NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množic

NEKAJ VPRAŠANJ IZ MATEMATIKE 2 1. Katero točko evklidskega prostora R n imenujemo notranjo (zunanjo, robno) točko množice M R n? 2. Za poljubno množico M R n evklidskega prostora R n definirajte množice o M (notranjost), M (rob) in M (zaprtje)! 3. Dokažite, da je v evklidskem prostoru R n rob B r (x 0 ) = o B r (x 0 ) = S r (x 0 ) (sfera)! 4. Kdaj imenujemo območje D R n odprto, zaprto, omejeno in kdaj povezano v evklidskem prostoru R n? 5. Dokažite, da je množica M := {(x, y) : x, y R, x 3 + y 3 = 1} neomejena v evklidskem prostoru R 2! Določite še množice o M (notranjost), M (rob) in M (zaprtje)! 6. Dokažite, da je množica M : {(x, y) : x, y R, x 4 + y 4 = 1} omejena v evklidskem prostoru R 2! 7. Ali je unija n 2 B 1/n (x n ) omejena množica v R 2, če je x n = ( (1 + 1/n) n, (1 1/n) n 1)? 8. Dokažite, da je odprta krogla o B r (x n ) odprta množica v evklidskem prostoru R n! 9. Dokažite, da je zaprta krogla B r (x n ) zaprta množica v evklidskem prostoru R n! 10. Dokažite, da je odprt kvadrat (1, 2) (0, 1) odprta množica v evklidskem prostoru R 2! 11. Prepričajte se, da pravokotnik (0, 2] [0, 1) ni odprta, niti zaprta množica v evklidskem prostoru R 2! 12. Dokažite, da je odprta krogla o B r (x n ) (zaprta krogla B r (x n )) povezana množica v evklidskem prostoru R n! 13. Če je x0 y 0 < r1 + r 2 je množica B r1 (x 0 ) B r2 (y 0 ) povezana v evklidskem prostoru R n. Dokažite to! 14. Dokažite enakomerno zveznost funkcije f (x, y) x 2 y na pravokotniku [0, 2] [0, 1] (na krogu krogli B 2 (3, 4))! 15. Prepričajte se, da je vsaka linearna preslikava prostora R n v prostor R m zvezna v vsaki točki! 16. Definicija odvoda skalarne funkcije f vektorske spremenljivke x = (x 1,..., x n ) v smeri enotskega vektorja s = (s 1,..., s n )? 17. Definicija prvih parcialnih odvodov funkcije f : R 2 R v točki (a, b)? { x sin 1 18. Ali za funkcijo f : R 2 y R, kjer je f (x, y) = + y sin 1 x, če je xy 0 0, če je xy = 0 odvod f (0, 1)! Ali je funkcija f zvezna v točkah (0, 0) in (0, 1)?, obstaja parcialni { x 19. Za funkcijo f : R 2 R, kjer je f (x, y) = 2 sin y x, če je xy 0, izračunajte po definiciji 0, če je xy = 0 parcialni odvod f (0, 1)! Ali je funkcija f zvezna v točkah (0, 0) in (0, 1)? 1

{ ( xy/ x 20. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = 2 + y 2), če je (x, y) (0, 0), izračunajte po definiciji 0, če je (x, y) = (0, 0) njen odvod v točki (0, 0) v smeri enotskega vektorja s = (s 1, s 2 )! Ali je funkcija f zvezna v točki (0, 0)? 21. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = xy ( x 2 y 2) / ( x 2 + y 2) 2, če je (x, y) (0, 0) 0, če je (x, y) = (0, 0), izračunajte po definiciji njen odvod v točki (0, 0) v smeri enotskega vektorja s = (s 1, s 2 )! Ali je funkcija f zvezna v točki (0, 0)? 22. V kateri smeri v točki (x 1,..., x n ) D (D je neprazna, odprta množica v prostoru R n, n N) zvezno parcialno odvedljiva (diferenciabilna) funkcija f : D R najhitreje raste (pada)? 