrika A tridiagonalna, je lahko predstavljena s tremi vektorji diagonalnih elementov. 6. (I)(5 to k) V Matlabu napi²ite podprogram za ra unanje treh najve jih lastnih vrednosti simetri ne tridiagonalne matrike s poten no metodo in Hotelingovo redukcijo. Matrika naj bo predstavljena z vektorjema diagonalnih in obdiagonalnih elementov. 7. (E)(6 to k) Izpopolnite algoritem za risanje kubi nih grafov z lastnimi vektorji iz naloge 5. Sestavite program, ki bo sposoben prebrati poljubno datoteko povezav v obliki kot v nalogi 5. Ker je to k lahko zelo veliko, predstavite matriko sosednosti v obliki razpr²ene matrike in si pomagajte s funkcijo eigs. Za zgled lahko uporabite datoteko torus.vgr, ki jo najdete na spletni strani NA FGG. 5
8. (I)(6 to k) V Matlabu napi²ite podprogram za ra unanje treh najmanj²ih lastnih vrednosti simetri ne tridiagonalne matrike z inverzno poten no metodo in Hotelingovo redukcijo. Matrika naj bo predstavljena z vektorjema diagonalnih in obdiagonalnih elementov. V metodi boste potrebovali re²evanje tridiagonalnega sistema, ki naj bo tudi narejeno ekonomi no (da bo asovna in prostorska zahtevnost linearna). 6