23. Naj bo D neprazna odprta množica v prostoru R 3 in funkcija f C 1 (D, R) z lastnostjo grad f (x, y, z) = 0 za vsako točko (x, x, z) D. Dokažite, da obstaja tedaj konstanta c, da je f (x, y, z) c na D. 24. Če za funkcijo f : R 2 R obstaja okolica točke (a, b), da ima f povsod na tej okolici omejena oba parcialna odvoda, je f zvezna v točki (a, b). Preveri to! (Nasvet: f (a + h, b + k) f (a, b) [ f (a + h, b + k) f (a, b + k) ] + [ f (a, b + k) f (a, b) ] ). 25. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je xy 3, če je (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 2 0, če je (x, y) = (0, 0), se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) 0! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 26. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = x 3 y xy 3 x 2 +y 2, če je (x, y) (0, 0) 0, če je (x, y) = (0, 0), se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) x! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 27. Za funkcijo f: R 2 R, kjer je f (x, y) = x 2 y xy 2 x+y, če je x + y 0 0, če je x + y = 0, se prepričajte, da je f f (0, y) y in y (x, 0) x! Razložite, zakaj je 2 f y (0, 0) 2 f y (0, 0)! 28. Formulirajte Schwarzov (Eulerjev) izrek o enakosti mešanih parcialnih odvodov! 29. Kdaj imenujemo skalarno funkcijo f (x 1, x 2,..., x n ) p krat zvezno parcialno odvedljivo na odprti množici D in kaj pomeni simbol C p (D)? 30. Definirajte odvod (totalni ali Fréchet-jev, Maurice Fréchet: francoski matematik 1878 1937) vektorske funkcije vektorske spremenljivke! 31. Kdaj imenujemo vektorsko funkcijo diferenciabilno ali (totalno) odvedljivo v dani točki? 2

32. Prepričajte se, da je vsaka odvedljiva vektorska funkcija vektorske spremenljivke v obravnavani točki nujno zvezna! 33. Če sta vektorski funkciji f in g vektorske spremenljivke (totalno) odvedljivi v točki a, je taka tudi njuna vsota in je odvod D( f + g)(a) = D f (a) + Dg(a). Dokažite to! 34. Formulirajte verižno pravilo za vektorsko funkcijo vektorske spremenljivke! 35. Totalni diferencial je invarianten glede na uvedbo nove spremenljivke. Razložite to trditev! 36. Naj bo S simetrična (sebi adjungirana) preslikava evklidskega prostora R n vase, t.j. skalarni produkt Sx, y = x, Sy za vsak x, y R n. Za funkcijo f : R n R, kjer je f (x) Sx, x, poiščite odvod D f (x) pri poljubnem x! 37. Ali je za vektorsko funkcijo f : (x 1,..., x n ) (y 1 (x 1,..., x n ),..., y n (x 1,..., x n )) prostora R n vase in njen jakobijan (y 1,...,y n ) (x 1,...,x n ) pravilna katera od dveh implikacij: (y 1,...,y n ) (x 1,...,x n ) (x) 0 za vsak x = (x 1,..., x n ) R n = = Funkcija f je injektivna.? (Odgovor obvezno utemeljite!) 38. Zapišite formulo (verižno pravilo) za odvod ϕ (t 0 ) funkcije ϕ, ϕ(t) f (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), če je skalarna funkcija f (x 1, x 2,..., x n ) zvezno parcialno odvedljiva po vseh spremenljivkah na odprti množici D, ki vsebuje točko (x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x n (t 0 )) in so skalarne funkcije x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) odvedljive v točki t 0! 39. Prepričajte se, da velja za odvedljivo funkcijo f : R + R enakost grad f ( x ) f ( x ) x x za vsak x R n \{0}! 40. Naj imata funkciji f : R 2 R 3 in g: R 3 R vse svoje komponente zvezno parcialno odvedljive (po vseh spremenljivkah) ter naj bo h kompozitum, h = g f, h(u, v) = g( f (u, v)) za vsak (u, v) R 2. Kako se potem izračuna parcialni odvod h u v točki (a, b)? 41. Zapišite Taylorjevo formulo prvega reda (z napako!) za skalarno funkcijo f dveh spremenljivk x in y okrog točke (a, b)! 42. Zapišite Taylorjevo formulo drugega reda z začetno točko (a, b) za funkcijo f : R 2 R, ki ima povsod na R 2 zvezne vse parcialne odvode do vključno tretjega reda! 43. Če je funkcija f : R 2 R zvezno parcialno odvedljiva in = {(x, y) : (x, y) R 2, x 0, y 0, x 2 + y 2 4}, kako bi določili min f (x, y)? (x,y) 44. Če ima neprazno območje D R 2 definirano ploščino, navedite vsaj en zadostni pogoj za to, da je funkcija f : D R integrabilna (v Riemannovem smislu)! 45. Navedite primer uporabe dvojnega (Riemannovega) integrala! 46. Ali je funkcija, ki je v osnovnem pomenu Riemannovo integrabilna, nujno omejena? 47. Ali je omejenost funkcije zadosten pogoj za njeno integrabilnost? (Odgovor utemeljite!) 48. Zapišite formulo za izračun dvojnega integrala po območju, ki ima obliko krivočrtnega trapeza! 49. Zapišite kakšen zadosten pogoj, ki mu morajo ustrezati funkcija f : D R ter območji D in D D, da velja enakost f dp = 2 f dp! D D 50. Za pravokotnik D = [0, 1] [0, 2] utemeljite oceno 2 e e (x2 +y 2) dx dy 2! 5 D 51. Formulirajte izrek o povprečni (srednji) vrednosti funkcije f : D R na območju D R 2! 3

52. Zapišite formulo za izračun dvojnega integrala D f (x, y) dx dy, če je D = {(x, y) R 2 : a x b, c(x) y d(x)} in če je D = {(x, y) : c y d, a(y) x b(y)}! 53. Zamenjajte vrstni red integriranja v dvakratnem integralu 0 dx x 2 f (x, y) dy, kjer je f zvezna 2 2x funkcija R 2 R! 54. Formulirajte izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral in povejte, kakšen je geometrijski pomen jakobijana! 55. S pomočjo dvojnega integrala izračunajte dvakratni integral 1 0 dy 1 y sin ( x 2) dx! 56. Definicija izlimitiranega dvojnega integrala zvezne funkcije (konstantnega) znaka po neomejenem območju? 57. Definicija trojnega (Riemanovega) integrala f (x, y, z) dx dy dz? 58. Navedite primer uporabe trojnega (Riemannovega) integrala! 59. Navedite vsaj en zadostni pogoj za obstoj trojnega (Riemannovega) integrala! 60. Formulirajte izrek o povprečni (srednji) vrednosti funkcije f : R na območju R 3! 61. Zapišite formulo za izračun trojnega integrala f (x, y, z) dx dy dz, če je = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} in če je = {(x, y, z) R 3 : z 1 z z 2, (x, y) D(z)}! 62. Kako bi dokazali enakost e x2 dx = 0 π 2? 63. Navedite zadostni pogoj za to, da je funkcija F, F(y) = b f (x, y) dx za vsak y [c, d], odvedljiva na a [c, d]! Kako se izraža odvod F s funkcijo f (pri navedenem pogoju)? 64. Pri nekem pogoju velja Leibnizova formula za odvod d b(y) dy f (x, y) dx. a(y) zapišite formulo! Navedite ta pogoj in 65. Definicija realnih funkcij Γ in B in zveza med njima? 66. Opišite Stirlingovo formulo in povejte zakaj jo uporabljamo! 67. Skicirajte graf funkcije Γ! 68. Kako lahko izračunamo numerične vrednosti funkcije Γ pri velikih in pri majhnih vrednostih argumenta? 69. Katero funkcijo realne spremenljivke imenujemo faktorsko? 70. Za skalarne in vektorske funkcije izpeljite formule za odvode: d dτ [ f [ f f (t(τ)), d dt (t) g (t)] in d dt (t) g (t)]! 71. Če je vektorska funkcija f (t) odvedljiva in ima konstantno absolutno vrednost ( f (t) konst.), je za vsak t odvod d dt f (t) pravokoten na f (t). Dokažite to! 72. Dani sta skalarna funkcija λ(s) in odvedljiva vektorska funkcija B (s) z lastnostjo, da je B (s) 1 in λ(s) B (s) n= konst. 0. Pokažite, da sta tedaj obe funkciji λ(s) in B (s) konstantni! 73. Ali je kakšna razlika med pojmoma pot v R 3 in krivulja v R 3? (Definicija obeh pojmov?) 4

74. Ali je krivulja z enačbo r = r (t) (t 2 2t 3, 2t t 2, 3t 2 2t 3 4t) ravninska? Če je, v kateri ravnini leži? 75. Ali se krivulji K 1 in K 2 z enačbama r = r 1 (s) ( s 4 2 3 4 s2, s 2, 3 4 s) in r = r 2 (t) (t 2 t, 2t, t 2 + t) sekata? Če se, v koliko točkah se sekata? 76. Katero krivuljo imenujemo gladko, odsekoma gladko, enostavno in enostavno sklenjeno? 77. Definicija dolžine poti in ločne dolžine krivulje? 78. Kdaj imenujemo parametrizacijo krivulje naravno? 79. Ali za vsako enostavno krivuljo razreda C 1 obstaja naravna parametrizacija? 80. Kako sta definirani (analitično) fleksijska in torzijska in ukrivljenost (κ in ω) gladke enostavne krivulje v dani točki te krivulje? 81. Ali sta fleksija in torzija krivulje razreda C 3 povsem enolično določeni, t.j. neodvisni od parametrizacije te krivulje? 82. Kakšen je geometrijski pomen fleksije in torzije? ( T, ) 83. Razložite pojem osnovnega spremljajočega triedra N, B gladke krivulje razreda C 3! 84. Kateri vektorji osnovnega triroba v dani točki gladke krivulje razreda C 3 so povsem enolično določeni? 85. Kakšen je kinematični pomen osnovnega triedra in fleksije krivukje? 86. Frenet Serret-jeve formule in njihov pomen? 87. Definicija krivinskega polmera, pritisnjene krožnice in evolute krivulje? 88. Kako bi zapisali parametrično enačbo pritisnjene krožnice krivulje K z enačbo r = f (t), t [a, b], v točki z radijem vektorjem r 0 = f (t 0 ), kjer je f gladka, trikrat zvezno odvedljiva vektorska funkcija? 89. Katere izmed količin T, N, B, κ in ω so pri gladki krivulji razreda C 3 povsem enolično določene, t.j. neodvisne od parametrizacije? 90. Za krivuljo K razreda C 3 preverite trditve : (i) κ(s) 0 K leži na premici (ii) ω(s) 0 = K je ravninska (iii) κ(s) 0 = ( ω(s) 0 K je ravninska )! 91. Definicija klotoide? 92. Izpeljite parametrično enačbo klotoide, ki leži nad abscisno osjo in se dotika te osi v koordinatnem začetku! 93. Definicija krivinskega polmera krivulje K razreda C 3 v dani točki in kako bi ga izračunali za krivuljo, ki leži v ravnini 0xy in ima enačbo y = y(x)? 94. Kako bi zapisali parametrično enačbo pritisnjene krožnice krivulje K z enačbo r = f (t), t [a, b], v točki z radijem vektorjem r 0 = f (t 0 ), kjer je f gladka, trikrat zvezno odvedljiva vektorska funkcija? 95. Definicija evolute krivulje? 5

96. Definicija enostavne gladke krivulje K in krivuljnega integrala 1. vrste K u ds? 97. Naštejte nekaj primerov uporabe krivuljnega integrala 1. vrste! 98. Definicija enostavne, gladke orientirane krivulje K in krivuljnega integrala 2. vrste K a d r? 99. Za daljico K s krajiščima A(a 1, a 2, a 3 ) in B(b 1, b 2, b 3 ) preverite enakost B K:A x dy y dx = a 1 a 2 b 1 b 2! 100. Dokažite enakost a dr = a dr! K K 101. Preverite oceno a dr K K a ds! 102. Formulirajte reenov teorem o cirkulaciji ravninskega vektorskega polja! 103. Naj bosta funkciji f (t) in g(t) zvezno odvedljivi na intervalu [α, β] in naj bo f (t) g(t) za vsak t (α, β). Naj bo D 1 = {(x, y) R 2 : α x β, f (x) y g(x)} in D 2 = {(x, y) R 2 : α y β, f (y) x g(y)}. Funkciji P(x, y) in Q(x, y) naj bosta po obeh spremenljivkah zvezno parcialno odvedljivi na odprtem območju D R 2. Dokažite implikaciji: (a) D 1 D = P(x, y) dx = D 1 D 1 (b) D 2 D = Q(x, y) dy = D 2 D 2 P y (x, y) dx dy Q (x, y) dx dy. 104. Za območje D R 2, ki je omejeno z odsekoma gladkim robom D, je ploščina P(D) dana s formulo P(D) = 1 x dy y dx. 2 D Dokažite jo! 105. Naj bo v ravnini Oxy dana krivulja K v polarni obliki r = r(ϕ), ϕ [ϕ 1, ϕ 2 ], ϕ 1 < ϕ 2, kjer je funkcija ϕ r(ϕ) zvezno odvedljiva (r = r, r = x i + y j je radij vektor točke T(x, y) K). Nadalje naj območje D v ravnini Oxy tvorijo vse daljice, ki imajo eno krajišče skupno in sicer v koordinatnem začetku in drugo krajišče na krivulji K. Dokažite, da je tedaj ploščina P(D) območja D dana z enačbo P(D) = 1 2 ϕ2 ϕ 1 r 2 (ϕ) dϕ. (Upoštevajte prejšnjo izražavo ploščine s krivuljnim integralom!) 106. Naj bo odprto, povezano območje in vektorsko polje v naj bo na zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah ter naj bo krivuljni integral B K:A vd r odvisen le od začetne točke A in končne točke B krivulje K in nič od oblike krivulje K - to pri poljubni enostavni, odsekoma gladki krivulji K. Preverite, da je pri teh pogojih vektorsko polje v gradientno na. 107. Naj bo D neprazno, odprto območje v prostoru R 2 in naj bosta funkciji P(x, y) in Q(x, y) zvezni na D. Navedite zadostni pogoj, ki se nanaša le na območje D ter na funkciji P in Q, da bo krivuljni integral B K:A P dx + Q dy odvisen le od začetne točke A in od končne točke B krivulje K za vsako enostavno, odsekoma gladko krivuljo K D! 6

108. Naj bo odprto, povezano območje in vektorsko polje v naj bo na gradientno, v = grad u. Dokažite, da je tedaj B K:A vd r = u(b) u(a), za vsako enostavno, odsekoma gladko krivuljo K! 109. Prepričajte se, da je gravitacijsko vektorsko polje F = κ mm r ( r = x i + y j + z k) gradientno na r 3 odprtem območju = R 3 {(0, 0, 0)}. Poiščite potencial tega polja na! 110. Definicija gladke elementarne ploskve in odsekoma gladke ploskve ter njene orientacije? 111. Katere ploskve imenujemo orientabilne in katere neorientabilne? 112. Izpeljite formulo za površino gladke elementarne ploskve, dane v eksplicitni obliki z = f (x, y)! (Formulirajte trditev!) 113. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo notranjost oz. rob gladke elementarne ploskve? 114. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo odsekoma gladko ploskev? 115. Katero množico v prostoru R 3 imenujemo gladko ploskev? 116. Kdaj imenujemo gladko oz. odsekoma gladko ploskev orientabilno? 117. Definicija ploskovnega integrala 1. vrste skalarnega polja u po gladki elementarni in po odsekoma gladki ploskvi? 118. Razložite, zakaj je ploskovni integral 1. vrste posplošitev dvojnega integrala! 119. Naštejte nekaj primerov uporabe ploskovnega integrala 1. vrste! 120. Definicija ploskovnega integrala 2. vrste vektorskega polja v po gladki elementarni orientirani ploskvi? 121. Razložite, zakaj je ploskovni integral 2. vrste posplošitev dvojnega integrala! 122. Dokažite enakost a d P S= a d P S! 123. Preverite oceno a d P S P a ds! 124. Naj bosta funkciji z 1 (x, y) in z 2 (x, y) zvezno parcialno odvedljivi po obeh spremenljivkah na odprtem območju D v postoru R 2, naj bo z 1 (x, y) z 2 (x, y) za vsako točko (x, y) D D in = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)}, kjer je D omejeno konveksno območje v R 2, katerega rob D je enostavna sklenjena gladka krivulja. Skalarno polje u(x, y, z) naj bo zvezno parcialno odvedljivo po vseh spremenljivkah na odprtem območju. Neposredno iz definicije ploskovnega integrala druge vrste, brez uporabe aussovega teorema, izpeljite tedaj enakost + (u k) d S = u z dv (integrirate po zunanji strani območja )! 125. Dokažite formulo a ds = ± [ fu (u, v), f v (u, v), a(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ] du dv P za izračun skalarnega pretoka vektorskega polja a skozi orientirano gladko elementarno ploskev P, ki ima gladko injektivno reprezentacijo (parametrizacijo) ( D,, f )! 7

126. Skalarni pretok zveznega vektorskega polja a = a(x, y, z) = a 1 (x, y, z) i + a 2 (x, y, z) j + a 3 (x, y, z) k skozi zgornjo stran gladke elementarne orientirane ploskve P, ki je dana kot graf parcialno zvezno odvedljive funkcije z : D odp. R 3, je dan s formulo [ ] ( ) ( ) a ds z = a 3 x, y, z(x, y) a1 x, y, z(x, y) (x, y) a ( ) z 2 x, y, z(x, y) (x, y) dx dy, y P kjer je P = {( x, y, z(x, y) ) ( x, y ) }. Preverite to! 127. Naj bodo funkcije x 1 (y, z), x 2 (y, z), y 1 (x, z), y 2 (x, z), z 1 (x, y) in z 2 (x, y) zvezno parcialno odvedljive po vseh spremenljivkah na odprtih območjih D 1, D 2 in D 3 v postoru R 2, naj bodo D 1, D 2 in D 3 zaprte in omejene množice, ki imajo za svoje robove D 1, D 2 in D 3 enostavne sklenjene in gladke krivulje ter naj bo: Naj bo R 3 regularno območje, + x 1 (y, z) x 2 (y, z) za vsako točko (y, z) D 1 D 1 y 1 (x, z) y 2 (x, z) za vsako točko (x, z) D 2 D 2 in z 1 (x, y) z 2 (x, y) za vsako točko (x, y) D 3 D 3. = {(x, y, z) R 3 : (y, z) D 1, x 1 (y, z) x x 2 (y, z)} = = {(x, y, z) R 3 : (x, z) D 2, y 1 (x, z) y y 2 (x, z)} = = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D 3, z 1 (x, y) z z 2 (x, y)} in vektorsko polje a(x, y, z) a 1 (x, y, z) i+a 2 (x, y, z) j+a 3 (x, y, z) k naj bo zvezno parcialno odvedljivo po vseh spremenljivkah na odprtem območju. Neposredno, brez uporabe aussovega teorema, dokažite, da veljajo tedaj enakosti (a 1i) ds = a 1 dv, (a 2 j) ds = a 2 y dv in (a 3k) ds = a 3 z dv, (integrirate + po zunanji strani območja )! 128. Kako se glasi aussov divergenčni teorem? 129. Izpeljite enakost u grad v d S = ( ) ( ) grad u grad v dv + u v dv ( = ), če je območje + v R 3 z odsekoma gladkim robom, ki leži v odprtem območju R 3 in če je skalarno polje u zvezno parcialno odvedljivo na po vseh spremenljivkah ter ima skalarno polje v na zvezne vse parcialne odvode do vključno drugega reda! + K r 3 130. (a) Če označuje r krajevni vektor poljubne točke T v prostoru R 3 ( r = OT, O je koordinatni začetek), pokažite, da je div r r 3 = 0 za vsak r 0! (b) Za kroglo K s središčem v koordinatnem začetku O pokažite, da je skalarni pretok I := r ds = 4π, kjer pomeni + K pozitivno orientiran rob krogle K (površje krogle s poljem zunanjih normal). (c) Če bi za vektorsko polje r r r + 3 uporabili aussov divergenčni teorem, bi zaradi (a) dobili za skalarni pretok I tega polja skozi površje K v smeri zunanje normale enakost I = 0, kar je v nasprotju z (b). Razložite to navidezno protislovje! 131. Definirajte vektorski pretok u dsskalarnega polja u skozi orientirano gladko ploskevpin volumski integral P vdv vektorskega poljavpo območju ter dokažite enakost u d S = grad u dv! + (Integrirate po zunanji strani površja.) 132. Formulirajte Stokesov teorem o cirkulaciji! 8

133. Razložite, zakaj je Stokesov teorem o cirkulaciji posplošitev reenovega izreka! 134. Če je vektorsko polje v(x, y, z) zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah na odprtem območju R 3 in na gradientno, je brezvrtinčno, t.j. rot v = 0 na. Prepričajte se o tem! 135. Če je povezano območje R 3 odprto in enostavno povezano in je vektorsko polje v na zvezno parcialno odvedljivo po vseh svojih spremenljivkah ter je rot v = 0 na, je polje v gradientno na. Preverite to! 136. Ali je vektorsko polje a nujno potencialno na odprtem območju R 3, če je (rot a)(x, y, z) = 0 za vsako točko T(x, y, z) in so vse komponente P, Q in R polja a(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k zvezno parcialno odvedljive po vseh treh spremenljivkah na vsem območju? (Odgovor utemeljite!) 137. Prepričajte se, da veljata za vektorsko polje v(x, y, z) y i + x j enakosti: x 2 +y 2 x 2 +y 2 (a) v(x, y, z) = grad ( ) arctan y x za vsak x 0 (b) (rotv) (x, y, z) = 0 za vsako točko (x, y) (0, 0). Torej je polje v gradientno na območju R 3 ({0} R R) in brez vrtincev na odprtem povezanem območju (votel valj) = { (x, y, z) R 3 : 1 < x 2 + y 2 < 9, 0 < z < 2 }. Prepričajte se, da je cirkulacija vd r = ±2π za vsako enostavno sklenjeno, odsekoma gladko, orientirano krivuljo K, ki,,objame K izrezani valj! Zakaj je neenakost in (b)? K 138. Dokažite, da so diferencialni operatorji grad, div in rot linearni! vd r 0 le v navideznem nasprotju z zgornjima točkama (a) 139. Prepričajte se, da veljajo pri določenih predpostavkah (katerih?) enakosti: (a) div(rot a)= 0, grad div a = rot rot a + a (b) grad(uv) = u grad v + v grad u (c) div(u a) = u div a + a grad u (d) rot(u a) = u rot a+grad u a (e) grad( a b) = a rot b + b rot a + ( a ) b + ( b ) a (f) div( a b) = b rot a a rotb (g) rot( a b) = a div b b div a + ( b ) a ( a ) b. Delovanje Laplaceovega operatorja = = 2 2 definirano takole: + 2 + 2 y 2 z 2 u = 2 u + 2 u + 2 u, (a 2 y 2 z 2 1i + a2 j + a3 k) = ( a1 ) i + ( a 2 ) j + ( a 3 ) k. na skalarnem in vektorskem polju je Delovanje diferencialega operatorja b = b 1 + b 2 y + b 3 z na skalarnem in vektorskem polju je definirano z: ( b ) u u = b 1 + b 2 u y + b 3 u z in ( b ) ( ) i ( ) j ( ) k. (a 1i + a2j + a3k) = ( b ) a 1 + ( b )a 2 + ( b )a 3 140. Razložite pojem rešitve navadne diferencialne enačbe F(x, y, y, y ) = 0! 141. Razložite pojma začetnega in robnega problema (Cauchyjeva in Sturm-Liouvilleova naloga) za navadno diferencialno enačbo drugega reda! 142. Razložite pojem začetnega problema za navadno diferencialno enačbo n-tega reda! Navedite kakšne zadostne pogoje za rešljivost in za enolično rešljivost tega začetnega problema! 143. Kdaj ima začetni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 pri predpisanih x 0 in y 0 vsaj eno rešitev in kdaj natanko eno (zadostni pogoj)? 144. eometrijsko tolmačenje začetnega problema za navadno diferencialno enačbo prvega reda? 9

145. Razložite pojem numeričnega reševanja začetnega problema za navadno diferencialno enačbo drugega reda! 146. Izpeljite vsaj en algoritem (Picardov, Eulerjev,,,Taylorjev ) za numerično reševanje začetnega problema za navadno diferencialno enačbo prvega reda! 147. Dokažite, da pri poljubni partikularni rešitvi y navadne linearne diferencialne enačbe drugega reda obstaja za vsako rešitev y te diferencialne enačbe taka rešitev y h prirejene homogene diferencialne enačbe, da je y = y h + y! 148. Razložite čemu služi in kako deluje metoda variacije konstante za navadno linearno diferencialno enačbo prvega reda! 149. Opišite in dokažite metodo variacije konstant, s katero lahko poiščemo partikularno rešitev ỹ diferencialne enačbe y +p(x)y +q(x)y = r(x) (p, q, r zvezne funkcije na nekem odprtem intervalu), če sta znani linearno neodvisni rešitvi η 1 (x) in η 2 (x) prirejene homogene d.e.! 150. Če imamo znanih n linearno neodvisnih rešitev navadne homogene linearne diferencialne enačbe reda n, ali lahko potem vedno rešimo začetni problem y(0) = y 0,..., y (n 1) (0) = y n 1 pri poljubnih y 0,..., y n 1? (Odgovor utemeljite!) 151. Če imamo znanih n različnih rešitev navadne homogene linearne diferencialne enačbe reda n s konstantnimi koeficienti ali lahko potem vedno rešimo začetni problem y(0) = y 0,..., y (n 1) (0) = y n 1 pri poljubnih y 0,..., y n 1? (Odgovor utemeljite!) 152. Definicija karakterističnega polinoma diferencialne enačbe, na katero diferencialno enačbo se nanaša in kakšen je njegov pomen? 153. Nihanje (z viskoznim dušenjem) masne točke v smeri abscisne osi okrog koordinatnega začetka popisuje d.e. x + 2βx + ω 2 0 x = f (t) (β in ω 0 sta dani konstanti, f je dana zvezna funkcija). Če sta ob času t = t 0 vnaprej dani začetna lega x 0 = x(t 0 ) in začetna hitrost v 0 = x (t 0 ), ali je začetni pospešek a 0 = x (t 0 ) s tem že enolično določen ali pa je lahko še poljuben? (Odgovor utemeljite!) 154. Poiščite vsaj eno netrivialno rešitev u(t, x) valovne enačbe u tt = 4u xx, ki ustreza robnim pogojem u(t, 0) u(t, π) 0! 155. Opišite Fourierjevo metodo reševanja valovne enačbe u tt = c 2 u xx (c, L R + ) z danimi začetnimi in robnimi pogoji: u(0, x) = f 1 (x), u t (0, x) = f 2 (x), u(t, 0) = g 1 (t), u(t, L) = g 2 (t)! 10